数学物理学报, 2024, 44(6): 1550-1562

带不同幂次型非线性项的半线性三阶发展方程整体解的存在性与爆破

石金诚,1, 刘炎,2,*

1广州华商学院应用数学系 广州 511300

2广东金融学院应用数学系 广州 510521

Global Existence and Blow-Up for Semilinear Third Order Evolution Equation with Different Power Nonlinearities

Shi Jincheng,1, Liu Yan,2,*

1Department of Apllied Mathematics, Guangzhou Huashang College, Guangzhou 511300

2Department of Applied Mathematics, Guangdong University of Finance, Guangzhou 510521

通讯作者: *刘炎, Email: ly801221@163.com

收稿日期: 2023-08-31   修回日期: 2024-04-29  

基金资助: 国家自然科学基金(11223344)
广东省自然基金(2023A1515012044)
广州华商学院科研团队(2021HSKT01)
广州华商学院(2024HSTS09)

Received: 2023-08-31   Revised: 2024-04-29  

Fund supported: NSFC(11223344)
Guangdong Natural Science foundation(2023A1515012044)
Scientific Research Team Funding of Guangzhou Huashang College(2021HSKT01)
Science foundation of Guangzhou Huashang College (Qualitative Study of Thermoelastic Equations)(2024HSTS09)

作者简介 About authors

石金诚,Email:hning0818@163.com

摘要

该文研究了一类带不同幂次型非线性项的半线性三阶发展方程的 Cauchy 问题, 其线性化模型来自于考虑 Fourier 法则的经典热弹性板方程组. 首先, 通过适当的远离渐近线的 $L^r$--$L^q$ 估计并结合 Banach 不动点原理, 得到了在小初值条件下整体解的存在性; 其次, 对于满足特定条件的非线性项, 利用检验函数法证明了解的爆破; 最后, 基于这些研究结果, 得出该半线性三阶模型的一些临界指标.

关键词： 整体解的存在性; 半线性三阶发展方程; 爆破; 热弹性板方程组

Abstract

This paper studies the Cauchy problem of a class of semilinear third-order evolution equations with different power-type nonlinear terms. Its linearized model is derived from the classical thermoelastic plate equations considering Fourier's law. Firstly, by using the appropriate $L^r\!-\!L^q$ estimation away from the asymptote and combining with the Banach fixed point theorem, the existence of the global solution under small initial conditions is obtained. Secondly, for the nonlinear terms that satisfy specific conditions, the explosion of the solution is proved by the test function method. Finally, based on these research results, some critical indicators of the semilinear third-order model are obtained.

Keywords： Global existence of solution; Semilinear third order evolution equation; Blow-up; Thermoelastic plate equations

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本文引用格式

石金诚, 刘炎. 带不同幂次型非线性项的半线性三阶发展方程整体解的存在性与爆破[J]. 数学物理学报, 2024, 44(6): 1550-1562

Shi Jincheng, Liu Yan. Global Existence and Blow-Up for Semilinear Third Order Evolution Equation with Different Power Nonlinearities[J]. Acta Mathematica Scientia, 2024, 44(6): 1550-1562

1 引言

热弹性板方程组在近年来已成为广泛研究的焦点, 参见文献 [2,4,12⇓⇓-15,20⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓-28,25⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓-39]. 特别值得注意的是, 遵循 Fourier 法则的经典热弹性板方程组可由以下形式进行描述

$\begin{equation} \begin{cases} u_{tt}+\Delta^2u+\Delta\theta=0,\\ \theta_t-\Delta\theta-\Delta u_{t}=0, \end{cases} \end{equation}$

其中 $t$ 表示时间变量, $x$ 表示空间变量. 此处, 未知标量函数 $u=u(t,x)$ 和 $\theta=\theta(t,x)$ 分别表示板的垂直位移和达到平衡状态的温度差. 近期, Aslan 和 Chen[1]得出半线性热弹性板模型整体解的存在性. 但是, 板垂直位移的性态仍然未知. 若将算子 $(\partial_t$--$\Delta)$ 作用于 (1.1) 式的第一个方程, 并结合第二个方程, 则板的垂直位移满足以下的三阶发展方程

$\begin{aligned} u_{ttt}-\Delta u_{tt}+2\Delta^2 u_t-\Delta^3 u=0. \end{aligned}$

相比于原耦合方程组 (1.1), 上述标量方程可以精确刻画板垂直位移的定性性态. 因此, 方程 (1.2) 为理解热弹性板中的某些物理现象提供了有效的途径. 然而, 截至目前, 关于该 Cauchy 问题 (1.2) 及其对应的带有源项非线性项的半线性 Cauchy 问题仍未得到解决.

本文考虑如下的半线性三阶发展方程的 Cauchy 问题, 其线性部分是经典热弹性板方程组的退化模型

$\begin{equation} \begin{cases} u_{ttt}-\Delta u_{tt}+2\Delta^2 u_t-\Delta^3 u=\big|\partial_t^ju\big|^p,&x\in R^n,\,t>0,\\ (u,u_t,u_{tt})(0,x)=(0,0,u_2)(x),&x\in R^n, \end{cases} \end{equation}$

其中 $j=1,2,3$ 且 $p>1$. 本文旨在探讨小初值整体解在 $L^1\cap L^{\infty}$ 空间中的存在性, 并分析小初值弱解的爆破情况. 此外, 还将进一步探寻非线性方程 (1.3) 的一系列临界指标, 即 $p=p_{\mathrm{crit}}(n)$, 这些指标揭示了小初值整体解与爆破之间关于指数 $p$ 的阈值,参见文献 [18,29⇓⇓⇓-33]. 值得注意的是, 尽管目前关于半线性发展方程 Cauchy 问题的研究成果有限, 但对于几类特殊的三阶双曲方程而言, 已有一些重要的进展, 如: Jordan-Moore-Gibson-Thompson 方程, Blackstock 模型, 参见文献 [3,6,11,19].

$\bullet$ 有关解的爆破, Chen 等[7,8]应用迭代方法证明了半线性 Moore-Gibson-Thompson 方程 (一类特殊的三阶双曲方程) 解的爆破, 其中非线性项是幂次型或导数型. 但是这类方法并不适用于模型(1.3). 这是因线性方程 (1.2) 并不是双曲型, 即此解并不具有有限传播速度的性质. 为了克服该困难, 我们将采用检验函数方法 (如文献 [5,9,16,17,43]) 去证明非线性问题 (1.3) 的弱解爆破.

