数学物理学报, 2024, 44(4): 914-924

速度零耗散温度分数阶扩散的二维微极Rayleigh-Bénard对流系统的全局正则性

李昌昊,, 原保全,*

河南理工大学数学与信息科学学院 河南焦作 454000

Global Regularity for the 2D Micropolar Rayleigh-Bénard Convection System with Velocity Zero Dissipation and Temperature Fractional Diffusion

Li Changhao,, Yuan Baoquan,*

School of Mathematics and Information Science, Henan Polytechnic University, Henan Jiaozuo 454000

通讯作者: *原保全, E-mail:bqyuan@hpu.edu.cn

收稿日期: 2023-05-12   修回日期: 2024-01-25  

Received: 2023-05-12   Revised: 2024-01-25  

作者简介 About authors

李昌昊,E-mail:lch1162528727@163.com

摘要

该文研究速度零耗散, 微旋转速度拉普拉斯耗散且温度分数阶扩散的二维微极 Rayleigh-Bénard对流系统的全局正则性问题. 通过构建两个组合量和使用 Littlewood-Paley 分解技术, 该文建立了该系统解的全局正则性结果.

关键词： 微极 Rayleigh-Bénard 方程; 全局正则性; Besov 空间; Sobolev 空间

Abstract

This paper studies the global regularity problem for the 2D micropolar Rayleigh-Bénard convection system with velocity zero dissipation, micro-rotation velocity Laplace dissipation and temperature fractional dissipation. By introducing two combined quantities and using the technique of Littlewood-Paley decomposition, this paper establishes the global regularity result of solutions to this system.

Keywords： Micropolar Rayleigh-Bénard; Global regularity; Besov space; Sobolev space

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本文引用格式

李昌昊, 原保全. 速度零耗散温度分数阶扩散的二维微极Rayleigh-Bénard对流系统的全局正则性[J]. 数学物理学报, 2024, 44(4): 914-924

Li Changhao, Yuan Baoquan. Global Regularity for the 2D Micropolar Rayleigh-Bénard Convection System with Velocity Zero Dissipation and Temperature Fractional Diffusion[J]. Acta Mathematica Scientia, 2024, 44(4): 914-924

1 引言

在本文中, 我们研究 Boussinesq 逼近框架下的一个数学模型, 该模型描述微极流体热对流现象[15,18,22], 称为微极 Rayleigh-Bénard 对流系统. 微极 Rayleigh-Bénard 对流系统是一个耦合系统, 包括微极方程和Rayleigh-Bénard方程. 微极方程是Eringen于1966年首次提出[9], 该模型能够考虑一些粘性不可压缩流体的经典Navier-Stokes方程无法处理的物理现象, 例如动物血液、液晶和稀聚合物水溶液等的运动. Rayleigh-Bénard 方程可用于模拟从下面加热的两个刚性表面之间填充区域的流体层的行为. 标准的微极 Rayleigh-Bénard 方程组可写为以下形式

$\left\{\begin{array}{l} \partial_{t} u+u \cdot \nabla u-(\mu+\chi) \Delta u+\nabla p=2 \chi \nabla \times \omega+e_{3} \theta \\ \partial_{t} \omega+u \cdot \nabla \omega-\nu \Delta \omega+4 \chi \omega-\eta \nabla \nabla \cdot \omega=2 \chi \nabla \times u \\ \partial_{t} \theta+u \cdot \nabla \theta-\kappa \Delta \theta=u \cdot e_{3} \\ \nabla \cdot u=0 \\ u(x, 0)=u_{0}(x), \omega(x, 0)=\omega_{0}(x), \theta(x, 0)=\theta_{0}(x) \end{array}\right.$

其中 $u$ 表示流体速度, $\omega$ 是微旋转场, 表示流体粒子旋转的角速度, $\theta$ 是标量温度, $p$ 是压力. $\mu$, $\chi$ 和 $\kappa$ 分别是牛顿运动学粘度, 涡粘度和热扩散率. $\eta$ 和 $\nu$ 是角粘度. $e_{3}=(0,0,1)$ 是垂直单位向量, $e_{3}\theta$ 描述浮力对流体运动的作用, $u\cdot e_{3}$ 是热无粘流体中的Rayleigh-Bénard 对流.

若 $\chi=0$, $\omega=0$, 则系统(1.1) 简化为 Bénard 方程. 当 Rayleigh-Bénard 对流项 $u\cdot e_{3}=0$ 时, Bénard 方程退化为Boussinesq方程. Boussinesq 方程可以用来模拟大气锋和海洋环流等地球物理流动, 并且对Rayleigh-Bénard 对流的研究具有重要意义. 由于其物理应用背景和数学上的重要意义, Boussinesq 方程近些年引起了广泛关注并取得了一些进展[2,8,11⇓⇓-14,27]. 当忽略温度的影响, 即 $\theta=0$ 时, 系统则系统(1.1) 简化为微极方程. 关于微极方程的更多研究进展可见文献[3,6,7,10,28]等.

二维微极Rayleigh-Bénard 对流方程组可写为以下形式

$\left\{\begin{array}{l} \partial_{t} u+u \cdot \nabla u-(\mu+\chi) \Delta u+\nabla p=2 \chi \nabla \times \omega+e_{2} \theta, \\ \partial_{t} \omega+u \cdot \nabla \omega-\nu \Delta \omega+4 \chi \omega=2 \chi \nabla \times u, \\ \partial_{t} \theta+u \cdot \nabla \theta-\kappa \Delta \theta=u \cdot e_{2}, \\ \nabla \cdot u=0, \\ (u, \omega, \theta)(x, t)_{t=0}=\left(u_{0}, \omega_{0}, \theta_{0}\right)(x), \quad x \in \mathbb{R}^{2}.\end{array}\right.$

2020年, 徐夫义和迟美玲[26] 得到了温度零扩散 (即 $\kappa=0$) 时系统 (1.2) 的全局正则性. 2021 年, 王盛[24] 建立了没有速度耗散 (即 $\mu+\chi=0$) 时系统 (1.2) 的全局正则性. 随后, 邓利华和尚海锋[5]得到了只有速度耗散 (即 $\nu=\kappa=0$) 时系统 (1.2) 的全局正则性. 在本文中, 我们研究速度零耗散、温度为分数阶扩散的二维微极 Rayleigh-Bénard 对流系统的全局正则性, 具体方程如下所示

