在众多性传播疾病中, 梅毒的流行范围很广, 对患者的身心健康构成严重威胁. 在青霉素出现之前, 梅毒是一种重要的致命和致残疾病. 在医学史上, 梅毒、结核病和麻风病被列为世界三大慢性病^[1]. 梅毒发病率在 20 世纪 80 年代和 90 年代有所下降, 部分原因是艾滋病病毒开始流行, 以及各国对安全性行为的大量科学宣传. 然而, 自 21 世纪初以来, 梅毒的发病率急剧上升, 在一些国家激增了 300%^[2]. 根据中国疾病预防控制中心的数据, 2020 年中国新增梅毒病例 464345 例. 来自东京传染病信息中心的数据显示, 2020 年日本累计确诊梅毒病例超过 1 万例, 达到 10141 例^[3]. 梅毒的预防和科学研究涉及预防医学、临床医学和传染病动力学. 因此, 梅毒的动力学建模和研究已成为生物数学的一个重要分支, 控制梅毒的流行对保障人们的身心健康具有重要意义.

在文献 [4,5] 的经典梅毒建模工作基础上, 很多研究者提出了许多数学模型来研究梅毒疾病的传播动力学, 这里我们详细地讨论了与当前论文中开展的工作相关的一些值得注意的工作. Grassly 等人^[6] 利用美国疾病控制与预防中心 1941 年至 2002 年间对美国 68 个城市的数据, 将真实数据应用于 SIRS 梅毒模型. Iboi 和 Okuonghae^[7] 研究了梅毒数学模型的群体动力学, 他们的工作表明, 初级和次级阶段梅毒感染者的高治疗率对感染剩余阶段的梅毒感染者群体有积极影响. Saad-Roy 等人^[8] 建立了数学模型来研究传播 MSM 人群中梅毒的传播动力学, 他们的工作量化了早期治疗对梅毒控制的重要性. Gumel 等人^[9] 提出了一个新的两组性别结构模型, 用于评估治疗和避孕套使用对梅毒传播动力学和控制的社区层面影响. Nwankwo 和 Okuonghae^[10] 建立了一个数学模型以研究在梅毒治疗的情况下 HIV-梅毒联合感染的动力学行为. Omame 等人^[11] 建立了 HPV 和梅毒的共同感染模型并研究了该模型的最佳控制和成本效益分析. 此外, 基于梅毒感染机制, 已有研究者建立了诸多数学模型来研究梅毒的传播以及不同地区的治疗、避孕套使用、异质性严重程度和封锁对梅毒传播的影响. 然而, 就我们所见, 这些工作主要基于常微分方程 (ODEs) 来研究梅毒在人群中的传播. 从传染病角度出发, 在疾病传播中空间因素通常是不容忽视^[12,13]. 事实上, 梅毒的传播表现出明显的空间扩散特征. 虽然一些结果已表明空间异质性对梅毒在中国的传播有明显影响, 但通过数学模型对异质环境中空间扩散对梅毒的影响研究很少. 由鉴于此, 在文献 [7] 的基础上, 本文将人群分为以下 6 个仓室: 易感人群 ($S$)、一期梅毒感染者 $(I_1)$、二期梅毒感染者$(I_2)$、早期隐性梅毒感染者 $(L_1)$、晚期隐性梅毒感染者 $(L_2)$ 和晚期梅毒感染者 $(I_3)$. 为了研究在空间异质环境中梅毒的传播, 本文记 $S(x.t),I_1(x,t),I_2(x,t),L_1(x,t),L_2(x,t),I_3(x,t)$ 分别为上述 6 个仓室人群在时间 $t$ 和位置 $x$ 处的密度分布. 我们给出如下反应扩散梅毒传染病模型

