有关顺从群作用的理论框架基础应该追溯到 Ornstein 和 Weiss 的开创性文章见文献 [19], 之后它由 Rudolph 和Weiss^[20] 与 Danilenko^[7] 广泛发展.

除此之外,相关理论也可参见 Benjy Weiss 的著名文章见文献 [26].

随机变换理论更适合研究可由不同映射的迭代描述其对应演变过程的系统, 而不是仅由一个映射的迭代形成的经典动力系统.这一基本知识理论结构来自 Ulam 和 von Neumann 的文章^[25]. 几年后, 随机遍历定理由 Kakutani^[13]建立并证明.在 1970 年代, 他们的工作在相对遍历理论的框架内继续进行^[18,24], 但在当时, 所有这些都只引起了很小的兴趣.随机流作为随机微分方程解的出现为该主题提供了巨大的推动力.本文的主要研究对象是无限可数离散顺从群作用的随机动力系统.

当考虑到敏感性的另一面时, 自然而然地出现了在一点上等度连续的概念, 这部分内容可参考文献 [12].众所周知, 等度连续系统具有简单的动力学行为.如果由群作用组成的映射集合是一致等度连续族, 则对应的动力系统被称为等度连续系统.等度连续系统是最简单的一类动力系统; 事实上, 等度连续极小系统有一个完整的分类.

近年来, 因为平均等度连续性与可测动力系统 (即具有不变概率测度的动力系统) 的遍历性有关,所以它引起了许多学者的兴趣.特别地, 使用平均等度连续性的测度理论的一个版本, 可以描述一些特殊情况, 例如文献 [10] 中当保测系统具有离散谱的时候或者当极大等度连续因子实际上是同构时^[4,17].

关于平均等度连续的概念有两种.其中一种是 Weyl 平均等度连续, 另一种是 Besicovitch 平均等度连续.文献 [17] 中介绍了 $\mathbb{Z}$ 作用的动力系统中 Weyl 和 Besicovitch 平均等度连续的概念;文献 [9] 中介绍了顺从群作用动力系统中的 Weyl 和 Besicovitch 平均等度连续的概念. 受此启发, 本文将介绍顺从群作用的随机动力系统中的 Weyl 平均等度连续和 Weyl 平均等度敏感的概念.

在经典动力系统中, 关于平均等度连续性已经有很多结果. 例如在文献 [2] 中表明一个动力系统 $(X,T)$ 是几乎等度连续的, 那么由等度连续点组成的集合与所有传递点构成的集合是一致的, 因此由文献 [12] 可知对应系统是一致刚性的, 从而由参考文献 [11] 得系统的拓扑熵为零.文献 [3] 中得到如果 $(X,T)$ 是极小的系统, 那么 $(X,T)$ 要么是等度连续的, 要么是敏感的; 文献 [2] 证明了如果 $(X,T)$ 是传递的, 则 $(X,T)$ 要么是几乎等度连续的, 要么就是敏感的.对于几乎平均等度连续系统,其对应的由传递点构成的集合包含在所有由平均等度连续点组成的集合中,并且存在它们不一致的例子,这一结果来源于文献 [17].

在文献 [17] 中证明了如果一个动力系统 $(X,T)$ 是极小的, 那么 $(X,T)$ 要么是平均等度连续的, 要么是平均敏感的; 如果 $(X,T)$ 是传递的, 则 $(X,T)$ 要么是几乎平均等度连续的, 要么是平均敏感的.对于顺从群作用的动力系统, 文献 [27] 得出当群作用是传递的, 那么对应系统要么是几乎 Weyl 平均等度连续要么是 Weyl 平均敏感的; 如果群作用是一个极小的, 则对应系统是 Weyl 平均等度连续的, 要么是 Weyl 平均敏感的.

在以连续丛随机动力系统为研究对象的前提下, 本文研究了随机选择的不同变换的连续作用, 而不是单一映射的迭代.

本文的组织结构如下：本文在第 2 部分开始, 简单地回顾了有关连续丛随机动力系统 (或简记为 CRDS) 的一些基本符号、定义和结果.在第 3 部分中, 本文介绍了 CRDS 的 Weyl 平均等度连续的概念和基本命题.在第 4 部分中, 本文介绍了 CRDS 的 Weyl 平均敏感的概念和基本命题, 并在本文的最后一部分得到了 CRDS 的 Weyl 平均等度连续性和 Weyl 平均敏感性之间的二分法结果.

首先, 本文回顾了即将使用到的群作用的基本知识和随机动力系统的定义.有关随机动力系统的更多信息参考文献 [8,p.27] 和一些关于遍历理论的众所周知的事实, 这些事实可以在许多优秀的书籍和论文中找到例如文献 [1,8,15,21,22].

设 $\Omega \neq \emptyset$ 是一个抽象集合, $\mathcal{F}$ 是由 $\Omega$ 的子集构成的 $\sigma$-代数, $\mathbb{P}$ 是 $\mathcal{F}$ 上的概率测度, 则称 $(\Omega,\mathcal{F})$ 为可测空间, 称 $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ 为概率空间.如果 $\sigma$-代数 $\mathcal{F}$ 包含了概率为 0 的所有子集, 则称概率空间 $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ 为完备的.

