数学物理学报, 2024, 44(6): 1563-1576

脉冲分数阶格点系统的不变测度

张怡然,*, 黎定仕,

西南交通大学数学学院 成都 610031

Invariant Measure of Impulsive Fractional Lattice System

Zhang Yiran,*, Li Dingshi,

School of Mathematics, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031

通讯作者: *张怡然,Email: zhangyiran@my.swjtu.edu.cn

收稿日期: 2024-01-23   修回日期: 2024-05-6  

基金资助: 国家自然科学基金(11971394)
国家自然科学基金(12371178)
中央引导地方基金(2023ZYD0002)

Received: 2024-01-23   Revised: 2024-05-6  

Fund supported: NSFC(11971394)
NSFC(12371178)
Fundamental Research Funds for the Central Universities(2023ZYD0002)

作者简介 About authors

黎定仕,Email:lidingshi@swjtu.edu.cn

摘要

该文首先证明了分数阶格点系统解的全局适定性, 然后验证了解算子生成的过程是一个连续过程, 并证明该过程具有拉回渐近零性和拉回吸引子, 最后通过广义 Banach 极限构造了该过程的一组 Borel 不变概率测度.

关键词： 不变测度; 脉冲格点系统; 分数阶; 拉回吸引子

Abstract

This paper first verifies the global validity of the solution of fractional lattice system. Then the paper establishes that the process generated by the solution operator is a continuous process, and it is verified that the process has pull-back asymptotic zero and pull-back attractor, and finally construct a set of Borel invariant probability measures of the process through the generalized Banach limit.

Keywords： Invariant measure; Impulsive lattice system; Fractional; Pullback attractor

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本文引用格式

张怡然, 黎定仕. 脉冲分数阶格点系统的不变测度[J]. 数学物理学报, 2024, 44(6): 1563-1576

Zhang Yiran, Li Dingshi. Invariant Measure of Impulsive Fractional Lattice System[J]. Acta Mathematica Scientia, 2024, 44(6): 1563-1576

1 引言

格点系统在空间或时间变量上具有离散化特性[1], 广泛应用于生物、化学、电气工程和其他领域[2,3].格点系统的渐近理论已被广泛研究[1,4⇓-6]. 格点系统的解和长期动力学行为作为化学、生物和电气工程中的一个重要模型被许多作者广泛研究[1,4,6⇓⇓-9].

脉冲效应广泛存在于许多动力系统中, 存在于各种在特定时刻突然变化的进化过程中, 涉及医学、经济学、生物学等多个领域. 关于脉冲效应已经获得了许多结果[10,11]. 分数阶离散拉普拉斯函数是离散拉普拉斯函数的分数阶幂, 在文献 [12,13] 中有所研究. 在文献 [13] 中研究了分数阶离散拉普拉斯算子驱动的非局部离散方程, 利用解析半群理论和余弦算子, 得到了该算子的点方向公式和一些性质.

目前, 对耗散系统的不变测度进行了一系列的研究.特别地, Łukaszewicz, Real 和Robinson (见文献 [14]) 利用广义 Banach 极限概念构造了度量空间上一般连续动力系统的不变测度. Zhao, Xue 和 Łukaszewicz[15] 建立了与非自治离散 Klein-Gordon-Schrodinger 方程相关的 Borel 不变概率测度的存在性. Zhao 和 Caraballo[16]研究了脉冲反应扩散格点系统的不变测度.

在本文中, 我们考虑以下脉冲分数格系统

$\begin{equation} \frac{{\rm d}u_k}{{\rm d}t}+v(-\Delta)^{p}u_k+\lambda u_k+f\left(u_k\right)=g_k(t), \quad t>s, t \neq t_j, k,j \in\mathbb Z, \end{equation}$
$\begin{equation} u_k\left(t_j{ }^{+}\right)-u_k\left(t_j\right)=\phi_{kj}\left(u_k\left(t_j\right)\right), \quad k, j \in\mathbb Z, t_j\in\mathbb R, \end{equation}$

初始条件

$\begin{equation} u_k\left(s^{+}\right)=\lim _{\theta \rightarrow s^+} u_k(\theta)=u_{k, s^+}, \quad s\in \mathbb R, k\in\mathbb Z, \end{equation}$

其中 $u_k$ 为未知函数, $v$ 和 $\lambda$ 为正常数, 并假设 $f(\cdot)$、$g_k(\cdot)$、$\phi_{kj}(\cdot)$ 满足一定条件, $\{{t_j}\}_{j\in \mathbb Z}$ 是满足下列条件的脉冲点序列: 对于 $\eta >0$,

$\begin{equation} t_{j+1}-t_j \ge \eta,j \in \mathbb Z,\text{并且} \lim _{j \rightarrow +\infty} t_j=+\infty, \lim _{j \rightarrow -\infty} t_j=-\infty. \end{equation}$

脉冲方程 (1.1)-(1.3) 的特点是其解在给定脉冲点 $\{{t_j}\}_{j\in \mathbb Z}$ 处具有第一类不连续, 在 $\mathbb R$ 处左连续, 在 $\{t \in \mathbb R:t \neq t_j,j\in \mathbb Z\}$ 处连续. 注意, 我们在(1.3)式中施加了限制条件 $u_k(s^+)=u_{k,s^+}$, 这对于 (1.1)-(1.2) 式来说是很自然的, 因为对于某些 $j \in \mathbb Z$ 来说可能是 $s=t_j$. (1.2) 式描述了系统的脉冲效应, 它导致了解的分段连续性, 给脉冲微分方程的研究带来了困难.

(1.1)-(1.2) 式是以下反应扩散方程在 $\mathbb R$ 上具有固定脉冲的空间变量的离散化

$\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} &\frac{\partial u}{\partial t}+v(-\Delta)^{p}u+\lambda u+f\left(u\right)=g(t), \quad t>s, t \neq t_j, j \in\mathbb Z, \\&u({t_j{}^{+}})-u(t_j)=\phi_j(u(t_j)), \quad j \in \mathbb Z, t_j \in \mathbb R. \end{aligned} \right. \end{equation}$

在我们的研究中, 脉冲主要造成了以下困难: 脉冲自然会导致解的不连续性, 这种不连续性将在估计解时造成一些困难. 此外, 这种不连续性也给我们在相空间 $\ell^2$ 中证明生成过程 $\{U(t,s)\}_{t\ge s}$ 的拉回有界吸收性质和拉回渐近零性带来了一些困难. 这是因为 Gronwall 不等式在包含任何脉冲点的区间上不再有效.

本文组织如下: 在下一节中, 我们给出分数阶离散拉普拉斯算子的一些定义和基本结果, 并引入一些假设; 在第 3 节中, 我们得到了系统 (1.1)-(1.3) 解的一致估计, 并证明解连续依赖于初值; 在第 4 节中, 通过解算子形成的连续过程证明了不变测度的存在性.

2 解的估计和适定性

在本节中, 我们首先介绍一些空间和运算符号. 将 Hilbert 空间

$\ell^2:=\{ u=(u_k)_{k\in\mathbb Z}|\sum_{i\in\mathbb Z}u_k^2<\infty\}$

作为相空间, 以及$\ell^p:=\{ u=(u_k)_{k\in\mathbb Z}|\sum_{i\in\mathbb Z}u_k^p<\infty\}.$并赋予 $\ell^2$ 内积和范数为

$( u, v):=\sum_{k\in\mathbb Z} u_i v_i,\ \quad \| u\|^2:=\sum_{k\in\mathbb Z} u_i^2,\qquad \text{对}\ u=(u_k)_{k\in\mathbb Z},\ v=(v_k)_{k\in\mathbb Z}\in\ell^2.$

为了描述脉冲微分方程解的连续性类型, 我们引入从区间 $I\subset \mathbb R$ 到 Banach 空间 $X$ 的分段连续函数集 $PC(I, X)$, 如下所示

$\begin{aligned} \begin{split} PC(I, X):=&\left\{u:I\to X|u(\cdot)\ \text{在}\ t\in I, t\neq t_j, j\in \mathbb{Z} \ \text{上是连续的},\ \text{在}\ t\in I\ \text{是左连续的},\right.\\ &\left.\,\, \text{在脉冲点}\ t_j\in I, j\in \mathbb{Z} \ \text{上具有第一类不连续}\right\}. \end{split} \end{aligned}$

另外, $PC^1(I, X)$ 表示一阶导数属于 $PC(I, X)$ 的函数集.