模型 (1.1) 具有如下初边值条件

其中 $\overline{\Omega}$ 和 $\partial\Omega$ 分别表示有界区域 $\Omega$ 的闭包和边界. 齐次 Neumann 边界条件意味着个体永远无法穿过有界区域 $\Omega$ 的边界, $\nu$ 表示区域 $\Omega$ 边界的外法向量. 模型中参数生物学意义如下: $g(S(x,t))$ 表示感染人群的净增长率, 一般接触项目 $\alpha(x)f_1(S,I_1),\beta(x)f_2(S,I_2),\gamma(x)f_3(S,I_3)$ 分别表示由一期、二期、早期隐性梅毒感染者所感染的新增梅毒感染者的数量, 其中 $\alpha(x),\beta(x),$$\gamma(x)$ 以及$f_k(k=1,2,3)$ 分别表示感染率函数和一般发生率函数. 参数 $d_i(x)(i=1,2,\cdot\cdot\cdot,6)$ 分别表示 6 个仓室个体的扩散率, $\mu(x)$ 表示个体的自然死亡率, $\zeta_1(x),\zeta_2(x),\eta_1(x),\eta_2(x)$ 分别表示一期、二期、早、晚期隐性梅毒阶段感染者的转移率, ${ d}(x)$ 表示因病死亡率. 其他参数的生物学解释详见文献 [7]. 模型中的参数都依赖于空间变量 $x$, 以此来刻画空间异质性.

为了后续对系统 (1.1) 进行动力学分析, 首先我们从生物学角度出发对模型参数给出如下假设

假设 1.1 对于系统 (1.1), 假设

(A1) 函数 $g(S)=\Lambda(\cdot)-\mu(\cdot)S$, $f_1(S,I_1)=SI_1,f_2(S,I_2)=SI_2,f_3(S,L_1)=SL_1$, 其中$\Lambda(\cdot)$ 表示空间依赖的易感人群的输入率;

(A2) 函数 $\Gamma_1(I_1)=I_1,\Gamma_2(L_1)=L_1,\Gamma_3(I_2)=I_2,\Gamma_4(L_2)=L_2,\Gamma_5(I_3)=I_3$;

(A3) 扩散率 $d_i(x)>0\ (i=1,2,3,4,5,6),x\in\overline{\Omega}$. 此外, 对任意的$(x,t)\in\Omega\times(0,+\infty)$, 有 $\underline{h}\le h(x)\le\overline{h},h(\cdot)=\Lambda(\cdot),\mu(\cdot),\sigma(\cdot),\eta_l(\cdot),\zeta_l(\cdot),\alpha(\cdot),\beta(\cdot),\gamma(\cdot),\epsilon(\cdot),\omega(\cdot),{\rm d}(\cdot)$, $\underline{h}=\int_{x\in\overline{\Omega}}h(x),$$\overline{h}=\sup_{x\in\overline{\Omega}}h(x)$.

接下来讨论模型 (1.1) 的适定性问题. 首先考虑下列抛物型系统

由假设 1.1 (A1) 以及引理 3.2^[14] 可得如下结论

引理 1.1 系统 (1.2) 存在唯一的正平衡态 $U^*(x)$, 且在 $C(\overline{\Omega},\mathbb{R}_+)$ 中是全局吸引的.

令空间$\mathbb{M}\ =\ C(\overline{\Omega},\ \mathbb{R})$ 具有范数 $||\cdot||_{\mathbb{M}}$, 其正锥为 $\mathbb{M}_\ +\ =\ C(\overline{\Omega},\ \mathbb{R}_+)$. 显然 $(\mathbb{M},\ \mathbb{M}_+)$ 是有序的 Banach 空间. 令空间 $\mathbb{Q}\ =\ (\mathbb{M})^6$ 具有范数 $||\phi|\_{\mathbb{Q}}\ =\ \max\{||\phi_1||_{\mathbb{M}},\ \cdot\cdot\cdot,\ ||\ \phi_6||_{\mathbb{M}}\}$, 其中$\phi\ =\ (\phi_1,\ \cdot\cdot\cdot,\ \phi_6)\in\mathbb{Q},\ \phi_i\in\mathbb{M},i\ =\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6, \mathbb{Q}_+\ =\ (\mathbb{M}_+)^6$. 显然地, 对于任意的 $\phi_i\in\mathbb{M},t\ge0$, $C_0$ 半群 $\mathcal{T}_i:\mathbb{M}\to\mathbb{M}$ 可表示为 $(\mathcal{T}_i(t)\phi_i)(x)\ = \ \int_{\Omega}G_I(x\ ,\ y\ ,\ t)\phi_i(y){\rm d}y,i=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$, 其中 $G_i(x,\ y,\ t)$ 分别表示系统 (1.1) 中 6 个状态变量关于齐次纽曼边界条件的格林函数. 考虑到系统 (1.1) 是具有齐次纽曼边界条件, 根据推论 7.3.2^[15] 可知当 $t>0$ 时, $\mathcal{T}_i(t)$ 是紧的和强正的. 因而可知存在常数 $b_i$ 使得$||\mathcal{T}_i(t)||\le b_i{\rm e}^{\omega_it},\ t\ge0$, 其中 $\omega_i$ 是具有齐次 Neumann 边界条件的特征值问题的特征值. 定义算子 $\mathcal{A}\ =\ (\mathcal{A}_1,\ \cdot\cdot\cdot,\mathcal{A}_6)$, 其中