设 $(Y, \mathcal{D},\nu)$ 是一个概率空间, $G$ 是作用在 $(Y,\mathcal{D}, \nu)$ 上的可逆保测变换群, 其中 $e_{G}$ 作为恒同变换, 则称 $(Y, \mathcal{D}, \nu, G)$ 是可测动力系统 (简记为 MDS).

定义 2.1 如果一个集合 $X$ 中不存在非空的真的 $G$ 不变闭子集, 则称群作用 $G\curvearrowright X$ 是极小的.如果群作用限制在一个闭的 $G$ 不变集合 $A$ 上是极小的, 则称集合 $A \subseteq X$ 是极小的.如果对于任意的非空开集合 $U, V \subseteq X$ 存在一个 $s \in G$ 使得 $sU\cap V\neq\emptyset$, 则称作用 $G\curvearrowright X$ 是 (拓扑) 传递的.

假设 $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P},G)$ 是 MDS, 其中 $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ 是一个 Lebesgue 空间.特别地, $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ 是一个完备的可数可分的.现在假设 $(X,\mathcal{B})$ 是一个可测空间并且 $\mathcal{E}\in\mathcal{F}\times\mathcal{B}$, 则 $(\mathcal{E},(\mathcal{F}\times\mathcal{B})_{\mathcal{E}})$ 自然形成一个可测空间, 其中 $(\mathcal{F}\times\mathcal{B})_{\mathcal{E}}$ 是由 $\mathcal{F}\times\mathcal{B}$ 限制在 $\mathcal{E}$ 上构成了 $\mathcal{E}$ 的 $\sigma$-代数.对于任意的 $\omega\in\Omega$, 设 $\mathcal{E}_{\omega}=\{x\in X:(\omega,x)\in \mathcal{E}\}$.一个定义在 $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P},G)$ 上的丛随机动力系统或者随机动力系统 (RDS) 是一映射族 $\mathbf{F}=\{F_{g,\omega}:\mathcal{E}_{\omega}\rightarrow \mathcal{E}_{g\omega}\mid g\in G, \omega\in \Omega\}$ 且满足下列条件

(1) 对于每一个 $\omega\in\Omega$, 变换 $F_{e_{G},\omega}$ 在 $\mathcal{E}_{\omega}$ 上是一个恒同映射;

(2) 对任意的 $g\in G$, 由 $(\omega,x)\mapsto F_{g,\omega}(x)$ 定义的映射 $(\mathcal{E},(\mathcal{F}\times\mathcal{B})_{\mathcal{E}})\rightarrow (X,\mathcal{B})$ 是可测的;

(3) 对于任意的 $\omega\in\Omega$ 和 $g_{1},g_{2}\in G,F_{g_{2},g_{1}\omega}\circ F_{g_{1},\omega}=F_{g_{2}g_{1},\omega}$ (因此对于任意的 $g\in G$, 都有 $F_{g^{-1},\omega}=(F_{g,g^{-1}\omega})^{-1}$ ),在此情况下, 对于任意的 $g\in G$ 通过 $(\omega,x)\rightarrow(g\omega,F_{g,\omega}x)$ 的方式定义, $G$ 在 $\mathcal{E}$ 上自然形成一个可测作用, 这一作用称为对应的斜积变换 (skew product transformation).

设 $\mathbf{F}=\{F_{g,\omega}:\mathcal{E}_{\omega}\rightarrow \mathcal{E}_{g\omega}\mid g\in G, \omega\in \Omega\}$ 是一个 $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P},G)$ 上的 RDS, 其中 $X$ 是一个带有度量 $d$ 的紧空间并且 Borel $\sigma-$,代数为 $\mathcal{B}_{X}$. 如果对于 $\mathbb{P}-$ a.e. $\omega\in\Omega$, $\emptyset\neq\mathcal{E}_{\omega}\subseteq X$ 是一个紧子集, 对于任意的 $g\in G$, $F_{g,\omega}$ 是一个连续映射 (因此 $\mathbb{P}-$ a.e. $\omega\in\Omega$ 和 $g\in G$, $F_{g,\omega}:\mathcal{E}_{\omega}\rightarrow \mathcal{E}_{g\omega}$ 是同胚映射), 则称 $\mathbf{F}$ 为连续丛 RDS (简记为 CRDS).

如下所示, 这些概念推广了动力系统中的经典概念.如果 $\Omega$ 是单点集, 则 $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P},G)$ 就是一个平凡的 MDS. $X$ 是一个紧度量空间, 那么定义在平凡的 MDS 上的一丛随机动力系统意味着对于某个非空紧子集 $K\subseteq X$ 存在一个拓扑 $G$ 作用 $(K,G)$, 也就是, 群 $G$ 作用在 $K$ 上, 即这儿存在一族同胚 $\{F_{g}:g\in G\}$ 使得对于任意的 $g_{1},g_{2}\in G$ 满足 $F_{g_{2}}\circ F_{g_{1}}=F_{g_{2}g_{1}}$ 并且 $F_{e_{G}}$ 作为 $K$ 上的恒同变换. 偶对 $(K,G)$ 也被称为拓扑动力 $G$ 系统 (或简记为 TDS). 有关随机动力系统理论的更多信息可以参考文献 [5,6,14,16,23].

