分数阶偏微分方程主要包括椭圆型、抛物型以及双曲型三种类型. 其中, 相对于分数阶抛物和双曲方程而言, 人们对分数阶椭圆方程的研究起步相对较晚. 近年来, 基于椭圆型方程在流体力学、电磁学、几何学等学科中的应用驱动, 此类方程引起了学者们的广泛关注和研究兴趣, 尤其针对分数阶椭圆方程. 例如, 关于 Tricomi 方程、Gellerstedt 方程以及 Keldysh 方程的研究文献, 可见文献 [1⇓⇓⇓⇓-6] 等. 分数阶椭圆方程在诸如跨声速气体动力学^[7], 冷等离子体数学模型^[8], 社会经济系统数学建模^[9]等实际科学领域中具有重要的应用价值. 此外在理论方面, 学者们也已做了相关系统的研究工作, 研究内容主要包括解的正则性、存在唯一性以及稳定性等, 参见文献 [10⇓⇓⇓-14] 等.

考虑 Tricomi-Gellerstedt-Keldysh 型分数阶椭圆方程边值问题

这里, $\alpha \in\left(\frac{1}{2}, 1\right]$, $\beta>-\alpha$, $D_{x}^{2 \alpha}=\partial_{0+, x}^{\alpha} \partial_{0+, x}^{\alpha}$, $\partial_{0+, x}^{\alpha}$ 表示关于变量 $x$ 的 $\alpha(0<\alpha \leq 1)$ 阶Caputo分数阶导数, 其定义为^[15]

$L:H^{2}(\Omega) \cap H_{0}^{1}(\Omega) \rightarrow L^{2}(\Omega)$ 是一致对称椭圆算子, $\Omega \subset \mathbb{R}^{N}(N\geqslant 1)$ 是具有光滑边界 $\partial\Omega$ 的有界连通区域. 另设 $\varphi_{n}$ 和 $\lambda_{n}$ 分别表示算子 $L$ 的正交特征函数和特征值, 使得 $L \varphi_{n}=\lambda_{n} \varphi_{n}$, $n=1, 2, \cdots$, 以及 $\lambda_{n}$ 满足 $0<\lambda_{1} \leq \lambda_{2} \leq \lambda_{3} \leq \cdots$, $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\lambda_{n}=+\infty$.

问题 (1.1) 是一类抽象分数阶椭圆方程边值问题. 2022 年, 文献 [16] 研究了该问题的适定性, 其包括广义解的存在唯一性和稳定性. 注意到

(i) 当 $\alpha=1$, $\beta=0$, $L=-\Delta_{y}=-\sum\limits_{j=1}^{n} \frac{\partial^{2}}{\partial y_{j}^{2}}$ 时, 问题 (1.1) 的主方程为经典的拉普拉斯方程

拉普拉斯方程在电磁学、流体力学以及热传导等领域中具有重要应用价值.

(ii) 当 ${N}=1$, $\alpha=1$, $\beta=\frac{1}{2}$, $L=-\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}$ 时, 问题 (1.1) 的主方程为 Tricomi 方程^[17]

这一方程主要应用在气体动力学、流体力学、量子力学以及几何学等实际科学领域中.

(iii) 当 ${N}=1$, $\alpha=1$, $\beta=\frac{m}{2}>0$, $L=-\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}$ 时, 问题 (1.1) 的主方程为 Gellerstedt 方程^[18]

Gellerstedt 方程是 Tricomi 方程的推广, 常被用于描述流体力学中的流体运动现象.

(iv) 当 ${N}=1$, $\alpha=1$, $\beta=-\frac{k}{2}\in(-2, 0)$, $L=-\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}$ 时, 问题 $(1.1)$ 的主方程为 Keldysh 方程^[19]

此类方程主要在等离子体物理、跨音速气体动力学以及光学等实际科学领域中具有重要应用价值.

本文研究与问题 (1.1) 相关的如下反边值问题

由数据 $g(y)=u(T, y)$$(0<T<+\infty)$ 恢复边界数据 $f(y)=u(0,y)$, 并设 $g(y)$ 满足

其中, $g^{\delta}(y)$ 表示测量数据, $\delta>0$ 表示测量误差界.

