2000 年, Aw、Rascle^[1]和 Zhang^[10]提出了一种二阶交通流模型

其中 $ \rho(x, t) \geqslant 0 $ 和 $ v(x, t) \geqslant 0 $ 分别为交通车辆的密度和速度, 变量 $ w $ 表示相对速度, 标量 $ \eta > 0 $ 为微观中对应车辆加速与减速的加权. 压力项 $ p(\rho) $ 为模拟实际交通反应的预测因子, 这里假设 $ p(\rho) $ 满足

由文献[1]可知压力项前面的参数 $ \eta $ 越小, 密度 $ \rho $ 越大, 对应发生交通事故的概率越大. 有关 ARZ 模型的理论研究参见文献[4,7].

20 世纪 90 年代, 物理学家发现, 当高速公路上的车辆密度低于临界密度时, 交通流是稳定的 (称之为平滑流), 小干扰不会影响交通; 但一旦车辆密度超过临界值, 交通流量突然变得不稳定了 (称之为阻塞流), 小干扰的影响会呈指数级别增长. 例如, 交通早 (晚) 高峰期临近, 车辆密度逐渐升至临界值边缘, 平滑流与阻塞流之间突变 (即相变), 司机的粗心驾驶会造成更大范围的交通堵塞; 随着交通早 (晚) 高峰期结束, 阻塞流又恢复到平滑流 (相变也随即消失). 为了描述这一现象并预测交通事故, 2010 年 Herty 和 Schleper 等^[5]在 ARZ 交通流模型 (1.1) 的基础上, 改变压力项前面的参数 $ \eta $, 将两个具有不同压力项系数的 ARZ 交通模型进行耦合, 提出以下耦合交通流 (CARZ) 模型

其中 $ \rho^{}\geqslant 0 $、 $ v^{}\geqslant 0 $ 和 $ w^{\eta}, w^{\mu} \geqslant 0 $ 分别表示密度、速度和对应路段上的相对速度, 压力项 $ p(\rho) $ 满足 (1.2) 式. 考虑上述耦合 Aw-Rascle-Zhang 交通流模型黎曼问题, 给定初始状态

其中 $ \rho_{\pm}, v_{\pm} $ 为已知常数. Herty 和 Schleper 等^[5]证明了黎曼问题 (1.3)-(1.4) 解的存在性, 但没有给出具体的显式解; 王文雷^[9]在其基础上进行了补充, 构造了大部分情况的黎曼显式解, 并证明了上述情况下的解的唯一性.

本文继续研究在单连通道路上具有不同压力项的耦合 Aw-Rascle-Zhang(CARZ) 交通流模型的黎曼问题 (1.3)-(1.4), 首先我们对文献[5,9]中缺失的情形 $ v_- + \eta (\rho_-)^{\gamma} = v_+ $ 进行了补充, 利用特征分析法和相变^[2,3]的相关理论, 构造出对应的显式解, 从而完善了 CARZ 模型的黎曼解, 为更好的模拟预测一些实际交通状况给予了理论支持. 其次, 令 CARZ 模型 (1.3) 中的压力项参数 $ \mu \to \eta $, 得到对应的极限, 发现 Herty 和 Schleper 在 $ v_- + \eta (\rho_-)^{\gamma}< v_+ $ 这一情况下构造的黎曼解是不稳定的, 因此我们修正了该情况下的解, 并最终证明了黎曼解的唯一性和稳定性.

模型 (1.1) 的特征值为

故该模型是严格双曲的, 其对应的右特征向量为

当 $ \rho \neq 0 $, 有 $ \nabla \lambda_1 \cdot \vec{r_1} \neq 0 $, $ \nabla \lambda_2 \cdot \vec{r_2} = 0 $, 说明 $ \lambda_1 $ 是真正非线性的, $ \lambda_2 $ 是线性退化的; 当 $ \rho=0 $ 时, $ \nabla \lambda_1 \cdot \vec{r}_1 = \nabla \lambda_2 \cdot \vec{r}_1 = 0 $, 模型 (1.1) 是线性退化的, 其中 $ \nabla $ 为向量 $ (\rho, v) $ 的梯度. 第 1-Riemann 不变量 $ w $ 和第 2-Riemann 不变量 $ z $ 分别为

