1 引言
本文中, 我们考虑下面的质量临界 Kirchhoff 型方程的正规化解 (即 $L^2$
(1.1) $\begin{equation}\label{1.1} -b\int_{\mathbb R^N}|\nabla u|^2\mathrm{d} x\Delta u+V(x)u= \beta|u|^{\frac{8}{N}}u+\lambda u,\ x\in \mathbb R^N, \end{equation}$
其中 $b>0$ $N=1,2,3$ . 根据 Lagrange 乘子原理可知求解方程 (1.1) 等价于研究下面的极小化问题
(1.2) $\begin{equation}\label{1.2} e_{\beta}=\inf\limits_{u\in S}E_{\beta}(u), \end{equation}$
方程 (1.1) 来源于下面的 Kirchhoff 型椭圆方程
(1.3) $\begin{equation}\label{1.6} -\left(a+b\int_{\mathbb R^N}|\nabla u|^2\mathrm{d}x\right)\Delta u+V(x)u= \beta|u|^{p}u+\lambda u,\ x\in\mathbb R^N, \end{equation}$
并且当 $a=0$ $p=\frac{8}{N}$
(1.4) $\begin{equation}\label{1.7} u_{tt}-M(s)\left(\int_{\mathbb R^N}|\nabla u|^2\mathrm{d}x\right)\Delta u=0, \end{equation}$
其中 $M(s)$ $s$ $s\ge 0$ $M(s)\ge 0 $ . 方程 (1.4) 由 Kirchhoff[14 ] 在 1883 年提出, 推广了 D'Alembert 方程, 描述了弹性绳的自由振动, 更多关于方程 (1.4) 的相关背景见文献 [3 ,4 ]. 方程 (1.3) 在描述一些与均值相关的系统中得到广泛运用, 因为该方程加入了非局部项 $\int_{\mathbb R^N}|\nabla u|^2\mathrm{d}x$
在近些年来, 对方程 (1.3) 的正规化解的研究引起了众多学者的兴趣. 当 $a=1$ $b=0$ $V(x)\not\equiv0$ 11 ] 中研究了方程 (1.3), 获得了该方程正规化解的存在性与非存在性结果, 进一步, 当参数 $\beta$ $\beta$ 10 ] 中还证明了方程 (1.3) 正规化解的局部唯一性结果. 当 $a>0$ $b>0$ $V(x)\equiv0$ [22 ] 中作者证明了方程 (1.3) 正规化解的唯一性结果, 并给出了正规化解的具体表达形式. 当 $a>0$ $b>0$ $V(x)\not\equiv0$ 5 ] 中作者给出了方程 (1.3) 正规化解的存在性与非存在性结果, 并证明了指标 $p$ $\frac{8}{N}$ $a=1$ $b>0$ $V(x)\not\equiv0$ 6 ] 中进一步证明了参数 $b$ $a>0$ $b>0$ $V(x)\not\equiv0$ 13 ] 中得到了参数 $a$ 1 ,7 ,12 ,16 ,18 ,20 ,21 ].
受到上述文献的启发, 在本文中我们主要研究问题 (1.2) 极小元的相关性质. 一方面, 我们将证明问题 (1.2) 极小元的存在性与非存在性结果. 另一方面, 在弄清极小元存在性的基础上, 我们进一步给出参数 $\beta$ $V(x)$
$(V_{1})$ $q_j>0\ (j=1,2,\cdots,n)$ $h(x)\in C^1(\mathbb R^N)$
其中对任意的 $x\in \mathbb R^N$ $0<\frac{1}{C}\leq h(x)\leq C$
(1.5) 其中 $Q=Q(|x|)$ 是下面半线性方程的唯一正解 (在平移的意义下) $\begin{equation}\label{1.8} -2\Delta u+\frac{4-N}{N}u=u^{\frac{8}{N}+1},\ x\in\mathbb R^N. \end{equation}$
(1.6) $\begin{equation}\label{1.12} \mu_0=\min\limits_{j\in\Lambda}\mu_j,\ \ \ \ Z_0=\{x_j\in \overline{Z}:\mu_j=\mu_0\}. \end{equation}$
下面我们首先给出问题 (1.2) 极小元的存在性结果.
定理 1.1 假设 $V(x)\in L_{loc}^{\infty}(\mathbb R^N)$ $|x|\to +\infty$ $V(x)\to +\infty$ $\widetilde{Z}=\{x\in \mathbb R^N: V(x)=0\}\neq\emptyset$ $0<\beta<\beta^*=\frac{b}{2}||Q||_2^{\frac{8}{N}}$ $e_\beta$ $\beta\ge \beta^*$ $e_\beta$ $e_{\beta}$ $\beta=\beta^*$ $e_{\beta^*}=0$ $\beta>\beta^*$ $e_\beta=-\infty$ .
在定理 1.1 极小元存在性结果的基础上, 我们进一步得到如下极小元的集中行为
定理 1.2 假设条件 $(V_1)$ $\beta\in(0,\beta^*)$ $u_\beta$ $e_\beta$ $z_\beta \in \mathbb R^N$ $u_{\beta}(x)$ $\lambda_\beta<0$ $z_0\in Z_0$ $(u_\beta,\lambda_\beta)$ $\beta\to\beta^*$
(1.7) $\begin{equation}\label{1.13} U_{\beta}=\epsilon_{\beta}^{\frac{N}{2}}u_{\beta}(\epsilon_{\beta}x+z_{\beta})\to \frac{Q(x)}{||Q||_2}\ \mbox{在}\ H^1(\mathbb R^N)\ \mbox{中强收敛}, \end{equation}$
这里当 $\beta\to \beta^*$
(1.8) $\begin{equation}\label{1.15} \epsilon_{\beta}^{-1}=\left(\int_{\mathbb R^N}|\nabla u_{\beta}|^2\mathrm{d}x\right)^{\frac{1}{2}}=\left[\frac{\mu_0 q||Q||_2^{\frac{8}{N}-2}}{4(\beta^{*}-\beta)}\right]^{\frac{1}{q+4}}(1+o(1))\to +\infty, \end{equation}$
此外, 当 $\beta\to \beta^*$
定理 2 说明了当 $\beta\to\beta^*$ $e_{\beta}$ $V(x)$ $e_{\beta}$ $x\in\mathbb R^N$ $|\nabla u|=|\nabla |u||$ $e_{\beta}$
在文献 [13 ] 的定理 1.1 中, 作者给出了参数 $\beta=1$ $S=\{u\in \mathcal{H}:\int_{\mathbb R^N}|u|^2\mathrm{d}x=c^{2},\ c>0\}$ $\beta>0$ $S=\left\{u\in \mathcal{H}:\int_{\mathbb R^N}|u|^2\mathrm{d}x=1\right\}$ 6 ] 的方法, 我们还给出了参数 $\beta\to\beta^{\ast}$ 13 ] 的相关结果.
2 极小元的存在性与非存在性
首先介绍下面的 Gagliardo-Nirenberg 不等式[19 ]
(2.1) $\begin{equation}\label{0.3}\frac{N}{8+2N}\int_{\mathbb R^N}|u|^{\frac{8}{N}+2}\mathrm{d}x\leq\frac{1}{2||Q||_2^\frac{8}{N}}\left(\int_{\mathbb R^N}|\nabla u|^2\mathrm{d}x\right)^2\left(\int_{\mathbb R^N}|u|^2\mathrm{d}x\right)^{\frac{4}{N}-1},\end{equation}$
其中 $Q(x)$ 8 ,15 ] 可知, 当 $|x|\to\infty$
(2.2) $\begin{equation}\label{eqQ} Q(|x|), |\nabla Q(|x|)|=O(|x|^{-\frac{N-2}{2}}{\rm e}^{-|x|}). \end{equation}$
此外, 根据方程 (1.5) 并结合 Pohozaev 等式有
在给出定理 1.1 的证明之前, 我们先给出下面的紧性引理[2 ]
引理 2.1 设 $V(x)\in L_{loc}^{\infty}(\mathbb R^N)$ $\min\limits_{x\in \mathbb R^N}V(x)=0$ $\displaystyle\lim_{|x|\to +\infty}V(x)= +\infty$ . 则嵌入 $\mathcal{H}\hookrightarrow L^p(\mathbb R^N)$ $N\ge3$ $p\in[2,\frac{2N}{N-2})$ $N=1,2$ $p\in[2,+\infty)$ .