$\bullet$ 有关小初值的整体解, 如果利用经典带有额外 $L^1$ 正则性的 $L^2$-$L^2$ 估计, 则需要对维数 $n$ 添加额外的假设. 这是由于Gagliardo-Nirenberg 不等式的应用所致 (可见文献 [10,41,42]). 为达到对所有维度整体解存在的目的, 可应用适当的 $L^r$-$L^q$ 并联合 Banach 不动点原理. 为此, 需要推导出线性化模型的 $L^r$-$L^q$ 估计.

在深入探讨整体存在性与爆破结果之前, 现在给出对方程 (1.3) 弱解的定义.

定义 1.1 令 $p>1$. 当以下关系成立

$\begin{equation*} \begin{aligned} &u\in L_{\mathrm{loc}}^p([0,\infty)\times R^n)&&\mbox{当}\ j=0\ \mbox{在方程}\ (1.3) \ \mbox{中},\\ &u\in L_{\mathrm{loc}}^1([0,\infty)\times R^n)\,\,\mbox{使得}\,\,u_t\in L_{\mathrm{loc}}^p([0,\infty)\times R^n)&&\mbox{当}\,\,j=1\,\,\mbox{在方程}\ (1.3) \ \mbox{中},\\ &u\in L_{\mathrm{loc}}^1([0,\infty)\times R^n)\,\,\mbox{使得}\,\,u_{tt}\in L_{\mathrm{loc}}^p([0,\infty)\times R^n)&&\mbox{当}\,\,j=2\,\,\mbox{在方程}\ (1.3) \ \mbox{中}, \end{aligned} \end{equation*}$

且以下积分等式

$\begin{aligned} & \int_0^{\infty}\int_{ R^n}\big|\partial_t^ju(t,x)\big|^{p}F(t,x)\,d x\,d t+\int_{ R^n}u_2(x)F(0,x)\,d x\notag\\ &=\int_0^{\infty}\int_{R^n}u(t,x)\left(-F_{ttt}(t,x)-\Delta F_{tt}(t,x)-2\Delta^2F_t(t,x)-\Delta^3F(t,x)\right)d x\,d t \end{aligned}$

对所有的检验函数 $F\in {C}_0^{\infty}([0,\infty)\times R^n)$ 均成立, 则函数 $u=u(t,x)$ 被称为方程 (1.3) 的整体弱解.

接下来, 介绍有关三阶发展方程 (1.3) 的结果.

定理 1.1 假设 $u_2\in L^1( R^n)$ 并满足条件

$\begin{equation*} \int_{ R^n}u_2(x)\,d x>0. \end{equation*}$

当下列条件对所有维数 $n\geqslant 1$ 成立

$\begin{align*} 1<p\leqslant \begin{cases} 1+\frac{6}{(n-4)_+}&\,\,\,\,\mbox{若}\,\,\,\,j=0\,\,\,\,\mbox{在方程}\ (1.3)\ \mbox{中},\\[3mm] 1+\frac{4}{(n-2)_+}&\,\,\,\,\mbox{若}\,\,\,\,j=1\,\,\,\,\mbox{在方程}\ (1.3)\ \mbox{中},\\[3mm] 1+\frac{2}{n}&\,\,\,\,\mbox{若}\,\,\,\,j=2\,\,\,\,\mbox{在方程}\ (1.3)\ \mbox{中}, \end{cases} \end{align*}$

则不存在方程 (1.3) 的整体弱解

定理 1.2

假定非线性项的指数满足

$\begin{align*} p>\begin{cases} 1+\frac{6(1+\epsilon)}{n-4(1+\epsilon)}&\,\,\,\,\mbox{若}\,\,\,\,j=0\,\,\,\,\mbox{在方程}\ (1.3)\ \mbox{中且当}\,\,\,\,n\geqslant5,\\[3mm] 1+\frac{4(1+\epsilon)}{n-2(1+\epsilon)}&\,\,\,\,\mbox{若}\,\,\,\,j=1\,\,\,\,\mbox{在方程}\ (1.3)\ \mbox{中且当}\,\,\,\,n\geqslant3,\\[3mm] 1+\frac{2}{n}&\,\,\,\,\mbox{若}\,\,\,\,j=2\,\,\,\,\mbox{在方程}\ (1.3)\ \mbox{中且当}\,\,\,\,n\geqslant1, \end{cases} \end{align*}$

其中 $\epsilon>0$ 是一个充分小的常数. 则存在一个常数 $\varepsilon_0>0$ 使得对 $\|u_2\|_{{A}_j( R^n)}\leqslant\varepsilon_0$ 时, 其中

$\begin{align*} {A}_j( R^n)\doteq\begin{cases} L^{\infty}( R^n)\cap L^{1+\epsilon}( R^n)\cap L^1( R^n)&\,\,\,\,\mbox{若}\,\,\,\,j=0,1,\\ L^{\infty}( R^n)\cap L^1( R^n)&\,\,\,\,\mbox{若}\,\,\,\,j=2, \end{cases} \end{align*}$

方程 (1.3) 存在唯一的 $L^1\cap L^{\infty}$ 解

$\begin{align*} &u\in {C}\big([0,\infty),L^1( R^n)\cap L^{\infty}( R^n)\big)&\mbox{若}\,\,\,\,j=0\,\,\,\,\mbox{在方程}\ (1.3)\ \mbox{中},\\ &u_t\in {C}\big([0,\infty),L^1( R^n)\cap L^{\infty}( R^n)\big)&\mbox{若}\,\,\,\,j=1\,\,\,\,\mbox{在方程}\ (1.3)\ \mbox{中},\\ &u_{tt}\in {C}\big([0,\infty),L^1( R^n)\cap L^{\infty}( R^n)\big)&\mbox{若}\,\,\,\,j=2\,\,\,\,\mbox{在方程}\ (1.3)\ \mbox{中}. \end{align*}$

此外, 解满足估计

$\begin{align*} &\|u(t,\cdot)\|_{L^q( R^n)}\lesssim (1+t)^{2-\frac{n}{2}+\frac{n\epsilon}{2(1+\epsilon)}+\frac{n}{2(1+\epsilon)q}}\|u_2\|_{{A}_0( R^n)}&\mbox{若}\,\,\,\,j=0\,\,\,\,\mbox{在方程}\ (1.3)\ \mbox{中},\\ &\|u_t(t,\cdot)\|_{L^q( R^n)}\lesssim (1+t)^{1-\frac{n}{2}+\frac{n\epsilon}{2(1+\epsilon)}+\frac{n}{2(1+\epsilon)q}}\|u_2\|_{{A}_1( R^n)}&\mbox{若}\,\,\,\,j=1\,\,\,\,\mbox{在方程}\ (1.3)\ \mbox{中},\\ &\|u_{tt}(t,\cdot)\|_{L^q( R^n)}\lesssim (1+t)^{-\frac{n}{2}+\frac{n}{2q}}\|u_2\|_{{A}_2( R^n)}&\mbox{若}\,\,\,\,j=2\,\,\,\,\mbox{在方程}\ (1.3)\ \mbox{中}, \end{align*}$

其中 $q\in[\infty]$.

