变号深阱位势分数阶Schrödinger方程非平凡解的存在性和集中性

变号深阱位势分数阶Schrödinger方程非平凡解的存在性和集中性

王文波^,¹, 李全清^,²

Existence and Concentration of Nontrivial Solutions for the Fractional Schrödinger Equations with Sign-Changing Steep Well Potential

Wang Wenbo^,¹, Li Quanqing^,²

通讯作者: 李全清, E-mail: shili06171987@126.com

收稿日期: 2017-07-28

基金资助:

云南省应用基础研究青年项目和红河学院科研基金博士专项项目. XJ17B11

Received: 2017-07-28

Fund supported:

the Yunnan Province Applied Basic Research for Youths and Honghe University Doctoral Research Program. XJ17B11

作者简介 About authors

王文波,E-mail:wenbowangmath@163.com , E-mail：wenbowangmath@163.com

摘要

考虑分数阶Schrödinger方程

$\begin{equation}\renewcommand{\theequation}{$P_{\lambda}$} (-\Delta)^{s}u+\lambda V(x)u+V_{0}(x)u=P(x)|u|^{p-2}u+Q(x)|u|^{q-2}u, ~~~~~x\in {\Bbb R}^{N}\;\;\;\;\;\;\;\left( {{P_\lambda }} \right) \end{equation}$

非平凡解的存在性和集中性,其中 $\lambda>0$ , $s\in(0, 1)$ , $N>2s$ , $2<q<p<2_{s}^{\ast}$ ( $2_{s}^{\ast}=\frac{2N}{N-2s}$ ), $P\in L^{\infty}$ 有正的下界, $Q\in L^{\infty}$ 可正可负或变号, $V$ 是深势阱位势, $V_{0}\in L^{\infty}$ .当 $\lambda$ 充分大时,此方程存在非平凡解.进一步,如果 $V(x)\geq0$ ,其解序列拥有某种集中现象.特别地,对于解的存在性, $V$ 允许变号.

关键词： 分数阶Schrödinger方程 ; 势阱位势 ; 变号位势 ; 集中性

Abstract

Consider the following fractional Schrödinger equation

$\begin{equation}\renewcommand{\theequation}{$P_{\lambda}$} (-\Delta)^{s}u+\lambda V(x)u+V_{0}(x)u=P(x)|u|^{p-2}u+Q(x)|u|^{q-2}u, ~~~~~x\in {\Bbb R}^{N}, \end{equation}$

where $\lambda>0$ , $s\in(0, 1)$ , $N>2s$ , $2<q<p<2_{s}^{\ast}$ ( $2_{s}^{\ast}=\frac{2N}{N-2s}$ ), $P\in L^{\infty}$ is positive, $Q\in L^{\infty}$ may be positive, sign-changing or negative, $V$ is steep well potential, and $V_{0}\in L^{\infty}$ . When $\lambda$ is large, the existence of nontrivial solutions is obtained via variational methods. Furthermore, if $V(x)\geq0$ , concentration results are also obtained. In particular, the potential $V$ is allowed to be sign-changing for the existence.

Keywords： Fractional Schrödinger equations ; Steep well potential ; Sign-changing potential ; Concentration

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本文引用格式

王文波, 李全清. 变号深阱位势分数阶Schrödinger方程非平凡解的存在性和集中性. 数学物理学报[J], 2018, 38(5): 893-902 doi:

Wang Wenbo, Li Quanqing. Existence and Concentration of Nontrivial Solutions for the Fractional Schrödinger Equations with Sign-Changing Steep Well Potential. Acta Mathematica Scientia[J], 2018, 38(5): 893-902 doi:

1 引言主和要结果

该文致力于研究如下的分数阶Schrödinger方程

$\begin{equation} (-\Delta)^{s}u+\lambda V(x)u+V_{0}(x)u=P(x)|u|^{p-2}u+Q(x)|u|^{q-2}u, ~~~~~x\in {\Bbb R}^{N}, \end{equation}$

(1.1)

其中 $\lambda$ 是正参数, $0<s<1$ , $N>2s$ , $2<q<p<2_{s}^{\ast}$ ( $2_{s}^{\ast}=\frac{2N}{N-2s}$ ), $(-\Delta)^{s}u$ 是分数阶拉普拉斯算子.分数阶拉普拉斯可以理解为稳定的Lévy扩散过程的无穷维算子,其也出现在等离子体中的不规则的扩散,火焰的扩散,液体的化学反应,种群动态.更多的物理背景,请参看文献[20, 23].

最近,分数阶Schrödinger方程

$\begin{equation}(-\Delta)^{s}u+ V(x)u= f(x, u), ~~~~~x\in {\Bbb R}^{N}, \end{equation}$

(1.2)

引起了许多物理学家和数学家的兴趣.对于存在性,唯一性,正则性,渐进衰减性请参看文献[3, 7-8, 11, 14, 27, 28].另外,文献[2, 9, 26]研究了有界区域的分数阶方程.文献[9]研究了结点解.通过 $s$ -调和延拓,文献[8]把非局部问题转化为局部问题.

许多学者也在研究如下问题的半经典解

$\begin{equation}\label{eq1.2}\varepsilon^{2s}(-\Delta)^{s}u+ V(x)u=f(x, u), ~~~~~x\in {\Bbb R}^{N}.\end{equation}$

(1.3)

在量子力学中,当 $\varepsilon\rightarrow0$ ,方程(1.3)的解的存在性和集中现象很重要,见文献[1, 6, 10, 13, 15-18, 28-29].如果 $f(x, u)=|u|^{p-2}u$ , $\varepsilon^{2s}=\lambda^{-1}, v=\lambda ^{\frac{-1}{p-2}}u$ ,方程(1.3)同如下方程等价

$\begin{eqnarray*}(-\Delta)^{s}v+ \lambda V(x)v= f(x, v), ~~~~~x\in {\Bbb R}^{N}.\end{eqnarray*}$

然而,对于一般的 $f$ (如 $f(x, u)=|u|^{p-2}u+|u|^{q-2}u$ , $p\neq q$ ),情况是不同的.受到上面提到文献的启发,结合文献[12],本文的主要目标是:研究当位势 $V$ 变号, $\lambda$ 充分大时,问题(1.1)解的存在性和集中性.据我们所知,还没有文献研究方程(1.1), $V$ 变号,解的存在性和集中性.

为了陈述我们的结果,对 $V_{0}$ , $V$ , $P$ 和 $Q$ ,我们做如下假设

$(V_{0})$ $V_{0}\in L^{\infty}({\Bbb R}^{N})$ 并且 $V_{0}:=\inf\limits_{x\in{\Bbb R}^{N}} V_{0}(x)>0$ .

$(V_{1})$ $V \in C ({\Bbb R}^{N}, {\Bbb R})$ 并且 $V$ 下方有界.

$(V_{2})$ 存在 $b>0$ 使得非空集合 $\{x\in{\Bbb R}^{N}~ :~ V(x)< b\}$ 测度有限.

$(V_{3})$ $\Omega=int V^{-1}(0)$ 非空,边界光滑并且 $\overline{\Omega}=V^{-1}(0)$ .

$(P)$ $P(x)\in L^{\infty}({\Bbb R}^{N})$ , $P_{0}:=\inf\limits_{x\in{\Bbb R}^{N}} P(x)>0$ .

$(Q)$ $Q(x)\in L^{\infty}({\Bbb R}^{N})$ , $Q$ 变号或是负的并且 $\{x\in{\Bbb R}^{N}~ :~ Q(x)\geq0\}$ 测度有限.

定理1.1 假设 $(V_{0})-(V_{3})$ , $(P)$ 和 $(Q)$ 成立, $2<q<p<2_{s}^{\ast}$ 并且 $V$ 变号,则当 $\lambda$ 充分大并且 $\|V_{0}\|_{L^{\infty}}\leq C(\lambda)$ 时,问题(1.1)至少有一个非平凡解 $u_{\lambda}$ .

