数学物理学报, 2024, 44(6): 1537-1549

具有弱耗散项的 Camassa-Holm 方程的解析性和整体 Gevrey 正则性

孟志英,1,*, 殷朝阳,1,2

1中山大学数学学院 广州 510275

2中山大学理学院 广东深圳 518107

Global Gevrey Regularity and Analyticity of a Weakly Dissipative Camassa-Holm Equation

Meng Zhiying,1,*, Yin Zhaoyang,1,2

1Department of Mathematics, Sun Yat-sen University, Guangzhou 510275

2School of Science, Shenzhen Campus of Sun Yat-sen University, Guangdong Shenzhen 518107

通讯作者: *孟志英, Email: mengzhy3@mail2.sysu.edu.cn

收稿日期: 2023-11-14   修回日期: 2024-04-29  

基金资助: 国家自然科学基金(12171493)

Received: 2023-11-14   Revised: 2024-04-29  

Fund supported: National Natural Science Foundation of China(12171493)

作者简介 About authors

殷朝阳,Email:mcsyzy@mail.sysu.edu.cn

摘要

该文主要研究了具有弱耗散项的 Camassa-Holm 的柯西问题在 Sobolev-Gevrey 空间的适定性. 首先, 证明了该方程的局部解析性和 Gevrey 正则性. 其次, 探究了解映射的连续性. 最后, 证明了解在 Gevrey 类 ($G_{\sigma}$) 中的整体 Gevrey 正则性, 其中 $\sigma \geq 1$.

关键词： 具有弱耗散项的 Camassa-Holm 方程; 解析性; Gevrey 类; 整体 Gevrey 正则性

Abstract

This article mainly studies the well posedness of the Cauchy problem of a weakly dissipative Camassa-Holm equation in Sobolev-Gevrey spaces. Firstly, we demonstrate the local Gevrey regularity and analyticity of this equation. Then, we discuss the continuity of the data-to-solution map. Finally, we obtain the global Gevrey regularity of this system in Gevrey class $G_{\sigma}$ with $\sigma\geq 1$ in time.

Keywords： A weakly dissipative Camassa-Holm equation; Analyticity; Gevrey class; Global Gevrey regularity

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本文引用格式

孟志英, 殷朝阳. 具有弱耗散项的 Camassa-Holm 方程的解析性和整体 Gevrey 正则性[J]. 数学物理学报, 2024, 44(6): 1537-1549

Meng Zhiying, Yin Zhaoyang. Global Gevrey Regularity and Analyticity of a Weakly Dissipative Camassa-Holm Equation[J]. Acta Mathematica Scientia, 2024, 44(6): 1537-1549

1 引言

现实生活中众多的物理现象都可以经过数学语言的提炼并用更加简单的形式描述, 而其中最普遍的描述方式之一就是方程. 当研究系统随着时间在进行不断的演化, 那么在描述系统的数学语言中就需要添加新的未知量来刻画物体的演变,这使得微分方程, 特别是偏微分方程在物理研究中有着非常重要的地位. 而浅水波问题一直是数学和物理学的前沿课题之一.

浅水波是指水波的波长远远大于其振幅的一种水波, 如: 湖泊、溪流、海啸等. 而浅水波方程可以描述海洋中深度相对较浅的区域内的波动现象, 这种波动受到海底地形和海岸线的影响, 因此波浪会随着靠近岸边而变得更高. 另一方面, 对于大气运动, 浅水波方程可以用来描述大气中的快速波动现象. 类似于海洋中的浅水波, 大气中的浅水波也受到地形和海拔的影响, 因此波浪也会随着地形和海拔的变化而变化. 从大气运动的角度, 可以将浅水波方程理解为描述大气中的波动传播的方程. 这些波动通常是由于大气中的不稳定性引起的, 例如气压梯度力、温度梯度力、地球自转等因素都会引起大气中的波动. 这些波动在传播过程中也会受到地形和海拔的影响, 因此波浪也会随着地形和海拔的变化而变化. 总之, 浅水波方程可以用来描述海洋和大气中的波动现象, 以及计算海浪高度、速度等参数, 从而可以进一步地研究其影响和特性.

在本文中, 我们主要研究如下具有弱耗散项的 Camassa-Holm 方程[15]

$\begin{equation} \left\{\begin{array}{l} u_t-u_{txx}+3uu_x+\lambda(u-u_{xx})\\ =2u_xu_{xx}+uu_{xxx}+\alpha u_x+\beta u^2u_x+\gamma u^3u_x+\Gamma u_{xxx}, t>0, x\in\mathbb{R} \\ u(0,x)=u_0, \end{array}\right. \end{equation}$

其中$\alpha, \beta,\gamma,\Gamma \in \mathbb{R}$ 且 $\lambda>0.$ 这样的问题是最近才出现的, 它来自于一个新的模型, 描述了在科里奥利力 (用高阶非线性项描述) 和耗散 (来自线性扰动) 的影响下的浅水波. 当 $\lambda=0$ 时, 方程(1.1) 是与具有科里奥利效应相关的浅水波模型[8,18,19,28]. 科里奥利效应模型通常是指包含科里奥利力的物理模型, 科里奥利力是由于地球自转产生的惯性力, 对运动物体产生影响. 此外, Camassa-Holm 方程可以产生孤立子解, 而科里奥利效应模型则更多地关注于科里奥利力如何影响流体的整体运动状态. 在实际应用中, Camassa-Holm 方程和科里奥利效应模型可能会结合使用, 比如在研究赤道区域的海洋流动时, 可能需要同时考虑浅水波的运动特性和科里奥利力的影响.

设

$\begin{align*} &\Lambda ^{-2}=(1-\partial_{xx})^{-1}, h(u)=(\alpha+\Gamma)u+\frac{\beta}{3}u^3+\frac{\gamma}{4}u^4,\notag\\ &Q=-\Lambda ^{-2}\partial_x\Big(-h(u)+u^2+\frac{1}{2}u_x^2\Big). \end{align*}$

因此, 方程 (1.1) 可转化为以下形式

$\begin{equation} \left\{\begin{array}{l} u_t=-(u+\Gamma)u_x-\lambda u+Q:= F(t,u(t)),\ t>0, x\in\mathbb{R},\\ u(0,x)=u_0. \end{array}\right. \end{equation}$

在文献 [15] 中, Freire 证明了系统 (1.2) 的柯西问题在 Sobolev 空间 $H^s,s>\frac 32$ 是适定的. 最近, Meng 和 Yin 证明了系统 (1.2) 的柯西问题在 Besov 空间的局部适定性、解的整体正则性[38]和守恒弱解的存在唯一性[39].

