1934 年, 德国经济学家 Stackelberg^[1] 首次提出了单主单从博弈模型, 用于分析市场竞争行为, 之后逐步发展为多主多从博弈. Yu 和 Wang^[2]运用追随者参数解映射的凸性条件, 通过 Kakutani-Fan-Glicksberg 不动点定理建立了多主多从博弈 Nash 均衡的存在性定理. Leyffer 和 Munson^[3]研究了多主多从博弈解集的一些特征, 并提出了两种不同的求解方法. Ding^[4]研究了一类广义多目标多主多从博弈, 其中领导者和追随者的数目可以是有限的, 也可以是无限的, 并基于广义 Ky Fan 不等式研究了在非紧 $FC$ 空间中广义多目标多主多从博弈的存在性. Jia 等^[5]利用 Fan-Glicksberg 不动点定理建立了广义多目标多主多从博弈的弱 Pareto-Nash 均衡的存在性定理, 并研究了该问题解集的通有稳定性. 主从博弈在电力市场、经济、工程等实际问题中有广泛的应用. 关于主从博弈的研究还可参见文献 [6⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓-15].

在实际生活中, 很多问题往往带有控制系统的特征, 例如电力市场、交通网络、水资源分配等, 许多学者将控制系统引入到变分不等式问题、平衡问题和博弈问题中, 描述和研究相关的实际问题,取得了深刻和有价值的结果^{[16⇓⇓⇓⇓-21]}.近年来, Hung 和 Keller^[22]利用 Kakutani-Fan-Glicksberg 不动点定理建立了广义多目标博弈受控系统解的存在性定理, 并研究了该问题解集的通有稳定性. Hung 和 Keller^[23]还利用 Browder 型不动点定理, 在非紧假设下证明了广义多目标博弈受控系统解的存在性, 并研究了该问题解集的 Painlevé-Kuratowski 收敛性, 并将得到的结果应用到交通网络模型中.

1954 年, Arrow 和 Debreu^[24]研究了社会竞争经济中均衡的存在性, 假设所有参与者都是完全理性的. 但是, 在现实生活中, 参与者在做决策时往往会受到认知、环境和信息不完全等因素的影响. 因此, 假设参与者完全理性是不符合实际情况的, 这使该模型的应用受到了限制. Anderlini 和 Canning^[25]构造了一个具有抽象理性函数的有限理性模型 ${\it M}$, 并得到了该模型的稳定性和鲁棒性. Yu 等^[26]在较弱的条件下推广了文献 [25] 的结果, 证明了有限理性模型 ${\it M}$ 的稳定性和鲁棒性. Yu 等^[27]将文献 [26] 中的有限理性模型应用于多目标博弈和广义多目标博弈, 研究了该模型的结构稳定性和鲁棒性. Yu^[28]构造了 Ky Fan 点问题的有限理性模型, 证明了在 Baire 分类意义下, 大多数的 Ky Fan 点问题都是结构稳定的, 对 $\varepsilon$-平衡也都是鲁棒的, 还得到了 Nash 平衡问题和变分不等式问题的稳定性结论. 更多关于有限理性的研究可参考文献 [29⇓⇓⇓-33]. 近年来, Hung等^[34]将文献 [25,31] 提出的有限理性模型应用于无限维空间中一类新的具有模糊映射的广义多目标博弈, 利用非线性标量化方法为该模型构造适当的理性函数, 并证明了有限理性下该博弈模型是结构稳定的, 同时对 $\varepsilon$-平衡也是鲁棒的.

目前, 关于带控制系统博弈问题的研究还较少, 特别是对该问题解的结构稳定性和鲁棒性的研究还是空白, 受控系统博弈问题在实际问题中应用广泛. 受上述研究的启发, 考虑到实际生活中人们并非完全理性, 而是有限理性的, 因此本文将有限理性的思想引入到带控制系统的博弈问题中, 基于文献 [34] 的研究框架, 建立有限理性下的广义多目标多主多从博弈受控系统问题模型, 并研究该模型解的结构稳定性和鲁棒性.

下面给出集值映射的连续性及其相关定义和引理, 主要参考文献 [28,35,36].

定义 2.1 设 $X$ 和 $Y$ 是两个 Hausdorff 拓扑空间, $E:X\rightrightarrows Y$ 是集值映射.

1) 称 $E$ 在 $x_{0}\in X$ 是上半连续的, 如果 $E(x_{0})\cap G\ne \emptyset$ 对任意开集 $G\subset Y$, 存在 $x_{0}$ 的一个开邻域 $O(x_{0})$ 使得对任意 $x\in O(x_{0})$, $E(x)\cap G\ne \emptyset$;

2) 称 $E$ 在 $x_{0}\in X$ 是下半连续的, 如果 $E(x_{0})\subset G$ 对任意开集 $G\subset Y$, 存在 $x_{0}$ 的一个开邻域 $O(x_{0})$ 使得对任意 $x\in O(x_{0})$, $E(x)\subset G$;

3) 称 $E$ 在 $x_{0}\in X$ 是连续的, 如果 $E$ 在 $x_{0}\in X$ 既是上半连续的, 又是下半连续的;

4) 称 $E$ 在 $x_{0}\in X$ 是闭的, 如果任意在 $X$ 中的网 $\{x_{\alpha }\}$ 收敛于 $x_{0}$, 且 $Y$ 中的网 $\{y_{\alpha }\}$ 收敛于 $y_{0}$ 使得 $y_{\alpha }\in E(x_{\alpha })$, 则 $y_{0 }\in E(x_{0})$.

引理 2.1^[36] 设 $X$ 和 $Y$ 是两个 Hausdorff 拓扑空间, $E:X\rightrightarrows Y$ 是集值映射, 则

1) 如果 $E$ 是紧值的, 那么 $E$ 在 $x_{0}\in X$ 是上半连续的, 当且仅当任意在 $X$ 中的网 $\{x_{\alpha }\}$ 收敛于 $x_{0}$, 对任意在 $Y$ 中的网 $\{y_{\alpha }\}$ 使得 $y_{\alpha }\in E(x_{\alpha })$, 存在 $y_{0 }\in E(x_{0})$ 和 ${y_{\alpha }}$ 的子网 ${y_{\beta }}$ 使得 ${y_{\beta }}\to y_{0}$.

2) 如果 $E$ 是闭的且 $E(X)$ 是紧的, 那么 $E$ 是上半连续的.

引理 2.2^[28] 设 $X$ 是 $\mathbb{R}^{n}$ 中的非空点集, $E:X\to \mathbb{R}$ 是一个函数, 则

1) $E$ 在 $X$ 上是上半连续的当且仅当 $\forall r\in \mathbb{R}$, $\{x\in X:E(x)\ge r\}$ 在 $X$ 中是闭集;

2) $E$ 在 $X$ 上是下半连续的当且仅当 $\forall r\in \mathbb{R}$, $\{x\in X:E(x)\le r\}$ 在 $X$ 中是闭集.

