在生态模型和传染病模型中, 时间滞后和非局部项在研究种群的动力学行为方面起着非常重要的作用^[4]. 本文主要考虑如下具有非局部时滞的反应扩散方程

其中, 系数 $D>0$ 和 $d>0$ 分别表示扩散速率和成年个体的死亡速率, 常数 $\tau\geq 0$ 为物种的成熟时间, 核函数 $f(\cdot)\in C^{\infty}(\Bbb{R},\Bbb{R})$ 满足

在方程 (1.1) 中, 反应项 $\int_{\Bbb{R}}b\left(u(\mathbf{y}^{\prime},\mu,t-\tau)\right)f(z-\mu){\rm d}\mu$ 中关于空间变量的卷积表明非局部相互作用发生在一维空间上. 本文主要考虑具有双稳非线性项的非局部扩散方程. 因此, 我们假设出生函数 $b(\cdot)\in C^{1}(\Bbb{R},\Bbb{R})$ 满足

(A1) 存在常数 $K>0$ 使得 $b(0)={\rm d}K-b(K)=0$;

(A2) 对 $u\in[K]$, $b^{\prime}(u)\geq 0$; 对某些常数 $C>1$, $d>C\max\{b^{\prime}(0), b^{\prime}(K)\}$ 成立;

(A3) 存在 $u^{*}\in (0,K)$ 使得 ${\rm d}u^{*}-b(u^{*})=0$, $b^{\prime}(u^{*})>d$ 并且当 $u\in (0,u^{*})\cup (u^{*},K)$ 时, ${\rm d}u-b(u)\neq0$.

由假设 (A1) 可知, 方程 (1.1) 存在两个常数平衡点 $0$ 和 $K$, 并且当 $b(u)$ 满足 (A1)-(A3) 时, 方程 (1.1) 具有双稳定结构. 在假设 (A1)-(A3) 成立时, 由文献[7,20]可知, 方程 (1.1) 在一维空间上存在唯一解 $(c,U)$, 其满足如下方程

并且存在正常数 $\beta_{1}$ 和 $C_{1}$ 使得

其中函数 $U(\cdot)$ 是单调递增的波形函数, 常数 $c\in\Bbb{R}$ 是行波波速. 众所周知, $U(x+ct)$ 是方程 (1.1) 的平面行波解, 其在一维或者高维空间中已被广泛研究, 见[7]及其中的参考文献.

在过去的十几年, 许多学者关注并研究了反应扩散方程或者系统的非平面行波解, 并且取得了一系列重要的结果, 可参考^{[5,6,8,9,13⇓⇓⇓⇓⇓ -19,21]} 等文献关于 V-形行波解、棱锥形行波解、柱状对称行波解等高维行波解的相关结果. 对于时间周期或者空间周期的反应扩散方程的高维行波解可以参考文献[10⇓-12,22]等. 最近, 具有时滞的反应扩散方程的非平面行波解引起了关注并研究^[1⇓-3]. 在文献[2]中, 作者在 $\Bbb{R}^{N}$ 中建立了非局部时滞方程 (1.1) 的 $N$ 维棱锥形行波解的存在性. 本文的目的是进一步研究这样的棱锥形行波解在三维空间中的唯一性和渐近稳定性.

假设 $c>0$. 用 $\mathbf{x}$ 表示 $(x,y,z)\in \Bbb{R}^{3}$, 用 $\mathbf{x}^{\prime}$ 表示 $(x,y)\in \Bbb{R}^{2}$. 记

受方程 (1.1) 中非局部项的影响, 我们仅考虑方程沿着 $z$ 轴方向以波速 $s$ 传播的行波解, 这与反应扩散方程的相关结果不同 (可参见文献[8,16]). 记 $\overline{z}=z+st$ 和 $u(\mathbf{x},t)=w(x,y,\overline{z},t)$. 为了方便, 仍然将 $w(x,y,\overline{z},t)$ 记作 $w(x,y,z,t)$. 则有