$\left\{\begin{array}{l} \partial_{t} u+u \cdot \nabla u+\nabla p=2 \chi \nabla \times \omega+e_{2} \theta, \\ \partial_{t} \omega+u \cdot \nabla \omega-\nu \Delta \omega+4 \chi \omega=2 \chi \nabla \times u, \\ \partial_{t} \theta+u \cdot \nabla \theta+\kappa \Lambda^{\gamma} \theta=u \cdot e_{2}, \\ \nabla \cdot u=0, \\ (u, \omega, \theta)(x, t)_{t=0}=\left(u_{0}, \omega_{0}, \theta_{0}\right)(x), \quad x \in \mathbb{R}^{2}.\end{array}\right.$

其中 $\Lambda=(-\Delta)^{\frac{1}{2}}$ 表示 Zygmund 算子. 主要结果如下

定理 1.1 令 $\chi>0$, $\nu>0$, $\kappa>0$ 和 $\gamma\in(1,2)$. 设 $s>2$, $(u_{0},\omega_{0})\in H^{s}(\mathbb{R}^{2})$, $\theta_{0}\in H^{s}(\mathbb{R}^{2})\cap B_{\infty,1}^{1-\gamma}(\mathbb{R}^{2})$ 并且 $\nabla\cdot u_{0}=0$. 那么对于任意的 $T>0$, 方程组 (1.3) 存在一个唯一解 $(u,\omega,\theta)$,

$\begin{array}{c} u \in C\left([0, T) ; H^{s}\left(\mathbb{R}^{2}\right)\right), \\ \omega \in C\left([0, T) ; H^{s}\left(\mathbb{R}^{2}\right)\right) \cap L^{2}\left(0, T ; H^{s+1}\left(\mathbb{R}^{2}\right)\right), \\ \theta \in C\left([0, T) ; H^{s}\left(\mathbb{R}^{2}\right)\right) \cap L^{2}\left(0, T ; H^{s+\frac{\gamma}{2}}\left(\mathbb{R}^{2}\right)\right). \end{array}$

注 1.1 定理 1.1 改进了王盛[24] 的结果, 我们将温度扩散项 $-\Delta\theta$ 降低为 $\Lambda^{\gamma}\theta$.

为了证明定理1.1, 主要的工作是得到 $(u,\omega,\theta)$ 的先验估计. 在本文中, 我们考虑涡度 $\Omega\triangleq\nabla\times u$ 方程,

$\partial_{t}\Omega+u\cdot\nabla\Omega=-\Delta\omega+\partial_{1}\theta.$

为了处理涡度方程右边的项, 我们构建了两个组合量 $F\triangleq\Omega+\omega$ 和 $\Gamma\triangleq\Omega+\mathcal{R}_{\gamma}\theta+\omega$, 其中 ${R}_{\gamma}\triangleq\partial_{1}\Lambda^{-\gamma}$. 通过对 $\theta$ 作 $\dot{H}^{\frac{\gamma}{2}}$ 估计和对 $F$ 作 $L^{\frac{2}{2-\gamma}}$ 估计, 我们可以得到 $\|\theta\|_{L^{\infty}}$ 的估计. 然后, 由 $\|\Gamma\|_{L^{\infty}}$, $\|\mathcal{R}_{\gamma}\theta\|_{L^{\infty}}$ 和 $\|\omega\|_{L^{\infty}}$ 的估计可以得到 $\|\Omega\|_{L^{\infty}}$ 的估计. 进一步, 借助于热核算子的性质 (参见引理 2.7), 可以得到 $\|\nabla\omega\|_{L^{\infty}}$ 的估计. 然后, 通过对温度方程作 $\dot{H}^{1+\frac{\gamma}{2}}$ 估计, 得到 $\int_{0}^{T}\|\nabla\theta\|_{L^{\infty}}\mathrm{d}t$ 的估计. 最后, 我们用对数型的 Sobolev 不等式 (参见引理 2.4) 来证明 $(u,\omega,\theta)$ 的全局 $H^{s}$ 估计.

在本文中, 字母 $C$ 表示常数, 其具体值在每一个地方可以不同. 由于 $\chi$, $\nu$ 和 $\kappa$ 具体值不影响结果, 为了简单起见, 我们设 $\chi=\frac{1}{2}$ 且 $\nu=\kappa=1$.

2 预备知识

本节首先介绍 Littlewood-Paley 分解和 Besov 空间的定义. 关于 Littlewood-Paley 分解和 Besov 空间可以参考文献[1,19,23]. 给定 $f(x)\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^{d})$, $\mathcal{S}$ 表示 Schwartz 速降函数类. 定义傅里叶变换为

$\hat{f}(\xi)=\mathcal{F}f(\xi)=(2\pi)^{-d/2}\int_{\mathbb{R}^{d}}{\rm e}^{-{\rm i}x\cdot\xi}f(x)\mathrm{d}x,$

傅里叶反变换为

$\check{f}(\xi)=\mathcal{F}^{-1}f(\xi)=(2\pi)^{-d/2}\int_{\mathbb{R}^{d}}{\rm e}^{{\rm i}x\cdot\xi}f(\xi)\mathrm{d}\xi.$

选取一个非负径向函数 $\chi\in C_{0}^{\infty}(\mathbb{R}^{d})$ 使得 $0\leq\chi(\xi)\leq1$ 并且

$\chi(\xi)=\begin{cases}{ \begin{array}{ll} 1,& |\xi|\leq\frac{3}{4},\\[3mm]0,\ & |\xi|>\frac{4}{3}. \end{array} }\end{cases}$

设 $\hat{\varphi}(\xi)=\chi(\xi/2)-\chi(\xi)$, 对于$j\in\mathbb{Z}$, 设 $\chi_{j}(\xi)=\chi(\frac{\xi}{2^{j}})$ 和 $\hat{\varphi}_{j}(\xi)=\hat{\varphi}(\frac{\xi}{2^{j}})$. 记

$h(x)=\mathcal{F}^{-1}\chi(x), h_{j}(x)=2^{dj}h(2^{j}x), \varphi_{j}(x)=2^{dj}\varphi(2^{j}x).$

定义非齐次算子 $S_{j}$ 和 $\Delta_{j}$ 分别为

$\begin{split}&\triangle_{-1}u(x)=h\ast u(x); \triangle_{j}u(x)=\varphi_{j}\ast u(x), j\geq0;\\&\triangle_{j}u(x)=0, j\leq-2; S_{j}u(x)=\sum_{-1\leq k\leq j-1}\Delta_{k}u(x), j\geq0.\end{split}$

形式上, $\Delta_{j}$ 是环 $|\xi|\approx2^{j}$ 的频率投影, 对于 $j\ge0$, $S_{j}$ 是球 $|\xi|\lesssim2^{j}$ 的频率投影. 对于任意的 $u(x)\in L^{2}(\mathbb{R}^{d})$, 我们有非齐次 Littlewood-Paley 分解

$u(x)=h\ast u(x)+\sum_{j\geq0}\varphi_{j}\ast u(x).$

现在我们回顾一下Besov空间的定义.