引理 2.3^[28] 设 $O$ 和 $O_{n} (n=1,2,\cdots )$ 是度量空间 $X$ 中的非空紧集, 且在 Hausdorff 度量拓扑空间中 $O_{n}\to O$, 则

1) $\bigcup\limits_{n=1}^{+\infty } O_{n}$ 也是 $X$ 中的非空紧集;

2) 如果 $x_{n}\in O_{n}, x_{n}\to x$, 那么 $x\in O$;

3) $\forall x\in O$, $\exists x_{n}\in O_{n}$, 使得 $x_{n}\to x$.

下面给出非线性标量化函数的定义和相关性质, 主要参考 Gerstewitz^[37].

引理 2.4^[37] 设 $Y$ 是一个局部凸的 Hausdorff 拓扑向量空间. 对于每个固定的 $e\in {\rm int}C,$$y\in Y,$$r\in \mathbb{R},$$\xi _{e}: Y\to \mathbb{R}$ 是一个非线性标量化函数, 定义如下

有如下性质

1) $\xi _{e}(\cdot )$ 是 $Y$ 中的正齐次连续凸函数, 特别地, $\xi _{e}(0)=0$;

2) $\xi _{e}(y)\ge r \Longleftrightarrow y\notin re-{\rm {\rm int}}C$.

接下来, 回顾有限理性模型 ${\it \Theta}=\left \{ {\it \Gamma},X,F,R \right \}$ 的结构稳定性和鲁棒性及其性质, 主要参考 Anderlini 等^[25], Miyazaki 等^[30], Yu 等^[32].

有限理性模型 ${\it \Theta}=\left \{ {\it \Gamma},X,F,R \right \}$ 如下

1) ${\it \Gamma}$ 是参数空间, $\forall {\it \gamma}\in {\it \Gamma}$ 是一个博弈;

2) $X$ 是行为空间, $\forall x\in X$ 是一个策略;

3) $F:{\it \Gamma}\times X \rightrightarrows X$ 是可行映射, 而 $F$ 诱导出行为映射 $f:{\it \Gamma} \rightrightarrows X$, 其中 $\forall {\it \gamma}\in {\it \Gamma}, f({\it \gamma})=\{x\in X: x\in F({\it \gamma},x)\}$, 集值映射 $f$ 的图像 $\mathrm{Graph}(f)=\{({\it \gamma},x)\in {\it \Gamma}\times X: x\in f({\it \gamma})\}$;

4) $R:\mathrm{Graph}(f)\to \mathbb{R}_{+}$ 是理性函数.

$\forall {\it \gamma}\in {\it \Gamma}, \forall \varepsilon\geq 0, E({\it \gamma},\varepsilon)=\{x\in f({\it \gamma}):R({\it \gamma},x)\leq \varepsilon\}$ 定义为博弈 ${\it \gamma}$ 的 $\varepsilon$-平衡点集, 特别地, $E({\it \gamma})=E({\it \gamma},0)$ 定义为博弈 ${\it \gamma}$ 的平衡点集, 而 $R({\it \gamma},x)=0$ 当且仅当 $x\in E({\it \gamma})$.

定义 2.2^[25] 设 $({\it \Gamma},\varrho)$ 是度量空间.

1) 称模型 ${\it \Theta}$ 在 $\gamma\in {\it \Gamma}$ 处对 $\varepsilon$- 平衡是鲁棒的, 如果 $\forall \delta> 0$, $\exists \hat{\varepsilon} > 0, \gamma\in {\it \Gamma}$, 使得 $\mathcal{H} (E(\bar{\gamma},\varepsilon ),E(\bar{\gamma}))<\delta$, $\forall \bar{\gamma}\in {\it \Gamma}$, $\varepsilon < \hat{\varepsilon}$ 和 $\varrho(\gamma, \bar{\gamma})< \hat{\varepsilon}$, 其中 $\mathcal{H}$ 是 $X$ 上的 Hausdorff 距离;

2) 称模型 ${\it \Theta}$ 在 $\gamma\in {\it \Gamma}$ 处是结构稳定的,如果 $E:{\it \Gamma}\rightrightarrows X$ 在 $\gamma\in {\it \Gamma}$ 处是连续的.

定义 2.3^[30] 设 $({\it \Gamma},\varrho)$ 是度量空间.

1) 称 ${\it \Theta}$ 是 $(\gamma,\varepsilon)$-鲁棒的, 如果 $\forall \delta> 0$,$\exists \hat{\varepsilon} > 0$, 使得 $\mathcal{H} (E(\bar{\gamma},\varepsilon ),E(\bar{\gamma},\bar{\varepsilon}))<\delta$, $\forall (\bar{\gamma},\bar{\varepsilon})\in {\it \Gamma} \times \mathbb{R}_{+}$, $|\varepsilon-\bar{\varepsilon} |<\hat{\varepsilon}$ 和 $\varrho(\gamma, \bar{\gamma})< \hat{\varepsilon}$, 其中 $\mathcal{H}$ 是 $X$ 上的 Hausdorff 距离;

2) 称 ${\it \Theta}$ 是 $(\gamma,\varepsilon)$-稳定的, 如果 $E:{\it \Gamma}\times\mathbb{R}_{+} \rightrightarrows X$ 在 $(\gamma,\varepsilon)\in {\it \Gamma}\times\mathbb{R}_{+}$ 处是连续的.

引理 2.5 设 ${\it \Gamma}$ 是完备度量空间, $X$ 是紧度量空间, $f:{\it \Gamma }\rightrightarrows X$ 是上半连续的, $R: \mathrm{Graph}(f)\to \mathbb{R}_{+}$ 是下半连续的, $\forall \gamma \in {\it \Gamma}, E(\gamma)\ne \emptyset$, 有

1) 映射 $E:{\it \Gamma}\rightrightarrows X$ 是上半连续的;

2) 存在 ${\it \Gamma}$ 的稠密 $\mathcal{G}_{\delta }$ 子集 $\mathcal{Q}$ 使得 $\forall \gamma \in \mathcal{Q}$, ${\it \Theta}$ 是结构稳定的;

3) 如果 ${\it \Theta}$ 在 $\gamma \in {\it \Gamma}$ 处是结构稳定的, 那么 ${\it \Theta}$ 在 $\gamma \in {\it \Gamma}$ 对 $\varepsilon$-平衡是稳定的, 且 ${\it \Theta}$ 在 $\gamma \in \mathcal{Q}$ 对 $\varepsilon$-平衡是鲁棒的;

4) 如果 $\gamma \in \mathcal{Q}$, $\gamma_{n}\to \gamma$ 且 $\varepsilon_{n}\to 0$, 那么 $H(E(\gamma_{n},\varepsilon _{n}),E(\gamma))\to 0$;

5) 如果 $E(\gamma)$ 是单点集, 那么 ${\it \Theta}$ 是结构稳定的且在 $\gamma \in {\it \Gamma}$ 对 $\varepsilon$-平衡是鲁棒的.

