近年来, 随机时滞非线性系统因其在网络化控制、故障诊断、自动控制、经济学问题等领域的广泛应用而引起了许多学者的关注. 稳定性是研究随机时滞非线性系统的先决条件, 因此如何保持随机时滞非线性系统的稳定是一个具有挑战性的问题. 目前, 已经有许多文献讨论了这个问题^[1⇓⇓-4].

众所周知, 在实际的系统中, 许多外部干扰和不确定性是不可避免的. 外部扰动和不确定性是导致系统不稳定的重要原因. 输入到状态稳定性^[5]是用状态空间的方法描述带有外部扰动输入的系统稳定性. 如今, 输入到状态稳定在各种系统设计中起着关键作用. 输入到状态稳定的特点是系统在没有外部干扰时是渐近稳定的, 有界扰动下系统的状态会在有界的范围进行动态演化^[6,7].

在实际情况中时滞往往是不可避免的, 尤其在具有反馈控制的系统中, 输入信号到反馈信号之间必然存在时间差. 此外, 时滞通常也是导致系统不稳定的一个重要原因. 因此, 时滞相关问题的研究引起了广泛的关注^{[8⇓⇓⇓-12]}, 特别是在具有反馈控制的随机非线性系统中时滞十分常见^[13⇓-15]. 状态反馈控制是一种分析系统稳定性的有效方法, 但连续时间更新控制信号, 在现实中是不经济的.

事件触发控制作为一种离散时间状态反馈控制, 因其资源利用的高效性和强反馈性引起了学者们的广泛关注^{[16⇓⇓-19]}. 事件触发控制不同于传统的时间触发控制, 不需要固定的周期采样和传输.事件触发控制器通常由反馈控制器和触发条件组成, 采用触发阈值来确定采样和更新的时间, 仅当满足触发条件时信息传输才会进行. 文献 [20] 通过提出一种鲁棒动态事件触发状态观测器, 研究了受未知时变延迟影响的递归神经网络的事件触发状态估计问题. 文献 [21] 在动态和静态事件触发控制下, 讨论了具有多时滞的连续随机系统的镇定问题. 文献 [22] 中利用事件触发机制对采样信号进行滤波, 降低网络带宽占用和资源传输速率, 解决了非线性网络系统的滑模控制问题. 文献 [23]在事件触发控制下讨论了具有随机不确定性和非线性的半马尔可夫跳跃系统的随机稳定性.

受上述讨论启发, 本文采用输入到状态稳定理论和事件触发机制, 并利用 Lyapunov 函数和线性矩阵不等式方法, 研究时滞随机非线性系统的控制问题. 本文的主要贡献如下

(1) 对于许多实际的非线性系统, 往往受到不确定性和外部干扰的影响. 针对此问题, 本文探究了一类带有参数不确定和随机外部干扰的非线性系统事件触发控制问题.

(2) 为了减少事件触发频率和避免 Zeno 行为, 本文设计了一种事件触发控制器. 相比传统的事件触发方法, 本文在事件触发条件中加入指数衰减项, 不仅能量化状态轨迹收敛率, 同时能减少事件触发频率; 此外, 在每个触发时刻之后加入控制暂停区间, 从技术上排除 Zeno 行为.

方便起见, 本文使用以下符号. $I$ 和 $N$ 分别表示匹配维数的单位矩阵和非负整数. $\left | x \right |$ 是向量 $x$ 的欧式范数, 取 $R_{+}=[0,+\infty)$, $R^{n}$ 和 $R^{n\times m}$ 分别表示 $n$ 维欧氏空间和 $n\times m$ 实矩阵空间. 令 $0\le \tau(t)\le\tau$, $0\le\frac{{\rm d}\tau(t)}{{\rm d}t}< \tau_{1}$ 其中 $t\in R^{+}$, $\tau$ 和 $\tau_{1}$ 是常数, $C([-\tau,0];R^{n})$ 表示在 $[-\tau,0]$ 的连续函数 $\xi$, 且 $\left \|\xi \right \| =\sup\limits_{-\tau\le t\le0}\left | \xi(t) \right |$. 对于任意矩阵 $X$, trace$(X)$, $\lambda_{\max}(X)$, $\lambda_{\min}(X)$ 分别是矩阵 $X$ 的迹, 最大特征值和最小特征值. $\mathcal{L}_{n}^{+\infty}$ 表示本质有界且可测量的函数 $\vartheta$: $R_{+}\to R^{n}$, 其中 $\left \|\vartheta \right \|_{\infty}=\sup\limits_{t\ge0}\left | \vartheta (t) \right | <+\infty$. 如果 $\gamma(\cdot)$ 是一个连续递增, 并且 $\gamma(0)=0$, 那么函数$\gamma$: $R_{+}\to R_{+}$ 是一个 $\mathcal{K}$ 类函数. 此外, 如果 $\gamma \in \mathcal{K}$ 满足当 $t\to+\infty$ 有 $\gamma(t)\to+\infty$, 那么 $\gamma \in \mathcal{K}_{\infty}$. 令 $\mathcal{L}_{\mathcal{F}_{0}}^{2}$ 表示所有 $\mathcal{F}_{0}$ 可测量, 连续函数 $\xi=\left \{\xi(t):-\tau\le t\le 0 \right \}$, 使得 $\sup\limits_{-\tau\le t \le 0}\mathbb{E}\left | \xi \right |^{2}<+\infty$ 其中 $\mathbb{E}$ 表示给定概率测度 $P$ 的期望算子.