反问题 (1.3) 是不适定的, 因此通常需要利用正则化方法克服其不适定性或恢复解的稳定性. 2021 年, 文献 [20] 使用迭代方法研究了反问题 (1.3) 特殊情况, 其中 (1.3) 式的主方程表示为: $D_{x}^{2 \alpha} u(x, y)-L u(x, y)=0$. 据知, 到目前为止还没有相关文献考虑抽象分数阶椭圆方程反边值问题 (1.3). 基于上述研究现状, 本文研究反问题 (1.3)的条件稳定性、正则化理论和数值算法.

众知, 经典 Tikhonov 方法由于其简单易算已被广泛应用于许多反问题的求解中, 并且可以获得良好的正则化效果. 然而, 其需要解的超光滑性. 因此, 近年来学者们引入分数 Tikhonov 正则化方法来处理相关反问题, 分数 Tikhonov 正则化方法可在数值上克服反问题解的超光滑性限制. 特别是当反问题的解是非光滑函数时, 具有较为满意的模拟效果. 此外注意到, 在理论方面, 当此类方法被用于处理反问题 (1.3) 时, 文中导出Hölder型的先验和后验收敛性结果. 关于运用此类方法研究反问题的文献, 请见文献 [21⇓⇓-24] 等. 本文首先建立反问题 (1.3) 的 Hölder 型条件稳定性结果. 然后, 基于不适定性分析, 构造分数Tikhonov正则化方法以恢复解对测量数据的连续依赖性. 同时, 在正则化参数的先验和后验选取规则下, 导出相应的 Hölder 型收敛性结果. 最后, 借助两个数值实验, 分别验证正则化方法对光滑和非光滑解的模拟效果.

定义 2.1^[25] 三参数 Mittag-Leffler 函数定义如下

其中, $\alpha$, $m>0$, $l>-\frac{1}{\alpha}$.

引理 2.1^[26] 对于 $\alpha \in(0, 1)$ 及 $z\geq 0$, 有不等式

引理 2.2 基于引理 2.1, 设 $z=\sqrt{\lambda_{n}} T^{\alpha+\beta}$ 和 $m=1+\frac{\beta}{\alpha}$, 有

其中, $\eta_{1}=\frac{1}{\lambda_{1}^{-\frac{1}{2}}+\Gamma(1-\alpha)T^{\alpha+\beta}}$, $\eta_{2}=\frac{1}{C_{\alpha, 1+\frac{\beta}{\alpha}}T^{\alpha+\beta}}$, $C_{\alpha, 1+\frac{\beta}{\alpha}}=\frac{\Gamma(1+\beta)}{\Gamma(1+\alpha+\beta)}$.

引理 2.3 设 $s \geq \lambda_{1}>0$, $0<\gamma\leq 1$, 有

其中, $c_{1}=c_{1}\left(\gamma, \eta_{1}, \eta_{2}\right)>0$ 与 $\mu$, $s$ 无关.

证 根据 $\lim\limits_{s \rightarrow 0} A(s)=\lim\limits_{s \rightarrow \infty} A(s)=0$, 可知 $A(s)$ 有最大值. 令 $\mathrm{A}^{\prime}\left(s_{0}\right)=0$, 有 $s_{0}=\frac{\eta_{1}^{2}}{(\gamma \mu)^{\frac{2}{r+1}}}>0$, 使得

证毕.

引理2.4 设 $s \geq \lambda_{1}>0$, $0<\gamma \leq 1$, 则

其中, $c_{2}=c_{2}\left(\gamma, p, \eta_{1}\right)>0$, $c_{3}=c_{3}\left(\gamma, p, \lambda_{1},\eta_{1}\right)>0$ 与$\mu$, $s$ 无关.

证 (1) $0<p<\gamma+1$. 通过 $\lim\limits_{s \rightarrow 0} B(s)=\lim\limits_{s \rightarrow \infty} B(s)=0$, 易知 $B(s)$ 有最大值$B\left(s_{0}\right)$, 此处 $s_{0}=\left(\frac{\gamma+1-p}{p \mu}\right)^{\frac{2}{\gamma+1}} \eta_{1}^{2}>0$, 于是

(2) $p \geq \gamma+1$. 注意到

证毕.

引理 2.5 设 $s \geq \lambda_{1}>0$, $0<\gamma \leq 1$, 则有

其中, $c_{4}=c_{4}\left(\gamma, p, \eta_{1}, \eta_{2}\right)>0$, $c_{5}=c_{5}\left(\gamma, p, \lambda_{1}, \eta_{1}, \eta_{2}\right)>0$ 与 $\mu$, $s$ 无关.