引理 2.6^[32] 设 ${\it \Gamma}$ 是完备度量空间, $X$ 是紧度量空间, $f:{\it \Gamma} \rightrightarrows X$ 是上半连续的, $R: \mathrm{Graph}(f)\to \mathbb{R}_{+}$ 是连续的, 则 ${\it \Theta}$ 是 $(\gamma,\varepsilon)$-稳定的, 这意味着 ${\it \Theta}$ 是 $(\gamma,\varepsilon)$- 鲁棒的.

接下来考虑以下广义多目标多主多从博弈受控系统 (controlled systems of generalized multiobjective multi-leader-follower games, 简称 CSGMG)

设 $I_{1}=\left \{ 1, \cdots, n \right \}$ 表示领导者的集合, $I_{2}=\left \{ 1, \cdots, m \right \}$ 表示跟随者的集合. $\forall i\in I_{1}$, $j\in I_{2}$, 设 $X_{i}$, $Y_{j}$ 是两个自反 Banach 空间, 且 $H_{i}\subset X_{i}$ 表示第 $i$ 个领导者的策略集, $K_{j}\subset Y_{j}$ 表示第 $j$ 个跟随者的策略集. 设 $H_{i}$, $K_{j}$ 是两个紧度量空间, $A_{i}$ 是范数为 $\left \| \cdot \right \|_{i}$ 的自反 Banach 空间, $B_{j}$ 是范数为 $\left \| \cdot \right \|_{j}$ 的自反 Banach 空间, $C_{i}$ 是 $A_{i}$ 中的非空闭凸尖锥, ${\rm {\rm int}} C_{i}\ne \emptyset$, $D_{j}$ 是 $B_{j}$ 中的非空闭凸尖锥, ${\rm {\rm int}} D_{j}\ne \emptyset$. 设 $Z_{i}^{1}$, $Z_{i}^{2}$ 是两个控制空间, 且都是自反 Banach 空间, $\mathcal{W} _{i} \subset Z_{i}^{1}$ 是一个容许控制集, 且 $\mathcal{W} _{i}$ 是非空闭凸的, $\mathcal{V} _{i} \subset Z_{i}^{2}$ 是一个容许控制集, 且 $\mathcal{V} _{i}$ 是非空闭凸的.

其中 $-i\equiv I_{1}\setminus i$, $-j\equiv I_{2}\setminus j$.

$\forall i\in I_{1}$, $j\in I_{2}$, 设

1) $\varphi _{i} :H_{i} \times H_{-i}\times U_{i}\times \mathcal{W} _{i}\to A _{i}$ 表示第 $i$ 个领导者的支付函数;

2) $\phi _{j} :H \times K_{-j}\times K_{j}\times \mathcal{V} _{j}\to B _{j}$ 表示第 $j$ 个跟随者的支付函数;

3) $G _{j} :H \times K_{-j}\rightrightarrows K _{j}$ 表示第 $j$ 个跟随者的约束映射;

4) $L :H_{i} \times H_{-i}\rightrightarrows K$ 表示跟随者参数广义约束多目标博弈受控系统的解映射. 即 $\forall y^{*}\in L(x_{i}, x_{-i})$, 有 $y^{*}=(y_{j}^{*}, y_{-j}^{*})\in H$ 使得 $\forall j\in I_{2}$, $v_{j}\in \mathcal{V} _{j}$, $\exists y_{j}^{*}\in G _{j} (x, y_{-j}^{*})$, 有

定义 3.1 称策略 $x^{*}=(x_{i}^{*}, x_{-i}^{*})\in H$ 是 CSGMG 的解, 如果 $\exists x^{*}=(x_{i}^{*}, x_{-i}^{*})\in H$, $u_{i}^{*}\in U_{i}$, $\forall i\in I_{1}$, $w_{i}\in \mathcal{W} _{i}$, 有 $u_{i}^{*}\in L(x_{i}^{*}, x_{-i}^{*})$, 使得

定义一个集值映射 $\psi:H_{-i} \rightrightarrows H_{i}\times U_{i}$ 如下: $\forall x_{-i}\in H_{-i}$,

因此, 可定义 CSGMG 的解为如下形式

定义 3.2 策略 $x^{*}=(x_{i}^{*}, x_{-i}^{*})\in H$ 是 CSGMG 的解, 如果 $\forall i\in I_{1}$, $w_{i}\in \mathcal{W} _{i}$, $\exists u_{i}^{*}\in U_{i}$, 使得 $(x_{i}^{*}, u_{i}^{*})\in \psi(x_{-i}^{*})$,

定理 3.1 $\forall i\in I_{1}$, $j\in I_{2}$, 设 $X_{i}$, $Y_{j}$, $A_{i}$ 为三个自反 Banach 空间, $H_{i}\subset X_{i}$, $K_{j}\subset Y_{j}$ 是两个非空闭凸集, $U_{i}=K$, $C_{i}$ 是 $A_{i}$ 中的非空闭凸尖锥, ${\rm {\rm int}} C_{i}\ne \emptyset$. 设 $Z_{i}^{1}$ 是一个控制空间, 且是自反 Banach 空间, $\mathcal{W} _{i} \subset Z_{i}^{1}$ 是一个允许控制集, 且 $\mathcal{W} _{i}$ 是非空闭凸集. 若

1) $\forall w_{i}\in \mathcal{W} _{i}$, $(x_{i}, x_{-i}, u_{i})\in H_{i}\times H_{-i}\times U_{i}$, $\varphi _{i}(x_{i}, x_{-i}, u_{i},w_{i})-\varphi _{i}(x_{i}, x_{-i}, u_{i},w_{i})\notin {\rm int} C_{i}$;

2) $\forall x_{-i}\in H_{-i}, (H_{i}\times U_{i})\cap \psi(x_{-i})\ne \emptyset, \psi$ 是上半连续且紧值的, $\forall (p_{i}, q_{i})\in H_{i}\times U_{i}$, $\psi^{-1}(p_{i}, q_{i})$ 在 $H_{-i}$ 是开的, 且 $\forall x_{-i}\in H_{-i}$, 集值映射 $x_{i}\longrightarrow L(x_{i},x_{-i})$ 是凸的;

3) $\forall w_{i}\in \mathcal{W} _{i}$, 集合

是闭的;

4) $\forall w_{i}\in \mathcal{W} _{i}, x_{-i}\in H_{-i}, \varphi _{i}(\cdot, x_{-i}, \cdot, w_{i})$ 是广义 $C_{i}$-拟凹的;

5) 若 $H\times U$ 不是紧的, $\forall w_{i}\in \mathcal{W} _{i}$, 存在一个 $(H\times U)$ 中的非空紧子集 $M$, $\forall i\in I_{1}$, $N_{i}$ 是 $(H_{i}\times U_{i})$ 中的非空凸紧集, 使得 $\forall (x_{i}, u_{i})\in (H\times U)\setminus M$, $\exists (p_{i}^{0}, q_{i}^{0})\in N_{i}\cap \psi(x_{-i})$, $\varphi _{i}(p_{i}^{0}, x_{-i}, q_{i}^{0}, w_{i})-\varphi _{i}(x_{i}, x_{-i}^{*}, u_{i}, w_{i})\in {\rm int} C_{i}$, 则 CSGMG 至少存在一个解.