记 $w(x,y,z,t;\phi)$ 是方程(1.3) 以 $w(x,y,z,r)=\phi(x,y,z,r)\in[K]_{C}$ 为初值的解. 则方程 (1.1) 波速为 $s$ 的行波解 $v(x,y,z)$ 满足方程

记 $m_{*}= \frac{\sqrt{s^2-c^2}}{c}$. 令 $n\geqslant 3$ 为任意给定的整数, $\left\{ \boldsymbol{A}_j \right\} _{j=1}^n$ 是 $\Bbb{R}^{2}$ 中当 $i\neq j$ 时满足 $\boldsymbol{A}_{i}\neq \boldsymbol{A}_j$ 的单位向量集合. 对 $\mathbf{x}^{\prime }\in \Bbb{R}^{2}$, 令

这里 $\left(\boldsymbol{A}_j,\mathbf{x}^{\prime }\right)$ 表示内积关系. 称 $\left\{ \left. \mathbf{x} \in \Bbb{R}^3\right| -z=h\left( x,y\right) \right\}$ 为 $\Bbb{R}^3$ 中的三维棱锥. 对于 $j=1,\cdots,n$, 令 $\Omega _j:=\left\{ \left. (x,y)\in \Bbb{R}^{2}\right| h\left( x,y\right) =h_j\left( x,y\right) \right\}$, 则有 $\Bbb{R}^{2}=\cup _{j=1}^n\Omega _j$. 记 $\Omega _j$ 的边界为 $\partial \Omega _j$. $E=\cup_{j=1}^n\partial\Omega_j$. 对每个 $j=1,\cdots,n$, 令

称 $\cup_{j=1}^nS_j\subset \Bbb{R}^3$ 为棱锥的侧面. 记

则 $\Gamma:=\cup _{j=1}^n\Gamma _j$ 表示棱锥的所有边的集合. 对任意的 $\gamma >0$, 定义

和 $D(\gamma)=\left\{\mathrm{x} \in \mathbb{R}^{3} \mid \operatorname{dist}\left(\mathrm{x}, \cup_{j=1}^{n} \Gamma_{j}\right)>\gamma\right\}$.

方程 (1.1) 的棱锥形行波解的存在性已由文献 [2] 证明, 具体结果如下.

定理1.1^[2] 假设 (A1)-(A3) 成立并且 $c>0$. 则对每个 $s>c$, 方程 (1.4) 存在解 $V(x,y,z)$, 其对任意 $(x,y,z)\in\Bbb{R}^{3}$ 满足 $v^{-}(x,y,z)<V(x,y,z)<K$, 并且有

进一步地, 对所有的 $(x,y,z)\in\Bbb{R}^{3}$, $\frac{\partial V}{\partial z}(x,y,z)>0$.

下面定理表明如果给定的初值在无穷远处衰减到棱锥波时, 初值问题的解收敛到棱锥形行波解.

定理1.2 假设 (A1)-(A3) 成立并且 $c>0$. 令 $V(x,y,z)$ 为如同定理 1.1 所述的棱锥行波解. 对于任意满足 $\phi(x,y,z,r)\geq v^{-}(x,y,z)$ 和

的初值 $\phi(x,y,z,r)\in C(\Bbb{R}^{3}\times[-\tau,0],\Bbb{R})$, 则方程 (1.4) 以 $\phi(x,y,z,r)$ 为初值的解 $w(x,y,z,t;\phi)$ 满足 $\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\sup\limits_{x\in\Bbb{R}^{3}}|w(x,y,z,t;\phi)-V(x,y,z)|=0$.