当方程 (1.2) 中的参数取不同的值时, 可以得到许多数学模型. 若 $\alpha=\gamma=\lambda=\Gamma=0,\beta=-3$ 和项 $3uu_{x}$ 变为 $3u^2u_x$ 时, 此方程为具有三次和四次非线性的弱耗散项的 Camassa-Holm 方程[12⇓-14]. 若 $\Gamma=\gamma=\alpha=\lambda=\beta=0,$ 此方程 (1.2) 为著名的 Camassa-Holm (CH) 方程

$\left(1-\partial_{x}^{2}\right) u_{t}=3 u u_{x}-2 u_{x} u_{x x}-u u_{x x x}.$

CH 方程具有双哈密顿结构, 且是完全可积的[2,6]. CH 方程具有单峰解和多峰解的轨道稳定性[2,7,11]. 关于 CH 方程已取得了大量的研究成果. 众多学者探究了其柯西问题在 Sobolev 空间和 Besov空间的适定性[3,4,9,10,22,31⇓⇓-34,36,45]. 最近, Guo, Ye 和 Yin 证明了在临界 Besov 空间 $B^{1+\frac 1p}_{p,1},1\leq p<\infty$ 是局部适定的[47] 和 $B^1_{\infty,1}$ 中是不适定的[21]. 在文献 [3⇓-5] 中, 探讨了 CH 方程强解的整体存在性和爆破现象. 在文献 [24,30,37,4] 中, 讨论了 Camassa-Holm 型方程的 Gevrey 正则性和解析性. 最近, Xu 和 Yang[46]研究了一些广义浅水波方程的局部适定性与衰减性. Freire [16]也研究了非线性波动方程解的持久性和渐近行为.

值得注意的是, 两分量的 Camassa-Holm 型方程与 CH 方程有一些相似的结果. Hu[26,27], Liu[29]和 Guan[20,23]研究了两分量的 Camassa-Holm 型方程的柯西问题的局部适性和强解的整体存在性.Yan[48]探究了修正的两分量 Camassa-Holm 方程解的解析性. He 和 Yin[25]证明了具有高阶惯性算子的两分量 Camassa-Holm 方程解的整体 Gevrey 正则性和解析性.

目前为止, 具有弱耗散项的 Camassa-Holm 方程 (1.2) 解的解析性和 Gevrey 正则性和解析性还未研究. 在本文中, 我们主要关注柯西问题 (1.2) 解的 Gevrey 正则性. 受文献 [37,40,44] 的启发, 通过广义的 Ovsyannikov 定理证明函数 $F(t,u(t))$ 满足一定的条件时, 建立了系统 (1.2) 在 Sobolev-Gevrey 空间的局部适定性和解映射的连续性. 进一步地, 利用 Besov 空间中强解的整体存在性结果[38], 建立了系统 (1.2) 解的整体 Gevrey 正则性和解析性.

本文结构如下: 在第 2 节中, 我们回顾一些基本的定义和引理. 在第 3 节中, 我们首先证明了方程 (1.2) 的局部 Gevrey 正则性和解析性, 以及方程 (1.2) 解映射的连续性. 最后, 利用 Besov 空间中解的整体存在性和连续性方法, 得到了方程 (1.2) 解的整体解析性和 Gevrey 正则性.

2 引论

我们首先回顾 Gevrey 空间的定义和相关性质.

定义 2.1[17] 设 $\sigma, \delta>0$ 和 $s$ 均为实数. 若函数 $u\in G^{\delta}_{\sigma,s}(\mathbb{R}^d),$ 当且仅当 $u\in \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}^d)$ 满足

$\|u\|_{G^{\delta}_{\sigma,s}(\mathbb{R}^d)}=\Big(\int_{\mathbb{R}^d}(1+|\xi|^2)^s {\rm e}^{2\delta(1+|\xi|^2)^{\frac{1}{2\sigma}}}|\hat{u}(\xi)|^2{\rm d}\xi\Big)^{\frac 1 2}<\infty.$

定义 2.2[35] 若存在 $\delta,s$ 满足 $\delta>0, s\geq 0$ 能够使得 $u\in G^{\delta}_{\sigma,s}(\mathbb{R}^d).$ 那么函数 $u$ 属于 Gevrey 类 $\sigma$, 则可用以下符号表示

$u\in G_{\sigma}(\mathbb{R}^d):=\cup_{\delta>0,s\in \mathbb{R}}G^{\delta}_{\sigma,s}(\mathbb{R}^d).$

引理 2.1[25] Fourier 乘子 ${\rm e}^{\delta{\Lambda}^{\frac{1}{\sigma}}}$ 和 ${\rm e}^{\delta(-\Delta)^{\frac{1}{2\sigma}}}$ 可记为

$ {\rm e}^{\delta{\Lambda}^{\frac{1}{\sigma}}}u=\mathcal{F}^{-1}\Big({\rm e}^{\delta(1+|\xi|^2)^{\frac{1}{2\sigma}}}\hat{u}\Big) 和 {\rm e}^{\delta(-\Delta)^{\frac{1}{2\sigma}}}u=\mathcal{F}^{-1}\Big({\rm e}^{\delta|\xi|^{\frac{1}{\sigma}}}\hat{u}\Big).$

则有

$\|u\|_{G^{\delta}_{\sigma,s}(\mathbb{R}^d)}=\|{\rm e}^{\delta{\Lambda}^{\frac{1}{\sigma}}}u\|_{H^s(\mathbb{R}^d)} \text{和} \|u\|_{\bar{G}^{\delta}_{\sigma,s}(\mathbb{R}^d)}=\|{\rm e}^{\delta(-\Delta)^{\frac{1}{2\sigma}}}u\|_{H^s(\mathbb{R}^d)}.$

(1) 当 $\sigma\in(0,\delta)$ 时, 我们称函数 $f$ 是超解析的;

(2) 当 $\sigma=1$ 时, 我们称函数 $f$ 是解析的, 这里的 $\delta$ 代表函数 $f$ 的解析半径;

(3) 当 $\delta>1$ 时, 我们称函数 $f$ 是具有 Gevrey 类的.

引理 2.2[37] 若 $ 0<\delta'<\delta, 0<\sigma'<\sigma$ 和 $s'<s.$ 则有

$G^{\delta}_{\sigma,s}(\mathbb{R}^d)\hookrightarrow G^{\delta'}_{\sigma,s}(\mathbb{R}^d), G^{\delta}_{\sigma',s}(\mathbb{R}^d)\hookrightarrow G^{\delta}_{\sigma,s}(\mathbb{R}^d)$

以及

$G^{\delta}_{\sigma,s}(\mathbb{R}^d)\hookrightarrow G^{\delta}_{\sigma,s'}(\mathbb{R}^d).$

引理 2.3[37] 设 $u\in G^{\delta}_{\sigma,s}(\mathbb{R}).$ 假设 $0<\delta'<\delta, \sigma>0$ 和 $s\in \mathbb{R}$. 则有