证 $\forall i\in I_{1}$, $\psi:H_{-i}\rightrightarrows H_{i}\times U_{i}$ 是一个约束映射. $\forall w_{i}\in \mathcal{W} _{i}$, $(x_{i}, x_{-i}, u_{i})\in H_{i}\times H_{-i}\times U_{i}$, 设

由条件 4) 可知 $\forall (x_{i}, u_{i})\in H_{i}\times U_{i}$, $\mathcal{Q}_{i} (x_{i}, u_{i})$ 是一个凸集. 事实上, 设 $(p_{i}^{1}, q_{i}^{1}), (p_{i}^{2}, q_{i}^{2})\in \mathcal{Q}_{i} (x_{i}, u_{i})$, $t\in [0,1]$, 令 $p_{i}^{0}=tp_{i}^{1}+(1-t)p_{i}^{2}, q_{i}^{0}=tq_{i}^{1}+(1-t)q_{i}^{2}$. 因 $(p_{i}^{1}, q_{i}^{1}), (p_{i}^{2}, q_{i}^{2})\in H_{i}\times U_{i}$, 且 $H_{i}, K_{j}$ 都是凸集, $U_{i}=K$, 则 $(p_{i}^{0}, q_{i}^{0})\in H_{i}\times U_{i}$. 因 $(p_{i}^{1}, q_{i}^{1}), (p_{i}^{2}, q_{i}^{2})\in \mathcal{Q}_{i} (x_{i}, u_{i})$, 则 $\forall w_{i}\in \mathcal{W} _{i}, (x_{i}, x_{-i}, u_{i})\in H_{i}\times H_{-i}\times U_{i}$, 有

由条件 4), $\varphi _{i}$ 是广义 $C_{i}$-拟凹的, $\forall w_{i}\in \mathcal{W} _{i}, (x_{i}, x_{-i}, u_{i})\in H_{i}\times H_{-i}\times U_{i}$, 可得

则 $(p_{i}^{0}, q_{i}^{0})\in \mathcal{Q}_{i} (x_{i}, u_{i})$. 因此, $\forall (x_{i}, u_{i})\in H_{i}\times U_{i}$, $\mathcal{Q}_{i} (x_{i}, u_{i})$ 是凸的.

接下来, $\forall (p_{i}, q_{i})\in H_{i}\times U_{i}$, 有

因此,

其中

因 $\psi^{-1}(p_{i}, q_{i})$ 是开集, 则 $(H\times U)\setminus \psi^{-1}(p_{i}, q_{i})$ 是闭集. 因 $\psi$ 是上半连续且紧值的, 则 $H_{i}\times U_{i}$ 是闭的. 由条件 3) 可知 $(H\times U)\setminus \mathcal{Q}_{i}^{-1} (p_{i}, q_{i})$ 是闭的. 故 (3.1)式表明 $(H\times U)\setminus \mathcal{R} _{i}^{-1}(p_{i}, q_{i})$ 是一个闭集. 因此, $\mathcal{Q}_{i}^{-1} (p_{i}, q_{i})$ 是一个开集.

设 $(p_{i}^{3}, q_{i}^{3}), (p_{i}^{4}, q_{i}^{4})\in \psi(x_{-i})$, $s\in [0,1]$, 令 $\bar{p_{i}} =sp_{i}^{3}+(1-s)p_{i}^{4}, \bar{q_{i}} =sq_{i}^{3}+(1-s)q_{i}^{4}$, 因 $p_{i}^{3},p_{i}^{4}\in H_{i}, q_{i}^{3}\in L(p_{i}^{3},x_{-i}), q_{i}^{4}\in L(p_{i}^{4},x_{-i})$, $H_{i}$ 是凸集, 且 $x_{i}\to L(x_{i},x_{-i})$ 是凸的. 由上述条件可知 $\bar{p_{i}}\in H_{i}$, $\bar{q_{i}}\in L(\bar{p_{i}},x_{-i})$, 则 $(\bar{p_{i}}, \bar{q_{i}})\in \psi(x_{-i})$. 因此, $\forall x_{-i}\in H_{-i}$, $\psi(x_{-i})$ 是凸的. 进一步, $\forall (x_{i}, u_{i})\in H_{i}\times U_{i}$, $\mathcal{R} _{i}^{-1}(x_{i}, u_{i})$ 是凸的. 由条件 1), $\forall w_{i}\in \mathcal{W} _{i}$, $(x_{i}, x_{-i}, u_{i})\in H_{i}\times H_{-i}\times U_{i}$, $\varphi _{i}(x_{i}, x_{-i}, u_{i},w_{i})-\varphi _{i}(x_{i}, x_{-i}, u_{i},w_{i})\notin {\rm int} C_{i}$. 故 $(x_{i}, u_{i})\notin \mathcal{Q}_{i} (x_{i}, u_{i})$.

若 $(x_{i}, u_{i})\in \mathcal{O} _{i}$, 则 $(x_{i}, u_{i})\notin \mathcal{R} _{i}(x_{i}, u_{i})$. 若 $(x _{i}, u_{i})\in (H\times U)\setminus \mathcal{O} _{i}$, 则 $(x_{i}, u_{i})\notin \psi$, $(x_{i}, u_{i})\notin \mathcal{R} _{i}(x_{i}, u_{i})$. 由条件 5), $M\subset (H\times U)$ 是一个非空紧集, $\forall i\in I_{1}$, $\exists N_{i}\subset (H_{i}\times U_{i})$ 是一个非空凸紧集, 使得 $\forall (x_{i}, u_{i})\in (H\times U)\setminus M$, $\exists (p_{i}^{0}, q_{i}^{0})\in N_{i}\cap \psi(x_{-i})$, $\varphi _{i}(p_{i}^{0}, x_{-i}, q_{i}^{0}, w_{i})-\varphi _{i}(x_{i}, x_{-i}^{*}, u_{i}, w_{i})\in {\rm int} C_{i}$. 故 $(p_{i}^{0}, q_{i}^{0})\in \mathcal{Q}_{i} (x_{i}, u_{i})$, 即 $N_{i}\cap \mathcal{R} _{i}(x_{i}, u_{i})\ne \emptyset$.