接下来, 我们回顾分数阶离散拉普拉斯算子 $(-\Delta)^p$ 的一些概念和结果.

对于 $0 < p < 1$ 和 $u_j \in \mathbb{R}$, 分数阶离散拉普拉斯函数 $(-\triangle)^p$ 用半群法 (或 Bochner 隶属) 定义为

$\begin{aligned} \left( { - \Delta } \right)^p u_{\rm{j}} = \frac{1}{{\Gamma \left( { - p} \right)}}\int_0^\infty {\left( {{\rm e}^{t\Delta } u_j - u_j } \right)} \frac{1}{{t^{1 + p} }}{\rm d}t, \end{aligned}$

其中 $\Gamma$ 表示 Gamma 函数, $\Gamma \left( { - p} \right) = \int_0^\infty {\left( {{\rm e}^{ - r} - 1} \right)} \frac{1}{{r^{1 + p} }}{\rm d}r < 0$ 和 $v_j \left( t \right) = {\rm e}^{t\Delta } u_j$ 是离散热方程的解, 半群方法 (或 Bochner 从属) 为

$\begin{aligned} \left\{ \begin{array}{ll} \partial _t v_j = \Delta v_j, &\text{in}\ \mathbb{Z} \times \left( {0,\infty } \right), \\ v_j \left( 0 \right) = u_j, &\text{on}\ \mathbb{Z}, \\ \end{array} \right. \end{aligned}$

其中 $\Delta u_j=-2u_j+u_{j-1}+u_{j+1}$.由半离散傅里叶变换可知 (2.3) 式的解写为

$\begin{aligned} {\rm e}^{t\Delta } u_j = \sum\limits_{m \in \mathbb{Z}} {G\left( {j - m,t} \right)u_m = } \sum\limits_{m \in \mathbb{Z}} {G\left( {m,t} \right)u_{j - m} }, \quad t \ge 0, \end{aligned}$

其中半离散热核 $G\left({m,t} \right) = {\rm e}^{- 2t} I_m \left({2t} \right)$ 和 $I_m$ 是 $m$ 阶的修正贝塞尔函数.

通过 (2.2) 和 (2.4) 式, 我们得到了 $(-\Delta)^p$ 的逐点公式, 如下所示

引理 2.1[17] 让 $0 < p < 1$ 和 $u = \left( {u_j } \right)_{j \in \mathbb{Z}} \in \ell^p$. 然后有

$ \left( { - \Delta } \right)^p u_j = \sum\limits_{m \in \mathbb{Z},m \ne j} {\left( {u_j - u_m } \right)} \widetilde K_p \left( {j - m} \right), $

离散核 $\widetilde K_p$ 是由下式给出

$\widetilde K_p \left( m \right) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{{4^p \Gamma \left( {\frac{1}{2} + p} \right)}}{{\sqrt \pi \left| {\Gamma \left( { - p} \right)} \right|}} \cdot\frac{{\Gamma \left( {\left| m \right| - p} \right)}}{{\Gamma \left( {\left| m \right| + 1 + p} \right)}}, &m \in \mathbb{Z} \backslash \left\{ 0 \right\}, \\ 0,&m = 0. \end{array} \right. $

此外, 存在正常数 $c^p_1\leq c^p_2$, 使得对于任意 $m \in \mathbb{Z} \backslash \left\{ 0 \right\}$,

$\frac{{c_1^p }}{{\left| m \right|^{1 + 2p} }} \le \widetilde K_p \left( m \right) \le \frac{{c_2^p }}{{\left| m \right|^{1 + 2p} }}. $

引理 2.1表明分数阶离散拉普拉斯算子是 $\mathbb{Z}$ 上的一个 $2p$ 阶非局部算子. 进一步, 由引理 2.1 可知当 $u\in l^q(1\leq q <\infty)$ 时, $(-\Delta)^pu=((-\Delta)^pu_i)_{i\in \mathbb{Z}}$ 是定义的有界函数. 特别地, 对于 $0 < p < 1$, 如果 $u\in \ell^2$, 那么$\left( { - \Delta } \right)^p u \in \ell^2$ 且 $\left\| {\left( { - \Delta } \right)^p u} \right\| \le 4^p \left\| u \right\|.$

对于 $\left( { - \Delta } \right)^p$ 我们也得到了下面的结果

引理 2.2[17] 让 $u,v\in \ell^2$. 那么对于每一个 $p\in (0,1)$,

$\begin{aligned} \left( {\left( { - \Delta } \right)^p u,v} \right) = \left( {\left( { - \Delta } \right)^{\frac{p}{2}} u, \left( { - \Delta } \right)^{\frac{p}{2}} v} \right) = \frac{1}{2}\sum\limits_{j \in \mathbb{Z}} {\sum\limits_{m \in \mathbb{Z},m \ne j} {\left( {u_j - u_m } \right)\left( {v_j - v_m } \right)} \widetilde K_p \left( {j - m} \right)}. \end{aligned}$

显然, 根据引理2.2 有

$\begin{equation} \| (- \Delta)^\frac{p}{2}u\|^2=\frac{1}{2}\sum\limits_{j \in \mathbb{Z}} {\sum\limits_{m \in \mathbb{Z},m \ne j}|u_j-u_m|^2 \widetilde K_p \left( {j - m} \right)}. \end{equation}$

为了以抽象形式写出系统 (1.1)-(1.3), 我们让

$\begin{aligned} \lambda u=(\lambda u_k)_{k \in \mathbb Z}, \quad g(t)=(g_k(t))_{k \in \mathbb Z}, \quad \phi_j(u(t_j))=(\phi_{kj}(u_k(t_j)))_{k \in \mathbb Z}. \end{aligned}$

此外, 定义

$\begin{equation} \widetilde f(u)=(f(u_k))_{k \in \mathbb Z}, \quad \forall u=(u_k)_{k \in \mathbb Z} \in \ell^2. \end{equation}$

然后, $\widetilde f$ 称为与 $f$ 相关联的 Nemytskii 运算符. 使用这些符号和运算符, 我们将系统 (1.1)-(1.3) 写作

$\begin{equation} \frac{{\rm d}u}{{\rm d}t}+v(-\Delta)^{p}u+\lambda u+\widetilde f\left(u\right)=g(t), \quad t>s, t \neq t_j, j \in \mathbb Z, \end{equation}$
$\begin{equation} u\left(t_j{ }^{+}\right)=u\left(t_j\right)+\phi_j\left(u\left(t_j\right)\right), \quad j \in\mathbb Z, \end{equation}$
$\begin{equation} u\left(s^{+}\right)=u_{s^+}, \quad s\in \mathbb R. \end{equation}$

为了保证系统 (2.9)-(2.11) 的适定性, 我们假设函数 $f$、$g$ 和 $\phi_j=(\phi_{kj})_{k \in \mathbb Z}$ 满足以下条件

(A1) $f(\cdot) \in C^1(\mathbb R),f(\theta)\theta \ge 0$ 以及 $f^{\prime}(\theta)\ge -\lambda_0>-\lambda$ 对于常数 $\lambda_0 >0,\forall \theta \in \mathbb R$.

(A2) 对于任意的 $k,j \in \mathbb Z, \phi_{kj}(0)=0,$ 存在一个常数 $L>0$ 满足

$\begin{equation} |\phi_{kj}(\theta^{\prime})-\phi_{kj}(\theta^{\prime\prime})|\le L|\theta^{\prime}-\theta^{\prime\prime}|,\quad \forall \theta^{\prime},\theta^{\prime\prime} \in \mathbb R. \end{equation}$
$\begin{equation} \frac{1}{\eta}\ln(2+2L^2)<\lambda. \end{equation}$

其中常数 $\lambda$ 来自等式 (1.1) 以及 $\eta$ 来自 (1.4) 式.

(A3) $g(\cdot)\in C(\ell^2)$, 对于每个 $s \in \mathbb R$ 有 $\int_{-\infty}^{s}{\rm e}^{\sigma\theta}\|g(\theta)\|^2{\rm d}\theta < +\infty$ 其中

$\begin{equation} \sigma=\lambda-\frac{1}{\eta}\ln(2+2L^2)>0. \end{equation}$

一些例子说明函数 $f$ 和 $g$ 满足 (A1) 和 (A3) 的存在性, 可以在文献 [15] 中找到. 也不难看出满足 (A2) 的函数 $\phi_j=(\phi_{kj})_{k \in \mathbb Z}$ 存在.