由定理 1.2 的证明可知, 我们对棱锥形行波解给了一个定性刻画, 即在棱锥边界上的棱锥形行波解是二维 V-形行波解的组合, 并由其唯一确定. 定理 1.2 表明, 当初值 $\phi(x,y,z,r)$ 在 $\Bbb{R}^{3}$ 和 $r\in[-\tau,0]$ 上满足 $\phi(x,y,z,r)\geq v^{-}(x,y,z)$ 并且相对于行波解的扰动在无穷远处衰减时, 方程的解 $w(x,y,z,t;\phi)$ 具有如上的稳定性结果. 由于时滞 $\tau$ 的影响, 当初值满足 $\phi(x,y,z,r)\leq v^{-}(x,y,z)$ 时, 证明棱锥形行波解的渐近稳定性仍然存在困难, 我们将这个问题作为后续研究的问题.

本文安排如下: 在第二节中, 我们做一些后续证明需要的准备并证明棱锥形行波解的基本性质. 在第三节中, 我们将证明棱锥形行波解在某些初值条件下是渐近稳定的.

本节给出方程 (1.1) 的比较原理和 V-形行波解的存在性结果, 并证明棱锥形行波解的一些基本性质.

令 $X=BUC(\Bbb{R}^{3},\Bbb{R})$ 为所有从 $\Bbb{R}^{N}$ 到 $\Bbb{R}$ 的有界并且一致连续函数组成的 Banach 空间, 其具备上确界范数 $|\cdot|_{X}$, 并且 $X^{+}=\{\phi\in X:\phi(\mathbf{x})\geq 0,\forall \mathbf{x}\in\Bbb{R}^{3}\}$. 令 $\mathcal{C}=\mathcal{C}([-\tau,0],X)$ 并且 $\mathcal{C}^{+}=\{\phi\in \mathcal{C}:\phi(s)\in X^{+},\ \forall s\in[-\tau,0]\}$. 由假设 (A2) 可知, 存在正常数 $\delta_{0}>0$, 使得当 $u\in[-\delta_{0},0)$ 时 ${\rm d}u<b(u)$; 当 $u\in(K,K+\delta_{0}]$ 时 ${\rm d}u>b(u)$ 成立.

设对任意的 $u\in[-\delta_{0},K+\delta_{0}]$,

对任意 $\phi\in[-\delta_{0},K+\delta_{0}]_{\mathcal{C}}=\{\phi\in \mathcal{C}:\phi(\mathbf{x},s)\in[-\delta_{0},K+\delta_{0}],s\in[-\tau,0],\mathbf{x}\in\Bbb{R}^{3}\}$, 定义

和

其中 $(\mathbf{x}^{\prime},z)\in\Bbb{R}^{3}$, $t>0$ 且 $\phi(\cdot)\in X$.

定义2.1 设 $T>0$. 如果当 $T>t>t_{0}\geq 0$ 时,

则称连续函数 $v:[-\tau,T)\rightarrow X$ 为方程 (1.3) 在 $[0,T)$ 的上解 (下解). 如果 $v$ 既是方程在 $[0,T)$ 上的上解, 也是下解, 则它是方程 (1.3) 的解.

注2.1 假设对 $T>0$ 存在一个有界并连续的函数 $v:[-\tau,T)\times\Bbb{R}\rightarrow\Bbb{R}^{3}$ 使得 $v$ 关于 $\mathbf{x}\in\Bbb{R}^{3}$ 是 $C^{2}$ 并关于 $t\in(0,b)$ 是 $C^{1}$, 并且当 $t\in(0,b)$ 和 $\mathbf{x}=(\mathbf{x}^{\prime},z)\in\Bbb{R}^{3}$ 时

则利用 $T(t)X^{+}\subset X^{+}$, 可知 (2.2) 式成立. 因此 $v(\mathbf{x}^{\prime},z,t)$ 是方程 (1.3) 在 $[0,T)$ 的上解 (下解).

由文献[2,定理 2.1] 可得如下适度解的存在性和比较定理.

