多孔介质中非线性流动现象广泛存在于自然界和工程实践中, 对其模型的建立与理论分析也正迅速成为解决工程和应用科学中核心问题的关键. 多孔介质的动力学性态主要通过 Darcy 定律来刻画, 且其揭示了介质流体中压力梯度和流体速度之间的线性相关性. 因此, 用于描述多孔介质中流体运动的发展型偏微分方程—Brinkman-Forchheimer方程应运而生.

一般而言, 多孔介质中的流体运动模型主要分为不可压缩与可压缩两种情形. 当流体受压密度变化不大时, 人们通常采用不可压缩 Brinkman-Forchheimer 方程 (也被称为 Navier-Stokes 方程) 进行模拟. 对于该方程解的适定性和长时间行为的研究已经取得了一定的成果, 分别参见文献 [1⇓⇓⇓⇓⇓-7]和文献[8⇓⇓⇓⇓-13]. 特别地, 针对一类描述不可压缩流体在饱和多孔介质中的运动模型—对流不可压缩 Brinkman-Forchheimer 方程, Caucao 和 Esparza 在文献[14]中通过利用不动点定理证明了方程解的存在性和唯一性. 随后, Hajduk 和 Robinson 在文献[15]中利用 Cheskidov 发展的演化系统理论, 证明了系统全局吸引子的存在性. 然而当流体受压密度增大时, 则将流体视为可压缩流体. 针对可压缩 Brinkman-Forchheimer 方程而言, 其形式上是由非线性双曲型方程与非线性抛物型方程组成的耦合方程组. 由于该方程组具有强非线性和退化性, 使得对其的研究变得格外困难. 因此, 数学工作者们引入轻微可压缩条件, 并建立了介于不可压缩与可压缩模型之间且用于描述低速流动的多孔介质运动模型—轻微可压缩 Brinkman-Forchheimer 方程. 虽然该系统可以简化为二阶双曲线方程进行研究, 但简化后的系统仍含有退化算子, 对其长时间行为的研究也具有本质性困难, 相关文献较少. 例如, Chidaghtly 和 Temam 在文献[16]中研究了轻微可压缩 2D-Navier-Stokes 方程的长时间行为. 在此基础上, Kalantarov 和 Zelik 在文献 [17]中, 利用部分瞬时光滑特性和局部化的方法, 克服了方程出现 "坏的" 边界积分无法使用能量估计来验证耗散性的困难, 证明了该方程全局吸引子和指数吸引子的存在性结果.

近年来, Lévy 稳定扩散过程越来越受到社会和人们的关注, 因为它能够描述许多复杂现象, 如量子力学中的分数阶导数、势垒问题、马尔可夫过程以及相变现象等^{[18⇓⇓-21]}. 本文通过在 Brinkman-Forchheimer 模型中引入 Lévy 稳定扩散, 得到了如下轻微可压缩的广义 Brinkman-Forchheimer 方程

其中 $p=p\left( x,t \right)$ 和 $u=\left( {{u}_{1}}\left( t,x \right),{{u}_{2}}\left( t,x \right),{{u}_{3}}\left( t,x \right) \right)$ 分别表示区域中的压力和速度矢量场, ${{\left( -\Delta \right)}^{\beta }}$ 和 ${{\left( -\Delta \right)}^{\theta }}$ 为分数阶 Laplace 算子 ($\beta \in \left( 0,1 \right]$, $\theta \in \left[ 0,1 \right)$). 分数阶 Laplace 算子是一种描述 Lévy 飞行模型的微分算子, 常见于分数阶微分方程中. 与常规的 Laplace 算子不同, 它可以广泛应用于描述非局部、非线性和尺度不变的现象. 其定义可以通过傅里叶变换来表示, 详见第二节. $g$ 为外力项, $f$ 为非线性项且通常具有如下形式

其中 $C$ 是一个正的自伴随矩阵, $\alpha$, $\gamma$, $\eta$ 和 $l>{\frac{1}{2}}$ 是一般常数. 进一步, 假定区域 $\Omega \subset {{\mathbb{R}}^{3}}$ 是有界的, 且边界 $\partial \Omega$ 足够光滑. 与经典轻微可压缩 Brinkman-Forchheimer 方程不同^[17]

本文主要研究模型 (1.1)的适定性和长时间性态问题. 一方面引入了更具普遍性的耗散形式— 分数阶耗散, 它不仅仍然满足 Darcy 定律, 还可以对由 Lévy 耗散引起的多孔介质运动行为进行详细刻画. 另一方面, 方程 (1.1)的第二个等式—广义的轻微可压缩条件为方程(1.3) 中压缩条件 (方程 (1.1)中 $\theta=0$ 时情形) ${{\partial }_{t}}p+{{div}}u=0$ 的推广形式, 这种更为宽泛的形式能够描述更为复杂的实际问题, 且还能体现整体系统中分数阶算子耗散项和轻微可压缩条件之间精确的关系. 此外, 由于轻微可压缩的提出, 方程 (1.1)本身的数学结构也呈现出一些非常有趣的特点. 例如, 当 $f=g=0$ 时, 通过引入新的变量 ${{{w}=curl{u}}}$, 可以将系统简化为分数阶热方程和分数阶双曲方程的组合形式

不难发现, 在某种程度上讲, 轻微可压缩的广义 Brinkman-Forchheimer 方程 (1.1)具有热方程与双曲方程的双重结构特征. 另外, 当 $f$ 和 $g$ 不为 0 时, 通过对方程进行时间求导, 并结合第二个方程消除压力项, 最终得到一个二阶偏微分方程

该模型与 Van der Pol 型强阻尼波方程^[21]具有特殊的相似性. 因此, 方程 (1.1)更类似于非线性波方程的结构, 与不可压条件下的 Brinkman-Forchheimer 方程具有完全不同的性质.

