速度零耗散温度分数阶扩散的二维微极Rayleigh-Bénard对流系统的全局正则性
Global Regularity for the 2D Micropolar Rayleigh-Bénard Convection System with Velocity Zero Dissipation and Temperature Fractional Diffusion
通讯作者:
收稿日期: 2023-05-12 修回日期: 2024-01-25
Received: 2023-05-12 Revised: 2024-01-25
作者简介 About authors
李昌昊,E-mail:
该文研究速度零耗散, 微旋转速度拉普拉斯耗散且温度分数阶扩散的二维微极 Rayleigh-Bénard对流系统的全局正则性问题. 通过构建两个组合量和使用 Littlewood-Paley 分解技术, 该文建立了该系统解的全局正则性结果.
关键词:
This paper studies the global regularity problem for the 2D micropolar Rayleigh-Bénard convection system with velocity zero dissipation, micro-rotation velocity Laplace dissipation and temperature fractional dissipation. By introducing two combined quantities and using the technique of Littlewood-Paley decomposition, this paper establishes the global regularity result of solutions to this system.
Keywords:
本文引用格式
李昌昊, 原保全.
Li Changhao, Yuan Baoquan.
1 引言
在本文中, 我们研究 Boussinesq 逼近框架下的一个数学模型, 该模型描述微极流体热对流现象[15,18,22], 称为微极 Rayleigh-Bénard 对流系统. 微极 Rayleigh-Bénard 对流系统是一个耦合系统, 包括微极方程和Rayleigh-Bénard方程. 微极方程是Eringen于1966年首次提出[9], 该模型能够考虑一些粘性不可压缩流体的经典Navier-Stokes方程无法处理的物理现象, 例如动物血液、液晶和稀聚合物水溶液等的运动. Rayleigh-Bénard 方程可用于模拟从下面加热的两个刚性表面之间填充区域的流体层的行为. 标准的微极 Rayleigh-Bénard 方程组可写为以下形式
其中
若
二维微极Rayleigh-Bénard 对流方程组可写为以下形式
其中
定理 1.1 令
注 1.1 定理 1.1 改进了王盛[24] 的结果, 我们将温度扩散项
为了证明定理1.1, 主要的工作是得到
为了处理涡度方程右边的项, 我们构建了两个组合量
在本文中, 字母
2 预备知识
傅里叶反变换为
选取一个非负径向函数
设
定义非齐次算子
形式上,
现在我们回顾一下Besov空间的定义.
定义 2.1 设
其中
引理 2.1 令
(1) 如果对于整数
则有
(2) 如果对于整数
则有
这里常数
接下来回顾一些交换子和乘积估计.
则存在常数
其中
引理 2.3[25] 令
此外, 如果
现在回顾对数型的 Sobolev 不等式[5].
引理 2.4 令
做
引理 2.5[20] 令
最后, 我们给出热核算子一个经典的
引理 2.6[21] 设
3 定理 1.1 的证明
3.1 \|\theta\|_{L^{\infty}} 的估计
在本节中, 我们首先建立
引理 3.1 假设初值满足定理 1.1 中的条件, 则对任意的
证 首先, 让方程组 (1.3) 分别与
应用 Grönwall 不等式可得到 (3.1) 式.
现在估计
根据引理 2.5 可推得
利用插值不等式和 Young 不等式, 我们有
将 (3.4) 和 (3.5) 式代入 (3.3) 式, 可得
根据 Grönwall 不等式可推得
下面估计
再次利用插值不等式和 Young 不等式可得
将 (3.7) 和 (3.8) 式代入 (3.6) 式, 可得
为了封闭估计, 我们引入
对上述
将 (3.9) 和 (3.10) 式相加可得
根据 Grönwall 不等式可推得
利用插值不等式, 我们有
因此根据温度方程可以推出
引理 3.1 证毕.
3.2 \|\Omega\|_{L^{\infty}} 的估计
本节建立
引理 3.2 假设初值满足定理 1.1 中的条件, 则对任意的
证 将算子
将(3.11) 式, 涡度方程(1.4)与微旋转速度方程加起来, 可以得到
分别对
因此
根据引理 2.1 可推得
利用引理 2.3 和嵌入
将(3.14)-(3.16) 式代入(3.13) 式, 我们有
根据 Grönwall 不等式可推得
因此我们完成了引理 3.2 的证明.
3.3 \|\nabla\omega\|_{L^{\infty}} 和 \int_{0}^{T}\|\nabla\theta\|_{L^{\infty}}\mathrm{d}t 的估计
本节建立
引理 3.3 假设初值满足定理 1.1 中的条件, 则对任意的
证 首先, 我们将
对上述方程做
因此
根据 Grönwall 不等式可得
接下来, 我们估计
利用引理 2.2 和 Young 不等式, 我们有
将 (3.18) 和 (3.19) 式代入 (3.17) 式, 可得
利用 Grönwall 不等式可得
引理 3.3 证毕.
3.4 全局 H^{s} 估计
在本节中, 对于
命题 3.1 假设初值满足定理 1.1 中的条件, 对于
证 将
下面我们估计
利用与
将
两次应用 Grönwall 不等式可得
因此我们完成了命题 3.1 的证明. 根据命题 3.1 和局部解的标准连续延拓准则, 方程组 (1.3) 有全局正则解. 至此, 定理1.1 证毕.
参考文献
Global regularity for the 2D Boussinesq equations with partial viscosity terms
Global well-posedness of the 2D incompressible micropolar fluid flows with partial viscosity and angular viscisiy
A new Bernstein inequality and the 2D dissipative quasigeostrophic equation
Global regularity for the micropolar Rayleigh-Bénard problem with only velocity dissipation
Global well-posedness and large-time decay for the 2D micropolar equations
Global regularity of the 2D micropolar fluid flows with zero angular viscosity
The regularity criteria of weak solutions to 3D axisymmetric incompressible Boussinesq equations
A note on the existence and uniqueness of solutions of micropolar fluid equations
On the global well-posedness of the axisymmetric viscous Boussinesq system in critical Lebesgue spaces
On the global well-posedness of the two-dimensional Boussinesq system with a zero diffusivity
Global well-posedness for a Boussinesq-Navier-Stokes system with critical dissipation
Global well-posedness of the 2D Boussinesq equations with partial dissipation
Micropolar meets Newtonian in 3D. The Rayleigh-Bénard problem for large Prandtl numbers
Commutator estimates and the Euler and Navier-Stokes equations
Well-posedness of the initial value problem for the Korteweg-de Vries equations
Micropolar meets Newtonian. The Rayleigh-Bénard problem
The maximum principle and the global attractor for the dissipative 2D quasi-geostrophic equations
Moments and lower bounds in the far-field of solutions to quasi-geostrophic flows
Global attractor for heat convection problem in a micropolar fluid
Global well-posedness for the 2D micropolar Rayleigh-Bénard convection problem without velocity dissipation
Global well-posedness for the 2D Bénard system with fractional diffusivity and Yudovich's type data
Global regularity for the 2D micropolar Rayleigh-Bénard convection system with the zero diffusivity
Some new regularity criteria for the 2D Euler-Boussinesq equations via the temperature
On the regularity criteria of weak solutions to the micropolar fluid equations in Lorentz space
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