定理2.1 假设 (A1)-(A3) 成立. 则对任意 $\phi\in[-\delta_{0},K+\delta_{0}]_{\mathcal{C}}$, 方程 (1.3) 在 $[0,\infty)$ 存在唯一的适度解 $w(\mathbf{x}^{\prime},z,t;\phi)$, 其在 $(\mathbf{x}^{\prime},z,t)\in\Bbb{R}^{3}\times[-\tau,\infty)$ 上满足 $-\delta_{0}\leq w(\mathbf{x}^{\prime},z,t;\phi)\leq K+\delta_{0}$, 并且 $w(\mathbf{x}^{\prime},z,t;\phi)$ 是方程 (1.3) 在 $(\mathbf{x}^{\prime},z,t)\in\Bbb{R}^{3}\times[\tau,\infty)$ 的古典解. 进一步, 假设 $w^{+}(\mathbf{x}^{\prime},z,t)$ 和 $w^{-}(\mathbf{x}^{\prime},z,t)$ 分别是方程 (1.3) 在 $\Bbb{R}^{3}\times\Bbb{R}^{+}$ 的上解和下解, 并且当 $t\in[-\tau,\infty)$ 和 $(\mathbf{x}^{\prime},z)\in\Bbb{R}^{3}$ 时有 $-\delta_{0}\leq w^{\pm}(\mathbf{x}^{\prime},z,t)\leq K+\delta_{0}$; 当 $(\mathbf{x}^{\prime},z)\in \Bbb{R}^{3}$ 和 $s\in[-\tau,0]$ 时, 有 $w^{-}(\mathbf{x}^{\prime},z,s)\leq w^{+}(\mathbf{x}^{\prime},z,s)$. 则对任意 $(\mathbf{x}^{\prime},z)\in\Bbb{R}^{3}, t\geq 0$, 可得 $w^{+}(\mathbf{x}^{\prime},z,t)\geq w^{-}(\mathbf{x}^{\prime},z,t)$.

注意到非局部时滞方程 (1.1) 的 V-形行波解的存在性已经在文献 [2] 中证明. 为了方便, 我们下面给出二维空间中非局部时滞方程 (1.1) 的 V-形行波解的存在性结果. 令 $\widetilde{w}(\xi,\eta,t;\phi)$ 是如下方程的解

定理2.2 (见文献 [2,推论 3.1] 对任意 $s>c$, 方程 (2.3) 在 $(\xi,\eta)\in\Bbb{R}^{2}$ 上存在解 $\widehat{v}(\xi,\eta)$ 满足

进一步, 对 $(\xi,\eta)\in\Bbb{R}^{2}$ 有 $\widehat{v}(\xi,\eta)>U\left(\frac{c}{s}(\eta+m^{*}|\xi|)\right)$ 和

注意到在文献 [1] 中, 非局部时滞方程 (1.1) 的 V-形行波解的唯一性和稳定性也已经被证明. 利用类似于文献[1] 的方法可知, 当初值 $\phi(\xi,\eta,r)\in[K]_{\mathcal{C}}$ 满足 $\phi(\xi,\eta,r)\geq v^{-}(\xi,\eta)$ 和 $\lim\limits_{\gamma\rightarrow \infty}\sup\limits_{\mathbf{x}\in D(\gamma),r\in[-\tau,0]}|\phi(\xi,\eta,r)-v^{-}(\xi,\eta)|=0$ 时, (2.3) 式的解 $\widetilde{w}(\xi,\eta,t;\phi)$ 满足

本节我们将证明棱锥形行波解的基本性质并定性刻画棱锥形行波解是平面行波解在相邻平面的组合.

对 $j\ (1\leq j\leq n)$, 考虑与边 $\Gamma_{j}=S_{j}\cap S_{j+1}$ 垂直的平面, 则 $-z=\max\{h_{j}(x,y),h_{j+1}(x,y)\}$ 的横截面在这个平面上是一个 V-形行波解. 令 $E^{j}$ 是相应于截面 $-z=\max\{h_{j}(x,y),h_{j+1}(x,y)\}$ 的定理2.2 中证明的二维 V-形波前解.