基于上述看法, Kalantarov 和 Zelik 在文献[17]中借助波方程分析技巧研究了轻微可压的 Brinkman-Forchheimer 方程的适定性和渐近性行为. 然而, 针对本文而言, 由于算子 $\nabla {{div}} {{\left( -\Delta \right)}^{-\theta }}u$ 的退化性和耗散算子的非局部性, 方程 (1.1)的研究会出现新的困难. 当分数阶算子参数 $\beta \in \left( 0,1 \right]$, $\theta \in \left[ 0,1 \right)$ 满足 $1\le \beta +\theta$ 时, 我们发现算子 $\nabla {{div}}{{\left( -\Delta \right)}^{-\theta }}u$ 和耗散项达到了新的平衡状态, 使得方程 (1.1)的耗散估计和相应的适定性结果被重新建立 (需要说明的是, 文献 [17] 中参数 $\beta =1,\ \theta =0$ 也满足此平衡条件). 此外, 利用瞬时光滑特性和局部化的方法, 我们讨论了具有 Dirichlet 边界条件的三维有界域上广义轻微可压缩 Brinkman-Forchheimer 方程在高阶能量空间中的耗散性与解的渐近正则性和部分光滑性, 并最终证明了该方程在初始相空间中全局吸引子和指数吸引子的存在性.

本节将对全文所涉及的空间以及相关基础知识进行简述. 为了后续介绍方便, 这里给出初始相空间

进一步, 假设外力项 $g\in {{L}^{2}}\left( \Omega \right)$, 非线性项 $f\left( u \right)$ 具有以下形式

其中, $\varphi \in {{C}^{1}}\left( \left( 0,\infty \right) \right)$, 且满足对任意的 $z\in {{\mathbb{R}}_{+}}$ 有

和

其中 $\alpha$, $K$, $C$, ${{C}_{1}}$ 和 $L$ 为正常数, 指数 $l\in ( 0,\frac{2\beta }{3-2\beta } ]$. 下面给出分数阶拉普拉斯的定义以及相关嵌入定理

定义 2.1^[21⇓-23]在光滑有界域内, 定义

其中 $f=\sum\limits_{j=1}^{\infty }{{{f}_{j}}{{w}_{j}}}$, ${{f}_{j}}=\int_{\Omega }{f{{w}_{j}}\text{d}x}$, 对 $s\ge 0$, $f\in D\left( {{\Lambda }^{s}} \right):=\left\{ f\in {{L}^{2}}\left( \Omega \right):\left( \lambda _{j}^{\frac{s}{2}}{{f}_{j}} \right)\in {{\ell }^{2}}\left( \mathbb{N} \right) \right\}$ 成立. $D\left( {{\Lambda }^{s}} \right)$ 范数定义为

引理 2.1^[21] (嵌入定理)

1. 对于任意的 $s\ge 0$, 嵌入 $D\left( {{\Lambda }^{s}} \right)\subset {{H}^{s}}\left( \Omega \right)$ 是连续的;

2. 对于任意的 $s$, $r\in \mathbb{R}$ 和 $s>r$, 嵌入 $D\left( {{\Lambda }^{s}} \right)\subset D\left( {{\Lambda }^{r}} \right)$ 是紧的.

本节中, 将对轻微可压缩 Brinkman-Forchheimer 方程的适定性、耗散性与部分光滑性进行研究. 下面将给出弱能量解的定义

定义 3.1 (弱能量解) 函数 $\left( u,p \right)\in {{C}_{w}}\left(0,T;{{L}^{2}}\left( \Omega \right)\times {{\bar{H}}^{\theta }}\left( \Omega \right) \right)$ 被称为方程 (1.1)在区间 $[T]$ 上的一个弱能量解, 如果满足

并且 $u$ 在相应的定义区间上使得方程 (1.1)在分布意义上成立.

下面将给出方程 (1.1)弱解的适定性定理, 该定理可以通过 Faedo-Galerkin 方法得到, 这里仅给出简要证明.

定理 3.1(适定性) 设 $\Omega \subset {{\mathbb{R}}^{3}}$ 是边界 $\partial \Omega$ 足够光滑的有界区域, 外力项 $g\in {{L}^{2}}(\Omega )$, 非线性项 $f$ 满足 (2.1)-(2.4)式. 那么对任意初值 $\left( {{u}_{0}},{{p}_{0}} \right)\in E$, 方程 (1.1)存在唯一弱能量解.

证 (存在性) 基于粘度消失法思想, 引入一个如下粘性系统

其中, $v>0$ 是较小参数. 由于第二个方程含有 $\nu\Delta p$ 耗散项, 易知以 $(u_{0},p_{0})$ 为初值的弱解 $(u_{\nu},v_{\nu})$ 的存在性. 令 $\nu\rightarrow0$, 基于 Galerkin 近似思想, 由 $(u_{\nu},v_{\nu})$ 的收敛性结果, 可知存在极限函数 $(u,p)$ 满足弱解的定义3.1, 这也预示着 $(u,p)$ 为方程 (1.1)的弱解.

