研究如下 Klein-Gordon-Maxwell 系统

其中 $\omega> 0$ 是一个常数, $\lambda> 0$ 是一个参数, $Q$ 是正的位势函数, $u,\phi: \mathbb{R}^{3}\rightarrow \mathbb{R}$. 系统 (1.1) 起源于数学物理领域中的某些应用问题. 为了描述三维空间中非线性 Klein-Gordon 场与静电场之间相互作用所产生的孤立波问题, 文献 [1] 首次提出了如下 Klein-Gordon-Maxwell 系统模型

其中 $0<\omega<m_0, 4<q<6$, $m_0$ 和 $e$ 分别表示粒子的质量和电量, 而 $\omega$ 表示相位.系统的未知因素是联系粒子的场 $u$ 和电磁位势 $\phi$. 有关此系统物理方面的详述可参见文献 [1,2]. 近年来, 系统 (1.1) 受到了众多学者的关注, 众多可解性条件被陆续给出, 如渐近线性^[3⇓-5], 超线性条件^{[6⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓-25]}, 凹凸非线性条件^[26⇓-28]. 据我们了解, 有关次线性 Klein-Gordon-Maxwell 系统的研究成果很少^[29,30]. 本文主要目的是考虑次线性 Klein-Gordon-Maxwell 系统, 利用变分法和临界点理论研究系统 (1.1) 解的存在性及多重性, 完善了已有文献的相关结果.

本文首先考虑非线性项在无穷远处是次线性的情形, 给出如下结论.

定理 1.1 假设 $f,Q$ 满足如下条件

$(F_1$) $f(t)\in C(\mathbb{R},\mathbb{R})$, 存在 $c>0$, $q\in (0,1)$ 满足 $|f(t)|\leq c|t|^q, t\in \mathbb{R}$;

$(F_2$) $\lim\limits_{t\rightarrow0}\frac{f(t)}{|t|}=0$;

$(F_3$) $\sup\limits_{t\in \mathbb{R}} F(t)>0,$ 其中 $F(t)=\int_{0}^{t}f(s){\rm d}s$;

$(Q)$$Q\in L^{2/(1-q)}(\mathbb{R}^{3})\cap L^{\infty}(\mathbb{R}^{3})$, $Q\geq 0$, $\sup\limits_{R>0} {\rm essinf}_{|x|\leq R}Q(x)>0$.

则存在开区间 $\Lambda\subseteq (0, +\infty)$, $C>0$ 及 $\nu>0$ 使得对任意的 $\lambda\in \Lambda$, 系统 (1.1) 至少存两个不同的非平凡解 $(u_\lambda^i, \phi_{u_\lambda^i})(i=1,2)$ 且 $\|u_\lambda^i\|\leq \nu, \|\phi_{u_\lambda^i}\|_{\mathcal{ D}^{1,2}(\mathbb{R}^3)}\leq C\nu^2$.

其次考虑非线性项仅在原点附近满足局部次线性而在无穷远处无任何假设要求的情形, 给出如下结论.

定理 1.2 假设 $Q$ 满足 $(Q)$, $f$ 满足如下条件

$(F'_1$) 存在 $\delta>0$, $c>0$, $q\in (0,1)$ 满足 $f(t)\in C((-\delta,\delta),\mathbb{R})$, $|f(t)|\leq c|t|^q, |t|\leq \delta$;

$(F'_2$) $\lim\limits_{t\rightarrow0}\frac{F(t)}{|t|^2}=\infty$.

则存在常数 $\lambda_*>0$ 使得当 $0<\lambda<\lambda_*$ 时, 系统 (1.1) 至少存在一个非平凡解 $(v_\lambda, \phi_{v_\lambda})$.

定理 1.3 假设 $f,Q$ 满足 $(F'_1$)-$(F'_2$) 及 $(Q)$. 若 $f$ 在原点附近关于 $t$ 是奇函数, 则任意的 $\lambda>0$, 系统 (1.1) 有一列非平凡弱解 $(u_n, \phi_{u_n})$ 且当 $n\rightarrow \infty$ 时, $\|u_n\|\rightarrow 0, \|\phi_{u_n}\|_{\mathcal{ D}^{1,2}(\mathbb{R}^3)}\rightarrow 0$.