令 $A_{n+1}:=A_{1}$ 和 $B_{n+1}:=B_{1}$. 对每个 $1\leq j\leq n$, 定义

利用类似于文献 [16] 中的方法, 可得 $\mathbf{E}^{j}$ 的精确定义

直接计算可知 $\mathbf{E}^{j}(x,y,z)$ 在 $\Bbb{R}^{3}$ 中满足

因此, 对每个 $j\ (1\leq j\leq n)$, $E_{j}(\mathbf{x})$ 满足 (1.4) 式. 称 $E_{j}$ 是相应于边 $\Gamma_{j}$ 的平面 V-形行波解.

对每个 $1\leq j\leq n$, 令 $Q_{j}:=\{\mathbf{x}\in\Bbb{R}^{3}|\ {\rm dist}(\mathbf{x},\Gamma)={\rm dist}(\mathbf{x},\Gamma_{j})\}$, 则有 $\Bbb{R}^{3}=\cup^{n}_{j=1}Q_{j}$. 定义 $\widehat{E}(\mathbf{x}):=\max\limits_{1\leq j\leq n}E_{j}(\mathbf{x})$. 由于对每个 $j$, $E_{j}(\mathbf{x})$ 关于 $z$ 是严格单调的, 我们有 $\widehat{E}(\mathbf{x})$ 关于 $z$ 是严格单调递增的. 另外, 对每个 $\mathbf{x}\in\Bbb{R}^{3}$, 函数 $\widehat{E}(\mathbf{x})$ 满足 $v^{-}(\mathbf{x})<\widehat{E}(\mathbf{x})<V(\mathbf{x})$ 和

假定 $\phi(\mathbf{x},r)\in[K]_{\mathcal{C}}$ 在 $\mathbf{x}\in\Bbb{R}^{3},\, r\in[-\tau,0]$ 满足

令 $w(\mathbf{x},t;\phi)$ 是方程 (1.3) 以 $\phi(\mathbf{x},r)$ 为初值的解. 由文献[16,引理 3], 存在正常数 $m>0$, 使得对任意的 $\gamma>0$, 有

其中误差函数为 ${\rm erfc}\, z:=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int^{+\infty}_{z}{\rm e}^{-t^{2}}{\rm d}t$.由此对任意的 $t>0$, 可得

相似于文献 [16, 命题 1], 可以类似的得到如下引理, 具体证明这里就不再详述.

引理2.1 假设 $\phi(\mathbf{x},t)\in[K]_{\mathcal{C}}$ 满足 (2.5) 式. 对任意给定的 $\varepsilon_{1}>0$, 可以选择 $T>0$ 充分大使得

另外, 有 $\liminf\limits_{t\rightarrow\infty}\inf\limits_{\mathbf{x}\in\Bbb{R}^{3}}(w(\mathbf{x},t;\phi)-\widehat{E}(\mathbf{x}))\geq 0$.

这个引理表明当 $t\rightarrow \infty$ 时, $w(\mathbf{x},t;\phi)$ 逼近于 $\widehat{E}(\mathbf{x})$. 这个引理在渐近稳定性的证明中起着关键作用. 对每个正的向量值函数 $\varphi(x,y)\in C^{\infty}(\Bbb{R}^{2})$, 定义

对 $\alpha>0$, $\varepsilon_{1}>0$ 和 $\varphi\in C^{\infty}(\Bbb{R}^{2})$, 令

由文献 [2,引理 3.1], 在 $\Bbb{R}^{3}$ 中有 $v^{-}(x,y,z)<V(x,y,z)<v^{+}(x,y,z)$ 成立. 对任意 $\mathbf{x}\in\Bbb{R}^{3}$, 定义 $V^{*}(\mathbf{x}):=\lim\limits_{t\rightarrow\infty}w(\mathbf{x},t;v^{+}).$ 因为 $v^{+}(\mathbf{x})$ 是方程 (1.4) 的一个上解, 则 $w(\mathbf{x},t;v^{+})$ 关于变量 $t>0$ 是单调递减的. 相似于文献 [2] 中关于 $V(\mathbf{x})$ 的讨论, 可得 $V^{*}(\mathbf{x})$ 关于 $\mathbf{x}$ 是 $C^{2}$ 且满足方程 (1.4). 很明显, $V(\mathbf{x})\leq V^{*}(\mathbf{x})$. 令 $V(\mathbf{x})$ 如定理 1.1 中所述. 分别选取 $V(\mathbf{x})$ 和 $V^{*}(\mathbf{x})$ 作为引理 2.1 中的初值 $\phi(\mathbf{x},r)$. 则可得

