本文中, 我们考虑下面的质量临界 Kirchhoff 型方程的正规化解 (即 $L^2$ 范数等于 1)

其中 $b>0$, $N=1,2,3$. 根据 Lagrange 乘子原理可知求解方程 (1.1) 等价于研究下面的极小化问题

其中

方程 (1.1) 来源于下面的 Kirchhoff 型椭圆方程

并且当 $a=0$, $p=\frac{8}{N}$ 时, 方程 (1.3) 则为方程 (1.1). 方程 (1.3) 本质上是下面方程的稳态情况

其中 $M(s)$ 是一个关于 $s$ 的连续函数, 并且当 $s\ge 0$ 时, $M(s)\ge 0$. 方程 (1.4) 由 Kirchhoff^[14] 在 1883 年提出, 推广了 D'Alembert 方程, 描述了弹性绳的自由振动, 更多关于方程 (1.4) 的相关背景见文献 [3,4]. 方程 (1.3) 在描述一些与均值相关的系统中得到广泛运用, 因为该方程加入了非局部项 $\int_{\mathbb R^N}|\nabla u|^2\mathrm{d}x$, 对其相关性质的研究带来了一些困难.

在近些年来, 对方程 (1.3) 的正规化解的研究引起了众多学者的兴趣. 当 $a=1$, $b=0$, $V(x)\not\equiv0$ 时, 作者在文献 [11] 中研究了方程 (1.3), 获得了该方程正规化解的存在性与非存在性结果, 进一步, 当参数 $\beta$ 趋于某个临界门槛值时, 他们还给出了正规化解的集中行为结果. 此外, 当参数 $\beta$ 充分靠近某个临界门槛值时, 作者在文献 [10] 中还证明了方程 (1.3) 正规化解的局部唯一性结果. 当 $a>0$, $b>0$, 位势函数 $V(x)\equiv0$ 时, 在文献^[22] 中作者证明了方程 (1.3) 正规化解的唯一性结果, 并给出了正规化解的具体表达形式. 当 $a>0$, $b>0$, $V(x)\not\equiv0$ 时, 在文献 [5] 中作者给出了方程 (1.3) 正规化解的存在性与非存在性结果, 并证明了指标 $p$ 靠近质量临界指标 $\frac{8}{N}$ 时正规化解的集中行为结果. 当 $a=1$, $b>0$, $V(x)\not\equiv0$ 时, 作者在文献 [6] 中进一步证明了参数 $b$ 充分靠近 0 时方程 (1.3) 正规化解的局部唯一性结果. 此外, 当 $a>0$, $b>0$, $V(x)\not\equiv0$ 时, 作者在文献 [13] 中得到了参数 $a$ 充分靠近 0 时方程 (1.3) 正规化解的局部唯一性结果. 更多关于方程 (1.3) 的其它结果见文献 [1,7,12,16,18,20,21].

受到上述文献的启发, 在本文中我们主要研究问题 (1.2) 极小元的相关性质. 一方面, 我们将证明问题 (1.2) 极小元的存在性与非存在性结果. 另一方面, 在弄清极小元存在性的基础上, 我们进一步给出参数 $\beta$ 接近某个临界门槛值时极小元的集中行为结果. 首先假设位势函数 $V(x)$ 满足以下条件

$(V_{1})$ 存在 $q_j>0\ (j=1,2,\cdots,n)$ 以及函数 $h(x)\in C^1(\mathbb R^N)$ 成立

其中对任意的 $x\in \mathbb R^N$, $0<\frac{1}{C}\leq h(x)\leq C$ 总成立.

令

定义

记

下面我们首先给出问题 (1.2) 极小元的存在性结果.

定理 1.1 假设 $V(x)\in L_{loc}^{\infty}(\mathbb R^N)$ 满足当 $|x|\to +\infty$ 时 $V(x)\to +\infty$, 并且 $\widetilde{Z}=\{x\in \mathbb R^N: V(x)=0\}\neq\emptyset$, 那么若 $0<\beta<\beta^*=\frac{b}{2}||Q||_2^{\frac{8}{N}}$, 则 $e_\beta$ 至少存在一个极小元, 若 $\beta\ge \beta^*$, 则 $e_\beta$ 不存在极小元, 此时最小能量 $e_{\beta}$ 满足当 $\beta=\beta^*$ 时, $e_{\beta^*}=0$, 当 $\beta>\beta^*$ 时, $e_\beta=-\infty$.