注 1.1 文献 [29,30] 在非线性项具有奇性的条件下究了 Klein-Gordon-Maxwell 系统的无穷多负能量解的多重性问题; 而本文在非线性项 $f$ 无奇性的条件下, 给出系统 (1.1) 至少存在两个不同的非平凡解的结论.

注 1.2 与文献 [29] 研究的全局次线性 Klein-Gordon-Maxwell 系统解的多重性不同之处是本文考虑的是局部次线性系统 (1.1), 仍可获得同样的结论. 此外, 本文还考虑了系统 (1.1) 的一个非平凡解的存在性. 因此, 本文的结论可看作是上述已有文献的相关结果的推广和补充.

令

其范数为

令 $H:=H_{r}^{1}(\mathbb{R}^3)$, 其中 $H_{r}^{1}(\mathbb{R}^3)$ 表示由空间 $H^{1}(R^{3})$ 中的径向对称函数构成的子空间, 其内积和范数定义为

由文献 [31, 推论 1.26] 知, 对任意的 $2\leq p\leq 6$, 嵌入映射 $H\hookrightarrow L^{p}(\mathbb{R}^3)$ 是连续的; 对任意的 $2< p< 6$, 嵌入映射 $H\hookrightarrow L^{p}(\mathbb{R}^3)$ 是紧的. 故存在 $S_ p>0$,

系统 (1.1) 具有变分结构, 定义其泛函如下: 对任意的 $(u,\phi)\in H\times \mathcal{ D}^{1,2}(\mathbb{R}^3)$

由于 $A_{\lambda}$ 是强不定的, 为了克服这种困难, 需要对泛函进行一些简化. 为此, 现给出如下引理 2.1.

引理 2.1^[7] 对任何 $u\in H^1(\mathbb{R}^3)$, 存在唯一的 $\phi=\phi_u\in\mathcal{ D}^{1,2}(\mathbb{R}^3)$, 满足

再者

(i) 在集合 $\{x|u(x)\neq 0\}$ 上, $-\omega\leq \phi_u\leq 0$;

(ii) 若 $u$ 是径向对称的, 则 $\phi_u$ 也是径向对称的.

引理 2.2^[32] 假设 $X$ 是一个可分的自反实 Banach 空间, $\Phi, J: X\rightarrow R$ 是连续的 G$\hat{\rm a}$teaux 可微泛函. 若存在 $x_0, x_1\in X, \rho>0$ 满足 $\Phi(x_0)=J(x_0)=0$, $\Phi(x)\geq0$ 对任意的 $x\in X$ 成立及如下条件

(i) $\Phi(x_1)>\rho$, $\sup\limits_{\Phi(x)<\rho} J(x)<\rho\frac{J(x_1)}{\Phi(x_1)}$;

(ii) 令 $\bar{a}=\frac{\zeta\rho}{\rho\frac{J(x_1)}{\Phi(x_1)}-\sup\limits_{\Phi(x)<\rho} J(x)}$, $\zeta>1$. 若泛函 $\Phi-\lambda J$ 是弱下半连续的、满足 $(PS)$ 条件且对任意的 $\lambda\in [\bar{a}]$, $\lim\limits_{\|x\|\rightarrow+\infty}(\Phi(x)-\lambda J(x))=+\infty$. 则存在开区间 $\Lambda\subseteq [\bar{a}]$ 及 $\nu>0$ 使得对任意的 $\lambda\in \Lambda$, 方程 $\Phi^{'}(x)-\lambda J^{'}(x)=0$ 在空间 $X$ 中至少存在三个不同解且其范数小于等于 $\nu$.

