图1

(a) 为方程 (1.4) 的周期解, 参数如下: $ k_1 =12 $, $ k_2 =12 $, $ d =1 $, $ u_1=-3 $, $ u_2 =-2 $, $ u_4 =2 $. (b) 为 (a) 在 $ t=0 $ 时的截面图. (c) 为非线性振荡方程 $ \mathcal{Z}( u) $ 的构型, 其中 $ u $ 在 $ u_1\le u\le u_2 $ 的区域内振荡. (d) 为 (a) 的数值模拟验证."

图2

(a) 为方程 (1.4) 的线性谐波解, 参数如下: $ k_1 =12 $, $ k_2 =6 $, $ d =1 $, $ u_1=-2.02 $, $ u_2 =-2 $, $ u_3 =-1 $. (b) 为 (a) 在 $ t=0 $ 时的截面图. (c) 为非线性振荡方程 $ \mathcal{Z}( u) $ 的构型, 其中 $ u $ 在 $ u_1\le u\le u_2 $ 的区域内振荡. (d) 为 (a) 的数值模拟验证."

图3

(a) 为方程 (1.4) 的非线性三角波解, 参数如下: $ k_1 =12 $, $ k_2 =3 $, $ d =1 $, $ u_1=-4 $, $ u_2 =-2 $, $ u_3 =-1 $. (b) 为 (a) 在 $ t=0 $ 时的截面图. (c) 为非线性振荡方程 $ \mathcal{Z}( u) $ 的构型, 其中 $ u $ 在 $ u_1\le u\le u_2 $ 的区域内振荡. (d) 为 (a) 的数值模拟验证."

图4

(a) 为方程 (1.4) 的线性谐波解, 参数如下: $ k_1 =12 $, $ k_2 =3 $, $ d =1 $, $ u_1=-3.01 $, $ u_2 =-2.99 $, $ u_3 =-1 $. (b) 为 (a) 在 $ t=0 $ 时的截面图. (c) 为 (a) 的数值模拟验证."

图5

(a) 为方程 (1.4) 的暗代数孤子解, 参数如下: $ k_1 =6 $, $ k_2 =3 $, $ d =1 $, $ u_1=-4 $, $ u_2 =0 $. (b) 为 (a) 在 $ t=0 $ 时的截面图. (c) 为非线性振荡方程 $ \mathcal{Z}( u) $ 的构型, 其中 $ u $ 在 $ u_1\le u\le u_2 $ 的区域内振荡. (d) 为 (a) 的数值模拟验证."

图6

(a) 为方程 (1.4) 的暗孤子解, 参数如下: $ k_1 =12 $, $ k_2 =3 $, $ d =1 $, $ u_1=-3 $, $ u_2 =-2 $, $ u_4 =-1 $. (b) 为 (a) 在 $ t=0 $ 时的截面图. (c) 为非线性振荡方程 $ \mathcal{Z}( u) $ 的构型, 其中 $ u $ 在 $ u_1\le u\le u_2 $ 的区域内振荡. (d) 为 (a) 的数值模拟验证."

图7

(a) 为方程 (1.4) 的周期解, 参数如下: $ k_1 =3 $, $ k_2 =1 $, $ d =5 $, $ u_1=-6 $, $ u_2 =-4 $, $ u_3 =1 $. (b) 为 (a) 在 $ t=0 $ 时的截面图. (c) 为非线性振荡方程 $ \mathcal{Z}( u) $ 的构型, 其中 $ u $ 在 $ u_3\le u\le u_4 $ 的区域内振荡. (d) 为 (a) 的数值模拟验证."

图8

(a) 为方程 (1.4) 的线性谐波解, 参数如下: $ k_1 =12 $, $ k_2 =2 $, $ d =1 $, $ u_2=-3 $, $ u_3 =-2 $, $ u_4 =-1.98 $. (b) 为 (a) 在 $ t=0 $ 时的截面图. (c) 为非线性振荡方程 $ \mathcal{Z}( u) $ 的构型, 其中 $ u $ 在 $ u_3\le u\le u_4 $ 的区域内振荡. (d) 为 (a) 的数值模拟验证."