除此之外, 回忆一下 Banach 密度的概念^[27].设 $E\subseteq G$, $\{F_{n}\}$ 是 $G$ 的一个 Følner 序列, 则 $E$ 关于 $\{F_{n}\}$ 的上密度(upper density) $\bar{{\rm d}}(E)$ 为

$E$ 关于 $\{F_{n}\}$ 的下密度 (lower density) $\underline{{\rm d}}(E)$ 为

如果 $\bar{{\rm d}}(E)=\underline{{\rm d}}(E)$, 则称 $E$ 存在密度且为 ${\rm d}(E)$, 其中 ${\rm d}(E)=\bar{{\rm d}}(E)=\underline{{\rm d}}(E)$.

$E$ 的上 Banach 密度 (upper Banach density) 为

用同样的方式给出 $E$ 的下 Banach 密度 (lower Banach density) 为 $BD_{*}(E)$, $E$ 的 Banach 密度 (Banach density) 为 $BD(E)$, 且 $BD(E)=BD^{*}(E)=BD_{*}(E)$.

在这一部分, 本文一般化了平均等度连续的概念. 受文献 [9,17,27] 的启发, 本文以下列方式介绍随机动力系统的 Weyl 平均等度连续的概念.

定义 3.1 设 $G$ 是一个可数离散群, Fin(G) 是由 G 所有的非空有限子集构成的集族, $X$ 是一个紧度量空间, 度量为 $d$. 如果对于 $x,y \in X$ 同属于某个 $\mathcal{E}_{\omega}$, 记

和

否则 $\dot{\overline{D}}^{(r)}(x,y)=\infty$.

如果对于任意的 $\varepsilon>0$, 存在 $\delta>0$ 使得对于同属于某个 $\mathcal{E}_{\omega}$ 且 ${\rm d}(x,y)<\delta$ 的 $x,y$ 都满足

则称连续随机动力系统 $\mathbf{F}=\{F_{g,\omega}:\mathcal{E}_{\omega}\rightarrow\mathcal{E}_{g\omega}\mid g\in G, \omega\in \Omega\}$是 Banach 平均等度连续的 (或简写为 BME).

定义 3.2 设 $G$ 是一个离散群, Fin $(G)$ 是由 $G$ 所有的非空有限子集构成的集族. $X$ 是一个紧度量空间, 度量为 $d$,

若 $x,y\in X$, 记

如果对于任意的 $\varepsilon>0$, 存在 $\delta>0$ 使得对于任意的 $x, y\in X,$ 且 ${\rm d}(x,y)<\delta$ 都满足 $\overline{D}(x,y)<\varepsilon,$则称作用 $G\curvearrowright X$ 是 Banach 平均等度连续的 (或简记为 B-mean equicontinuous).

注 3.1 设 $X$ 是一个紧度量空间, $G$ 是一个群且 $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P},G)$ 是一个平凡的 MDS. 如果连续随机动力系统

是 Banach 平均等度连续的, 那么存在 $X$ 中的一个非空紧子集 $K\subseteq X$ 使得作用 $G\curvearrowright K$ 是 Banach 平均等度连续的.

定义 3.3 设 $G$ 是一个顺从群, $\mathcal{F}=\{F_{n}\}_{n\in \mathbb{N}}$ 是 $G$ 中的一个 Følner 序列. 如果对于任意的 $\varepsilon>0$, 存在 $\delta>0$ 使得对于同属于某个 $\mathcal{E}_{\omega}$ 的 $x,y\in X,$ 且${\rm d}(x,y)<\delta$ 都满足

则称连续随机动力系统 $\mathbf{F}=\{F_{g,\omega}:\mathcal{E}_{\omega}\rightarrow\mathcal{E}_{g\omega}\mid g\in G, \omega\in \Omega\}$ 是 Besicovitch- $\mathcal{F}$ -平均等度连续的.

如果对于任意的 $\varepsilon>0$, 存在 $\delta>0$ 使得对于同属于某个 $\mathcal{E}_{\omega}$ 的 $x,y\in X,$ 且${\rm d}(x,y)<\delta$ 都满足

且

(若 $x,y$ 不同时属于任一 $\mathcal{E}_{\omega},$ 记 $\hat{D}^{(r)}_{\omega}(x, y)=\infty$) 则称连续随机动力系统 $\mathbf{F}=\{F_{g,\omega}:\mathcal{E}_{\omega}\rightarrow\mathcal{E}_{g\omega}\mid g\in G, \omega\in \Omega\}$ 是 Weyl 平均等度连续的 (或简记为 WME).

定义 3.4^[27] 设 $G$ 是一个顺从群, $\mathcal{F}=\{F_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ 是 $G$ 的一个 Følner 序列.如果对于任意的 $\varepsilon>0$, 存在 $\delta>0$ 使得

其中 $x, y\in X$, ${\rm d}(x, y)<\delta$. 则称作用 $G\curvearrowright X$ 是 Besicovitch- $\mathcal{F}$ - 平均等度连续的.

如果对于任意的 $\varepsilon>0$, 存在 $\delta>0$ 使得对于任意的 $x, y\in X,$ 且 ${\rm d}(x, y)<\delta$ 都满足

则称作用 $G\curvearrowright X$ 是 {Weyl} 平均等度连续的.