定理1.2 假设 $(V_{0})-(V_{3})$ , $(P)$ 和 $(Q)$ 成立, $2<q<p<2_{s}^{\ast}$ 并且 $V(x)\geq0$ ,则当 $\lambda$ 充分大并且 $\|V_{0}\|_{L^{\infty}}\leq C(\lambda)$ 时,问题(1.1)至少有一个非平凡解 $u_{\lambda}$ .此外,在 $H^{s}({\Bbb R}^{N})$ 中, $u_{\lambda}\mathop{\longrightarrow}\limits^{\lambda\rightarrow\infty} \bar{u}$ ,其中 $\bar{u}$ 是如下方程的非平凡解

$\begin{equation}\label{eq1.6}\left\{\begin{array}{ll} (-\Delta)^{s}u+V_{0}(x)u=P(x)|u|^{p-2}u+Q(x)|u|^{q-2}u, &x\in \Omega, \\ u=0, &x\in \partial\Omega. \end{array}\right.\end{equation}$

(1.4)

注1.1 如果 $Q$ 满足 $Q(x)\in L^{\infty}({\Bbb R}^{N})$ , $Q_{0}:=\inf\limits_{x\in{\Bbb R}^{N}} Q(x)>0$ .定理1.1和1.2仍然成立.

位势 $V(x)$ 满足 $(V_{1})-(V_{3})$ 被文献[4]中的作者首次称为是深阱位势的.他们研究了非线性Schrödinger方程.我们也可参看文献[12, 32].在文献[19]中,作者研究了深阱位势的Schrödinger-Poisson方程.最近,文献[33]研究了带有变号深势阱位势的Schrödinger-Poisson方程.文献[20]和[34]研究了深阱位势的分数阶Schrödinger方程.但他们要求 $V$ 是正的.本文结果不同于文献[33],我们需要重新建立分数阶Schrödinger方程的特征值问题.并且在研究过程中遇到的困难是空间的嵌入缺乏紧性.我们通过证明临界值 $c_{\lambda}$ 关于 $\lambda$ 一致有界去恢复紧性.我们需要更精细的估计(参看引理3.4).这篇文章最初的想法是研究当 $V$ 变号,解的集中现象,然而失败了.我们想证明 $\{u_{\lambda}\}$ 在 $E$ 中有界, $V(x)\geq0$ 这个条件在(4.1)式中似乎很重要( $E$ 的定义请看第2部分).

2 预备知识

记集合 $A$ 的Lebesgue测度为 $|A|$ . $|\cdot| _{p}$ 为 $L^{p}({\Bbb R}^{N} )$ 的范数.首先,我们回顾 $(-\Delta)^{s}:{\cal S}\rightarrow L^{2}({{\Bbb R}^{N}})$ 定义如下

$(-\Delta)^{ s}u(x) = C_{N, s} P.V.\int_{{\Bbb R}^{ N}}\frac{u(x)-u(y)}{|x-y|^{N+2s}}{\rm d}y,$

其中 ${\cal S}$ 是速降 $C^{ \infty}$ Schwartz函数空间.

分数阶Sobolev空间 $H ^{s}({\Bbb R}^{N})$ 定义为

$H^{s}({\Bbb R}^{N})= \bigg\{u\in L^{2}({{\Bbb R}^{N}})~:~\frac{|u(x)-u(y)|^{2}}{|x-y|^{N+2s}}\in L^{1}({{\Bbb R}^{N}\times{\Bbb R}^{N}}) \bigg\}.$

$H ^{s}({\Bbb R}^{N})$ 中定义内积

$(u, v)_{H ^{s}}=\int_{{\Bbb R}^{N}}\bigg((-\Delta)^{\frac{s}{2}}u(-\Delta)^{\frac{s}{2}}v+uv\bigg){\rm d}x$

和范数

$\|u\|_{H ^{s}}^{2}=\int_{{\Bbb R}^{N}}\bigg(|(-\Delta)^{\frac{s}{2}}u|^{2}+u^{2}\bigg){\rm d}x,$

其是一个Hilbert空间.

记 $V^{\pm}(x)=\max\{\pm V(x), 0\}$ ,则 $V(x)=V^{+}(x)-V^{-}(x)$ .设

$E=\bigg\{u\in H ^{s}({\Bbb R}^{N})~:~\int_{{\Bbb R}^{N}}V^{+}(x)u^{2}{\rm d}x<\infty \bigg\},$

赋予内积和范数

$(u, v)=\int_{{\Bbb R}^{N}}\bigg((-\Delta)^{\frac{s}{2}}u(-\Delta)^{\frac{s}{2}}v+V^{+}(x)uv\bigg){\rm d}x, ~~~~~\|u\|=(u, u)^{\frac{1}{2}}.$

对于固定的 $\lambda$ ,记

$(u, v)_{\lambda}=\int_{{\Bbb R}^{N}}\bigg((-\Delta)^{\frac{s}{2}}u(-\Delta)^{\frac{s}{2}}v+\lambda V^{+}(x)uv\bigg){\rm d}x, ~~ \|u\|_{\lambda}=(u, u)_{\lambda}^{\frac{1}{2}}.$

记 $E_{\lambda}=(E, \|\cdot\|_{\lambda})$ .

引理2.1 当 $p\in[2, 2^{\ast}_{s}]$ 时, $E\hookrightarrow H^{s}({\Bbb R}^{N})\hookrightarrow L^{p}({\Bbb R}^{N})$ 连续.此外,当 $p\in[2, 2^{\ast}_{s})$ 时, $E\hookrightarrow L^{p}({\Bbb R}^{N})$ 是局部紧的.

证注意到 $(V_{2})$ , $V^{+}(x)\not\equiv0$ .设

$A(R):=\{x\in{\Bbb R}^{N}~;~|x|>R, V^{+}(x)\geq b\},$

$B(R):=\{x\in{\Bbb R}^{N}~;~|x|>R, V^{+}(x)< b\}.$

因此

$\int_{A(R)}u^{2}{\rm d}x\leq\frac{1}{b}\int_{{\Bbb R}^{N}}u^{2}{\rm d}x.$

由Hölder不等式和文献[30]中式子 $(4)$ ,结合 $|B(R)|<\infty$ ,我们得

$\int_{B(R)}u^{2}{\rm d}x\leq C\int_{{\Bbb R}^{N}}|(-\Delta)^{\frac{s}{2}}u|^{2}{\rm d}x.$

类似的,有

$\int_{|x|\leq R}u^{2}{\rm d}x\leq C\int_{{\Bbb R}^{N}}|(-\Delta)^{\frac{s}{2}}u|^{2}{\rm d}x.$

因此 $E\hookrightarrow H^{s}({\Bbb R}^{N})$ .众所周知 $H^{s}({\Bbb R}^{N})\hookrightarrow L^{p}({\Bbb R}^{N})$ 连续.紧嵌入可由文献[5,引理3.2]得到.

易知问题(1.1)的能量泛函为

$\begin{eqnarray}\label{eq2.1} \nonumber I_{\lambda}(u)&=&\frac{1}{2}\int_{{\Bbb R}^{N}}\bigg(|(-\Delta)^{\frac{s}{2}}u|^{2}+\lambda V(x)u^{2}+V_{0}(x)u^{2}\bigg){\rm d}x\\ &&-\frac{1}{p}\int_{{\Bbb R}^{N}}P(x)|u|^{p}{\rm d}x-\frac{1}{q}\int_{{\Bbb R}^{N}}Q(x)|u|^{q}{\rm d}x. \end{eqnarray}$

(2.1)

显然, $I_{\lambda}$ 在 $E$ 上是 $C^{1}$ 的. $u \in H ^{s}({\Bbb R}^{N})$ 是问题(1.1)的弱解当且仅当 $I'_{\lambda}(u)=0$ .由于 $V$ 变号,二次型

$a_{\lambda}(u, u)=\int_{{\Bbb R}^{N}}\bigg(|(-\Delta)^{\frac{s}{2}}u|^{2}+\lambda V(x)u^{2}\bigg){\rm d}x$

是不定的.沿用文献[33]的想法,记

$D:=\{u\in E~:~{\rm supp}u \subset V^{-1}([0, \infty])\},$

$\begin{equation}\label{eq2.2} F=\overline{D}^{\|\cdot\|_{\lambda}}=\overline{\{u\in E~:~{\rm supp}u \subset V^{-1}([0, \infty])\}}^{\|\cdot\|_{\lambda}}, \end{equation}$

(2.2)

即 $F$ 是 $D$ 在范数 $\|\cdot\|_{\lambda}$ 的完备化.根据文献[24,定理12.4],存在闭子空间 $M$ 使得 $E_{\lambda}=F\oplus M$ .如果 $V(x)\geq0$ ,则 $E=F$ .我们可以直接跳到第4部分.