图9

(a) 为方程 (1.4) 的非线性三角波解, 参数如下: $ k_1 =4 $, $ k_2 =6 $, $ d =8 $, $ u_1=-3 $, $ u_3 =\frac{1}{2} $, $ u_4 =\frac{25}{6} $. (b) 为 (a) 在 $ t=0 $ 时的截面图. (c) 为非线性振荡方程 $ \mathcal{Z}( u) $ 的构型, 其中 $ u $ 在 $ u_3\le u\le u_4 $ 的区域内振荡. (d) 为 (a) 的数值模拟验证."

图10

(a) 为方程 (1.4) 的线性谐波解, 参数如下: $ k_1 =12 $, $ k_2 =6 $, $ d =10 $, $ u_1=-3 $, $ u_3 =0.99 $, $ u_4 =1.01 $. (b) 为 (a) 在 $ t=0 $ 时的截面图. (c) 为 (a) 的数值模拟验证."

图11

(a) 为方程 (1.4) 的亮代数孤子解, 参数如下: $ k_1 =6 $, $ k_2 =2 $, $ d =-15 $, $ u_1=-2 $, $ u_4 =0 $. (b) 为 (a) 在 $ t=0 $ 时的截面图. (c) 为非线性振荡方程 $ \mathcal{Z}( u) $ 的构型, 其中 $ u $ 在 $ u_3\le u\le u_4 $ 的区域内振荡. (d) 为 (a) 的数值模拟验证."

图12

(a) 为方程 (1.4) 的亮孤子解, 参数如下: $ k_1 =12 $, $ k_2 =3 $, $ d =-30 $, $ u_1=-3 $, $ u_2 =-2 $, $ u_4 =-1 $. (b) 为 (a) 在 $ t=0 $ 时的截面图. (c) 为非线性振荡方程 $ \mathcal{Z}( u) $ 的构型, 其中 $ u $ 在 $ u_3\le u\le u_4 $ 的区域内振荡. (d) 为 (a) 的数值模拟验证."

图13

(a) 为方程 (1.4) 的周期解, 参数如下: $ k_1 =12 $, $ k_2 =-2 $, $ d =1 $, $ u_2=3 $, $ u_3 =3.5 $, $ u_4 =4.5 $. (b) 为 (a) 在 $ t=0 $ 时的截面图. (c) 为非线性振荡方程 $ \mathcal{Z}( u) $ 的构型, 其中 $ u $ 在 $ u_2\le u\le u_3 $ 的区域内振荡. (d) 为 (a) 的数值模拟验证."

图14

(a) 为方程 (1.4) 的线性谐波解, 参数如下: $ k_1 =4 $, $ k_2 =-2 $, $ d =-15 $, $ u_1=-3.02 $, $ u_2=2 $, $ u_4 =3 $. (b) 为 (a) 在 $ t=0 $ 时的截面图. (c) 为非线性振荡方程 $ \mathcal{Z}( u) $ 的构型, 其中 $ u $ 在 $ u_2\le u\le u_3 $ 的区域内振荡. (d) 为 (a) 的数值模拟验证."

图15

(a) 为方程 (1.4) 的亮孤子解, 参数如下: $ k_1 =12 $, $ k_2 =-2 $, $ d =-4 $, $ u_1=1 $, $ u_3 =3.5 $, $ u_4 =6.5 $. (b) 为 (a) 在 $ t=0 $ 时的截面图. (c) 为非线性振荡方程 $ \mathcal{Z}( u) $ 的构型, 其中 $ u $ 在 $ u_2\le u\le u_3 $ 的区域内振荡. (d) 为 (a) 的数值模拟验证."

图16

(a) 为方程 (1.4) 的桌面孤子解, 参数如下: $ k_1 =12 $, $ k_2 =-2 $, $ d =20 $, $ u_1=1 $, $ u_3 =4.99 $, $ u_4 =5.01 $. (b) 为 (a) 在 $ t=0 $ 时的截面图. (c) 为 (a) 的数值模拟验证."

