摘要： 设Ω是Rⁿ (n ≥ 2)中的单连通有界开集,其边界骪∂Ω是无限可微的封闭超曲面。设H (s)是∂Ω的平均曲率(n=2,H (s)是曲率)。假定∀s∈∂Ω,H (s)>0。记
H₀=min_s∈∂ΩH(s),H₁=max_s∈∂ΩH(s),|∂Ω|=meas(∂Ω),|Ω|=meas)(Ω),则我们证明
i)H₀≤(1-(1)/n)|∂Ω|/|Ω|,
ii) H₀/H₁ ≤ (1-(1)/n)²(|∂Ω|)/|Ω|²∫∂Ω(ds)/(H(s))²,
iii)|Ω| ≤ (1-(1)/n)∫_∂Ω(ds)/(H(s)).
我们有如下未解决问题:是否成立不等式
(1-(1)/n)(|∂Ω|)/|Ω|≤H₁?