分数阶偏微分方程主要包括椭圆型、抛物型以及双曲型三种类型. 其中, 相对于分数阶抛物和双曲方程而言, 人们对分数阶椭圆方程的研究起步相对较晚. 近年来, 基于椭圆型方程在流体力学、电磁学、几何学等学科中的应用驱动, 此类方程引起了学者们的广泛关注和研究兴趣, 尤其针对分数阶椭圆方程. 例如, 关于 Tricomi 方程、Gellerstedt 方程以及 Keldysh 方程的研究文献, 可见文献 [1⇓⇓⇓⇓-6] 等. 分数阶椭圆方程在诸如跨声速气体动力学^[7], 冷等离子体数学模型^[8], 社会经济系统数学建模^[9]等实际科学领域中具有重要的应用价值. 此外在理论方面, 学者们也已做了相关系统的研究工作, 研究内容主要包括解的正则性、存在唯一性以及稳定性等, 参见文献 [10⇓⇓⇓-14] 等.

考虑 Tricomi-Gellerstedt-Keldysh 型分数阶椭圆方程边值问题

这里, $ \alpha \in\left(\frac{1}{2}, 1\right] $, $ \beta>-\alpha $, $ D_{x}^{2 \alpha}=\partial_{0+, x}^{\alpha} \partial_{0+, x}^{\alpha} $, $ \partial_{0+, x}^{\alpha} $ 表示关于变量 $ x $ 的 $ \alpha(0<\alpha \leq 1) $ 阶Caputo分数阶导数, 其定义为^[15]

$ L:H^{2}(\Omega) \cap H_{0}^{1}(\Omega) \rightarrow L^{2}(\Omega) $ 是一致对称椭圆算子, $ \Omega \subset \mathbb{R}^{N}(N\geqslant 1) $ 是具有光滑边界 $ \partial\Omega $ 的有界连通区域. 另设 $ \varphi_{n} $ 和 $ \lambda_{n} $ 分别表示算子 $ L $ 的正交特征函数和特征值, 使得 $ L \varphi_{n}=\lambda_{n} \varphi_{n} $, $ n=1, 2, \cdots $, 以及 $ \lambda_{n} $ 满足 $ 0<\lambda_{1} \leq \lambda_{2} \leq \lambda_{3} \leq \cdots $, $ \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\lambda_{n}=+\infty $.

问题 (1.1) 是一类抽象分数阶椭圆方程边值问题. 2022 年, 文献 [16] 研究了该问题的适定性, 其包括广义解的存在唯一性和稳定性. 注意到

(i) 当 $ \alpha=1 $, $ \beta=0 $, $ L=-\Delta_{y}=-\sum\limits_{j=1}^{n} \frac{\partial^{2}}{\partial y_{j}^{2}} $ 时, 问题 (1.1) 的主方程为经典的拉普拉斯方程

拉普拉斯方程在电磁学、流体力学以及热传导等领域中具有重要应用价值.

(ii) 当 $ {N}=1 $, $ \alpha=1 $, $ \beta=\frac{1}{2} $, $ L=-\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} $ 时, 问题 (1.1) 的主方程为 Tricomi 方程^[17]

这一方程主要应用在气体动力学、流体力学、量子力学以及几何学等实际科学领域中.

(iii) 当 $ {N}=1 $, $ \alpha=1 $, $ \beta=\frac{m}{2}>0 $, $ L=-\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} $ 时, 问题 (1.1) 的主方程为 Gellerstedt 方程^[18]

Gellerstedt 方程是 Tricomi 方程的推广, 常被用于描述流体力学中的流体运动现象.

(iv) 当 $ {N}=1 $, $ \alpha=1 $, $ \beta=-\frac{k}{2}\in(-2, 0) $, $ L=-\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} $ 时, 问题 $ (1.1) $ 的主方程为 Keldysh 方程^[19]

此类方程主要在等离子体物理、跨音速气体动力学以及光学等实际科学领域中具有重要应用价值.

本文研究与问题 (1.1) 相关的如下反边值问题

由数据 $ g(y)=u(T, y)$$(0<T<+\infty) $ 恢复边界数据 $ f(y)=u(0,y) $, 并设 $ g(y) $ 满足

其中, $ g^{\delta}(y) $ 表示测量数据, $ \delta>0 $ 表示测量误差界.