假设 (A1)-(A3) 成立, 我们接下来验证问题 (2.9)-(2.11) 有一个唯一的局部解.

引理 2.3 假设 (A1)--(A3) 成立, 对于每个给定的初始时间 $s$ 和初始值 $u_s^+ \in \ell^2$, 方程 (2.9)-(2.11) 存在唯一的解满足$u(\cdot)\in PC([S,T);\ell^2)\bigcap PC^1((S,T];\ell^2),$其中 $T>s$. 此外, $\mathop{\mathrm {lim}} \limits_{\theta \rightarrow T^-} \|u(\theta)\|=+\infty.$

证 因为 $u\to (-\Delta)^pu,u \to \lambda u$ 是从 $\ell^2$ 到 $\ell^2$ 上的有界线性算子, 并且 $g(\cdot) \in C(\ell^2)$, 我们只需要证明函数 $\widetilde f(\cdot)$ 是关于 $u$ 的局部 Lipschitz 函数. 让 $B$$\subset \ell^2$ 是一个有界子集, 那么通过使用 (A1) 和微分中值定理, 我们就得到了

$\begin{aligned} \|\widetilde f(u)-\widetilde f(v) \|^2=\sum\limits_{k\in \mathbb Z}{|f^{\prime}(\theta_k)|^2|u_k-v_k|^2}\le L_f(B)\|u-v\|^2, \quad \forall u,v \in B. \end{aligned}$

其中 $\theta_k$ 位于 $u_k$ 和 $v_k$ 之间, $L_f(B)=\sup\limits_{\theta \in [3\sup_{u \in B}\|u\|]}|f^{\prime}(\theta)|$是一个只与 $f$ 和 $B$ 有关的常数. 根据脉冲微分方程的经典理论(参见文献 [18,定理 2.3 和 2.6]), 我们得到引理 2.1.

为了证明上述局部解在 $[s,+\infty)$ 上全局存在, 我们将使用下面的脉冲不等式来估计解 (见文献 [18,定理 2.6]).

引理 2.4 假设 $\xi_0 \ge 0,p\ge 0$, $\beta_j\ge0$, $j\in \mathbb Z$ 是常数, $\xi(\cdot)\in PC^1(\mathbb{R},\mathbb{R})$ 满足

$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} \frac{{\rm d}\xi(t)}{{\rm d}t}+p\xi(t)\le \alpha (t), &t \neq t_j, j \in \mathbb Z,\\ \xi(t_j^+)\le \beta_j \xi(t_j), &j \in \mathbb Z,\\ \xi(s^+)\le \xi_0, \\ \end{array} \right. \end{equation}$

其中 $\alpha(\cdot)\in PC(\mathbb{R},\mathbb{R})$. 那么,

$\xi(t)\le \xi_0\prod_{s<t_j\le t}\beta_j{\rm e}^{-p (t-s)}+\int_{s}^{t}\prod_{\tau<t_j\leq t} \beta_j{\rm e}^{-p(t-\tau)}\alpha(\tau){\rm d}\tau, \quad t\ge s.$

直接从引理 2.4, 我们得到

引理2.5[18] 设 $\xi(\cdot)\in PC^1(\mathbb{R},\mathbb{R})$ 满足

$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{2.l7} \frac{{\rm d}\xi(t)}{{\rm d}t}+p\xi(t)\le \alpha (t), & t \neq t_j,j \in \mathbb Z,\\ \xi(t_j^+)-\xi(t_j)\le \beta \xi(t_j), & j \in \mathbb Z,\\ \xi(s^+)\le \xi_0, &s\in \mathbb R, \\ \end{array} \right. \end{equation}$

其中 $\alpha(\cdot)\in PC(\mathbb{R},\mathbb{R})$, $p>0,\beta >0$, $\xi_0$ 都是常数. 那么

$\xi(t)\le \xi_0 (1+\beta)^{i\langle s,t\rangle } {\rm e}^{-p (t-s)}+\int_{s}^{t}(1+\beta)^{i\langle\tau,t\rangle}{\rm e}^{-p(t-\tau)}\alpha(\tau){\rm d}\tau, \quad t\ge s.$

其中 $i\langle s,t\rangle $ 和 $i\langle\tau,t\rangle$ 代表在区间 $(s,t)$ 和$[v,t)$ 上脉冲点 $\{t_j\}_{j\in \mathbb Z}$ 的个数.

3 解的一致估计

引理 3.1 假设 (A1)-(A3) 成立, 对于每个给定的 $s\in \mathbb R$ 和 $u_{s^+}\in \ell^2$,方程 (2.9)-(2.11)存在唯一的解满足

$\begin{aligned} \|u(t)\|^2\le \|u_{s^+}\|^2 {\rm e}^{-\sigma(t-s)}+\frac{1}{\lambda}\int_{s}^{t}{\rm e}^{-\sigma(t-\theta)}\|g(\theta)\|^2{\rm d}\theta, \quad s<t\le T, \end{aligned}$

其中 $\sigma$ 为 (2.14) 给出的常数.

证 我们用 $u(\cdot)=u(\cdot,s,u_{s^+})$ 表示方程 (2.9)-(2.11) 在初始时间 $s$ 的解, 其初值为 $u_{s^+}$, 在 $\ell^2$ 中将 $u(\cdot)$ 与 (2.9) 式作内积得到

$\begin{aligned} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|u\|^2+v((-\Delta)^pu,u)+\lambda\|u\|^2+(\widetilde f(u),u)\le \frac{\lambda\|u\|^2}{2}+\frac{\|g(t)\|^2}{2\lambda},\quad t\neq t_j,j\in \mathbb Z. \end{aligned}$

由 (A1), $(\widetilde f(u),u)=\sum\limits_{k \in \mathbb Z}f(u_k)u_k \ge 0.$因此, (3.2) 式说明

$\begin{aligned} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|u\|^2+2v((-\Delta)^pu,u)+\lambda\|u\|^2\le \frac{\|g(t)\|^2}{\lambda},\quad t\neq t_j,j\in \mathbb Z. \end{aligned}$

注意, $((-\Delta)^pu,u)=((-\Delta)^{\frac{p}{2}}u,(-\Delta)^{\frac{p}{2}}v)=\|(-\Delta)^{\frac{p}{2}}u\|^2\le [4^{\frac{p}{2}}\|u\|^2]=2^{p+1}\|u\|^2.$

因此, (3.3) 式说明

$\begin{aligned} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|u\|^2+\lambda\|u\|^2\le \frac{1}{\lambda}\|g(t)\|^2,\quad t\neq t_j,j\in \mathbb Z. \end{aligned}$

现在, 对于脉冲条件, 通过 (A2) 有

$\begin{aligned} \begin{split} \|u(t_j^+)\|^2 & =\sum\limits_{k\in \mathbb Z}|u_k(t_j^+)|^2=\sum\limits_{k\in \mathbb Z}(u_k(t_j)+\phi_{kj}(u_k(t_j)))^2\\ & \le 2\sum\limits_{k\in \mathbb Z}|u_k(t_j^+)|^2+2\sum\limits_{k\in \mathbb Z}\phi_{kj}(u_k(t_j)))^2\\ & \le (2+2L^2)\sum\limits_{k\in \mathbb Z}|u_k(t_j^+)|^2 =(2+2L^2)\|u(t_j)\|^2. \end{split} \end{aligned}$

将引理 2.5 应用到 (3.4)--(3.5) 式, 有

$\begin{aligned} \|u(t)\|^2\le \|u_{s^+}\|^2 (2+2L^2)^{i\langle s,t\rangle } {\rm e}^{-\lambda(t-s)}+\frac{1}{\lambda}\int_{s}^{t}(2+2L^2)^{i\langle\theta,t\rangle } {\rm e}^{-\lambda(t-\theta)}\|g(\theta)\|^2{\rm d}\theta, \ s<t. \end{aligned}$

现在 (1.4) 式说明

$i\langle s,t\rangle \le \frac{t-s}{\eta}, \quad i\langle\theta,t\rangle \le \frac{t-\theta}{\eta}.$

因此, 通过 (2.13)-(2.14) 式有

$\begin{aligned} (2+2L^2)^{i\langle s,t\rangle } {\rm e}^{-\lambda(t-s)}\le {\rm e}^{-\sigma(t-s)},(2+2L^2)^{i\langle\theta,t\rangle } {\rm e}^{-\lambda(t-\theta)}\le {\rm e}^{-\sigma(t-\theta)}. \end{aligned}$

将 (3.7) 式代入 (3.6) 式得到 (3.1) 式.