注 1.1 由定理 1.1 和定理 1.2, 我们发现

$\begin{align*} p=p_{\mathrm{Crit}}^{(2)}(n)\doteq1+\frac{2}{n} \end{align*}$

为半线性三阶方程 (1.3) 当 $j=2$ 时的临界指数. 我们同时发现当

$\begin{align*} 1<p\leqslant 1+\frac{6-2j}{\max\{n-(4-2j);0\}}\,\,\,\,\mbox{当}\,\,\,\,j=0,1, \end{align*}$

整体弱解在有限时间内爆破. 但是当

$\begin{align*} p>1+\frac{(6-2j)(1+\epsilon)}{n-(4-2j)(1+\epsilon)}\,\,\,\,\mbox{当}\,\,\,\,j=0,1, \end{align*}$

整体解存在, 其中 $\epsilon>0$ 为一个充分小的常数. 换句话说, 这里存在一个充分小的间隙

$\begin{align*} \left(1+\frac{6-2j}{n-(4-2j)},1+\frac{(6-2j)(1+\epsilon)}{n-(4-2j)(1+\epsilon)}\right]. \end{align*}$

令 $\epsilon\rightarrow0$, 我们猜想这些临界指数为

$\begin{align*} p=p_{\mathrm{Crit}}^{(0)}(n)\doteq1+\frac{6}{n-4}\,\,\,\,\mbox{对方程}\ (1.3)\,\,\,\,\mbox{且}\,\,\,\,j=0,\,\,n\geqslant5,\\ p=p_{\mathrm{Crit}}^{(1)}(n)\doteq1+\frac{4}{n-2}\,\,\,\,\mbox{对方程}\ (1.3)\,\,\,\,\mbox{且}\,\,\,\,j=1,\,\,n\geqslant3. \end{align*}$

本文的组织结构如下: 在第 2 节, 利用适当的检验函数方法证明弱解的爆破. 接着, 在第 3 节中, 推导线性发展方程 (1.3) 的 $L^q-L^q$ ($q\in[\infty]$) 估计以及解在 $L^{\infty}$ 范数下的估计. 最后, 在第4节, 充分利用 Banach 不动点原理和所得到的一些解的估计, 证明非线性问题小初值整体解的存在性.

在本节最后, 我们给出一些将要在本文中用到的符号. $f\lesssim g$ 表示存在正常数 $C$ 使得 $f\leqslant Cg$; $B_R(0)$ 表示以原点为圆心, $R$ 为半径的圆; $r$ 的 Hölder 对偶记为 $r'$ 满足 $1/r+1/r'=1$; $(x)_+$ 表示 $x\in R$ 的正部, 即 $(x)_+=\max\{x;0\}$.

2 解的爆破结果: 定理1.1 的证明

受半线性阻尼波方程检验函数方法的启发, 我们定义非负且非增的检验函数 $\eta(t)\in {C}_0^{\infty}([0,\infty))$, 和非负的径向检验函数 $\varphi(x)\in {C}_0^{\infty}( R^n)$, 分别满足

$\begin{equation} \begin{split} &\eta(t)=1\text{ 对所有的 }t\in\big[\frac{1}{2}\big]\text{ 且 supp}\,\,\eta(t)\subset[0,1],\\ &\varphi(x)=1\text{ 对所有的 }x\in B_{1/2}(0)\text{ 且 supp}\,\,\varphi(x)\subset B_1(0). \end{split} \end{equation}$

进一步, 对这些检验函数做出如下假设

$\begin{aligned} &\eta(t)^{-\frac{p'}{p}}\left(|\eta'(t)|^{p'}+|\eta''(t)|^{p'}+|\eta'''(t)|^{p'}\right)\leqslant C, \end{aligned}$
$\begin{aligned} &\varphi(x)^{-\frac{p'}{p}}\left(|\Delta\varphi(x)|^{p'}+|\Delta^2\varphi(x)|^{p'}+|\Delta^3\varphi(x)|^{p'}\right)\leqslant C, \end{aligned}$

且 $\varphi(x)\leqslant \varphi(y)$ 对所有 $|x|\geqslant|y|$ 成立.

取 $R\in[0,\infty)$ 为充分大的参数. 则分离变量式的检验函数可定义为

$\begin{equation*} \psi_R(t,x)\doteq\eta_R(t)\varphi_R(x)\doteq\eta(t/R^2)\varphi(x/R). \end{equation*}$

为了证明解的爆破结果, 根据泛函的不同设定, 将情况细分为 $j=1,2,3$. 在开始详细讨论之前, 首先定义一个重要的泛函

$\begin{align*} I_R^{(j)}\doteq \int_0^{\infty}\int_{ R^n}|\partial_t^ju(t,x)|^{p}\psi_R(t,x)\,d x\,d t, \end{align*}$

其中 $j=1,2,3$.

2.1 方程 (1.3) 带 $j=0$ 时解的爆破

首先将等式 (1.4) 乘以检验函数 $\psi_R(t,x)$ 并应用分部积分得到

$\begin{align*} & \int_0^{\infty}\int_{ R^n}|u(t,x)|^{p}\psi_R(t,x)\,d x\,d t+\int_{ R^n}u_2(x)\varphi_R(x)\,d x\\ &=\int_0^{\infty}\int_{ R^n}u(t,x)\left(-\eta_R'''(t)\varphi_R(x)-\eta_R''(t)\Delta\varphi_R(x)-2\eta_R'(t)\Delta^2\varphi_R(x)-\eta_R(t)\Delta^3\varphi_R(x)\right)d x\,d t. \end{align*}$

利用 Young 不等式, 可知

$\begin{equation*} \begin{split} \frac{1}{p'}I_R^{(0)}+\int_{ R^n}u_2(x)\varphi_R(x)\,d x&\lesssim\int_0^{\infty}\int_{ R^n}(\eta_R(t)\varphi_R(x))^{-\frac{p'}{p}}\left(|\eta_R'''(t)\varphi_R(x)|^{p'}+|\eta_R''(t)\Delta\varphi_R(x)|^{p'}\right.\\ & \left.+|2\eta_R'(t)\Delta^2\varphi_R(x)|^{p'}+|\eta_R(t)\Delta^3\varphi_R(x)|^{p'}\right)d x\,d t. \end{split} \end{equation*}$

根据微分关系

$\begin{align*} d ^k\eta_R(t)=R^{-2k}(d ^k\eta)(t/R^2)\quad\mbox{且}\quad\Delta^k\varphi_R(x)=R^{-2k}(\Delta^k\varphi)(x/R), \end{align*}$

其中 $k=1,2,3$.