(唯一性) 设 $\left( {{u}_{1}},{{p}_{1}} \right)$ 和 $\left( {{u}_{2}},{{p}_{2}} \right)$ 是方程 (1.1)的两个弱能量解, 只需考虑下列估计是否成立

其中 $C$ 和 $K$ 是仅与 $f$ 有关的常数. 下面我们对足够小的 $T$, 验证当 $t\le T$ 时 (3.1) 式成立. 而对于任意 $T>0$, 则只需对时间进行平移迭代即可. 设 $\bar{u}\left( t \right)={{u}_{1}}\left( t \right)-{{u}_{2}}\left( t \right)$ 和 $\bar{p}\left( t \right)={{p}_{1}}\left( t \right)-{{p}_{2}}\left( t \right)$, 则有

对 (3.2) 式的第二个方程进行积分, 得到

对 (3.2) 式的第一个方程两端与 $\bar{u}\left( t \right)$ 做内积, 使用假设 (2.1)-(2.4) 式, 容易得到

由于假设条件 $T$ 足够小, 有

取 $\beta +\theta \ge 1$, 可得

这里 $C$ 为 Sobolev 嵌入常数. 因此, 有

将上式关于时间进行积分, 可得

根据假设条件 $T$ 足够小, 使得 $\frac{1}{2}-C\left( t-s \right)>0$. 从而利用 Gronwall 不等式, 即可得到

其中 $C$ 和 $K$ 是仅与 $f$ 有关的常数. 对 (3.3) 式应用 Gronwall 不等式, 结合上述不等式即可得到 (3.1) 式.

根据定理 3.1 可以验证耗散性成立.

定理 3.2(耗散性) 假设 $g\in {{L}^{2}}(\Omega )$, 非线性项 $f$ 满足 (2.1)-(2.4) 式, $(u(t),p(t))$ 是方程 (1.1)的光滑解, 则下列估计成立

其中单调函数 $Q$ 和正常数 $\alpha$ 与 $u$ 和 $t$ 无关.

证 首先对方程 (1.1)的第一个方程两端与 $u$ 作内积, 结合第二个方程, 可得

由于该能量不等式不包含 $\left\| p \right\|_{{{H}^{\theta }}}^{2}$ 项, 传统方法无法得到系统的耗散性结果. 因此, 我们引入 Bogovksi 算子 (当 $\Omega$ 足够光滑, 该线性算子 $B$ 是存在的^[24]

随后, 对方程 (1.1)的第一个方程两端与 $Bp$ 作内积, 结合第二个方程, 可得

将上述方程 (3.6) 乘以足够小的 $\varepsilon >0$, 并与 (3.5) 式作和, 使用 H$\ddot{{{o}}}$lder 不等式和 Sobolev 嵌入 ${{H}^{1}}\subset {{L}^{6}}$ 得到

使用 (2.2)-(2.3) 式和函数 $f$ 与 $\varphi$ 的关系: ${\left| f(u) \right|}^{\frac{6}{3+2\beta}}\le C\left(\left| f(u).u \right|+1\right)$, 易知

结合 $l\in ( 0,\frac{2\beta }{3-2\beta } ]$, 选取 $l=\frac{2\beta }{3-2\beta }$, 则有

因此, 可得 $\varepsilon {{\left\| f\left( u \right) \right\|}_{{{L}^{\frac{6}{5}}}}}{{\left\| p \right\|}_{{{{\bar{H}}}^{\theta }}}}\le C{{\varepsilon }^{\frac{6}{5}}}\left\| f\left( u \right) \right\|_{{{L}^{\frac{6}{5}}}}^{\frac{6}{5}}+C{{\varepsilon }^{6}}\left\| p \right\|_{{{{\bar{H}}}^{\theta }}}^{6}\le C{{\varepsilon }^{\frac{6}{5}}}\left\| u \right\|_{{{L}^{6}}}^{6}+C{{\varepsilon }^{6}}\left\| p \right\|_{{{{\bar{H}}}^{\theta }}}^{6}.$ 将上述结果带入 (3.7) 式, 化简可得

定义 ${{\varepsilon }_{\varepsilon }}(u,p):=\left\| u \right\|_{{{L}^{2}}}^{2}+\left\| p \right\|_{{{{\bar{H}}}^{\theta }}}^{2}+2\varepsilon (u,Bp).$ 此外, 对于足够小的 $\varepsilon >0$, 有

基于上述结果, 将带参数的 Gronwall 引理应用于 (3.8) 式, 最终可得 (3.4) 式.

推论 3.1 假设定理 3.1 和定理 3.2 成立, 则方程 (1.1)在相空间 $E$ 中生成了一个耗散的全局 Lipschitz 连续半群 $S\left( t \right) S\left( t \right)\left( {{u}_{0}},{{p}_{0}} \right):=\left( u\left( t \right),p\left( t \right) \right),$ 式中 $\left( u\left( t \right),p\left( t \right) \right)$ 是初值为 $\left( {{u}_{0}},{{p}_{0}} \right)\in E$ 的方程 (1.1)的唯一能量解.

前文中已经提到方程 (1.1)具有与强阻尼波动方程相似的结构^[25,26], 那么方程 (1.1)是否也具有与强阻尼波方程类似的瞬时光滑特性呢? 下面对该问题进行讨论

定理 3.3 (光滑性) 假设 $g\in {{L}^{2}}(\Omega )$, 非线性项 $f$ 满足 (2.1)-(2.4) 式, $\left( u(t),p(t) \right)$ 是方程 (1.1)的光滑解, 则下列估计成立

其中 $t\in \left[ 0,1 \right]$, 常数 $C$ 与 $u$ 和 $t$ 无关.

证 对方程 (1.1)的第一个方程乘以 $t{{\partial }_{t}}u$ 并在区域 $\Omega$ 上积分, 结合非线性梯度结构, 可得

其中 $F\left( u \right):=\int_{0}^{{{\left| u \right|}^{2}}}{\varphi \left( z \right)\text{d}z}$. 将上式关于时间上积分, 并使用 (3.4) 式, 容易得到

另一方面, 对方程 (1.1)关于时间求导, 并令 $v:={{\partial }_{t}}u$, $q={{\partial }_{t}}p$, 可得

将 (3.11) 式第一个方程乘以 ${{t}^{2}}v$, 并在区域 $\Omega$ 上积分, 有

基于 (3.10) 式和假设 ${f}'\left( u \right)\ge -L$, 对上式关于时间积分, 即可得到以下光滑特性

其中 $t\in \left[ 0,1 \right]$.