现在, 结合引理 2.3 和 3.1, 我们得到了方程 (2.9)-(2.11) 解的整体存在唯一性.

定理 3.2 假设 (A1)--(A3) 成立, 对于每个给定的 $s\in \mathbb R$ 和 $u_{s^+}\in \ell^2$, 方程 (2.9)--(2.11) 存在唯一的解 $u$ 满足

$\begin{aligned} \|u(t)\|^2\le \|u_{s^+}\|^2 {\rm e}^{-\sigma(t-s)}+\frac{1}{\lambda}\int_{s}^{t}{\rm e}^{-\sigma(t-\theta)}\|g(\theta)\|^2{\rm d}\theta, \quad s<t. \end{aligned}$

我们接下来建立方程 (2.9)-(2.11) 的解连续依赖于初值.

定理 3.3 假设 (A1)-(A3) 成立, 我们让初值 $u_{s^+}^{(j)}(j=1,2)$对应于方程 (2.9)--(2.11) 的解 $u^{(j)}(\cdot)=u^{(j)}(\cdot,s,u_{s^+}^{(j)}),\quad j=1,2$. 那么

$\begin{aligned} \|u^{(1)}(t)-u^{(2)}(t)\|^2\le \|u_{s^+}^{(1)}-u_{s^+}^{(2)}\|^2{\rm e}^{-(\sigma+\lambda-\lambda_0)(t-s)},\quad \forall t>s, \end{aligned}$

其中常数 $\lambda_0$ 来自 (A1).

证 让 $w(\cdot)=u^{(1)}(\cdot)-u^{(2)}(\cdot)$, 那么 $w(\cdot)$ 满足

$\begin{equation} \frac{{\rm d}w}{{\rm d}t}+v(-\Delta)^pw+\lambda w+\widetilde f(u^{(1)})-\widetilde f(u^{(2)})=0. \end{equation}$
$\begin{equation} w(t_j^+)-w(t_j)=\phi_j(u^{(1)}(t_j))-\phi_j(u^{(2)}(t_j)),\quad j\in \mathbb Z. \end{equation}$
$\begin{equation} w(s^+)=u_{s^+}^{(1)}-u_{s^+}^{(2)},\quad s\in \mathbb R. \end{equation}$

让 $w$ 在 $\ell^2$ 中与 (3.10) 式作内积有

$\begin{aligned} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|w\|^2+v(-\Delta)^pw,w)+\lambda \|w\|^2+(\widetilde f(u^{(1)})-\widetilde f(u^{(2)}),w)=0,\quad t\neq t_j,j\in \mathbb Z. \end{aligned}$

由 (A1), 有

$\begin{aligned} (\widetilde f(u^{(1)})-\widetilde f(u^{(2)}),w)=\sum\limits_{k\in \mathbb Z}f^{\prime}(\theta_k)(u_k^{(1)}-u_k^{(2)})w_k\ge -\sum\limits_{k\in \mathbb Z}\lambda_0w_k^2=-\lambda_0\|w\|^2. \end{aligned}$

其中 $\theta_k$ 位于 $u_k^{(1)}$ 和 $u_k^{(2)}$ 之间. 通过引理 2.2, 有

$\begin{aligned} \left( {\left( { - \Delta } \right)^p w,w} \right) = \left( {\left( { - \Delta } \right)^{\frac{p}{2}} w, \left( { - \Delta } \right)^{\frac{p}{2}} w} \right) = \|(-\Delta)^\frac{p}{2}w\|^2 \ge 0. \end{aligned}$

将 (3.14), (3.15) 式代入到 (3.13) 式有

$\begin{aligned} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|w\|^2+2(\lambda-\lambda_0)\|w\|^2\le 0,\quad t\neq t_j,j \in \mathbb Z. \end{aligned}$

对于 $\|w(\cdot)\|^2$ 的脉冲条件, 通过 (A2) 有

$\begin{aligned} \|w(t_j^+)\|^2 & =\sum\limits_{k\in \mathbb Z}|w_k(t_j^+)|^2=\sum\limits_{k\in \mathbb Z}(w_k(t_j)+\phi_{kj}(u_k^{(1)}(t_j))-\phi_{kj}(u_k^{(2)}(t_j)))^2 \\ & \le 2\sum\limits_{k\in \mathbb Z}w_k^2(t_j^+)+2\sum\limits_{k\in \mathbb Z}\phi_{kj}(u_k^{(1)}(t_j))-\phi_{kj}(u_k^{(2)}(t_j)))^2 \\ & \le 2\sum\limits_{k\in \mathbb Z}w_k^2(t_j^+)+2\sum\limits_{k \in \mathbb Z}L^2(u_k^{(1)}(t_j)-u_k^{(2)}(t_j))^2 = (2+2L^2)\|w(t_j)\|^2. \end{aligned}$

将引理 2.5 应用到 (3.16)-(3.17) 式有

$\begin{aligned} \|w(t)\|^2\le \|w_s^+\|^2(2+2L^2)^{i\langle s,t\rangle }2^{-2(\lambda-\lambda_0)(t-s)},\quad \forall t>s. \end{aligned}$

现在, 从 (3.7) 式我们可以看到

$\begin{aligned} (2+2L^2)^{i\langle s,t\rangle }{\rm e}^{-2(\lambda-\lambda_0)(t-s)}\le {\rm e}^{-(\sigma+\lambda-\lambda_0)(t-s)}. \end{aligned}$

将 (3.19) 式代入 (3.18) 式得到了 (3.9) 式. 定理 3.3 的证明结束.

4 不变测度的存在性

在本节中, 我们首先阐明方程 (2.9)-(2.11) 的解算子形成一个连续过程 ${S(t,s)}_{t\ge s}$, 该过程在 $\ell^2$ 上有一个有界的拉回吸收集. 然后验证该过程具有拉回渐近零性和一个拉回吸引子. 最后, 利用广义 Banach 极限构造了 $\ell^2$ 上的 Borel 不变概率测度 $\{m_{\theta}\}_{\theta \in \mathbb R}$.

由定理 3.2, 我们发现方程 (2.9)-(2.11) 的解算子在 $\ell^2$ 上形成了一个连续过程

$\begin{aligned} S(t,s):u_s^+ \in \ell^2 \rightarrow S(t,s)u_s^+=u(t;s,u_s^+) \end{aligned}$

下文中 $u(t;s,u_s^+)$ 表示初始条件下方程 (2.9)-(2.11) 的解 $u_s^+$, 定理 3.3 告诉我们该过程 $\{S(t,s)\}_{t\ge s}$ 在 $\ell^2$ 是连续的, 也就是说, 映射 $S(t,s):\ell^2 \to \ell^2$ 在 $s \le t$ 上对于任意给定的 $t$ 和 $s$ 都是连续的.

在本文中, $Z(\ell^2)$ 表示包含 $\ell^2$ 的所有子集的族. 我们将使用 $D_\sigma$ 来表示满足以下条件的族的类$\hat{D}=\{D(\theta):\theta \in \mathbb R\}\subseteq Z(\ell^2)$

$\begin{aligned} \lim\limits_{\theta \to -\infty}({\rm e}^{\sigma \theta}\sup\limits_{u\in D(\theta)}\|u\|^2)=0. \end{aligned}$

接下来, 我们首先给出 $D_\sigma$-拉回吸引子的基本理论

$D_\sigma$-拉回吸引子 $A(\cdot)$ 是相空间 $X$ 的子集 $\{A(t):t \in \mathbb R\}$ 族, 使得

(i) $A(t)$ 对于每个 $t \in \mathbb R$ 都是紧的;

(ii) $A(t)$ 是不变的, 这意味着$S(t,s)A(s)=A(t), \text{对于所有的} t\ge s ;$

(iii) 对于每个 $t \in \mathbb R$, $\lim\limits_{s\to -\infty}{\rm dist}(S(t,s)D,A(t))=0;$

(iv) $A(\cdot)$ 是具有 (iii) 性质的最小闭集族.

由于 $D_\sigma$-拉回吸收集的定义, 对于一个连续过程 $D_\sigma$-拉回渐进零性和 $D_\sigma$-拉回吸引子是众所周知的, 我们在这里省略它们.

引理 4.1 假设 (A1)-(A3) 成立, 那么由 (4.1) 式定义的过程 $\{S(t,s)\}_{t \ge s}$ 在 $\ell^2$ 上具有有界 $D_\sigma$-拉回吸收集.