考虑下列具有不确定性和外部干扰的随机非线性系统

这里 $t\in R_{+}$, $x_{\tau}(t)=x(t-\tau(t))$, $x_{0}=\xi=\left \{ \xi(t):-\tau\le t \le 0 \right \}\in \mathcal{L}^{2}_{\mathcal{F}_{0}}([-\tau,0];R^{n})$表示初始值, $A$, $B$, $C$, $D_{1}$ 和 $D_{2}$ 是对应维数的实值常数矩阵. $\bigtriangleup A$ 和 $\bigtriangleup B$ 为实值未知矩阵, 表示参数的不确定性. $x(t)\in R^{n}$, $u(t)\in R^{n}$ 和 $\vartheta (t)\in\mathcal{L}_{\infty}^{n}$ 分别表示状态向量、反馈控制器和外部干扰. $B(t)=(B_{1}(t),B_{2}(t),\cdots,B_{n}(t))$ 是定义在概率空间的 $n$ 维的布朗运动.

注 2.1 $\bigtriangleup A$ 和 $\bigtriangleup B$ 是不确定的, 满足

其中 $E_{1}$, $E_{2}$, $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 是已知匹配维数的实值常数矩阵, $G(t)\in R^{n\times n}$ 是不确定矩阵, 满足 $G^{T}(t)G(t)\le I$.

考虑的事件触发机制如下

这里 $t_{0}=0$, $\overline{\tau}>0$ 是一个常数, $h(t)$ 代表事件产生函数.

注 2.2 基于事件触发控制机制(2.3), 在任意两个连续的触发时刻之间引入一个控制暂停区间 $\bar{\tau}$. 暂停区间位于每个触发时刻 $t_{k}$ 之后, 这使得任意的 $t_{k+1}-t_{k}\ge\bar{\tau}$, 在技术上排除 Zeno 行为. 此外, 在控制暂停区间中, 对系统状态的估计以及传感器和控制器的信息传输都保持关闭, 从而扩大执行间隔并降低了通信耗能.

状态反馈控制器如下

其中 $L\in R^{n\times n}$ 是一个常数矩阵.下面给出由事件触发数据传输引起的测量误差

因此, 系统(2.1)可以改写成

本文设计的事件产生函数 $h(t)$ 如下

这里 $\beta_{1}\in R_{+}$, $\beta_{2}\in R_{+}$ 和 $\theta\in R_{+}$ 分别是阈值参数和权重参数.

下面将引入一些本文需要用到的引理与定义.

引理 2.1^[24] 对任意 $X\in R^{n\times n}$, $Y\in R^{n\times n}$ 和 $G(t)\in R^{n\times n}$, 存在一个常数 $k>0$ 使得

这里 $G^{T}(t)G(t)<I$.

引理 2.2^[25] 对于任意 $X\in R^{n\times n}$, $Y\in R^{n\times n}$, 有

其中 $Q\in R^{n\times n}$ 是一个正定矩阵.

引理 2.3^[26] 令 $Q\in R^{n\times n}$ 是一个正定矩阵, $W\in R^{n\times n}$ 是一个对称矩阵使得

假设 2.1 存在常数对角矩阵 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ 满足

其中 $t\in R_{+}$, $x_{1}$, $x_{2}\in R^{n}$ 且 $f(t,0)=g(t,0)=0$.

定义 2.1 对任意 $t\in R_{+}$, $\gamma \in\mathcal{K}$, $\vartheta\in\mathcal{L}_{\infty}^{n}$, 如果存在常数$\alpha>0$, $\beta>0$, $c>0$ 使得

那么系统(2.6)是均方指数输入到状态稳定.