定义 2.1 设 $s\in\mathbb{R}$ 且 $1\leq p,~q\leq+\infty$, Besov 空间 $B_{p,q}^{s}(\mathbb{R}^{d})$ 缩写为 $B_{p,q}^{s}$, 其定义如下

$B_{p,q}^{s}=\{f(x)\in \mathcal{S}'(\mathbb{R}^{d});\|f\|_{B_{p,q}^{s}}<+\infty\},$

其中

$\|f\|_{B_{p,q}^{s}}=\begin{cases}{ \begin{array}{ll} \bigg(\sum_{j\geq-1}2^{jsq}\|\Delta_{j} f\|_{L^{p}}^{q}\bigg)^{\frac{1}{q}},~&\mbox{若}~q<+\infty,\\[3mm] \sup_{j\geq-1}2^{js}\|\Delta_{j} f\|_{L^{p}},~&\mbox{若}~q=+\infty. \end{array} }\end{cases}$

下面给出 Bernstein 不等式[1,4].

引理 2.1 令 $\alpha\geq0$, $1\leq p\leq q\leq\infty$,

(1) 如果对于整数 $j$ 和常数 $K>0$, $f$ 满足

${\rm supp}\hat{f}\subset\{\xi\in\mathbb{R}^{d}:~|\xi|\leq K2^{j}\},$

则有

$\|(-\triangle)^{\alpha}f\|_{L^{q}}\leq C_{1}2^{2\alpha j+jd(\frac{1}{p}-\frac{1}{q})}\|f\|_{L^{p}}.$

(2) 如果对于整数 $j$ 和常数 $0<K_{1}\leq K_{2}$, $f$ 满足

${\rm supp}\hat{f}\subset\{\xi\in\mathbb{R}^{d}:~K_{1}2^{j}\leq|\xi|\leq K_{2}2^{j}\},$

则有

$C_{1}2^{2\alpha j}\|f\|_{L^{q}}\leq\|(-\triangle)^{\alpha}f\|_{L^{q}}\leq C_{2}2^{2\alpha j+jd(\frac{1}{p}-\frac{1}{q})}\|f\|_{L^{p}}.$

这里常数 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 是依赖于 $\alpha$, $p$ 和 $q$ 的常数.

接下来回顾一些交换子和乘积估计.

引理 2.2[16,17] 令 $s>0$, 空间维数 $d\geq2$. 令 $1<r<\infty$, $q_{1},p_{2}\in(1,\infty)$, $p_{1},q_{2}\in[\infty]$, 且满足

$\frac{1}{r}=\frac{1}{p_{1}}+\frac{1}{q_{1}}=\frac{1}{p_{2}}+\frac{1}{q_{2}}.$

则存在常数 $C$ 使得

$\begin{align*}&\|[\Lambda^{s},f]g\|_{L^{r}}\leq C(\|\nabla f\|_{L^{p_{1}}}\|\Lambda^{s-1}g\|_{L^{q_{1}}}+\|\Lambda^{s}f\|_{L^{p_{2}}}\|g\|_{L^{q_{2}}}),\\&\|\Lambda^{s}(f g)\|_{L^{r}}\leq C(\|\Lambda^{s}f\|_{L^{q_{1}}}\|g\|_{L^{p_{1}}}+\|f\|_{L^{q_{2}}}\|\Lambda^{s}g\|_{L^{p_{2}}}).\end{align*}$

其中 $[\Lambda^{s},f]g=\Lambda^{s}(fg)-f\Lambda^{s}g$ 为交换子.

引理 2.3[25] 令 $\gamma\in(1,2),~(p,r)\in[\infty]\times[\infty]$, 设 $u$ 是光滑的散度自由向量, $\Omega\triangleq\nabla\times u$ 且 $\theta$ 是一个光滑的标量函数. 则对于每一个 $s\in(\gamma-2,\gamma)$,

$\|[\mathrm{R}_{\gamma},u\cdot\nabla]\theta\|_{B_{p,r}^{s}}\leq C\|\nabla u\|_{L^{p}}(\|\theta\|_{B_{\infty,r}^{s+1-\gamma}}+\|\theta\|_{L^{2}}).$

此外, 如果 $p=\infty$, 我们有

$\|[\mathrm{R}_{\gamma},u\cdot\nabla]\theta\|_{B_{\infty,r}^{s}}\leq C(\|\Omega\|_{L^{\infty}}+\|u\|_{L^{2}})\|\theta\|_{B_{\infty,r}^{s+(1-\gamma)/2}}+\|u\|_{L^{2}}\|\theta\|_{L^{2}}.$

现在回顾对数型的 Sobolev 不等式[5].

引理 2.4 令 $s>\frac{d}{2}$, 其中 $d\geq2$. 那么存在两个常数 $C_{1}$, $C_{2}$ 使得

$\|\nabla f\|_{L^{\infty}}\leq C_{1}\|\nabla f\|_{L^{2}}+C_{2}\|\nabla f\|_{\dot{B}^{0}_{\infty,\infty}}\mathrm{log}({\rm e}+\|\Lambda^{s}\nabla f\|_{L^{2}}).$

做 $r > 2$ 的 $L^{r}$ 估计时, 下面的正性引理可以给出黏性导数项一个下界估计.

引理 2.5[20] 令 $s\in[0,2]$, 对于 $p\geq2$, $f$ 和 $\Lambda^{s}f\in L^{p}$. 则

$\int_{\mathbb{R}^{2}}|f|^{p-2}f\Lambda^{s}f\mathrm{d}x\geq\frac{2}{p}\int_{\mathbb{R}^{2}}(\Lambda^{\frac{s}{2}}|f|^{\frac{p}{2}})^{2}\mathrm{d}x.$

最后, 我们给出热核算子一个经典的 $L^{p}$-$L^{q}$ 型估计.