证 令

$\begin{aligned} R_\sigma(s):=\left(1+\frac{1}{\lambda}\int_{-\infty}^{s}{\rm e}^{-\sigma(s-\theta)}\|g(\theta)\|^2{\rm d}\theta \right)^{\frac{1}{2}},\quad s\in \mathbb R. \end{aligned}$

那么与时间相关的闭球族 $\hat{B}(s)=\{B(s)=B(0,R_\sigma(s)):s\in \mathbb R\}$ 是一个有界 $D_\sigma$-拉回吸收集, 其中 $B(0,R_\sigma(s))$ 是在 $\ell^2$ 上的一个闭球, 以原点为球心, 半径为 $R_\sigma(s)$. 事实上, 对于任意的 $\hat{D}=\{D(\theta):\theta \in \mathbb R\}\in D_\sigma$ 和任意的 $u_{s^+}\in D(s)$, $s \in \mathbb R$, 我们从 (3.8) 式到 (4.2) 式发现存在时间 $s_1=s_1(t,\hat{D})<t$ 使得

$\begin{aligned} \begin{split} \|U(t,s)u_s^+\|^2 &\le \|u_{s^+}\|^2{\rm e}^{-\sigma(t-s)}+\frac{1}{\lambda}\int_{s}^{t}{\rm e}^{-\sigma(t-\theta)}\|g(\theta)\|^2{\rm d}\theta \\ &\le 1+\frac{1}{\lambda}\int_{-\infty}^{t}{\rm e}^{-\sigma(t-\theta)}\|g(\theta)\|^2{\rm d}\theta, \quad \forall s<s_1. \end{split} \end{aligned} $

证毕.

为了得到解尾部的一致估计, 我们首先在 $C^1(\mathbb R_+;\mathbb R_+)$ 中引入光滑函数 $\rho(\cdot)$ 满足

$\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} & \rho(\theta)=0,&& 0\le \theta \le 1,\\ & 0\le \rho(\theta)\le 1,&& 1\le \theta \le 2,\\ & \rho(\theta)=1,&& \theta \ge 2,\\ & |\rho^{\prime}(\theta)|\le \rho_0 \ ( \text{正数}),&& \theta \ge 0. \end{aligned} \right. \end{equation}$

此外, 截断函数 $\rho(\cdot)$ 具有以下性质

引理 4.2[19] 设 $\rho(\cdot)$ 为 (4.5) 式中定义的光滑函数. 那么对于每一个 $j\in \mathbb Z$ 和 $k \in \mathbb N$, 有

$\begin{aligned} \sum_{m\in \mathbb Z,m\neq j}|\rho(\frac{|j|}{k})-\rho(\frac{|m|}{k})|^2\hat{K}_s(j-m)\le \frac{L_s^2}{k^{2s}}, \end{aligned}$

其中 $L_s$ 是一个与 $j$ 和 $k$ 无关的正数.

引理 4.3 假设 (A1)--(A3), 则 (4.1) 式定义的过程 $\{S(t,s)\}_{t \ge s}$ 在 $\ell^2$ 中具有 $D_\sigma$-拉回渐近零性.

证 考虑任意给定的 $\hat{D}=\{D(\theta):\theta \in \mathbb R\}\subseteq D_\sigma,s\in \mathbb R$ 和 $u_{s^+}\in \ell^2$. 令 $u(\cdot)=u(\cdot;s,u_{s^+})=S(t,s)u_{s^+}$ 是方程 (2.9)--(2.11) 在初始时间 $s\in \mathbb R$ 时的初始值 $u_{s^+}$ 的解.

让 $M \in \mathbb Z$ 和 $w_k(\cdot)=\rho(\frac{|k|}{M})u_k(\cdot),k\in \mathbb Z.$ 用 $w=(w_k)_{k\in \mathbb Z}$ 与 (2.9) 式作内积, 得到

$\begin{aligned} (\frac{{\rm d}u}{{\rm d}t},w)+v((-\Delta)^pu,w)+\lambda(u,w)+(\widetilde f(u),w)=(g(t),w),\quad t>\tau,t\neq t_j,j \in \mathbb Z. \end{aligned}$

通过一些简单计算, 有

$\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} & (\frac{{\rm d}u}{{\rm d}t},w)=\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\sum\rho(\frac{|k|}{M})u_k^2,\\ & (\widetilde f(u),w)=\sum\limits_{k \in \mathbb Z}\rho(\frac{|k|}{M})f(u_k)u_k \ge 0,\\ & (g(t),w)=\sum\limits_{k\in \mathbb Z}\rho(\frac{|k|}{M})g_k(t)u_k \le \frac{\lambda}{2}\sum\limits_{k \in \mathbb Z}\rho(\frac{|k|}{M})u_k^2+\frac{1}{2\lambda}\sum\rho(\frac{|k|}{M})g_k^2(t). \end{aligned} \right. \end{equation}$

对于带有分数阶拉普拉斯算子的项, 有

$\begin{equation} \begin{aligned} - ((-\Delta)^pu,w)& = - ((-\Delta)^{\frac{p}{2}}u, (-\Delta)^{\frac{p}{2}}w)\\ &= -\frac{1}{2} \sum\limits_{j \in \mathbb Z} \sum\limits_{m \in \mathbb Z,m \neq j}((u_j - u_m)(w_j-w_m) \widetilde K_p (j-m)) \\ &= - \frac{1}{2} \sum\limits_{j \in \mathbb Z} \sum\limits_{m \in \mathbb Z,m \neq j}(u_j - u_m)(\rho(\frac{|j|}{M})u_j-\rho(\frac{|m|}{M})u_m)\widetilde K_p (j-m)\\ &=- \frac{1}{2} \sum\limits_{j \in \mathbb Z} \sum\limits_{m \in \mathbb Z,m \neq j}(\rho(\frac{|j|}{M})-\rho(\frac{|m|}{M})(u_j - u_m)u_j\widetilde K_p (j-m)\\ & -\frac{1}{2}\sum\limits_{j \in \mathbb Z} \sum\limits_{m \in \mathbb Z,m \neq j}(\rho(\frac{|m|}{M}))(u_j - u_m)^2\widetilde K_p (j-m). \end{aligned} \end{equation}$

通过式 (2.7) 和 (4.6) 式, 有

$\begin{aligned} & \frac{1}{2} \sum\limits_{j \in \mathbb Z} \sum\limits_{m \in \mathbb Z,m \neq j}|\rho(\frac{|j|}{M})-\rho(\frac{|m|}{M})(u_j - u_m)u_j\widetilde K_p (j-m)|\\ &\le \frac{1}{2}\|u\| [\sum\limits_{j \in \mathbb Z} (\sum\limits_{m \in \mathbb Z,m \neq j}|\rho(\frac{|j|}{M})-\rho(\frac{|m|}{M})|^2\widetilde K_p (j-m))\times (\sum\limits_{m \in \mathbb Z,m \neq j}|u_j-u_m|^2\widetilde K_p (j-m))]^\frac{1}{2}\\ & \le \frac{1}{2}\|u\|\frac{L_s}{M^p}(\sum\limits_{j \in \mathbb Z} \sum\limits_{m \in \mathbb Z,m \neq j}|u_j-u_m|^2\widetilde K_p (j-m))^\frac{1}{2}\\ & =\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{L_s}{M^p}\|u\|\|(-\Delta)^\frac{p}{2}u\| \le \frac{\sqrt{2}}{4}\frac{L_s}{M^p}(\|u\|^2+\|(-\Delta)^\frac{p}{2}u\|^2). \end{aligned}$

将 (4.10) 式代入到 (4.9) 式得到 (4.7) 式.