引理2.2 这里有 $\lim\limits_{R\rightarrow\infty}\sup\limits_{|z+h(x,y)|\geq R}|V_{z}(x,y,z)|=0$. 另外, 对任意固定非常小的常数 $\delta\in (0,\delta_{0})$, 有

证 因为

则由定理 2.1可知 $\inf\limits_{\delta\leq E_{j}(\mathbf{x})\leq K-\delta}\frac{\partial E_{j}}{\partial z}(\mathbf{x})>0.$ 因为 $V_{z}(\mathbf{x})>0$, 则 $V_{z}(\mathbf{x})$ 在 $\Bbb{R}^{3}$ 的任意紧子集上存在正的最小值. 因此, 我们仅需要研究当 $|\mathbf{x}|\rightarrow \infty$ 时 $V_{z}(\mathbf{x})$ 的情况. 假设 $\mathbf{x}_{i}=(x_{i},y_{i},z_{i})$ 满足 $\lim\limits_{i\rightarrow\infty}|\mathbf{x}_{i}|=\infty$ 和 $\delta_{0}\leq V(\mathbf{x}_{i})\leq K-\delta_{0}$. 需要证明 $\liminf\limits_{i\rightarrow\infty}V_{z}(\mathbf{x}_{i})>0$. 利用定理 1.1 和 $v^{-}(\mathbf{x})$ 的定义, 我们有 $\limsup\limits_{i\rightarrow\infty}{\rm dist}(\mathbf{x}_{i},\Gamma)<\infty$. 不失一般性, 对某些 $j\, (1\leq j\leq n)$, 我们可以假设

则对所有的 $m\neq j$, 可得 $\lim\limits_{i\rightarrow\infty}$dist$(\mathbf{x}_{i},\Gamma_{m})=0$. 从 (2.8) 式可得 $\lim\limits_{i\rightarrow\infty}\sup\limits_{|\mathbf{x}_{i}|\in B(\mathbf{x}_{i};2)}|V(\mathbf{x}_{i})-E_{j}(\mathbf{x}_{i})|=0$. 由插值 $\|\cdot\|_{C^{1}}\leq \sqrt{\|\cdot\|_{C^{0}}\|\cdot\|_{C^{2}}}$, 可得 $\lim\limits_{i\rightarrow\infty}\left\|\frac{\partial }{\partial z}V(\mathbf{x}_{i})-\frac{\partial}{\partial z}E_{j}(\mathbf{x}_{i})\right\|=0.$ 结合这个估计和定理2.2, 我们有 $\lim\limits_{i\rightarrow\infty}\inf(V_{z}(\mathbf{x}_{i}))>0$. 这样就完成了 (2.9) 式的证明.

注意到由 $|z+h(x,y)|\rightarrow\infty$, 可得 ${\rm dist}(x,\Gamma)\rightarrow\infty$. 所以

和

再次利用 $\|\cdot\|_{C^{1}}\leq 2\sqrt{\|\cdot\|_{C^{0}}\|\cdot\|_{C^{2}}}$, 可得 $\lim\limits_{R\rightarrow\infty}\sup\limits_{|z+h(x,y)|\geq R}|V_{z}(x,y,z)|=0$.

本节, 我们将证明棱锥行波解是渐近稳定的并完成定理 1.2 的证明.