由文献 [38,定理 7]可知 $\exists (x_{i}^{*}, u_{i}^{*})\in (H\times U)\setminus M$, $\mathcal{R} _{i}(x_{i}^{*}, u_{i}^{*})= \emptyset$. 因 $(H\times U)\cap \mathcal{R} _{i}(x_{i}^{*}, u_{i}^{*})\ne \emptyset$, $(x_{i}^{*}, u_{i}^{*})\in \mathcal{O} _{i}$, 则 $\emptyset=\mathcal{R} _{i}(x_{i}^{*}, u_{i}^{*})=\psi(x_{-i}^{*})\cap \mathcal{Q}_{i} (x_{i}^{*}, u_{i}^{*})$.

$\forall i\in I_{1}$, $(p_{i}, q_{i})\in \psi(x _{-i}^{*})$, 有 $(p_{i}, q_{i})\notin \mathcal{Q}_{i} (x_{i}^{*}, u_{i}^{*})$, 即

因此, CSGMG 至少存在一个解.

注 3.1 如果 $A_{i}=\mathbb{R}^{k_{i}}, B_{j}=\mathbb{R}^{l_{j}}, C_{i}=\mathbb{R}_{+}^{k_{i}}, D_{j}=\mathbb{R}_{+}^{l_{j}}$, 且

则 CSGMG 为一般的广义多目标多主多从博弈.

设 ${\it \Gamma}$ 是 CSGMG 的问题空间, $\forall i\in I_{1}$, $\gamma=(H_{i}, U_{i},L,\varphi_{i})_{i\in I_{1}}\in {\it \Gamma}$, 使得

1) $L :H_{i} \times H_{-i}\rightrightarrows K$ 是追随者参数广义约束多目标博弈受控系统的平衡解映射, 满足 $\psi:H_{-i}\rightrightarrows H_{i}\times U_{i}$ 是 $L$ 诱导出的的非空紧值的连续映射;

2) $\varphi _{i} :H_{i} \times H_{-i}\times U_{i}\times \mathcal{W} _{i}\to A _{i}$ 是连续映射,

3) 存在 $x=(x_{i}, x_{-i})\in H$, $u_{i}\in U_{i}$, 使得 $\forall i\in I_{1}$, $w_{i}\in \mathcal{W} _{i}$, 有 $(x_{i}, u_{i})\in \psi(x_{-i})$, 满足

$\forall \gamma_{1}=(H_{i},U_{i},L^{1},\varphi_{1i})_{i\in I_{1}}$, $\gamma_{2}=(H_{i},U_{i},L^{2},\varphi_{2i})_{i\in I_{1}}\in {\it \Gamma}$, $w_{i}\in \mathcal{W} _{i}$, 定义距离

其中 $\mathcal{H}$ 是 $H\times U$ 上的 Hausdorff 距离.

引理 3.1 $({\it \Gamma},\varrho)$ 是一个完备度量空间.

证 显然, $({\it \Gamma},\varrho)$ 是一个度量空间. 设 $\{\gamma_{n}\}$ 是 ${\it \Gamma}$ 中的任意一个 Cauchy 序列, 其中 $\gamma_{n}=(H_{i}, U_{i},L^{n},\varphi_{ni}), n=1,2,\cdots$, 则 $\forall \varepsilon >0$, $\exists \mathcal{N} >0$, 使得 $\forall m, n>\mathcal{N}$, 有

$\forall (x_{i},x_{-i},u_{i},w_{i})\in H_{i} \times H_{-i}\times U_{i}\times \mathcal{W} _{i}$, 有 $\{\varphi _{ni}(x_{i},x_{-i},u_{i},w_{i})\}$ 是 $A_{i}$ 中的一个 Cauchy 序列, $\{\psi^{n}(x_{-i})\}$ 是 $H_{i}\times U_{i}$ 中的一个 Cauchy 序列.

由条件可知, $\exists \varphi _{i} :H_{i} \times H_{-i}\times U_{i}\times \mathcal{W} _{i}\to A _{i}$,

使得 $\lim\limits_{n \to \infty}\varphi _{ni}(x_{i},x_{-i},u_{i},w_{i})=\varphi _{i}(x_{i},x_{-i},u_{i},w_{i})$

且 $\exists \psi:H_{-i}\rightrightarrows H_{i}\times U_{i}$, 使得$\lim\limits_{n \to \infty}\psi^{n}(x_{-i})=\psi(x_{-i})$.

先证 $\psi$ 在 $H_{-i}$ 是连续的和非空紧值的, $\varphi _{i}$ 是连续的, 且

由于 $\psi^{n}$ 是连续且紧值的, 可知 $\psi$ 也是连续且紧值的. $\forall {(x_{i}^{p},x_{-i}^{p},u_{i}^{p},w_{i})\subset\\ H_{i} \times H_{-i}\times U_{i}\times \mathcal{W} _{i}}$, 使得 $(x_{i}^{p},x_{-i}^{p},u_{i}^{p},w_{i})\to (x_{i},x_{-i},u_{i},w_{i})$, 当 $p\to 0$ 时, 可得

因此, $\varphi _{i}(x_{i}^{p},x_{-i}^{p},u_{i}^{p},w_{i})\to \varphi _{i}(x_{i},x_{-i},u_{i},w_{i})$.由

可得

再证 $\exists x=(x_{i}, x_{-i})\in H$, $u_{i}\in U_{i}$, 使得 $\forall i\in I_{1}$, $w_{i}\in \mathcal{W} _{i}$, 有 $(x_{i}, u_{i})\in \psi(x_{-i})$,

由 $\gamma_{n}=\left \{(H_{i}, U_{i},L^{n},\varphi_{ni})\right \}\in {\it \Gamma}$, 可知 $\exists x^{n}=(x_{i}^{n}, x_{-i}^{n})\in H$, $u_{i}^{n}\in U_{i}$, 使得 $\forall i\in I_{1}$, $w_{i}\in \mathcal{W} _{i}$, 有 $(x_{i}^{n}, u_{i}^{n})\in \psi(x_{-i}^{n})$, 满足

因 $H_{i}\times U_{i}$ 是紧的, 设 $(x_{i}^{n}, x_{-i}^{n},u_{i}^{n})\to (x_{i}, x_{-i},u_{i})\in H_{i}\times H_{-i}\times U_{i}$, 当 $n$ 充分大时, 因

且 $\psi$ 是连续的, 则 $\mathcal{H} (\psi^{n}(x_{-i}),\psi(x_{-i}))\to 0$, 可得

因此, $(x_{i}, u_{i})\in \psi(x_{-i})$.