对于给定的左状态 $ (\rho_-, v_-) $, 由 1-疏散波 $ R_1 $ 或 1-激波 $ S_1 $ 连接到右状态 $ (\rho_+, v_+) $ 需满足如下条件

对应的 2-接触间断波 $ J_2 $

ARZ交通模型黎曼问题 (1.1)、(1.4) 的解详见文献[2], 下面只给出 $ v_- + \eta (\rho_-)^{\gamma} < v_+ $ 时的黎曼解. 如图1 所示, 解由疏散波 $ R_1 $ 和接触间断波 $ J_2 $ 组成, 真空波介于其中, 具体可表示如下

其中疏散波 $ R_1 $ 满足 (2.4) 式, 接触间断波 $ J_2 $ 的速度 $ \tau = v_+ $.

本节我们对文献[5,9]中讨论的情况进行补充, 考虑缺失情形 $ v_- + \eta (\rho_-)^{\gamma} = v_+ $ 下的黎曼解, 进一步完善耦合 ARZ 模型 (1.2)-(1.4) 的黎曼解. 本节假设 $ \mu <\eta $, 即对应实际司机从有意识阶段突然转变为无意识阶段的情形. $ \mu>\eta $ 的情况, 可类似讨论.

首先我们研究耦合 ARZ 模型 (1.3)-(1.4) 特征曲线的一些数学性质. 如图2 所示, 在 $ M:=(\rho, \rho v) $ 平面上分别定义曲线 $ L_1^{\eta} (\rho) $、 $ L_1^{\mu} (\rho) $ 和 $ L_2^{\mu} (\rho) $ 如下

记 $ (\rho_{\alpha}^{\eta}, v_{\alpha}^{\eta} ) $ 和 $ (\rho_{\alpha}^{\mu}, v_{\alpha}^{\mu} ) $ 分别为曲线 $ L_1^{\eta}(\rho) $ 和 $ L_1^{\mu}(\rho) $ 在 $ M:=(\rho, \rho v) $ 平面顶点处对应的状态, $ (\rho_*^{}, v_*^{} ) $ 为曲线 $ L_1^{\mu}(\rho) $ 和 $ L_2^{\mu}(\rho) $ 相交时的状态, 经过简单的计算得到

性质 3.1 第 1-特征曲线 $ L_1^{\eta}(\rho) $ 上的状态 $ (\rho, v) $, 其特征速度满足以下关系

(1) 若 $ \rho < \rho_{\alpha}^{\eta} $, 则有 $ 0= \lambda_1^{\eta}(\rho_{\alpha}^{\eta}, v_{\alpha}^{\eta}) < \lambda_1^{\eta}(\rho, v) $, 即对应特征波的波速为正;

(2) 若 $ \rho \geqslant \rho_{\alpha}^{\eta} $, 则有 $ \lambda_1^{\eta}(\rho, v) \leqslant \lambda_1^{\eta}(\rho_{\alpha}^{\eta}, v_{\alpha}^{\eta}) = 0 $, 即对应特征波的波速非正.

第 1-特征曲线 $ L_1^{\mu}(\rho) $ 上的状态 $ (\rho, v) $, 也有上述类似的性质. 现考虑缺失情形 $ v_- + \eta (\rho_-)^{\gamma} = v_+ $ 下的黎曼问题 (1.3)-(1.4) 的解, 其它情形可参见文献[5,9]. 首先引入供给函数和需求函数的概念^[8], 如图2 所示, 供给函数为 $ L_1^{\mu} (\rho) $ 曲线在 $ (\rho, \rho v) $ 平面上的非增延拓部分, 记为 $ s(\rho^{}_{};\{w^{\mu} = w_- \}) $; 需求函数为 $ L_1^{\eta} (\rho) $ 曲线在 $ (\rho, \rho v) $ 平面上的非减延拓部分, 记为 $ d(\rho, \{ w^{\eta} = w_- \} ) $. 为获得 CARZ 模型 (1.3)-(1.4) 的唯一解, 相变 PT^[2,3] (即 $ x=0 $ 处) 需满足如下耦合条件^[5]