由 (2.2) 和 (2.3) 式, 下列估计成立

$\begin{equation*} \int_0^{\infty}\int_{ R^n}\left(\eta_R(t)\varphi_R(x)\right)^{-\frac{p'}{p}}|d ^{k_1}\eta_R(t)\Delta^{k_2}\varphi_R(x)|^{p'}d x\,d t\lesssim R^{-6p'+n+2}, \end{equation*}$

其中 $k_1+k_2=3$ 且 $k_1,k_2\in {N}_0$.

结合上述估计, 则可得到如下关键不等式

$\begin{align*} \frac{1}{p'}I_R^{(0)}+\int_{ R^n}u_2(x)\varphi_R(x)\,d x\lesssim R^{-6p'+n+2}. \end{align*}$

通过反证法, 假设方程 (1.3) 带 $j=0$ 的解 $u=u(t,x)$ 整体存在. 根据初值的条件, 即存在一个常数 $R_0>0$ 满足 $R>R_0$, 得

$\begin{align*} \int_{B_R(0)}u_2(x)\varphi_R(x)\,d x\geqslant\int_{B_{R/2}(0)}u_2(x)\,d x>0. \end{align*}$

因此, 这导致

$\begin{align*} \lim\limits_{R\rightarrow\infty}I_R^{(0)}\lesssim \lim\limits_{R\rightarrow\infty}R^{-6p'+n+2}-\lim\limits_{R\rightarrow\infty}\int_{B_{R/2}(0)}u_2(x)\,d x<0, \end{align*}$

其中 $1<p<1+6/(n-4)_+$. 这与我们对泛函的设定 $I_R^{(0)}\geqslant0$ 矛盾.

在临界情况 $p=1+6/(n-4)$ 其中 $n\geqslant 5$, 同样可利用单调收敛定理和控制收敛定理得到矛盾. 具体过程可参考文献 [43]. 总的来说, 每个根据定义 1.1 且当 $j=0$ 对方程 (1.3) 的弱解在有限时间内爆破, 其中幂次型非线性项的指数 $p$ 满足条件 $1<p\leqslant1+6/(n-4)_+$.

2.2 方程 (1.3) 带 $j=1$ 时解的爆破

令 $\Phi_R(t)\in {C}_0^{\infty}([0,\infty))$ 为检验函数且满足$\Phi_R(t)\doteq\int_t^{\infty}\eta_R(\tau)\,d\tau,$由上式可知 $\Phi'_R(t)=-\eta_R(t)\leqslant0$. 应用与 2.1 中类似的方法, 可得出该泛函的上界估计

$\begin{align*} & \int_0^{\infty}\int_{ R^n}|u_t(t,x)|^{p}\psi_R(t,x)\,d x\,d t+\int_{ R^n}u_2(x)\varphi_R(x)\,d x\notag\\ &=\int_0^{\infty}\int_{ R^n}u_t(t,x)\left(\eta_R''(t)\varphi_R(x)+\eta_R'(t)\Delta\varphi_R(x)+2\eta_R(t)\Delta^2\varphi_R(x)-\Phi_R(t)\Delta^3\varphi_R(x)\right)d x\,d t\notag\\ &\lesssim \frac{1}{p}I_R^{(2)}+R^{-4p'+n+2}, \end{align*}$

其中我们利用了检验函数 $\Phi_R(t)$ 的性质, 即

$\begin{align*} \Phi_R(t)\lesssim \Phi_R(0)=\int_0^{\infty}\eta_R(\tau)\,d\tau\lesssim R^2. \end{align*}$

最后, 这意味着

$\begin{align*} \frac{1}{p'}I_R^{(2)}+\int_{ R^n}u_2(x)\varphi_R(x)\,d x\lesssim R^{-4p'+n+2}. \end{align*}$

利用与上述讨论相似的推导, 可得到方程 (1.3) 带 $j=1$ 的每个弱解当 $1<p\leqslant1+4/(n-2)_+$ 时在有限时间内爆破.

2.3 方程 (1.3) 带 $j=2$ 时解的爆破

在这小节中, 我们将会引入一个新的检验函数 $\Psi_R(t)\in {C}_0^{\infty}([0,\infty))$, 其带有两次关于时间变量的积分. $\Psi_R(t)$ 定义如下

$\begin{align*} \Psi_R(t)\doteq\int_t^{\infty}\Phi_R(\tau)\,d\tau=\int_t^{\infty}\int_{\tau}^{\infty}\eta_R(s)\,ds\,d\tau. \end{align*}$

由于 $\Phi_R(t)$ 是一个非负函数, 检验函数 $\Psi_R(t)$ 则是一个非增的函数使得

$\begin{align*} \Psi_R(t)\lesssim \Psi_R(0)=\int_0^{\infty}\int_{\tau}^{\infty}\eta_R(s)\,ds\,d\tau\lesssim\int_0^{R^2}\int_{\tau}^{\infty}\eta_R(s)\,ds\,d\tau+\int_{R^2}^{\infty}\int_{\tau}^{\infty}\eta_R(s)\,ds\,d\tau\lesssim R^4. \end{align*}$

因此, 将检验函数 $\psi_R(t,x)$ 带入等式 (1.4), 则有

$\begin{align*} & \int_0^{\infty}\int_{ R^n}|u_{tt}(t,x)|^{p}\psi_R(t,x)\,d x\,d t+\int_{ R^n}u_2(x)\varphi_R(x)\,d x\notag\\ &=\int_0^{\infty}\int_{ R^n}u_{tt}(t,x)\left(-\eta_R'(t)\varphi_R(x)-\eta_R(t)\Delta\varphi_R(x)+2\Phi_R(t)\Delta^2\varphi_R(x)+\Psi_R(t)\Delta^3\varphi_R(x)\right)d x\,d t\notag\\ &\lesssim \frac{1}{p}I_R^{(3)}+R^{-2p'+n+2}. \end{align*}$

这导致

$\begin{align*} \frac{1}{p'}I_R^{(3)}+\int_{ R^n}u_2(x)\varphi_R(x)\,d x\lesssim R^{-2p'+n+2}. \end{align*}$

类似地, 可得出方程 (1.3) 带 $j=2$ 的每个弱解当 $1<p\leqslant1+2/n$ 时在有限时间内爆破.