引理 2.6[21] 设 $d$ 是空间维数, $s>0$ 和 $1\leq p\leq q\leq\infty$. 对于任意的 $t>0$, 我们有

$\|\nabla^{s}{\rm e}^{\Delta t}f\|_{L^{q}}\leq Ct^{-\frac{s}{2}}t^{-\frac{d}{2}(\frac{1}{p}-\frac{1}{q})}\|f\|_{L^{p}}.$

3 定理 1.1 的证明

3.1 $\|\theta\|_{L^{\infty}}$ 的估计

在本节中, 我们首先建立 $(u,\omega,\theta)$ 的全局 $L^{2}$ 估计, 然后估计 $\|\theta\|_{L^{\infty}}$.

引理 3.1 假设初值满足定理 1.1 中的条件, 则对任意的 $T>0$, 方程组(1.3) 的解 $(u,\omega,\theta)$ 有以下估计

$\|u\|^{2}_{L^{2}}+\|\omega\|^{2}_{L^{2}}+\|\theta\|^{2}_{L^{2}}+\int^{t}_{0}\|\nabla\omega(\cdot,\tau)\|^{2}_{L^{2}}\mathrm{d}\tau+\int^{t}_{0}\|\Lambda^{\frac{\gamma}{2}}\theta(\cdot,\tau)\|^{2}_{L^{2}}\mathrm{d}\tau\leq\|(u_{0},\omega_{0},\theta_{0})\|_{L^{2}}^{2}{\rm e}^{CT},$
$\|\theta\|_{L^{\infty}}\leq C{\rm e}^{CT}.$

证 首先, 让方程组 (1.3) 分别与 $(u,\omega,\theta)$ 做 $L^{2}$ 内积, 利用 Hölder 和 Young 不等式, 有

$\begin{align*}& \ \frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\|u\|_{L^{2}}^{2}+\|\omega\|_{L^{2}}^{2}+\|\theta\|_{L^{2}}^{2})+\|\nabla\omega\|_{L^{2}}^{2}+2\|\omega\|_{L^{2}}^{2}+\|\Lambda^{\frac{\gamma}{2}}\theta\|_{L^{2}}^{2}\\&=\int_{\mathbb{R}^{2}}(\nabla\times\omega)\cdot u\mathrm{d}x+\int_{\mathbb{R}^{2}}e_{2}\theta\cdot u\mathrm{d}x+\int_{\mathbb{R}^{2}}(\nabla\times u)\cdot\omega\mathrm{d}x+\int_{\mathbb{R}^{2}}u\cdot e_{2}\theta\mathrm{d}x\\&\leq C\|u\|_{L^{2}}\|\nabla\omega\|_{L^{2}}+C\|u\|_{L^{2}}\|\theta\|_{L^{2}}\\&\leq C\|u\|_{L^{2}}^{2}+C\|\theta\|_{L^{2}}^{2}+\frac{1}{2}\|\nabla\omega\|_{L^{2}}^{2}.\end{align*}$

应用 Grönwall 不等式可得到 (3.1) 式.

现在估计 $\|\theta\|_{L^{p}}$, 其中 $2<p<\infty$. 将温度方程与 $|\theta|^{p-2}\theta$ 做内积可得

$\frac{1}{p}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\|\theta\|_{L^{p}}^{p}+\int_{\mathbb{R}^{2}}\Lambda^{\gamma}\theta\cdot(|\theta|^{p-2}\theta)\mathrm{d}x=\int_{\mathbb{R}^{2}}u_{2}\cdot(|\theta|^{p-2}\theta)\mathrm{d}x.$

根据引理 2.5 可推得

$\int_{\mathbb{R}^{2}}\Lambda^{\gamma}\theta\cdot(|\theta|^{p-2}\theta)\mathrm{d}x\geq \frac{2}{p}\int_{\mathbb{R}^{2}}(\Lambda^{\frac{\gamma}{2}}\theta^{\frac{p}{2}})^{2}\mathrm{d}x=\frac{2}{p}\|\Lambda^{\frac{\gamma}{2}}|\theta|^{\frac{p}{2}}\|_{L^{2}}^{2}.$

利用插值不等式和 Young 不等式, 我们有

$\begin{matrix}\bigg|\int_{\mathbb{R}^{2}}u_{2}\cdot(|\theta|^{p-2}\theta)\mathrm{d}x\bigg|&\leq C\|u\|_{L^{2}}\||\theta|^{\frac{p}{2}}\|_{L^{4(p-1)/p}}^{\frac{2(p-1)}{p}} \\&\leq C\|u\|_{L^{2}}\||\theta|^{\frac{p}{2}}\|_{L^{2}}^{\frac{2(p-1)}{p}-\frac{2(p-2)}{p\gamma}}\|\Lambda^{\frac{\gamma}{2}}|\theta|^{\frac{p}{2}}\|_{L^{2}}^{\frac{2(p-2)}{p\gamma}} \\&\leq C\|u\|_{L^{2}}\|\theta\|_{L^{p}}^{p-1-\frac{p-2}{\gamma}}\|\Lambda^{\frac{\gamma}{2}}|\theta|^{\frac{p}{2}}\|_{L^{2}}^{\frac{2(p-2)}{p\gamma}} \\&\leq \frac{1}{p}\|\Lambda^{\frac{\gamma}{2}}|\theta|^{\frac{p}{2}}\|_{L^{2}}^{2}+C(p)\|\theta\|_{L^{p}}^{p}+C.\end{matrix}$

将 (3.4) 和 (3.5) 式代入 (3.3) 式, 可得

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\|\theta\|_{L^{p}}^{p}+\|\Lambda^{\frac{\gamma}{2}}|\theta|^{\frac{p}{2}}\|_{L^{2}}^{2}\leq C(p)\|\theta\|_{L^{p}}^{p}+C.$

根据 Grönwall 不等式可推得

$\|\theta\|_{L^{p}}^{p}+\int_{0}^{t}\|\Lambda^{\frac{\gamma}{2}}|\theta|^{\frac{p}{2}}\|_{L^{2}}^{2}\mathrm{d}\tau\leq C{\rm e}^{CT}.$

下面估计 $\|\Lambda^{\frac{\gamma}{2}}\theta\|_{L^{2}}$. 将 $\Lambda^{\frac{\gamma}{2}}$ 作用于温度方程, 然后点乘 $\Lambda^{\frac{\gamma}{2}}\theta$, 并在 $\mathbb{R}^{2}$ 上积分, 我们有