图17

(a) 为方程 (1.4) 的暗孤子解, 参数如下: $ k_1 =6 $, $ k_2 =-2 $, $ d =1 $, $ u_1=-2 $, $ u_2 =2 $, $ u_4 =3.01 $. (b) 为 (a) 在 $ t=0 $ 时的截面图. (c) 为非线性振荡方程 $ \mathcal{Z}( u) $ 的构型, 其中 $ u $ 在 $ u_2\le u\le u_3 $ 的区域内振荡. (d) 为 (a) 的数值模拟验证."

图18

(a) 为方程 (1.4) 的桌面孤子解, 参数如下: $ k_1 =6 $, $ k_2 =-2 $, $ d =1 $, $ u_1=0.99 $, $ u_2 =1.01 $, $ u_4 =2.01 $. (b) 为 (a) 在 $ t=0 $ 时的截面图. (c) 为 (a) 的数值模拟验证."

图19

(a) 为方程 (1.4) 的反向扭结解, 参数如下: $ k_1 =12 $, $ k_2 =-2 $, $ d =1 $, $ u_1=1 $, $ u_4 =5 $. (b) 为 (a) 在 $ t=0 $ 时的截面图. (c) 为非线性振荡方程$ \mathcal{Z}( u) $ 的构型, 其中 $ u $ 在 $ u_2\le u\le u_3 $ 的区域内振荡. (d) 为 (a) 的数值模拟验证."

图20

方程 (1.4) 的阶跃初值条件"

图21

(a) 和 (b) 是通过数值模拟得到的方程 (1.4) 的初始不连续性的演化. (c) 和 (d) 分别是 (a) 和 (b) 的密度图, 参数如下: (a) $ k_1 =8 $, $ k_2 =2 $, $ d =2 $, $ u^+ =-7 $, $ u^- =-3 $, (b) $ k_1 =6 $, $ k_2 =-1 $, $ d =-6.5 $, $ u^+ =4 $, $ u^- =5 $."

图22

正向与反向稀疏波, 参数如下: $ k_1 =6 $, $ k_2 =-1 $, $ d =1 $, $ -\frac{k_1}{2k_2}=3 $, $ u_{1}^{-} =-2 $, $ u_{1}^{+} =2 $, $ u_{2}^{-} =8 $, $ u_{2}^{+} =4 $."

图23

(a) 是方程(3.18)的调制周期解, 也称为色散冲击波解. (b) 是 (a) 在$ t=10 $ 时的截面图. (c) 是黎曼不变量 $ r_i $ 在色散冲击波调制解中的演化行为, 参数如下: $ k_1 =6 $, $ k_2 =-3 $, $ d =1 $, $ u^- =1 $, $ u^+ =\frac{1}{2}( 3-\sqrt{5}) $, $ r^+ =\frac{1}{2} $, $ r^- =1 $, 其中虚线分别表示色散冲击波的后沿和前沿."

图24

$ t=0 $ 时方程 (1.4) 的正向和反向扭结, 参数如下: $ k_1 =12 $, $ k_2 =-2 $, $ d =1 $, $ u_{1}^{-} =4 $, $ u_{1}^{+} =2 $, $ u_{2}^{-} =2 $, $ u_{2}^{+} =4 $."

图25

$ k_2<0 $ 时阶跃问题解的参数平面图"

表1

$ k_2<0 $ 情况下阶跃问题的解的分类"

图26

$ k_2<0 $ 情况下 $ u^- $, $ u^+ $ 和 $ u^* $ 在区域 1 $ \sim $ 区域 8 的位置分布图"

图27

方程 (1.4) 在区域 1 的初始不连续演化行为, 其中虚线分别代表边界 $ x^-=\tau ^-t $ 与 $ x^+=\tau ^+t $. (a) 为色散冲击波调制解中黎曼不变量 $ r_i $ 的演化行为. (b) 为方程 (1.4) 的解析解. (c) 为方程 (1.4) 的数值模拟结果, 参数如下: $ k_1 =2 $, $ k_2 =-1 $, $ d =2 $, $ u^+ =-2 $, $ u^- =-1 $. 图中显示的是 $ t = 30 $ 时的情况."