下面我们给出定理 1.1 的证明, 相关证明参考了文献 [13 ] 的证明方法.
证 (1) (极小元的存在性) 若 $0<\beta<\beta^*$ $\{u_n\}$ $e_\beta$ $||u_n||_2=1$ $n\to\infty$ $E_\beta(u_n)\to e_\beta$
(2.3) $\begin{equation}\label{0.4} \begin{split} e_\beta+1+\frac{\beta}{2||Q||_2^\frac{8}{N}}\left(\int_{\mathbb R^N}|\nabla u_n|^2\mathrm{d}x\right)^2&\ge E_\beta(u_n)+\frac{N\beta}{8+2N}\int_{\mathbb R^N}|u_n|^{\frac{8}{N}+2}\mathrm{d}x\\ &= \frac{b}{4}\left(\int_{\mathbb R^N}|\nabla u_n|^2\mathrm{d}x\right)^2+\frac{1}{2}\int_{\mathbb R^N}V(x)|u_n|^2\mathrm{d}x. \end{split} \end{equation}$
因为 $0<\beta<\beta^*$ $\{u_n\}$ $\mathcal{H}$ $u_0\in\mathcal{H}$ $n\to+\infty$ $u_n\rightharpoonup u_0$ $\mathcal{H}$ $u_n\to u_0$ $L^p(\mathbb R^N)$ $p\in [2,2^*)$ ). 下面考虑
(2.4) $\begin{equation}\label{0.5} \begin{split} \int_{\mathbb R^N}|\nabla u_0|^2\mathrm{d}x-\int_{\mathbb R^N}|\nabla u_n|^2\mathrm{d}x=&-\int_{\mathbb R^N}|\nabla u_n-\nabla u_0|^2\mathrm{d}x\\ &+2\int_{\mathbb R^N}\nabla u_0\cdot (\nabla u_0-\nabla u_n)\mathrm{d}x\\ \leq &2\int_{\mathbb R^N}\nabla u_0\cdot \nabla (u_0-u_n)\mathrm{d}x, \end{split} \end{equation}$
由于泛函 $A(u)=\int_{\mathbb R^N} \nabla u_0\cdot \nabla u\mathrm{d}x$ $\mathcal{H}$ $n\to +\infty$
从而利用 $\mathcal{H}$
(2.5) $\begin{equation}\label{0.7} \begin{split} E_{\beta}(u_0)=&\frac{b}{4}\left(\int_{\mathbb R^N}|\nabla u_0|^2\mathrm{d}x\right)^2+\frac{1}{2}\int_{\mathbb R^N}V(x)|u_0|^2\mathrm{d}x-\frac{N\beta}{8+2N}\int_{\mathbb R^N}|u_0|^{\frac{8}{N}+2}\mathrm{d}x\\ \leq&\left(\frac{b}{4}\lim_{n\to\infty}\int_{\mathbb R^N}|\nabla u_n|^2\mathrm{d}x-\frac{1}{2}\right)\lim_{n\to \infty}\int_{\mathbb R^N}|\nabla u_n|^2\mathrm{d}x\\ &+\frac{1}{2}\lim_{n\to\infty}||u_n||_{\mathcal{H}}^2-\lim_{n\to \infty}\frac{N\beta}{8+2N}\int_{\mathbb R^N}|u_n|^{\frac{8}{N}+2}\mathrm{d}x\\ =&\lim_{n\to\infty}E_{\beta}(u_n)=e_\beta, \end{split} \end{equation}$
由引理 2.1 可知 $||u_0||_2=\displaystyle\lim_{n\to\infty}||u_n||_2=1$ $e_\beta$ $e_\beta\leq E_\beta(u_0)$ $e_\beta= E_\beta(u_0)$ $u_0$ $e_\beta$
(2) ($\beta>\beta^*$ $\phi\in C_0^{\infty}(\mathbb R^N)$ $x\in \mathbb R^N$ $0\leq \phi \leq 1$ $|\nabla \phi(x)|\leq 2$ $|x|\leq 1$ $\phi(x)=1$ $|x|>2$ $\phi(x)=0$ . 对于任意的 $\delta>0$ $\tau>0$ $\bar{x}\in \widetilde{Z}$
(2.6) $\begin{equation}\label{0.8}Q_{\delta,\tau}(x)=\frac{A_{\delta,\tau}}{||Q||_2}\phi(|x-\bar{x}|/\delta)\tau^{\frac{N}{2}}Q(\tau|x-\bar{x}|), \end{equation}$
其中 $A_{\delta,\tau}$ $\int\limits_{\mathbb R^N}|Q_{\delta,\tau}|^2\mathrm{d}x=1$ . 利用 (2.2) 式可知当 $\delta\tau>0$
(2.7) $\begin{equation}\label{0.9} \frac{1}{A_{\delta,\tau}^2}=1+\frac{1}{||Q||_2^2}\int_{\mathbb R^N\backslash B_{\delta\tau}(0)}(\phi^2(x/\delta\tau)-1)|Q|^2\mathrm{d}x=1+o({\rm e}^{-\delta \tau}), \end{equation}$
从而当 $\delta\tau\to +\infty$ $A_{\delta,\tau}\to 1$ . 令 $\delta=\tau^{-\frac{1}{2}}$ $\tau\to +\infty$
(2.8) $\begin{equation}\label{0.10}\int_{\mathbb R^N}V(x)|Q_{\delta, \tau}|^2\mathrm{d}x=\frac{A_{\delta,\tau}^2}{||Q||_2^2}\int_{B_{2\delta\tau}(0)}V\left(\frac{x}{\tau}+\bar{x}\right)\phi^2(x/\delta\tau)|Q|^2\mathrm{d}x\to V(\bar{x})=0.\end{equation}$
利用 (2.6) 与 (2.7) 式, 当 $\delta \tau\to+\infty$
(2.9) $\begin{equation}\label{0.11} \begin{split} \int_{\mathbb R^N}|\nabla Q_{\delta,\tau}|^2\mathrm{d}x=&\frac{A_{\delta,\tau}^2\tau^2}{||Q||_2^2}\left(\int_{\mathbb R^N}|\nabla Q|^2\mathrm{d}x-\int_{\mathbb R^N\backslash B_{\delta\tau(0)}}|\nabla Q|^2\mathrm{d}x\right)\\ &+\int_{\mathbb R^N\backslash B_{\delta\tau(0)}}|(\delta \tau)^{-1}\nabla \phi(x/\delta\tau)Q(x)+\phi(x/\delta\tau)\nabla Q(x)|^2\mathrm{d}x\\ =&\tau^2+o({\rm e}^{-\delta\tau}), \end{split} \end{equation}$
(2.10) $\begin{equation}\label{0.12}\frac{N}{8+2N}\int_{\mathbb R^N}|Q_{\delta\tau}|^{\frac{8}{N}+2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2||Q||_2^\frac{8}{N}}\tau^4+o({\rm e}^{-\delta\tau}). \end{equation}$
利用 (2.8), (2.9) 和 (2.18) 式可以推出
(2.11) $\begin{equation}\label{0.13} e_\beta\leq E_{\beta}(Q_{\delta,\tau})=\frac{b}{4}\tau^4-\frac{\beta}{2||Q||_2^{\frac{8}{N}}}\tau^4+o({\rm e}^{-\delta\tau}). \end{equation}$
因为 $\beta>\beta^*$ $\delta\tau\to +\infty$ $e_\beta=-\infty$ $e_\beta$
(3) ($\beta=\beta^*$ $e_{\beta^*}$ $u_0$ $u_0$
(2.12) $\begin{equation}\label{0.14} -\left(b\int_{\mathbb R^N}|\nabla u_{0}|^2\mathrm{d}x\right)\Delta u_{0}+V(x)u_{0}=\lambda u_{0}+\beta u_{0}^{\frac{8}{N}+1},\ x\in\mathbb R^N. \end{equation}$
在 (2.11) 式中令 $\beta=\beta^*$ $\delta\tau\to +\infty$
故 $e_{\beta^*}=0$ $u_{0}(x)$ $\mathbb R^N\backslash \widetilde{Z}$ $u_{0}$ $\mathbb R^N$
因此 $\lambda<0$ $u$ $\widetilde{Z} \subset \mathbb R^N$
(2.13) $\begin{equation*}\label{0.17} \begin{cases} -b\left(\int_{\mathbb R^N}|\nabla u_{0}|^2\mathrm{d}x\right)\Delta u_{0}-\lambda u_{0}=\beta u_{0}^{\frac{8}{N}+1}, &\ x\in \widetilde{Z},\\ u_{0}=0, & \ x\in \partial \widetilde{Z}, \end{cases} \end{equation*}$
利用文献 [9 ] 中的标准椭圆正则性理论和强极大值原理可以得到 $u_{0}$ $\mathbb R^N$ $e_{\beta^*}$ $e_{\beta^*}$
3 极小元的集中性质
在本节中我们将证明定理 1.2, 我们首先对 $\beta\to\beta^*$ $e_\beta$
引理 3.1 当 $\beta\to \beta^{*}$ $e_\beta$ $ e_\beta \to 0$ .