$\begin{aligned} & \frac{\rm d}{{\rm d}t}\sum\limits_{k \in \mathbb Z}\rho(\frac{|k|}{M})u_k^2(t)+\lambda\sum\limits_{k \in \mathbb Z}\rho(\frac{|k|}{M})u_k^2(t)\\ &\le \frac{1}{\lambda}\sum\limits_{k \in \mathbb Z}\rho(\frac{|k|}{M})g_k^2(t)+\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{vL_s}{M^p}(\|u\|^2+\|(-\Delta)^\frac{p}{2}u\|^2),\ t\neq t_j,j\in \mathbb Z, \end{aligned}$

其中 $t>s_1>s$, $s_1$ 为引理 4.1 中的拉回吸收时间. 现在, 对于任意 $\epsilon >0 $, 我们观察到在 $\mathbb N_+$ 中存在一个 $M_1=M_1(t,\epsilon)$, 使得

$\begin{aligned} \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{vL_s}{M^p}(\|u\|^2+\|(-\Delta)^\frac{p}{2}u\|^2)\le \frac{\epsilon^2}{3},\quad \forall M \ge M_1. \end{aligned}$

令 $\xi(t)=\sum\limits_{k \in \mathbb Z}\rho(\frac{|k|}{M})u_k^2(t)$, $M \ge M_1$. 那么对于 $\xi(t)$ 的脉冲条件, 有

$\begin{aligned} \xi(t_j^+)& =\sum\limits_{k \in \mathbb Z}\rho(\frac{|k|}{M})u_k^2(t_j^+)=\sum\limits_{k \in \mathbb Z}\rho(\frac{|k|}{M})(u_k(t_j)+\phi_{kj}(u_k(t_j)))^2 \\ &\le 2\sum\limits_{k \in \mathbb Z}\rho(\frac{|k|}{M})u_k^2(t_j)+2\sum\limits_{k \in \mathbb Z}\rho(\frac{|k|}{M})\phi_{kj}^2(u_k(t_j)) \\ &\le (2+2L^2)\sum\limits_{k \in \mathbb Z}\rho(\frac{|k|}{M})u_k^2(t_j)=(2+2L^2)\xi(t_j), \end{aligned}$
$\begin{aligned} \xi(s^+)&=\sum\limits_{k \in \mathbb Z}\rho(\frac{|k|}{M})u_k^2(s^+)\le \|u(s^+)\|^2. \end{aligned}$

将引理 2.5 应用到 (4.11)-(4.14) 式, 然后使用 (3.7) 式, 得到

$\begin{equation} \begin{aligned} \sum\limits_{k \in \mathbb Z}\rho\Big(\frac{|k|}{M}\Big)u_k^2(t)&\le \|u_{s^+}\|^2(2+2L^2)^{i\langle s,t\rangle }\\ &\quad+\int_{s}^{t}(2+2L^2)^{i\langle\theta,t\rangle }{\rm e}^{-\lambda(t-\theta)}\Bigg(\frac{1}{\lambda}\sum\limits_{k \in \mathbb Z}\rho(\frac{|k|}{M})g_k^2(\theta)+\frac{\epsilon^2}{3}\Bigg){\rm d}\theta \\ &\le \|u_{s^+}\|^2{\rm e}^{-\sigma(t-s)}\\ &\quad+\frac{{\rm e}^{-\sigma t}}{\lambda}\int_{s}^{t}{\rm e}^{\sigma \theta}\sum\limits_{k \in \mathbb Z}\rho\Big(\frac{|k|}{M}\Big)g_k^2(\theta){\rm d}\theta +\frac{\epsilon^2}{3},\quad \forall t>s_1>s,\quad M \ge M_1. \end{aligned} \end{equation}$

由 (A3) 我们可以发现, 对于上述 $\epsilon>0$, 存在 $M_2=M_2(\epsilon,t)\in \mathbb Z$ 使得

$\begin{aligned} \frac{{\rm e}^{-\sigma t}}{\lambda}\int_{s}^{t}{\rm e}^{\sigma \theta}\sum\limits_{k \in \mathbb Z}\rho\Big(\frac{|k|}{M}\Big)g_k^2(\theta){\rm d}\theta \le \frac{{\rm e}^{-\sigma t}}{\lambda}\int_{-\infty}^{t}{\rm e}^{\sigma \theta}\sum\limits_{k \in \mathbb Z}\rho\Big(\frac{|k|}{M}\Big)g_k^2(\theta){\rm d}\theta \le \frac{\epsilon^2}{3},\quad \forall M\ge M_2. \end{aligned}$

同时, 因为 $u_{s^+}\in D(s)$ 以及 $\hat{D}=\{D(\theta):\theta\in \mathbb R\}\in D_{\sigma}$, 由 (4.2) 式发现对于上述 $\epsilon >0$, 存在$s_2=s_2(t,\epsilon,\hat{D})<t$ 使得

$\begin{aligned} \|u_{s^+}\|^2{\rm e}^{-\sigma(t-s)}\le \frac{\epsilon^2}{3},\quad \forall s\le s_2. \end{aligned}$

选择$M_0=\max\{M_1,M_2\},\quad \tau_0=\min\{s_1,s_2\}.$我们从 (4.15) 式到 (4.17) 式得到

$\begin{align*} \sup\limits_{u_{s^+}\in D(s)}\sum\limits_{|k|\ge M_0}|(S(t,s)u_{s^+})_k|^2=\sup\limits_{u_{s^+}\in D(s)}\sum\limits_{|k|\ge M_0}|u_k(t;s,u_{k,s^+})|^2\le \epsilon^2,\quad \forall s\le \tau_0. \end{align*}$

证毕.

定理 4.4 假设 (A1)-(A3) 成立, 那么由 (4.1) 式定义的过程 $\{S(t,s)\}_{t\ge s}$ 具有 $D_\sigma$-拉回吸引子 $\hat{A}(\theta)=\{A(\theta):\theta \in \mathbb R\}$.

证 因为这个过程在 $\ell^2$ 上是连续的, 所以定理 4.4 的结果直接由引理 4.1, 4.3 和文献 [15,定理 2.1] 得到.

接下来, 我们将使用符号 $c_1\lesssim c_2$ 来表示 $c_1 \le cc_2$, 其中常数 $c>0$, 它只取决于我们问题的参数, 不会产生混淆. 另外, 对于 $\ell^2$ 上给定的 Borel 概率测度 $\rho_\theta$ 和函数 $\psi \in C(\ell^2)$, $\int_{\ell^2}\psi(u) {\rm d}\rho_{\theta}(u)$ 表示 Bochner 积分.

引理 4.5 假设 (A1)-(A3) 成立, 那么对于每个给定的 $t\in \mathbb R$ 和 $\widetilde u \in \ell^2$, $\ell^2$ 值映射 $s\mapsto S(t,s)\widetilde u$ 在 $(-\infty,t]$ 是有界的.

证 它是定理 3.1 的直接结果.实际上, 对于每一个给定的 $t\in \mathbb R$ 和 $ \widetilde u \in \ell^2$, 有

$\begin{aligned} \|u(t;s,\widetilde u)\|^2 \le \|\widetilde u\|^2+\frac{1}{\lambda}\int_{-\infty}^{t}{\rm e}^{-\sigma(t-\theta)}\|g(\theta)\|^2{\rm d}\theta, \quad \forall t>s. \end{aligned}$

显然, 不等式 (4.18) 表明 $\|u(t;s,\widetilde u)\|^2$ 小于与 $s$ 无关的常数.

引理 4.6 假设 (A1)-(A3) 成立, 让 $t\in \mathbb R$ 和 $\widetilde u \in \ell^2$ 固定不变. 那么对 $\forall \epsilon >0$, $\exists \delta=\delta(\epsilon,s_*,\widetilde u)>0$ 足够小, 有

$\begin{aligned} \|S(t,s)\widetilde u-\widetilde u\|^2<\epsilon,\quad \forall s\in (s_*,s_*+\delta),\quad \forall t\in (s,s_*+\delta). \end{aligned}$

证 任意给定的 $\widetilde u\in \mathbb R$ 和 $s_* \in \ell^2$. 不失一般性, 我们假设 $s_*\in (t_{j_0},t_{j_0{+1}}]$, $j_0 \in \mathbb Z$. 因为我们将在不包含任何脉冲点 $\{t_j\}_{j \in \mathbb Z}$ 的区间上对 (3.4) 式进行积分, 接下来我们将证明分为两种情况:

情况 1 $s_*\in (t_{j_0},t_{j_0{+1}}]$.

在这种情况下, 令 $0<2l=\min\{s_*-t_{j_0},t_{j_0+1}-s_*\}$, $s_*+l \ge t \ge s \ge s_*$.