$\forall (p_{i}, q_{i})\in \psi(x_{-i})$, 因 $\psi(x_{-i})$ 和 $\psi^{n}(x_{-i})$ 是紧的, 且 $\mathcal{H} (\psi^{n}(x_{-i}),\psi(x_{-i}))\to 0$, 由引理 2.3 的 3), 可知 $\exists (p_{i}^{n}, q_{i}^{n})\in \psi^{n}(x_{-i})$, 使得 $(p_{i}^{n}, q_{i}^{n})\to (p_{i}, q_{i})$, $n\to \infty$. 由 (3.2) 式可知

因 $\varphi _{i}$ 是连续的, 可知

即

类似地, 可得

由 (3.4), (3.5) 式且 $C_{i}$ 是闭的, 对 (3.3) 式取极限, 可得

对 $\gamma=(H_{i}, U_{i},L,\varphi_{i})_{i\in I_{1}}$,有 $\gamma \in {\it \Gamma}$ 且 $\gamma_{n}\to \gamma$. 因此 $({\it \Gamma},\varrho)$ 是完备度量空间.

接下来, 考虑有限理性模型 ${\it \Theta}=\left \{ {\it \Gamma}, H, U, F, R \right \}$ 如下: $({\it \Gamma},\varrho)$ 是一个完备度量空间; $\forall i\in I_{1}$, $j\in I_{2}$, $H_{i}$, $K_{j}$ 是两个紧度量空间, $U_{i}=K$; $\forall \gamma=(H_{i}, U_{i},L,\varphi_{i})_{i\in I_{1}}\in {\it \Gamma}$, $F(\gamma,(x_{i}, x_{-i}, u_{i}))=H\times \psi(x_{-i})$ 且由 $F$ 诱导出的行为映射 $f:{\it \Gamma} \to H\times U$ 定义为

$R:\mathrm{Graph}(f)\to \mathbb{R}_{+}$ 是理性函数, $\forall (x_{i},x_{-i},u_{i})\in f(\gamma)$, $w_{i}\in \mathcal{W} _{i}$, 定义

其中 $e_{i}\in {\rm int}C_{i}$ 是固定的, $\forall i\in I_{1}$, $\gamma \in {\it \Gamma}$ 且 $\varepsilon \ge 0$, 定义博弈 $\gamma \in {\it \Gamma}$ 的 $\varepsilon$-平衡点集为

引理 3.2 1) $\forall \gamma \in {\it \Gamma}$, $w_{i}\in \mathcal{W} _{i}$, $(x_{i},x_{-i},u_{i})\in f(\gamma)$, 则 $R(\gamma,(x_{i},x_{-i},u_{i}))\ge 0$;

2) $\forall \gamma \in {\it \Gamma}$, $\varepsilon \ge 0$, $(x_{i},x_{-i},u_{i})\in f(\gamma)$, $(x_{i},x_{-i},u_{i})\in E(\gamma,\varepsilon)$, 当且仅当 $\forall i\in I_{1}$, $w_{i}\in \mathcal{W} _{i}$,

特别地,

是博弈问题 $\gamma \in {\it \Gamma}$ 的解集.

证 1) $\forall \gamma \in {\it \Gamma}$, $(x_{i},x_{-i},u_{i})\in f(\gamma)$, 有 $(x_{i},u_{i})\in \psi(x_{-i})$, $\forall i\in I_{1}$, $w_{i}\in \mathcal{W} _{i}$, 有

2) 设 $\gamma \in {\it \Gamma}$, $\varepsilon \ge 0$ 且 $(x_{i},x_{-i},u_{i})\in f(\gamma)$. 假设 $(x_{i},x_{-i},u_{i})\in E(\gamma,\varepsilon)$, 即 $R(\gamma,(x_{i},x_{-i},u_{i}))\le \varepsilon$.对 $\forall i\in I_{1}$, $w_{i}\in \mathcal{W} _{i}$, $(p_{i}, q_{i})\in \psi(x_{-i})$, 有

可得

这意味着

由引理 2.4 的 2), 可知

因此, $\forall i\in I_{1}$, $w_{i}\in \mathcal{W} _{i}$,

相反地, 假设 $\gamma \in {\it \Gamma}$, $\varepsilon \ge 0$ 且 $(x_{i},x_{-i},u_{i})\in f(\gamma)$, 使得 $\forall i\in I_{1}$, $w_{i}\in \mathcal{W}_{i}$, $(p_{i}, q_{i})\in \psi(x_{-i})$,

即

由引理 2.4 的 2), 可得

即

故

因此, $(x_{i},x_{-i},u_{i})\in E(\gamma,\varepsilon)$. 特别地, $E(\gamma)\ne \emptyset$ 是博弈问题 $\gamma \in {\it \Gamma}$ 的解集.

引理 3.3 $\forall \gamma \in {\it \Gamma}$, $f(\gamma)$ 在 $\gamma$ 是上半连续的.

证 由 $H\times U$ 是紧的, 通过引理 2.1 的 2), 只需证明 $f$ 在 ${\it \Gamma}$ 上是闭的, 即 $\mathrm{Graph}(f)=\left \{ (\gamma, (x_{i},x_{-i},u_{i})): (x_{i},x_{-i},u_{i})\in f(\gamma) \right \}$ 是闭的.

设 $(\gamma_{n}, (x_{i}^{n},x_{-i}^{n},u_{i}^{n}))\in \mathrm{Graph}(f)$ 且 $(\gamma_{n}, (x_{i}^{n},x_{-i}^{n},u_{i}^{n}))\to (\gamma, (x_{i},x_{-i},u_{i}))$. 由 $({\it \Gamma},\varrho)$ 是完备度量空间, 可知 $\gamma \in {\it \Gamma}$. 因此, 由 $(x_{i}^{n}, u_{i}^{n})\in \psi(x_{-i}^{n}), \forall i\in I_{1}$, 用引理 3.1 相同的证明方式, 可得 $\forall i\in I_{1}$, $(x_{i}, u_{i})\in \psi(x_{-i})$. 那么 $(x_{i},x_{-i},u_{i})\in f(\gamma)$. 因此, $f$ 在 ${\it \Gamma}$ 上是闭的, 从而 $f(\gamma)$ 在 $\gamma$ 是上半连续的.

引理 3.4 $\forall (\gamma,(x_{i},x_{-i},u_{i}))\in {\it \Gamma}\times H_{i}\times H_{-i}\times U_{i}$, $R(\gamma,(x_{i},x_{-i},u_{i}))$ 在 $(\gamma,(x_{i},x_{-i},u_{i}))$ 是连续的.

证 先证 $R(\gamma,(x_{i},x_{-i},u_{i}))$ 在 $(\gamma,(x_{i},x_{-i},u_{i}))$ 是下半连续的.