证 对任意的 $\beta\in(0,\beta^*)$ $u\in S$
故 $e_\beta\ge 0$ . 选取试探函数 $Q_{\delta,\tau}(x)$ $Q_{\delta,\tau}(x)$ $\delta\tau\to\infty$
(3.1) $\begin{equation}\label{2.10}E_{\beta}(Q_{\delta,\tau})=\frac{b}{4}\tau^4-\frac{\beta}{2||Q||_2^{\frac{8}{N}}}\tau^4+o({\rm e}^{-\delta\tau}).\end{equation}$
由于 $\beta^*=\frac{b}{2}||Q||_2^\frac{8}{N},$ $\beta\to \beta^*$ $\delta\tau\to +\infty$
引理 3.2 当 $\beta\to \beta^*$ $\epsilon_{\beta}$ $\epsilon_\beta\to 0.$
证 下面我们采用反证法证明该引理, 假设存在一个常数 $C>0$ $\beta\to \beta^{*}$ $\epsilon_\beta\ge \frac{1}{C^{1/2}}>0$ $\epsilon_{\beta}$
由于 $\beta<\beta^*$
(3.2) $\begin{equation}\label{2.14} \frac{N\beta}{8+2N}\int_{\mathbb R^N}|u_\beta|^{\frac{8}{N}+2}\mathrm{d}x\leq\frac{N\beta^*}{8+2N}\int_{\mathbb R^N}|u_\beta|^{\frac{8}{N}+2}\mathrm{d}x\leq \frac{b}{4}\left(\int_{\mathbb R^N}|\nabla u_\beta|^2\mathrm{d}x\right)^2, \end{equation}$
根据引理 3.1 和 (3.2) 式, 当 $\beta$ $\beta^*$
因此存在常数 $C'>0$ $||u_\beta||_{\mathcal{H}}\leq C'$ . 利用引理 2.1 可知当 $\beta\to\beta^{*}$ $u_0\in \mathcal H$ $u_\beta \rightharpoonup u_0$ $\mathcal H$ $u_\beta\to u_0$ $L^p(\mathbb R^N)$ $N\ge3$ $p\in[2,\frac{2N}{N-2})$ $N=1,2$ $p\in[2,+\infty)$ $\int_{\mathbb R^N}|u_0|^2\mathrm{d}x=1$ . 最后利用 $\mathcal{H}$
(3.3) $\begin{equation}\label{2.16}0=\lim_{\beta\to \beta^*}e_\beta=\lim_{\beta\to \beta^*}E_\beta(u_\beta)\ge E_{\beta^*}(u_0)\ge e_{\beta^*}=0,\end{equation}$
这说明 $u_0\neq 0$ $e_{\beta^*}$ $e_{\beta^*}$
接下来, 我们对 Lagrange 乘子 $\lambda_{\beta}$
引理 3.3 当 $\beta\to \beta^*$ $\lambda_\beta$ $\lambda_\beta \epsilon_{\beta}^4\to \frac{b(N-4)}{2N}$ $\epsilon_\beta$
证 首先对任意的 $\beta\in(0,\beta^*)$ $u_{\beta}$ $e_{\beta}$
(3.4) $\begin{equation}\label{2.17}0\leq \frac{b}{4}\left(\int_{\mathbb R^N}|\nabla u_\beta|^2\mathrm{d}x\right)^2-\frac{N\beta}{8+2N}\int_{\mathbb R^N}|u_\beta|^{\frac{8}{N}+2}\mathrm{d}x\leq e_{\beta}.\end{equation}$
利用引理 3.1, 在 (3.4) 式中令 $\beta\to \beta^*$
(3.5) $\begin{equation}\label{2.18}\frac{b}{4}\left(\int_{\mathbb R^N}|\nabla u_\beta|^2\mathrm{d}x\right)^2-\frac{N\beta}{8+2N}\int_{\mathbb R^N}|u_\beta|^{\frac{8}{N}+2}\mathrm{d}x\to 0,\end{equation}$
因此当 $\beta\to \beta^*$
(3.6) $\begin{equation}\label{2.19}\frac{N\beta \epsilon_\beta^4}{8+2N}\int_{\mathbb R^N}|u_\beta|^{\frac{8}{N}+2}\mathrm{d}x\to \frac{b}{4}.\end{equation}$
利用引理 3.1 以及 (2.1) 式, 当 $\beta\to \beta^*$
(3.7) $\begin{equation}\label{2.20}0\leq\int_{\mathbb R^N}V(x)u_\beta^2\mathrm{d}x\leq e_{\beta}\to 0.\end{equation}$
因为 $u_{\beta}$ $u_{\beta}$ $\mathbb R^N$
(3.8) $\begin{equation}\label{2.21}\lambda_\beta=b\left(\int_{\mathbb R^N}|\nabla u_\beta|^2\mathrm{d}x\right)^2+\int_{\mathbb R^N}V(x)u_\beta^2\mathrm{d}x-\beta\int_{\mathbb R^N}|u_\beta|^{\frac{8}{N}+2}\mathrm{d}x,\end{equation}$
从而利用 (3.6), (3.7) 以及 (3.8) 式可知, 当 $\beta\to \beta^*$
引理 3.4 对任意 $\beta\in(0,\beta^*)$ $u_\beta$ $e_\beta$ $z_\beta$ $u_\beta$ $\eta>0$ $\beta\to\beta^*$
其中 $U_\beta$
证 因为 $u_{\beta}$ $U_\beta$
(3.9) $\begin{equation}\label{2.28}-b\Delta U_\beta+\epsilon_\beta^4 V(\epsilon_\beta x +z_\beta)U_\beta =\epsilon_\beta^4\lambda_\beta U_\beta+\beta U_\beta^{\frac{8}{N}+1}.\end{equation}$
由于 $U_\beta$ $x=0$ $-\Delta U_\beta(0)\ge 0$ $\beta\to \beta^*$
(3.10) $\begin{equation}\label{2.29}U_\beta^{\frac{8}{N}}(0)\ge -\epsilon_\beta^4\lambda_\beta\ge\frac{b(4-N)}{4N}.\end{equation}$
由于 $V(x)\ge 0$ $\beta$ $\beta^*$ $\epsilon_\beta^4\lambda_\beta\leq 0$
(3.11) $\begin{equation}\label{2.30}-b\Delta U_\beta\leq \beta U_\beta^{\frac{8}{N}+1},\end{equation}$
利用 (3.11) 式以及 De Giorgi-Nash-Morser 理论[9 ] , 对任意 $\xi\in \mathbb R^N$
(3.12) $\begin{equation}\label{2.31}\int_{B_2(\xi)}|U_\beta|^2\mathrm{d}x\ge \max_{B_1(\xi)}U_\beta \ge U_\beta(\xi).\end{equation}$
特别地, 在 (3.12) 式中取 $\xi=0$ $\beta\to \beta^*$ $\eta>0$
(3.13) $\begin{equation}\label{2.32}\int_{B_2(0)}|U_\beta|^2\mathrm{d}x\ge \eta,\end{equation}$
(3.14) $\begin{equation}\label{2.33} \begin{split} e_\beta &=E_\beta(u_\beta)\ge \int_{\mathbb R^N}V(x)|u_\beta|^2\mathrm{d}x\ge\int_{B_2(0)}V(\epsilon_\beta x+z_\beta)|U_\beta|^2\mathrm{d}x\\ &\ge \inf_{|x|<2}V(\epsilon_\beta x+z_\beta) \eta\ge 0. \end{split} \end{equation}$
在 (3.14) 式中令 $\beta\to \beta^*$ $\displaystyle\lim_{\beta\to \beta^*}{\rm dist}(z_\beta,Z)=0$ $\displaystyle\lim_{\beta\to \beta^*}V(z_\beta)=0.$
所以序列 $\{U_\beta\}$ $H^1(\mathbb R^N)$ $U_0\in H^1(\mathbb R^N)$ $\beta\to \beta^*$ $U_\beta \rightharpoonup U_0$ $H^1(\mathbb R^N)$ $\beta\to \beta^*$ $U_0$
(3.15) $\begin{equation}\label{2.37}-\frac{2}{||Q||_2^\frac{8}{N}}\Delta U_0+\frac{4-N}{N||Q||_2^\frac{8}{N}}U_0=U_0^{\frac{8}{N}+1},\end{equation}$
利用方程 (1.5) 正解的唯一性可知, 存在 $x_{0}\in \mathbb R^N$
(3.16) $\begin{equation}\label{2.38}U_0=\frac{Q(|x-x_0|)}{||Q||_2},\end{equation}$