其中 $ (\rho^{\eta}, v^{\eta}) $ 和 $ (\rho^{\mu}, v^{\mu}) $ 为相变左右两侧的状态. 耦合条件 (3.1) 分别表示相变两侧流量守恒, 第二动量守恒, 以及交汇处允许通过的最大实际车流量. 如图2 和图3 所示, 第 1-特征曲线 $ L_1^{\mu}(\rho) $ 与第 2-特征曲线 $ L_2^{\mu}(\rho) $ 只在原点处相交, 即 $ \rho_*=0 $ (对应真空状态). 由于 $ \mu < \eta $, 则有

此时交汇处的最大流量为

$ d( \rho_-, \{ w^{\eta} = w_- \} ) $ 的值取决于 $ \rho_- $ 和 $ \rho_{\alpha}^{\eta} $ 的值的大小关系, 下分 $ \rho_- \geqslant \rho_{\alpha}^{\eta} $ 和 $ \rho_- < \rho_{\alpha}^{\eta} $ 两种情况讨论.

情形 1$ \rho_- \geqslant \rho_{\alpha}^{\eta} $

定理 3.1 令 $ \mu < \eta $ 且 $ v_+ = v_- + \eta(\rho_-)^{\gamma} $. 当 $ \rho_- \geqslant \rho_{\alpha}^{\eta} $ 时, 黎曼问题 (1.3)-(1.4) 的解的结构可表示成

其中状态 $ (\rho^{\mu}, v^{\mu}) $ 满足

且 $ \rho^{\mu} < \rho_{\alpha}^{\eta} <\rho_{\alpha}^{\mu} $; 疏散波 $ R_1^{\eta} $、 $ R_1^{\mu} $ 和接触间断波 $ J_2^{\mu} $

“+”意味着“随后”.

证 如图2 所示, 由耦合条件 (3.1) 可得

在 $ \eta$-路段上, 由上式和 $ \rho_- \geqslant \rho_{\alpha}^{\eta} $, 状态 $ (\rho^{\eta}, v^{\eta}) $ 是唯一确定的且与状态 $ (\rho^{\eta}_{\alpha}, v^{\eta}_{\alpha}) $ 重合, 即 $ (\rho^{\eta}, v^{\eta}) = (\rho_{\alpha}^{\eta}, v_{\alpha}^{\eta}) $. 根据 (2.4) 式, 左状态 $ (\rho_-, v_-) $ 需通过 1-疏散波 $ R_1^{\eta} $ 与右状态 $ (\rho^{\eta}_{\alpha}, v^{\eta}_{\alpha}) $ 连接. 疏散波 $ R_1^{\eta} $ 左边界波速 $ \lambda_1^{\eta}(\rho_-, v_-) $ 和右边界波速 $ \lambda_1^{\eta}(\rho^{\eta}_{\alpha}, v^{\eta}_{\alpha}) $ 满足

在 $ \mu $-路段上, 由耦合条件 (3.1), 状态 $ (\rho^{\mu}, v^{\mu}) $ 满足

此时状态 $ (\rho^{\mu}, v^{\mu}) $ 有两种情况: $ \rho^{\mu} < \rho^{\mu}_{\alpha} $ 和 $ \rho^{\mu} > \rho^{\mu}_{\alpha} $. 由于 $ \rho_* = 0 < \rho^{\mu} $, 左状态 $ (\rho^{\mu}, v^{\mu}) $ 需通过 1-疏散波 $ R_1^{\mu} $ 与真空状态连接. 如果 $ \rho^{\mu} > \rho^{\mu}_{\alpha} $, 由性质 3.1, 此时疏散波 $ R_1^{\mu} $ 左边界波速$ \lambda_1^{\mu}(\rho^{\mu}, v^{\mu}) < 0 $, 即波速会出现负值, 根据文献[6]知矛盾! 如果 $ \rho^{\mu} < \rho^{\mu}_{\alpha} $, 疏散波 $ R_1^{\mu} $ 左边界波速 $ \lambda_1^{\mu}(\rho^{\mu}, v^{\mu}) $ 和右边界波速 $ \lambda_1^{\mu}(0, v_- + \eta (\rho_-)^{\gamma}) $ 满足

疏散波的波速为正, 故 $ \rho^{\mu} < \rho^{\mu}_{\alpha} $.