$\forall r\in \mathbb{R}$, 设 $(\gamma_{n},(x_{i}^{n},x_{-i}^{n},u_{i}^{n}))\in {\it \Gamma}\times H_{i}\times H_{-i}\times U_{i}$ 满足 $R(\gamma_{n},(x_{i}^{n},x_{-i}^{n},u_{i}^{n}))\le r$, $\forall (\gamma_{n},(x_{i}^{n},x_{-i}^{n},u_{i}^{n}))\to (\gamma, (x_{i},x_{-i},u_{i}))$, $n \to \infty$. 只需证明 $R(\gamma, (x_{i},x_{-i},u_{i})))\le r$.

由 $R(\gamma_{n},(x_{i}^{n},x_{-i}^{n},u_{i}^{n}))\le r, \forall i \in I_{1}$, 可得

由 $\psi(x_{-i})$ 的紧性, $\psi(x_{-i}^{n})$ 且 $\psi(x_{-i}^{n})\to \psi(x_{-i})$, 由引理 2.3 的 3), 可知 $\exists (p_{i}^{n}, q_{i}^{n})\in \psi(x_{-i}^{n})$ 使得 $(p_{i}^{n}, q_{i}^{n})\to (p_{i}, q_{i})$, $n \to \infty$. 由 (3.6) 式可知

用 (3.4) 式同样的证明方法, 可得

由 (3.8) 式和 $\xi _{e_{i}}$ 是连续的, 可知 $-\xi _{e_{i}}$ 也是连续的. 对 (3.9) 式取极限, 可得

因 $i$ 和 $(p_{i}, q_{i})$ 是任意的, 由 (3.9) 式可得

即 $\forall r\in \mathbb{R}$, 水平集

是闭的, 由引理 2.2 的 2), 可知 $R(\gamma,(x_{i},x_{-i},u_{i}))$ 在 $(\gamma,(x_{i},x_{-i},u_{i}))$ 是下半连续的.

再证 $R(\gamma,(x_{i},x_{-i},u_{i}))$ 在 $(\gamma,(x_{i},x_{-i},u_{i}))$ 是上半连续的.

$\forall r\in \mathbb{R}$, 设 $(\gamma_{n},(x_{i}^{n},x_{-i}^{n},u_{i}^{n}))\in {\it \Gamma}\times H_{i}\times H_{-i}\times U_{i}$ 满足 $R(\gamma_{n},(x_{i}^{n},x_{-i}^{n},u_{i}^{n}))\ge r$, $\forall (\gamma_{n},(x_{i}^{n},x_{-i}^{n},u_{i}^{n}))\to (\gamma, (x_{i},x_{-i},u_{i}))$, $n \to \infty$. 只需证明 $R(\gamma, (x_{i},x_{-i},u_{i})))\ge r$.

由 $R(\gamma_{n},(x_{i}^{n},x_{-i}^{n},u_{i}^{n}))\ge r$, 可知

则存在一个 $i \in I_{1}$, 使得

因 $\varphi _{ni}$ 和 $\xi _{e_{i}}$ 是连续的, $\psi(x_{-i}^{n})$ 是紧的, 则 $\exists (p_{i}^{n}, q_{i}^{n})\in \psi(x_{-i}^{n})$, 使得

因 $\psi(x_{-i}^{n})$ 是上半连续和紧值的, 由引理 2.1 的 1), 可知 $\exists (p_{i}, q_{i})\in \psi(x_{-i}^{n})$, 使得 $(p_{i}, q_{i}) \to (p_{i}^{n}, q_{i}^{n})$, $n \to \infty$.

由 $\psi(x_{-i})$ 和 $\psi(x_{-i}^{n})$ 的紧性, $\psi(x_{-i}^{n})\to \psi(x_{-i})$, 由引理 2.3 的 2), 可知 $\exists (p_{i}, q_{i})\in \psi(x_{-i})$. 由 (3.9) 式和 $\xi _{e_{i}}$ 是连续的, 对 (3.10) 式取极限, 可得

有

即 $\forall r\in \mathbb{R}$, 水平集

是闭的, 由引理 2.2 的 1),可知 $R(\gamma,(x_{i},x_{-i},u_{i}))$ 在 $(\gamma,(x_{i},x_{-i},u_{i}))$ 是上半连续的.

综上, $R(\gamma,(x_{i},x_{-i},u_{i}))$ 在 $(\gamma,(x_{i},x_{-i},u_{i}))$ 是连续的.

定理 3.2 设 ${\it \Gamma}$ 是一个完备度量空间, $\forall i\in I_{1}$, $j\in I_{2}$, $H_{i}$, $K_{j}$ 是两个紧度量空间, $f:{\it \Gamma} \rightrightarrows H\times U$ 是上半连续的, $R:\mathrm{Graph}(f)\to \mathbb{R}_{+}$ 是下半连续的, 则

1) 映射 $E:{\it \Gamma}\rightrightarrows H\times U$ 是上半连续的;

2) 存在 ${\it \Gamma}$ 的稠密 $\mathcal{G}_{\delta }$ 子集 $\mathcal{Q}$ 使得 $\forall \gamma \in \mathcal{Q}$, ${\it \Theta}$ 是结构稳定的;

3) 如果 ${\it \Theta}$ 在 $\gamma \in {\it \Gamma}$ 是结构稳定的, 那么在 $\gamma \in {\it \Gamma}$ 处 ${\it \Theta}$ 对 $\varepsilon$-平衡是鲁棒的, 且在 $\gamma \in \mathcal{Q}$ 处 ${\it \Theta}$ 对 $\varepsilon$-平衡是鲁棒的;

4) 如果 $\gamma \in \mathcal{Q}$, $\gamma_{n}\to \gamma$ 且 $\varepsilon_{n}\to 0$, 那么 $H(E(\gamma_{n},\varepsilon _{n}),E(\gamma))\to 0$;

5) 如果 $\gamma \in {\it \Gamma}$, $E(\gamma)$ 是单点集, 那么 ${\it \Theta}$ 是结构稳定的, 且 $\gamma \in {\it \Gamma}$ 对 $\varepsilon$-平衡是鲁棒的.

证 由引理 3.1, 3.3 和 3.4, 可知 $({\it \Gamma},\varrho)$ 是一个完备度量空间, $f:{\it \Gamma} \rightrightarrows H\times U$ 是上半连续的, $R:\mathrm{Graph}(f)\to \mathbb{R}_{+}$ 是下半连续的. 因此, 由引理 2.5, 可知定理 3.2 的结论 1)-5) 成立.