类似于注3.1 得下列结果.

注 3.2 设 $X$ 是一个紧度量空间, $G$ 是一个群和 $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P},G)$ 是一个平凡的 MDS.如果对于某个非空紧子集 $K\subseteq X$, 连续随机动力系统 $\mathbf{F}=\{F_{g,\omega}:\mathcal{E}_{\omega}\rightarrow\mathcal{E}_{g\omega}\mid g\in G, \omega\in \Omega\}$是 Weyl 平均等度连续的, 则作用 $G\curvearrowright K$ 是 Weyl 平均等度连续的.

结合文献 [27,定理 4.3 p.6] 得下列结果.

注 3.3 当 $G$ 是一个可数顺从群时, 上述两种定义是等价的.

对于无限可数离散顺从群作用相关的随机动力系统, 下列将参考 (3.1) 和 (3.4) 式证明

定理 3.1 设 $G$ 是一个可数顺从群, $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P},G)$ 是一个 MDS, $X$ 是一个紧度量空间且

是连续随机动力系统，则

证 设 $x,y\in X$. 如果对于不同时属于某个 $\mathcal{E}_{\omega}$ 的 $x,y$, 很明显 $\dot{\overline{D}}^{(r)}_{\omega}(x, y)=\hat{D}^{(r)}_{\omega}(x, y)$.

下列证明剩余情况.

若存在某个 $\omega\in \Omega$ 且 $x, y\in \mathcal{E}_{\omega}$. 首先证明 $\hat{D}^{(r)}_{\omega}(x, y)\leq\dot{\overline{D}}^{(r)}_{\omega}(x, y)$.

设 $\varepsilon>0$. 根据 $\dot{\overline{D}}^{(r)}_{\omega}(x, y)$ 的定义可知,存在一个非空有限子集 $K\in {\rm {Fin}}(G)$ 使得

设 $\mathcal{F}=\{F_{n}\}_{n\in \mathbb{N}}$ 是 $G$ 中的一Følner 序列. 接下来证明

给定一个 $g\in G$. 对于任意的 $h\in F_{n}$ 有

因此

设 $h\in F_{n}$, $t\in K$, 记

因此上述不等式 (3.7) 可改写为

从而存在 $t'\in K$ 使得

因此得到

也意味着

又因为

其中 ${\rm {diam}}(X)$ 是紧度量空间 $(X, d)$ 的直径. 加之 $\{F_n\}$ 是一 Følner 序列, 得

由于 Følner 序列 $\{F_n\}$ 选取的任意性, 可得

上述不等式两边对 $\varepsilon\rightarrow0$ 取极限, 可得

假设 $\omega\in \Omega$ 和 $x_0, y_0\in \mathcal{E}_{\omega}$ 有 $\hat{D}^{(r)}_{\omega}(x_0, y_0)<\dot{\overline{D}}^{(r)}_{\omega}(x_0, y_0)$ 成立. 下列将得到一矛盾, 从而完成本定理的证明.

取两个满足

的实数 $\eta_1, \eta_2\in\mathbb{R}.$

任取 $n\in\mathbb{N}$, 设 $\{F_{n}\}_{n\in \mathbb{N}}$ 是顺从群 $G$ 的一 Følner 序列. 对于任意的$F_{n}$ 都是 $G$ 中的一非空有限子集.由 $\dot{\overline{D}}^{(r)}_{\omega}(x_{0}, y_{0})$ 的定义可得

因此对于任意的 $n\in\mathbb{N}$, 存在 $g_{n}\in G$ 满足

记 $H_{n}=F_{n}g_{n}$. 因为 $\{H_{n}\}_{n\in \mathbb{N}}$ 也是 $G$ 的一 (左) Følner 序列, 因而

由此得到 (3.9) 与 (3.8) 式矛盾. 从而定理得证.

由上述定理 3.1 可知, 对于 CRDS 而言, Banach 和 Weyl 两种平均等度连续概念是等价的.

命题 3.1 设 $G$ 是一个可数顺从群, $X$ 是一个紧度量空间, 则 CRDS $\mathbf{F}$ 是 Banach 平均等度连续的当且仅当 $\mathbf{F}$ 是 Weyl 平均等度连续的.

注 3.4 Banach 平均等连续性的定义似乎取决于度量的特定选择. 但是由于底空间 $X$ 的紧性可得 Banach 平均等度连续性对于一个度量成立当且仅当它适用于任何度量 (生成相同的拓扑) 时也成立.

定义 3.5 若对于任意 $\varepsilon>0$ 和 $\omega\in \{\omega\in\Omega:(\omega,x)\in\mathcal{E}\}$, 存在一正实数 $\delta>0$ 满足下列条件: 当 $x,y\in\mathcal{E}_{\omega}$ 且 ${\rm d}(x,y)<\delta$ 时, 除去一个上 Banach 密度小于 $\varepsilon$ 的集合以外的 $g\in G$, 都满足

则称连续随机动力系统 $\mathbf{F}=\{F_{g,\omega}:\mathcal{E}_{\omega}\rightarrow\mathcal{E}_{g\omega}\mid g\in G, \omega\in \Omega\}$ 是在李雅普诺夫意义下是平均-L-稳定的 (mean-L-stable).