3 线性化三阶发展方程

本节的主要目的在于研究线性化三阶发展方程 Cauchy 问题解的一些 $L^q$--$L^q$ 估计, 其中 $q\in[\infty]$, 和在 $L^{\infty}$ 范数下的估计. 这些估计在证明小初值整体解的存在性时发挥着至关重要的作用. 进入第 4 节后, 我们将着重处理非线性源项, 并深入分析解在 $u=0$ 附近的渐近稳定性. 尽管这是一个经典的数学课题, 但其中的复杂性不容忽视. 我们将通过整合爆破结果的分析, 进一步挖掘出更为深刻的临界指数结果.

首先考虑方程 (1.3) 的线性化问题, 即

$\begin{equation} \begin{cases} u_{ttt}-\Delta u_{tt}+2\Delta^2 u_t-\Delta^3 u=0,&x\in R^n,\,t>0,\\ (u,u_t,u_{tt})(0,x)=(0,0,u_2)(x),&x\in R^n. \end{cases} \end{equation}$

对空间变量进行 Fourier 变换, 可得

$\begin{equation} \begin{cases} \hat{u}_{ttt}+|\xi|^2 \hat{u}_{tt}+2|\xi|^4 \hat{u}_t+|\xi|^6 \hat{u}=0,&\xi\in R^n,\,t>0,\\ (\hat{u},\hat{u}_t,\hat{u}_{tt})(0,\xi)=(0,0,\hat{u}_2)(\xi),&\xi\in R^n. \end{cases} \end{equation}$

其对应的特征方程为

$\begin{aligned} \lambda^3+|\xi|^2\lambda^2+2|\xi|^4\lambda+|\xi|^6=0. \end{aligned}$

由文献 [36] 的第 2.2 节, 其特征根可精确进行计算

$\begin{align*} \lambda_j(|\xi|)=a_j|\xi|^2,\quad \mathrm{Re}\,(a_j)<0. \end{align*}$

其中, 常系数可表示为

$\begin{equation*} a_1=-\frac{1}{3}(1+\alpha),\quad a_2=-\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{2}\alpha+\frac{\sqrt{3}}{2}\beta i\right),\quad a_3=-\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{2}\alpha-\frac{\sqrt{3}}{2}\beta i\right), \end{equation*}$

且常数 $\alpha, \beta$ 为

$\begin{equation*} \alpha=\sqrt[3]{\frac{1}{2}\big(3\sqrt{69}+11\big)}-\sqrt[3]{\frac{1}{2}\big(3\sqrt{69}-11\big)}\,,\quad\beta=\sqrt[3]{\frac{1}{2}\big(3\sqrt{69}+11\big)}+\sqrt[3]{\frac{1}{2}\big(3\sqrt{69}-11\big)}\,. \end{equation*}$

因此, 方程 (3.2) 在 Fourier 空间的解可精确表达为

$\begin{align*} \hat{u}(t,\xi)=\frac{\hat{u}_2(\xi)}{|\xi|^4}\left(\frac{\exp\left(a_1|\xi|^2t\right)}{(a_1-a_3)(a_1-a_2)}+\frac{\exp\left(a_2|\xi|^2t\right)}{(a_2-a_3)(a_2-a_1)}+\frac{\exp\left(a_3|\xi|^2t\right)}{(a_3-a_2)(a_3-a_1)}\right). \end{align*}$

在推导出解的估计之前, 我们引入一些有关 Fourier 乘子在 $L^q$ 空间中的估计, 这其中涉及到包含振荡函数的热核估计. 为了推导出这些估计, 我们将会用到修正 Bessel 函数的工具[34].

引理 3.1 我们设 $q\in[\infty]$ 和 $c_1>0$, $c_2\neq0$. 那么, 这些 Fourier 乘子对任意的 $t>0$ 和 $n\geqslant1$ 满足以下估计

$\begin{align*} \left\|{F}^{-1}_{\xi\rightarrow x}\left(\exp\left(-c_1|\xi|^2t+ic_2|\xi|^2t\right)\right)(t,\cdot)\right\|_{L^q( R^n)}\lesssim t^{-\frac{n}{2}\left(1-\frac{1}{q}\right)}. \end{align*}$

证 为了证明该引理, 引入如下两个经典的估计

$\begin{aligned} \left\|{F}^{-1}_{\xi\rightarrow x}\left(\exp\left(-c_1|\xi|^2t\right)\sin\left(c_2|\xi|^2t\right)\right)(t,\cdot)\right\|_{L^q( R^n)}\lesssim t^{-\frac{n}{2}\left(1-\frac{1}{q}\right)}, \end{aligned}$
$\begin{aligned} \left\|{F}^{-1}_{\xi\rightarrow x}\left(\exp\left(-c_1|\xi|^2t\right)\cos\left(c_2|\xi|^2t\right)\right)(t,\cdot)\right\|_{L^q( R^n)}\lesssim t^{-\frac{n}{2}\left(1-\frac{1}{q}\right)}. \end{aligned}$

估计 (3.4) 和 (3.5) 式的证明可通过近期文献 [34] 的命题 12 得到. 由 Euler's 公式

$\begin{align*} \exp\left(-c_1|\xi|^2t+ic_2|\xi|^2t\right)=\exp\left(-c_1|\xi|^2t\right)\left(\cos\left(c_2|\xi|^2t\right)+i\sin\left(c_2|\xi|^2t\right)\right) \end{align*}$

和估计 (3.4) 和 (3.5) 式, 可得引理 3.1.

以下 Riesz 映射 $I_{2\kappa}$ 的性质被 Sobolev[40] 率先得出, 这对我们处理低频奇异性起到关键作用.

引理 3.2 若 $f\in L^{r}( R^n)$ 其中 $r\in(1,n/(2\kappa))$. 则有 $I_{2\kappa}f\in L^{r^*}( R^n)$ 及其估计

$\begin{equation*} \|I_{2\kappa}f\|_{L^{r^*}( R^n)}\lesssim \|f\|_{L^{r}( R^n)} \end{equation*}$

且 $1/r-1/r^*=2\kappa/n$.