证 (1) $0<p<\gamma$. 因为 $\lim\limits_{s \rightarrow 0} C(s)=\lim\limits_{s \rightarrow \infty} C(s)=0$, 所以 $C(s)$ 有最大值. 设 $C^{\prime}\left(s_{0}\right)=0$, 有 $s_{0}=\left[\frac{\gamma-p}{(1+p) \mu}\right]^{\frac{2}{\gamma+1}} \eta_{1}^{2}>0$, 使得

(2) $p \geq \gamma$. 注意到

证毕.

定义空间

其中, $(\cdot, \cdot)$ 是在 $L^{2}(\Omega)$ 上的内积, 并且 $D\left(L^{q}\right) \subset L^{2}(\Omega)$ 是 Hilbert 空间, 其范数定义为

由文献 [16], 对于 $f \in D\left(L^{1}\right)$, 正问题 (1.1) 的广义解可表为

设 $x=T$, 有

定义 $g_{n}=\left(g(y), \varphi_{n}\right)$, 则可得到

同理,

根据 (3.4) 式, 定义算子方程

其中, $K:L^{2}(\Omega) \rightarrow L^{2}(\Omega)$ 是第一类 Fredholm 积分算子. 积分核函数 $k$ 定义为

显然, $k(\xi, y)=k(y, \xi)$, 所以 $K$ 是一个自伴算子, 由 (3.4) 式, 我们知道 $K$ 的奇异值为 $\sigma_{n}=E_{\alpha, 1+\frac{\beta}{\alpha}, \frac{\beta}{\alpha}}\left(-\sqrt{\lambda_{n}} T^{\alpha+\beta}\right)$, $n=1, 2, \cdots$. 接下来, 我们证明 $K$ 是一个紧算子. 在本文中, $\|\cdot\|$ 表示 $L^{2}$-范数.

定理 3.1 (3.7) 式中定义的算子 $K$ 是一个紧算子.

证 由 (3.7) 式, 我们定义有限秩算子 $K_{m}$, 以证明 $K_{m} \rightarrow K(m \rightarrow \infty)$.

注意到, 当 $m \rightarrow \infty$ 时, $\left\|K_{m}-K\right\| \rightarrow 0$. 因此, $K$ 是一个紧算子.

定理 3.1 表明反问题 (1.3) 是不适定的, 即解不连续地依赖于测量数据. 然而, 如果精确解满足一定的先验条件, 就可建立反问题的条件稳定性. 下面, 在精确解的先验假设下, 我们建立反边值问题 (1.3) 的条件稳定性结果.

定理 3.2 设 $f$ 满足先验条件

则有稳定性结果

这里, $C=\eta_{1}^{-\frac{p}{p+1}}$ 是常数.

证 根据 (3.6) 式和 Hölder 不等式, 有

证毕.

在本节中, 基于文献 [27] 中的思想, 我们构造反问题 (1.3) 的分数 Tikhonov 正则化解. 正则化解被定义为如下泛函的极小元.

其中, 半范数 $\|\cdot\|_{W}$ 由算子 $W:=\left(K K^{*}\right)^{\frac{\gamma-1}{2}}$ 导出, $0<\gamma \leq 1$, $\mu>0$ 表示正则化参数, $g^{\delta}$ 表示测量数据, $\delta>0$ 表示测量误差界. 记 $f_{\mu}^{\delta}$ 为反问题的正则化解, 通过基本计算并结合一阶必要条件, 可知 $f_{\mu}^{\delta}$ 满足欧拉方程

利用自伴紧算子 $K$ 的奇异值分解, 得到反问题的分数 Tikhonov 正则化解为

其中, $g_{n}^{\delta}=\left(g^{\delta}(y), \varphi_{n}(y)\right)$. 同时, 具有精确数据 $g(y)$ 的正则化解由下式给出

其中, $g_{n}=\left(g(y), \varphi_{n}(y)\right)$.

在本小节中, 我们通过先验规则选取正则化参数, 给出并证明分数 Tikhonov 正则化方法的收敛性估计.

精确解和分数 Tikhonov 正则化解分别由 (3.6) 式和 (4.3) 式给出.