由方程组 (3.5) 得 $ \rho^{\mu} ( \, v^{\eta}_{\alpha} + \eta ( \rho^{\eta}_{\alpha})^{\gamma} - \mu (\rho^{\mu})^{\gamma} \, ) = \, \rho^{\eta}_{\alpha} v^{\eta}_{\alpha} $.定义函数 $ F(\rho) = \rho^{} ( \, v^{\eta}_{\alpha} + \eta ( \rho^{\eta}_{\alpha})^{\gamma} - \mu \rho^{\gamma} \, ) - \rho^{\eta}_{\alpha} v^{\eta}_{\alpha} $. 由于 $ \mu < \eta $, $ F(0) \, = \, - \rho^{\eta}_{\alpha} v^{\eta}_{\alpha} < 0 $ 且 $ F(\rho_{\alpha}^{\eta}) \, = \, \eta ( \rho^{\eta}_{\alpha})^{\gamma} - \mu ( \rho^{\eta}_{\alpha})^{\gamma} > 0 $, 根据零点定理, 存在 $ \rho^{\mu} \in (0, \rho^{\eta}_{\alpha}) $, 使得 $ F(\rho^{\mu}) = 0 $; 其次, 对 $ \forall \rho \in (0, \rho_{\alpha}^{\mu}) $ 有 $ F'(\rho) = v^{\eta}_{\alpha} + \eta ( \rho^{\eta}_{\alpha})^{\gamma} - \mu (1+\gamma) \rho^{\gamma} > 0 $, 函数 $ F(\rho) $ 在区间 $ [\rho_{\alpha}^{\mu}] $ 上严格单调递增, 则存在唯一的 $ \rho^{\mu} \in [\rho^{\mu}_{\alpha}] $, 使得 $ F(\rho^{\mu}) = 0 $ 且 $ 0< \rho^{\mu} < \rho_{\alpha}^{\eta} $, 故由方程组 (3.5) 可以唯一确定状态 $ (\rho^{\mu}, v^{\mu}) $.

如图2 所示, 真空状态通过接触间断波 $ J_2^{\mu} $ 与右状态 $ (\rho_+, v_+) $ 连接, 其波速 $ \tau $ 满足

特别地, 根据已知条件 $ v_- + \eta(\rho_-)^{\gamma} = v_+ $, 则 $ \lambda_1^{\mu}(0, v_- + \eta (\rho_-)^{\gamma}) = \tau^{} = v_+ $, 即疏散波 $ R_1^{\mu} $ 的右界与接触间断波 $ J_2^{\mu} $ 重合.

情形 2$ \rho_- < \rho_{\alpha}^{\eta} $

定理 3.2 令 $ \mu < \eta $ 且 $ v_+ = v_- + \eta(\rho_-)^\gamma $. 当 $ \rho_- < \rho_{\alpha}^{\eta} $ 时, 黎曼问题 (1.3)-(1.4) 的解的结构可表示成

其中状态 $ (\rho^{\mu}, v^{\mu}) $ 满足

$\rho^{\mu}< \rho_{-} < \rho_{\alpha}^{\mu} $; 疏散波 $ R_1^{\mu} $ 和 接触间断波 $ J_2^{\mu} $

证 如图3 所示, 由耦合条件 (3.1) 可得

在 $ \eta $-路段上, 由上式和 $ \rho_- < \rho_{\alpha}^{\eta} $, 状态 $ ( \rho^{\eta}, v^{\eta}) $ 是唯一确定的且与状态 $ (\rho_-, v_-) $ 重合, 即 $ (\rho^{\eta}, v^{\eta}) = (\rho_-, v_-) $, 该路段上状态唯一.