引理 2.3^[33] 假设 $X$ 是一个 Banach 空间, $I \in C^1(X,R)$ 是偶泛函, 下方有界且满足 $(PS)$ 条件, $I(0)=0$. 若对任意的 $k\in \mathbb{N}$, 存在有限维子空间 $X^k$ 及 $\rho_k > 0$ 使得

其中 $S_{\rho}=\{u\in X: \|u\|=\rho\}$, 则 $I$ 有一列临界点 $u_k\neq 0$ 满足 $I(u_k)\leq 0, \|u_k\|\rightarrow 0, k\rightarrow \infty.$

记 $\mathcal{F}(u)=\int_{\mathbb{R}^3}Q(x)F(u){\rm d}x$, $B_R(0)=\big\{x\in \mathbb{R}^{3}: |x|<R\big\},$$B^{c}_R(0)=\mathbb{R}^3\setminus B_R(0)=\big\{x\in \mathbb{R}^{3}: |x|\geq R\big\}.$ 在本文中, $C$ 表示常数, 在不同的段落可表示不同的值.

为了克服 $A_{\lambda}$ 的强不定性, 现利用引理 2.1 将泛函 $A_{\lambda}$ 转化为仅含单变量 $u$ 的泛函. 在 (2.1) 式左右两端同时乘以 $\phi_u$, 并分部积分可得

从而结合 (3.1) 式及 $A_{\lambda}$ 的定义知, $I_{\lambda}(u):=A_{\lambda}(u, \phi_u)$ 可化简为如下形式

由假设及引理 2.1 易知, $I_{\lambda}$ 在空间 $H$ 上是有意义的, $I_{\lambda}\in C^1(H,\mathbb{R})$, 且对任意的 $u,v\in H$, 有

由文献 [1, 命题 3.5] 知, $u$ 是泛函 $I_{\lambda}$ 的临界点当且仅当 $(u,\phi)\in H\times \mathcal{ D}^{1,2}(\mathbb{R}^3)$ 是系统 (1.1) 的解, 并且 $\phi=\phi_u$. 因此, 为了得到系统 (1.1) 的非平凡解, 只需寻找泛函 $I_{\lambda}$ 的非零的临界点即可. 为了证明定理 1.1, 下面给出两个引理.

引理 3.1 假设 $(Q),$$(F_1)$-$(F_2)$ 成立, 则 $\lim\limits_{\rho\rightarrow0}\frac{\sup\{\mathcal{F}(u): \|u\|<\sqrt{2\rho}\}}{\rho}=0$.

证 由 $(F_1)$-$(F_2)$ 知, 对任意充分小的 $\varepsilon>0$, 存在 $C_\varepsilon>0$ 使得对任意的 $p\in (2,6)$,

从而对任意的 $p\in (2,6)$,

任取 $\rho>0$, 令 $A_\rho=\{u\in E: \|u\|<\sqrt{2\rho}\}$. 由条件 $(Q)$、(3.2) 式及 Sobolev 不等式知, 对任意的 $u\in A_\rho$

故存在 $\rho(\varepsilon)>0$ 使得当 $0<\rho<\rho(\varepsilon)$ 时, 有

即

证毕.

引理 3.2 假设 $(Q),$$(F_1)$-$(F_2)$ 成立, 则 $I_{\lambda}(u)$ 是弱下半连续的且满足 $(PS)$ 条件.

证 首先证明: $I_{\lambda}(u)$ 是弱下半连续的. 由文献 [29,命题 2.6] 知, $-\int_{\mathbb{R}^3}\omega\phi_uu^2{\rm d}x$ 是弱下半连续的; 由条件 $(F_1)$-$(F_2)$ 知, $\mathcal{F}(u)$ 是弱连续的. 故结合范数的弱下半连续性知, $I_{\lambda}(u)$ 是弱下半连续的.

其次证明: $(PS)$ 条件成立. 由 $(Q),$$(F_1)$ 及引理 2.1 知

因为 $0< q<1$, 所以 $I_{\lambda}(u)$ 在空间 $H$ 中是强制的. 设 $\{u_{n}\}\subset H$ 是泛函 $I_{\lambda}$ 的 $(PS)$ 序列, 即

而由 $I_{\lambda}(u)$ 在空间 $H$ 中是强制泛函易知, 序列 $\{u_n\}$ 是有界的. 故存在 $\{u_n\}$ 的一个子列 (不失一般性仍记之为 $\{u_n\}$) 和 $u\in H$ 使得

因为

所以要证: $u_n\rightarrow u( n\rightarrow\infty)$, 只需证明 (3.3) 式右端四项均收敛于零即可.