令 $w(\phi,\cdot,t)=(S(\phi,\cdot,t),\cdot\cdot\cdot,I_3(\phi,\cdot,t)^T$ 为系统 (1.1) 具有初值条件 $\phi\in\mathbb{Q}_+$ 的解, 那么系统 (1.1) 可以被改写为 $w(\phi,\cdot,t)=\mathcal{T}\phi+\int_0^t\mathcal{T}(t-s)\mathcal{A}(w(\phi,\cdot,s)){\rm d}s,t>0,$ 其中 $\mathcal{T}(t)=(\mathcal{T}_1(t),\cdot\cdot\cdot,\mathcal{T}_6(t))^T$. 根据抛物型方程的极大值原理^[16] 以及推论 4^[17] 可得以下引理.

引理 1.2 如果系统 (1.1) 具有初值条件 $\phi\in\mathbb{Q}_+$, 那么系统 (1.1) 有唯一的正解 $w(\phi,\cdot,t)\in\mathbb{Q}_+\times[0,T_0),T_0\le\infty$. 此外, $w(\phi,\cdot,t)$ 是系统 (1.1) 的经典解.

定理 1.1 对于具有初值条件 $\phi\in\mathbb{Q}_+$ 的系统 (1.1), 若 $w(\phi,\cdot,t)$ 为系统 (1.1) 在 $t\in[0,\infty)$ 时的解, 则解 $w(\phi,\cdot,t)$ 是最终有界的.

证 令 $w(\phi,\cdot,t)$ 是系统 (1.1) 在 $t\in[0,T_0)$ 时的非负解. 假设 $T_0<\infty$, 则有 $||w(\phi,\cdot,t)||_{\mathbb{Q}}\to\infty(t\to T_0)$. 由假设 1.1 条件 (A1) 可知 $\partial S(x,t)/\partial t\le\nabla(d_1(\cdot)\nabla S(\cdot,t)+\overline{\Lambda}-\underline{\mu}S(x,t),t\in[0,T_0),x\in\overline{\Omega}$. 由引理 1.2 及抛物型方程的比较原理可得存在常数 $N_1>0$ 使得 $S(x,t)\le N_1,(x,t)\in\overline{\Omega}\times[0,T_0)$. 继而由假设 1.1 (A2)-(A3) 可得 $\partial I_1(x,t)/\partial t\le\nabla(d_2(\cdot)\nabla I_1(\cdot,t))+(\overline{\alpha}M_1+\overline{\beta}M_2+\overline{\gamma}M_3)N_1-\underline{m}_1\underline{\mu}I_1(x,t),(x,t)\in\overline{\Omega}\times[0,T_0)$. 考虑下列比较系统

显然系统 (1.3) 的特征值问题存在一个具有强正特征函数 $\phi_2=(\phi_{21},\cdot\cdot\cdot,\phi_{2n})$ 的特征值 $\lambda_0$. 这样系统 (1.3) 有解 $\sigma_0{\rm e}^{\lambda_0t}\phi_2(x),t>0$, 其中 $\sigma_0>0,\sigma_0\phi_2\ge I_1(x,t),x\in\overline{\Omega}$. 继而存在 $N_2>0$ 使得 $I_2(x,t)\le N_2,t\in[0,T_0),x\in\overline{\Omega}$, 这与 $||w(\phi,\cdot,t)||_{\mathbb{Q}}\to\infty(t\to T_0)$ 相矛盾. 因此假设不成立, 从而可得 $T_0=\infty$, 这样系统 (1.1) 的非负解 $w(\phi,\cdot,t)$ 的全局存在性得证. 接下来还需证明解 $w(\phi,\cdot,t)$ 的最终有界性. 由引理 1.2 可知 $S(x,t)$ 是最终有界的, 即存在常数 $t_1>0$ 使得 $S(x,t)\le N_1,$$t\ge t_1>0$. 令 $W(t)=\int_{\Omega}(S(x,t)+I_1(x,t)+I_2(x,t)+L_1(x,t)+L_2(x,t)+I_3(x,t)){\rm d}x$, 由系统 (1.1) 可知