$\begin{align*} \|\partial_{x}u\|_{G^{\delta'}_{\sigma,s}(\mathbb{R})}&\leq \frac{{\rm e}^{-\sigma}\sigma^{\sigma}}{2(\delta'-\delta)^{\sigma}}\|u\|_{G^{\delta}_{\sigma,s}(\mathbb{R})},\\ \|(1-\partial_{xx})^{-1}u\|_{G^{\delta'}_{\sigma,s}(\mathbb{R})}&\leq \|u\|_{G^{\delta}_{\sigma,s-2}(\mathbb{R})}\leq \|u\|_{G^{\delta}_{\sigma,s}(\mathbb{R})},\\ \|(1-\partial_{xx})^{-1}\partial_{x}u\|_{G^{\delta'}_{\sigma,s}(\mathbb{R})}&\leq \|u\|_{G^{\delta}_{\sigma,s-1}(\mathbb{R})}\leq \|u\|_{G^{\delta}_{\sigma,s}(\mathbb{R})}. \end{align*}$

引理 2.4[37] 若 $s>\frac 1 2, \sigma\geq 1$ 和 $\delta>0.$ 则 $G^{\delta}_{\sigma,s}(\mathbb{R})$ 是一个代数. 进一步地, 存在两个常数 $C_s$ 和 $\bar{C}_s$ 使得

$\begin{align*} \|uv\|_{G^{\delta}_{\sigma,s}(\mathbb{R})}&\leq C_s\|u\|_{G^{\delta}_{\sigma,s}(\mathbb{R})}\|v\|_{G^{\delta}_{\sigma,s}(\mathbb{R})},\\ \|uv\|_{G^{\delta}_{\sigma,s-1}(\mathbb{R})}&\leq \bar{C}_s\|u\|_{G^{\delta}_{\sigma,s}(\mathbb{R})}\|v\|_{G^{\delta}_{\sigma,s-1}(\mathbb{R})}. \end{align*}$

引理 2.5[37,49] 设 $\sigma\geq 1.$ 对任意的 $a>0, u\in E_a, 0<\delta<1$ 和 $0\leq t<\frac{a(1-\delta)^\sigma D_{\sigma}}{2^\sigma-1}$, 其中 $D_{\sigma}=\frac{1}{2^{\sigma}-2+\frac{1}{2^{\sigma+1}}}.$ 则有

$\int_0^t \frac{\|u(\tau)\|_{\delta(\tau)}}{(\delta(\tau)-\delta)^{\sigma}}\leq \frac{a2^{2\delta+3} \|u\|_{E_a}}{(1-\delta)^\sigma}\sqrt{\frac{a(1-\delta)^{\sigma}}{a(1-\delta)^{\sigma}-t}},$

其中

$\delta(\tau)=\frac 1 2 (1+\delta)+(\frac 1 2)^{2+\frac{1}{\sigma}}\Big([(1-\delta)^{\sigma}-\frac t a]^{\frac{1}{\sigma}}-[(1-\delta)^{\sigma}+(2^{\sigma+1}-1)\frac t a]^{\frac{1}{\sigma}}\Big)\in (0,1).$

下面引入如下抽象形式的 Cauchy 问题

$\begin{equation} \left\{\begin{aligned} &\frac{{\rm d}u}{{\rm d}t}=F(t,u(t)),\\ &u(0,x)=u_0. \end{aligned}\right. \end{equation}$

关于系统(2.1)有以下结论

引理 2.6[1,40,42] 给定一族 Banach 空间 $\{X_{\delta}\}_{0<\delta<1}$, 且满足当 $0<\delta'<\delta$ 时, 有 $X_\delta \hookrightarrow X_{\delta'}$. 进一步地, 设 $T, {M}>0$ 和 $u_0\in X_1.$ 若 $F(t,u(t))$ 满足如下所示的 (1)-(3)

(1) 当 $0<\delta'<\delta<1$ 时, 函数 $u(t)$ 在 $(-T,T)$ 上关于 $X_{\delta}$ 是解析的; 函数 $u(t)$ 在 $[-T,T]$ 上关于 $X_{\delta}$ 是连续的. 进一步地, 我们有

$\sup_{|t|< T}\|u(t)\|_{\delta}<R,$

则 $t\mapsto F(t,u(t))$ 在 $|t|<T$ 上关于 $X_{\delta'} $解析;

(2) 当 $0<\delta'<\delta<1$ 以及 $u, v\in \overline{B(u_0,R)}\subset X_{\delta},$ 存在 $L=L(u_0,R)>0$ 使得

$\sup_{|t|< T}\|F(t,u(t))-F(t,v(t))\|{\delta'}\leq \frac{L}{\delta-\delta'}\|u-v\|_{\delta};$

(3) 当 $0<\delta<1$ 时, 存在 $M=M(u_0)>0$ 使得

$\sup_{|t|< T}\|F(t,u_0(t))\|_{\delta'}\leq \frac{M}{1-\delta},$

则对任意的 $\delta\in (0,1)$, 柯西问题(2.1)存在一个时间 $T_0\in(0,T)$ 和唯一解 $u(t)$, 且映射 $t\mapsto u(t)$ 在 $|t|<T_0(1-\delta)$ 上关于 $X_{\delta}$ 是解析的.

引理 2.7[37,49] 给定一族 Banach 空间 $\{X_{\delta}\}_{0<\delta<1}$, 其满足当 $0<\delta'<\delta$ 时, 有 $X_\delta\hookrightarrow X_{\delta'}.$ 设 $T, {R}>0$ 和 $u_0\in X_1.$ 如果函数 $F(t,u(t))$ 满足条件 (1)-(3) 时,

(1) 当 $0<\delta'<\delta<1$ 时, 映射 $t\mapsto u(t)$ 关于 $X_{\delta}$ 是解析的, $t\in(-T,T)$, 映射 $t\mapsto u(t)$ 关于 $X_{\delta}$ 是连续的, 这里 $t\in [-T,T].$ 进一步地, 有 $\sup\limits_{|t|< T}\|u(t)\|_{\delta}<R,$ 则 $t\mapsto F(t,u(t))$ 在 $|t|<T$ 上关于 $X_{\delta'}$ 解析;

(2) 当 $0<\delta'<\delta<1$ 以及 $u, v\in \overline{B(u_0,R)}\subset X_{\delta}$ 时, 存在常数 $L=L(u_0,R)>0$, 使得 $\sup_{|t|< T}\|F(t,u(t))-F(t,v(t))\|_{\delta'}\leq \frac{L}{(\delta-\delta')^\sigma}\|u-v\|_{\delta};$

(3) 当 $\delta\in(0,1)$ 时, 存在常数 $M=M(u_0)>0$, 使得 $\sup\limits_{|t|< T}\|F(t,u_0(t))\|_{\delta'}\leq\frac{M}{1-\delta}.$ 则柯西问题 (2.1) 存在着一个时间 $T_0\in(0,T)$且有唯一解. 进一步地, 对任意的 $\delta\in (0,1),$ 映射$t\mapsto u(t)$ 在 $|T|<\frac{T_0(1-\delta)^\sigma D_{\sigma} }{2^\sigma-1}$上关于 $X_{\delta}$解析.