反问题 (1.3) 是不适定的, 因此通常需要利用正则化方法克服其不适定性或恢复解的稳定性. 2021 年, 文献 [20] 使用迭代方法研究了反问题 (1.3) 特殊情况, 其中 (1.3) 式的主方程表示为: $ D_{x}^{2 \alpha} u(x, y)-L u(x, y)=0 $. 据知, 到目前为止还没有相关文献考虑抽象分数阶椭圆方程反边值问题 (1.3). 基于上述研究现状, 本文研究反问题 (1.3)的条件稳定性、正则化理论和数值算法.

众知, 经典 Tikhonov 方法由于其简单易算已被广泛应用于许多反问题的求解中, 并且可以获得良好的正则化效果. 然而, 其需要解的超光滑性. 因此, 近年来学者们引入分数 Tikhonov 正则化方法来处理相关反问题, 分数 Tikhonov 正则化方法可在数值上克服反问题解的超光滑性限制. 特别是当反问题的解是非光滑函数时, 具有较为满意的模拟效果. 此外注意到, 在理论方面, 当此类方法被用于处理反问题 (1.3) 时, 文中导出Hölder型的先验和后验收敛性结果. 关于运用此类方法研究反问题的文献, 请见文献 [21⇓⇓-24] 等. 本文首先建立反问题 (1.3) 的 Hölder 型条件稳定性结果. 然后, 基于不适定性分析, 构造分数Tikhonov正则化方法以恢复解对测量数据的连续依赖性. 同时, 在正则化参数的先验和后验选取规则下, 导出相应的 Hölder 型收敛性结果. 最后, 借助两个数值实验, 分别验证正则化方法对光滑和非光滑解的模拟效果.

定义 2.1^[25] 三参数 Mittag-Leffler 函数定义如下

其中, $ \alpha $, $ m>0 $, $ l>-\frac{1}{\alpha} $.

引理 2.1^[26] 对于 $ \alpha \in(0, 1) $ 及 $ z\geq 0 $, 有不等式

引理 2.2 基于引理 2.1, 设 $ z=\sqrt{\lambda_{n}} T^{\alpha+\beta} $ 和 $ m=1+\frac{\beta}{\alpha} $, 有

其中, $ \eta_{1}=\frac{1}{\lambda_{1}^{-\frac{1}{2}}+\Gamma(1-\alpha)T^{\alpha+\beta}} $, $ \eta_{2}=\frac{1}{C_{\alpha, 1+\frac{\beta}{\alpha}}T^{\alpha+\beta}} $, $ C_{\alpha, 1+\frac{\beta}{\alpha}}=\frac{\Gamma(1+\beta)}{\Gamma(1+\alpha+\beta)} $.

引理 2.3 设 $ s \geq \lambda_{1}>0 $, $ 0<\gamma\leq 1 $, 有

其中, $ c_{1}=c_{1}\left(\gamma, \eta_{1}, \eta_{2}\right)>0 $ 与 $ \mu $, $ s $ 无关.

证 根据 $ \lim\limits_{s \rightarrow 0} A(s)=\lim\limits_{s \rightarrow \infty} A(s)=0 $, 可知 $ A(s) $ 有最大值. 令 $ \mathrm{A}^{\prime}\left(s_{0}\right)=0 $, 有 $ s_{0}=\frac{\eta_{1}^{2}}{(\gamma \mu)^{\frac{2}{r+1}}}>0 $, 使得

证毕.

引理2.4 设 $ s \geq \lambda_{1}>0 $, $ 0<\gamma \leq 1 $, 则

其中, $ c_{2}=c_{2}\left(\gamma, p, \eta_{1}\right)>0 $, $ c_{3}=c_{3}\left(\gamma, p, \lambda_{1},\eta_{1}\right)>0 $ 与$ \mu $, $ s $ 无关.

证 (1) $ 0<p<\gamma+1 $. 通过 $ \lim\limits_{s \rightarrow 0} B(s)=\lim\limits_{s \rightarrow \infty} B(s)=0 $, 易知 $ B(s) $ 有最大值$ B\left(s_{0}\right) $, 此处 $ s_{0}=\left(\frac{\gamma+1-p}{p \mu}\right)^{\frac{2}{\gamma+1}} \eta_{1}^{2}>0 $, 于是

(2) $ p \geq \gamma+1 $. 注意到

证毕.

引理 2.5 设 $ s \geq \lambda_{1}>0 $, $ 0<\gamma \leq 1 $, 则有

其中, $ c_{4}=c_{4}\left(\gamma, p, \eta_{1}, \eta_{2}\right)>0 $, $ c_{5}=c_{5}\left(\gamma, p, \lambda_{1}, \eta_{1}, \eta_{2}\right)>0 $ 与 $ \mu $, $ s $ 无关.