根据常微分方程比较原理可知存在 $N_3>0, t_2>t_1>0$ 使得 $W(t)\le N_3, t\ge t_2$ 成立. 记 $\tau_j$ 为具有齐次纽曼边界条件的特征值问题 $\nabla(d_2(\cdot)\nabla I_1(\cdot,t)-(\mu(\cdot)+\zeta_1(\cdot))\Gamma_1(I_1(\cdot,t))$ 的特征值, 则 $\tau_1\ge\tau_2\ge\cdot\cdot\cdot\ge\tau_j\ge\cdot\cdot\cdot$. 由定理 2.4.7^[18] 可知存在常数 $n_2$ 使得 $G(x,y,t)\le n_2\sum\limits_{j\ge 1}{\rm e}^{\tau_jt}\le n_2{\rm e}^{\tau_jt}=w_2{\rm e}^{-(\underline{\mu}+\underline{\zeta}_1)t},t>0$. 由假设 1.1 (A3) 可知当 $t>t_3$ 时有

这意味着 $\limsup\limits_{t\to\infty}||I_1(\cdot,t)||_{\mathbb{M}}\le n_2N_1(\overline{\alpha}M_1 \ +\ \overline{\beta}M_2+\overline{\gamma}M_3)/\underline{\mu}\underline{m}_1:\ =\ N_3$. 类似地, 可证 $I_2(x,t),$$L_1(x,t),$$L_2(x,t)\,\ I_3(x,t)$ 的最终有界性. 定理证毕.

定理 1.1 结论表明系统 (1.1) 的解半流 $\Phi(t)=w(\cdot,t):\mathbb{Q}_+\to\mathbb{Q}_+$ 在 $\mathbb{Q}_+$ 中是点耗散的, 由定理 3.4.8^[19] 进一步可得如下结论

定理 1.2 系统 (1.1) 的解半流 $\Phi(t)=w(\cdot,t):\mathbb{Q}_+\to\mathbb{Q}_+$ 存在一个全局紧的吸引子.

此节中, 我们致力于推导模型 (1.1) 的基本再生数泛函表达式并研究系统 (1.1) 的阈值动力学行为. 由引理1.1 可知系统 (1.1) 总存在唯一的无病平衡态 $E_0(x)=(S^+(x),0,0,0,0,0),$ 其中 $S^+(x)$ 是系统 (1.3) 在空间 $\mathbb{M}$ 中的全局吸引的稳态解. 在 $E_0(x)$ 处对系统 (1.1) 进行线性化, 可得仅包含具有感染力的感染仓室的线性化系统如下

显然系统 (2.1) 是合作系统. 因而系统 (2.1) 有唯一的具有强正特征函数 $(\delta_2,\delta_3,\delta_4)$ 的主特征值 $\lambda_0(S^+)$. 令 $\Psi(t):C(\overline{\Omega},\mathbb{R}^3)\to C(\overline{\Omega},\mathbb{R}^3)$ 为系统 (2.1) 的解半群并定义

则新增感染个体总数量为

根据下一代再生算子的定义可知系统 (1.1) 的基本再生数 $R_0$ 为 $R_0=\rho(\mathcal{L})$, 其中 $\rho(\mathcal{L})$ 是算子 $\mathcal{L}$ 的谱半径. 根据定理 3.1^[17] 可知下列关于 $R_0$ 和主特征值 $\lambda_0$ 关系的结论.

引理 2.1 系统 (2.1) 的主特征值 $\lambda_0$ 与 $R_0-1$ 有相同的符号. 此外, 当 $R_0<1$ 时无病平衡态 $E_0$ 是局部渐近稳定的. 否则, $E_0$ 是不稳定的.

定理 2.1 如果 $R_0<1$, 那么系统 (1.1) 的无病平衡态 $E_0(x)$ 是全局渐近稳定的.