因此当 $\beta\to \beta^*$ $U_\beta\to U_0$ $H^1(\mathbb R^N)$ $U_\beta$ $0<\beta<\beta^*$ $x=0$ $U_\beta$ $U_0$ $Q(x)$ $Q(x)$ $|x|$ [17 ,19 ] , 因此 $x=0$ $U_0$ $x_0=0$ $U_0=\frac{Q(x)}{||Q||_2}$ .
证 对任意的 $\beta\in(0,\beta^*)$ $x_{i_0}\in Z_0$
由于 $V(x)$ $(V_1)$ $\tau\to +\infty$
(3.17) $\begin{equation}\label{3.3} \begin{split} \int_{\mathbb R^N}V(x)|u_\tau|^2\mathrm{d}x &=\frac{1}{||Q||_2^2}\int_{\mathbb R^N}V(x/\tau+x_{i_0})Q^2(x)\mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{||Q||_2^2}\int_{\mathbb R^N}\frac{V(x/\tau+x_{i_0})}{| x/\tau|^q}|x/\tau|^qQ^2(x)\mathrm{d}x\\ &=\frac{\mu_0}{||Q||_2^2\tau^q}(1+o(1)), \end{split} \end{equation}$
(3.18) $\begin{aligned} e_{\beta} \leq E_{\beta}\left(u_{\tau}\right) & =\frac{b}{4} \tau^{4}-\frac{\beta}{2\|Q\|_{2}^{\frac{8}{N}}} \tau^{4}+\frac{\mu_{0}}{2\|Q\|_{2}^{2} \tau^{q}}(1+o(1)) \\ & =\frac{\beta^{*}-\beta}{2\|Q\|_{2}^{\frac{8}{N}}} \tau^{4}+\frac{\mu_{0}}{2\|Q\|_{2}^{2} \tau^{q}}(1+o(1)) \end{aligned}$
在 (3.18) 式中令 $\tau=\left[\frac{4(\beta^*-\beta)}{q\mu_0\|Q\|_{2}^{\frac{8}{N}-2}}\right]^{-\frac{1}{q+4}}$ $\beta\to \beta^*$ $\tau\to\infty$
(3.19) $\begin{equation}\label{3.5} e_\beta\leq E_{\beta}(u_\tau)=\frac{(\beta^*-\beta)^{\frac{q}{q+4}}}{2||Q||_2^{\frac{8}{N}}} \left[\frac{4}{q\mu_0\|Q\|_{2}^{\frac{8}{N}-2}}\right]^{-\frac{4}{q+4}}+\frac{\mu_0}{2||Q||_2^2}\left[\frac{4(\beta^*-\beta)}{q\mu_0\|Q\|_{2}^{\frac{8}{N}-2}}\right]^{\frac{q}{q+4}}(1+o(1)), \end{equation}$
(3.20) $\begin{aligned} \limsup _{\beta \rightarrow \beta^{*}} \frac{e_{\beta}}{\left(\beta^{*}-\beta\right)^{\frac{q}{q+4}}} & \leq \frac{1}{2\|Q\|_{2}^{\frac{8}{N}}}\left[\frac{4}{q \mu_{0}\|Q\|_{2}^{\frac{8}{N}-2}}\right]^{-\frac{4}{q+4}}+\frac{\mu_{0}}{2\|Q\|_{2}^{2}}\left[\frac{4}{q \mu_{0}\|Q\|_{2}^{\frac{8}{N}-2}}\right]^{\frac{q}{q+4}} \\ & =\frac{q+4}{2 q\|Q\|_{2}^{\frac{8}{N}}}\left(\frac{\mu_{0} q\|Q\|_{2}^{\frac{8}{N}-2}}{4}\right)^{\frac{4}{q+4}} \end{aligned}$
下面我们证明 $\displaystyle\limsup_{\beta\to \beta^*}\frac{e_\beta}{(\beta^*-\beta)^{\frac{q}{q+4}}}$ $\beta\in(0,\beta^*)$ $u_\beta$ $e_\beta$ $u_\beta$ $z_\beta$ $\beta\to \beta^*$ $z_\beta \to z_0$ $z_0$ $V(z_0)=0$ . 我们假设对某个 $1\leq j_0\leq n$ $z_0=x_{j_0}$ . 首先我们证明下面结论成立
(3.21) $\begin{equation}\label{3.9}q_{j_0}=q\ \mbox{且}\ \left\{\frac{z_\beta-x_{j_0}}{\epsilon_\beta}\right\}\ \mbox{是有界序列}.\end{equation}$
若 (3.21) 式不成立, 则 $q_{j_0}<q$ $\lim_{\beta\to\beta^*}|\frac{z_\beta-x_{j_0}}{\epsilon_\beta}|=+\infty$ $M>0$
(3.22) $\begin{equation}\label{3.10} \begin{split} &\liminf_{\beta\to \beta^*}\frac{1}{\epsilon_{\beta}^q}\int_{\mathbb R^N}V(x)|u_\beta|^2\mathrm{d}x\\ =&\liminf_{\beta\to\beta^*}\frac{1}{\epsilon_\beta^q}\int_{\mathbb R^N}V(\epsilon_\beta x+z_\beta)|U_\beta|^2\mathrm{d}x\\ =&\liminf_{\beta\to \beta^*}\frac{1}{\epsilon_{\beta}^{q-q_{j_0}}}\int_{\mathbb R^N}\frac{V(\epsilon_\beta x+z_\beta)}{|\epsilon_\beta x+z_\beta-x_{j_0}|^{q_{j_0}}}\left|x+\frac{z_\beta-x_{j_0}}{\epsilon_\beta}\right|^{q_{j_0}}|U_\beta|^2\mathrm{d}x\ge M. \end{split} \end{equation}$
进一步, 利用 (2.1) 式和 Young 不等式有
(3.23) $\begin{equation}\label{3.12}e_{\beta}=E_\beta(u_\beta)\geq\frac{\beta^*-\beta}{2||Q||_2^{\frac{8}{N}}}\epsilon_\beta^{-4}+\frac{M}{2}\epsilon_{\beta}^q\ge CM^{\frac{4}{q+4}}(\beta^*-\beta)^{\frac{q}{q+4}}.\end{equation}$
这与 (3.20) 式矛盾, 因此 (3.21) 式成立, 从而在子列的意义下, 存在 $y_0\in\mathbb R^N$ $\beta\to \beta^*$
(3.24) $\begin{equation}\label{qq3.13}\frac{z_{\beta}-x_{j_0}}{\epsilon_{\beta}}\to y_0,\end{equation}$
(3.25) $\begin{equation}\label{3.14} \begin{split} \liminf_{\beta\to \beta^*}\frac{1}{\epsilon_\beta^q}\int_{\mathbb R^N}V(x)|u_\beta|^2\mathrm{d}x&=\liminf_{\beta\to \beta^*}\frac{1}{\epsilon_{\beta}^q}\int_{\mathbb R^N}V(\epsilon_{\beta}x+z_{\beta})|U_\beta|^2\mathrm{d}x\\ &=\liminf_{\beta\to\beta^*}\int_{\mathbb R^N}\frac{V(\epsilon_\beta x+z_\beta)}{|\epsilon_{\beta}x +z_{\beta}-x_{j_0}|^{q_{j_0}}}\left|x+\frac{z_\beta-x_{j_0}}{\epsilon_\beta}\right|^{q_{j_0}}|U_\beta|^2\mathrm{d}x\\ &=\frac{\kappa_{j_0}}{||Q||_2^2}\int_{\mathbb R^N}|x+y_0|^{q_{j_0}}Q^2(x)\mathrm{d}x\ge \frac{\mu_{j_0}}{||Q||_2^2}\ge\frac{\mu_0}{||Q||_2^2}, \end{split} \end{equation}$
(3.26) $\begin{equation}\label{3.15}e_{\beta}\ge \frac{\beta^*-\beta}{2||Q||_2^{\frac{8}{N}}}\epsilon_\beta^{-4}+\frac{\mu_0\epsilon_{\beta}^q}{2||Q||_2^2}\ge \frac{(q+4)(\beta^*-\beta)^{\frac{q}{q+4}}}{2q||Q||_2^{\frac{8}{N}}}\left(\frac{\mu_0 q||Q||_2^{\frac{8}{N}-2}}{4}\right)^{\frac{4}{q+4}}(1+o(1)),\end{equation}$
(3.27) $\begin{equation}\label{eq3.16}\liminf_{\beta\to \beta^*}\frac{e_\beta}{(\beta^*-\beta)^{\frac{q}{q+4}}}\geq \frac{q+4}{2q||Q||_2^{\frac{8}{N}}}\left(\frac{\mu_0 q||Q||_2^{\frac{8}{N}-2}}{4}\right)^{\frac{4}{q+4}}.\end{equation}$