在 $ \mu $-路段上, 类似定理 3.1 证明, 有 $ \rho^{\mu} <\rho^{\mu}_{\alpha} $. 由耦合条件 (3.1), 状态 $ (\rho^{\mu}, v^{\mu}) $ 满足 (3.7) 式, 从而 $ \rho^{\mu} ( \, v^{}_{-} + \eta ( \rho^{}_{-})^{\gamma} - \mu (\rho^{\mu})^{\gamma} \, ) = \rho_- v_- $. 定义函数 $ G(\rho) = \rho^{} ( \, v_{-} + \eta ( \rho^{}_{-})^{\gamma} - \mu \rho^{\gamma} \, ) - \rho_- v_- $. 由于 $ \mu < \eta $, $ G(0) \, = \, - \rho^{}_{-} v^{}_{-} < 0 $ 且 $ G(\rho_-) = \eta (\rho_-)^{\gamma} - \mu (\rho_-)^{\gamma} > 0 $, 根据零点定理, 存在 $ \rho^{\mu} \in (0, \rho^{}_{-}) $, 使得 $ G(\rho^{\mu}) = 0 $; 其次, 对 $ \forall \rho \in (0, \rho^{\mu}_{\alpha}) $ 有 $ G'(\rho) = v^{}_{-} + \eta ( \rho^{}_{-})^{\gamma} - \mu ( 1 + \gamma ) \rho^{\gamma} \, > 0 $, 函数 $ G(\rho) $ 在区间 $ [\rho^{\mu}_{\alpha}] $ 上严格单调递增, 则存在唯一的 $ \rho^{\mu} \in [\rho^{\mu}_{\alpha}] $, 使得 $ G(\rho^{\mu}) = 0 $ 且 $ 0 < \rho^{\mu} < \rho_- $, 故由方程组 (3.7) 可以唯一确定状态 $ (\rho^{\mu}, v^{\mu}) $.

由于 $ \rho_* = 0 < \rho^{\mu} $, 左状态 $ (\rho^{\mu}, v^{\mu}) $ 需先通过 1-疏散波 $ R_1^{\mu} $ 与真空状态连接, 疏散波 $ R_1^{\mu} $ 左边界波速 $ \lambda_1^{\mu}(\rho^{\mu}, v^{\mu}) $ 和右边界波速 $ \lambda_1^{\mu}(0, v_- + \eta (\rho_-)^{\gamma}) $ 满足

疏散波的波速为正. 如图3 所示, 真空状态通过接触间断波 $ J_2^{\mu} $ 与右状态 $ (\rho_+, v_+) $ 连接, 其波速 $ \tau $ 满足

特别地, 根据已知条件 $ v_- + \eta(\rho_-)^{\gamma} = v_+ $, 则 $ \lambda_1^{\mu}(0, v_- + \eta (\rho_-)^{\gamma}) = \tau^{} = v_+ $, 即疏散波 $ R_1^{\mu} $ 的右界与接触间断波 $ J_2^{\mu} $ 重合.

本节研究黎曼问题 (1.3)-(1.4) 当压力项参数 $ \mu \to \eta $ 时解的极限性态. 不失一般性, 本节假设 $ \mu > \eta $, $ \mu < \eta $ 的情况可类似讨论. 进一步, 根据解的唯一性和稳定性, 我们修正并补充了文献[5]中上述黎曼问题在情形 $ v_- + \eta(\rho_-)^{\gamma} \leqslant v_+ $ 的解, 并证明了 CARZ 模型的黎曼解的适定性.

当 $ \mu \to \eta $ 时, 可以证明除 $ v_- + \eta (\rho_-)^{\gamma} < v_+ $ 情形, 文献[5,9]中的黎曼解(即问题 (1.3)-(1.4) 的解) 均收敛到问题 (1.1)、(1.4) 的解. 因此, 本节只考虑情形 $ v_- + \eta (\rho_-)^{\gamma} \leqslant v_+ $ 下黎曼解的渐近性态. 在该情形下且 $ \eta $ 充分小时, 文献[5]中黎曼问题 (1.3)-(1.4) 的解的结构如下

(1) 当 $ \rho_- v_- > \rho_{\alpha}^{\mu} v_{\alpha}^{\mu} $ 时

其中状态 $ (\rho^{\eta}, v^{\eta}) $ 满足

激波 $ S_1^{\eta} $, 疏散波 $ R_1^{\mu} $ 和接触间断波 $ J_2^{\mu} $

(2) 当 $ \rho_- v_- < \rho_{\alpha}^{\mu} v_{\alpha}^{\mu} $ 时

其中状态 $ (\rho^{\mu}, v^{\mu}) $ 满足 (3.7) 式, 激波 $ S_1^{\mu} $ 和 接触间断波 $ J_2^{\mu} $