结合耗散估计 (3.4) 和光滑估计 (3.9) 可以得到如下推论.

推论 3.2 假设 $g\in {{L}^{2}}(\Omega )$, 非线性项 $f$ 满足 (2.1)-(2.4) 式, $\left( u(t),p(t) \right)$ 是方程 (1.1)的光滑解, 则如下高阶范数意义下的耗散估计成立

其中, 正常数 $\alpha$ 和单调函数 $Q$ 与 $t$, $u$ 和 $p$ 无关.

注 3.1 基于后续理解方程和分析结论的需要, 引入如下辅助截断系统

当辅助方程中的时间依赖外力项 $\widetilde{g}(t)=g-{{\partial }_{t}}u(t)$ 且假设此外力函数在 $L^{\infty}(\mathbb{R}_{+},{L}^{2}(\Omega))$ 范数意义下有界, 即存在某个正常数 $C$, 使得

则方程 (3.13) 的解也有类似(3.12) 式的高阶耗散估计式的结论, 也就是把(3.12) 式中的右边最后一项 $Q (\left\|g\right\|_{L^{2}}^{2})$ 改为 $Q(\left\|\widetilde{g}\right\|_{L^{\infty}({{R}_{+}},{{L}^{2}})}^{2})$ 时此估计式成立.

为了考虑系统本身的渐近正则性问题, 本节将进一步研究辅助方程 (3.13) 的渐近光滑性. 为此, 需假设

基于系统分解思想: 存在时间 $T>0$, 使得方程 (3.13) 在 $[T]$ 上分解成如下组合

其中

和

类似于定理 3.2 的估计方法, 假设 $p\left( 0 \right)$ 是 ${{\bar{H}}^{\theta }}$ 中的吸收球. 则容易得到如下耗散估计

对于所有的 $t\ge 0$ 成立. 下面, 对方程 (4.2) 进行讨论.

引理 4.1 假设 $g\in {{L}^{2}}(\Omega )$ 满足 (3.14) 式, 非线性项 $f$ 满足 (2.1)-(2.3) 式和(4.1) 式, 且 (4.4) 式成立, 则方程 (4.2) 的解 $\left( v\left( t \right),q\left( t \right)\right)$ 满足如下估计

其中正常数 $C$ 和 $\alpha$ 与 $t$, $u$ 和 $p$ 无关.

证 根据非线性项 $f$ 的性质, 则存在 $L>0$, 使得

其中 $\cdot$ 为两个向量的乘积 (对任意的两个向量 $a,b$, $a\cdot b=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{i}}{{b}_{i}}}$). 下文中的向量乘积也是遵循此定义.

将方程 (4.2) 第一个方程乘以 $v\left( t \right)$, 第二个方程乘以 $q\left( t \right)$, 在区域 $\Omega$ 上积分, 可得

对方程 (4.2) 的第一个方程乘以 $Bq\left( t \right)$, 并结合下列不等式

可得

因此,

其中常数 $\alpha R$ 只与 $R$ 有关. 对上式应用 Gronwall 不等式, 可得关于 $q$ 的估计

同理, 为了得到 ${{\left\| v\left( t \right) \right\|}_{{{H}^{\beta }}}}$, 只需将方程 (4.2) 的第一个方程乘以 $v\left( t \right)$, 可得

接下来, 为了讨论方程 (4.3) 的光滑性, 需要如下引理.

引理 4.2 假设 $a\left( x \right)\ge 0$ 为对称可测矩阵, 函数 $w\left( t \right)\in {{H}^{1-\theta }}\left( \Omega \right)\cap L_{a}^{2}\left( \Omega \right)$ 为如下问题的解

其中, $L_{a}^{2}\left( \Omega \right)$ 是一个由半范数确定的加权 Lebesgue 空间, 且

进一步, 假设 $\delta \in \left( 0,2\beta +\theta -1 \right]$, $g\in {{L}^{2}}(\Omega )$ 满足 (3.14) 式, 且 $r\in {{\bar{H}}^{\delta +\theta }}\left( \Omega \right):={{H}^{\delta +\theta }}\left( \Omega \right)\cap {\bar{H}^{\theta }}\left( \Omega \right)$. 则下列估计成立

其中, 常数 $C$ 与 $a$, $g$, $w$ 和 $r$ 无关.

证 将方程 (4.5) 与 ${{\left( -\Delta \right)}^{\delta -\beta -\theta +1}}w\left( t \right)$ 在 $\Omega$ 上做内积, 可得

因此,

即

根据 Sobolev 不等式: $\left\| w\left( t \right) \right\|_{{{H}^{^{\delta -2\beta -3\theta +3}}}}^{2}\leq C\left\| w\left( t \right) \right\|_{{{H}^{\delta -\theta +1}}}^{2}$~$(\beta+\theta\geq1)$, 即可完成该引理的证明.

引理 4.3 假设 $g\in {{L}^{2}}(\Omega )$ 满足 (3.14) 式, 非线性项 $f$ 满足 (2.1)-(2.3) 式和(4.1) 式, 且 $\delta \in \left( 0,2\beta +\theta -1 \right]$, 则方程 (4.3) 的光滑解 $\left( w\left( t \right),r\left( t \right) \right)$ 满足如下估计

其中 $K>0$ 和常数 $C$ 仅依赖于 $g$ 和 $R$ 与 $p$, $t$ 和 $u$ 无关.