图28

方程 (1.4) 在区域 2 中初始不连续的演化行为, 其中虚线分别代表边界 $ x^-=\tau ^-t $, $ x^+=\tau ^+t $ 和 $ x^*=\tau ^*t $. (a), (c), (e), (g) 和 (i) 为方程 (1.4) 的解析解. (b), (d), (f), (h) 和 (j) 为方程 (1.4) 的数值模拟结果, 参数如下: $ k_1 =6 $, $ k_2 =-3 $, $ d =15 $, $ u^+ =-1 $, $ u^* =3 $, (a) $ u^- =1 $, (c) $ u^- =\frac{7}{5} $, (e) $ u^- =2 $, (g) $ u^-=\frac{5}{2} $, (i) $ u^-=\frac{29}{10} $. 图中显示的是 $ t = 10 $ 时的情况."

图29

方程 (1.4) 在区域 3 与区域 4 中初始不连续的演化行为, 其中虚线分别代表边界 $ x^-=\tau ^-t $, $ x^+=\tau ^+t $ 和 $ x^*=\tau ^*t $. (a), (c), (e), (g) 和 (i) 为方程 (1.4) 的解析解. (b), (d), (f), (h) 和 (j) 为方程 (1.4) 的数值模拟结果, 参数如下: $ k_1 =6 $, $ k_2 =-1 $, $ d =10 $, $ u^- =5 $, (a) $ u^+ =\frac{11}{10} $, (c) $ u^+ =2 $, (e) $ u^+=\frac{5}{2} $, (g) $ u^+ =3 $, (i) $ u^+ =4 $. 图中显示的是 $ t = 90 $ 时的情况."

图30

方程 (1.4) 在区域 5 $ \sim $ 区域 8 中初始不连续的演化行为, 其中虚线分别代表边界 $ x^-=\tau ^-t $, $ x^+=\tau ^+t $ 和 $ x^*=\tau ^*t $. (a), (c), (e), (g) 和 (i) 为方程 (1.4) 的解析解. (b), (d), (f), (h) 和 (j) 为方程 (1.4) 的数值模拟结果, 参数如下: (a) $ k_1 =12 $, $ k_2 =-1 $, $ d =-30 $, $ u^- =9 $, $ u^+ =11 $, (c) $ k_1 =2 $, $ k_2 =-\frac{1}{2} $, $ d =-\frac{3}{2} $, $ u^- =1 $, $ u^+ =4 $, (e) $ k_1 =3 $, $ k_2 =-1 $, $ d =-1 $, $ u^- =-1 $, $ u^+ =3 $, (g) $ k_1 =3 $, $ k_2 =-1 $, $ d =-1 $, $ u^- =-1 $, $ u^+ =2 $, (i) $ k_1 =3 $, $ k_2 =-1 $, $ d =-1 $, $ u^- =-1 $, $ u^+ =0 $. 图中分别显示的是 $ t = 3, 100, 70, 70, 70 $ 时的情况."

图31

正向和反向稀疏波, 参数如下: $ k_1 =6 $, $ k_2 =1 $, $ d =1 $, $ -\frac{k_1}{2k_2}=-3 $, $ u_{1}^{-} =-2 $, $ u_{1}^{+} =-1 $, $ u_{2}^{-} =-4 $, $ u_{2}^{+} =-5 $."

图32

三角色散冲击波和色散冲击波复合解中的黎曼不变量 $ r_i $ 的演化行为"

图33

(a) 和 (b) 为正向和反向三角色散冲击波的黎曼不变量 $ R_i $ 的演化行为, 参数如下: $ k_1=4 $, $ k_2 =1 $, $ d =9 $, $ \tau ^-=-4 $, $ \tau ^+=14 $, (a) $ u^- =1 $, $ u^+=-5 $, (b) $ u^- =-5 $, $ u^+=1 $. (c) 为正向三角色散冲击波的调制周期解, 参数如下: $ k_1=4 $, $ k_2 =1 $, $ d =9 $, $ u^- =1 $, $ u^+=-5 $, $ x^-=-12 $, $ x^+=42 $. (d) 为 (c) 在 $ t=3 $ 时的截面图. 图中虚线分别表示后沿与前沿."