$\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\|\Lambda^{\frac{\gamma}{2}}\theta\|_{L^{2}}^{2}+\|\Lambda^{\gamma}\theta\|_{L^{2}}^{2}=-\int_{\mathbb{R}^{2}}\Lambda^{\frac{\gamma}{2}}(u\cdot\nabla\theta)\Lambda^{\frac{\gamma}{2}}\theta\mathrm{d}x+\int_{\mathbb{R}^{2}}\Lambda^{\frac{\gamma}{2}}u_{2}\Lambda^{\frac{\gamma}{2}}\theta\mathrm{d}x.$

再次利用插值不等式和 Young 不等式可得

$\begin{matrix}\bigg|\int_{\mathbb{R}^{2}}\Lambda^{\frac{\gamma}{2}}(u\cdot\nabla\theta)\Lambda^{\frac{\gamma}{2}}\theta\mathrm{d}x\bigg|& \leq C\|u\|_{L^{\infty}}\|\nabla\theta\|_{L^{2}}\|\Lambda^{\gamma}\theta\|_{L^{2}} \\&\leq C\|u\|_{L^{2}}^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}\|\Omega\|_{L^{\frac{2}{2-\gamma}}}^{\frac{1}{\gamma}}\|\theta\|_{L^{\frac{2}{(\gamma-1)^{2}}}}^{\frac{1}{\gamma}}\|\Lambda^{\gamma}\theta\|_{L^{2}}^{\frac{2\gamma-1}{\gamma}} \\&\leq C\|\Omega\|_{L^{2}}^{2}+\frac{1}{8}\|\Lambda^{\gamma}\theta\|_{L^{2}}^{2},\end{matrix}$
$\bigg|\int_{\mathbb{R}^{2}}\Lambda^{\frac{\gamma}{2}}u_{2}\Lambda^{\frac{\gamma}{2}}\theta\mathrm{d}x\bigg|\leq C\|u\|_{L^{2}}\|\Lambda^{\gamma}\theta\|_{L^{2}}\leq \frac{1}{8}\|\Lambda^{\gamma}\theta\|_{L^{2}}^{2}+C{\rm e}^{CT}.$

将 (3.7) 和 (3.8) 式代入 (3.6) 式, 可得

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\|\Lambda^{\frac{\gamma}{2}}\theta\|_{L^{2}}^{2}+\frac{3}{2}\|\Lambda^{\gamma}\theta\|_{L^{2}}^{2}\leq C\|\Omega\|_{L^{2}}^{2}+C{\rm e}^{CT}.$

为了封闭估计, 我们引入 $F\triangleq \Omega$+$\omega$. 将涡度方程 (1.4) 与微旋转速度方程相加, 可以得到 $F$ 的方程

$\partial_{t}F+u\cdot\nabla F=\partial_{1}\theta+F-3\omega.$

对上述 $F$ 的方程做 $L^{\frac{2}{2-\gamma}}$ 估计, 可以得到

$\begin{matrix}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\|F\|_{L^{\frac{2}{2-\gamma}}}^{2}&\leq C\|\nabla\theta\|_{L^{\frac{2}{2-\gamma}}}\|F\|_{L^{\frac{2}{2-\gamma}}}+C\|F\|_{L^{\frac{2}{2-\gamma}}}^{2}+C\|\omega\|_{L^{\frac{2}{2-\gamma}}}\|F\|_{L^{\frac{2}{2-\gamma}}}\\&\leq \frac{1}{2}\|\Lambda^{\gamma}\theta\|_{L^{2}}^{2}+C\|F\|_{L^{\frac{2}{2-\gamma}}}^{2}+C\|\nabla\omega\|_{L^{2}}^{2}+C{\rm e}^{CT}.\end{matrix}$

将 (3.9) 和 (3.10) 式相加可得

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\|\Lambda^{\frac{\gamma}{2}}\theta\|_{L^{2}}^{2}+\|F\|_{L^{\frac{2}{2-\gamma}}}^{2})+\|\Lambda^{\gamma}\theta\|_{L^{2}}^{2}\leq C\|F\|_{L^{\frac{2}{2-\gamma}}}^{2}+C\|\omega\|_{L^{\frac{2}{2-\gamma}}}^2+C{\rm e}^{CT}.$

根据 Grönwall 不等式可推得

$\|\Lambda^{\frac{\gamma}{2}}\theta\|_{L^{2}}^{2}+\|F\|_{L^{\frac{2}{2-\gamma}}}^{2}+\int_{0}^{t}\|\Lambda^{\gamma}\theta\|_{L^{2}}^{2}\mathrm{d}\tau\leq C{\rm e}^{CT}.$

利用插值不等式, 我们有

$\begin{split}\int_{0}^{t}\|u\|_{L^{\infty}}\mathrm{d}\tau\leq C\int_{0}^{t}\|u\|_{L^{2}}^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}\|\Omega\|_{L^{\frac{2}{2-\gamma}}}^{\frac{1}{\gamma}}\mathrm{d}\tau\leq C{\rm e}^{CT}.\end{split}$

因此根据温度方程可以推出

$\|\theta\|_{L^{\infty}}\leq C\|\theta_{0}\|_{L^{\infty}}+\int_{0}^{t}\|u\|_{L^{\infty}}\mathrm{d}\tau\leq C{\rm e}^{CT}.$

引理 3.1 证毕.

3.2 $\|\Omega\|_{L^{\infty}}$ 的估计

本节建立 $\|\Omega\|_{L^{\infty}}$ 的估计.

引理 3.2 假设初值满足定理 1.1 中的条件, 则对任意的 $T>0$, 方程组 (1.3) 的解 $(u,\omega,\theta)$ 有以下估计

$\|\Omega\|_{L^{\infty}}\leq C{\rm e}^{{\rm e}^{CT}}.$

证 将算子 $\mathcal{R}_{\gamma}$ 作用于温度方程, 有

$\partial_{t}\mathcal{R}_{\gamma}\theta+u\cdot\nabla\mathcal{R}_{\gamma}\theta+\Lambda^{\gamma}\mathcal{R}_{\gamma}\theta=-[\mathcal{R}_{\gamma},u\cdot\nabla]\theta+\mathcal{R}_{\gamma}u_{2}.$

将(3.11) 式, 涡度方程(1.4)与微旋转速度方程加起来, 可以得到 $\Gamma\triangleq\Omega+\mathcal{R}_{\gamma}\theta+\omega$ 的方程

$\partial_{t}\Gamma+u\cdot\nabla\Gamma=-[\mathcal{R}_{\gamma},u\cdot\nabla]\theta+\mathcal{R}_{\gamma}u_{2}+\Omega-2\omega.$