在本节中, 证明具有不确定性和外部扰动的随机时变时滞非线性系统 (2.6) 是均方指数输入到状态稳定. 最后, 利用事件触发机制, 得到任意两个连续触发时刻间隔的下界, 排除 Zeno 行为.

定理 3.1 如果对于事件触发参数 $\beta_{1}\in(0,0.5)$, $\beta_{2}>0$ 和 $\mu>0$, 存在正定矩阵 $K_{1}$, $K_{2}$, $S_{1}$, $S_{2}$ 和 $Q$ 使得下面不等式成立

其中 $\bar{\mu}=\mu-\frac{2\beta_{1}\lambda_{\max}(K_{2})}{(1-2\beta_{1})\lambda_{\max}(Q)}$, $k_{1}>0$ 和 $k_{2}>0$ 是常数, 那么系统 (2.6) 是均方指数输入到状态稳定.

证 首先定义一个 Lyapunov 函数: $V(x(t))=x^{T}(t)Qx(t)$. 令 $V(x(t))=V(t)$, 根据 Ito 公式可得

根据引理2.1 存在常数 $k_{1}$ 和 $k_{2}$ 使得

通过引理 2.2 和假设 2.1 存在正定矩阵 $K_{1}$ 和 $K_{2}$ 使得

将(3.4)-(3.10)式代入(3.3)式可得

此外, 根据事件触发控制机制对任意 $t\in[t_{k},t_{k+1})$ 有

因此

这意味着

现在取 $\sigma =\frac{\beta_{2}\lambda_{\max}(K_{2})}{1-2\beta_{1}}$ 和$\bar{\mu}=\mu-\frac{2\beta_{1}\lambda_{\max}(K_{2})}{(1-2\beta_{1})\lambda_{\max}(Q)}$ 可得

利用 Dynkin 公式和引理 2.3 有

定义一个函数 $m(\beta)=\beta\lambda_{\max}(Q)-\bar{\mu}+\frac{\lambda_{\max}(k_{2}^{-1}F_{2}^{T}F_{2}S_{1}^{2}+K_{1}S_{1}^{2}+QS_{2}^{2})}{1-\tau_{1}}{\rm e}^{\beta \tau}$, 显然 $m(\beta)$ 关于 $\beta$ 是单调递增且 $m(0)<0$. 因此, 存在 $\beta^{*}$ 使得$m(\beta^{*})=0$. 通过上式可以得到

结合引理 2.3 和(3.15)式有

然后,可得

这里

证毕.

定理 3.2 对于事件触发参数 $\beta_{1}\in(0,0.5)$, $\beta_{2}>0$, 存在正定矩阵 $S_{1}$, $S_{2}$, $K_{1}$, $K_{2}$, $K_{3}$, $K_{4}$, $Q^{'}$ 和常数矩阵 $Z\in R^{m\times n}$ 使得下列条件 (3.17) 和 (3.18) 成立, 那么系统 (2.6) 是均方指数输入到状态稳定.

其中 $K_{3}={\rm diag}\left \{ \frac{1}{k_{1}},\frac{1}{k_{1}},\frac{1}{k_{1}},\cdots,\frac{1}{k_{1}} \right \},K_{4}={\rm diag}\left \{ \frac{1}{k_{2}},\frac{1}{k_{2}},\cdots,\frac{1}{k_{2}} \right \}$, $k_{1}>0$ 和 $k_{2}>0$ 是常数, $L=ZQ^{'-1}$,

证 对 (3.18) 式两边同时乘以矩阵 ${\rm diag}\left \{Q^{'-1},Q^{'-1},Q^{'-1},Q^{'-1},Q^{'-1},I,I \right \}$ 有

因为(3.18)式小于 0, 令 $Q^{'-1}=Q$, 根据矩阵 Schur 补的性质可得

显然, 由(3.17)式可以得到(3.2)式, 线性矩阵不等(3.18)能推出(3.1)式, 通过定理3.1, 定理 3.2 可以得证.

在本节中, 为证实结果的有效性, 考虑三种情况: 系统无控制 $u(t)$ 和干扰 $\vartheta(t)$、系统只存在控制 $u(t)$ 无干扰 $\vartheta(t)$、系统同时存在控制 $u(t)$ 和干扰 $\vartheta(t)$. 考虑如下的时变时滞非线性随机系统

其中 $0\le \tau(t)\le \tau=1$, $x(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t))^{T}$, 令权重矩阵$A=\begin{pmatrix} 1 & \enspace0\\ 0&\enspace-3 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} -5 &\enspace 2\\ 0.5&\enspace3 \end{pmatrix}$, $C=\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}$, $D_{1}=\begin{pmatrix} 5 & \enspace8\\ -5&\enspace9 \end{pmatrix}$, $D_{2}=\begin{pmatrix} -0.15 & 0\\ 0&-0.30 \end{pmatrix}$, $L=\begin{pmatrix} 13.25&\enspace4.21 \end{pmatrix}$.