图34

正向和反向色散冲击波黎曼不变量 $ R_i $ 的演化行为, 参数如下: $ k_1 =8 $, $ k_2 =2 $, $ d =2 $, $ -\frac{k_1}{2k_2}=-2 $, $ u_{1}^{-} =3 $, $ u_{1}^{+} =-1 $, $ u_{2}^{-} =-7 $, $ u_{2}^{+} =-3 $. 图中显示的是 $ t = 5 $ 时的情况."

图35

$ k_2>0 $ 时阶跃问题解的参数平面图"

表2

$ k_2>0 $ 情况下阶跃问题的解的分类"

图36

$ k_2>0 $ 情况下 $ u^- $, $ u^+ $ 和 $ u^* $ 在区域 1 $ \sim $ 区域 8 的位置分布图."

图37

区域 2 $ \sim $ 区域 4 黎曼不变量 $ R_i $ 的解析解, 参数如下: (a) $ k_1 =12 $, $ k_2 =4 $, $ d =4 $, $ u^- =1 $, $ u^+ =-6 $, (b) $ k_1 =6 $, $ k_2 =3 $, $ d =8 $, $ u^- =1 $, $ u^+ =-2 $, (c) $ k_1 =8 $, $ k_2 =2 $, $ d =2 $, $ u^- =3 $, $ u^+ =-1 $. 图中分别显示的是 $ t = 1, 5, \frac{1}{2} $ 时的情况."

图38

方程 (1.4) 在区域 1 $ \sim $ 区域 4 中初始不连续的演化行为, 其中虚线分别代表边界$ x^-=\tau ^-t, x^+=\tau ^+t $ 和 $ x^*=\tau ^*t $. (a), (c), (e) 和 (g) 为方程 (1.4) 的解析解. (b), (d), (f) 和 (h) 为方程 (1.4) 的数值模拟结果, 参数如下: (a) $ k_1 =8 $, $ k_2 =4 $, $ d =-5 $, $ u^- =-2 $, $ u^+ =-5 $, (c) $ k_1 =12 $, $ k_2 =4 $, $ d =4 $, $ u^- =1 $, $ u^+ =-6 $, (e) $ k_1 =6 $, $ k_2 =3 $, $ d =8 $, $ u^- =1 $, $ u^+ =-2 $, (g) $ k_1 =8 $, $ k_2 =2 $, $ d =2 $, $ u^- =3 $, $ u^+ =-1 $. 图中分别显示的是 $ t = 10, 1, 5, \frac{1}{2} $ 时的情况."

图39

区域 6 $ \sim $ 区域8黎曼不变量 $ R_i $ 的解析解, 参数如下: (a) $ k_1 =2 $, $ k_2 =1 $, $ d =-2 $, $ u^- =-2 $, $ u^+ =1 $, (b) $ k_1 =8 $, $ k_2 =4 $, $ d =8 $, $ u^- =-5 $, $ u^+ =1 $, (c) $ k_1 =8 $, $ k_2 =2 $, $ d =2 $, $ u^- =-7 $, $ u^+ =-3 $. 图中分别显示的是 $ t = 80, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} $ 时的情况."