证 (1) $ 0<p<\gamma $. 因为 $ \lim\limits_{s \rightarrow 0} C(s)=\lim\limits_{s \rightarrow \infty} C(s)=0 $, 所以 $ C(s) $ 有最大值. 设 $ C^{\prime}\left(s_{0}\right)=0 $, 有 $ s_{0}=\left[\frac{\gamma-p}{(1+p) \mu}\right]^{\frac{2}{\gamma+1}} \eta_{1}^{2}>0 $, 使得

(2) $ p \geq \gamma $. 注意到

证毕.

定义空间

其中, $ (\cdot, \cdot) $ 是在 $ L^{2}(\Omega) $ 上的内积, 并且 $ D\left(L^{q}\right) \subset L^{2}(\Omega) $ 是 Hilbert 空间, 其范数定义为

由文献 [16], 对于 $ f \in D\left(L^{1}\right) $, 正问题 (1.1) 的广义解可表为

设 $ x=T $, 有

定义 $ g_{n}=\left(g(y), \varphi_{n}\right) $, 则可得到

同理,

根据 (3.4) 式, 定义算子方程

其中, $ K:L^{2}(\Omega) \rightarrow L^{2}(\Omega) $ 是第一类 Fredholm 积分算子. 积分核函数 $ k $ 定义为

显然, $ k(\xi, y)=k(y, \xi) $, 所以 $ K $ 是一个自伴算子, 由 (3.4) 式, 我们知道 $ K $ 的奇异值为 $ \sigma_{n}=E_{\alpha, 1+\frac{\beta}{\alpha}, \frac{\beta}{\alpha}}\left(-\sqrt{\lambda_{n}} T^{\alpha+\beta}\right) $, $ n=1, 2, \cdots $. 接下来, 我们证明 $ K $ 是一个紧算子. 在本文中, $ \|\cdot\| $ 表示 $ L^{2}$-范数.

定理 3.1 (3.7) 式中定义的算子 $ K $ 是一个紧算子.

证 由 (3.7) 式, 我们定义有限秩算子 $ K_{m} $, 以证明 $ K_{m} \rightarrow K(m \rightarrow \infty) $.

注意到, 当 $ m \rightarrow \infty $ 时, $ \left\|K_{m}-K\right\| \rightarrow 0 $. 因此, $ K $ 是一个紧算子.

定理 3.1 表明反问题 (1.3) 是不适定的, 即解不连续地依赖于测量数据. 然而, 如果精确解满足一定的先验条件, 就可建立反问题的条件稳定性. 下面, 在精确解的先验假设下, 我们建立反边值问题 (1.3) 的条件稳定性结果.

定理 3.2 设 $ f $ 满足先验条件

则有稳定性结果

这里, $ C=\eta_{1}^{-\frac{p}{p+1}} $ 是常数.

证 根据 (3.6) 式和 Hölder 不等式, 有

证毕.

在本节中, 基于文献 [27] 中的思想, 我们构造反问题 (1.3) 的分数 Tikhonov 正则化解. 正则化解被定义为如下泛函的极小元.

其中, 半范数 $ \|\cdot\|_{W} $ 由算子 $ W:=\left(K K^{*}\right)^{\frac{\gamma-1}{2}} $ 导出, $ 0<\gamma \leq 1 $, $ \mu>0 $ 表示正则化参数, $ g^{\delta} $ 表示测量数据, $ \delta>0 $ 表示测量误差界. 记 $ f_{\mu}^{\delta} $ 为反问题的正则化解, 通过基本计算并结合一阶必要条件, 可知 $ f_{\mu}^{\delta} $ 满足欧拉方程

利用自伴紧算子 $ K $ 的奇异值分解, 得到反问题的分数 Tikhonov 正则化解为

其中, $ g_{n}^{\delta}=\left(g^{\delta}(y), \varphi_{n}(y)\right) $. 同时, 具有精确数据 $ g(y) $ 的正则化解由下式给出

其中, $ g_{n}=\left(g(y), \varphi_{n}(y)\right) $.

在本小节中, 我们通过先验规则选取正则化参数, 给出并证明分数 Tikhonov 正则化方法的收敛性估计.

精确解和分数 Tikhonov 正则化解分别由 (3.6) 式和 (4.3) 式给出.