注 2.1 引理2.6最初是被 Ovsyannikov 在文献 [41⇓-43] 中提出. 然而, Ovsyannikov 原始的结果并未针对 Gevrey 类函数进行应用. 具体来说, 对于 Gevrey 类函数, 只能得到如下估计

$\sup_{|t|< T}\|F(t,u(t))-F(t,v(t))\|_{\delta'}\leq\frac{L}{(\delta-\delta')^\sigma}\|u-v\|_{\delta}, \sigma\geq 1.$

当 $\sigma>1$ 时, 上面的不等式比引理2.6中的条件 (2) 弱.这种估计相对于条件 (2) 而言显得较弱. 后续研究中, Luo 和 Yin 在文献 [37] 中改进了文献 [44] 的结果, 即得到了上述的不等式.

现在, 给出如下的 Banach 空间, 其可以用不动点论证来证明引理2.7.

定义 2.3[37,49] 设 $\sigma\geq 1.$ 对任意的 $a>0,$$0<\delta<1$, 我们用 $E_a$ 表示 在 $|t|<\frac{a(1-\delta)^\sigma D_{\sigma}}{2^\sigma-1}$ 上关于 $X_{\delta}$ 解析且连续的函数 $u(t)$ 所组成的函数空间, 且满足

$\|u\|_{E_T}:=\sup_{|t|<\frac{a(1-\delta)^\sigma}{2^\sigma-1}}\Big(\|u(t)\|_{G^{\delta}_{\sigma,s}}(1-\delta)^{\sigma}\sqrt{1-\frac{|t|}{a(1-\delta)^{\sigma}}}\Big)<+\infty,$

其中 $D_{\sigma}=\frac{1}{2^{\sigma}-2+\frac{1}{2^{\sigma+1}}}$.

注 2.2[37,49] 事实上,

$T_0={\min}\{\frac{1}{2^{2\sigma+4}L}, \frac{(2^{\sigma}-1)R}{(2^{\sigma}-1)2^{2\sigma+3}LR+MD_{\sigma}}\},$

其中 $D_{\sigma}=\frac{1}{2^{\sigma}-2+\frac{1}{2^{\sigma+1}}}$, 这表明时间 $T$有正下界.

若 $\sigma=1,$ 引理2.1即为Cauchy-Kovalevsky定理.

引理 2.8[38] 设初值 $u_0 \in B^{s}_{p,r}$ 且 $(s,p,r)$ 满足 $s>1+\frac 1 p, (p,r)\in [\infty]^2$ (或 $s=1+\frac 1p,p\in [1,\infty),r=1$). 对任意的实数 $\alpha, \beta, \gamma, \Gamma,\lambda>0$ 和初值 $u_0$, 存在足够小的常数 $\varepsilon$ 使得如果

$\begin{align*} H_0 \triangleq|\alpha|+|\Gamma|+\|u_0\|_{B^s_{p,r}}+\frac{|\beta|}{3}\|u_0\|^2_{B^s_{p,r}}+\frac{|\gamma|}{4}\|u_0\|^3_{B^s_{p,r}}\leq \lambda \epsilon. \end{align*}$

则方程(1.2)存在唯一的整体强解 $u$. 进一步地, 对任意的 $t\in [0,\infty)$, 有

$\begin{align*} H (t)\triangleq|\alpha|+|\Gamma|+\|u(t)\|_{B^s_{p,r}}+\frac{|\beta|}{3}\|u(t)\|^2_{B^s_{p,r}}+\frac{|\gamma|}{4}\|u(t)\|^3_{B^s_{p,r}}\leq H_0. \end{align*}$

3 整体解析性和 Gevrey 正则性

本节主要讨论方程(1.2)解的整体解析性和 Gevrey 正则性, 以及解映射的连续性.

3.1 局部解析性和 Gevrey 正则性

定理 3.1 设 $\sigma\geq 1, s>\frac 3 2$ 和 $u_0\in G^1_{\sigma,s}.$ 则对任意的 $0<\delta<1,$ 存在时间 $T_0>0$ 使得方程 (1.2) 存在唯一的解 $u$, 且 $\|u(t,\cdot)\|_{G^{\delta}_{\sigma,s}}$ 在 $|t|<\frac{T_0(1-\delta)^{\sigma}}{2^{\sigma}-1}$ 上是解析的. 进一步地, 有 $T_0= \frac{1}{2^{2\sigma+8}C'({\rm e}^{-\sigma}\sigma^{\sigma}+2)(1+\|u_0\|_{G^{1}_{\sigma,s}})^4},$ 这里的正常数 $C'$ 依赖于 $s, \alpha, \beta, \gamma, \lambda, \Gamma.$

证 方程(1.2)可写为

$\begin{equation} \left\{\begin{aligned} &\frac{\rm d}{{\rm d}t}u=F(t,u(t,x)),\\ &u(0,x)=u_0, \end{aligned}\right. \end{equation}$

其中 $F(t,u(t,x))=-(u+\Gamma)u_x-\lambda u-Q.$固定 $\sigma\geq1$ 和 $s>\frac 3 2.$ 根据引理 2.7, 可知 $\{G^{\delta}_{\sigma,s}\}_{0<\delta<1}$ 是一族单调递减的 Banach 空间. 由引理 2.2-2.4, 可以得到

$\begin{array}{l}\|F(t, u(t))\|_{G_{\sigma, s}^{\delta^{\prime}}} \leq \frac{1}{2}\left\|\left(u^{2}\right)_{x}\right\|_{G_{\sigma, s}^{\delta^{\prime}}}++|\Gamma|\left\|u_{x}\right\|_{G_{\sigma, s}^{\delta^{\prime}}}+C\|Q\|_{G_{\sigma, s}^{\delta^{\prime}}}\\\leq \frac{C_{s} \mathrm{e}^{-\sigma} \sigma^{\sigma}}{2\left(\delta-\delta^{\prime}\right)^{\sigma}}\left\|u^{2}\right\|_{G_{\sigma, s}^{\delta}}+\frac{C_{s, \Gamma} \mathrm{e}^{-\sigma} \sigma^{\sigma}}{\left(\delta-\delta^{\prime}\right)^{\sigma}}\|u\|_{G_{\sigma, s}^{\delta}}+C\|Q\|_{G_{\sigma, s}^{\delta^{\prime}}},\end{array}$

其中 $0<\delta'<\delta.$

再次利用引理2.2-2.4, 有

$\begin{align*} \|Q\|_{G^{\delta'}_{\sigma,s}}&\leq C_s\Big(\|h(u)\|_{G^{\delta'}_{\sigma,s-1}}+\|u^2\|_{G^{\delta'}_{\sigma,s-1}}+\|u_x^2\|_{G^{\delta'}_{\sigma,s-1}}\Big)\notag\\&\leq C'\Big(\|u\|_{G^{\delta}_{\sigma,s}}+\|u\|^2_{G^{\delta}_{\sigma,s}}+\|u\|^3_{G^{\delta}_{\sigma,s}}+\|u\|^4_{G^{\delta}_{\sigma,s}}+\|u\|^5_{G^{\delta}_{\sigma,s}}\Big)\notag\\ &\leq C'\|u\|_{G^{\delta}_{\sigma,s}}(1+\|u\|_{G^{\delta}_{\sigma,s}})^4, \end{align*}$