(3.28) $\begin{equation}\label{3.16}\lim_{\beta\to \beta^*}\frac{e_\beta}{(\beta^*-\beta)^{\frac{q}{q+4}}}= \frac{q+4}{2q||Q||_2^{\frac{8}{N}}}\left(\frac{\mu_0 q||Q||_2^{\frac{8}{N}-2}}{4}\right)^{\frac{4}{q+4}},\end{equation}$
(3.28) 式说明 (3.25) 和 (3.26) 式中的不等号取等号, 此时有 $y_0=0$ $\mu_{i_0}=\mu_0$ ( 即 $z_{0}\in Z_{0}$ ) 以及当 $\beta\to\beta^*$
(3.29) $\begin{equation}\label{3.17} \epsilon_{\beta}^{-1}=\left(\int_{\mathbb R^N}|\nabla u_{\beta}|^2\mathrm{d}x\right)^{\frac{1}{2}}=\left[\frac{\mu_0 q||Q||_2^{\frac{8}{N}-2}}{4(\beta^{*}-\beta)}\right]^{\frac{1}{q+4}}(1+o(1)). \end{equation}$
因此, 根据引理 3.3, 引理 3.4, (3.24), (3.28) 以及 (3.29) 式, 我们完成了定理 1.2 的证明.
参考文献
View Option
[1]
Bao W Z Cai Y Y Mathematical theory and numerical methods for Bose-Einstein condensation
Kinet Relat Mod , 2013 , 6 1 ): 1 -135
[本文引用: 1]
[2]
Bartsch T Wang Z Q Existence and multiplicity results for some superlinear elliptic problems on $\mathbb R^N$ . Comm
Partial Differential Equations , 1995 , 20 9/10 ): 1725 -1741
[本文引用: 1]
[3]
Carrier G F On the non-linear vibration string
Quart Appl Math , 1949 , 7 97 -101
[本文引用: 1]
[4]
D'Ancona P Spagnolo S Global solvability for the degenerate Kirchhoff equation with real analytic data
Invent Math , 1992 , 108 1 ): 247 -262
[本文引用: 1]
[5]
Guo H L Zhang Y M Zhou H S Blow-up solutions for a Kirchhoff type elliptic equation with trapping potential
Commun Pure Appl Anal , 2018 , 17 5 ): 1875 -1897
[本文引用: 1]
[6]
Guo H L Zhou H S Properties of the minimizers for a constrained minimization problem arising in Kirchhoff equation
Discrete Contin Dyn Syst , 2021 , 41 3 ): 1023 -1050
[本文引用: 2]
[7]
Guo H L Zhou H S A constrained variational problem arising in attractive Bose-Einstein condensate with ellipse-shaped potential
Appl Math Lett , 2019 , 87 35 -41
[本文引用: 1]
[8]
Gidas B Ni W M Nirenberg L Symmetry of positive solutions of nonlinear elliptic equations in $\mathbb R^N$
Mathematical Analysis and Applications . 1981 , 7 369 -402
[本文引用: 1]
[9]
Gilbarg D Trudinger N S Elliptic Partial Differential Equations of Second Order . Berlin: Springer-Verlag, 1983
[本文引用: 2]
[10]
Guo Y J Lin C S Wei J C Local uniqueness and refined spike profiles of ground states for two-dimensional attractive Bose-Einstein condensates
SIAM J Math Anal , 2017 , 49 5 ): 3671 -3715
[本文引用: 1]
[11]
Guo Y J Seiringer R On the mass concentration for Bose-Einstein conden-sates with attractive interactions
Lett Math Phys , 2014 , 104 2 ): 141 -156
[本文引用: 1]
[12]
Guo Y J Wang Z Q Zeng X Y Zhou H S Properties of gound states of attractive Gross-Pitaevskii equations with multi-well potentials
Nonlinearity , 2018 , 31 3 ): 957 -979
[本文引用: 1]
[13]
Hu T X Tang C L Limiting behavior and local uniqueness of normalized solutions for mass critical Kirchhoff equations
Calc Var Partial Differential Equations , 2021 , 60 6 ): 210
[本文引用: 4]
[14]
Kirchhoff G Mechanik
Teubner Leipzing , 1883
[本文引用: 1]
[15]
Kwong M K Uniqueness of positive solutions of $\Delta u-u+u^p=0$ $\mathbb R^n$
Arch Ration Mech Anal , 1989 , 105 3 ): 243 -266
[本文引用: 1]
[16]
Li G B Ye H Y On the concentration phenomenon of $L^2$ - subcritical constrained minimizers for a class of Kirchhoff equations with potentials
J Differential Equations , 2019 , 266 11 ): 7101 -7123
[本文引用: 1]
[17]
Mcleod K Serrin J Uniqueness of solutions of semilinear Poisson equations
Proc Natl Acad Sci USA , 1981 , 78 11 ): 6592 -6595
PMID:16593115
[本文引用: 1]
Let R(n) denote n-dimensional Euclidean space, with n > 1. We study the uniqueness of positive solutions u(x), x in R(n), of the semilinear Poisson equation Deltau + f(u) = 0 under the assumption that u(x) --> 0 as x --> infinity. This type of problem arises in phase transition theory, in population genetics, and in the theory of nucleon cores, with various different forms of the driving term f(u). For the important model case f(u) = -u + u(p), where p is a constant greater than 1, our results show (i) that when the dimension n of the underlying space is 2, there is at most one solution (up to translation) for any given p and (ii) that when the dimension n is 3, there is at most one solution when 1 < p </= 3. In both cases, the solution is radially symmetric and monotonically decreasing as one moves outward from the center. For dimensions other than 2 or 3, and indeed for the analogous cases of a real dimensional parameter n > 1, we obtain corresponding results. We note finally, again for the model case, that existence holds for 1 < p < (n + 2)/(n - 2); thus, there remains an interesting difference between the parameter ranges for which existence and uniqueness are established.