定理 5.1 假定先验条件 (3.9) 成立, 精确数据 $ g $ 和测量数据 $ g^{\delta} $ 满足 (1.4) 式, 则

(1) 当 $ 0<p<\gamma+1 $, $ \mu=\left(\frac{\delta}{E}\right)^{\frac{\gamma+1}{p+1}} $ 时, 有收敛性估计

(2) 当 $ p \geq \gamma+1 $, $ \mu=\left(\frac{\delta}{E}\right)^{\frac{\gamma+1}{\gamma+2}} $ 时, 有收敛性估计

其中, $ c_{1}, c_{2}, c_{3} $ 由引理 2.3 及引理 2.4 中给出.

证 由三角不等式, 得到

首先, 我们估计 $ I_{1} $, 由引理 2.3 和 (1.4) 式, 有

接下来, 我们估计 $ I_{2} $, 通过引理 2.4 和 (3.9) 式, 有

结合不等式 (5.4) 和 (5.5), 可以得出

选取正则化参数

则由 (5.6) 式和 (5.7) 式, 可得收敛性结果

证毕.

在本小节中, 我们考虑正则化参数 $ \mu $ 的后验选取规则, 该思想主要来自于 Morozov 的差异原理^[28]. 同时, 基于定理 3.2 中的条件稳定性结果, 我们推导出正则化方法的 Hölder 型收敛性结果.

设 $ 0<\tau \delta<\left\|\mathrm{g}^{\delta}\right\| $, 我们通过下述方程选取正则化参数 $ \mu $

其中, $ 0<\gamma \leq 1 $, $ \tau>1 $ 都是常数.

引理 5.1 设 $ \theta(\mu)=\left\|K f_{\mu}^{\delta}(y)-g^{\delta}(y)\right\| $, 则有以下结论

(1) $ \theta(\mu) $ 是 $ (0, \infty) $ 上的连续函数;

(2) $ \lim\limits_{\mu \rightarrow 0} \theta(\mu)=0 $;

(3) $ \lim\limits_{\mu \rightarrow \infty} \theta(\mu)=\left\|g^{\delta}\right\| $;

(4) 对于 $ \mu \in(0, \infty) $, $ \theta(\mu) $ 是单调增函数.

证 令

可完成此引理 5.1 的证明.

由引理 5.1, 知方程 (5.9) 有唯一解, 这说明了后验选取正则化参数的合理性. 为了获得收敛性估计结果, 我们需要以下引理.

引理 5.2 对固定的 $ \tau>1 $, 由差异原理 (5.9) 式确定的正则化参数 $ \mu $ 满足

证 根据后验选取规则 (5.9), 有

另一方面, 由引理 2.5, 可得

通过计算, 我们有

证毕.

定理 5.2 假定先验条件 (3.9) 成立, 精确数据 $ g $ 和测量数据 $ g^{\delta} $ 满足 (1.4) 式, 则

(1) 当 $ 0<p<\gamma $ 时, 有收敛性估计

(2) 当 $ p \geq \gamma $ 时, 有收敛性估计

其中, $ c_{1} $, $ c_{4} $, $ c_{5} $ 在引理 2.3 和引理 2.5 中给出.

证 由三角不等式, 有

(1) 当 $ 0<p<\gamma $ 时, 我们先估计 $ I_{3} $, 由引理 5.2 得

然后, 我们估计 $ I_{4} $, 注意到,

由 (1.4)、(5.9) 及 (3.9) 式, 有

由 (5.17)、(5.18) 和 (5.19) 式, 可得

(2) 当 $ p \geq \gamma $ 时, 我们先估计 $ I_{3} $, 通过引理 5.2, 得到

然后, 我们对 $ I_{4} $ 进行估计, 注意到

由 (1.4)、(5.9) 及 (3.9) 式, 可得

由 (5.17)、(5.20) 及 (5.21) 式, 我们有

证毕.

本节通过一些数值实验验证分数 Tikhonov 正则化方法的模拟效果. 取 $ \Omega= (0, \pi) $, $ L: H^{2}(0, \pi) \cap H_{0}^{1}(0, \pi) \rightarrow L^{2}(0, \pi)=-\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} $, $ \lambda_{n}=n^{2} $, 以及 $ \varphi_{n}(y)= \sqrt{\frac{2}{\pi}} \sin (n y), n=1, 2, \cdots $. 在许多实际问题中, 由于反问题的精确解通常不能用显性表达式给出, 因此精确解的先验界 $ E $ 并不容易计算. 鉴于此, 我们仅给出正则化参数后验选取规则下的数值结果.