考虑双线性型

$\begin{eqnarray*} a_{\lambda}(u, v)=\int_{{\Bbb R}^{N}}\bigg((-\Delta)^{\frac{s}{2}}u(-\Delta)^{\frac{s}{2}}v+\lambda V(x)uv\bigg){\rm d}x\end{eqnarray*}$

及特征值问题

$\begin{equation}\label{eq2.3} (-\Delta)^{s}u+\lambda V^{+}(x)u=\alpha\lambda V^{-}(x)u, ~~~u\in M.\end{equation}$

(2.3)

记 $A:={\rm supp}V^{-}$ ,由 $(V_{2})$ ,得 $|A|<\infty$ .易证存在 $C>0$ ,使得对任意的 $u\in M$ 有

$\begin{equation}\label{eq2.4} \int_{{\Bbb R}^{N}}\bigg(|(-\Delta)^{\frac{s}{2}}u|^{2}+\lambda V^{+}(x)u^{2}\bigg){\rm d}x\geq C\int_{A}\lambda V^{-}(x)u^{2}{\rm d}x.\end{equation}$

(2.4)

$\begin{equation}\label{eq2.5} Q(u):=\int_{{\Bbb R}^{N}}\bigg(|(-\Delta)^{\frac{s}{2}}u|^{2}+\lambda V^{+}(x)u^{2}\bigg){\rm d}x. \end{equation}$

(2.5)

引理2.2 $\alpha_{1}(\lambda)=\inf\limits_{0\neq u\in M}\frac{Q(u)}{\int_{A}\lambda V^{-}(x)u^{2}{\rm d}x}>0$ 可达并且 $\alpha_{1}(\lambda)$ 是(2.3)式的最小特征值.

证证明类似于文献[22, p74].不同之处在于 $M$ 不是全空间,但很幸运 $M$ 是凸闭的.设 $\{u_{k}\}\subset M$ 是极小化序列.由于 $M$ 是凸闭的,存在 $u\in M$ 使得在 $E_{\lambda}$ 中, $u_{k}\rightharpoonup u$ .结合引理2.1嵌入的紧性,类似于文献[22]的证明易知结论成立.

类似于文献[22, p80], $\lambda>0$ 固定,我们定义 $\alpha_{j}(\lambda)$ $(j=2, 3, \cdots ).$ 我们有如下性质.

性质2.1 每一特征值的特征函数空间是有限维的.

性质2.2 $\alpha_{j}(\lambda)\mathop{\longrightarrow}\limits^{j\rightarrow\infty}\infty$ .

性质2.3 不同特征值对应的特征函数在 $E_{\lambda}$ 中正交.

引理2.3 每一个固定的 $j$ , $\alpha_{j}(\lambda)\mathop{\longrightarrow}\limits^{\lambda\rightarrow\infty}0$ .

证不妨设 $j\geq2$ .设 $u_{i}\in M$ 是 $\alpha_{i}(\lambda)$ 相应的特征函数 $(i=1, 2, \cdots , j-1).$ 记 $V_{j-1}={\rm span}\{u_{i}, i=1, 2, \cdots , j-1\}$ . $V_{j-1}^{\perp}$ 是 $V_{j-1}$ 在 $L^{2}$ 的正交补.设 $u\in C^{\infty}_{0}({\Bbb R}^{N})$ 使得 ${\rm supp}u\subset {\rm supp}V^{-}$ , ${\rm supp}u\cap {\rm supp}u_{i}=\emptyset$ , $1\leq i\leq j-1.$ 这意味着

$\alpha_{j}(\lambda)\leq\frac{\int_{{\Bbb R}^{N}}|\nabla u|^{2}}{\lambda\int_{{\Bbb R}^{N}} V^{-}(x)u^{2}}\rightarrow0, ~~ \lambda\rightarrow\infty.$

引理2.3证毕.

根据引理2.3,存在 $\Lambda>0$ 使得当 $\lambda>\Lambda$ 时

$\hat{E}_{\lambda}:={\rm span}\{e_{j}, \alpha_{j}(\lambda)\leq1\}$

(2.6)

非空并且 $a_{\lambda}(u, u)$ 在 $\hat{E}_{\lambda}$ 上是负半定的,其中 $e_{j}$ 是 $\alpha_{j}(\lambda)$ 相应的特征函数.记 $E^{+}_{\lambda}:={\rm span}\{e_{j}, \alpha_{j}(\lambda)>1\}$ .根据性质2.1和性质2.3, $E_{\lambda}=M\oplus F=\hat{E}_{\lambda}\oplus E^{+}_{\lambda}\oplus F$ 并且dim $\hat{E}_{\lambda}<\infty$ .

3 定理1.1的证明

我们将证明 $I_{\lambda}$ 满足环绕定理^{[31,定理2.12]}中的环绕几何结构和 $(C)_{c}$ 条件.

引理3.1 对于固定的 $\lambda$ ,存在 $\rho_{\lambda}>0$ 和 $\kappa_{\lambda}>0$ 使得当 $u\in E ^{+}_{\lambda}\oplus F$ , $\|u\|_{\lambda}=\rho_{\lambda}$ 时,有

$I _{\lambda} (u)\geq \kappa _{\lambda}.$

证由 $E^{+}_{\lambda}$ 的定义,存在 $\delta_{\lambda}$ 使得

$a_{\lambda}(u, u) \geq \delta_{\lambda} \| u \|^{ 2}_{\lambda}, ~~\forall~~ u \in E^{+}_{\lambda},$

$a_{\lambda}(u, u)=\| u \|^{ 2}_{\lambda}, ~~\forall~~ u \in F.$

因此,当 $u=v+w\in E^{+}_{\lambda}\oplus F$ 时,利用Sobolev嵌入,我们得

$\begin{eqnarray} \nonumber I_{\lambda}(u) &=& \frac{1}{2}a_{\lambda}(v, v)+\frac{1}{2}a_{\lambda}(w, w)+\frac{1}{2}\int_{{\Bbb R}^{N}}V_{0}(x)u^{2}{\rm d}x\\ \nonumber&&-\frac{1}{p}\int_{{\Bbb R}^{N}}P(x)|u|^{p}{\rm d}x-\frac{1}{q}\int_{{\Bbb R}^{N}}Q(x)|u|^{q}{\rm d}x\\ &\geq& \frac{1}{2}\min\{\delta_{\lambda}, 1\}\| u \|^{ 2}_{\lambda}-C_{1} \|u\|_{\lambda}^{p}-C_{2}\|u\|_{\lambda}^{q}.\end{eqnarray}$

(3.1)

选取 $\varepsilon>0$ , $\rho_{\lambda}>$ 0和 $\kappa_{\lambda}>0$ 充分小易知结论成立.

由 $(V_{3})$ ,我们可以取 $e_{0}\in C_{0}^{\infty}(\Omega)$ ,则 $e_{0}\in F$ .

引理3.2 对于固定的 $\lambda$ ,存在 $R_{\lambda}>0$ 使得

$\sup\limits _{u\in \partial Q}I _{\lambda} (u)<\kappa _{\lambda} ,$

其中 $Q=\{u=v+te_{0}~:~v\in\hat{E}_{\lambda}, t\geq0, \|u\|_{\lambda}\leq R_{\lambda}\}$ .

证根据 $(P)$ 和 $(Q)$ ,存在 $C_{1}>0, C_{2}>0$ 使得

$\frac{1}{p}P(x)|u|^{p}+ \frac{1}{q}Q(x)|u|^{q}\geq C_{1}|u|^{p}-C_{2}|u|^{q}.$

如果 $u=v+w\in\hat{E}_{\lambda}\oplus Re_{0}$ ,注意到

$a_{\lambda}(u, u)=a_{\lambda}(v, v)+a_{\lambda}(w, w)\leq \|u\|_{\lambda}^{2},$

结合有限维空间中所有范数等价和 $q<p$ ,我们得

$\begin{eqnarray*} I_{\lambda}(u)\leq C\|u\|_{\lambda}^{2}+C_{3}\|u\|_{\lambda}^{q}-C_{4}\|u\|_{\lambda}^{p}\mathop{ \longrightarrow}\limits^{\|u\|_{\lambda}\rightarrow\infty}-\infty. \end{eqnarray*}$

因此,存在 $R_{\lambda}>0$ 使得当 $u\in\hat{E}_{\lambda}\oplus Re_{0}$ 并且 $\|u\|_{\lambda}=R_{\lambda}$ 时, $I_{\lambda}(u)\leq0$ ,

如果 $u\in \hat{E}_{\lambda}$ ,则 $I_{\lambda}(u)\leq\frac{1}{2}\int_{{\Bbb R}^{N}}V_{0}(x)u^{2}{\rm d}x+C_{3}\|u\|_{\lambda}^{q}-C_{4}\|u\|_{\lambda}^{p}$ ,易知结论成立.