图40

方程 (1.4) 在区域 5 $ \sim $ 区域8中初始不连续的演化行为, 其中虚线分别代表边界 $ x^-=\tau ^-t $, $ x^+=\tau ^+t $ 和 $ x^*=\tau ^*t $. (a), (c), (e) 和 (g) 为方程 (1.4) 的解析解. (b), (d), (f) 和 (h) 为方程 (1.4) 的数值模拟结果, 参数如下: (a) $ k_1 =16 $, $ k_2 =2 $, $ d =-6 $, $ u^- =-3 $, $ u^+ =2 $, (c) $ k_1 =2 $, $ k_2 =1 $, $ d =-2 $, $ u^- =-2 $, $ u^+ =1 $, (e) $ k_1 =8 $, $ k_2 =4 $, $ d =8 $, $ u^- =-5 $, $ u^+ =1 $, (g) $ k_1 =8 $, $ k_2 =2 $, $ d =2 $, $ u^- =-7 $, $ u^+ =-3 $. 图中分别显示的是 $ t = 10, 80, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} $ 时的情况."

图41

当 $ d $ 改变时, $ t=1 $ 时刻反向色散冲击波的演化行为, 参数如下: $ k_1 =12 $, $ k_2 =-1 $, $ u^- =7 $, $ u^+ =11 $."

图42

当 $ k_1 $ 变化时, $ t = 20 $ 时刻区域 1 内正向色散激波的演化行为. 当 $ k_1>0 $ 时, 从上到下的参数如下: $ u^- =5 $, $ u^+ =4 $; $ u^- =7/2 $, $ u^+ =\frac{1}{4}( 27-\sqrt{217}) $; $ u^- =8-\sqrt{29} $, $ u^+ =8-4\sqrt{2} $; $ u^- =10-\sqrt{65} $, $ u^+ =10-2\sqrt{17} $; $ u^- =\frac{1}{4}( 57-\sqrt{2689}) $, $ u^+ =\frac{1}{4}( 57-\sqrt{2737}) $; $ u^- =25-\sqrt{590} $, $ u^+ =25-\sqrt{593} $ 并且 $ k_2 =-1 $, $ d=1 $. 当 $ k_1<0 $ 时, $ u^- =-1-\sqrt{5} $, $ u^+ =-1-2\sqrt{2} $; $ u^- =-2-2\sqrt{2} $, $ u^+ =-2-\sqrt{11} $; $ u^- =-3-\sqrt{13} $, $ u^+ =-7 $; $ u^- =-4-2\sqrt{5} $, $ u^+ =-4-\sqrt{23} $ 并且 $ k_2 =-1 $, $ d=40 $."

图43

当 $ k_1 $ 变化时, $ t =5 $ 时刻区域 1 内反向稀疏波的演化行为. 当 $ k_1>0 $ 时, (a) 的参数从上到下依次为: $ u^- =-3 $, $ u^+ =-7 $; $ u^- =\frac{1}{2}( -7-\sqrt{37}) $, $ u^+ =\frac{1}{2}( -7-\sqrt{133} ) $; $ u^- =\frac{1}{2}( -9-\sqrt{69}) $, $ u^+ =\frac{1}{2}( -9-\sqrt{165}) $; $ u^- =-6-\sqrt{33} $, $ u^+ =-6-\sqrt{57} $; $ u^- =\frac{1}{2}( -15-\sqrt{213}) $, $ u^+ =\frac{1}{2}( -15-\sqrt{309}) $; $ u^- =\frac{1}{4}( -35-\sqrt{1177}) $, $ u^+ =\frac{1}{4}( -35-\sqrt{1561}) $ 并且 $ k_2 =2 $, $ d=-5 $. 当 $ k_1<0 $ 时, (b) 的参数从上到下依次为: $ u^- =15-\sqrt{222} $, $ u^+ =15-\sqrt{246} $; $ u^- =\frac{1}{2}( 15-\sqrt{213}) $, $ u^+ =\frac{1}{2}( 15-\sqrt{309}) $; $ u^- =5-\sqrt{22} $, $ u^+ =5-\sqrt{46} $; $ u^- =\frac{1}{2}( 7-\sqrt{37}) $, $ u^+ =\frac{1}{2}( 7-\sqrt{133}) $; $ u^- =\frac{1}{4}( 11-\sqrt{73}) $, $ u^+ =\frac{1}{4}( 11-\sqrt{457}) $; $ u^- =1 $, $ u^+ =-3 $ 并且 $ k_2 =2 $, $ d=-5 $."