其中 $C'$ 依赖于 $s,\alpha,\beta,\gamma,\lambda,\Gamma.$

把上述估计代入到(3.2)式, 则有

$\begin{align*} \|F(t,u(t))\|_{G^{\delta'}_{\sigma,s}}&\leq \frac{C'({\rm e}^{-\sigma}\sigma^{\sigma}+2)}{2(\delta-\delta')^{\sigma}}\|u\|_{G^{\delta}_{\sigma,s}}(1+\|u\|_{G^{\delta}_{\sigma,s}})^4. \end{align*}$

这表明 $F(t,u(t))$ 满足引理2.1(1). 对 $F(u_0)$ 采用类似地估计, 可得

$\begin{align*} \|F(u_0)\|_{G^{\delta}_{\sigma,s}}&\leq \frac{C'({\rm e}^{-\sigma}\sigma^{\sigma}+2)}{2(1-\delta)^{\sigma}}\|u_0\|_{G^{1}_{\sigma,s}}(1+\|u_0\|_{G^{1}_{\sigma,s}})^4. \end{align*}$

因此, 证明了 $F(t,u(t))$ 满足引理2.1(3), 其中

$M=\frac{C'({\rm e}^{-\sigma}\sigma^{\sigma}+2)}{2}\|u_0\|_{G^{1}_{\sigma,s}}(1+\|u_0\|_{G^{1}_{\sigma,s}})^4.$

另一方面, 还需验证 $F(t,u(t))$ 满足引理2.1(2). 设

$\begin{align*} \|u-u_0\|_{G^{\delta}_{\sigma,s}}\leq R \text{和} \|v-v_0\|_{G^{\delta}_{\sigma,s}}\leq R. \end{align*}$

由引理2.2-2.4, 可得

$\begin{align*} \|F(u)-F(v)\|_{G^{\delta'}_{\sigma,s}}&\leq \frac{C_s{\rm e}^{-\sigma}\sigma^{\sigma}}{2(\delta-\delta')^{\sigma}}\|u^2-v^2\|_{G^{\delta}_{\sigma,s}}+\frac{C_{s,\Gamma}{\rm e}^{-\sigma}\sigma^{\sigma}}{(\delta-\delta')^{\sigma}}\|u-v\|_{G^{\delta}_{\sigma,s}}\notag\\ & +\|Q(u)-Q(v)\|_{G^{\delta'}_{\sigma,s}}\notag\\ &\leq \frac{C_s{\rm e}^{-\sigma}\sigma^{\sigma}}{2(\delta-\delta')^{\sigma}}\|u-v\|_{G^{\delta}_{\sigma,s}}\|u+v\|_{G^{\delta}_{\sigma,s}}+\frac{C_{s,\Gamma}{\rm e}^{-\sigma}\sigma^{\sigma}}{(\delta-\delta')^{\sigma}}\|u-v\|_{G^{\delta}_{\sigma,s}}\notag\\ & +C'\|u-v\|_{G^{\delta}_{\sigma,s}}\Big(1+\|u+v\|_{G^{\delta}_{\sigma,s}}\Big)^4\notag\\ &\leq \frac{C_s{\rm e}^{-\sigma}\sigma^{\sigma}}{2(\delta-\delta')^{\sigma}}\|u-v\|_{G^{\delta}_{\sigma,s}}(\|u_0\|_{G^{\delta}_{\sigma,s}}+R+1)\notag\\ & +C'\|u-v\|_{G^{\delta}_{\sigma,s}}(1+\|u_0\|_{G^{1}_{\sigma,s}}+R)^4\notag\\ &\leq \frac{C'({\rm e}^{-\sigma}\sigma^{\sigma}+2)}{2(\delta-\delta')^{\sigma}} \|u-v\|_{G^{\delta}_{\sigma,s}}(1+\|u_0\|_{G^{1}_{\sigma,s}}+R)^4. \end{align*}$

从而, 推出 $F$ 满足引理2.1(2), 其中

$L={C'({\rm e}^{-\sigma}\sigma^{\sigma}+2)}(\|u_0\|_{G^{1}_{\sigma,s}}+R+1)^4.$

因此, 有

$T_0={\min}\{\frac{1}{2^{2\sigma+4}L}, \frac{(2^{\sigma}-1)R}{(2^{\sigma}-1)2^{2\sigma+3}LR+MD_{\sigma}}\},$

其中 $D_{\sigma}=\frac{1}{2^{\sigma}-2+\frac{1}{2^{\sigma+1}}}.$

另外, 取 $R=1+\|u_0\|_{G^{1}_{\sigma,s}},$ 可得

$\begin{align*} L=2^4{C'({\rm e}^{-\sigma}\sigma^{\sigma}+2)}(1+\|u_0\|_{G^{1}_{\sigma,s}})^4 \text{和} M\leq 2^{2\sigma+3}LR. \end{align*}$

进一步地, 有

$T_0=\frac{1}{2^{2\sigma+8}C'({\rm e}^{-\sigma}\sigma^{\sigma}+2)(1+\|u_0\|_{G^{1}_{\sigma,s}})^4}.$

因此, 完成了定理3.1的证明.

3.2 解映射的连续性

在本小节中, 研究定理3.1中的解映射的连续性. 现在, 给出解映射从初值空间 $G^1_{\sigma,s}(\mathbb{R})$到解空间的连续性的定义.

定义3.1 设 $\sigma\geq 1, s>\frac 3 2.$称方程(1.2)的解映射 $u_0\mapsto u$ 是连续的: 若给定一初值 $u_0^{\infty}\in G^1_{\sigma,s},$ 存在时间 $T=T(\|u_0\|_{G^1_{\sigma,s}},\|u_0^{\infty}\|_{G^1_{\sigma,s}})>0,$ 使得对任意的初值 $u_0^n\in G^1_{\sigma,s}$ 且满足 $\|u_0^n-u_0^{\infty}\|_{G^1_{\sigma,s}}\xrightarrow{n\to \infty} 0$ 的初值序列 $u^n$ 对应的方程 (1.2)的解序列满足 $\|u^n-u^{\infty}\|_{E_T}\xrightarrow{n\to \infty} 0$,其中

$\|u\|_{E_T}:=\sup_{|t|<\frac{T(1-\delta)^\sigma}{2^\sigma-1}}\Big(\|u(t)\|_{G^{\delta}_{\sigma,s}}(1-\delta)^{\sigma}\sqrt{1-\frac{|t|}{T(1-\delta)^{\sigma}}}\Big).$

定理3.2 设 $u_0\in G^1_{\sigma,s}(\mathbb{R})$, 其中 $\sigma\geq 1$ 和 $s>\frac 3 2.$ 则方程(1.2) 的解映射 $u_0\mapsto u$ 是一个从 $G^1_{\sigma,s}(\mathbb{R})$ 到解空间的连续映射.