易知

而由$(Q), (F_1)$ 及 $\{u_n\}$ 的有界性知, 对充分大的 $R>0$ 有

同理可证

因为

所以当 $\{u_{n}\}$ 有界时, $\|\phi_{u_n}\|_{\mathcal{ D}^{1,2}(\mathbb{R}^3)}$ 也是有界的.

由于对任意的 $2< p< 6$, 嵌入映射 $H\hookrightarrow L^{p}(\mathbb{R}^3)$ 是紧映射, 故

且

即

故由 (3.3)-(3.8) 式知: 在空间 $H$ 中, $u_n\rightarrow u( n\rightarrow\infty)$. 证毕.

定理 1.1 的证明 由$(Q),$$(F_3)$ 知, 存在 $R_0>0, t_0\in \mathbb{R}$ 满足 $Q_{R_0}={\rm essinf}_{|x|\leq R_0}Q(x)>0$, $F(t_0)>0.$ 令 $h(\varepsilon)=A\varepsilon^3-B(1-\varepsilon^3),$$0<\varepsilon<1$, $A,B>0$ 是任意常数. 易知 $h(\varepsilon)$ 在 $[0,1]$ 连续、单调递增且 $-B=h(0)<h(\varepsilon)<h(1)=A.$ 故由介值定理知, 存在 $0<\varepsilon<1$ 使得 $h(\varepsilon)>0.$ 特别的, 取 $A=Q_{R_0}F(t_0)$, $B=\|Q\|_{L^\infty(\mathbb{R}^3)}\max\limits_{[-|t_0|, |t_0|]}F,$ 则

令 $u_\varepsilon(x)\in H^{1}(\mathbb{R}^{3})$ 为如下分段函数

且满足

则 $u_\varepsilon(x)\in H$.

由 (3.9) 式知

其中 $V_3$ 表示 $\mathbb{R}^3$ 中单位球的体积.

由引理 3.1 知, 存在充分小的 $\rho=\rho(\varepsilon)>0$ 满足

且有

令 $X=H, \Phi(u)=\frac{1}{2}\|u\|^2-\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^3}\omega\phi_uu^2{\rm d}x, J(u)=\mathcal{F}(u)$, $x_0=0, x_1=u_\varepsilon, x=u, \zeta=1+\varepsilon$. 现验证引理 2.2 的条件成立. 显然, 泛函 $\Phi, J: X\rightarrow R$ 是 G$\hat{\rm a}$teaux 可微的, 且其 G$\hat{\rm a}$teaux 导数是连续的, i.e., $\Phi, J$ 是连续的 G$\hat{\rm a}$teaux 可微泛函; $\Phi(x_0)=J(x_0)=0$; $\Phi(x)=\Phi(u)=\frac{1}{2}\|u\|^2-\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^3}\omega\phi_uu^2{\rm d}x\geq \frac{1}{2}\|u\|^2\geq0.$ 由引理 3.2 知, $I_{\lambda}(u)=\Phi(u)-\lambda J(u)$ 是弱下半连续的且满足 $(PS)$ 条件.

由 (3.10), (3.11) 式及引理 2.1 知, $\Phi(x_1)=\Phi(u_\varepsilon)=\frac{1}{2}\|u_\varepsilon\|^2-\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^3}\omega\phi_{u_\varepsilon}u_\varepsilon^2{\rm d}x\geq \frac{1}{2}\|u_\varepsilon\|^2>\rho,$ 且

因为 $\Phi(u)=\frac{1}{2}\|u\|^2-\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^3}\omega\phi_{u}u^2{\rm d}x\geq \frac{1}{2}\|u\|^2,$ 所以 $\{u: \Phi(u)< \rho\}\subseteq \{u: \|u\|< \sqrt{2\rho}\}.$ 故结合 (3.12) 式知