证 首先, 将引理4.2应用于方程 (4.3) 的第一个方程, 只需令

可得

其次, 利用 Sobolev 嵌入定理, 并结合 $f$ 的性质可以得到

即

再次, 将方程 (4.3) 的第一个方程乘以 ${{\left( -\Delta \right)}^{-\beta +\delta -\theta +1}}w\left( t \right)$, 并在区域 $\Omega$ 上积分得到

即

$\begin{matrix}\label{26} {{\left\| w\left( t \right) \right\|}_{{{H}^{\delta -\theta +1}}}}&\le C\left( {{\left\| f\left( u\left( t \right) \right)-f\left( v\left( t \right) \right) \right\|}_{{{H}^{-2\beta +\delta -\theta +1}}}}+{{\left\| r\left( t \right) \right\|}_{{{{\bar{H}}}^{\delta +\theta }}}}+1 \right)\le {{C}_{R}}\left( 1+{{\left\| r\left( t \right) \right\|}_{{{{\bar{H}}}^{\delta +\theta }}}} \right).\ \end{matrix}$ (4.10)

最后, 从方程 (4.3) 中可以得到

并应用 Gronwall 定理, 即可完成引理的证明.

为了下文讨论需要, 基于文献[27,28]的分解思想以及方程 (1.1)和辅助方程 (3.13) 在 $t\in[t_{1},T]$ 上不尽相同, 给出如下引理.

引理 4.4 假设 $g\in {{L}^{2}}(\Omega )$ 满足 (3.14) 式, 非线性项 $f$ 满足 (2.1)-(2.3) 式和(4.1) 式. 对任意的 $\sigma >0$ 和 $\delta \in \left( 0,2\beta +\theta -1 \right]$, 令 $\left( u\left( t \right),p\left( t \right) \right)$ 是方程 (3.13) 的解且满足 (4.4) 式, 则存在 $T={{T}_{\sigma }}$, 使得函数 $u\left( t \right)$ 被分解成 $u\left( t \right)=\bar{v}\left( t \right)+\tilde{w}\left( t \right),$ 对任意的 $t\ge T$, 有

其中常数 ${{C}_{\sigma }}$ 只与 $\sigma,\ \delta$ 和 $R$ 有关.

证 由于系统分解思想: 对任意 $\sigma>0$, 存在时间 $T>0$, 使得方程 (3.13) 的解分解为

其中 $\bar{v}(t):=v(t)$ 为方程 (4.2) 在 $[t_{1}, T]$ 解的分量, $\tilde{w}(t):=w(t)$ 为方程 (4.3) 在 $[t_{1},T]$ 解的分量. 一方面, 基于引理 4.1, 固定 $T={{T}_{\sigma }}$, 且令 $C{{\rm e}^{-\alpha t}}{{R}^{2}}={{\sigma }^{2}}$, 即可得到

另一方面, 基于引理 4.3, 取 $C{{\rm e}^{2KT}}=C_{\sigma }^{2}$, 可以得到

这样便得到了 $t\in \left[T,2T \right]$ 上满足 (4.11) 式的分解结果. 为了进一步构造所有 $t\ge T$ 的满足上述条件的分解, 定义: 函数 $\left( {{v}_{n}}\left( t \right),{{q}_{n}}\left( t \right) \right)$ 和 $\left({{w}_{n}}\left( t \right), {{r}_{n}}\left( t \right) \right)$ 分别为以 ${{\left. {{q}_{n}} \right|}_{t=\left( n-1 \right)T}}={{\left. p \right|}_{t=0}}$ 为初值的方程 (4.2) 和以 ${{\left. {{r}_{n}} \right|}_{t=\left( n-1 \right)T}}=0$ 为初值的方程 (4.3) 的解. 类似地重复上述过程: $u\left( t \right)={{v}_{n}}\left( t \right)+{{w}_{n}}\left( t \right)$ 给出了区间 $t\in \left[ nT,\left( n+1 \right)T \right]$ 上的分解. 最后, 将 $\bar{v}\left( t \right)$ 和 $\tilde{w}\left( t \right)$ 定义为混合分段连续函数

该引理得证.

基于引理 4.3, 进一步得到方程 (4.3) 解 $\left( w\left( t \right),r\left( t \right) \right)$ 的耗散估计.

引理 4.5 假设 $g\in {{L}^{2}}(\Omega )$ 满足 (3.14), 非线性项 $f$ 满足 (2.1)-(2.3) 式和(4.1)式, 且 $\delta \in \left( 0,2\beta +\theta -1 \right]$, 则方程 (4.3) 的光滑解 $\left( w\left( t \right),r\left( t \right) \right)$ 满足以下估计

其中常数 $C$ 与 $R$ 有关, 但与 $u$, $p$ 和 $t$ 无关.

证 不失一般性地, 对于 ${{\left. r \right|}_{t=0}}=0$ 的情形, 由引理 4.4 可知 (4.11) 式成立. 而对于更为复杂的 ${{\left. r \right|}_{t=0}}={{r}_{0}}$ 的情形而言, 由于 $r\left( t \right)$ 在区间 $t\in \left[ 0,T \right]$ 上的 ${{H}^{\delta +\theta }}$ 范数可以由 (4.7) 式控制, 只需进一步假设 ${{\left. r \right|}_{t=0}}={{r}_{0}},~ \begin{matrix} {} \\ \end{matrix}{{\left\| {{r}_{0}} \right\|}_{{{H}^{\delta +\theta }}}}\le {{C}_{\sigma }},\ $ 即可得到相应的结果, 即

此外, 为了方便起见, 假设 ${f}'\left( 0 \right)=0$. 基于上述结果, ${f}'\left( 0 \right)w\left( t \right)$ 可以作为 $g(t)$ 的一部分来处理. 首先, 使用 ${f}'\left( 0 \right)=0$, (4.8) 式则改写为