由引理3.1和引理3.2, $I_{\lambda}$ 存在 $(C)_{c}$ 序列 $\{u_{n}\}\subset E_{\lambda}$ ,即

$\begin{equation}\label{eq3.2} I_{\lambda}(u_{n})\rightarrow c, ~~~~~~~(1+\|u_{n}\|_{\lambda})I'_{\lambda}(u_{n})\rightarrow 0. \end{equation}$

(3.2)

引理3.3 $\{u_{n}\}$ 在 $E_{\lambda}$ 中有界(依赖于 $\lambda)$ .

证对充分大的 $n$ ,有

$\begin{eqnarray}\label{eq3.3} \nonumber I_{\lambda}(u_{n})-\frac{1}{q}\langle I'_{\lambda}(u_{n}), u_{n}\rangle&=&\bigg(\frac{1}{2}-\frac{1}{q}\bigg)\|u_{n}\|_{\lambda}^{2} -\bigg(\frac{1}{2}-\frac{1}{q}\bigg)\int_{{\Bbb R}^{N}}\lambda V^{-}(x)u_{n}^{2}{\rm d}x\\ \nonumber&&+\bigg(\frac{1}{2}-\frac{1}{q}\bigg)\int_{{\Bbb R}^{N}}V_{0}(x)u_{n}^{2}{\rm d}x+\bigg(\frac{1}{q}-\frac{1}{p}\bigg)\int_{{\Bbb R}^{N}}P(x)|u_{n}|^{p}{\rm d}x\\ &\leq&c+1.\end{eqnarray}$

(3.3)

结合条件 $(V_{1})$ 知 $\|u_{n}\|_{\lambda}^{2}\leq C_{1}\int_{{\Bbb R}^{N}}u_{n}^{2}{\rm d}x+ C_{2}$ .从而只需证明 $\{u_{n}\}$ 在 $L^{2}({\Bbb R}^{N})$ 中有界即可.事实上,若 $\int_{{\Bbb R}^{N}}u_{n}^{2}{\rm d}x\mathop{\longrightarrow}\limits^{n\rightarrow\infty}\infty$ ,记 $v_{n}=\frac{u_{n}}{|u_{n}|_{2}}$ ,则 $|v_{n}|_{2}=1$ .

一方面,由(3.3)式知

$\|v_{n}\|_{\lambda}^{2}+\int_{{\Bbb R}^{N}}V_{0}(x)v_{n}^{2}{\rm d}x-\int_{{\Bbb R}^{N}}\lambda V^{-}(x)v_{n}^{2}{\rm d}x\leq\frac{C}{|u_{n}|^{2}_{2}}.$

(3.4)

因此 $\{\|v_{n}\|_{\lambda}^{2}\}$ 是有界的并且

$\int_{{\Bbb R}^{N}}V(x)v_{n}^{2}{\rm d}x\leq\frac{C}{|u_{n}|^{2}_{2}}\mathop{\longrightarrow}\limits^{n\rightarrow\infty}0.$

(3.5)

由 $E_{\lambda}$ 自反,在子列意义下可设在 $E_{\lambda}$ 中 $v_{n}\rightharpoonup v$ .

另一方面,由(3.4)式和嵌入的紧性知 $v=0$ .因此

$\begin{eqnarray*} \int_{{\Bbb R}^{N}} V(x)v_{n}^{2}{\rm d}x&=&\int_{\{x ~:~V(x)\geq b\}} V(x)v_{n}^{2}{\rm d}x+\int_{\{x~:~V(x)< b\}}V(x)v_{n}^{2}{\rm d}x\\ &\geq&b\bigg(1-\int_{\{x~:~V(x)< b\}} V(x)v_{n}^{2}{\rm d}x\bigg)+o_{n}(1)\\ &\geq&b+o_{n}(1)>0. \end{eqnarray*}$

这与(3.5)式矛盾.

引理3.4 $c_{\lambda}$ 关于 $\lambda$ 一致有界.

证由文献[31,定理2.12], $c_{\lambda}\in[\kappa_{\lambda}, \sup\limits _{u\in Q}I _{\lambda} (u)]$ ,我们只需证明 $\sup\limits _{u\in Q}I _{\lambda} (u)$ 有与 $\lambda$ 无关的正上界.设

$J_{\lambda}(u):=\frac{1}{2}a_{\lambda}(u, u)+\frac{1}{2}\int_{{\Bbb R}^{N}}V_{0}(x)u^{2}{\rm d}x-C_{1}\int_{\Omega}|u|^{q}{\rm d}x, ~~u\in E_{\lambda}.$

显然, $I_{\lambda}(u)\leq J_{\lambda}(u)$ .

任给 $\eta>0$ ,存在 $r_{\eta}>0$ ,使得

$\begin{eqnarray*}\left\{\begin{array}{ll}C_{ 1}|u|^{q}\geq \frac{1}{2}\eta u^{2}, ~~~&|u|\geq r_{\eta}, \\[3mm]C_{1}|u|^{q}\leq \frac{1}{2}\eta u^{2}, ~~~&|u|\leq r_{\eta}.\end{array}\right.\end{eqnarray*}$

设 $u=v+w\in\hat{E}_{\lambda}\oplus Re_{0}$ .我们得

$\begin{eqnarray}\label{eq3.6} \nonumber J_{\lambda}(u)&\leq& \frac{1}{2}\int_{{\Bbb R}^{N}}|(-\Delta)^{\frac{s}{2}}w|^{2}{\rm d}x+\frac{1}{2}\int_{{\Bbb R}^{N}}V_{0}(x)u^{2}{\rm d}x -\frac{1}{2}\eta\int_{\Omega}u^{2}{\rm d}x \\ \nonumber&& +\int_{\{x\in\Omega~:~|u(x)|\leq r_{\eta}\}}\bigg(\frac{1}{2}\eta u^{2}-C_{1}|u|^{q}\bigg){\rm d}x\\ &\leq&\frac{1}{2}\int_{{\Bbb R}^{N}}|(-\Delta)^{\frac{s}{2}}w|^{2}{\rm d}x+C\|V_{0}\|_{L^{\infty}}\|u\|^{2}_{\lambda}-\frac{\eta}{2}\int_{\Omega}u^{2}{\rm d}x+C(\eta). \end{eqnarray}$

(3.6)

由于 $e_{0}\in C_{0}^{\infty}(\Omega)$ ,故

$\begin{equation}\label{eq3.7} \int_{{\Bbb R}^{N}}|(-\Delta)^{\frac{s}{2}}w|^{2}{\rm d}x =a_{\lambda}(u, w)=\int_{\Omega}u(-\Delta)^{s}w{\rm d}x\leq\|(-\Delta)^{s}w \|_{L^{2}(\Omega)}\|u\|_{L^{2}(\Omega)}.\end{equation}$

(3.7)

让 $(\varphi_{k}, \mu_{k})$ 为 $-\Delta$ 在 $\Omega$ 中带有Dirichlet边界条件的特征函数和特征值.根据文献[2,引理3.4,引理3.5],我们得

$\|(-\Delta)^{s}w\|_{L^{2}(\Omega)}=(\Sigma_{k=1}^{\infty}a^{2}_{k}\mu^{s}_{k})^{\frac{1}{2}}<\infty,$

(3.8)

其中 $a_{k}=\int_{\Omega}w\varphi_{k}{\rm d}x$ .由 $0<\mu_{1}\leq\mu_{2}\cdot\cdot\cdot\leq\mu_{k}\cdot\cdot\cdot$ 和 $\mu_{k}\rightarrow\infty$ ,我们有

$\|(-\Delta)^{\frac{s}{2}}w\|_{L^{2}(\Omega)}=(\Sigma_{k=1}^{\infty}a^{2}_{k}\mu^{\frac{s}{2}}_{k})^{\frac{1}{2}}<\infty.$

(3.9)

因此 $\|(-\Delta)^{s}w\|_{L^{2}(\Omega)}\leq C_{0}\|(-\Delta)^{\frac{s}{2}}w\|_{L^{2}(\Omega)}$ ( $C_{0}$ 只依赖于 $e_{0}$ ).注意到(3.7)-(3.9)式,结合Young不等式,易证

$\int_{{\Bbb R}^{N}}|(-\Delta)^{\frac{s}{2}}w|^{2}{\rm d}x\leq \frac{2}{\eta}C^{2}_{0}\|(-\Delta)^{\frac{s}{2}}w\|^{2}_{L^{2}(\Omega)}+\frac{\eta}{2}\|u\|^{2}_{L^{2}(\Omega)}.$

(3.10)

让 $\eta\geq4C_{0}^{2}$ ,则 $\int_{{\Bbb R}^{N}}|(-\Delta)^{\frac{s}{2}}w|^{2}{\rm d}x\leq\eta\|u\|^{2}_{L^{2}(\Omega)}$ .如果 $\|V_{0}\|_{L^{\infty}}\leq\frac{2}{CR_{\lambda}^{2}}$ ,根据(3.6)式,我们有 $J_{\lambda}(u)\leq C(\eta)+1$ .