定理 3.1 Cauchy 问题 (3.1) 的解 $u$ 满足以下估计

$\begin{align*} \big\|\partial_t^ju(t,\cdot)\big\|_{L^q( R^n)}\lesssim (1+t)^{2-j}\|u_2\|_{L^q( R^n)} \end{align*}$

其中 $q\in[\infty]$ 且 $j=0,1,2$ 对所有 $n\geqslant1$ 均成立. 另外, 解在 $L^{\infty}$ 范数下, 有下列估计

$\begin{align*} &\|u(t,\cdot)\|_{L^{\infty}( R^n)}\lesssim (1+t)^{2-\frac{n}{2}+\frac{n\epsilon}{2(1+\epsilon)}}\|u_2\|_{L^{\infty}( R^n)\cap L^{1+\epsilon}( R^n)}&\mbox{其中}\,\,\,\,n\geqslant5,\\ &\|u_t(t,\cdot)\|_{L^{\infty}( R^n)}\lesssim (1+t)^{1-\frac{n}{2}+\frac{n\epsilon}{2(1+\epsilon)}}\|u_2\|_{L^{\infty}( R^n)\cap L^{1+\epsilon}( R^n)}&\mbox{其中}\,\,\,\,n\geqslant3,\\\ &\|u_{tt}(t,\cdot)\|_{L^{\infty}( R^n)}\lesssim (1+t)^{-\frac{n}{2}}\|u_2\|_{L^{\infty}( R^n)\cap L^{1}( R^n)}&\mbox{其中}\,\,\,\,n\geqslant1, \end{align*}$

式中 $\epsilon>0$ 为一个充分小的常数.

证 为了方便起见, 我们首先得出解的二阶导数的估计. 应用 Young 卷积不等式和引理 3.1, 可得

$\begin{align*} \|u_{tt}(t,\cdot)\|_{L^q( R^n)}&=\left\| {F}^{-1}_{\xi\rightarrow x}\left(\sum_{j=1}^3\frac{a_j^2\exp\left(a_j|\xi|^2t\right)}{\prod_{k=1,\,j\neq k}^3(a_j-a_k)}\right)\ast u_2(x)\right\|_{L^q( R^n)}\\ &\leqslant \sum\limits_{j=1}^3\left\| {F}^{-1}_{\xi\rightarrow x}\left(\exp\left(a_j|\xi|^2t\right)\right)\right\|_{L^{m}( R^n)}\|u_2\|_{L^{r}( R^n)}\\ &\lesssim t^{-\frac{n}{2}\left(1-\frac{1}{m}\right)}\|u_2\|_{L^{r}( R^n)}, \end{align*}$

其中 $1+1/q=1/m+1/r$. 下面考虑几类情况: $r=q\in[\infty]$ 和 $r=1$, $q=\infty$, 则有

$\begin{align*} &\|u_{tt}(t,\cdot)\|_{L^q( R^n)}\lesssim \|u_2\|_{L^{q}( R^n)},\\ &\|u_{tt}(t,\cdot)\|_{L^\infty( R^n)}\lesssim t^{-\frac{n}{2}}\|u_2\|_{L^{1}( R^n)}. \end{align*}$

结合上述估计即可得出我们想要的估计.

接下来考虑解以及解的一阶导数的 $L^q$--$L^q$ 估计. 通过运用积分表达式, 对 $j=0,1$ 易知

$\begin{aligned} \big\|\partial_{t}^{j}u(t,\cdot)\big\|_{L^q( R^n)}&\lesssim\int_0^t\big\|\partial_{\tau}^{j+1}u(\tau,\cdot)\big\|_{L^q( R^n)}d\tau\notag\\& \lesssim \int_0^t\tau^{1-j}d\tau\,\|u_2\|_{L^q( R^n)} \lesssim t^{2-j}\|u_2\|_{L^q( R^n)}. \end{aligned}$

最后, 我们将要得到 $u$ 和 $u_t$ 的带有充分小常数 $\epsilon>0$ 的 $\big(L^{\infty}-L^{1+\epsilon}\big)-L^{\infty}$ 估计, 其中该常数 $\epsilon$ 表示一个小损失. 结合 Young 不等式和引理 3.2, 得

$\begin{align*} \big\|\partial_t^ju(t,\cdot)\big\|_{L^{\infty}( R^n)}&\leqslant\sum\limits_{j=1}^3\left\| {F}^{-1}_{\xi\rightarrow x}\left(\exp\left(a_j|\xi|^2t\right)\right)\right\|_{L^{\frac{n(1+\epsilon)}{n\epsilon+(4-2j)(1+\epsilon)}}( R^n)}\|I_{4-2j}u_2\|_{L^{\frac{n(1+\epsilon)}{n-(4-2j)(1+\epsilon)}}( R^n)}\\ &\lesssim t^{-\frac{n}{2}\left(1-\frac{n\epsilon+(4-2j)(1+\epsilon)}{n(1+\epsilon)}\right)}\|u_2\|_{L^{1+\epsilon}( R^n)}, \end{align*}$

其中当 $j=0$ 时 $n\geqslant5$, 和当 $j=1$ 时 $n\geqslant3$. 更进一步, 由 (3.6) 式, 可知

$\begin{align*} \big\|\partial_{t}^{j}u(t,\cdot)\big\|_{L^{\infty}( R^n)}\lesssim \|u_2\|_{L^{\infty}( R^n)} \end{align*}$

对小时间 $0\leqslant t\leqslant 1$ 和 $j=0,1$ 成立. 综上, 我们的定理已经证明完成.

注 3.1 根据 Riesz 势理论 (见引理 3.2), 我们仅仅能够在 $L^r( R^n)$ 范数下进行估计, 其中 $r\in(1,n/(2\kappa))$. 因此, 我们得到了带有微小损失 $\epsilon>0$ 的 $L^{1+\epsilon}-L^{\infty}$ 估计. 而解的 $L^1-L^{\infty}$ 估计则是一个相当具有挑战性的问题.