证 不失一般性, 设 $t\geq 0$. 定义

$T^{\infty}=\frac{1}{2^{2\sigma+8}C'({\rm e}^{-\sigma}\sigma^{\sigma}+2)(1+\|u^{\infty}_0\|_{G^{1}_{\sigma,s}})^4}, T^{n}=\frac{1}{2^{2\sigma+8}C'({\rm e}^{-\sigma}\sigma^{\sigma}+2)(1+\|u^n_0\|_{G^{1}_{\sigma,s}})^4}.$

由 $\|u_0^n-u_0^{\infty}\|_{G^1_{\sigma,s}}\to 0$ 可知, 存在一个常数 $N$ 使得 $n\geq N$, 我们有

$\begin{align*} \|u_0^n\|_{G^1_{\sigma,s}}\leq \|u_0^{\infty}\|_{G^1_{\sigma,s}}+1. \end{align*}$

取

$T=\frac{1}{2^{2 \sigma+8} C^{\prime}\left(\mathrm{e}^{-\sigma} \sigma^{\sigma}+2\right)\left(2+\left\|u_{0}^{n}\right\|_{G_{\sigma, s}^{1}}\right)^{4}}.$

则有 $T\leq\min\{T^n, T^{\infty}\}$, 其中 $n\geq N.$

与定理3.1的证明类似, 可以得到 $T^n,T^{\infty}$分别对应于初值 $u_0^n$ 和 $u_0^{\infty}$的解 $u^n$和 $u^{\infty}$的存在时间. 对任意的 $n\geq N,$ 则有

$\begin{align*} &u^{\infty}(t,x)=u_0^{\infty}+\int_0^tF(\tau,u^{\infty}(t,\tau)){\rm d}\tau, 0\leq t< \frac{T(1-\delta)^\sigma}{2^\sigma-1}, \\ &u^{n}(t,x)=u_0^{n} +\int_0^tF(\tau, u^{n}(t,\tau)){\rm d}\tau, 0\leq t< \frac{T(1-\delta)^\sigma}{2^\sigma-1}, \end{align*}$

其中 $F$ 的定义由定理3.1给出. 因此, 对任意的 $0\leq t\leq \frac{T(1-\delta)^\sigma}{2^\sigma-1}$ 和

$\begin{align*} \|u^{n}(t)-u^{\infty}(t)\|_{\delta}\leq \|u_0^{n}(t)-u_0^{\infty}(t)\|_{\delta}+\int_0^t\|F(u^n(\tau))-F(u^{\infty}(\tau))\|_{\delta}{\rm d}\tau. \end{align*}$

定义

$\delta(t)=\frac 1 2 (1+\delta)+(\frac 1 2)^{2+\frac{1}{\sigma}}\Big([(1-\delta)^{\sigma}-\frac t T]^{\frac{1}{\sigma}}-[(1-\delta)^{\sigma}+(2^{\sigma+1}-1)\frac t T]^{\frac{1}{\sigma}}\Big).$

根据引理2.5, 可知 $\delta<\delta(t)<1.$ 进一步地, 可得

$\begin{align*} \|F(u^n(\tau))-F(u^{\infty}(\tau))\|_{\delta}\leq \frac{L\|u^{n}(\tau)-u^{\infty}(\tau)\|_{\delta(\tau)}}{(\delta(\tau)-\delta)^{\sigma}}, \end{align*}$

其中 $L=2^4{C'({\rm e}^{-\sigma}\sigma^{\sigma}+2)}(1+\|u_0\|_{1})^4.$

因此, 有

$\begin{align*} \|u^{n}(t)-u^{\infty}(t)\|_{\delta}\leq \|u_0^{n}(t)-u_0^{\infty}(t)\|_{\delta}+L\int_0^t\frac{\|u^{n}(\tau)-u^{\infty}(\tau)\|_{\delta(\tau)}}{(\delta(\tau)-\delta)^{\sigma}}{\rm d}\tau. \end{align*}$

根据引理2.5, 有

$\begin{align*} \|u^{n}(t)-u^{\infty}(t)\|_{\delta}\leq \|u_0^{n}(t)-u_0^{\infty}(t)\|_{\delta}+\frac{T2^{2\delta+3} \|u^{n}(t)-u^{\infty}(t)\|_{E_T}}{(1-\delta)^\sigma}\sqrt{\frac{T(1-\delta)^{\sigma}}{T(1-\delta)^{\sigma}-t}}. \end{align*}$

结合(3.3)式和 $LT2^{{2\sigma+3}}<\frac 1 2$, 可得

$\begin{align*} \|u^{n}(t)-u^{\infty}(t)\|_{\delta}\leq \|u_0^{n}(t)-u_0^{\infty}(t)\|_{\delta}+\frac{ \|u^{n}(t)-u^{\infty}(t)\|_{E_T}}{2(1-\delta)^\sigma}\sqrt{\frac{T(1-\delta)^{\sigma}}{T(1-\delta)^{\sigma}-t}}. \end{align*}$

这表明

$\begin{align*} & \|u^{n}(t)-u^{\infty}(t)\|_{E_T}(1-\delta)^{\sigma}\sqrt{1-\frac{t}{T(1-\delta)^{\sigma}}}\notag\\ &\leq \|u_0^{n}-u_0^{\infty}\|_{\delta}(1-\delta)^{\sigma}\sqrt{1-\frac{t}{T(1-\delta)^{\sigma}}}+\frac 1 2 \|u^{n}(t)-u^{\infty}(t)\|_{E_T}\notag\\ &\leq \|u_0^{n}-u_0^{\infty}\|_{1}+\frac 1 2 \|u^{n}(t)-u^{\infty}(t)\|_{E_T}. \end{align*}$

注意上式估计的右边与 $t,\delta$ 无关. 因此, 对于任意的 $0<\delta<1, 0<t< \frac{T(1-\delta)^\sigma}{2^\sigma-1},$ 有

$\begin{align*} \|u^{n}(t)-u^{\infty}(t)\|_{E_T}\leq \|u_0^{n}-u_0^{\infty}\|_{1}+\frac 1 2 \|u^{n}(t)-u^{\infty}(t)\|_{E_T}. \end{align*}$

即

$\begin{align*} \|u^{n}(t)-u^{\infty}(t)\|_{E_T}\leq 2 \|u^{n}(t)-u^{\infty}(t)\|_{E_T}. \end{align*}$

因此, 上面的不等式对任意 $n\geq N$ 均成立.

3.3 整体解析性和 Gevrey 正则性

本小节建立了系统(1.2)的解析解的整体存在性或具有 Gevrey 正则性的解的整体存在性, 其主要结果如下

定理 3.3 设 $u_0\in G_{\sigma}(\mathbb{R})$, 且满足 $|\alpha|+|\Gamma|+\|u_0\|_{H^s}+\frac{|\beta|}{3}\|u_0\|^2_{H^s}+\frac{|\gamma|}{4}\|u_0\|^3_{H^s}\leq \lambda \epsilon,$ 其中 $s>\frac 3 2, \sigma\geq 1.$ 则系统(1.2)在 $G_{\sigma}$ 类中存在唯一的整体解 $u(t,\cdot)$. 即对任意的 $t\geq 0$, 有 $u\in G_{\sigma}.$

为了证明定理3.3, 引入下面的一些引理, 可以用来处理对流项.