图44

(a) 为 $ k_2 $ 变化时 $ t =1 $ 时刻区域 2 内复合解的演化行为, 参数从上到下依次为: $ u^- =4 $, $ u^+ =-4 $; $ u^- =\frac{1}{2}( 1+\sqrt{17}) $, $ u^+ =-3 $; $ u^- =\frac{1}{10}( 3+\sqrt{249}) $, $ u^+ =-\frac{12}{5} $; $ u^- =\frac{1}{16}( 3+\sqrt{393}) $, $ u^+ =\frac{1}{16}( 3-3\sqrt{129}) $ 并且 $ k_1 =6 $, $ d=15 $. (b) 和 (c) 为 $ k_2 $ 变化 $ t = 10 $ 和 $ t = 2 $ 刻区域 1 内正向色散冲击波的演化行为. (b) 的参数从上到下依次为: $ u^- =0 $, $ u^+ =-1 $; $ u^- =0 $, $ u^+ =\frac{1}{3}( 1-\sqrt{37}) $; $ u^- =0 $, $ u^+ =1-\sqrt{13} $; $ u^- =0 $, $ u^+ =3-3\sqrt{5} $; $ u^- =0 $, $ u^+ =6-6\sqrt{13} $; $ u^- =0 $, $ u^+ =10-2\sqrt{55} $ 并且 $ k_1 =2 $, $ d=1 $. (c) 的参数从上到下依次为: $ u^- =\frac{1}{26}( -1-\sqrt{209}) $, $ u^+ =\frac{1}{26}( -1-\sqrt{937}) $; $ u^- =\frac{1}{22}( -1-\sqrt{177}) $, $ u^+ =\frac{1}{22}( -1-\sqrt{793}) $; $ u^- =\frac{1}{18}( -1-\sqrt{145}) $, $ u^+ =\frac{1}{18}( -1-\sqrt{649}) $; $ u^- =\frac{1}{14}( -1-\sqrt{113}) $, $ u^+ =\frac{1}{14}( -1-\sqrt{505}) $; $ u^- =-1 $, $ u^+ =-2 $ 并且 $ k_1 =-2 $, $ d=1 $."

图45

(a) 为 $ k_2 $ 变化时 $ t =5 $ 时刻区域 6 内复合解的演化行为, 参数从上到下依次为: $ u^- =-\frac{4}{5} $, $ u^+ =\frac{4}{5} $; $ u^- =\frac{1}{3}( -1-\sqrt{14}) $, $ u^+ =\frac{4}{3} $; $ u^- =\frac{1}{3} (-2-\sqrt{26}) $, $ u^+ =\frac{1}{3}( -1+\sqrt{13}) $; $ u^- =-3 $, $ u^+ =2 $ 并且 $ k_1 =2 $, $ d=-2 $. (b) 为 $ k_2 $ 变化时 $ t = 0.1 $ 时刻区域 4 内正向色散冲击波的演化行为, 参数从上到下依次为: $ u^- =-40+16\sqrt{10} $, $ u^+ =0 $; $ u^- =8 $, $ u^+ =0 $; $ u^- =-4+4\sqrt{7} $, $ u^+ =0 $; $ u^- =-2+2\sqrt{13} $, $ u^+ =0 $; $ u^- =4 $, $ u^+ =0 $ 并且 $ k_1 =8 $, $ d=2 $. (c) 为 $ k_2 $ 变化时, $ t = 2 $ 时刻区域 2 内复合解的演化行为, 参数从上到下依次为: $ u^- =3+\sqrt{3} $, $ u^+ =3-3\sqrt{3} $; $ u^- =4 $, $ u^+ =-2 $; $ u^- =1+\sqrt{3} $, $ u^+ =1-\sqrt{7} $; $ u^- =\frac{1}{2}( 1+\sqrt{7}) $, $ u^+ =\frac{1}{2}( 1-\sqrt{13}) $ 并且 $ k_1 =-12 $, $ d=4 $."