其中常数 $C$ 只与 $f$ 有关. 其次,

将 (4.14) 式应用于 (4.15) 式右边第一项. 由于函数 $\tilde{w}\left( t \right)$ 在 ${{H}^{\beta +\delta }}$ 中是有界的, 可以得到

其中 ${{C}_{1}}>0$ 只与 $R$ 和 $\sigma$ 有关. 将 (4.14) 式应用于 (4.15) 式右边第二项, 并使用 (4.11) 式和 (4.13) 式, 可以得到

由于

可得

结合 (4.6) 式, 可得如下估计

其中常数 $C$ 与 $\sigma$ 无关. 根据上式估计, 可以把 $f(u(t))-f(v(t))$ 这一项也视作 $g(t)$ 的一部分, 使用 [17] 中的处理方法, 令 ${{K}_{\delta }}=-\alpha <0$, 可得

固定 $\delta >0$, 使 $C\sigma =\frac{\alpha }{2}$ 并应用 Gronwall 不等式, 可得

结合 (4.10) 式, 得

这也预示了 (4.12) 式成立.

注 4.1 若外力项 $\widetilde{g}=g-\partial_{t}u(t)$ 满足 (3.14) 式, 非线性项 $f$ 满足(4.1) 式, 则辅助系统 (3.13) 与原方程等价, 从而可以根据定理 3.1 和定理 3.2 总结在上述假设下的辅助方程 (3.13) 的解在空间 ${{\bar{H}}^{\theta }}\left( \Omega \right)$ 中耗散性如下

其中, 正常数 $\alpha$ 和单调函数 $Q$ 与 $p$ 和 $t$ 无关. 再使用 $\mathcal{U}\left( t \right):{{\bar{H}}^{\theta }}\left( \Omega \right)\to {{\bar{H}}^{\theta }}\left( \Omega \right)$ 表示方程 (3.13) 关于分量 $p\left( t \right)$ 的解算子 $\mathcal{U}\left( t \right)p\left( 0 \right):=p\left( t \right),$ 其中 $\left(u\left( t \right),p\left( t \right)\right)$ 是方程 (3.13) 的光滑解.

引理 4.1 和 4.5 的结果预示着如下推论.

推论 4.1 假设 $g\in {{L}^{2}}(\Omega )$ 满足 (3.14) 式, 非线性项 $f$ 满足 (2.1)-(2.3) 式和(4.1) 式. 则对于一个足够大的 $R$, ${{\bar{H}}^{\delta +\theta}}\left( \Omega \right)$ 中半径为 $R$ 的球 $B_{R}^{\delta+\theta }$ 对于解算子 $\mathcal{U}\left( t \right)$ 是指数吸引的. 即, 存在正常数 $\alpha >0$ 和一个单调函数 $Q$, 使得对于每个有界集 $B\subset {{\bar{H}}^{\theta }}\left( \Omega \right)$ 有

其中, ${{dist}}_{{{H}}}\left( {{A,B}} \right)$ 表示 Banach 空间中集合 $A$ 和集合 $B$ 之间的 Hausdorff 距离.

结合引理 4.5 的估计和已总结的辅助方程 (3.13) 在空间 ${{\bar{H}}^{\theta }}\left(\Omega \right)$ 中耗散性结果, 可得辅助方程 (3.13) 解分量在更高阶正则空间 ${{H}^{\delta+\theta}}$ 中的耗散性.

引理 4.6 假设 $g\in {{L}^{2}}(\Omega )$ 满足 (3.14) 式, 非线性项 $f$ 满足 (2.1)-(2.3) 式和(4.1) 式, 且 $\delta \in \left[ 0,2\beta +\theta -1 \right]$, $p\left( 0 \right)\in {{\bar{H}}^{\delta +\theta }}$, 则下列耗散估计成立

其中正常数 $\alpha$ 和单调函数 $Q$ 与 $p$ 和 $t$ 无关.

证 注意到, 辅助方程 (3.13) 和方程 (4.3) 具有相似的结构, 类似于 (4.7) 式的证明过程便可以得到 (4.19)式. 事实上, 辅助方程可以分解成两个子方程 (4.2) 和方程 (4.3). 如果取特殊情形: $v\left(t \right)=q\left(t \right)=0$, 则分解仍然成立. 对于方程 (4.3) 而言, 由辅助方程 (3.13) 在空间 ${{\bar{H}}^{\theta }}\left( \Omega \right)$ 中耗散性结果, 则容易得到形如 (4.16) 式的 (4.19)式.

注 4.2 值得注意的是, 引理 4.6 也给出了 $\delta = 2\beta +\theta -1$ 时, 解算子 $\mathcal{U}\left( t \right)$ 在 ${{\bar{H}}^{\delta }}\left( \Omega \right)$ 中的耗散性. 事实上, 当 $\delta =2\beta +\theta -1$ 时, 非线性项 $f$ 在相空间 ${{H}^{\delta }}\left( \Omega \right)$ 中是亚临界增长的. 此外, 由于空间嵌入 ${{H}^{\beta +\frac{3\beta -2{{\beta }^{2}}}{3+2\beta }}}\subset {{L}^{\frac{12\beta }{6+4\beta }}}$, 综上得: 只要 $\|u\|_{}$ 有界, 则

当 $\delta =2\beta +\theta -1$ 时, 基于上述辅助方程的指数吸引集, 从而可以推出方程 (1.1)的解算子 $S(t)$ 在空间 $E$ 上的指数吸收集.