其中非线性函数 $f(x_{\tau}(t))=\begin{pmatrix} {\rm tanh}(x_{1}(t-\tau(t)))\\ {\rm tanh}(x_{2}(t-\tau(t))) \end{pmatrix}$, $g(x_{\tau}(t))=\begin{pmatrix} {\rm tanh}(x_{1}(t-\tau(t)))\\ {\rm tanh}(x_{2}(t-\tau(t))) \end{pmatrix}$, 对称矩阵 $S_{1}=S_{2}=\begin{pmatrix} 1&\enspace0\\ 0&\enspace1 \end{pmatrix}$, 常数矩阵 $E_{1}=E_{2}=\begin{pmatrix} 0.016&\enspace-0.06 \\ 0.06&\enspace-0.02 \end{pmatrix}$, $F_{1}=F_{2}=\begin{pmatrix} 0.016&\enspace-0.018 \\ 0.016&\enspace-0.018 \end{pmatrix}$, 不确定矩阵 $G(t)=\begin{pmatrix} {\rm tanh}(t)&0 \\ 0&{\rm tanh}(t) \end{pmatrix}$.

当 $u(t)=0$ 和 $\vartheta(t)=0$, 系统(4.1)被称为单系统. 取初始值 $x_{0}=(x_{1}(0),x_{2}(0))^{T}=(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})^{T}$, 步长 0.01 秒, $\tau(t)=0.8\left | \sin(t) \right |$, 通过图1 知道系统在无干扰无控制的情况下是不稳定的.

令 $\mu=1.6$, $\theta=0.39$, $\beta_{1}=0.1$, $\beta_{2}=1$, $K_{3}=K_{4}={\rm diag}\left \{ 1,1 \right \}$, 可以使用 MATLAB 中 LMI 工具箱来寻找矩阵不等式 (3.18) 的可行解, 可得

反馈增益矩阵 $L=\begin{pmatrix} -13.0502 &\enspace-4.4000\end{pmatrix}$. 由图2 可以看出在控制 $u(t)$ 下系统(4.1)是稳定的.

令外部扰动 $\vartheta(t)=(\vartheta_{1}(t),\vartheta_{2}(t))$,其中$\vartheta_{0}$ 是在区间 (?0.1,0.1) 内正态分布的随机数序列, 取 $\vartheta_{1}=\vartheta_{0}(0.1+0.5\cos(2t))$, $\vartheta_{2}=\vartheta_{0}(0.1-0.5\sin(2t))$, 其余条件和 4.2、4.3 保持不变. 通过图3 可以看出系统 (4.1) 在事件触发控制下是均方指数输入到状态稳定.

注 4.1 在 4.1 中, 由图1 可知单系统 (4.1) 本身是不稳定的. 在 4.1 基础上施加本文的事件触发控制得到 4.2, 由图2 可知在控制 $u(t)$ 下单系统 (4.1) 从不稳定变得稳定, 说明本文的事件触发控制策略是有效的. 最后, 对 4.2 施加随机的外部干扰 $\vartheta (t)$ 得到 4.3, 图3 展示了受控单系统 (4.1) 对外部干扰具有良好的鲁棒性, 可以看出受扰系统 (4.1) 在控制 $u(t)$ 下是均方指数输入到状态稳定.

注 4.2 为了展示指数衰减项 ${\rm e}^{-\theta t}$ 对事件触发时刻的影响, 基于例子 4.3 分别给出两种情况.图4 展示了 4.3 在触发条件 (2.7) 下的事件触发时刻, 其中 $\theta=0.39$, 一共触发 755 次.当触发条件 (2.7) 去掉指数衰减项 ${\rm e}^{-\theta t}$, 4.3 的事件触发时刻如图5 所示, 一共触发 2235 次. 由此可见, 在触发条件中加入指数衰减项能有效降低事件触发频率.

本文研究具有外部扰动和不确定性的随机时变时滞微分非线性系统的事件触发控制及其稳定问题. 首先, 采用间歇事件触发控制机制排除 Zeno 行为, 并在事件产生函数中加入指数衰减项, 进一步降低事件触发频率. 然后, 利用线性矩阵不等式方法, 结合事件触发机制获得系统稳定的判据, 通过算例 4.1, 4.2 和 4.3 证实了方法的有效性.