分别对 $\Gamma$, $\omega$ 和 $\mathcal{R}_{\gamma}\theta$ 做 $L^{\infty}$ 估计, 有

$\begin{split}\|\Gamma\|_{L^{\infty}}\leq\ &\|\Gamma_{0}\|_{L^{\infty}}+\int_{0}^{t}\|[\mathcal{R}_{\gamma},u\cdot\nabla]\theta\|_{L^{\infty}}\mathrm{d}\tau+\int_{0}^{t}\|\mathcal{R}_{\gamma}u_{2}\|_{L^{\infty}}\mathrm{d}\tau\\&+\int_{0}^{t}\|\Omega\|_{L^{\infty}}\mathrm{d}\tau+2\int_{0}^{t}\|\omega\|_{L^{\infty}}\mathrm{d}\tau,\end{split}$
$\|\omega\|_{L^{\infty}}+2\int_{0}^{t}\|\omega\|_{L^{\infty}}\mathrm{d}\tau\leq \|\omega_{0}\|_{L^{\infty}}+\int_{0}^{t}\|\Omega\|_{L^{\infty}}\mathrm{d}\tau,$
$\|\mathcal{R}_{\gamma}\theta\|_{L^{\infty}}\leq \|\mathcal{R}_{\gamma}\theta_{0}\|_{L^{\infty}}+\int_{0}^{t}\|[\mathcal{R}_{\gamma},u\cdot\nabla]\theta\|_{L^{\infty}}\mathrm{d}\tau+\int_{0}^{t}\|\mathcal{R}_{\gamma}u_{2}\|_{L^{\infty}}\mathrm{d}\tau.$

因此

$\begin{matrix}\|\Omega\|_{L^{\infty}}&\leq\|\Gamma\|_{L^{\infty}}+\|\mathcal{R}_{\gamma}\theta\|_{L^{\infty}}+\|\omega\|_{L^{\infty}} \\&\leq C\|\Omega_{0}\|_{L^{\infty}}+C\|\mathcal{R}_{\gamma}\theta_{0}\|_{L^{\infty}}+C\|\omega_{0}\|_{L^{\infty}}+C\int_{0}^{t}\|[\mathcal{R}_{\gamma},u\cdot\nabla]\theta\|_{L^{\infty}}\mathrm{d}\tau \\& \ +C\int_{0}^{t}\|\mathcal{R}_{\gamma}u_{2}\|_{L^{\infty}}\mathrm{d}\tau+C\int_{0}^{t}\|\Omega\|_{L^{\infty}}\mathrm{d}\tau.\end{matrix}$

根据引理 2.1 可推得

$\|\mathcal{R}_{\gamma}\theta_{0}\|_{L^{\infty}}\leq C\|\mathcal{R}_{\gamma}\theta_{0}\|_{B_{\infty,1}^{0}}\leq C\|\theta_{0}\|_{L^{2}}+C\sum_{q\geq0}2^{q(1-\gamma)}\|\Delta_{q}\theta_{0}\|_{L^{\infty}}\leq C\|\theta_{0}\|_{L^{2}\cap B_{\infty,1}^{1-\gamma}},$
$\|\mathcal{R}_{\gamma}u\|_{L^{\infty}}\leq C\|\mathcal{R}_{\gamma}u\|_{B^{0}_{\infty,1}}\leq C\|u\|_{L^{2}}+C\sum_{q\geq0}2^{-q\gamma}\|\Omega\|_{L^{\infty}}\leq C{\rm e}^{CT}+C\|\Omega\|_{L^{\infty}}.$

利用引理 2.3 和嵌入 $L^{\infty}\hookrightarrow B_{\infty,\infty}^{0}\hookrightarrow B_{\infty,1}^{(1-\gamma)/2}~(\gamma>1)$, 可以推出

$\begin{matrix}\|[\mathcal{R}_{\gamma},u\cdot\nabla]\theta\|_{L^{\infty}}& \leq C\|[\mathcal{R}_{\gamma},u\cdot\nabla]\theta\|_{B^{0}_{\infty,1}} \\&\leq C(\|\Omega\|_{L^{\infty}}+\|u\|_{L^{2}})(\|\theta\|_{B_{\infty,1}^{(1-\gamma)/2}}+\|\theta\|_{L^{2}}) \\&\leq C(\|\Omega\|_{L^{\infty}}+{\rm e}^{CT}){\rm e}^{CT},\end{matrix}$

将(3.14)-(3.16) 式代入(3.13) 式, 我们有

$\begin{split}\|\Omega\|_{L^{\infty}}\leq C\|\omega_{0}\|_{L^{\infty}}+C\|\Omega_{0}\|_{L^{\infty}}+C\|\theta_{0}\|_{L^{2}\cap B_{\infty,1}^{1-\gamma}}+C{\rm e}^{CT}+C{\rm e}^{CT}\int_{0}^{t}\|\Omega\|_{L^{\infty}}\mathrm{d}\tau.\end{split}$

根据 Grönwall 不等式可推得

$\|\Omega\|_{L^{\infty}}\leq C{\rm e}^{{\rm e}^{CT}},$

因此我们完成了引理 3.2 的证明.

3.3 $\|\nabla\omega\|_{L^{\infty}}$ 和 $\int_{0}^{T}\|\nabla\theta\|_{L^{\infty}}\mathrm{d}t$ 的估计

本节建立 $\|\nabla\omega\|_{L^{\infty}}$ 和 $\int_{0}^{T}\|\nabla\theta\|_{L^{\infty}}\mathrm{d}t$ 的估计.

引理 3.3 假设初值满足定理 1.1 中的条件, 则对任意的 $T>0$, 方程组 (1.3) 的解 $(u,\omega,\theta)$ 有以下估计

$\|\nabla\omega\|_{L^{\infty}}+\int_{0}^{t}\|\nabla\theta\|_{L^{\infty}}\mathrm{d}\tau \leq C{\rm e}^{{\rm e}^{CT}}.$

证 首先, 我们将 $\omega$ 的方程写成如下所示的积分形式:

$\omega={\rm e}^{t\Delta}\omega_{0}+\int_{0}^{t}{\rm e}^{(t-\tau)\Delta}(\Omega-2\omega-u\cdot\nabla\omega)\mathrm{d}\tau.$