4 整体解的存在性结果: 定理 1.2 的证明

对任意的 $T>0$, 我们引入解空间 $X(T)$, 如下

$\begin{equation*} X(T)\doteq {C}\big([T],L^1( R^n)\cap L^{\infty}( R^n)\big) \end{equation*}$

并带有范数

$\begin{align*} \big\|\partial_t^ju\big\|_{X(T)}\doteq\sup\limits_{t\in[T]}\left(g_j^{-1}(t)\big\|\partial_t^ju(t,\cdot)\big\|_{L^1( R^n)}+h_j^{-1}(t)\big\|\partial_t^ju(t,\cdot)\big\|_{L^{\infty}( R^n)}\right), \end{align*}$

其中依赖于时间的函数由线性化方程 (3.1)解的估计在定理 3.1 中给出. 由线性化模型所得到的估计, 不难验证线性问题的整体解属于该解空间中. 具体而言, 该依赖于时间的函数定义为

$\begin{align*} g_j(t)&\doteq (1+t)^{2-j},&h_0(t)&\doteq (1+t)^{2-\frac{n}{2}+\frac{n\epsilon}{2(1+\epsilon)}},\\ h_1(t)&\doteq (1+t)^{1-\frac{n}{2}+\frac{n\epsilon}{2(1+\epsilon)}},&h_2(t)&\doteq (1+t)^{-\frac{n}{2}}. \end{align*}$

对带有幂次型源项的半线性 Cauchy 问题, 我们可取积分算子

$\begin{equation*} N_j:\,\,\partial_t^ju\rightarrow N_j\partial_t^ju\doteq u_{\text{lin}}^{(j)}+u^{(j)}_{\text{non}}. \end{equation*}$

记 $K_2(t,\tau,x)$ 为依赖于 $\tau$ 的线性化模型的基本解, 其中第一和第二初值均为零, 如下

$\begin{equation} \begin{cases} u_{ttt}-\Delta u_{tt}+2\Delta^2 u_t-\Delta^3 u=0,&x\in R^n,\,t>\tau,\\ (u,u_t,u_{tt})(\tau,x)=(0,0,u_2)(x),&x\in R^n. \end{cases} \end{equation}$

换句话说, 这是该参数化方程 (4.1) 带有初值 $(u_0,u_1,u_2)=(0,0,\delta_0)$ 的广义分布函数解. 因此函数

$\begin{equation*} u_{\text{lin}}^{(j)}(t,x)=\partial_t^jK_2(t,0,x)\ast_{(x)}u_2(x) \end{equation*}$

是线性化 Cauchy 问题 (1.3) 在齐次条件下的解. 同时, 由 Duhamel 原理可知, $u^{(j)}_{\text{non}}=u^{(j)}_{\text{non}}(t,x)$ 为以下积分算子

$\begin{equation*} u^{(j)}_{\text{non}}(t,x)\doteq\int_0^t \partial_t^{j}K_2(t-\tau,0,x)\ast_{(x)}\big|\partial_t^ju(\tau,x)\big|^{p}\,d\tau. \end{equation*}$

为了分别证明方程 (1.3) 带有 $j=0,1,2$ 时整体解的存在性, 需要严格证明算子 $N_j$ 在解空间 $X(T)$ 中的压缩性对每个 $j$ 均成立. 然后, 方程的解 $\partial_t^ju$ 就会是非线性积分方程 $\partial_t^ju=N_j\partial_t^ju$ 的解, 即为 $N_j$ 算子的唯一不动点. 于是, 关键点在于推导下列两个一致估计

$\begin{aligned} & \big\|N_j\partial_t^ju\big\|_{X(T)} \lesssim \|u_2\|_{ {A}( R^n)}+\big\|\partial_t^ju\big\|^{p}_{X(T)}, \end{aligned}$
$\begin{aligned} & \big\|N_j\partial_t^ju-N_j\partial_t^j\tilde{u}\big\|_{X(T)} \lesssim \big\|\partial_t^ju-\partial_t^j\tilde{u}\big\|_{X(T)} \left(\big\|\partial_t^ju\big\|_{X(T)}^{p-1}+\big\|\partial_t^j\tilde{u}\big\|_{X(T)}^{p-1}\right), \end{aligned}$

其中一致性是关于时间 $T$. 这会得出我们想要的对算子 $N_j$ 的压缩性 (唯一性和存在性), 此处假设初值满足小性条件 $\|u_2\|_{ {A}_j( R^n)}=\varepsilon_0$, 其中 $\varepsilon_0$ 为充分小的常数. 方便起见, 我们回顾初值空间 $ {A}_j( R^n)$ 的定义

$\begin{align*} {A}_j( R^n)\doteq\begin{cases} L^{\infty}( R^n)\cap L^{1+\epsilon}( R^n)\cap L^1( R^n)&\,\,\,\,\mbox{若}\,\,\,\,j=0,1,\\ L^{\infty}( R^n)\cap L^1( R^n)&\,\,\,\,\mbox{若}\,\,\,\,j=2, \end{cases} \end{align*}$

其中 $\epsilon>0$ 为独立于 $T$ 的充分小常数.

由于解空间的构造, 尤其是其含时加权范数从我们所得的定理 3.1 中的引入, 我们可以发现线性问题的解满足

$\begin{align*} \big\|u^{(j)}_{\text{lin}}\big\|_{X(T)}\lesssim\|u_2\|_{ {A}_j( R^n)}. \end{align*}$

充分利用解空间的范数以及著名的 Riesz-Thorin 插值定理, 得到

$\begin{aligned} \big\|\partial_t^ju(t,\cdot)\big\|_{L^q( R^n)}\lesssim g_j^{\frac{1}{q}}(t)\,h_j^{1-\frac{1}{q}}(t)\big\|\partial_t^ju\big\|_{X(T)} \end{aligned}$

其中 $q\in[\infty]$.

为了证明式 (4.2), 接下来我们会利用所得的 $L^1$--$L^1$ 型估计, 则有

$\begin{align*} g^{-1}_j(t)\big\|u^{(j)}_{\text{non}}(t,\cdot)\big\|_{L^1( R^n)}&\lesssim g^{-1}_j(t)\int_{0}^tg_j(t-\tau)\big\|\partial_t^ju(\tau,\cdot)\big\|_{L^{p}( R^n)}^{p}d\tau\\ &\lesssim \int_0^tg_j(\tau)\,h_j^{p-1}(\tau)\,d\tau\,\big\|\partial_t^ju\big\|_{X(T)}^{p}, \end{align*}$

其中

$\begin{align*} g_j(\tau)\,h_j^{p-1}(\tau)=\begin{cases} (1+\tau)^{2+\left(2-\frac{n}{2}+\frac{n\epsilon}{2(1+\epsilon)}\right)(p-1)}&\mbox{若}\,\,\,\,j=0,\\ (1+\tau)^{1+\left(1-\frac{n}{2}+\frac{n\epsilon}{2(1+\epsilon)}\right)(p-1)}&\mbox{若}\,\,\,\,j=1,\\ (1+\tau)^{-\frac{n}{2}(p-1)}&\mbox{若}\,\,\,\,j=2. \end{cases} \end{align*}$

下面分为两种情况来讨论.