首先, 我们对方程 (1.4) 建立如下的上下解. 由 (2.1) 式, 存在常数 $\delta^{*}\in (0,\delta_{0})$ 使得对任意的 $u\in[-\delta^{*},\delta^{*}]$, $0\leq b^{\prime}(u)\leq b^{\prime}(0)+\varepsilon^{*}$ 和

引理3.1 假设 $v(\mathbf{x})\in C^{2}(\Bbb{R}^{3})$ 且对某些 $\delta^{*}\in (0,\delta_{0})$ 满足

则存在充分大的正常数 $\rho$ 和足够小的正常数 $\beta$ 以及任意满足 $0<\delta<\frac{\delta^{*}}{2}{\rm e}^{-\beta \tau}$ 的 $\delta$, 当 $\mathcal{L}[v]\geq 0$ 时, 函数

是方程 (1.4) 的上解; 当 $\mathcal{L}[v]\leq 0$ 时, 函数

是方程 (1.4) 的一个下解.

证 因为在 $\Bbb{R}^{3}$ 中有 $\mathcal{L}[v]\geq 0$, 也就是,

对所有 $(x,y,z)\in\Bbb{R}^{3}$ 成立. 另外, 对 $\beta>0$ 和任意 $t\in\Bbb{R}$, $\rho\delta(1-{\rm e}^{-\beta(t-\tau)})<\rho\delta(1-{\rm e}^{-\beta t})$. 则由(3.2) 和 (2.1) 式, 我们有 $v(x,y,z+\rho\delta(1-{\rm e}^{-\beta(t-\tau)})-s\tau)<v(x,y,z+\rho\delta(1-{\rm e}^{-\beta t})-s\tau)$ 和

令 $\xi=z+\rho\delta(1-{\rm e}^{-\beta t})$, 则

利用假设 (A2), 可以选取常数 $\beta>0$ 足够小使得当 ${\rm e}^{\beta \tau}<C$ 且 $\varepsilon^{*}>0$ 时, 有

下面分三种情形证明 $\mathcal{N}[w^{+}]\geq 0$.

情形 (i)$\frac{\delta^{*}}{2}\leq v\leq K-\frac{\delta^{*}}{2}$. 对任意 $\delta\in (0,\frac{\delta^{*}}{2}{\rm e}^{-\beta \tau})$ 和 $\eta\in (0,1)$, 有

取 $b^{\prime}_{\max}=\max\{b^{\prime}(u):\, u\in [-\delta^{*},K+\delta^{*}]\}$. 则 $\int^{1}_{0}b^{\prime}(v(x,y,\xi-s\tau-z_{1})+\eta\delta {\rm e}^{-\beta(t-\tau)}){\rm d}\eta \leq b^{\prime}_{\max}$. 于是对充分大的 $\rho>0$ 可得

情形 (ii) $K-\frac{\delta^{*}}{2}\leq v\leq K+\frac{\delta^{*}}{2}$. 在此情形, 对任意 $\delta\in (0,\frac{\delta^{*}}{2}{\rm e}^{-\beta \tau})$ 和 $\eta\in (0,1)$, 我们有 $K-\frac{\delta^{*}}{2}\leq v(x,y,z-s\tau-z_{1})+\eta\delta {\rm e}^{-\beta(t-\tau)}\leq K+\delta^{*}$. 则利用 (3.1) 式,

由 (3.3) 式可得 $\mathcal{N}[w^{+}]\geq \delta {\rm e}^{-\beta t}\left[-\beta+d -{\rm e}^{\beta\tau}(b^{\prime}(K)+\varepsilon^{*})\right]\geq 0$.

情形 (iii)$-\frac{\delta^{*}}{2}\leq v\leq \frac{\delta^{*}}{2}$ 的证明与情形 (ii) 相似, 在此我们省略证明过程.

综上, 对任意 $x\in\Bbb{R}^{3}$ 和 $t\geq 0$, 有 $\mathcal{N}[w^{+}]\geq 0$ 成立. 则可知 $w^{+}(x,t;v)$ 是方程 (1.4) 的上解. 相似地, 可以证明 $\mathcal{N}[w^{-}]\leq 0$ 并且 $w^{-}(x,t;v)$ 是方程 (1.4) 的下解.