定理 3.3 设 ${\it \Gamma}$ 是一个完备度量空间, $\forall i\in I_{1}$, $j\in I_{2}$, $H_{i}$, $K_{j}$ 是两个紧度量空间, $f:{\it \Gamma} \rightrightarrows H\times U$ 是上半连续的, $R:\mathrm{Graph}(f)\to \mathbb{R}_{+}$ 是连续的. 如果 ${\it \Theta}$ 是 $(\gamma,\varepsilon)$-稳定的, 那么 ${\it \Theta}$ 是 $(\gamma,\varepsilon)$-鲁棒的.

证 由引理 3.1, 3.3 和 3.4, 可知 $({\it \Gamma},\varrho)$ 是一个完备度量空间, $f:{\it \Gamma} \rightrightarrows H\times U$ 是上半连续的, $R:\mathrm{Graph}(f)\to \mathbb{R}_{+}$ 是连续的. 因此, 由引理 2.6, 可知 ${\it \Theta}$ 是 $(\gamma,\varepsilon)$-稳定的, 则 ${\it \Theta}$ 是 $(\gamma,\varepsilon)$-鲁棒的.

注 3.2 由于 $({\it \Gamma},\varrho)$ 是完备度量空间, $\mathcal{Q}$ 是 $({\it \Gamma},\varrho)$ 中的一个稠密剩余集, 定理 3.2 的结论 2) 和 3) 表明在 Baire 分类意义下, 大多数该类广义多目标多主多从博弈受控系统问题都是结构稳定的, 对 $\varepsilon$-平衡也是鲁棒的.

注 3.3 定理 3.2 的结论 4) 表明: 当 $\gamma \in \mathcal{Q}$ 时, 虽博弈 $\gamma_{n}$ 是近似的, 求解方法也是近似的, 但可由有限理性下得到的 $\varepsilon_{n}$-平衡点集 $E(\gamma_{n},\varepsilon _{n})$ 来近似替代完全理性下得到的平衡点集 $E(\gamma)$.

下面对 1 个领导者, 2 个跟随者的多寡头Stackelberg 模型进行改进, 引入控制系统特征, 以此模型为例对广义多目标多主多从博弈受控系统问题的稳定性进行说明. 假定每个企业通过选择适合的产量来追求利润最大化.

例 3.1 设企业中寡头 0 为领导者, 其策略集为 $H$, 当其生产 $x\in H$ 个单位的产品时, 两个跟随寡头根据领导者寡头的产量分别确定各自的产量 $y_{1}\in K_{1}$ 和 $y_{2}\in K_{2}$, 其中 $K_{1}$ 和 $K_{2}$ 分别表示追随者 1 和 2 的策略. 假定各寡头的技术水平相同, 单位生产成本均为 $c$, 各寡头的目标函数为 $q=x+y_{1}+y_{1}$, 产品的反需求函数为 $p(q)=a-bq$, 其中 $a, b>0, a>c>0$. 设 $Z_{i}^{1}$, $Z_{i}^{2}$ 是两个控制空间, 且都是自反 Banach 空间, $\mathcal{W} _{i} \subset Z_{i}^{1}$ 是一个容许控制集, 且 $\mathcal{W} _{i}$ 是非空闭凸的, $\mathcal{V} _{i} \subset Z_{i}^{2}$ 是一个容许控制集, 且 $\mathcal{V} _{i}$ 是非空闭凸的. 设 $f:\mathcal{W}\to \mathbb{R}$, $g:\mathcal{V}\to \mathbb{R}$ 是两个紧映射, 给出两个控制 $w\in \mathcal{W}$, $v\in \mathcal{V}$, 现在考虑带控制系统的寡头Stackelberg 模型,

$\bullet$ 寡头企业 0 的利润: $\varphi(x,y_{1},y_{2},w)=p(q)x-cx+f(w)$;

$\bullet$ 寡头企业 1 的利润: $\phi_{1}(x,y_{1},y_{2},v)=p(q)y_{1}-cy_{1}+g(v)$;

$\bullet$ 寡头企业 2 的利润: $\phi_{2}(x,y_{1},y_{2},v)=p(q)y_{2}-cy_{2}+g(v)$.

由文献 [39] 中的计算过程可得出: 当领导者寡头选取策略 $x\in H$ 时, 跟随者寡头的最佳回应为 $(y_{1},y_{2})=(\frac{1}{3}(\frac{a-c}{b} -x),\frac{1}{3}(\frac{a-c}{b} -x))$, 可知跟随者的解映射 $L(x)=(\frac{1}{3}(\frac{a-c}{b} -x),\frac{1}{3}(\frac{a-c}{b} -x))$, 可得集值映射 $\psi(x)=\left \{ (x, y_{1},y_{2})\in H\times U : x\in H, (y_{1},y_{2})\in L(x) \right \}$, 其中 $U=K=K_{1}\times K_{2}$. 该模型的平衡点集为 $E(\gamma)=(\frac{a-c}{2b},\frac{a-c}{6b},\frac{a-c}{6b})$, 因此, 该模型的有限理性模型可用 ${\it \Theta}=\left \{ \{\varphi,\phi_{1},\phi_{2},L\}, H, U, F, R \right \}$ 描述, 其中 $F(\gamma,(x,y_{1},y_{2}))=H\times \psi(x)$ 且由 $F$ 诱导出的行为映射

根据定理 3.1, 3.2 和 3.3 可得以下稳定性结论

1) 存在一个稠密剩余集 $\mathcal{Q}$, 使得 $\forall \gamma\in \mathcal{Q}, \forall \gamma_{n} \in {\it \Gamma}, \gamma_{n}\to \gamma$, $\varepsilon_{n}\to 0$, 有 $H(E(\gamma_{n},\varepsilon _{n}),E(\gamma))\to 0;$

2) $E(\gamma)$ 是单点集, 从而 ${\it \Theta}$ 是结构稳定的, 且 $\gamma \in {\it \Gamma}$ 对 $\varepsilon$-平衡是鲁棒的.

本文在已有研究的基础上, 得到了有限理性框架下广义多目标多主多从博弈受控系统解的稳定性. 我们利用非线性标量化方法, 构造了适当的理性函数, 以满足广义多目标多主多从博弈受控系统的有限理性模型, 并研究了该模型解的结构稳定性和鲁棒性, 这表明可用有限理性下的均衡点集来逼近完全理性下的均衡点集. 本文的主要结果是新的, 原因如下

1) 本文将控制系统特征引入到广义多目标多主多从博弈中, 与文献 [2,5,6] 的模型不同, 是他们模型的一个推广和改进;

2) 本文利用非线性标量化方法构造了适当的理性函数, 并研究了有限理性下该博弈模型解的结构稳定性和鲁棒性, 与文献 [27,29,32] 的理性函数构造方法不同.

进一步, 未来可将相关模型和结论应用到实际的主从博弈受控系统问题中, 例如: 电力市场受控系统主从博弈模型、水资源分配受控系统主从博弈模型等.