[18]
Pitaevskii L Stringari S Bose-Einstein Condensation, International Series of Monographs on Physics
The Clarendon Press, Oxford University Press , 2003
[本文引用: 1]
[19]
Weinstein M I Nonlinear Schrödinger equations and sharp interpolation estimates
Comm Math Phys , 1982 , 87 4 ): 567 -576
[本文引用: 2]
[20]
Ye H Y The existence of normalized solutions for $L^2$ - critical constrained problems related to Kirchhoff equations
Z Angew Math Phys , 2015 , 66 4 ): 1483 -1497
[本文引用: 1]
[21]
Ye H Y The mass concentration phenomenon for $L^2$ - critical constrained problems related to Kirchhoff equations
Z Angew Math Phys , 2016 , 67 2 ): 29
[本文引用: 1]
[22]
Zeng X Y Zhang Y M Existence and uniqueness of normalized solutions for the Kirchhoff equation
Appl Math Lett , 2017 , 74 52 -59
[本文引用: 1]
Mathematical theory and numerical methods for Bose-Einstein condensation
1
2013
... 在近些年来, 对方程 (1.3) 的正规化解的研究引起了众多学者的兴趣. 当 $a=1$ $b=0$ $V(x)\not\equiv0$ 11 ] 中研究了方程 (1.3), 获得了该方程正规化解的存在性与非存在性结果, 进一步, 当参数 $\beta$ $\beta$ 10 ] 中还证明了方程 (1.3) 正规化解的局部唯一性结果. 当 $a>0$ $b>0$ $V(x)\equiv0$ [22 ] 中作者证明了方程 (1.3) 正规化解的唯一性结果, 并给出了正规化解的具体表达形式. 当 $a>0$ $b>0$ $V(x)\not\equiv0$ 5 ] 中作者给出了方程 (1.3) 正规化解的存在性与非存在性结果, 并证明了指标 $p$ $\frac{8}{N}$ $a=1$ $b>0$ $V(x)\not\equiv0$ 6 ] 中进一步证明了参数 $b$ $a>0$ $b>0$ $V(x)\not\equiv0$ 13 ] 中得到了参数 $a$ 1 ,7 ,12 ,16 ,18 ,20 ,21 ]. ...
Existence and multiplicity results for some superlinear elliptic problems on $\mathbb R^N$ . Comm
1
1995
... 在给出定理 1.1 的证明之前, 我们先给出下面的紧性引理[2 ] ...
On the non-linear vibration string
1
1949
... 其中 $M(s)$ $s$ $s\ge 0$ $M(s)\ge 0 $ . 方程 (1.4) 由 Kirchhoff[14 ] 在 1883 年提出, 推广了 D'Alembert 方程, 描述了弹性绳的自由振动, 更多关于方程 (1.4) 的相关背景见文献 [3 ,4 ]. 方程 (1.3) 在描述一些与均值相关的系统中得到广泛运用, 因为该方程加入了非局部项 $\int_{\mathbb R^N}|\nabla u|^2\mathrm{d}x$
Global solvability for the degenerate Kirchhoff equation with real analytic data
1
1992
... 其中 $M(s)$ $s$ $s\ge 0$ $M(s)\ge 0 $ . 方程 (1.4) 由 Kirchhoff[14 ] 在 1883 年提出, 推广了 D'Alembert 方程, 描述了弹性绳的自由振动, 更多关于方程 (1.4) 的相关背景见文献 [3 ,4 ]. 方程 (1.3) 在描述一些与均值相关的系统中得到广泛运用, 因为该方程加入了非局部项 $\int_{\mathbb R^N}|\nabla u|^2\mathrm{d}x$
Blow-up solutions for a Kirchhoff type elliptic equation with trapping potential
1
2018
... 在近些年来, 对方程 (1.3) 的正规化解的研究引起了众多学者的兴趣. 当 $a=1$ $b=0$ $V(x)\not\equiv0$ 11 ] 中研究了方程 (1.3), 获得了该方程正规化解的存在性与非存在性结果, 进一步, 当参数 $\beta$ $\beta$ 10 ] 中还证明了方程 (1.3) 正规化解的局部唯一性结果. 当 $a>0$ $b>0$ $V(x)\equiv0$ [22 ] 中作者证明了方程 (1.3) 正规化解的唯一性结果, 并给出了正规化解的具体表达形式. 当 $a>0$ $b>0$ $V(x)\not\equiv0$ 5 ] 中作者给出了方程 (1.3) 正规化解的存在性与非存在性结果, 并证明了指标 $p$ $\frac{8}{N}$ $a=1$ $b>0$ $V(x)\not\equiv0$ 6 ] 中进一步证明了参数 $b$ $a>0$ $b>0$ $V(x)\not\equiv0$ 13 ] 中得到了参数 $a$ 1 ,7 ,12 ,16 ,18 ,20 ,21 ]. ...
Properties of the minimizers for a constrained minimization problem arising in Kirchhoff equation
2
2021
... 在近些年来, 对方程 (1.3) 的正规化解的研究引起了众多学者的兴趣. 当 $a=1$ $b=0$ $V(x)\not\equiv0$ 11 ] 中研究了方程 (1.3), 获得了该方程正规化解的存在性与非存在性结果, 进一步, 当参数 $\beta$ $\beta$ 10 ] 中还证明了方程 (1.3) 正规化解的局部唯一性结果. 当 $a>0$ $b>0$ $V(x)\equiv0$ [22 ] 中作者证明了方程 (1.3) 正规化解的唯一性结果, 并给出了正规化解的具体表达形式. 当 $a>0$ $b>0$ $V(x)\not\equiv0$ 5 ] 中作者给出了方程 (1.3) 正规化解的存在性与非存在性结果, 并证明了指标 $p$ $\frac{8}{N}$ $a=1$ $b>0$ $V(x)\not\equiv0$ 6 ] 中进一步证明了参数 $b$ $a>0$ $b>0$ $V(x)\not\equiv0$ 13 ] 中得到了参数 $a$ 1 ,7 ,12 ,16 ,18 ,20 ,21 ]. ...
... 在文献 [13 ] 的定理 1.1 中, 作者给出了参数 $\beta=1$ $S=\{u\in \mathcal{H}:\int_{\mathbb R^N}|u|^2\mathrm{d}x=c^{2},\ c>0\}$ $\beta>0$ $S=\left\{u\in \mathcal{H}:\int_{\mathbb R^N}|u|^2\mathrm{d}x=1\right\}$ 6 ] 的方法, 我们还给出了参数 $\beta\to\beta^{\ast}$ 13 ] 的相关结果. ...