考虑正问题

对给定的函数 $ f(y) $, 问题 (6.1) 的解可表为

令 $ T=1 $, 取精确数据为

其中, 内积 $ f_{n}=\left(f({y}), \varphi_{\mathrm{n}}(\mathrm{y})\right) $ 由复合梯形公式计算, 我们将 $ [\pi] $ 分为 $ {N} $ 等份, 测量数据 $ g^{\delta} $ 由以下方式随机生成

测量误差界为 $ \delta=\epsilon\|g\|_{l^{2}} $, 并且 $ \|g\|_{l^{2}}= \sqrt{\frac{1}{N+1} \sum\limits_{i=1}^{N+1}\left(g_{i}\right)^{2}} $. 基于 (4.3) 式, 正则化解由以下表达式计算

为了对数值结果进行灵敏度分析, 并通过以下公式计算相对均方根误差

在下面的例 6.1 和例 6.2 中, 我们取 $ \mathrm{N}=100 $, $ \tau=1.1 $, $ \varepsilon= 0.01 $, 正则化参数 $ \mu $ 通过后验规则 (5.9) 选取.

例 6.1 考虑反问题的解是光滑函数的情况, 选取

取 $ \alpha=0.95 $, $ \beta=0.9 $, $ \gamma=0.9 $, 则分数 Tikhonov 正则化解的相对均方根误差 $ \epsilon(f) $ 为 0.0317, 精确解和分数 Tikhonov 正则化解的模拟结果如图1所示.

特别地, 当 $ \gamma=1 $ 时, 分数 Tikhonov 正则化方法是经典 Tikhonov 正则化方法. 经典 Tikhonov 正则化解的相对均方根误差 $ \epsilon(f) $ 为 0.0291, 精确解和经典 Tikhonov 正则化解的模拟结果如图2所示.

如图1和图2所示, 当反问题的解是光滑函数时, 分数 Tikhonov 正则化方法与经典 Tikhonov 正则化方法相比没有明显优势.

$ \alpha $、 $ \beta $、 $ \gamma $ 对数值结果的影响分别如表1-3所示.

由表1可以发现, $ \alpha $ 对相对均方根误差 $ \epsilon(f) $ 影响较小, 当 $ \alpha $ 增加时, 相对均方根误差 $ \epsilon(f) $ 先增加后减小; 由表2知当 $ \beta $ 增加时, 相对均方根误差 $ \epsilon(f) $ 减小; 由表 3 可以看到当 $ \gamma $ 增加时, 相对均方根误差 $ \epsilon(f) $ 减小, $ \gamma=1 $ 时的相对均方根误差 $ \epsilon(f) $ 最小.

例 6.2 考虑反问题的解是分段函数的情形, 选取

取 $ \alpha=0.95 $, $ \beta =0.5 $, $ \gamma=0.5 $, 则分数 Tikhonov 正则化解的相对均方根误差 $ \epsilon(f) $ 为 0.2907, 精确解和分数 Tikhonov 正则化解的模拟结果如图3所示.

特别地, 当 $ \gamma=1 $ 时, 分数 Tikhonov 正则化方法是经典 Tikhonov 正则化方法. 经典 Tikhonov 正则化解的相对均方根误差 $ \epsilon(f) $ 为 0.3171, 这说明当反问题的解为非光滑函数时, 分数 Tikhonov 正则化方法的模拟效果优于经典 Tikhonov 正则化方法. 精确解和经典 Tikhonov 正则化解的模拟结果如图4所示.

$ \alpha $、 $ \beta $、 $ \gamma $ 对数值结果的影响分别如表4-6所示.

由表4可以发现随着 $ \alpha $ 的增加, 相对均方根误差 $ \epsilon(f) $ 随之增加; 由表5知, 随着 $ \beta $ 的增加会导致相对均方根误差 $ \epsilon(f) $ 先增加, 后减小, 总体而言 $ \beta $ 对相对均方根误差 $ \epsilon(f) $ 的影响很小; 由表6可以看出随着 $ \gamma $ 的增加, 相对均方根误差 $ \epsilon(f) $ 不断增加, $ \gamma=1 $ 时的相对均方根误差 $ \epsilon(f) $ 最大. 因此, 分数 Tikhonov 正则化方法明显优于经典 Tikhonov 正则化方法.

文中考虑了一类 Tricomi-Gellerstedt-Keldysh 型分数阶椭圆方程的反边值问题. 首先建立了反问题的条件稳定性结果. 然后, 基于不适定性分析, 构造了分数 Tikhonov 正则化方法, 以恢复解对测量数据的连续依赖性. 同时, 在正则化参数的先验和后验选取规则下, 导出了相应的 Hölder 型收敛性结果. 数值结果表明, 该方法在求解所考虑的问题时是稳定可行的.