定理 4.1 假设 $g\in {{L}^{2}}(\Omega )$ 满足 (3.14) 式, 非线性项 $f$ 满足 (2.1)-(2.3) 式和(4.1) 式, 则在能量空间

中的 $R$-球 $B_{R}^{2\beta +\theta -1}$ 是解半群 $S\left( t \right)$ 的指数吸引集: 由方程 (1.1)生成的 $E\to E$. 则存在 $R$ 足够大, 依赖与 $R$ 的系数 $\alpha >0$ 和单调函数 $Q$, 使得对于每个有界集 $B\subset E$, 有

此外, 当 $\left( u\left( 0 \right),p\left( 0 \right) \right)\in {{E}^{1}}$, 则如下估计成立

对于一些正常数 $\alpha$ 和单调函数 $Q$.

证 当 $\delta=2\beta +\theta -1$ 时, 基于推论 3.2 得到了指数吸引 (4.21) 式. 接下来, 将证明耗散估计 (4.22). 当 $\widetilde{g}(t)=g-\partial_{t}u$ 时, 辅助方程 (3.13) 和原方程 (1.1)等价, 从而辅助方程的解继承了原方程的结论. 假设初值 $\left( u\left( 0 \right),p\left( 0 \right) \right)\in {{E}^{1}}$, 则从方程 (1.1)的结论可以得到

由上述的初值条件易知,

基于这个初值条件, 这里 (4.23) 式形似于(3.12) 式, 但不需要使用第三节中的定理 3.3 和推论 3.2 来证明. 事实上, 由推论 3.2 中的(3.12) 式可证明存在足够小的 $t_{1}>0$, 使得任意 $t\in[t_{1},T]$ 时, 辅助方程 (3.13) 解的耗散性结果 (4.19)式成立. 类似于上述证明过程, (4.23) 式也可证明: 从 $t=0$ 开始, 辅助方程 (3.13) 的耗散估计 (4.22) 式也成立. 基于此 (4.22) 式, 可以得到方程 (1.1)在空间 $E^{1}$ 中的全局存在唯一性. 因此证明了该定理.

在本节, 基于上述结果来构造方程 (1.1)的全局吸引子和指数吸引子. 首先, 针对全局吸引子的存在性进行讨论.

定义 5.1(全局吸引子) 假设 $S\left( t \right):E\to E$, $t\ge 0$ 是一个半群, 则集合 $\mathcal{A}\subset E$ 是 $S\left( t \right)$ 在 $E$ 中的全局吸引子, 如果 $\mathcal{A}$ 满足

1. $\mathcal{A}$ 在 $E$ 中是紧的;

2. $\mathcal{A}$ 是不变的, 即 $S\left( t \right)\mathcal{A}\text{}=\mathcal{A}$, 对于所有的 $t\ge 0$ 成立;

3. $\mathcal{A}$ 是 $E$ 中 $S\left( t \right)$ 的吸引集合, 即对于 $E$ 中每一个有界集 $B$ 和集合 $\mathcal{A}$ 的邻域 $\mathcal{O}\left( \mathcal{A} \right)$ 都存在 $T=T\left( B,\mathcal{O} \right)$, 使得 $S\left( t \right)B\subset \mathcal{A}, \forall t\ge T.$ 如果 $S\left( t \right)$ 是一个与进化方程相关的解半群, 那么 $S\left( t \right)$ 的吸引子 $\mathcal{A}$ 通常被称为这个进化方程的吸引子, 参见文献[29⇓⇓⇓-33].

定理 5.1 假设 $g\in {{L}^{2}}(\Omega )$ 满足 (3.14) 式, 非线性项 $f$ 满足 (2.1)-(2.3) 式和 (3.14) 式, 则方程 (1.1)在 E 中存在一个吸引子 $\mathcal{A}$, 它是 ${{E}^{1}}$ 中的一个有界集合. 该吸引子可以表示为

其中, $\mathcal{K}\subset {{L}^{\infty }}\left( R,E \right)$ 是方程 (1.1)在 E 中有界完备解 (定义为所有 $t\in R$) 的集合.

证 根据全局吸引子存在定理, 如文献[29]. 需要验证两个性质

1. 算子 $S\left( t \right)$ 是连续的;

2. 半群 $S\left( t \right)$ 在 $E$ 中有一个紧的吸引集.

定理 3.1 证明了第一个性质, 定理4.1验证了第二个性质. 基于吸引子是紧吸引集的子集, 得到了 ${{E}^{1}}$ 全局吸引子存在性定理中 $\mathcal{A}$ 的有界性以及其表示公式 (5.1) 式, 定理5.1 得证.

下一步, 针对指数吸引子的存在性进行讨论.

定义 5.2 一个集合 $\mathcal{M}\subset E$ 是半群 $S\left( t \right)$ 的一个指数吸引子: $E\to E$, $t\ge 0$, 如果

1. $\mathcal{M}$ 在 $E$ 中是紧的;

2. $\mathcal{M}$ 是正不变的, 即 $S\left( t \right)\mathcal{M}\subset \mathcal{M}$, 对所有的 $t\ge 0$ 成立;

3. $\mathcal{M}$ 在 $E$ 中分形维数有限, 即

4. 存在正常数 $\alpha$ 和单调函数 Q, 使得对于每个有界集 $B\subset E$, 有

定理 5.2 假设 $g\in {{L}^{2}}(\Omega )$ 满足 (3.14) 式, 非线性项 $f$ 满足 (2.1)-(2.3) 式, 则方程 (1.1)在 $E$ 中存在一个指数吸引子 $\mathcal{M}$, 它是空间 ${{E}^{1}}$ 中的一个有界集.

证 根据一般的方法参见文献[32,34⇓-36], 首先为半群 ${{S}_{n}}=S_{1}^{n}$ (由 ${{E}^{1}}$ 中球 $B_{R}^{2\beta +\theta -1}$ 的映射 $S\left( T \right)$ 生成) 构造一个离散指数吸引子 ${{\mathcal{M}}_{d}}\subset {{E}^{1}}$. 固定 $T\ge 0$.