引理 3.1 设 $G$ 是一个顺从群, 则连续随机动力系统 $\mathbf{F}=\{F_{g,\omega}:\mathcal{E}_{\omega}\rightarrow\mathcal{E}_{g\omega}\mid g\in G, \omega\in \Omega\}$是 {BME} 当且仅当它是平均-L-稳定.

证 假设连续随机动力系统 $\mathbf{F}=\{F_{g,\omega}:\mathcal{E}_{\omega}\rightarrow\mathcal{E}_{g\omega}\mid g\in G, \omega\in \Omega\}$ 是{{BME}}. 根据命题 3.1, $\mathbf{F}$ 是 Weyl 平均等度连续的. 设 $\varepsilon>0$, 存在一个正实数 $\delta>0$ 使得 $x,y$ 只要同属于某个 $\mathcal{E}_{\omega}$ 且 ${\rm d}(x,y)<\delta$ 就满足

其中上确界取遍 $G$ 中所有的 Følner 序列 $\{F_{n}\}$.

假设 $x,y$ 同属于某个 $\mathcal{E}_{\omega}$ 且 ${\rm d}(x,y)<\delta$. 记 $E_{\omega}=\left\{g\in G:{\rm d}(F_{g,\omega}x,F_{g,\omega}y)\geq\varepsilon\right)\},$从而

因而 BD $^{*}(E_{\omega})<\varepsilon$, 这也意味着连续随机动力系统 $\mathbf{F}$ 是平均-L-稳定的.

反之, 假设连续随机动力系统

是平均-L-稳定的.设 $\omega\in\{\omega\in\Omega:(\omega,x)\in\mathcal{E}\}$, $\varepsilon>0$ 和取一个小于 $\frac{\varepsilon}{2(1+{\rm{diam}}(X))}$ 的正实数 $\eta$, 则存在一个正实数 $\delta>0$ 使得当 $x,y\in\mathcal{E}_{\omega}$ 且 ${\rm d}(x,y)<\delta$ 时, 除去一个上 Banach 密度小于 $\eta$ 的集合以外的 $g\in G$ 都满足

设 $x,y\in X$ 同属于某个 $\mathcal{E}_{\omega}$ 且 ${\rm d}(x,y)<\delta$. 任取一个 $G$ 的 Følner 序列 $\{F_{n}\}_{n\in \mathbb{N}}$ 且

从而 BD $^{*}(E_{\omega})<\eta$ 且

意味着连续随机动力系统 $\mathbf{F}=\{F_{g,\omega}:\mathcal{E}_{\omega}\rightarrow\mathcal{E}_{g\omega}\mid g\in G, \omega\in \Omega\}$ 是 BME.

根据命题 3.1 和引理 3.1 可得到下列结果.

定理 3.2 设 $G$ 是一个可数顺从群, $\mathbf{F}$ 是定义在 $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P},G)$ 上的一个 CRDS, 则下列叙述等价

(1) $\mathbf{F}$ 是 WME;

(2) $\mathbf{F}$ 是 BME;

(3) $\mathbf{F}$ 是平均-L-稳定的.

在确定性动力系统中, 由 $X$ 的紧致性可知动力系统 $(X, T )$ 是等度连续的当且仅当 $X$ 中的每一个点都是平均等度连续点^[17]. 由 $X$ 的紧致性可知顺从群作用 $G\curvearrowright X$ 是 Banach 平均等度连续的当且仅当 $X$ 中的每一个点都是 Banach平均等度连续点^[27].

在这一部分, 本文将介绍连续随机动力系统 $\mathbf{F}$ 的 Weyl 平均等度连续点和 Weyl 平均敏感性.

如果对于任意的 $\varepsilon>0$, 存在 $\delta>0$ 使得对于任意的 $y\in B(x,\delta)\cap\mathcal{E}_{\omega}$, 都有

则称点 $x\in X$ 是关于 $\omega\in\{\omega\in \Omega:(\omega,x)\in\mathcal{E}\}$ 是 Weyl 平均等度连续的.

如果对于任意的 $\varepsilon>0$, 存在 $\delta>0$ 使得

这里 $x,y\in \mathcal{E}_{\omega}$ 且 ${\rm d}(x,y)<\delta$,则称点 $x\in X$ 是 Weyl 平均等度连续的.

设 $\omega\in\Omega$, 由 $\mathcal{E}_{\omega}$ 和 $X$ 的紧致性可知 $\mathbf{F}$ 是 Weyl 平均等度连续的当且仅当 $\bigcup_{\omega\in \Omega}\mathcal{E}_{\omega}$ 的每一个点都是 Weyl 平均等度连续的, 如果系统中至少有一个 Weyl 平均等度连续的点, 则称随机动力系统 $\mathbf{F}=\{F_{g,\omega}:\mathcal{E}_{\omega}\rightarrow\mathcal{E}_{g\omega}\mid g\in G, \omega\in \Omega\}$ 是几乎 Weyl 平均等度连续的.