在定理 1.1 极小元存在性结果的基础上, 我们进一步得到如下极小元的集中行为

定理 1.2 假设条件 $(V_1)$ 成立, 对于任意的 $\beta\in(0,\beta^*)$, 设 $u_\beta$ 是 $e_\beta$ 的一个极小元, $z_\beta \in \mathbb R^N$ 为 $u_{\beta}(x)$ 的全局最大值点, 则存在 $\lambda_\beta<0$, $z_0\in Z_0$ 使得 $(u_\beta,\lambda_\beta)$ 为方程 (1.1) 的解, 并且当 $\beta\to\beta^*$ 时,

这里当 $\beta\to \beta^*$ 时,

此外, 当 $\beta\to \beta^*$ 时,

定理 2 说明了当 $\beta\to\beta^*$ 时, $e_{\beta}$ 的极小元必将收敛到位势函数 $V(x)$ 的其中一个最平坦的最小值点上, 并且我们给出了最小能量 $e_{\beta}$ 的精确估计. 因为对几乎处处的 $x\in\mathbb R^N$, $|\nabla u|=|\nabla |u||$, 不失一般性, 我们假定本文中 $e_{\beta}$ 的极小元都是非负的.

在文献 [13] 的定理 1.1 中, 作者给出了参数 $\beta=1$ 以及球 $S=\{u\in \mathcal{H}:\int_{\mathbb R^N}|u|^2\mathrm{d}x=c^{2},\ c>0\}$ 时问题 (1.2) 极小元的存在性与非存在性结果. 在本文的定理 1.1 中, 我们给出了参数 $\beta>0$ 以及单位球 $S=\left\{u\in \mathcal{H}:\int_{\mathbb R^N}|u|^2\mathrm{d}x=1\right\}$ 时问题 (1.2) 极小元的存在性与非存在性结果. 进一步, 借助文献 [6] 的方法, 我们还给出了参数 $\beta\to\beta^{\ast}$ 时问题 (1.2) 极小元的集中性质, 这丰富了文献 [13] 的相关结果.

首先介绍下面的 Gagliardo-Nirenberg 不等式^[19]

其中 $Q(x)$ 是方程 (1.5) 的解, 并且由文献 [8,15] 可知, 当 $|x|\to\infty$ 时,

此外, 根据方程 (1.5) 并结合 Pohozaev 等式有

在给出定理 1.1 的证明之前, 我们先给出下面的紧性引理^[2]

引理 2.1 设 $V(x)\in L_{loc}^{\infty}(\mathbb R^N)$ 满足 $\min\limits_{x\in \mathbb R^N}V(x)=0$, $\displaystyle\lim_{|x|\to +\infty}V(x)= +\infty$. 则嵌入 $\mathcal{H}\hookrightarrow L^p(\mathbb R^N)$ 是紧嵌入, 其中当 $N\ge3$ 时, $p\in[2,\frac{2N}{N-2})$, 当 $N=1,2$ 时, $p\in[2,+\infty)$.

下面我们给出定理 1.1 的证明, 相关证明参考了文献 [13] 的证明方法.

证 (1) (极小元的存在性) 若 $0<\beta<\beta^*$, 设 $\{u_n\}$ 为 $e_\beta$ 的极小化序列且满足 $||u_n||_2=1$, 由于当 $n\to\infty$ 时, $E_\beta(u_n)\to e_\beta$, 利用 (2.1) 式有

因为 $0<\beta<\beta^*$, 所以序列 $\{u_n\}$ 在 $\mathcal{H}$ 中是有界序列, 从而存在 $u_0\in\mathcal{H}$ 使得当 $n\to+\infty$ 时, 有 $u_n\rightharpoonup u_0$ 在 $\mathcal{H}$ 中弱收敛, 进一步由引理 2.1 可知 $u_n\to u_0$ 在空间 $L^p(\mathbb R^N)$ 中成立 (其中 $p\in [2,2^*)$). 下面考虑