引理3.5 任给 $M>0$ ,存在 $\Lambda=\Lambda(M)>0$ 使得 $(C)_{c}$ 序列 $\{u_{n}\}$ 满足,在 $E_{\lambda}$ 中, $u_{n} \rightharpoonup u$ ,其中 $u$ 是 $I_{\lambda}$ 的非平凡临界点或者 $I_{\lambda}$ 满足 $(C)_{c}$ 条件如果 $c\leq M$ .

证由引理3.3,在子列意义下,在 $E_{\lambda}$ 中, $u_{n} \rightharpoonup u$ .由于 $V$ 变号,我们需要分为两种情形:

情形(ⅰ) $I_{\lambda}(u)<0$ ;

情形(ⅱ) $I_{\lambda}(u)\geq0$ .

如果(ⅰ)发生,则 $u$ 显然是非平凡解.如果(ii)发生,我们将证明在 $E_{\lambda}$ 中, $u_{n} \rightarrow u$ .事实上,记 $v_{n}=u_{n}-u$ .根据 $(V_{2})$ ,有

$\int_{{\Bbb R}^{N}} v^{2}_{n}{\rm d}x=\int_{\{x~:~V(x)\geq b\}}v^{2}_{n}{\rm d}x+\int_{\{x~:~V(x)< b\}} v_{n}{\rm d}x\leq\frac{1}{\lambda b}\|v_{n}\|^{2}_{\lambda}+o_{n}(1).$

(3.11)

这样我们利用内插不等式和Sobolev不等式得

$|v_{n}|_{p}\leq|v_{n}|^{\sigma}_{2}|v_{n}|^{1-\sigma}_{2^{\ast}_{s}}\leq d|v_{n}|^{\sigma}_{2}|(-\Delta)^{\frac{1}{2}}v_{n}|_{2}^{1-\sigma} \leq d(\lambda b)^{-\frac{\sigma}{2}}\|v_{n}\|_{\lambda}+o_{n}(1),$

(3.12)

其中 $0<\sigma<1$ 并且常数 $d$ 与 $\lambda$ 无关.根据Brézis-Lieb引理我们得

$I_{\lambda}(v_{n})=I_{\lambda}(u_{n})-I_{\lambda}(u)+o_{n}(1), ~~~I_{\lambda}'(v_{n})=I_{\lambda}'(u_{n})+o_{n}(1).$

(3.13)

简单计算易知

$\begin{eqnarray}\label{eq3.14} \nonumber \bigg(\frac{1}{q}-\frac{1}{p}\bigg)\int_{{\Bbb R}^{N}}P(x)|v_{n}|^{p}{\rm d}x&\leq&I_{\lambda}(v_{n})-\frac{1}{q}\langle I'_{\lambda}(v_{n}), v_{n}\rangle\\ \nonumber &=& c-I_{\lambda}(u)+o_{n}(1)\\ \nonumber &\leq&M+o_{n}(1).\end{eqnarray}$

因此

$|v_{n}|^{p}_{p}\leq\frac{Mpq}{P_{0}(p-q)}+o_{n}(1).$

(3.14)

注意到条件 $(Q)$ 和 $\int_{{\Bbb R}^{N}}\lambda V^{-}(x)v^{2}_{n}{\rm d}x=o_{n}(1)$ ,结合(3.11)-(3.14)式,我们得

$\begin{eqnarray}\label{eq3.16} \nonumber o_{n}(1)&=&\langle I_{\lambda}'(v_{n}), v_{n}\rangle\geq \|v_{n}\|^{2}_{\lambda}-C_{1}|v_{n}|^{p}_{p}+o_{n}(1)\\ &\geq& \bigg(1-C_{1}\bigg(\frac{Mpq}{P_{0}(p-q)}\bigg)^{\frac{p-2}{p}}\frac{d^{2}}{(\lambda b)^{\sigma}}\bigg)\|v_{n}\|^{2}_{\lambda}+o_{n}(1).\end{eqnarray}$

(3.15)

选择 $\lambda$ 充分大,我们得在 $E_{\lambda}$ 中 $v_{n}\rightarrow0$ .

4 定理1.2的证明

根据定理1.2的假设,我们知 $I_{\lambda}$ 具有山路几何结构.借用文献[25,定理2.2], $I_{\lambda}$ 存在一个 $(C)_{c}$ 序列.注意到 $\hat{E_{\lambda}}=\{0\}$ ,其不影响引理3.3至引理3.5的结果.类似于引理3.3至引理3.5,当 $\lambda$ 充分大时,我们获得 $I_{\lambda}$ 有一个非平凡临界点 $u_{\lambda}$ 并且 $I_{\lambda}(u_{\lambda})\in[\kappa_{\lambda}, C_{0}]$ ,其中 $\kappa_{\lambda}\geq0$ 依赖于 $\lambda$ 但 $C_{0}$ 与 $\lambda$ 无关.记 $u_{n}:=u_{\lambda_{n}}$ .

步骤1 我们首先证明 $\{u_{n}\}$ 在 $E$ 中有界.直接计算我们得

$c_{\lambda_{n}}=I_{\lambda_{n}}(u_{n})-\frac{1}{q}\langle I'_{\lambda_{n}}(u_{n}), u_{n}\rangle \geq \bigg(\frac{1}{2}-\frac{1}{q}\bigg)\|u_{n}\|_{\lambda_{n}}^{2}.$

(4.1)

由(4.1)式知 $\{u_{n}\}$ 在 $E$ 中有界.在子列意义下,我们设在 $E$ 中 $u_{n}\rightharpoonup \bar{u}$ .

步骤2 $\bar{u}$ 是方程(1.4)的弱解.根据Fatou's引理,我们有

$\int_{{\Bbb R}^{N}}V(x)\bar{u}^{2}{\rm d}x\leq\liminf\limits_{n\rightarrow\infty}\int_{{\Bbb R}^{N}}V(x)\bar{u}_{n}^{2}{\rm d}x \leq\liminf\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\|u_{n}\|^{2}_{\lambda_{n}}}{\lambda_{n}}=0.$

(4.2)

因此,注意到 $(V_{3})$ , $\bar{u}=0$ a.e. ${\Bbb R}^{N}\setminus V^{-1}(0)$ , $\bar{u}\in H_{0}^{s}(\Omega)$ .任给 $\varphi\in C_{0}^{\infty}(\Omega)$ , $\langle I'_{\lambda_{n}}(u_{n}), \varphi\rangle =0$ ,易知 $\bar{u}$ 是方程(1.4)的弱解.

步骤3 在 $E$ 中 $u_{n}\rightarrow \bar{u}$ 并且 $\bar{u}\neq0$ .

类似于文献[21, 33]或[34].首先,易证在 $L^{t}({\Bbb R}^{N})$ 中 $u_{n}\rightarrow \bar{u}$ ( $2<t<2^{\ast}_{s}$ ).其次,结合

$\langle I'_{\lambda_{n}}(u_{n}), u_{n}\rangle=0, ~~\langle I'_{\lambda_{n}}(u_{n}), \bar{u}\rangle=0,$

我们得

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\|u_{n}\|^{2}_{\lambda_{n}}= \lim\limits_{n\rightarrow\infty}(u_{n}, \bar{u})_{\lambda_{n}}=\|\bar{u}\|^{2}.$

众所周知

$\|\bar{u}\|^{2}\leq\liminf\limits_{n\rightarrow\infty}\|u_{n}\|^{2}\leq \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\|u_{n}\|^{2}_{\lambda_{n}}.$

因此,在 $E$ 中 $u_{n}\rightarrow \bar{u}$ .最后,当 $n$ 充分大时,有

$\|u_{n}\|^{2}\leq \|u_{n}\|^{2}_{\lambda_{n}}\leq C' \|u_{n}\|^{p}+C'' \|u_{n}\|^{q},$

这蕴含了 $\bar{u}\neq0$ .