引理3.2 对任意的 $\mathbf{x}\in\Bbb{R}^{3}$, $V^{*}(\mathbf{x})\equiv V(\mathbf{x})$.

证 假设结论不成立, 即对某些 $\mathbf{\mathbf{x}}$, $V^{*}(\mathbf{x})\not\equiv V(\mathbf{x})$. 利用强最大值原理, 在 $\Bbb{R}^{3}$ 中我们有 $V(\mathbf{x})<V^{*}(\mathbf{x})$. 利用引理 3.1 中得到的上解 $w^{+}(\mathbf{x},t;V)$, 有 $V^{*}(x,y,z)\leq V(x,y,z+\lambda+\rho\delta), \forall (x,y,z)\in\Bbb{R}^{3}.$ 定义 $\Lambda:=\inf\{\lambda:\, V^{*}(x,y,z)\leq V(x,y,z+\lambda)\}$, 则 $\Lambda\geq 0$. 只需要利用矛盾证明 $\Lambda= 0$. 从文献 [引理 6] 可知, 当 $(x,y,z)\in\Bbb{R}^{3}$ 满足 $\delta\leq \max\limits_{1\leq j\leq n}\max E_{j}(x,y,z)\leq K-\delta$ 时,

其中 $\lambda_{0}$ 是一个依赖于 $\delta\in (0,\delta_{*})$ 的正常数并且其与 $(x,y,z)$ 无关. 则利用与文献 [16] 和文献[1,引理 4.5] 类似的方法, 可以证明 $\Lambda=0$ 成立. 这表明对任意的 $\mathbf{x}\in\Bbb{R}^{3}$, $V^{*}(\mathbf{x})=V(\mathbf{x})$.

下面, 我们给出定理 1.2 的证明.

证 任意给定 $\delta \in (0,\frac{1}{4}\delta^{*})$. 由 (2.6) 和 (2.7) 式可知,

取 $t_{2}\in (0,t_{1})$ 并且 $r_{2}>0$ 充分大, 对 $|\mathbf{x}|\geq r_{2}$ 和 $t\geq t_{2}$, 可得

其中 $m>1$ 是一个常数. 因为 $V(\mathbf{x})=\lim\limits_{t\rightarrow\infty}w(x,t;v^{-})$ 并且在 $B(0,r_{2})$ 中有 $V^{*}(\mathbf{x})=\lim\limits_{t\rightarrow\infty}w(\mathbf{x},t;v^{+})$, 则 $\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\|w(x,t;v^{\pm})-V(\mathbf{x})\|_{W^{2,k}(\Bbb{R}^{3})}=0, \forall k\in (0,1).$ 对任意 $\widehat{\delta}>0$, 取 $\widehat{t}>0$ 充分大使得

令 $\rho$ 由引理 3.1 所给定. 则由引理 3.1 和 (3.4) 式, 可知

是方程 (1.4) 的一个上解. 令 $t\rightarrow\infty$, 可得

另一方面, 由 (2.4) 式和引理 2.1 可得,

因此利用 (3.6) 和 (3.7) 式, 对某些 $t\geq 0$, 我们有 $v^{-}(\mathbf{x})-\widehat{\delta}{\rm e}^{-m\widehat{t}}\leq w(\mathbf{x},t;\phi)\leq v^{+}(\mathbf{x})+\widehat{\delta}{\rm e}^{-m\widehat{t}}.$ 利用文献[引理 3]和(3.5) 式, 对所有 $t\geq 0$, 我们有 $V(\mathbf{x})-\widehat{\delta}\leq w(\mathbf{x},t+\widehat{t};\phi)\leq V(\mathbf{x})+\widehat{\delta}$. 由于 $\widehat{\delta}$ 的任意性, 当 $t\rightarrow\infty$ 时, 可得 $w(\mathbf{x},t;\phi)$ 关于 $\mathbf{x}\in\Bbb{R}^{3}$ 一致收敛到 $V(\mathbf{x})$.