根据 (4.22) 式, 如果构造的离散吸引子 ${{\mathcal{M}}_{d}}$ 成立, 则如下标准公式给出离散吸引子 ${{\mathcal{M}}_{d}}$ 的连续模拟 $\mathcal{M}\subset {{E}^{1}}$

(5.2)和 (4.22) 式给出了 ${{E}^{1}}$ 中所有有界集的吸引性. 由指数吸引 (4.21) 式和指数吸引的传递性^[36], 可知 $E$ 中任意有界集的指数吸引集. 离散吸引子的正不变性和 (5.2)式给出正不变性. 如果从 $\left[ 0,T \right]\times {{\mathcal{M}}_{d}}\to E$ 的映射 $\left( t,\xi \right)\to S\left( t \right)\xi$ 是 Lipschitz (或者 H$\ddot{{{o}}}$lder) 连续的, 则 (5.2)式给出了紧性和有限维数. 定理 3.1 给出了关于初值的 Lipschitz 连续性, ${{\left\| {{\partial }_{t}}u\left( t \right) \right\|}_{{{L}^{2}}}}$ 和 ${{\left\| {{\partial }_{t}}p\left( t \right) \right\|}_{{{H}^{\theta }}}}$ 在 $B_{R}^{2\beta +\theta -1}$ 上是均匀有界的 (由于 (4.23) 式) 给出了 $t\in[T]$ 上 的 Lipschitz 连续性. 因此, 只需要验证集合 $B_{R}^{2\beta +\theta -1}$ 上的离散指数吸引子 ${{\mathcal{M}}_{d}}$ 的存在性. 以下是关于指数吸引子存在性的标准结果, 参见文献[32,34,35].

引理 5.1 设 $E$ 和 $V$ 是两个 $B$-空间, $V$ 紧嵌入 $E$ 中且 $B\subset E$ 是 $E$ 中的一个有界集. 进一步假设存在一个映射 $S:\mathbb{B}\to \mathbb{B}$, 对于任意两点 ${{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}}\in \mathbb{B}$, 可以得到如下分解

其中

对于 $\kappa <\frac{1}{2}$

其中 $\kappa$ 和 $K$ 与 ${{\xi }_{1}}$ 和 ${{\xi }_{2}}$ 无关. 则由映射 S 迭代生成的离散半群在 $B\subset E$ 上有一个指数吸引子 $\mathcal{M}{{}_{s}}\subset B$.

为了应用该引理, 需要将 (3.2) 式的解 $\left( \bar{u}\left( t \right),\bar{p}\left( t \right) \right)$ 进行如下分解: 以收缩分量作为解的齐次线性方程

和以光滑分量作为解的

其中 $l\left( t \right):=\int_{0}^{t}{{f}'\left( \tau {{u}_{1}}+\left( 1-\tau\right) {{u}_{2}} \right) {\text{{d}}}\tau }$, 根据定理 3.1, 得

此外, 由于 $\left( {{u}_{i}}\left( 0 \right),{{p}_{i}}\left( 0 \right) \right)\in B_{R}^{2\beta +2\theta -1}$, $i=1,2$ 和 (4.23) 式可知, ${{u}_{i}}\left( t \right)$ 的 $C$ 范数是一致有界的, 有

基于上述结果, $l\left( t \right)\bar{u}\left( t \right)$ 可以作为外力项的一部分处理.

接下来讨论 (5.3) 和 (5.4)式是否成立.

引理 5.2 假设 $l\left( t \right)\bar{u}\left( t \right)$ 满足上述假设, 则方程 (5.5) 的解 $\left( \hat{u}\left( t \right),\hat{p}\left( t \right) \right)$ 满足如下估计

其中, 正常数 $C$ 和 $\alpha$ 与 ${{u}_{i}}$ 和 ${{p}_{i}}$ 无关.

证 对方程 (5.5) 的第一个方程的两端关于 $\hat{u}$ 作内积, 并使用第二个方程可得

对方程 (5.5) 的第一个方程的两端关于 $\left( -Bp \right)$ 作内积, 并使用第二个方程得到

给 (5.10) 式乘以足够小的 $\varepsilon$, 可得

(5.9) 式和 (5.11) 式作和可得

对于正常数 $\alpha$, 当 $\varepsilon >0$ 足够小时, 应用 Gronwall 不等式得到 (5.8) 式. 因此证明了该引理.

引理 5.3 假设 $l\left( t \right)\bar{u}$ 满足上述假设, 则解 $\left( \tilde{u}\left( t \right),\tilde{p}\left( t \right) \right)$ 满足以下估计

证 对方程 (5.6) 的第一个方程的两端关于${{\left( -\Delta \right)}^{2\beta +\theta -1}}\tilde{u}$ 作内积, 并使用 (5.7) 式可得

给方程 (5.6) 的第二个方程乘以 ${{\left( -\Delta \right)}^{\frac{2\beta +\theta -1}{2}}}$, 然后乘以 ${{\left( -\Delta \right)}^{\frac{2\beta +\theta -1}{2}}}\tilde{p}\left( t \right)$ 并在区域 $\Omega$ 上积分, 可得

取上述所有不等式的和, 可得

应用 Gronwall 不等式, 完成了引理的证明.

基于上述结果可知, (5.8) 式和 (5.12) 式验证了引理 5.1 的成立. 其中

固定 $T$ 使得 $C{{\rm e}^{-\alpha T}}<\frac{1}{2}$. 因此, 离散指数吸引子 ${{\mathcal{M}}_{d}}$ 和连续指数吸引子 $\mathcal{M}$ 可以通过 (5.2)式构造, 进一步证明了定理 5.2.