首先, 证明

$\begin{aligned} \int_{s}^{t}\Big\|\frac{{\rm d}S(\theta,\tau)\widetilde u}{{\rm d}\theta }\Big\|^2{\rm d}\theta \lesssim \widetilde c=\|u\|^2+\int_{s_*-l}^{s_*+l}\|g(\theta)\|^2{\rm d}\theta. \end{aligned}$

事实上, 从式 (2.1) 式到 (2.9) 式, 我们发现对于 $s\le \theta \le t$,

$\begin{aligned} \Big\|\frac{{\rm d}S(\theta,s)\widetilde u}{{\rm d}\theta }\Big\|^2\lesssim \|(-\Delta)^pS(\theta,s)\widetilde u\|^2+\|S(\theta,s)\widetilde u\|^2+\|\widetilde f(S(\theta,s)\widetilde u)\|^2+\|g(\theta)\|^2. \end{aligned}$

由 (2.15) 式和 (A1),

$\begin{aligned} \|\widetilde f(S(\theta,s)\widetilde u)\|^2\le L_f\|S(\theta,s)\widetilde u\|^2, \end{aligned}$

其中 $L_f=\max\limits_{\theta \in [L]}|f^{\prime}(\theta)|$ 以及 $L=\max\limits_{\theta \in [s_*-l,s_*+l]}\|S(\theta,s)\widetilde u\|^2$ 是与 $s$ 和 $t$ 无关的常数, 因为 $S(\theta,s)\widetilde u$ 对$\theta \in [s_*-l,s_*+l]\subset (t_{j_0},t_{j_0+1})$ 是连续的. 先将 (4.22) 式代入到 (4.21) 式然后对不等式在 $\theta \in[s,t]$ 积分, 有

$\begin{equation} \begin{aligned} \int_{s}^{t}\Big\|\frac{{\rm d}S(\theta,s)\widetilde u}{{\rm d}\theta }\Big\|^2&\lesssim (4^p+1+L_f)\int_{s}^{t}\|S(\theta,s)\widetilde u\|^2{\rm d}\theta +\int_{s}^{t}\|g(\theta)\|^2{\rm d}\theta \\ &\lesssim \|\widetilde u\|^2+\int_{s}^{t}\|g(\theta)\|^2{\rm d}\theta \lesssim \|\widetilde u\|^2+\int_{s_*-l}^{s_*+l}\|g(\theta)\|^2{\rm d}\theta, \end{aligned} \end{equation}$

我们还使用了 (3.4) 式.

其次, 我们注意到

$\begin{aligned} \|S(t,s)\widetilde u-\widetilde u\|^2=\int_{s}^{t}\Big\|\frac{{\rm d}S(\theta,s)\widetilde u}{{\rm d}\theta }\Big\|^2{\rm d}\theta -2(S(t,s)\widetilde u-\widetilde u,\widetilde u). \end{aligned}$

一方面, 再次由 (3.4) 式有

$\begin{aligned} \int_{s}^{t}\Big\|\frac{{\rm d}S(\theta,s)\widetilde u}{{\rm d}\theta }\Big\|^2{\rm d}\theta \lesssim \int_{s}^{t}\|g(\theta)\|^2{\rm d}\theta. \end{aligned}$

通过 (A3), $g(\cdot)\in L_{loc}^2(R;\ell^2)$, 因此存在 $\delta^{\prime}=\delta^{\prime}(\epsilon,s_*,g)\in (0,l)$ 使得

$\begin{aligned} \int_{s}^{t}\Big\|\frac{{\rm d}S(\theta,s)\widetilde u}{{\rm d}\theta }\Big\|^2{\rm d}\theta \lesssim \int_{s}^{t}\|g(\theta)\|^2{\rm d}\theta <\frac{\epsilon^2}{2},\quad s_*<s\le t \le s_*+\delta^{\prime}. \end{aligned}$

另一方面, 由 (4.20) 式我们得出常数 $\widetilde c$ 与 $s$ 和 $t$ 无关. 利用柯西不等式和 (4.20) 式得到

$\begin{equation} \begin{aligned} |(S(t,s)\widetilde u-\widetilde u,\widetilde u)|&=\Big|\Big(\int_{s}^{t}\Big\|\frac{{\rm d}S(\theta,s)\widetilde u}{{\rm d}\theta }\Big\|^2{\rm d}\theta, \widetilde u\Big)\Big|\le \|\widetilde u\|\int_{s}^{t}\Big\|\frac{{\rm d}S(\theta,s)\widetilde u}{{\rm d}\theta }\Big\|{\rm d}\theta \\ &\le \|\widetilde u\|\Big(\int_{s}^{t}\Big\|\frac{{\rm d}S(\theta,s)\widetilde u}{{\rm d}\theta }\Big\|^2{\rm d}\theta \Big)^\frac{1}{2}(t-s)^\frac{1}{2}\\ & \le \widetilde c^\frac{1}{2}\|\widetilde u\|(t-s)^\frac{1}{2}. \end{aligned} \end{equation}$

这意味着存在 $\delta^{\prime\prime}=\delta^{\prime\prime}(\epsilon,s_*,g)\in (0,l)$ 使得

$\begin{aligned} |(S(t,s)\widetilde u-\widetilde u,\widetilde u)|<\frac{\epsilon^2}{2},\quad s_x<s \le t \le s_*+\delta^{\prime}. \end{aligned}$

选取 $\delta=\min\{\delta^{\prime\prime},\delta^{\prime}\}$, 我们得到了 (4.19) 式. $s_*\in (t_{j_0},t_{j_0{+1}}]$ 的情况证明结束.

情况 2 $s_*=t_{j_0{+1}}$.

在这种情况下我们令 $2l=t_{j_0{+2}}-t_{j_0{+1}}$, 考虑 $s_*<s\le t \le s_*+l$.

与情形 1 证明的主要区别在于常数 $\widetilde c$ 和 $L$ 分别被替换为

$\widetilde c^{\prime}=\|\widetilde u\|^2+\int_{s_*}^{s_*+l}\|g(\theta)\|^2{\rm d}\theta \text{ 和 } L^{\prime}=\sup\limits_{\theta \in [s_*,s_*+l]}\|S(\theta,s)\widetilde u\|^2.$

这里 $L^{\prime}$ 也是与 $s$ 和 $t$ 无关的常数, 因为 $S(\theta,s)\widetilde u$ 对于 $\theta \in (s_*,s_*+l]\subset (t_{j_0+1},t_{j_0+2})$ 是连续的, 并且在 $\theta = s_*= t_{j_0+1}$ 上存在右极限. 证明的其余部分与情形 1 的证明类似, 这里省略了细节.

类似于引理 4.6, 我们有

引理 4.7 假设 (A1)--(A3) 成立, 让 $t\in \mathbb R$, $\widetilde u \in \ell^2$ 固定. 那么 $\forall \epsilon >0$, $\exists \delta=\delta(\epsilon,s_*,\widetilde u)>0$ 足够小, 使得

$\begin{aligned} \|S(t,s)\widetilde u-\widetilde u\|^2<\epsilon,\quad \forall s\in (s_*-\delta,s_*],\quad \forall t\in [s,s_*]. \end{aligned}$

现在, 我们开始研究对于 $t\in \mathbb R$ 和 $\widetilde u \in \ell^2$, 属于 $PC((-\infty,t],\ell^2)$ 的 $\ell^2$-值映射 $s\mapsto S(t,s)\widetilde u$ 的某些连续性质.

引理 4.8 假设 (A1)-(A3) 成立, 那么对于每一个给定的$t\in \mathbb R$ 和 $\widetilde u \in \ell^2$, $\ell^2$-值映射 $s\mapsto S(t,s)\widetilde u$ 属于 $PC((-\infty,t],\ell^2)$, 也就是说

(i) $S(t,\cdot)\widetilde u$ 在 $(-\infty,t]$ 上是左连续的;

(ii) $S(t, \cdot) \tilde{u}$ 在 $(-\infty, t] \backslash\left\{t_{j}: t_{j} \in(-\infty, t], j \in \mathbb{Z}\right\} $ 上是连续的;

(iii) $S(t,\cdot)\widetilde u$ 在脉冲点 $\tau_j\in (-\infty,t],j\in \mathbb Z$ 上具有右极限.

证 首先, 我们证明项 (1). 考虑任意给定的 $s_*\in (-\infty,t]$, 我们将在 $s=s_*$ 处建立 $S(t,\cdot)\widetilde u$ 的左连续性. 事实上, 我们假设, 在不失一般性的情况下, $s_*\in (t_{j_0},t_{j_0+1}]$, $j_0\in \mathbb Z$.