证 根据抛物型方程的比较原理可知当 $x\in\overline{\Omega}$ 时 $\limsup\limits_{t\to\infty}S(x,t)\le S^+(x)$ 是一致成立的. 不失一般性, 假设存在常数 $\zeta>0$ 使得 $S(x,t)\le S^++\zeta, t\ge t^*,x\in\overline{\Omega}$. 根据引理 1.1 可知存在常数 $\zeta>0$ 使得 $\lambda_0(S^++\zeta)<0$, 继而可得

假设

其中 $\bar{\phi}(x)$ 是关于特征值 $\lambda_0(S^++\zeta)<0$ 的特征函数. 利用比较原理可得

这意味着 $\lim\limits_{t\to\infty}(I_1(x,t),_2(x,t),L_1(x,t))=(0,0,0)$. 再根据自治系统渐近性理论可知

从而可得 $E_0(x)$ 是全局吸引的. 最后, 结合引理 2.1 结论可知当 $R_0<1$ 时, 无病平衡态 $E_0(x)$ 是全局渐近稳定的. 定理证毕.

现在证明系统 (1.1) 的一致持久性. 为此, 给出下列记号

定理 2.2 对于具有初值条件 $\phi\in\mathbb{Q}_+, \phi_k\not\equiv 0,k=2,3,4$ 的系统 (1.1). 如果 $R_0>1$, 那么存在常数$\xi>0$ 使得

此外, 系统 (1.1) 至少存在一个正平衡态.

证 我们分三步证明. 第一步, 证明 $\bigcup\limits_{\phi\in\mathbb{X}_{\partial}}\omega(\phi)=E_0(x)$. 显然, 如果$\phi\in\mathbb{X}_{\partial}$, 那么 $I_1\equiv 0$ 或者 $I_2\equiv 0$ 或者 $L_1\equiv 0$. 不失一般性, 假设 $L_1(x,t)=0$, 从系统 (1.1) 第四个方程中可得 $I_2(x,t)=0$, 继而从第三个方程中可得 $I_1(x,t)=0$. 这样根据自治系统渐近理论可得 $(S(x,t),L_2(x,t),I_3(x,t))\to(S^+,0,0)(t\to\infty)$. 第二步, 证明当 $R_0>1$ 时, 存在常数 $\sigma>0$ 使得 $\limsup\limits_{t\to\infty}||\Phi(t)(\phi)-E_0(x)||_{\mathbb{Q}}\ge\sigma$. 由引理 1.1 可知存在常数 $\sigma>0$ 使得 $\lambda_0(S^+-\sigma)>0$. 假设不成立, 则存在 $\phi_0\in\mathbb{X}_0$ 使得 $\limsup\limits_{t\to\infty}||\Phi(t)(\phi_0)-E_0(x)||_{\mathbb{Q}}<\sigma$, 这意味着存在 $t_4>0$ 使得 $S(x,t,\phi_0)>S^+-\sigma, t>t_4$, 从而有如下比较系统