引理 3.1[25] 设 $\delta\geq 0, \sigma\geq 1$ 和 $s>1.$ 则对任意的 $\xi,\eta\in\mathbb{R}$, 有

$\begin{align*} &|(1+\xi^2)^{\frac s 2}{\rm e}^{\delta(1+\xi^2)^{\frac{1}{2\sigma}}}-(1+\eta^2)^{\frac s 2}{\rm e}^{\delta(1+\eta^2)^{\frac{1}{2\sigma}}}|\notag\\ \leq& C_s|\xi-\eta|\Big((1+|\xi-\eta|^2)^{\frac{s-1}{2}}+(1+|\eta|^2)^{\frac{s-1}{2}}\notag\\ &+\delta[(1+|\xi-\eta|^2)^{\frac{s-1}{2} +\frac{1}{2\sigma}}+(1+|\eta|^2)^{\frac{s-1}{2} +\frac{1}{2\sigma}}]{\rm e}^{\delta(1+|\xi-\eta|^2)^{\frac{1}{2\sigma}}}\Big). \end{align*}$

引理 3.2[25] 设 $u\in G^{\delta}_{\sigma,\frac{1}{2\sigma}}(\mathbb{R}), v\in G^{\delta}_{\sigma,\frac{1}{2\sigma}}(\mathbb{R})$, 其中 $\delta\geq 0, \sigma\geq 1$ 和 $s>1+\frac d 2.$ 则有

$\begin{align*} |\langle \Lambda^{s}{\rm e}^{\delta{\Lambda}^{\frac{1}{\sigma}}}(u\cdot v),\Lambda^{s}{\rm e}^{\delta{\Lambda}^{\frac{1}{\sigma}}}v\rangle|&\leq C\|\Lambda^{s}u\| \|\Lambda^{s}v\|^2+C\delta\Big(\|\Lambda^{s}{\rm e}^{\delta{\Lambda}^{\frac{1}{\sigma}}}u\| \|\Lambda^{s+\frac{1}{\sigma}}{\rm e}^{\delta{\Lambda}^{\frac{1}{\sigma}}}v\|^2\notag\\& +\|\Lambda^{s+\frac{1}{\sigma}}{\rm e}^{\delta{\Lambda}^{\frac{1}{\sigma}}}u\| \|\Lambda^{s+\frac{1}{\sigma}}{\rm e}^{\delta{\Lambda}^{\frac{1}{\sigma}}}v\|\|\Lambda^{s}{\rm e}^{\delta{\Lambda}^{\frac{1}{\sigma}}}v\|\Big), \end{align*}$

其中 $\langle\cdot,\cdot\rangle$ 表示 $L^2(\mathbb{R}^d)$ 中的内积, $\|\cdot\|: =\|\cdot\|_{L^2}$, $\Lambda^s$ 表示 $(1+|\xi|^2)^{\frac{s}{2}}\hat{f}$ 的Fourier逆变换.

引理 3.3[25] 设 $u\in G^{\delta}_{\sigma,\frac{1}{2\sigma}}(\mathbb{R}),$ 其中 $\delta\geq 0, \sigma\geq1, s\in\mathbb{R}$ 和 $l>0.$ 则有以下估计

$\begin{align*} \|u\|_{G^{\delta}_{\sigma,s}}\leq\sqrt{e}\|u\|_{H^s}+(2\delta)^{\frac l 2}\|u\|_{G^{\delta}_{\sigma,s+\frac{l}{2\sigma}}}. \end{align*}$

下面给出(1.2)解析解的整体存在性或具有 Gevrey 正则性的解的整体存在性证明.

定理3.3的证明 根据 Fourier-Galerkin 逼近方法可构造在 $G^{\delta(t)}_{\sigma,s}$ 类中关于方程(1.2)的局部解. 接下来的目标是得到解 $u$ 依赖于时间 $t$ 的空间 $G^{\delta(t)}_{\sigma,s}$ 中的先验估计.

根据 Gevrey 类的定义, 可知对任意的 $\epsilon>0$, 有 $G^{\delta}_{\sigma,s}\hookrightarrow G^{\delta-\epsilon}_{\sigma,\infty}$. 注意 $u_0\in G_{\sigma}(\mathbb{R}).$ 一般地, 假设 $u_0\in G^1_{\sigma,s}.$ 则可推出存在一个 $\delta(t)$ 证明系统(1.2)的解 $u\in G_{\sigma}.$ 对任意地 $t\in[T],$ 可得

$\begin{aligned}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t}\|u\|_{G_{\sigma, s}^{\delta(t)}}^{2}= & \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t} \int\left(1+|\xi|^{2}\right)^{s} \mathrm{e}^{2 \delta(t)|\xi|^{\frac{1}{\sigma}}} \hat{u}(\xi) \overline{\hat{u}}(\xi) \mathrm{d} \xi \\= & 2 \dot{\delta}(t) \int\left(1+|\xi|^{2}\right)^{s}|\xi|^{\frac{1}{\sigma}} \mathrm{e}^{2 \delta(t)|\xi|^{\frac{1}{\sigma}}} \hat{u}(\xi) \overline{\hat{u}}(\xi) \mathrm{d} \xi \\& +\operatorname{Re} \int\left(1+|\xi|^{2}\right)^{s} \mathrm{e}^{2 \delta(t)|\xi|^{\frac{1}{\sigma}}}\left(-\widehat{u u_{x}}-\Gamma \hat{u}-\lambda \hat{u}-\widehat{Q}\right)(\xi) \overline{\hat{u}}(\xi) \mathrm{d} \xi,\end{aligned}$

其中 Re 表示复数的实部.

由引理 3.2 可得

$\begin{aligned}\left|\int\left(1+|\xi|^{2}\right)^{s} \mathrm{e}^{2 \delta(t)|\xi|^{\frac{1}{\sigma}} \widehat{u u_{x}}}(\xi) \overline{\hat{u}}(\xi) \mathrm{d} \xi\right| & =\left|\left\langle\Lambda^{s} \mathrm{e}^{\delta(t) \Lambda^{\frac{1}{\sigma}}}\left(u u_{x}\right), \Lambda^{s} \mathrm{e}^{\delta(t) \Lambda^{\frac{1}{\sigma}}} u\right\rangle\right| \\& \leq C\left(\|u\|_{H^{s}}^{3}+\delta(t)\|u\|_{G_{\sigma, s}^{\delta(t)}}\|u\|_{G_{\sigma, s+\frac{1}{2 \sigma}}^{\delta(t)}}^{2}\right)\end{aligned}$