令 $\bar{a}=\frac{(1+\varepsilon)\rho}{\rho\frac{J(u_\varepsilon)}{\Phi(u_\varepsilon)}-\sup\{\mathcal{F}(u): \Phi(u)< \rho\}}$, 则 $\bar{a}>0$. 由引理 3.2 的证明知, 对任意的 $\lambda\in [\bar{a}]$, $I_{\lambda}(u)=\Phi(u)-\lambda J(u)\rightarrow+\infty, \|u\|\rightarrow+\infty$. 综上可知, $I_{\lambda}(u)$ 满足引理 2.2 的条件. 因此由引理 2.2 知, 存在开区间 $\Lambda\subseteq [\bar{a}]$ 及 $\nu>0$ 使得对任意的 $\lambda\in \Lambda$, 泛函 $I_{\lambda}(u)$ 在空间 $H$ 中至少存在三个不同解 $u_\lambda^i(i=1,2,3)$ 且满足 $\|u_\lambda^i\|\leq \nu$. 由 $(F_1)$ 知, $f(0)=0$, 因此 $0$ 是泛函 $I_{\lambda}(u)$ 的平凡解. 即 $I_{\lambda}(u)$ 有两个不同的非平凡解 $u_\lambda^i(i=1,2)$ 且满足 $\|u_\lambda^i\|\leq \nu$. 从而系统 (1.1) 至少存两个不同的非平凡解 $(u_\lambda^i, \phi_{u_\lambda^i})(i=1,2)$ 且满足 $\|u_\lambda^i\|\leq \nu, \|\phi_{u_\lambda^i}\|_{\mathcal{ D}^{1,2}(\mathbb{R}^3)}\leq C\|u_\lambda^i\|^2\leq C\nu^2$. 证毕.

由于非线性项仅在原点附近满足局部次线性增长条件, 因此泛函 $\int_{\mathbb{R}^3}Q(x)F(u){\rm d}x$ 在空间 $H$ 是没有意义的. 为了克服这一困难, 我们将 $f$ 延拓成一个适当的函数 $\bar{f}$ 而保证 $\int_{\mathbb{R}^3}Q(x)\bar{F}(u){\rm d}x$ 在空间 $H$ 是有意义的.

令 $\bar{f}\in C(\mathbb{R},\mathbb{R})$ 是关于 $t\in\mathbb{R}$ 具有奇性的截断函数

且当 $|t|\leq 2\delta$ 时, $\bar{f}(t)\leq c|t|^q$ 成立. 为了获得问题 (1.1) 的解 $u$, 只需寻找满足 $\|u\|_{L^\infty(\mathbb{R}^3)}\leq\delta$ 的如下系统的解 $u$ 即可

类似于 $I_{\lambda}(u)$ 的处理方法, 定义问题 (4.1) 对应的泛函 $J_{\lambda}(u)$ 如下

由假设条件及引理 2.1 易知, $J_{\lambda}$ 在空间 $H$ 上是有意义的, $J_{\lambda}\in C^1(H,\mathbb{R})$, 且对任意的 $u,v\in H$, 有

为了证明定理 1.2-定理 1.3, 下面给出如下引理.

引理 4.1 假设 $(Q),$$(F'_1)$-$(F'_2)$ 成立, 则 $J_{\lambda}(u)$ 满足 $(PS)$ 条件.

证 由 $(Q)$、$(F'_1)$、引理 2.1 及 $\bar{f}(u)$ 的构造知

因为 $0< q<1$, 所以 $J_{\lambda}(u)$ 在空间 $H$ 中是强制的, 从而也是下方有界的. 设 $\{u_{n}\}\subset H$ 是泛函 $J_{\lambda}$ 的 $(PS)$ 序列, 类似于引理 3.2 的证明易知 $J_{\lambda}(u)$ 满足 $(PS)$ 条件.

定理 1.2 的证明 证明问题 (1.1) 存在一个非平凡解 $(v_\lambda, \phi_{v_\lambda})$. 由引理 4.1 知, $J_{\lambda}$ 在空间 $H$ 中是下方有界的且满足 $(PS)$ 条件, 故可定义其下确界如下

由文献 [34, 定理 2.7] 知, $c_{\lambda}$ 是泛函 $J_{\lambda}$ 的一个临界值. 即存在 $v_\lambda\in H$ 满足 $J_{\lambda}(v_\lambda)=c_{\lambda}$ 且 $\langle J_{\lambda}^{'}(v_\lambda), v_\lambda\rangle=0.$ 下面说明: $v_\lambda\neq0$ 且 $\|v_\lambda\|_{L^\infty(\mathbb{R}^3)}\leq \delta$.