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

被引期刊影响因子

[1]

Alves

C O

, Miyagaki

O H

Existence and concentration of solution for a class of fractional elliptic equation in ${{\mathbb{R}}^N}$ via penalization mehtod

Calc Var Partial Differential Equations, 2016, 55: 1- 19

DOI:10.1007/s00526-015-0942-y [本文引用: 1]

[2]

Brändle

, Colorado

, de Pablo

, Sánchez

A concave-convex elliptic problem involving the fractional Laplacian

Proc Roy Soc Edinburgh Sect A, 2013, 143: 39- 71

DOI:10.1017/S0308210511000175 [本文引用: 2]

[3]

Barrios

, Colorado

, de Pablo

, Sánchez

On some critical problems for the fractional Laplacian operator

J Differential Equations, 2012, 252: 6133- 6162

DOI:10.1016/j.jde.2012.02.023 [本文引用: 1]

[4]

Bartsch

, Pankov

, Wang

Z Q

Nonlinear Schrödinger equations with steep potential well

Commun Contemp Math, 2001, 3: 549- 569

DOI:10.1142/S0219199701000494 [本文引用: 1]

[5]

Cheng

Bound state for the fractional Schrödinger equations with unbounded potential

J Math Phys, 2012, 53: 043507

DOI:10.1063/1.3701574 [本文引用: 1]

[6]

Chen

Multiple semiclassical standing waves for fractional nonlinear Schrödinger equations

Nonlinearity, 2015, 28: 927- 949

DOI:10.1088/0951-7715/28/4/927 [本文引用: 1]

[7]

Cabré

, Sire

Nonlinear equations for fractional Laplacians, Ⅰ:Regularity, maximum principles, and Hamiltonian estimates

Ann Inst H Poincaré Anal Non Linéeaire, 2014, 31: 23- 53

DOI:10.1016/j.anihpc.2013.02.001 [本文引用: 1]

[8]

Caffarelli

, Silvestre

An extension problems related to the fractional Laplacian

Comm Partial Differential Equations, 2007, 32: 1245- 1260

DOI:10.1080/03605300600987306 [本文引用: 2]

[9]

Chang

, Wang

Z Q

Nodal and multiple solutions of nonlinear problems involving the fractional Laplacian

J Differential Equations, 2014, 256: 2965- 2992

DOI:10.1016/j.jde.2014.01.027 [本文引用: 2]

[10]

Chen

, Zheng

Concentration phenomena for fractional nonlinear Schrödinger equations

Commun Pure Appl Anal, 2014, 13: 2359- 2376

DOI:10.3934/cpaa [本文引用: 1]

[11]

ó J M

, Miyagaki

O H

, Squassina

Critical and subcritical fractional problems with vanishing potentials

Commun Contemp Math, 2016, 18: 1550063

DOI:10.1142/S0219199715500637 [本文引用: 1]

[12]

Ding

, Szulkin

Bound states for semilinear Schrödinger equations with sign-changing potential

Calc Var Partial Differential Equations, 2007, 29: 397- 419

DOI:10.1007/s00526-006-0071-8 [本文引用: 2]

[13]

Davila

, del Pino

, Wei

Concentrating standing waves for the fractional nonlinear Schrödinger equation

J Differential Equations, 2014, 256: 858- 892

DOI:10.1016/j.jde.2013.10.006 [本文引用: 1]

[14]

Frank

, Lenzman

, Silvestre

Uniqueness of radial solutions for the fractional Laplacian

Commun Pure Appl Anal, 2016, 69: 1671- 1726

DOI:10.1002/cpa.v69.9 [本文引用: 1]

[15]

Fall

, Mahmoudi

, Valdinoci

Ground states and concentration phenomena for the fractional Schrödinger equation

Nonlinearity, 2015, 28: 1937- 1961

DOI:10.1088/0951-7715/28/6/1937 [本文引用: 1]

[16]

Figueiredo

, Sicilinao

A multiplicity results via Ljusternik-schnirelmann category and Morse theory for a fractional Schrödinger equation in RN

Nonlinear Differ Equ Appl, 2016, 23: 1- 22

DOI:10.1007/s00030-016-0354-5

[17]

Guo

, He

Semiclassical states for fractional Schrödinger equations with critical growth

Nonlinear Analysis, 2017, 151: 164- 186

DOI:10.1016/j.na.2016.12.004

[18]

, Zou

Existence and concentration result for the fractional Schrödinger equations with critical nonlinearities

Calc Var Partial Differential Equations, 2016, 55: 1- 39

DOI:10.1007/s00526-015-0942-y [本文引用: 1]

[19]

Jiang

, Zhou

H S

Schrödinger-Poisson system with steep potential well

J Differential Equations, 2011, 251: 582- 608

DOI:10.1016/j.jde.2011.05.006 [本文引用: 1]

[20]

Laskin

Fractional Schrödinger equations

Phys Rev E, 2002, 66: 056108

DOI:10.1103/PhysRevE.66.056108 [本文引用: 2]

[21]

Ledesma

C T

Existence and concentration of solutions for a nonlinear fractional Schrödinger equations with steep potential well

Commun Pure Appl Anal, 2016, 15: 535- 547

DOI:10.3934/cpaa [本文引用: 1]

[22]

陆文端.

微分方程中的的变分法. 北京: 中国科学出版社, 2002

[本文引用: 3]

Variational Methods in Partial Differential Equations. Beijing: Scientific Publishing House in China, 2002

[本文引用: 3]

[23]

Nezza

E D

, Palatucci

, Valdinoci

Hitchhiker's guide to the fractional Sobolev spaces

Bull Sci Math, 2012, 136: 521- 573

DOI:10.1016/j.bulsci.2011.12.004 [本文引用: 1]

[24]

Rudin

Functional Analysis. Beijin: China Machine Press, 2004

[本文引用: 1]

[25]

Rabinowitz

P H

Minimax Methods in Critical Point Theory with Applications to Differential Equations. Providence, RI: Amer Math Soc, 1986

[本文引用: 1]

[26]

Servadei

A critical fractional Laplace equation in resonant case

Topol Methods Nonlinear Anal, 2014, 43: 251- 267

[本文引用: 1]

[27]

Secchi

Ground state solutions for nonlinear fractional Schrödinger equations in ${{\mathbb{R}}^N}$

J Math Phys, 2013, 54: 031501

DOI:10.1063/1.4793990 [本文引用: 1]

[28]

Shang

, Zhang

Ground states for fractional Schrödinger equations with critical growth

Nonlinearity, 2014, 27: 187- 207

DOI:10.1088/0951-7715/27/2/187 [本文引用: 2]

[29]

Shang

, Zhang

, Yang

On fractional Schrödinger equation in ${{\mathbb{R}}^N}$ with critical growth

J Math Phys, 2013, 54: 877- 895

URL [本文引用: 1]

[30]

Teng

Existence of ground state solutions for the nonlinear fractional Schrödinger-Poisson system with critical Sobolev exponent

J Differential Equations, 2016, 261: 3061- 3106

DOI:10.1016/j.jde.2016.05.022 [本文引用: 1]

[31]

Willem

Minimax Theorems. Boston: Birkhäuser Boston Inc, 1996

[本文引用: 2]

[32]

Wang

, Zhou

H S

Ground state for nonlinear Schrödinger equation with sign-changing and vanishing potential

J Math Phys, 2011, 52: 113704

DOI:10.1063/1.3663434 [本文引用: 1]

[33]

Zhao

, Liu

, Zhao

Existence and concentration of solutions for the Schrödinger-Poisson equations with steep well potential

J Differential Equations, 2013, 255: 1- 23

DOI:10.1016/j.jde.2013.03.005 [本文引用: 4]

[34]

Zhang J, Jiang W. Existence and concentration of solutions for a fractional Schrödinger equations with sublinear nonlinearity. 2015, arXiv: 1502.02221v1

[本文引用: 2]

Existence and concentration of solution for a class of fractional elliptic equation in

${{\mathbb{R}}^N}$

via penalization mehtod

2016

... 在量子力学中,当

$\varepsilon\rightarrow0$

,方程(1.3)的解的存在性和集中现象很重要,见文献[1, 6, 10, 13, 15-18, 28-29].如果

$f(x, u)=|u|^{p-2}u$

$\varepsilon^{2s}=\lambda^{-1}, v=\lambda ^{\frac{-1}{p-2}}u$

,方程(1.3)同如下方程等价 ...