设 $\omega\in\Omega$, 记 $B_{\omega}(x,\delta)=B(x,\delta)\cap\mathcal{E}_{\omega}$, 这里 $B(x,\delta)$ 表示以 $x$ 为球心半径为 $\delta$ 的开球. 根据 CRDS 的定义, 存在 $\Omega$ 中的一个测度为 1 的子集合 $A$ 使得 $\forall_{\omega}\in A, \emptyset\neq\mathcal{E}_{\omega}\subseteq X$ 是一个紧集且对于任意的 $g\in G$ 和 $\omega\in A$ 映射 $F_{g,\omega}$ 是连续的.

记 $\mathbb{E}$ 是由所有的 Weyl 平均等度连续点构成的集合. 设 $\omega\in\Omega$, 对于任意的 $\varepsilon>0$,

有关 Weyl 平均等度连续点有下列命题成立.

命题 4.1 设 $G$ 是一个可数顺从群, $\mathbf{F}=\{F_{g,\omega}:\mathcal{E}_{\omega}\rightarrow\mathcal{E}_{g\omega}\mid g\in G, \omega\in\Omega\}$ 是一个连续随机动力系统, $\varepsilon>0$, 则 $\mathbb{E}_{\omega,\varepsilon}$ 是开集, 对于 $s\in G,\omega\in A$, $F_{s,\omega}^{-1}\mathbb{E}_{s\omega,\varepsilon/2}\subseteq \mathbb{E}_{ \omega,\varepsilon}$. 除此之外, 如果 $\Omega$ 是一个有限集, 则 $\mathbb{E}=\bigcap\limits_{m=1}^{\infty}\bigcup_{\omega\in A}\mathbb{E}_{\omega,\frac{1}{m}}$ 是 $X$ 中的一个 $G_{\delta}$ 集.

证 设 $\omega\in\Omega$, $\varepsilon>0$ 且 $x\in\mathbb{E}_{\omega,\varepsilon}$. 取 $\delta>0$ 使其对于 $x$ 满足 $\mathbb{E}_{\omega,\varepsilon}$ 中的定义条件.

设 $y\in B_{\omega}(x, \delta/2)$. 如果 $z,w\in B_{\omega}(y, \delta/2)$, 则 $z,w\in B_{\omega}(x,\delta)$, 进而 $\hat{D}^{(r)}(z, w)<\varepsilon$. 这意味着 $B_{\omega}(x, \delta/2)\subseteq \mathbb{E}_{\omega,\varepsilon}$, 因此 $\mathbb{E}_{\omega,\varepsilon}$ 是开集.

设 $s\in G$, $\omega\in\Omega$. 如果 $x\in F_{s,\omega}^{-1}\mathbb{E}_{s\omega,\varepsilon/2}$, 则 $F_{s,\omega}x\in \mathbb{E}_{s\omega,\varepsilon/2}$. 取 $\delta>0$ 满足 $\mathbb{E}_{s\omega,\varepsilon/2}$ 中 $F_{s,\omega}x$ 的要求. 也就是对于任意的 $y,z\in B_{s\omega}(F_{s,\omega}x, \delta)$, 有 $\hat{D}^{(r)}(y,z)<\varepsilon/2.$ 根据 $F_{s,\omega}$ 的连续性可知,存在 $\eta>0$ 使得对于任意 $y\in B_{\omega}(x,\eta)$ 都满足 ${\rm d}(F_{s,\omega}y,F_{s,\omega}x)<\delta$.

设 $u,v\in B_{\omega}(x,\eta)$, 有 $F_{s,\omega}u,F_{s,\omega}v\in B_{s\omega}(F_{s,\omega}x, \delta)$.

设 $\mathcal{F}=\{F_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ 是 $G$ 中的任一 Følner 序列. 注意到 $\mathcal{F} s=\{F_n s\}_{n\in\mathbb{N}}$ 也是 $G$ 中的一 (左) Følner 序列. 故

由于 Følner 序列 $\mathcal{F}$ 选取的任意性可得 $\hat{D}^{(r)}(u, v)\leq\varepsilon/2<\varepsilon$, 也就是 $x\in \mathbb{E}_{\omega,\varepsilon}$.因此对于 $s\in G$, $\omega\in\Omega$ 有 $F_{s,\omega}^{-1}\,E_{s \omega,\varepsilon/2}\subseteq \mathbb{E}_{\omega,\varepsilon}$.

如果 $x\in\bigcap\limits_{m=1}^{\infty}\bigcup\limits_{\omega\in A}\mathbb{E}_{\omega, \frac{1}{m}}$, 则对于任意的 $m$ 和某一 $\omega\in\Omega$ 满足 $x\in \mathbb{E}_{\omega,\frac{1}{m}}$,因此 $x\in \mathbb{E}.$

反之, 设 $x\in \mathbb{E}$, $m\geq1$, 存在 $\delta>0$ 使得对于任意的 $y\in B(x,\delta)$ 满足 $\hat{D}^{(r)}(x, y)<1/2m$. 设 $\omega\in A$. 如果 $y,z \in B_{\omega}(x,\delta)$, 则

因此 $x\in \mathbb{E}_{\omega,\frac{1}{m}}$, 进而 $\mathbb{E}=\bigcap\limits_{m=1}^{\infty}\bigcup\limits_{\omega\in A}\mathbb{E}_{\omega,\frac{1}{m}}$.因此此性质得证.