令 $\tilde{\phi}=(\tilde{\phi}_2,\tilde{\phi}_3,\tilde{\phi}_4)$ 为特征值 $\lambda_0(S^+-\sigma)$ 对应的特征函数. 假设 $m>0$ 使得 $m(\tilde{\phi}_2,\tilde{\phi}_3,\tilde{\phi}_4)=(I_1(x,\hat{t}),I_2(x,\hat{t}),L_1(x,\hat{t}))$, 则有 $(I_1(x,t),I_2(x,t),L_1(x,t))\ge m(\tilde{\phi}_2,\tilde{\phi}_3,\tilde{\phi}_4){\rm e}^{\lambda_0(S^+-\sigma)(t-\hat{t})},t\ge \hat{t}$. 继而可得 $\lim\limits_{t\to \infty}(I_1(x,t),I_2(x,t),L_1(x,t))=+\infty$, 这与系统 (1.1) 的耗散性相矛盾, 故假设不成立. 第三步, 如果 $R_0>1$, 则存在 $\sigma_0>0$ 使得 $\liminf\limits_{t\to\infty}w(x,t,\phi)\ge\sigma_0,\phi\in\mathbb{X}_0$. 定义连续函数 $\rho:\mathbb{Q}_+\to[0,\infty),\rho(\phi)=\min\{\min\limits_{x\in\overline{\Omega}}\phi_2(x),\min\limits_{x\in\overline{\Omega}}\phi_3(x),\min\limits_{x\in\overline{\Omega}}\phi_3(x)\},\phi\in\mathbb{Q}_+$. 显然可得 $\rho^{-1}[0,\infty)\le\mathbb{X}_0,\rho(\phi)=0,\phi\in\mathbb{X}_0$ 或者 $\rho(\phi)>0$. 这意味着 $\rho(\Phi(t)\phi)>0$. 于是我们断言 $\gamma^+(\Phi(t))$ 在 $\mathbb{X}_{\partial}$ 中收敛于 $E_0(x)$ 且 $W^s(E_0(x))\cap\mathbb{X}_0=\emptyset$, 其中 $W^s(E_0(x))$ 为 $E_0(x)$ 的稳定流行. 根据定理 3^[20], 可知存在 $\sigma_1>0$ 使得 $\liminf\limits_{t\to\infty}(I_1(x,t),I_2(x,t),L_1(x,t))\ge(\sigma_1,\sigma_1,\sigma_1), \phi\in\mathbb{X}_0$. 由于系统 (1.1) 的耗散性和假设 1.1 可知 $\partial S(x,t)/\partial t\ge \nabla(d_1(x)\nabla S(x,t))+\underline{\Lambda}-\overline{\mu}S(x,t)$. 从而有$\liminf\limits_{t\to\infty}S(x,t,\phi)\sigma_2:=\underline{\Lambda}/\overline{\mu}$. 令 $\xi=\min\{\sigma_1,\sigma_2\}$, 则系统 (1.1) 的耗散性得证. 再根据定理 3^[21] 的结论结合系统 (1.1) 耗散性可知系统 (1.1) 至少存在一个正平衡态. 定理得证.

定理 2.3 假设系统 (1.1) 除了扩散系数 $d_i(x)$ 以外其他参数都为常数以及 $\omega(x)=0$. 如果 $R_0>1$, 那么系统 (1.1) 存在唯一的常数平衡态 $E^*=(S^*,I^*_1,I^*_2,L^*_1,L^*_2,I^*_3)$ 且 $E^*$ 是全局稳定的.

证 由定理 2.1 可知系统 (1.1) 在 $R_0>1$ 时至少存在一个正平衡态. 因此, 常数平衡态 $E^*$ 满足下列状态方程

定义李雅普诺夫函数 $\textbf{V}(t)=\int_0^{\infty}V(x,t){\rm d}x,$ 其中

其中 $h(x)=x-1-\ln x,x>0$, 参数 $c_1,c_2,c_3$ 后续证明过程中给出具体表达式. 根据系统 (1.1) 可得

令 $\frac{S}{S^*}=x_1,\frac{I_1}{I^*_1}=x_2,\frac{I_2}{I^*_2}=x_3,\frac{L_1}{L^*_1}=x_4$ 以及 $c_1=1,c_2=\frac{\beta S^*I^*_2+c_3\zeta_2I^*_2}{\zeta_1I^*_1},c_3=\frac{\gamma S^*L^*_1}{\zeta_2I^*_2}$, 继而可得

注意到 $\int_{\Omega}\nabla d_i(x)\nabla u(x,t){\rm d}x=0, \int_{\Omega}\frac{1}{u(x,t)}\nabla d_i(x)\nabla u(x,t){\rm d}x=\int_{\Omega}d_i(x)\frac{||\nabla u||^2}{u^2(x,t)}{\rm d}x$. 于是

显然对 $x_1>0$, 我们有 $2-x_1-\frac{1}{x_1}\le 0$ 且等号成立当且仅当 $x_1=1$, 即 $S(x,t)=S^*$. 同时我们有 $2-\frac{x_4}{x_3}-\frac{x_3}{x_4}\le 0$ 等号成立当且仅当 $x_3=x_4$, $3-\frac{1}{x_1}-\frac{x_1x_3}{x_2}-\frac{x_2}{x_3}\le 0$ 等号成立当且仅当 $x_1=1,x_2=x_3$, $3-\frac{1}{x_1}-\frac{x_1x_4}{x_2}-\frac{x_2}{x_4}\le 0$ 等号成立当且仅当 $x_1=1,x_2=x_4$ 以及 $h(x)=0$ 当且仅当 $x=1$. 综上, 可知 ${\rm d}\textbf{V}(t)/{\rm d}t\le 0$ 等号成立当且仅当 $(S,I_1,I_2,L_1,L_2,I_3)=E^*$. 这样利用 LaSalle 不变集原理可知正平衡点 $E^*$ 是全局渐近稳定的. 定理证毕.