类似地, 可得如下估计

$\begin{aligned}& \left|\int\left(1+|\xi|^{2}\right)^{s} \mathrm{e}^{2 \delta(t)\left(1+|\xi|^{2}\right) \frac{1}{2 \sigma}} \widehat{Q}(\xi) \overline{\hat{u}}(\xi) \mathrm{d} \xi\right| \\= & \left|\left\langle\Lambda^{s} \mathrm{e}^{\delta(t) \Lambda^{\frac{1}{\sigma}}} \Lambda^{-2}\left(\partial_{x}\left(-h(u)-u^{2}-\frac{1}{2} u_{x}^{2}\right)\right), \Lambda^{s} \mathrm{e}^{\delta(t) \Lambda^{\frac{1}{\sigma}}} u\right\rangle\right| \\\leq & \left\|\Lambda^{s-1} \mathrm{e}^{\delta(t) \Lambda^{\frac{1}{\sigma}}}\left(\partial_{x}\left(-h(u)-u^{2}-\frac{1}{2} u_{x}^{2}\right)\right)\right\|\left\|\Lambda^{s} \mathrm{e}^{\delta(t) \Lambda^{\frac{1}{\sigma}}} u\right\| \\\leq & C\left(\|u\|_{G_{\sigma, z}^{\delta(t)}}^{2}+\|u\|_{G_{\sigma, s}^{\delta(t)}}^{3}+\|u\|_{G_{\sigma, \beta}^{\delta(t)}}^{4}+\|u\|_{G_{\sigma, 3}^{\delta(t)}}^{5}\right).\end{aligned}$

根据引理3.3$(l=1, l=\frac 2 3, l=\frac 1 2,l=\frac 2 5)$, 可以推出

$\begin{array}{l}\|u\|_{G_{\sigma, b}^{\delta(t)}}^{2} \leq C\left(\|u\|_{H^{s}}^{2}+\delta(t)\|u\|_{G_{\sigma, s+\frac{1}{2 \sigma}}^{\delta(t)}}^{2}\right) \\\|u\|_{G_{\sigma, b}^{\delta(t)}}^{3} \leq C\left(\|u\|_{H^{s}}^{3}+\delta(t)\|u\|_{G_{\sigma, s+\frac{1}{3 \sigma}}^{\delta(t)}}^{3}\right) \leq C\left(\|u\|_{H^{s}}^{3}+\delta(t)\|u\|_{G_{\sigma, s}^{\delta(t)}}^{3}\|u\|_{G_{\sigma, s+\frac{1}{2 \sigma}}^{\delta(t)}}^{2}\right), \\\|u\|_{G_{\sigma, b}^{\delta(t)}}^{4} \leq C\left(\|u\|_{H^{s}}^{4}+\delta(t)\|u\|_{G_{\sigma, s+\frac{1}{4 \sigma}}^{\delta(t)}}^{4}\right) \leq C\left(\|u\|_{H^{s}}^{4}+\delta(t)\|u\|_{G_{\sigma, s}^{\delta(t)}}^{2}\|u\|_{G_{\sigma, s+\frac{1}{2 \sigma}}^{\delta(t)}}^{2}\right), \\\|u\|_{G_{\sigma, \beta}^{\delta(t)}}^{5} \leq C\left(\|u\|_{H^{s}}^{5}+\delta(t)\|u\|_{G_{\sigma, s+\frac{1}{5 \sigma}}^{\delta(t)}}^{5}\right) \leq C\left(\|u\|_{H^{s}}^{5}+\delta(t)\|u\|_{G_{\sigma, s}^{\delta(t)}}^{3}\|u\|_{G_{\sigma, s+\frac{1}{2 \sigma}}^{\delta(t)}}^{2}\right).\end{array}$

类似可得

$\left|\int\left(1+|\xi|^{2}\right)^{s} \mathrm{e}^{2 \delta(t)\left(1+|\xi|^{2}\right)^{\frac{1}{2 \sigma}}}(-\Gamma \hat{u}-\lambda \hat{u})(\xi) \overline{\hat{u}}(\xi) \mathrm{d} \xi\right| \leq\left(\|u\|_{H^{s}}^{2}+C \delta(t)\|u\|_{G_{\sigma, s+\frac{1}{2 \sigma}}^{\delta(t)}}^{2}\right).$

把 (3.5)-(3.8) 式代入到 (3.4) 式, 有

$\begin{align*} \frac 1 2 \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|u\|^2_{G^{\delta(t)}_{\sigma,s}}&\leq \Big(\dot{\delta}(t)+C\delta(t)(1+\|u\|_{G^{\delta(t)}_{\sigma,s}})^3\Big)\|u\|^2_{G^{\delta(t)}_{\sigma,s+\frac{1}{2\sigma}}}+C(\underbrace{1+\|u\|_{H^s}}_{b(t)})^5. \end{align*}$

这表明

$\begin{align*} \frac 1 2 \frac{\rm d}{{\rm d}t}(1+\|u\|_{G^{\delta(t)}_{\sigma,s}})^2&\leq \Big(\dot{\delta}(t)+C\delta(t)(1+\|u\|_{G^{\delta(t)}_{\sigma,s}})^3\Big)(1+\|u\|_{G^{\delta(t)}_{\sigma,s+\frac{1}{2\sigma}}})^2+Cb^5(t). \end{align*}$

对任意的 $t\in [T_0],$ 假设

$\left(1+\|u\|_{G_{\sigma, s}^{\delta(t)}}\right)^{2} \leq 4 f^{2}(t),$

其中 $f^2(t):=2(1+\|u_0\|_{G^{\delta_0}_{\sigma,s}})^2+2C\int_0^tb^5(t'){\rm d}t'$ 以及

$\dot{\delta}(t)=-8 C \delta(t) f^{3}(t).$

注意 $B^s_{2,2}=H^s.$ 由引理2.8可知, 存在唯一的整体解 $u\in \mathcal{C}(\mathbb{R}^+;H^s).$ 因此, 由 (3.10) 式可知

$\begin{align*} \delta(t)=\delta_0{\rm \exp}\Big(-8C\int_0^t f^3(t'){\rm d}t'\Big)>0, \forall t\in [0,\infty), \end{align*}$

其中 $0<\delta_0<1$.

根据 (3.9) 和 (3.10) 式, 可知对任意的 $[T_0]$ 有

$\begin{align*} (1+\|u(t)\|_{G^{\delta(t)}_{\sigma,s}})^2\leq f^2(t). \end{align*}$

应用定理 3.1, 可知在 $[T_0]$ 上, 存在唯一的整体解且满足

$\left(1+\left\|u\left(T_{0}\right)\right\|_{G_{\sigma, s}^{\delta\left(T_{0}\right)}}\right)^{2} \leq f^{2}\left(T_{0}\right).$

再次利用 (3.9)-(3.11) 式, 则存在时间 $T_1>T_0$, 在 $[T_0,T_1]$ 上使得

$(1+\|u\|_{G^{\delta(t)}_{\sigma,s}})^2\leq 2f^2(t).$

因此, 可得

$\sup_{t\in [T_0,T_1]} (1+\|u\|_{G^{\delta(t)}_{\sigma,s}})^2\leq f^2(t).$

进一步地, 有

$\sup_{t\in [T_1]} (1+\|u(t)\|_{G^{\delta(t)}_{\sigma,s}})^2\leq f^2(t).$

利用连续性方法, 我们可得系统(1.2) 存在唯一的解 $u\in G_{\sigma}.$

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