注 4.1 设 $X$ 是一个紧度量空间, $G$ 是一个群且 $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P},G)$ 是一个 MDS. 则上述结果与文献 [27,命题 4.6] 结果一致.

设 $X$ 是一个紧度量空间. 众所周知, $X$ 中的一个子集合如果包含了一个可数个稠密开子集的交集则称之为 residual. 由 Baire category 定理可知, $X$ 中的一个 residual 集合也是稠密的. 若 $\Omega$ 是一个单点集, 则可得出下列结果

命题 4.2 设 $G$ 是一个可数顺从群, $\Omega$ 是一个单点集. 设 $X$ 是一个紧度量空间. 如果作用 $G\curvearrowright \mathcal{E}$ 是传递的, 则存在一个紧子集 $K\subseteq X$ 满足

(1) $G\curvearrowright K$ 是一传递作用;

(2) $\mathbb{E}$ 要么是空集要么是 residual. 另外, 若作用 $G\curvearrowright K$ 是几乎 Weyl 平均等度连续的, 则每一个传递点都是 Weyl 平均等度连续的;

(3) 如果作用 $G\curvearrowright \mathcal{E}$ 是极小的, 即作用 $G\curvearrowright K$ 是极小的且是几乎 Weyl 平均等度连续的, 则 $G\curvearrowright K$ 是 Weyl 平均等度连续的.

定义 4.1 设 $\mathbf{F}$ 是一连续随机动力系统和 $x\in X$. 如果存在正实数 $\delta>0$, 使得对于任意的$\varepsilon>0$, 存在 $\omega\in \Omega$ 和 $y\in\mathcal{E}_{\omega}\cap B(x,\varepsilon)$ 满足

则称点 $x\in X$ 是 Weyl 平均敏感点.

由此可见, 一个点要么是 Weyl 平均等度连续点要么是 Weyl 平均敏感点.

如果存在 $\omega\in \Omega$ 和 $\delta>0$ 使得对于任意的 $\varepsilon>0$, $y\in \mathcal{E}_{\omega}\cap B(x,\varepsilon)$ 都满足

则称连续随机动力系统 $\mathbf{F}$ 是 Weyl 平均敏感的.

定义 4.2 设 $G\curvearrowright X$ 是一个连续作用和 $x\in X$. 如果存在 $\delta>0$ 使得对于任意的 $\varepsilon>0$, 这里存在一点 $y\in B(x,\varepsilon)$ 满足

则称点 $x$ 是 Weyl 平均敏感点.

关于随机动力系统的 Weyl 平均敏感点与群作用系统的 Weyl 平均敏感点的关系, 可以得出以下结论.

注 4.2 设 $X$ 是一个紧度量空间, $G$ 是一个群, $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P},G)$ 是一个平凡 MDS. 若 $x\in X$ 是与随机动力系统

有关的 Weyl 平均敏感点, 则存在一个非空紧子集 $K\subseteq X$, 对于群作用 $G\curvearrowright K$ 点 $x\in K$ 是 Weyl 平均敏感点.

命题 4.3 设 $G$ 是一个可数顺从群和 $X$ 是一个紧度量空间.

是连续随机动力系统.如果存在 $\omega\in A$ 和 $\delta>0$ 使得对于 $\mathcal{E}_{\omega}$ 中每一个非空开子集 $U_{\omega}$, 存在 $g\in G, U'\subseteq \mathcal{E}_{g\omega}$ (这里存在 $U_{0}\subseteq X$ 使得 $U_{\omega}=U_{0}\cap\mathcal{E}_{\omega}, U'=U_{0}\cap\mathcal{E}_{g\omega}$ ), 存在 $x_{0},y_{0}\in U'$ 满足 $\hat{D}_{g\omega}^{(r)}(x_{0}, y_{0})>\delta$.则连续随机动力系统 $\mathbf{F}$ 是 Weyl 平均敏感的.

证 假设存在 $\omega\in A$ 和 $\delta>0$ 使得对于 $\mathcal{E}_{\omega}$ 中的每一个非空开子集 $U_{\omega}$, 存在 $g\in G, U'\subseteq \mathcal{E}_{g\omega}$ (这里存在 $U_{0}\subseteq X$ 满足 $U_{\omega}=U_{0}\cap\mathcal{E}_{\omega}, U'=U_{0}\cap\mathcal{E}_{g\omega}$ ), 存在 $x_{0},y_{0}\in U'$ 满足 $\hat{D}_{g\omega}^{(r)}(x_{0}, y_{0})>2\delta$.

设 $(\omega,x)\in \mathcal{E}$ 和 $\varepsilon>0$, 则 $B(x,\varepsilon)\neq\emptyset$, 又因为 $B(x,\varepsilon)\cap\mathcal{E}_{\omega}$ 是$\mathcal{E}_{\omega}$ 中的一个开子集, 故存在 $g\in G$ 和 $y,z\in B(x,\varepsilon)\cap\mathcal{E}_{g\omega}$ 满足 $\hat{D}_{g\omega}^{(r)}(y,z)>2\delta.$ 因此要么 $\hat{D}_{g\omega}^{(r)}(x, y)>\delta$ 要么 $\hat{D}_{g\omega}^{(r)}(x,z)>\delta.$ 这也意味着连续随机动力系统 $\mathbf{F}$ 是 Weyl 平均敏感的.