首先证明: 存在有限维子空间 $X^k$ 及 $\rho_k > 0$ 使得

事实上, 对任意的 $k\in \mathbb{N}$, 在空间 $H$ 选取 $k$ 个线性无关的光滑函数 $e_1,\cdots, e_k$, 定义 $X^k := {\rm span}\{e_1, \cdots, e_k\}.$ 由于有限维空间 $X^k$ 上的各种范数是等价的, 故存在 $\zeta>0, \tau>0$ 使得对任意的 $u\in X^k$, 有

由 $(Q),$$(F'_2)$ 及 $\bar{f}$ 构造可知, 存在 $\mu>0$, 使得当 $|t|<\mu$ 时

取 $e\in X^k, \|e\|=1$, 则当 $0<t<\frac{\mu}{\tau}$ 时, 由引理 2.1、(4.3) 及 (4.4) 式知, 存在常数 $C>0$ 使得

因此选取 $t=\rho_k$ 充分小时,

即 (4.2) 式成立. 由于

故 $v_\lambda\neq0$.

其次证明: $\|v_\lambda\|_{L^\infty}\leq \delta$. 由引理 2.1、$(Q)$ 及 $\bar{f}$ 构造知, 存在常数 $C>0$ 使得

现说明: 当 $\lambda$ 比较小时, $\|v_\lambda\|\leq 1.$ 假设此结论不成立, 则存在一列 $\lambda_n$ 虽有 $\lambda_n\rightarrow0$, 但 $\|v_{\lambda_n}\|> 1.$ 故结合 (4.5) 式得, $\|v_{\lambda_n}\|^{1-q}\leq \lambda_n C\rightarrow0, n\rightarrow\infty.$ 这显然与 $\|v_{\lambda_n}\|> 1$ 矛盾. 因此由 (4.5) 式知, $\|v_{\lambda}\|^{1-q}\leq \lambda C\rightarrow0, \lambda\rightarrow0.$ 一方面, 由文献 [35, 径向引理 A.III](或文献 [36, 引理 1] 知

故对任意的 $\lambda\leq1$, $v_{\lambda}(x)\rightarrow0, |x|\rightarrow\infty.$ 从而存在 $R>0$ 使得对任意的 $\lambda\leq1$, $\|v_\lambda\|_{L^\infty(B_R^c(0))}\leq \delta$. 另一方面, 由椭圆估计^[37] 知, $\|v_\lambda\|_{L^\infty(B_R(0))}\rightarrow0, \lambda\rightarrow0.$ 综合上述两个方面的讨论可知, 存在 $\lambda_*>0$, 使得当 $\lambda<\lambda_*$ 时, $\|v_\lambda\|_{L^\infty(\mathbb{R}^3)}\leq \delta$. 故存在 $\lambda_*>0$, 使得当 $\lambda<\lambda_*$ 时, 问题 (1.1) 存在一个非平凡解 $(v_\lambda, \phi_{v_\lambda})$. 证毕.

定理 1.3 的证明 由 $\bar{f}$ 构造知, $J_{\lambda}$ 是偶泛函, $J_{\lambda}(0)=0$; 由引理 4.1 知, 在空间 $H$ 中, $J_{\lambda}$ 是下方有界的且满足 $(PS)$ 条件. 故结合 (4.2) 式可知, $J_{\lambda}$ 满足引理 2.3 的所有条件. 从而由引理 2.3 知, $J_{\lambda}$ 有一列非零临界点 $u_n\in H$ 且 $\|u_n\|\rightarrow0, n\rightarrow\infty.$ 类似于定理 1.2 的证明可知, 当 $n$ 充分大时, $\|u_n\|_{L^\infty(\mathbb{R}^3)}\leq \delta$. 即任意的 $\lambda>0$, 问题 (1.1) 有一列非平凡弱解 $(u_n, \phi_{u_n})$ 且当 $n\rightarrow \infty$ 时, $\|u_n\|\rightarrow 0, \|\phi_{u_n}\|_{\mathcal{ D}^{1,2}(\mathbb{R}^3)}\leq C\|u_n\|^2\rightarrow 0$. 证毕.