定理 5.1 假定先验条件 (3.9) 成立, 精确数据 $g$ 和测量数据 $g^{\delta}$ 满足 (1.4) 式, 则

(1) 当 $0<p<\gamma+1$, $\mu=\left(\frac{\delta}{E}\right)^{\frac{\gamma+1}{p+1}}$ 时, 有收敛性估计

(2) 当 $p \geq \gamma+1$, $\mu=\left(\frac{\delta}{E}\right)^{\frac{\gamma+1}{\gamma+2}}$ 时, 有收敛性估计

其中, $c_{1}, c_{2}, c_{3}$ 由引理 2.3 及引理 2.4 中给出.

证 由三角不等式, 得到

首先, 我们估计 $I_{1}$, 由引理 2.3 和 (1.4) 式, 有

接下来, 我们估计 $I_{2}$, 通过引理 2.4 和 (3.9) 式, 有

结合不等式 (5.4) 和 (5.5), 可以得出

选取正则化参数

则由 (5.6) 式和 (5.7) 式, 可得收敛性结果

证毕.

在本小节中, 我们考虑正则化参数 $\mu$ 的后验选取规则, 该思想主要来自于 Morozov 的差异原理^[28]. 同时, 基于定理 3.2 中的条件稳定性结果, 我们推导出正则化方法的 Hölder 型收敛性结果.

设 $0<\tau \delta<\left\|\mathrm{g}^{\delta}\right\|$, 我们通过下述方程选取正则化参数 $\mu$

其中, $0<\gamma \leq 1$, $\tau>1$ 都是常数.

引理 5.1 设 $\theta(\mu)=\left\|K f_{\mu}^{\delta}(y)-g^{\delta}(y)\right\|$, 则有以下结论

(1) $\theta(\mu)$ 是 $(0, \infty)$ 上的连续函数;

(2) $\lim\limits_{\mu \rightarrow 0} \theta(\mu)=0$;

(3) $\lim\limits_{\mu \rightarrow \infty} \theta(\mu)=\left\|g^{\delta}\right\|$;

(4) 对于 $\mu \in(0, \infty)$, $\theta(\mu)$ 是单调增函数.

证 令

可完成此引理 5.1 的证明.

由引理 5.1, 知方程 (5.9) 有唯一解, 这说明了后验选取正则化参数的合理性. 为了获得收敛性估计结果, 我们需要以下引理.

引理 5.2 对固定的 $\tau>1$, 由差异原理 (5.9) 式确定的正则化参数 $\mu$ 满足

证 根据后验选取规则 (5.9), 有

另一方面, 由引理 2.5, 可得

通过计算, 我们有

证毕.

定理 5.2 假定先验条件 (3.9) 成立, 精确数据 $g$ 和测量数据 $g^{\delta}$ 满足 (1.4) 式, 则

(1) 当 $0<p<\gamma$ 时, 有收敛性估计

(2) 当 $p \geq \gamma$ 时, 有收敛性估计

其中, $c_{1}$, $c_{4}$, $c_{5}$ 在引理 2.3 和引理 2.5 中给出.

证 由三角不等式, 有

(1) 当 $0<p<\gamma$ 时, 我们先估计 $I_{3}$, 由引理 5.2 得

然后, 我们估计 $I_{4}$, 注意到,

由 (1.4)、(5.9) 及 (3.9) 式, 有

由 (5.17)、(5.18) 和 (5.19) 式, 可得

(2) 当 $p \geq \gamma$ 时, 我们先估计 $I_{3}$, 通过引理 5.2, 得到

然后, 我们对 $I_{4}$ 进行估计, 注意到

由 (1.4)、(5.9) 及 (3.9) 式, 可得

由 (5.17)、(5.20) 及 (5.21) 式, 我们有

证毕.

本节通过一些数值实验验证分数 Tikhonov 正则化方法的模拟效果. 取 $\Omega= (0, \pi)$, $L: H^{2}(0, \pi) \cap H_{0}^{1}(0, \pi) \rightarrow L^{2}(0, \pi)=-\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}$, $\lambda_{n}=n^{2}$, 以及 $\varphi_{n}(y)= \sqrt{\frac{2}{\pi}} \sin (n y), n=1, 2, \cdots$. 在许多实际问题中, 由于反问题的精确解通常不能用显性表达式给出, 因此精确解的先验界 $E$ 并不容易计算. 鉴于此, 我们仅给出正则化参数后验选取规则下的数值结果.