由于泛函 $A(u)=\int_{\mathbb R^N} \nabla u_0\cdot \nabla u\mathrm{d}x$ 是线性的且在 $\mathcal{H}$ 中是弱连续的, 在 (2.4) 式中令 $n\to +\infty$, 我们可以得到

从而利用 $\mathcal{H}$ 中范数的弱下半连续性有

由引理 2.1 可知 $||u_0||_2=\displaystyle\lim_{n\to\infty}||u_n||_2=1$, 利用 $e_\beta$ 的定义有 $e_\beta\leq E_\beta(u_0)$, 结合 (2.5) 式可知 $e_\beta= E_\beta(u_0)$, 从而 $u_0$ 是 $e_\beta$ 的一个极小元.

(2) ($\beta>\beta^*$ 时极小元的非存在性) 设 $\phi\in C_0^{\infty}(\mathbb R^N)$ 是一个径向截断函数, 并且对任意的 $x\in \mathbb R^N$, $0\leq \phi \leq 1$, $|\nabla \phi(x)|\leq 2$, 此外, 当 $|x|\leq 1$ 时, $\phi(x)=1$, 当 $|x|>2$ 时, $\phi(x)=0$. 对于任意的 $\delta>0$, $\tau>0$, $\bar{x}\in \widetilde{Z}$, 定义

其中 $A_{\delta,\tau}$ 的选取满足 $\int\limits_{\mathbb R^N}|Q_{\delta,\tau}|^2\mathrm{d}x=1$. 利用 (2.2) 式可知当 $\delta\tau>0$ 足够大时, 有

从而当 $\delta\tau\to +\infty$ 时, $A_{\delta,\tau}\to 1$. 令 $\delta=\tau^{-\frac{1}{2}}$, 因此当 $\tau\to +\infty$ 时, 有

利用 (2.6) 与 (2.7) 式, 当 $\delta \tau\to+\infty$ 时, 有

利用 (2.8), (2.9) 和 (2.18) 式可以推出

因为 $\beta>\beta^*$, 在 (2.11) 式中令 $\delta\tau\to +\infty$ 可得 $e_\beta=-\infty$, 此时 $e_\beta$ 不存在极小元.

(3) ($\beta=\beta^*$ 时极小元的非存在性) 下面我们用反证法证明, 假设 $e_{\beta^*}$ 存在极小可达元 $u_0$, 故 $u_0$ 满足下面方程

在 (2.11) 式中令 $\beta=\beta^*$, 利用 (2.1) 式, 当 $\delta\tau\to +\infty$ 时有

故 $e_{\beta^*}=0$, 且 $u_{0}(x)$ 在 $\mathbb R^N\backslash \widetilde{Z}$ 中恒等于 0. 在方程 (2.12) 中等式两边同时乘以 $u_{0}$ 并在 $\mathbb R^N$ 中积分可得

因此 $\lambda<0$, 并且 $u$ 在 $\widetilde{Z} \subset \mathbb R^N$ 中满足下面方程

利用文献 [9] 中的标准椭圆正则性理论和强极大值原理可以得到 $u_{0}$ 在 $\mathbb R^N$ 中恒为 0, 这与假设 $e_{\beta^*}$ 存在极小元矛盾, 故 $e_{\beta^*}$ 不存在极小元.

在本节中我们将证明定理 1.2, 我们首先对 $\beta\to\beta^*$ 时最小能量 $e_\beta$ 进行估计.

引理 3.1 当 $\beta\to \beta^{*}$ 时, 问题 (1.2) 的最小能量 $e_\beta$ 满足 $e_\beta \to 0$.

证 对任意的 $\beta\in(0,\beta^*)$ 以及 $u\in S$, 利用 (2.1) 式有

故 $e_\beta\ge 0$. 选取试探函数 $Q_{\delta,\tau}(x)$, 其中 $Q_{\delta,\tau}(x)$ 由 (2.6) 式定义, 则当 $\delta\tau\to\infty$ 时, 利用 (2.8), (2.9) 以及 (2.10) 式有

由于 $\beta^*=\frac{b}{2}||Q||_2^\frac{8}{N},$ 在 (3.1) 式中我们首先令 $\beta\to \beta^*$, 再让 $\delta\tau\to +\infty$, 则有

故引理结论成立.