对上述方程做 $\dot{W}^{1,\infty}$ 估计, 根据引理 2.6 和 Young不等式,

$\begin{split}\|\nabla\omega\|_{L^{\infty}}&\leq \|\nabla {\rm e}^{t\Delta}\omega_{0}\|_{L^{\infty}}+\int_{0}^{t}\|\nabla {\rm e}^{(t-\tau)\Delta}(\Omega-2\omega-u\cdot\nabla\omega)\|_{L^{\infty}}\mathrm{d}\tau\\& \leq \|\nabla\omega_{0}\|_{L^{\infty}}+\int_{0}^{t}(t-\tau)^{-\frac{1}{2}}(\|\Omega\|_{L^{\infty}}+2\|\omega\|_{L^{\infty}}+\|u\|_{L^{\infty}}\|\nabla\omega\|_{L^{\infty}})\mathrm{d}\tau\\&\leq \|\nabla\omega_{0}\|_{L^{\infty}}+CT^{\frac{1}{3}}\bigg(\int_{0}^{t}({\rm e}^{{\rm e}^{CT}}+{\rm e}^{CT}\|\nabla\omega\|_{L^{\infty}})^{4}\mathrm{d}\tau\bigg)^{\frac{1}{4}},\end{split}$

因此

$\|\nabla\omega\|_{L^{\infty}}^{4}\leq C\|\nabla\omega_{0}\|_{L^{\infty}}^{4}+CT^{\frac{4}{3}}\int_{0}^{t}({\rm e}^{{\rm e}^{CT}}+{\rm e}^{CT}\|\nabla\omega\|_{L^{\infty}}^{4})\mathrm{d}\tau.$

根据 Grönwall 不等式可得

$\|\nabla\omega\|_{L^{\infty}}^{4}\mathrm{d}\tau\leq C{\rm e}^{{\rm e}^{CT}}.$

接下来, 我们估计 $\theta$ 在 $\dot{H}^{1+\frac{\gamma}{2}}$ 的空间范数. 将算子 $\Lambda^{1+\frac{\gamma}{2}}$ 作用于温度方程, 然后再与 $\Lambda^{1+\frac{\gamma}{2}}\theta$ 做内积, 可以得到

$\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\|\Lambda^{1+\frac{\gamma}{2}}\theta\|_{L^{2}}^{2}+\|\Lambda^{1+\gamma}\theta\|_{L^{2}}^{2}=-\int_{\mathbb{R}^{2}}\Lambda^{1+\frac{\gamma}{2}}(u\cdot\nabla\theta)\Lambda^{1+\frac{\gamma}{2}}\theta\mathrm{d}x+\int_{\mathbb{R}^{2}}\Lambda^{1+\frac{\gamma}{2}}u_{2}\Lambda^{1+\frac{\gamma}{2}}\theta\mathrm{d}x.$

利用引理 2.2 和 Young 不等式, 我们有

$\begin{matrix}\bigg|\int_{\mathbb{R}^{2}}\Lambda^{1+\frac{\gamma}{2}}(u\cdot\nabla\theta)\Lambda^{1+\frac{\gamma}{2}}\theta\mathrm{d}x\bigg|&\leq C\|\Lambda(u\cdot\nabla\theta)\|_{L^{2}}\|\Lambda^{1+\gamma}\theta\|_{L^{2}} \\&\leq C(\|\Lambda u\|_{L^{\frac{4}{\gamma}}}\|\nabla\theta\|_{L^{\frac{4}{2-\gamma}}}+\|u\|_{L^{\infty}}\|\Lambda^{2}\theta\|_{L^{2}})\|\Lambda^{1+\gamma}\theta\|_{L^{2}} \\&\leq C(\|u\|_{L^{2}}^{\frac{\gamma}{4}}\|\Omega\|_{L^{\infty}}^{1-\frac{\gamma}{4}}\|\Lambda^{1+\frac{\gamma}{2}}\theta\|_{L^{2}}+\|\theta\|_{L^{2}}^{\frac{\gamma-1}{\gamma+1}}\|\Lambda^{1+\gamma}\theta\|_{L^{2}}^{\frac{2}{\gamma+1}})\|\Lambda^{1+\gamma}\theta\|_{L^{2}} \\&\leq C\|\Lambda^{1+\frac{\gamma}{2}}\theta\|_{L^{2}}^{2}+C{\rm e}^{{\rm e}^{CT}}+\frac{1}{4}\|\Lambda^{1+\gamma}\theta\|_{L^{2}}^{2},\end{matrix}$
$\bigg|\int_{\mathbb{R}^{2}}\Lambda^{1+\frac{\gamma}{2}}u_{2}\Lambda^{1+\frac{\gamma}{2}}\theta\mathrm{d}x\bigg|\leq C\|\Lambda u\|_{L^{2}}\|\Lambda^{1+\gamma}\theta\|_{L^{2}}\leq C{\rm e}^{CT}+\frac{1}{4}\|\Lambda^{1+\gamma}\theta\|_{L^{2}}^{2}.$

将 (3.18) 和 (3.19) 式代入 (3.17) 式, 可得

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\|\Lambda^{1+\frac{\gamma}{2}}\theta\|_{L^{2}}^{2}+\|\Lambda^{1+\gamma}\theta\|_{L^{2}}^{2}\leq C\|\Lambda^{1+\frac{\gamma}{2}}\theta\|_{L^{2}}^{2}+C{\rm e}^{{\rm e}^{CT}},$

利用 Grönwall 不等式可得

$\int_{0}^{t}\|\nabla\theta\|_{L^{\infty}}\mathrm{d}t\leq C\int_{0}^{t}\|\theta\|_{L^{2}}^{\frac{\gamma-1}{\gamma+1}}\|\Lambda^{1+\gamma}\theta\|_{L^{2}}^{\frac{2}{\gamma+1}}\mathrm{d}\tau\leq C{\rm e}^{{\rm e}^{CT}}.$

引理 3.3 证毕.

3.4 全局 $H^{s}$ 估计

在本节中, 对于 $s>2$, 我们建立 $(u,\omega,\theta)$ 的全局 $H^{s}$ 估计.

命题 3.1 假设初值满足定理 1.1 中的条件, 对于 $s>2$, 方程组 (1.3) 的解 $(u,\omega,\theta)$ 在 $H^{s}(\mathbb{R}^{2})$ 中有界.