A constrained variational problem arising in attractive Bose-Einstein condensate with ellipse-shaped potential
1
2019
... 在近些年来, 对方程 (1.3) 的正规化解的研究引起了众多学者的兴趣. 当 $a=1$ $b=0$ $V(x)\not\equiv0$ 11 ] 中研究了方程 (1.3), 获得了该方程正规化解的存在性与非存在性结果, 进一步, 当参数 $\beta$ $\beta$ 10 ] 中还证明了方程 (1.3) 正规化解的局部唯一性结果. 当 $a>0$ $b>0$ $V(x)\equiv0$ [22 ] 中作者证明了方程 (1.3) 正规化解的唯一性结果, 并给出了正规化解的具体表达形式. 当 $a>0$ $b>0$ $V(x)\not\equiv0$ 5 ] 中作者给出了方程 (1.3) 正规化解的存在性与非存在性结果, 并证明了指标 $p$ $\frac{8}{N}$ $a=1$ $b>0$ $V(x)\not\equiv0$ 6 ] 中进一步证明了参数 $b$ $a>0$ $b>0$ $V(x)\not\equiv0$ 13 ] 中得到了参数 $a$ 1 ,7 ,12 ,16 ,18 ,20 ,21 ]. ...
Symmetry of positive solutions of nonlinear elliptic equations in $\mathbb R^N$
1
1981
... 其中 $Q(x)$ 8 ,15 ] 可知, 当 $|x|\to\infty$
2
1983
... 利用文献 [9 ] 中的标准椭圆正则性理论和强极大值原理可以得到 $u_{0}$ $\mathbb R^N$ $e_{\beta^*}$ $e_{\beta^*}$
... 利用 (3.11) 式以及 De Giorgi-Nash-Morser 理论[9 ] , 对任意 $\xi\in \mathbb R^N$
Local uniqueness and refined spike profiles of ground states for two-dimensional attractive Bose-Einstein condensates
1
2017
... 在近些年来, 对方程 (1.3) 的正规化解的研究引起了众多学者的兴趣. 当 $a=1$ $b=0$ $V(x)\not\equiv0$ 11 ] 中研究了方程 (1.3), 获得了该方程正规化解的存在性与非存在性结果, 进一步, 当参数 $\beta$ $\beta$ 10 ] 中还证明了方程 (1.3) 正规化解的局部唯一性结果. 当 $a>0$ $b>0$ $V(x)\equiv0$ [22 ] 中作者证明了方程 (1.3) 正规化解的唯一性结果, 并给出了正规化解的具体表达形式. 当 $a>0$ $b>0$ $V(x)\not\equiv0$ 5 ] 中作者给出了方程 (1.3) 正规化解的存在性与非存在性结果, 并证明了指标 $p$ $\frac{8}{N}$ $a=1$ $b>0$ $V(x)\not\equiv0$ 6 ] 中进一步证明了参数 $b$ $a>0$ $b>0$ $V(x)\not\equiv0$ 13 ] 中得到了参数 $a$ 1 ,7 ,12 ,16 ,18 ,20 ,21 ]. ...
On the mass concentration for Bose-Einstein conden-sates with attractive interactions
1
2014
... 在近些年来, 对方程 (1.3) 的正规化解的研究引起了众多学者的兴趣. 当 $a=1$ $b=0$ $V(x)\not\equiv0$ 11 ] 中研究了方程 (1.3), 获得了该方程正规化解的存在性与非存在性结果, 进一步, 当参数 $\beta$ $\beta$ 10 ] 中还证明了方程 (1.3) 正规化解的局部唯一性结果. 当 $a>0$ $b>0$ $V(x)\equiv0$ [22 ] 中作者证明了方程 (1.3) 正规化解的唯一性结果, 并给出了正规化解的具体表达形式. 当 $a>0$ $b>0$ $V(x)\not\equiv0$ 5 ] 中作者给出了方程 (1.3) 正规化解的存在性与非存在性结果, 并证明了指标 $p$ $\frac{8}{N}$ $a=1$ $b>0$ $V(x)\not\equiv0$ 6 ] 中进一步证明了参数 $b$ $a>0$ $b>0$ $V(x)\not\equiv0$ 13 ] 中得到了参数 $a$ 1 ,7 ,12 ,16 ,18 ,20 ,21 ]. ...
Properties of gound states of attractive Gross-Pitaevskii equations with multi-well potentials
1
2018
... 在近些年来, 对方程 (1.3) 的正规化解的研究引起了众多学者的兴趣. 当 $a=1$ $b=0$ $V(x)\not\equiv0$ 11 ] 中研究了方程 (1.3), 获得了该方程正规化解的存在性与非存在性结果, 进一步, 当参数 $\beta$ $\beta$ 10 ] 中还证明了方程 (1.3) 正规化解的局部唯一性结果. 当 $a>0$ $b>0$ $V(x)\equiv0$ [22 ] 中作者证明了方程 (1.3) 正规化解的唯一性结果, 并给出了正规化解的具体表达形式. 当 $a>0$ $b>0$ $V(x)\not\equiv0$ 5 ] 中作者给出了方程 (1.3) 正规化解的存在性与非存在性结果, 并证明了指标 $p$ $\frac{8}{N}$ $a=1$ $b>0$ $V(x)\not\equiv0$ 6 ] 中进一步证明了参数 $b$ $a>0$ $b>0$ $V(x)\not\equiv0$ 13 ] 中得到了参数 $a$ 1 ,7 ,12 ,16 ,18 ,20 ,21 ]. ...
Limiting behavior and local uniqueness of normalized solutions for mass critical Kirchhoff equations
4
2021
... 在近些年来, 对方程 (1.3) 的正规化解的研究引起了众多学者的兴趣. 当 $a=1$ $b=0$ $V(x)\not\equiv0$ 11 ] 中研究了方程 (1.3), 获得了该方程正规化解的存在性与非存在性结果, 进一步, 当参数 $\beta$ $\beta$ 10 ] 中还证明了方程 (1.3) 正规化解的局部唯一性结果. 当 $a>0$ $b>0$ $V(x)\equiv0$ [22 ] 中作者证明了方程 (1.3) 正规化解的唯一性结果, 并给出了正规化解的具体表达形式. 当 $a>0$ $b>0$ $V(x)\not\equiv0$ 5 ] 中作者给出了方程 (1.3) 正规化解的存在性与非存在性结果, 并证明了指标 $p$ $\frac{8}{N}$ $a=1$ $b>0$ $V(x)\not\equiv0$ 6 ] 中进一步证明了参数 $b$ $a>0$ $b>0$ $V(x)\not\equiv0$ 13 ] 中得到了参数 $a$ 1 ,7 ,12 ,16 ,18 ,20 ,21 ]. ...
... 在文献 [13 ] 的定理 1.1 中, 作者给出了参数 $\beta=1$ $S=\{u\in \mathcal{H}:\int_{\mathbb R^N}|u|^2\mathrm{d}x=c^{2},\ c>0\}$ $\beta>0$ $S=\left\{u\in \mathcal{H}:\int_{\mathbb R^N}|u|^2\mathrm{d}x=1\right\}$ 6 ] 的方法, 我们还给出了参数 $\beta\to\beta^{\ast}$ 13 ] 的相关结果. ...
... 时问题 (1.2) 极小元的集中性质, 这丰富了文献 [13 ] 的相关结果. ...
... 下面我们给出定理 1.1 的证明, 相关证明参考了文献 [13 ] 的证明方法. ...