考虑正问题

对给定的函数 $f(y)$, 问题 (6.1) 的解可表为

令 $T=1$, 取精确数据为

其中, 内积 $f_{n}=\left(f({y}), \varphi_{\mathrm{n}}(\mathrm{y})\right)$ 由复合梯形公式计算, 我们将 $[\pi]$ 分为 ${N}$ 等份, 测量数据 $g^{\delta}$ 由以下方式随机生成

测量误差界为 $\delta=\epsilon\|g\|_{l^{2}}$, 并且 $\|g\|_{l^{2}}= \sqrt{\frac{1}{N+1} \sum\limits_{i=1}^{N+1}\left(g_{i}\right)^{2}}$. 基于 (4.3) 式, 正则化解由以下表达式计算

为了对数值结果进行灵敏度分析, 并通过以下公式计算相对均方根误差

在下面的例 6.1 和例 6.2 中, 我们取 $\mathrm{N}=100$, $\tau=1.1$, $\varepsilon= 0.01$, 正则化参数 $\mu$ 通过后验规则 (5.9) 选取.

例 6.1 考虑反问题的解是光滑函数的情况, 选取

取 $\alpha=0.95$, $\beta=0.9$, $\gamma=0.9$, 则分数 Tikhonov 正则化解的相对均方根误差 $\epsilon(f)$ 为 0.0317, 精确解和分数 Tikhonov 正则化解的模拟结果如图1所示.

特别地, 当 $\gamma=1$ 时, 分数 Tikhonov 正则化方法是经典 Tikhonov 正则化方法. 经典 Tikhonov 正则化解的相对均方根误差 $\epsilon(f)$ 为 0.0291, 精确解和经典 Tikhonov 正则化解的模拟结果如图2所示.

如图1和图2所示, 当反问题的解是光滑函数时, 分数 Tikhonov 正则化方法与经典 Tikhonov 正则化方法相比没有明显优势.

$\alpha$、 $\beta$、 $\gamma$ 对数值结果的影响分别如表1-3所示.

由表1可以发现, $\alpha$ 对相对均方根误差 $\epsilon(f)$ 影响较小, 当 $\alpha$ 增加时, 相对均方根误差 $\epsilon(f)$ 先增加后减小; 由表2知当 $\beta$ 增加时, 相对均方根误差 $\epsilon(f)$ 减小; 由表 3 可以看到当 $\gamma$ 增加时, 相对均方根误差 $\epsilon(f)$ 减小, $\gamma=1$ 时的相对均方根误差 $\epsilon(f)$ 最小.

例 6.2 考虑反问题的解是分段函数的情形, 选取

取 $\alpha=0.95$, $\beta =0.5$, $\gamma=0.5$, 则分数 Tikhonov 正则化解的相对均方根误差 $\epsilon(f)$ 为 0.2907, 精确解和分数 Tikhonov 正则化解的模拟结果如图3所示.

特别地, 当 $\gamma=1$ 时, 分数 Tikhonov 正则化方法是经典 Tikhonov 正则化方法. 经典 Tikhonov 正则化解的相对均方根误差 $\epsilon(f)$ 为 0.3171, 这说明当反问题的解为非光滑函数时, 分数 Tikhonov 正则化方法的模拟效果优于经典 Tikhonov 正则化方法. 精确解和经典 Tikhonov 正则化解的模拟结果如图4所示.

$\alpha$、 $\beta$、 $\gamma$ 对数值结果的影响分别如表4-6所示.

由表4可以发现随着 $\alpha$ 的增加, 相对均方根误差 $\epsilon(f)$ 随之增加; 由表5知, 随着 $\beta$ 的增加会导致相对均方根误差 $\epsilon(f)$ 先增加, 后减小, 总体而言 $\beta$ 对相对均方根误差 $\epsilon(f)$ 的影响很小; 由表6可以看出随着 $\gamma$ 的增加, 相对均方根误差 $\epsilon(f)$ 不断增加, $\gamma=1$ 时的相对均方根误差 $\epsilon(f)$ 最大. 因此, 分数 Tikhonov 正则化方法明显优于经典 Tikhonov 正则化方法.

文中考虑了一类 Tricomi-Gellerstedt-Keldysh 型分数阶椭圆方程的反边值问题. 首先建立了反问题的条件稳定性结果. 然后, 基于不适定性分析, 构造了分数 Tikhonov 正则化方法, 以恢复解对测量数据的连续依赖性. 同时, 在正则化参数的先验和后验选取规则下, 导出了相应的 Hölder 型收敛性结果. 数值结果表明, 该方法在求解所考虑的问题时是稳定可行的.