对于所有的 $s\in (t_{j_0},s_*]$

$\begin{aligned} \|(S(t,s)\widetilde u-(S(t,s_*)\widetilde u\|=\|(S(t,s_*)S(s_*,s)\widetilde u-(S(t,s_*)\widetilde u\|. \end{aligned}$

因为 $t$ 和 $s_*$ 是固定的, $S(t,s_*):\ell^2\mapsto \ell^2 $ 是连续的. $S(t,\cdot)\widetilde u$ 在 $s=s_*$ 上的左连续性由 (4.19) 式到 (4.30) 式得到.因为 $t$ 和 $s_*$ 固定, $S(t,s_*):\ell^2\mapsto \ell^2 $ 是连续的. $S(t,\cdot)\widetilde u$ 在 $s=s_*$ 上的左连续性可以由 (4.19) 式到 (4.30) 式得到.

其次, 我们证明项 (2). 不失一般性, 根据项 (1) 的结果, 只需要证明 $S(t, \cdot) \widetilde u$ 在 $\left(t_{j_{0}}, t_{j_{0}+1}\right) \cap(-\infty, t]$, $j_{0} \in \mathbb{Z}$ 上是又连续的. 给定 $s_{*} \in\left(t_{j_{0}}, t_{j_{0}+1}\right) \cap(-\infty, t]$ 和 $s_{*}<s<t_{j_{0}+1} \leqslant t $. 使用 (2.24) 式, 有

$\begin{equation} \begin{aligned} \left\|S\left(t, s_{*}\right) \tilde{u}-S(t, \tau) \tilde{u}\right\| & =\left\|S(t, s) S\left(s, s_{*}\right) \tilde{u}-S(t, s) \tilde{u}\right\| \\ & \leqslant\left\|S\left(s, s_{*}\right) \tilde{u}-\tilde{u}\right\| {\rm e}^{-\left(\sigma+\lambda-\lambda_{0}\right)(t-s)}. \end{aligned} \end{equation}$

$S(t, \cdot) \tilde{u}$ 在 $s_{*}$ 上的右连续性可以从 (4.31) 式得到, 事实上 $S\left(\cdot, s_{*}\right) \tilde{u} \in C\left(\left(t_{j_{0}}, t_{j_{0}+1}\right) ; \ell^{2}\right)$.

再次, $S(t, s) \tilde{u}$ 在脉冲点 $t_{j} \in(-\infty, t]$ 处有右极限的事实是引理 4.2 和该过程不变性通过使用柯西收敛准则的直接结果. 因此引理 4.4 的证明结束.

最后, 利用广义 Banach 极限和定理 4.4 确定的 $D_\sigma$-拉回吸引子构造了该过程的一组 Borel 不变概率测度$\{S(t,s)\}_{t\ge s}$.

关于广义 Banach 极限的基本性质[13].

定义 4.9 广义 Banach 极限是任何线性泛函, 我们用 $\mathop{\mathrm {LIM}} \limits_{T \rightarrow \infty} $ 表示, 它定义在 $[0, \infty) $ 上所有有界实值函数的空间上满足

(i) 对于非负函数 g, $\mathop{\mathrm {LIM}} \limits_{T \rightarrow \infty} g(T) \geq 0$;

(ii) 如果通常的极 $\mathop{\mathrm {lim}} \limits_{T \rightarrow \infty} g(T)$ 存在, 那么 $\mathop{\mathrm {LIM}} \limits_{T \rightarrow \infty} g(T)=\mathop{\mathrm {LIM}} \limits_{T \rightarrow \infty} g(T)$.

在接下来的内容中, 我们将广义极限作为“拉回”结构的一部分, 为此我们需要 t $\rightarrow-\infty$ 时的广义极限. 而当我们有一个定义在 $(-\infty, 0] $ 上的实值函数 $\varphi$ 和一个给定的 Banach 极限 $\mathop{\mathrm {LIM}} \limits_{T \rightarrow \infty} $ 时, 我们定义$\mathop{\mathrm {LIM}} \limits_{t \rightarrow -\infty} \varphi(t)=\mathop{\mathrm {LIM}} \limits_{t \rightarrow \infty} \varphi(-t)$.

定义 4.10 假设 (A1)-(A3) 成立, 并且 $v(\cdot): \mathbb{R} \mapsto \ell^{2}$ 是满足 $v(\cdot) \in D_{\sigma}$ 的连续映射. 那么对于每个广义 Banach 极限 $\mathop{\mathrm {LIM}} \limits_{\theta \rightarrow +\infty} $ 和每个 $\psi \in C\left(\ell^{2}\right) $, 在 $\ell^{2}$ 上存在唯一对应的 Borel 概率测度族$\left\{\mathrm{m}_{\theta}\right\}_{\theta \in \mathbb R}$ 和 $D_{\sigma}$-拉回吸引子 $\{A(\theta)\}_{\theta \in \mathbb R}$ 满足

$\begin{aligned} \mathop{\mathrm {LIM}} \limits_{s \rightarrow -\infty} \frac{1}{t-s} \int_{s}^{t} \psi(S(t, \theta) v(\theta)) \mathrm{d} \theta&=\int_{A(t)} \psi(u) \mathrm{dm}_{t}(u)=\int_{\ell^{2}} \psi(u) \mathrm{dm}_{t}(u) \\ &=\mathop{\mathrm {LIM}} \limits_{s \rightarrow -\infty} \frac{1}{t-s} \int_{s}^{t} \int_{\ell^{2}} \psi(S(t, \theta) u) \mathrm{dm}_{\theta}(\theta) \mathrm{d} \theta. \end{aligned}$

此外, $\mathrm {m}_{\theta}$ 具有以下不变属性

$\begin{aligned} \int_{A(t)} \psi(u) \mathrm{dm}_{t}(u)=\int_{A(s)} \psi(S(t, s) u) \mathrm{dm}_{s}(u),\ t \geqslant s. \end{aligned}$

证 证明的思想类似于 (参见文献 [20,定理 3.1]) 的思想.

固定 $\psi(\cdot) \in C\left(\ell^{2}\right) $ 和一个连续的映射 $v(\cdot): \mathbb{R} \mapsto \ell^{2} $, 使得 $ v(\cdot) \in D_{\sigma} $. 对于给定的 $ t \in \mathbb{R} $, 声明对每个紧致区间 $ \left[t_{0}, t\right] $, 函数 $ s \mapsto \psi(S(t, s) v(s)) $ 在 $ \left[t_{0}, t\right] $, $ t_{0}<t,$ 上有界. 一方面, 由 (1.4), 在区间 $\left[t_{0}, t\right] $ 上的脉冲点 $ \left\{t_{j}\right\}_{j \in \mathbb Z} $ 只有有限个. 我们用 $ t_{j_{0}+1}, t_{j_{0}+2}, \cdots, t_{j_{0}+N}$ 对于一些 $N \in \mathbb N_{+}$ 表示这些脉冲点. 然后根据引理 4.4, 函数 $s \mapsto \psi(S(t, s) v(s)) $ 在 $\left[t_{0}, t\right] \backslash\left\{t_{j_{0}+1}, t_{j_{0}+1}, \cdots, t_{j_{0}+N}\right\}$ 上连续, 在 $ \left(t_{0}, t\right] $ 上左连续, 在 $t_{0}, t_{j_{0}+1}, \cdots, t_{j_{0}+N} $ 处有右极限. 因此, $ \psi(S(t, s) v(s))$ 在紧致区间 $ \left[t_{0}, t\right]$ 上有界. 另一方面, 从引理 3.1 我们发现, 当 $ t_{0} $ 充分小时, $\psi(S(t, s) v(s)) $ 在区间 $ \left(-\infty, t_{0}+1\right] $ 上也是有界的, 因为 $ v(\cdot) \in D_{\sigma} $ 和 $ \{S(t, s)\}_{t \geqslant s}$ 具有 $ D_{\sigma} $-拉回吸收性. 因此, 我们证明了函数 $ \psi(S(t, s) v(s)) $ 在 $(-\infty, t] $ 上有界, 函数

$ s \longmapsto \frac{1}{t-s} \int_{s}^{t} \psi(S(t, \theta) v(\theta)) \mathrm{d} \theta $

在 $ (-\infty, t] $ 上有界. 根据这个事实, 定义

$L(\psi)=\mathop{\mathrm {LIM}} \limits_{s \rightarrow -\infty} \frac{1}{t-s} \int_{s}^{t} \psi(S(t, \theta) v(\theta)) \mathrm{d} \theta. $

证明的其余部分与文献 [20,定理 3.1] 的证明类似, 我们在这里省略了细节.

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