命题 4.4 设 $G$ 是一个可数顺从群和 $X$ 是一个紧度量空间. 设斜积变换是传递的. 如果 $(\omega_{0},x_{0})\in \mathcal{E}$ 是传递点, 在集合 $\mathcal{E}_{\omega_{0}}$ 中 $x_{0}$ 是一个 Weyl 平均敏感点且 $\delta_{0}$ 满足 Weyl 平均敏感点中 $x_0$ 的条件, 则连续随机动力系统 $\mathbf{F}$ 是 Weyl 平均敏感的.

证 根据题意 $x_{0}$ 是一个 Weyl 平均敏感点且在 $\mathcal{E}_{\omega_{0}}$ 中 $\delta_{0}$ 满足 Weyl 平均敏感点 $x_0$ 定义中的条件. 设 $U$ 是 $\mathcal{E}_{\omega_{0}}$ 中的非空开子集, 则存在 $U'\in\mathcal{B}$ 使得 $U=U'\cap\mathcal{E}_{\omega_{0}}$. 因此 $(\Omega\times U')\cap\mathcal{E}$ 是 $\mathcal{E}$ 中的开集. 由于斜积变换是传递的和 $(\omega_{0},x_{0})\in\mathcal{E}$ 是一个传递点，则存在 $s\in G$ 使得 $s(\omega_{0},x_{0})\in(\Omega\times U')\cap\mathcal{E}$. 从而, $F_{s,\omega_{0}}x_{0}\in U'\cap\mathcal{E}_{s\omega_{0}}$. 除此之外, 由于 $x_{0}\in F_{s,\omega_{0}}^{-1} U'$ 和 $F_{s,\omega_{0}}^{-1} U'$ 是开集, 存在 $\epsilon>0$ 使得 $B(x_{0},\epsilon)\subseteq F_{s,\omega_{0}}^{-1}U'$, 也就是, $F_{s,\omega_{0}}B(x_{0},\epsilon)\subseteq U'$. 根据题意 $x_{0}$ 是一个 Weyl 平均敏感点和 $\delta_{0}$ 满足 Weyl 平均敏感点 $x_{0}$ 定义中的条件, 则存在 $y_{0}\in\mathcal{E}_{\omega_{0}}\cap B(x_{0},\epsilon)$ 满足

根据 $\hat{D}^{(r)}_{\omega_{0}}(x_{0}, y_{0})$ 的定义可知, $G$ 中存在一个左 Følner 序列 $\mathcal{F}=\{F_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ 使得

设 $u=F_{s,\omega_{0}}x_{0}$, $v=F_{s,\omega_{0}}y_{0}$. 因为 $\mathcal{F}s=\{F_n s^{-1}\}_{n\in\mathbb{N}}$ 也是 $G$ 中的一个 (左)Følner 序列, 且 $u, v\in U'\cap \mathcal{E}_{s\omega_{0}}$, 则

根据命题 4.3, 可得连续随机动力系统 $\mathbf{F}$ 是 Weyl 平均敏感的.

众所周知, 动力系统 $(X, T )$ 是极小的则 $(X, T )$ 要么是平均等度连续的, 要么就是平均敏感的. 如果 $(X, T )$ 是传递的则 $(X, T )$ 要么是几乎平均等度连续的, 要么是平均敏感的^[17]. 如果作用 $G\curvearrowright X$ 是传递的, 则作用 $G\curvearrowright X$ 要么是几乎 Weyl 平均等度连续的要么就是 Weyl 平均敏感的. 设 $G\curvearrowright X$ 是一个极小系统, 则作用 $G\curvearrowright X$ 要么是一个 Weyl 平均敏感的要么是 Weyl 平均等度连续的^[27].

在这一部分, 本文证明了如果 $\Omega$ 是有限集且作用 $G\curvearrowright \mathcal{E}$ 是极小的, 则 CRDS 要么是 Weyl 平均等度连续的要么是 Weyl 平均敏感的.

命题 5.1 设 $G$ 是一个可数顺从群和 $X$ 是一个紧度量空间. 如果斜积变换 $G\curvearrowright\mathcal{E}$ 是极小的, 则连续随机动力系统 $\mathbf{F}$ 要么是 Weyl 平均等度连续的要么是 Weyl 平均敏感的.

证 设 $x_{0}$ 是一个 Weyl 平均敏感点, $(\omega_{0},x_{0})\in \mathcal{E}$ 是传递点且 $\delta_{0}$ 满足 Weyl 平均敏感点 $x_{0}$ 定义中的条件, 根据命题 4.4 可得连续随机动力系统 $\mathbf{F}$ 是 Weyl 平均敏感的. 若 $x_{0}$ 不是一个 Weyl 平均敏感点, 则其是一个 Weyl 平均等度连续点. 所以连续随机动力系统 $\mathbf{F}$ 是 Weyl 平均等度连续的.

注 5.1 设 $X$ 是一个紧度量空间, $G$ 是一个群和 $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P},G)$ 是一个平凡 MDS. 如果作用在 $G\curvearrowright \mathcal{E}$ 是极小的, 则存在非空紧子集 $K\subseteq X$ 使得作用 $G\curvearrowright K$ 是拓扑极小的.