证 将 $\Lambda^{s}$ 作用于系统 (1.3), 再分别点乘 $(\Lambda^{s}u,\Lambda^{s}\omega,\Lambda^{s}\theta)$, 并在 $\mathbb{R}^{2}$ 上积分, 有

$\begin{matrix} & \ \frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\|\Lambda^{s}u\|^{2}_{L^{2}}+\|\Lambda^{s}\omega\|^{2}_{L^{2}}+\|\Lambda^{s}\theta\|^{2}_{L^{2}}) +\|\Lambda^{s+1}\omega\|^{2}_{L^{2}}+2\|\Lambda^{s}\omega\|^{2}_{L^{2}}+\|\Lambda^{s+\frac{\gamma}{2}}\theta\|^{2}_{L^{2}} \\ &\leq-\int_{\mathbb{R}^{2}}[\Lambda^{s},u\cdot\nabla]u\cdot\Lambda^{s}u\mathrm{d}x +\int_{\mathbb{R}^{2}}\Lambda^{s}(\nabla\times\omega)\cdot\Lambda^{s}u\mathrm{d}x+\int_{\mathbb{R}^{2}}\Lambda^{s}(e_{2}\theta)\cdot\Lambda^{s}u\mathrm{d}x \\ & -\int_{\mathbb{R}^{2}}[\Lambda^{s},u\cdot\nabla]\omega\cdot\Lambda^{s}\omega \mathrm{d}x+\int_{\mathbb{R}^{2}}\Lambda^{s}(\nabla\times u)\cdot\Lambda^{s}\omega \mathrm{d}x \\ &~~~-\int_{\mathbb{R}^{2}}[\Lambda^{s},u\cdot\nabla]\theta\cdot\Lambda^{s}\theta \mathrm{d}x+\int_{\mathbb{R}^{2}}\Lambda^{s}(u\cdot e_{2})\cdot\Lambda^{s}\theta \mathrm{d}x \\ &=J_{1}+J_{2}+J_{3}+J_{4}+J_{5}+J_{6}+J_{7}. \end{matrix}$

下面我们估计 $J_{1}-J_{7}$. 利用 Hölder不等式和引理 2.2,

$\begin{split} |J_{1}|&\leq C\|[\Lambda^{s},u\cdot\nabla]u\|_{L^{2}}\|\Lambda^{s}u\|_{L^{2}}\\ &\leq C(\|\nabla u\|_{L^{\infty}}\|\Lambda^{s}u\|_{L^{2}}+\|\Lambda^{s}u\|_{L^{2}}\|\nabla u\|_{L^{\infty}})\|\Lambda^{s}u\|_{L^{2}}\\ &\leq C\|\nabla u\|_{L^{\infty}}\|\Lambda^{s}u\|^{2}_{L^{2}}, \\ |J_{2}+J_{5}|&\leq C\|\Lambda^{s+1}\omega\|_{L^{2}}\|\Lambda^{s}u\|_{L^{2}}\leq \frac{1}{2}\|\Lambda^{s+1}\omega\|^{2}_{L^{2}}+C\|\Lambda^{s}u\|^{2}_{L^{2}}, \\ |J_{3}+J_{7}|&\leq C(\|\Lambda^{s}\theta\|^{2}_{L^{2}}+\|\Lambda^{s}u\|^{2}_{L^{2}}). \end{split}$

利用与 $J_{1}$ 相似的推导, 可以得到

$\begin{split} |J_{4}|&\leq C(\|\nabla u\|_{L^{\infty}}\|\Lambda^{s}\omega\|_{L^{2}}+ \|\Lambda^{s}u\|_{L^{2}}\|\nabla\omega\|_{L^{\infty}})\|\Lambda^{s}\omega\|_{L^{2}}\\ &\leq C(\|\nabla u\|_{L^{\infty}}+\|\nabla \omega\|_{L^{\infty}})(\|\Lambda^{s}u\|_{L^{2}}^{2}+\|\Lambda^{s}\omega\|_{L^{2}}^{2}), \\ |J_{6}|&\leq C(\|\nabla u\|_{L^{\infty}}\|\Lambda^{s}\theta\|_{L^{2}}+ \|\Lambda^{s}u\|_{L^{2}}\|\nabla\theta\|_{L^{\infty}})\|\Lambda^{s}\theta\|_{L^{2}}\\ &\leq C(\|\nabla u\|_{L^{\infty}}+\|\nabla \theta\|_{L^{\infty}})(\|\Lambda^{s}u\|_{L^{2}}^{2}+\|\Lambda^{s}\theta\|_{L^{2}}^{2}). \end{split}$

将 $J_{1}-J_{7}$ 的估计代入 (3.20) 式, 利用对数型的 Sobolev 不等式 (参见引理 2.4), 我们有

$\begin{split} &\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\|\Lambda^{s}u\|^{2}_{L^{2}}+\|\Lambda^{s}\omega\|^{2}_{L^{2}}+\|\Lambda^{s}\theta\|^{2}_{L^{2}}) +\|\Lambda^{s+1}\omega\|^{2}_{L^{2}}+\|\Lambda^{s+\frac{\gamma}{2}}\theta\|^{2}_{L^{2}}\\ \leq\ & C(\|\nabla u\|_{L^{\infty}}+\|\nabla\omega\|_{L^{\infty}}+\|\nabla\theta\|_{L^{\infty}}) (\|\Lambda^{s}u\|^{2}_{L^{2}}+\|\Lambda^{s}\omega\|^{2}_{L^{2}}+\|\Lambda^{s}\theta\|^{2}_{L^{2}})\\ \leq\ & C(1+\|\Omega\|_{L^{\infty}}\mathrm{log}(e+\|\Lambda^{s}u\|_{L^{2}})+ \|\nabla\omega\|_{L^{\infty}}+\|\nabla\theta\|_{L^{\infty}})\\ &\times(\|\Lambda^{s}u\|^{2}_{L^{2}}+\|\Lambda^{s}\omega\|^{2}_{L^{2}}+\|\Lambda^{s}\theta\|^{2}_{L^{2}}).\\ \end{split}$

两次应用 Grönwall 不等式可得

$\begin{split} &(\|u\|^{2}_{H^{s}}+\|\omega\|^{2}_{H^{s}}+\|\theta\|^{2}_{H^{s}})+\int^{T}_{0}\|\nabla\omega\|^{2}_{H^{s}}\mathrm{d}\tau+\int^{T}_{0}\|\Lambda^{\frac{\gamma}{2}} \theta\|^{2}_{H^{s}}\mathrm{d}\tau\\ \leq\ & C(\|u_{0}\|_{H^{s}},\|\omega_{0}\|_{H^{s}},\|\theta_{0}\|_{H^{s}\cap B_{\infty,1}^{1-\gamma}},T). \end{split}$

因此我们完成了命题 3.1 的证明. 根据命题 3.1 和局部解的标准连续延拓准则, 方程组 (1.3) 有全局正则解. 至此, 定理1.1 证毕.

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