此节, 我们对系统 (1.1) 进行数值模拟. 为了方便起见, 假设空间 $\Omega=[0,100]$, 根据文献 [7], 对模型 (1.1) 参数和初值估计如下

根据式 (3.1) 中列出的参数值, 利用文献 [21] 中的计算方法可估算出模型 (1.1) 基本再生数 $R_0\approx 2.638>1$. 当选取 $\alpha(x)=1.3\times 10^{-6}(1+0.5\cos(0.05\pi x)),\beta(x)=1.68\times 10^{-6}(1+0.5\cos(0.05\pi x))$ 其他参数同式 (3.1) 时可计算得出 $R_0\approx 0.724<1$. 从定理 2.1 结论可知当 $R_0<1$ 时系统 (1.1) 的无病平衡态 $E_0(x)$ 是全局渐近稳定的. 事实上, 从图1 中可以看出系统(1.1) 的解 $I_1(x,t),I_2(x,t),L_1(x,t),L_2(x,t),I_3(x,t)$ 随着时间的推移都趋于 0 平面, 这说明当 $R_0<1$ 时梅毒感染在人群中最终会消除的. 从定理 2.2 中可知当 $R_0>1$ 时系统是一致持久的, 从图2 中可以看出随着时间的推移系统的解曲面逐渐远离零平面, 这说明当 $R_0>1$ 时梅毒感染将会在人群中持久存在. 此外, 在图3 中我们分析了模型参数对系统 (1.1) 基本再生数 $R_0$ 的影响. 图3(a)-(h) 分别表示参数 $\alpha(x),\epsilon(x),\omega(x),\eta_1(x),\mu(x),\sigma(x),\zeta_1(x)$ 和 $\zeta_2(x)$ 对基本再生数 $R_0$ 的影响. 具体地, 从图3(c) 中可以看出基本再生数 $R_0$ 的值随着 $\omega$ 值的增加而减小, 这说明提高对早期隐性梅毒感染者的治疗强度 (即提高早期隐性梅毒阶段转化为一期和二期梅毒阶段的转化率) 将有效地降低梅毒在人群中爆发的风险. 同时我们在图3(b) 中可以看出基本再生数的值随着 $\epsilon$ 的增加而增加, 这建议在临床治疗过程中对早期梅毒阶段感染者应该持续地增强治疗手段从而将更多的早期隐性梅毒患者转化为一期梅毒阶段感染者进而彻底有效地达到降低梅毒在人群中的流行趋势. 从图3(f)-(h) 中我们同样可以得到类似的结论.

此小节, 为了研究空间异质性对梅毒传播的影响, 我们在空间同质和空间异质两种情形下进行数值模拟并作出比较说明. 首先我们记 $\tilde{\alpha}=\int_{\Omega}\alpha(x){\rm d}x/|\Omega|,\ \tilde{\beta}=\int_{\Omega}\beta(x){\rm d}x/|\Omega|,\ \tilde{\gamma}=\int_{\Omega}\gamma(x){\rm d}x/|\Omega|$. 模型其他参数如式 (3.1) 所示. 图4 刻画的是系统 (1.1) 在空间同质和异质情形下解在 $t=200$ 时演化行为. 从中我们可以看出相对于空间同质情形, 空间异质情形更能体现出空间因素对梅毒传播的影响, 从图4 中我们也可以观察到在不同的空间位置上, 相对于空间同质情形, 空间异质模型的解的大小差异性是非常明显的. 结合实际情况来说, 这表明在不同区域梅毒的流行趋势是有差异的, 如果忽略空间差异性带来的影响会造成疾病防控部门不能有效地针对不同地区的疫情趋势采取针对性的防控措施, 这显然会造成资源浪费且无法达到有效控制梅毒传播的目的. 此外, 图5 刻画的是感染变量 $(I_1,I_2,L_1,L_2,I_3)$ 在空间同质和异质情形下在位置 $x=50$ 处的演化行为. 从中我们可以看出虽然在一开始两种情形下感染仓室个体数量有所波动, 但是随着时间的推移最终是空间异质情形下的感染个体数量大于空间同质情形下感染个体的数量. 这意味着如果忽略空间因素将会低估梅毒感染人数的规模从而无法有效地对梅毒在人群中的传播进行控制, 继而造成梅毒在该地区的爆发并引发严重的公共健康卫生安全问题.