A concave-convex elliptic problem involving the fractional Laplacian

2013

... 引起了许多物理学家和数学家的兴趣.对于存在性,唯一性,正则性,渐进衰减性请参看文献[3, 7-8, 11, 14, 27, 28].另外,文献[2, 9, 26]研究了有界区域的分数阶方程.文献[9]研究了结点解.通过

$s$

-调和延拓,文献[8]把非局部问题转化为局部问题. ...

... 让

$(\varphi_{k}, \mu_{k})$

为

$-\Delta$

在

$\Omega$

中带有Dirichlet边界条件的特征函数和特征值.根据文献[2,引理3.4,引理3.5],我们得 ...

On some critical problems for the fractional Laplacian operator

2012

$s$

-调和延拓,文献[8]把非局部问题转化为局部问题. ...

Nonlinear Schr?dinger equations with steep potential well

2001

... 位势

$V(x)$

满足

$(V_{1})-(V_{3})$

被文献[4]中的作者首次称为是深阱位势的.他们研究了非线性Schrödinger方程.我们也可参看文献[12, 32].在文献[19]中,作者研究了深阱位势的Schrödinger-Poisson方程.最近,文献[33]研究了带有变号深势阱位势的Schrödinger-Poisson方程.文献[20]和[34]研究了深阱位势的分数阶Schrödinger方程.但他们要求

$V$

是正的.本文结果不同于文献[33],我们需要重新建立分数阶Schrödinger方程的特征值问题.并且在研究过程中遇到的困难是空间的嵌入缺乏紧性.我们通过证明临界值

$c_{\lambda}$

关于

$\lambda$

一致有界去恢复紧性.我们需要更精细的估计(参看引理3.4).这篇文章最初的想法是研究当

$V$

变号,解的集中现象,然而失败了.我们想证明

$\{u_{\lambda}\}$

在

$E$

中有界,

$V(x)\geq0$

这个条件在(4.1)式中似乎很重要(

$E$

的定义请看第2部分). ...

Bound state for the fractional Schr?dinger equations with unbounded potential

2012

... 因此

$E\hookrightarrow H^{s}({\Bbb R}^{N})$

.众所周知

$H^{s}({\Bbb R}^{N})\hookrightarrow L^{p}({\Bbb R}^{N})$

连续.紧嵌入可由文献[5,引理3.2]得到. ...

Multiple semiclassical standing waves for fractional nonlinear Schr?dinger equations

2015

... 在量子力学中,当

$\varepsilon\rightarrow0$

,方程(1.3)的解的存在性和集中现象很重要,见文献[1, 6, 10, 13, 15-18, 28-29].如果

$f(x, u)=|u|^{p-2}u$

$\varepsilon^{2s}=\lambda^{-1}, v=\lambda ^{\frac{-1}{p-2}}u$

,方程(1.3)同如下方程等价 ...

Nonlinear equations for fractional Laplacians, Ⅰ:Regularity, maximum principles, and Hamiltonian estimates

2014

$s$

-调和延拓,文献[8]把非局部问题转化为局部问题. ...

An extension problems related to the fractional Laplacian

2007

$s$

-调和延拓,文献[8]把非局部问题转化为局部问题. ...

... -调和延拓,文献[8]把非局部问题转化为局部问题. ...

Nodal and multiple solutions of nonlinear problems involving the fractional Laplacian

2014

$s$

-调和延拓,文献[8]把非局部问题转化为局部问题. ...

... ]研究了有界区域的分数阶方程.文献[9]研究了结点解.通过

$s$

-调和延拓,文献[8]把非局部问题转化为局部问题. ...

Concentration phenomena for fractional nonlinear Schr?dinger equations

2014

... 在量子力学中,当

$\varepsilon\rightarrow0$

,方程(1.3)的解的存在性和集中现象很重要,见文献[1, 6, 10, 13, 15-18, 28-29].如果

$f(x, u)=|u|^{p-2}u$

$\varepsilon^{2s}=\lambda^{-1}, v=\lambda ^{\frac{-1}{p-2}}u$

,方程(1.3)同如下方程等价 ...

Critical and subcritical fractional problems with vanishing potentials

2016

$s$

-调和延拓,文献[8]把非局部问题转化为局部问题. ...

Bound states for semilinear Schr?dinger equations with sign-changing potential

2007

... 然而,对于一般的

$f$

(如

$f(x, u)=|u|^{p-2}u+|u|^{q-2}u$

$p\neq q$

),情况是不同的.受到上面提到文献的启发,结合文献[12],本文的主要目标是:研究当位势

$V$

变号,

$\lambda$

充分大时,问题(1.1)解的存在性和集中性.据我们所知,还没有文献研究方程(1.1),

$V$

变号,解的存在性和集中性. ...

... 位势

$V(x)$

满足

$(V_{1})-(V_{3})$

$V$

$c_{\lambda}$

关于

$\lambda$

一致有界去恢复紧性.我们需要更精细的估计(参看引理3.4).这篇文章最初的想法是研究当

$V$

变号,解的集中现象,然而失败了.我们想证明

$\{u_{\lambda}\}$

在

$E$

中有界,

$V(x)\geq0$

这个条件在(4.1)式中似乎很重要(

$E$

的定义请看第2部分). ...

Concentrating standing waves for the fractional nonlinear Schr?dinger equation

2014

... 在量子力学中,当

$\varepsilon\rightarrow0$

,方程(1.3)的解的存在性和集中现象很重要,见文献[1, 6, 10, 13, 15-18, 28-29].如果

$f(x, u)=|u|^{p-2}u$

$\varepsilon^{2s}=\lambda^{-1}, v=\lambda ^{\frac{-1}{p-2}}u$

,方程(1.3)同如下方程等价 ...

Uniqueness of radial solutions for the fractional Laplacian

2016

$s$

-调和延拓,文献[8]把非局部问题转化为局部问题. ...

Ground states and concentration phenomena for the fractional Schr?dinger equation

2015

... 在量子力学中,当

$\varepsilon\rightarrow0$

,方程(1.3)的解的存在性和集中现象很重要,见文献[1, 6, 10, 13, 15-18, 28-29].如果

$f(x, u)=|u|^{p-2}u$

$\varepsilon^{2s}=\lambda^{-1}, v=\lambda ^{\frac{-1}{p-2}}u$

,方程(1.3)同如下方程等价 ...

A multiplicity results via Ljusternik-schnirelmann category and Morse theory for a fractional Schr?dinger equation in RN

2016

Semiclassical states for fractional Schr?dinger equations with critical growth

2017

Existence and concentration result for the fractional Schr?dinger equations with critical nonlinearities

2016

... 在量子力学中,当

$\varepsilon\rightarrow0$

,方程(1.3)的解的存在性和集中现象很重要,见文献[1, 6, 10, 13, 15-18, 28-29].如果

$f(x, u)=|u|^{p-2}u$

$\varepsilon^{2s}=\lambda^{-1}, v=\lambda ^{\frac{-1}{p-2}}u$

,方程(1.3)同如下方程等价 ...

Schr?dinger-Poisson system with steep potential well

2011

... 位势

$V(x)$

满足

$(V_{1})-(V_{3})$

$V$

$c_{\lambda}$

关于

$\lambda$

一致有界去恢复紧性.我们需要更精细的估计(参看引理3.4).这篇文章最初的想法是研究当

$V$

变号,解的集中现象,然而失败了.我们想证明

$\{u_{\lambda}\}$

在

$E$

中有界,

$V(x)\geq0$

这个条件在(4.1)式中似乎很重要(

$E$

的定义请看第2部分). ...

Fractional Schr?dinger equations

2002

... 其中

$\lambda$

是正参数,

$0<s<1$

$N>2s$

$2<q<p<2_{s}^{\ast}$

(

$2_{s}^{\ast}=\frac{2N}{N-2s}$

$(-\Delta)^{s}u$

是分数阶拉普拉斯算子.分数阶拉普拉斯可以理解为稳定的Lévy扩散过程的无穷维算子,其也出现在等离子体中的不规则的扩散,火焰的扩散,液体的化学反应,种群动态.更多的物理背景,请参看文献[20, 23]. ...