引理 3.2 当 $\beta\to \beta^*$ 时, (1.8) 式中定义的 $\epsilon_{\beta}$ 满足 $\epsilon_\beta\to 0.$

证 下面我们采用反证法证明该引理, 假设存在一个常数 $C>0$ 使得当 $\beta\to \beta^{*}$ 时 $\epsilon_\beta\ge \frac{1}{C^{1/2}}>0$, 则根据 $\epsilon_{\beta}$ 的定义有

由于 $\beta<\beta^*$, 利用 (2.1) 式有

根据引理 3.1 和 (3.2) 式, 当 $\beta$ 充分靠近 $\beta^*$ 时有

因此存在常数 $C'>0$ 使得 $||u_\beta||_{\mathcal{H}}\leq C'$. 利用引理 2.1 可知当 $\beta\to\beta^{*}$ 时, 存在 $u_0\in \mathcal H$ 使得在子列的意义下 $u_\beta \rightharpoonup u_0$ 在 $\mathcal H$ 中弱收敛, 从而 $u_\beta\to u_0$ 在 $L^p(\mathbb R^N)$ 强收敛, 其中当 $N\ge3$ 时 $p\in[2,\frac{2N}{N-2})$, 当 $N=1,2$ 时 $p\in[2,+\infty)$, 进一步有 $\int_{\mathbb R^N}|u_0|^2\mathrm{d}x=1$. 最后利用 $\mathcal{H}$ 范数的弱下半连续性有

这说明 $u_0\neq 0$ 是 $e_{\beta^*}$ 的极小元, 这与 $e_{\beta^*}$ 不存在极小元矛盾, 因此假设不成立, 故引理结论成立.

接下来, 我们对 Lagrange 乘子 $\lambda_{\beta}$ 进行估计.

引理 3.3 当 $\beta\to \beta^*$ 时, Lagrange 乘子 $\lambda_\beta$ 满足 $\lambda_\beta \epsilon_{\beta}^4\to \frac{b(N-4)}{2N}$, 其中 $\epsilon_\beta$ 由 (1.8) 式定义.

证 首先对任意的 $\beta\in(0,\beta^*)$, 令 $u_{\beta}$ 为 $e_{\beta}$ 的极小元, 则根据 (2.1) 式有

利用引理 3.1, 在 (3.4) 式中令 $\beta\to \beta^*$ 有

因此当 $\beta\to \beta^*$ 时有

利用引理 3.1 以及 (2.1) 式, 当 $\beta\to \beta^*$ 时有

因为 $u_{\beta}$ 满足方程 (2.12), 所以在方程 (2.12) 等号两边同时乘以 $u_{\beta}$ 并在 $\mathbb R^N$ 中积分有

从而利用 (3.6), (3.7) 以及 (3.8) 式可知, 当 $\beta\to \beta^*$ 时有

证毕.

引理 3.4 对任意 $\beta\in(0,\beta^*)$, 令 $u_\beta$ 为 $e_\beta$ 的极小元以及 $z_\beta$ 是 $u_\beta$ 的全局最大值点, 则存在 $\eta>0$, 当 $\beta\to\beta^*$ 时有

其中 $U_\beta$ 由 (1.7) 式定义.

证 因为 $u_{\beta}$ 满足方程 (2.12), 则 $U_\beta$ 满足下面方程

由于 $U_\beta$ 在 $x=0$ 处取得最大值, 则有 $-\Delta U_\beta(0)\ge 0$, 因此方程 (3.9) 等号的左端大于 0, 结合引理 3.3 以及 (3.9) 式可知, 当 $\beta\to \beta^*$ 时有

由于 $V(x)\ge 0$ 以及当 $\beta$ 充分靠近 $\beta^*$ 时有 $\epsilon_\beta^4\lambda_\beta\leq 0$, 因此

利用 (3.11) 式以及 De Giorgi-Nash-Morser 理论^[9], 对任意 $\xi\in \mathbb R^N$ 有

特别地, 在 (3.12) 式中取 $\xi=0$, 由 (3.10) 与 (3.12) 式可知当 $\beta\to \beta^*$ 时, 存在 $\eta>0$ 使得