此小节我们分析初值条件和扩散率 $d_i(x),i=1,2,3,4,5,6$ 对梅毒传播的影响. 为此, 令 $\alpha(x)=\tilde{\alpha},\beta(x)=\tilde{\beta},\gamma(x)=\tilde{\gamma}$, 其他参数同式 (3.1). 给定下列两种初值条件

为了研究扩散率 $d_i(x)$ 没梅毒传播的影响, 令 $\alpha(x)=\tilde{\alpha},\beta(x)=\tilde{\beta},\gamma(x)=\tilde{\gamma}$ 以及 $d_i(x)=d_iD(x), D(x)=2+\frac{50}{\sqrt{2\pi }}\exp\left(-\frac{(x-30)^2}{8}\right)+\frac{100}{3\sqrt{2\pi }}\exp\left(-\frac{(x-70)^2}{18}\right),x\in[0,100],i=1,2,3,4,5,6$, 这里的 $D(x)$ 是包含两个 Gaussia 类型的扩散率函数. 其他参数同式 (3.1).

图6 和 7 分别对应初值条件 (3.2) 和 (3.3) 解的演化行为. 从这两个图中我们可以看出初值的分布不会影响系统 (1.1) 解的最终演化趋势, 这说明初值几乎不影响梅毒在长时间内的传播趋势. 图8 刻画的是 Gaussia 类型扩散率函数 $D(x)$ 对梅毒传播的影响. 图中蓝色曲线表示 Gaussia 类型扩散率函数 $D(x)$ 的曲线, 它有两个峰值, 红色曲线表示系统解在 $t=200$ 时的截面线. 从中我们可以看出感染者稳态分布的局部最小值对应于扩散率桉树的局部最大值. 这意味着在扩散率大的位置, 处于稳态的感染个体数量较小. 事实上, 这似乎是合理的, 因为具有大扩散率的感染者往往会分散到很远的地方, 从而使原始位置的人群变得更小, 因此该位置的感染个体感染梅毒的风险就会降低从而减少那里的感染者. 相反地, 扩散率小的地方易感个体的感染风险会增加导致那里的个体更具有传染性 (易感个体和感染个体之间的有效接触率较大, 因为这个位置扩散率很小)^[13]. 综上所述, 具有空间异质性的扩散率函数 $D(x)$ 对梅毒传播的影响不可忽视.

本文构建了一类具有异质空间反应扩散梅毒动力学模型去研究个体扩散和空间异质环境对梅毒传播的影响. 理论分析部分, 我们首先讨论了解的全局存在性、系统的耗散性和解半流吸引子存在性; 利用下一代再生算子定义推导出模型的基本再生数 $R_0$ 的泛函表达式, 继而讨论了系统解关于阈值-$R_0$ 的动力学行为. 具体地, 当 $R_0>1$ 时, 无病平衡态是全局稳定的, 当 $R_0>1$ 时系统是一致持久的. 在特殊情形下, 我们还证明了系统常数正平衡点的存在唯一性和全局稳定性. 数值模拟部分, 我们首先通过 MATLAB 软件计算出基本再生数 $R_0$ 的值并刻画出相应阈值条件下系统解的演化行为; 其次, 讨论了模型参数对 $R_0$ 的影响并由此得到影响梅毒传播的关键参数; 再次, 通过比较空间同质和异质两种情形下系统解的截面曲线来分析空间异质性对梅毒传播的影响, 从而得到忽略空间异质性将明显低估梅毒的流行趋势和低估梅毒感染者数量这一结论; 最后, 我们讨论了初值和扩散率函数 $D(x)$ 对梅毒传播的影响. 得到的结论是: 系统的初值分布不会影响系统解最终的演化行为, 因而不是传染病防控时考虑的关键因素之一. 通过研究 Gaussia 类型的扩散率函数对梅毒传播的影响, 我们得出结论是个体扩散对梅毒传播的影响十分明显. 同时, 我们也揭示了具有空间异质性的个体扩散率对梅毒传播的具体影响. 本文的不足之处在于并未考虑药物治疗和梅毒筛查手段所带来的影响, 这也是未来工作内容的重点之一.