Mechanik
1
1883
... 其中 $M(s)$ $s$ $s\ge 0$ $M(s)\ge 0 $ . 方程 (1.4) 由 Kirchhoff[14 ] 在 1883 年提出, 推广了 D'Alembert 方程, 描述了弹性绳的自由振动, 更多关于方程 (1.4) 的相关背景见文献 [3 ,4 ]. 方程 (1.3) 在描述一些与均值相关的系统中得到广泛运用, 因为该方程加入了非局部项 $\int_{\mathbb R^N}|\nabla u|^2\mathrm{d}x$
Uniqueness of positive solutions of $\Delta u-u+u^p=0$ in $\mathbb R^n$
1
1989
... 其中 $Q(x)$ 8 ,15 ] 可知, 当 $|x|\to\infty$
On the concentration phenomenon of $L^2$ -subcritical constrained minimizers for a class of Kirchhoff equations with potentials
1
2019
... 在近些年来, 对方程 (1.3) 的正规化解的研究引起了众多学者的兴趣. 当 $a=1$ $b=0$ $V(x)\not\equiv0$ 11 ] 中研究了方程 (1.3), 获得了该方程正规化解的存在性与非存在性结果, 进一步, 当参数 $\beta$ $\beta$ 10 ] 中还证明了方程 (1.3) 正规化解的局部唯一性结果. 当 $a>0$ $b>0$ $V(x)\equiv0$ [22 ] 中作者证明了方程 (1.3) 正规化解的唯一性结果, 并给出了正规化解的具体表达形式. 当 $a>0$ $b>0$ $V(x)\not\equiv0$ 5 ] 中作者给出了方程 (1.3) 正规化解的存在性与非存在性结果, 并证明了指标 $p$ $\frac{8}{N}$ $a=1$ $b>0$ $V(x)\not\equiv0$ 6 ] 中进一步证明了参数 $b$ $a>0$ $b>0$ $V(x)\not\equiv0$ 13 ] 中得到了参数 $a$ 1 ,7 ,12 ,16 ,18 ,20 ,21 ]. ...
Uniqueness of solutions of semilinear Poisson equations
1
1981
... 因此当 $\beta\to \beta^*$ $U_\beta\to U_0$ $H^1(\mathbb R^N)$ $U_\beta$ $0<\beta<\beta^*$ $x=0$ $U_\beta$ $U_0$ $Q(x)$ $Q(x)$ $|x|$ [17 ,19 ] , 因此 $x=0$ $U_0$ $x_0=0$ $U_0=\frac{Q(x)}{||Q||_2}$ . ...
Bose-Einstein Condensation, International Series of Monographs on Physics
1
2003
... 在近些年来, 对方程 (1.3) 的正规化解的研究引起了众多学者的兴趣. 当 $a=1$ $b=0$ $V(x)\not\equiv0$ 11 ] 中研究了方程 (1.3), 获得了该方程正规化解的存在性与非存在性结果, 进一步, 当参数 $\beta$ $\beta$ 10 ] 中还证明了方程 (1.3) 正规化解的局部唯一性结果. 当 $a>0$ $b>0$ $V(x)\equiv0$ [22 ] 中作者证明了方程 (1.3) 正规化解的唯一性结果, 并给出了正规化解的具体表达形式. 当 $a>0$ $b>0$ $V(x)\not\equiv0$ 5 ] 中作者给出了方程 (1.3) 正规化解的存在性与非存在性结果, 并证明了指标 $p$ $\frac{8}{N}$ $a=1$ $b>0$ $V(x)\not\equiv0$ 6 ] 中进一步证明了参数 $b$ $a>0$ $b>0$ $V(x)\not\equiv0$ 13 ] 中得到了参数 $a$ 1 ,7 ,12 ,16 ,18 ,20 ,21 ]. ...
Nonlinear Schr?dinger equations and sharp interpolation estimates
2
1982
... 首先介绍下面的 Gagliardo-Nirenberg 不等式[19 ] ...
... 因此当 $\beta\to \beta^*$ $U_\beta\to U_0$ $H^1(\mathbb R^N)$ $U_\beta$ $0<\beta<\beta^*$ $x=0$ $U_\beta$ $U_0$ $Q(x)$ $Q(x)$ $|x|$ [17 ,19 ] , 因此 $x=0$ $U_0$ $x_0=0$ $U_0=\frac{Q(x)}{||Q||_2}$ . ...
The existence of normalized solutions for $L^2$ -critical constrained problems related to Kirchhoff equations
1
2015
... 在近些年来, 对方程 (1.3) 的正规化解的研究引起了众多学者的兴趣. 当 $a=1$ $b=0$ $V(x)\not\equiv0$ 11 ] 中研究了方程 (1.3), 获得了该方程正规化解的存在性与非存在性结果, 进一步, 当参数 $\beta$ $\beta$ 10 ] 中还证明了方程 (1.3) 正规化解的局部唯一性结果. 当 $a>0$ $b>0$ $V(x)\equiv0$ [22 ] 中作者证明了方程 (1.3) 正规化解的唯一性结果, 并给出了正规化解的具体表达形式. 当 $a>0$ $b>0$ $V(x)\not\equiv0$ 5 ] 中作者给出了方程 (1.3) 正规化解的存在性与非存在性结果, 并证明了指标 $p$ $\frac{8}{N}$ $a=1$ $b>0$ $V(x)\not\equiv0$ 6 ] 中进一步证明了参数 $b$ $a>0$ $b>0$ $V(x)\not\equiv0$ 13 ] 中得到了参数 $a$ 1 ,7 ,12 ,16 ,18 ,20 ,21 ]. ...
The mass concentration phenomenon for $L^2$ -critical constrained problems related to Kirchhoff equations
1
2016
... 在近些年来, 对方程 (1.3) 的正规化解的研究引起了众多学者的兴趣. 当 $a=1$ $b=0$ $V(x)\not\equiv0$ 11 ] 中研究了方程 (1.3), 获得了该方程正规化解的存在性与非存在性结果, 进一步, 当参数 $\beta$ $\beta$ 10 ] 中还证明了方程 (1.3) 正规化解的局部唯一性结果. 当 $a>0$ $b>0$ $V(x)\equiv0$ [22 ] 中作者证明了方程 (1.3) 正规化解的唯一性结果, 并给出了正规化解的具体表达形式. 当 $a>0$ $b>0$ $V(x)\not\equiv0$ 5 ] 中作者给出了方程 (1.3) 正规化解的存在性与非存在性结果, 并证明了指标 $p$ $\frac{8}{N}$ $a=1$ $b>0$ $V(x)\not\equiv0$ 6 ] 中进一步证明了参数 $b$ $a>0$ $b>0$ $V(x)\not\equiv0$ 13 ] 中得到了参数 $a$ 1 ,7 ,12 ,16 ,18 ,20 ,21 ]. ...
Existence and uniqueness of normalized solutions for the Kirchhoff equation
1
2017
... 在近些年来, 对方程 (1.3) 的正规化解的研究引起了众多学者的兴趣. 当 $a=1$ $b=0$ $V(x)\not\equiv0$ 11 ] 中研究了方程 (1.3), 获得了该方程正规化解的存在性与非存在性结果, 进一步, 当参数 $\beta$ $\beta$ 10 ] 中还证明了方程 (1.3) 正规化解的局部唯一性结果. 当 $a>0$ $b>0$ $V(x)\equiv0$ [22 ] 中作者证明了方程 (1.3) 正规化解的唯一性结果, 并给出了正规化解的具体表达形式. 当 $a>0$ $b>0$ $V(x)\not\equiv0$ 5 ] 中作者给出了方程 (1.3) 正规化解的存在性与非存在性结果, 并证明了指标 $p$ $\frac{8}{N}$ $a=1$ $b>0$ $V(x)\not\equiv0$ 6 ] 中进一步证明了参数 $b$ $a>0$ $b>0$ $V(x)\not\equiv0$ 13 ] 中得到了参数 $a$ 1 ,7 ,12 ,16 ,18 ,20 ,21 ]. ...