结合 (2.1) 以及 (3.13) 式有

在 (3.14) 式中令 $\beta\to \beta^*$, 利用引理 3.1 和引理 3.2 可得 $\displaystyle\lim_{\beta\to \beta^*}{\rm dist}(z_\beta,Z)=0$, 即 $\displaystyle\lim_{\beta\to \beta^*}V(z_\beta)=0.$ 因为

所以序列 $\{U_\beta\}$ 在 $H^1(\mathbb R^N)$ 中是有界序列, 故存在 $U_0\in H^1(\mathbb R^N)$, 当 $\beta\to \beta^*$ 时, 子列的意义下有 $U_\beta \rightharpoonup U_0$ 在 $H^1(\mathbb R^N)$ 中弱收敛. 在 (3.9) 式中令 $\beta\to \beta^*$, 可得 $U_0$ 满足下面方程

利用方程 (1.5) 正解的唯一性可知, 存在 $x_{0}\in \mathbb R^N$, 使得

同时

因此当 $\beta\to \beta^*$ 时, $U_\beta\to U_0$ 在 $H^1(\mathbb R^N)$ 中强收敛. 根据 $U_\beta$ 的定义 (1.7) 式, 对于任意的 $0<\beta<\beta^*$, $x=0$ 是 $U_\beta$ 的唯一最大值点, 因此它也是 $U_0$ 的最大值点. 由于 $Q(x)$ 是径向函数同时 $Q(x)$ 关于 $|x|$ 单调递减^[17,19], 因此 $x=0$ 是 $U_0$ 的唯一最大值点, 即 (3.16) 式中的 $x_0=0$, 故 $U_0=\frac{Q(x)}{||Q||_2}$.

下面我们证明定理 1.2.

证 对任意的 $\beta\in(0,\beta^*)$, 取 $x_{i_0}\in Z_0$, 记

由于 $V(x)$ 满足条件 $(V_1)$, 故当 $\tau\to +\infty$ 时有

以及

在 (3.18) 式中令 $\tau=\left[\frac{4(\beta^*-\beta)}{q\mu_0\|Q\|_{2}^{\frac{8}{N}-2}}\right]^{-\frac{1}{q+4}}$, 由于当 $\beta\to \beta^*$ 时 $\tau\to\infty$, 故有

因此可以推出

下面我们证明 $\displaystyle\limsup_{\beta\to \beta^*}\frac{e_\beta}{(\beta^*-\beta)^{\frac{q}{q+4}}}$ 存在同样的下界. 对任意的 $\beta\in(0,\beta^*)$, 设 $u_\beta$ 是 $e_\beta$ 的极小可达元, 根据引理 3.4 可知 $u_\beta$ 的全局最大值点 $z_\beta$ 满足当 $\beta\to \beta^*$ 时, $z_\beta \to z_0$ 且 $z_0$ 满足 $V(z_0)=0$. 我们假设对某个 $1\leq j_0\leq n$, $z_0=x_{j_0}$. 首先我们证明下面结论成立

若 (3.21) 式不成立, 则 $q_{j_0}<q$ 或者 $\lim_{\beta\to\beta^*}|\frac{z_\beta-x_{j_0}}{\epsilon_\beta}|=+\infty$ 成立, 那么对于任意的 $M>0$ 有

进一步, 利用 (2.1) 式和 Young 不等式有

这与 (3.20) 式矛盾, 因此 (3.21) 式成立, 从而在子列的意义下, 存在 $y_0\in\mathbb R^N$, 当 $\beta\to \beta^*$ 时有

因此

从而利用 (2.1) 式和 Young 不等式有

故

利用 (3.20) 与 (3.27) 式有

(3.28) 式说明 (3.25) 和 (3.26) 式中的不等号取等号, 此时有 $y_0=0$, $\mu_{i_0}=\mu_0$(即 $z_{0}\in Z_{0}$) 以及当 $\beta\to\beta^*$ 时

因此, 根据引理 3.3, 引理 3.4, (3.24), (3.28) 以及 (3.29) 式, 我们完成了定理 1.2 的证明.