$\bullet$ 当 $j=0,1$ 时, 为估计在 $L^{\infty}$ 范数下的幂次型非线性项, 可在子区间 $[t/2]$ 上利用所得的 $\big( L^{\infty}\cap L^{1+\epsilon}\big)-L^{\infty}$ 估计, 在子区间 $[t/2,t]$ 上利用所得的 $L^{\infty}$--$L^{\infty}$ 估计, 即

$\begin{aligned} & h_j^{-1}(t)\big\|u^{(j)}_{\text{non}}(t,\cdot)\big\|_{L^{\infty}( R^n)}\notag\\ &\lesssim h_j^{-1}(t)\int_0^{t/2}h_j(t-\tau)\left(\big\|\partial_t^ju(\tau,\cdot)\big\|_{L^{p(1+\epsilon)}( R^n)}^{p}+\big\|\partial_t^ju(\tau,\cdot)\big\|_{L^{\infty}( R^n)}^{p}\right)d\tau\notag\\ &\quad+h_j^{-1}(t)\int_{t/2}^tg_j(t-\tau)\big\|\partial_t^ju(\tau,\cdot)\big\|_{L^{\infty}( R^n)}^{p}d\tau\notag\\ &\lesssim\int_0^{t/2}g_j^{\frac{1}{1+\epsilon}}(\tau)\,h_j^{p-\frac{1}{1+\epsilon}}(\tau)\,d\tau\,\big\|\partial_t^ju\big\|_{X(T)}^p+(1+t)g_j(t)\,h_j^{p-1}(t)\big\|\partial_t^ju\big\|_{X(T)}^p, \end{aligned}$

上式中, 运用等式

$\begin{align*} g_j^{\frac{1}{1+\epsilon}}(\tau)\,h_j^{p-\frac{1}{1+\epsilon}}(\tau)=\begin{cases} (1+\tau)^{\frac{2}{1+\epsilon}+\left(2-\frac{n}{2}+\frac{n\epsilon}{2(1+\epsilon)}\right)\left(p-\frac{1}{1+\epsilon}\right)}&\mbox{若}\,\,\,\,j=0,\\ (1+\tau)^{\frac{1}{1+\epsilon}+\left(1-\frac{n}{2}+\frac{n\epsilon}{2(1+\epsilon)}\right)\left(p-\frac{1}{1+\epsilon}\right)}&\mbox{若}\,\,\,\,j=1. \end{cases} \end{align*}$

$\bullet$当 $j=2$ 时, 可以直接从子区间 $[t/2]$ 中利用 $\big(L^{\infty}\cap L^1\big)-L^{\infty}$ 估计和子区间 $[t/2,t]$ 中利用 $L^{\infty}$--$L^{\infty}$ 估计得到

$\begin{aligned} & h_2^{-1}(t)\big\|u^{(2)}_{\text{non}}(t,\cdot)\big\|_{L^{\infty}( R^n)}\notag\\ &\lesssim\int_0^{t/2}(1+\tau)^{-\frac{n}{2}(p-1)}d\tau\,\|u_{tt}\|_{X(T)}^p+(1+t)^{1-\frac{n}{2}(p-1)}\|u_{tt}\|_{X(T)}^p. \end{aligned}$

当 $j=0,1$ 时, 在定理中对指数 $p$ 的假设, 即$p>1+\frac{(6-2j)(1+\epsilon)}{n-(4-2j)(1+\epsilon)},$可得

$\begin{align*} &2-j+\Big(2-j-\frac{n}{2}+\frac{n\epsilon}{2(1+\epsilon)}\Big)(p-1)<-1,\\ &\frac{2-j}{1+\epsilon}+\Big(2-j-\frac{n}{2}+\frac{n\epsilon}{2(1+\epsilon)}\Big)\Big(p-\frac{1}{1+\epsilon}\Big)<-1. \end{align*}$

换而言之, $L^1$ 可积性成立

$g_j(\tau)\,h_j^{p-1}(\tau)\in L^1([0,\infty)),\,\,\,\,g_j^{\frac{1}{1+\epsilon}}(\tau)\,h_j^{p-\frac{1}{1+\epsilon}}(\tau)\in L^1([0,\infty)),$

并且有以下的有界估计$(1+t)g_j(t)\,h_j^{p-1}(t)\lesssim 1.$因此, 可得不等式 (4.5) 对任意的 $t\geqslant0$ 均成立.

在 $j=2$ 的情况下, 从我们对幂次型非线性项的假设$p>1+\frac{2}{n}\quad\Rightarrow\quad -\frac{n}{2}(p-1)<-1,$可知, 对所有的 $t\geqslant0$, 我们均有一致估计(4.6)式.

综上所述, 我们已经证明了第一个估计 (4.2) 式.

最后, 需要利用 Lipschitz 条件 (4.3) 去保证解的唯一性. 通过直接计算, 可注意到

$\begin{align*} & \big\|N_j\partial_t^ju(t,\cdot)-N_j\partial_t^j\tilde{u}(t,\cdot)\big\|_{L^{q}( R^n)}\\ &=\left\|\int_0^t\partial_t^jK_2(t-\tau,0,x)\ast_{(x)}\big(\big|\partial_t^ju(\tau,x)\big|^{p}-\big|\partial_t^ju(\tau,x)\big|^{p}\big)d\tau\right\|_{L^q( R^n)} \end{align*}$

其中 $q=1$ 或 $q=\infty$. 同时, 由于

$\begin{align*} \big|\big|\partial_t^ju_{\tau}(\tau,x)\big|^{p}-\big|\partial_t^j\tilde{u}_{\tau}(\tau,x)\big|^{p}\big|&\lesssim\big|\partial_t^ju(\tau,x)-\partial_t^j\tilde{u}(\tau,x)\big|\big(\big|\partial_t^ju(\tau,x)\big|^{p-1}+\big|\partial_t^j\tilde{u}(\tau,x)\big|^{p-1}\big), \end{align*}$

可知, 我们仅需再次利用 Riesz-Thorin 差值定理即可得到上面的项在 $L^q$ 范数下的估计.这表明(4.3) 式亦成立. 运用 Banach 不动点定理可完成我们定理的证明.

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