... 位势

$V(x)$

满足

$(V_{1})-(V_{3})$

$V$

$c_{\lambda}$

关于

$\lambda$

一致有界去恢复紧性.我们需要更精细的估计(参看引理3.4).这篇文章最初的想法是研究当

$V$

变号,解的集中现象,然而失败了.我们想证明

$\{u_{\lambda}\}$

在

$E$

中有界,

$V(x)\geq0$

这个条件在(4.1)式中似乎很重要(

$E$

的定义请看第2部分). ...

Existence and concentration of solutions for a nonlinear fractional Schr?dinger equations with steep potential well

2016

... 类似于文献[21, 33]或[34].首先,易证在

$L^{t}({\Bbb R}^{N})$

中

$u_{n}\rightarrow \bar{u}$

(

$2<t<2^{\ast}_{s}$

).其次,结合 ...

2002

... 证证明类似于文献[22, p74].不同之处在于

$M$

不是全空间,但很幸运

$M$

是凸闭的.设

$\{u_{k}\}\subset M$

是极小化序列.由于

$M$

是凸闭的,存在

$u\in M$

使得在

$E_{\lambda}$

中,

$u_{k}\rightharpoonup u$

.结合引理2.1嵌入的紧性,类似于文献[22]的证明易知结论成立. ...

... .结合引理2.1嵌入的紧性,类似于文献[22]的证明易知结论成立. ...

... 类似于文献[22, p80],

$\lambda>0$

固定,我们定义

$\alpha_{j}(\lambda)$

$(j=2, 3, \cdots ).$

我们有如下性质. ...

2002

... 证证明类似于文献[22, p74].不同之处在于

$M$

不是全空间,但很幸运

$M$

是凸闭的.设

$\{u_{k}\}\subset M$

是极小化序列.由于

$M$

是凸闭的,存在

$u\in M$

使得在

$E_{\lambda}$

中,

$u_{k}\rightharpoonup u$

.结合引理2.1嵌入的紧性,类似于文献[22]的证明易知结论成立. ...

... .结合引理2.1嵌入的紧性,类似于文献[22]的证明易知结论成立. ...

... 类似于文献[22, p80],

$\lambda>0$

固定,我们定义

$\alpha_{j}(\lambda)$

$(j=2, 3, \cdots ).$

我们有如下性质. ...

Hitchhiker's guide to the fractional Sobolev spaces

2012

... 其中

$\lambda$

是正参数,

$0<s<1$

$N>2s$

$2<q<p<2_{s}^{\ast}$

(

$2_{s}^{\ast}=\frac{2N}{N-2s}$

$(-\Delta)^{s}u$

2004

... 即

$F$

是

$D$

在范数

$\|\cdot\|_{\lambda}$

的完备化.根据文献[24,定理12.4],存在闭子空间

$M$

使得

$E_{\lambda}=F\oplus M$

.如果

$V(x)\geq0$

,则

$E=F$

.我们可以直接跳到第4部分. ...

1986

... 根据定理1.2的假设,我们知

$I_{\lambda}$

具有山路几何结构.借用文献[25,定理2.2],

$I_{\lambda}$

存在一个

$(C)_{c}$

序列.注意到

$\hat{E_{\lambda}}=\{0\}$

,其不影响引理3.3至引理3.5的结果.类似于引理3.3至引理3.5,当

$\lambda$

充分大时,我们获得

$I_{\lambda}$

有一个非平凡临界点

$u_{\lambda}$

并且

$I_{\lambda}(u_{\lambda})\in[\kappa_{\lambda}, C_{0}]$

,其中

$\kappa_{\lambda}\geq0$

依赖于

$\lambda$

但

$C_{0}$

与

$\lambda$

无关.记

$u_{n}:=u_{\lambda_{n}}$

. ...

A critical fractional Laplace equation in resonant case

2014

$s$

-调和延拓,文献[8]把非局部问题转化为局部问题. ...

Ground state solutions for nonlinear fractional Schr?dinger equations in

${{\mathbb{R}}^N}$

2013

$s$

-调和延拓,文献[8]把非局部问题转化为局部问题. ...

Ground states for fractional Schr?dinger equations with critical growth

2014

$s$

-调和延拓,文献[8]把非局部问题转化为局部问题. ...

... 在量子力学中,当

$\varepsilon\rightarrow0$

,方程(1.3)的解的存在性和集中现象很重要,见文献[1, 6, 10, 13, 15-18, 28-29].如果

$f(x, u)=|u|^{p-2}u$

$\varepsilon^{2s}=\lambda^{-1}, v=\lambda ^{\frac{-1}{p-2}}u$

,方程(1.3)同如下方程等价 ...

On fractional Schr?dinger equation in

${{\mathbb{R}}^N}$

with critical growth

2013

... 在量子力学中,当

$\varepsilon\rightarrow0$

,方程(1.3)的解的存在性和集中现象很重要,见文献[1, 6, 10, 13, 15-18, 28-29].如果

$f(x, u)=|u|^{p-2}u$

$\varepsilon^{2s}=\lambda^{-1}, v=\lambda ^{\frac{-1}{p-2}}u$

,方程(1.3)同如下方程等价 ...

Existence of ground state solutions for the nonlinear fractional Schr?dinger-Poisson system with critical Sobolev exponent

2016

... 由Hölder不等式和文献[30]中式子

$(4)$

,结合

$|B(R)|<\infty$

,我们得 ...

1996

... 我们将证明

$I_{\lambda}$

满足环绕定理^{[31,定理2.12]}中的环绕几何结构和

$(C)_{c}$

条件. ...

... 证由文献[31,定理2.12],

$c_{\lambda}\in[\kappa_{\lambda}, \sup\limits _{u\in Q}I _{\lambda} (u)]$

,我们只需证明

$\sup\limits _{u\in Q}I _{\lambda} (u)$

有与

$\lambda$

无关的正上界.设 ...

Ground state for nonlinear Schr?dinger equation with sign-changing and vanishing potential

2011

... 位势

$V(x)$

满足

$(V_{1})-(V_{3})$

$V$

$c_{\lambda}$

关于

$\lambda$

一致有界去恢复紧性.我们需要更精细的估计(参看引理3.4).这篇文章最初的想法是研究当

$V$

变号,解的集中现象,然而失败了.我们想证明

$\{u_{\lambda}\}$

在

$E$

中有界,

$V(x)\geq0$

这个条件在(4.1)式中似乎很重要(

$E$

的定义请看第2部分). ...

Existence and concentration of solutions for the Schr?dinger-Poisson equations with steep well potential

2013

... 位势

$V(x)$

满足

$(V_{1})-(V_{3})$

$V$

$c_{\lambda}$

关于

$\lambda$

一致有界去恢复紧性.我们需要更精细的估计(参看引理3.4).这篇文章最初的想法是研究当

$V$

变号,解的集中现象,然而失败了.我们想证明

$\{u_{\lambda}\}$

在

$E$

中有界,

$V(x)\geq0$

这个条件在(4.1)式中似乎很重要(

$E$

的定义请看第2部分). ...

... 是正的.本文结果不同于文献[33],我们需要重新建立分数阶Schrödinger方程的特征值问题.并且在研究过程中遇到的困难是空间的嵌入缺乏紧性.我们通过证明临界值

$c_{\lambda}$

关于

$\lambda$

一致有界去恢复紧性.我们需要更精细的估计(参看引理3.4).这篇文章最初的想法是研究当

$V$

变号,解的集中现象,然而失败了.我们想证明

$\{u_{\lambda}\}$

在

$E$

中有界,

$V(x)\geq0$

这个条件在(4.1)式中似乎很重要(

$E$

的定义请看第2部分). ...

... 是不定的.沿用文献[33]的想法,记 ...

... 类似于文献[21, 33]或[34].首先,易证在

$L^{t}({\Bbb R}^{N})$

中

$u_{n}\rightarrow \bar{u}$

(

$2<t<2^{\ast}_{s}$

).其次,结合 ...

... 位势

$V(x)$

满足

$(V_{1})-(V_{3})$

$V$

$c_{\lambda}$

关于

$\lambda$

一致有界去恢复紧性.我们需要更精细的估计(参看引理3.4).这篇文章最初的想法是研究当

$V$

变号,解的集中现象,然而失败了.我们想证明

$\{u_{\lambda}\}$

在

$E$

中有界,

$V(x)\geq0$

这个条件在(4.1)式中似乎很重要(

$E$

的定义请看第2部分). ...

... 类似于文献[21, 33]或[34].首先,易证在

$L^{t}({\Bbb R}^{N})$

中

$u_{n}\rightarrow \bar{u}$

(

$2<t<2^{\ast}_{s}$

).其次,结合 ...

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