注 4.1 当 $ v_- + \eta (\rho_-)^{\gamma} < v_+ $ 且 $ \rho_- v_- < \rho_{\alpha}^{\mu} v_{\alpha}^{\mu} $ 时, 由 (3.7) 式可得

根据极限的四则运算法知极限 $ \lim\limits_{\mu \to \eta } v^{\mu} $ 存在, 说明解 (4.4) 当 $ \mu \to \eta $ 时的极限仍含有激波, 与解 (2.6) 不一致. 故文献[5]中在情形 $ v_- + \eta (\rho_-)^{\gamma} < v_+ $ 且 $ \rho_- v_- < \rho_{\alpha}^{\mu} v_{\alpha}^{\mu} $ 下的解不适定.

我们重新构造黎曼问题 (1.3)-(1.4) 在情形 $ v_- + \eta(\rho_-) < v_+ $ (此时 $ \eta $ 不需要充分小) 下的解并讨论解的稳定性. 类似定理 3.1 和定理 3.2 的讨论, 我们可以得到如下定理.

定理 4.1 令 $ \mu > \eta $ 且 $ v_- + \eta (\rho_-)^{\gamma} < v_+, $

(1) 如果 $ \rho_- v_- < \rho_{\alpha}^{\mu} v_{\alpha}^{\mu} $ 且 $ \rho_- \geqslant \rho_{\alpha}^{\eta} $, 则黎曼问题 (1.3)-(1.4) 的解的结构可表示成 (如图4)

其中状态 $ (\rho^{\eta}_{}, v^{\eta}_{}) $ 由方程组 (4.2) 确定且 $ \rho^{\eta} > \rho_{\alpha}^{\eta} $, 疏散波 $ R_1^{\eta} $、 $ R_1^{\mu} $ 和接触间断波 $ J_2^{\mu} $

(2) 如果 $ \rho_- v_- < \rho_{\alpha}^{\mu} v_{\alpha}^{\mu} $ 且 $ \rho_- < \rho_{\alpha}^{\eta} $, 则黎曼问题 (1.3)-(1.4) 的解的结构可表示成 (如图5)

其中状态 $ (\rho^{\mu}, v^{\mu}) $ 满足 $ \rho^{\mu} < \rho^{\mu}_{\alpha} $ 和 (3.7) 式, 疏散波 $ R_1^{\mu} $ 和接触间断波 $ J_2^{\mu} $

(3) 如果 $ \rho_- v_- > \rho_{\alpha}^{\mu} v_{\alpha}^{\mu} $, 则黎曼问题 (1.3)-(1.4) 的解的结构为 (4.1) 式 (如图6).

证 (1) 如图4 所示, 由于 $ \rho_- v_- < \rho_{\alpha}^{\mu} v_{\alpha}^{\mu} $且 $ \rho_- \geqslant \rho_{\alpha}^{\eta} $, 则有

根据耦合条件 (3.1) 可得, 相变左侧状态 $ (\rho^{\eta}, v^{\eta}) $ 由式 (4.2) 确定, 右侧状态 $ (\rho^{\mu}, v^{\mu})= (\rho^{\mu}_{\alpha}, v^{\mu}_{\alpha}) $.

在 $ \eta $- 路段上, 状态 $ (\rho^{\eta}, v^{\eta}) $ 有两种情况: $ \rho^{\eta} < \rho^{\eta}_{\alpha} < \rho_- $ 和 $ \rho^{\eta}_{\alpha} < \rho^{\eta} < \rho_- $. 根据 (2.4) 式, 左状态 $ (\rho_-, v_-) $ 需通过 1-疏散波 $ R_1^{\eta} $ 与右状态 $ (\rho^{\eta}_{}, v^{\eta}_{}) $ 连接. 若 $ \rho^{\eta} < \rho^{\eta}_{\alpha} < \rho_- $, 由性质 3.1, 疏散波 $ R_1^{\eta} $ 右边界波速 $ \lambda_1^{\eta}(\rho^{\eta}, v^{\eta}) > 0 $, 即波速会出现正值, 矛盾! 若 $ \rho^{\eta}_{\alpha} < \rho^{\eta} < \rho_- $, 疏散波 $ R_1^{\eta} $ 左边界波速 $ \lambda_1^{\eta}(\rho_{-}, v_{-}) $ 和右边界波速 $ \lambda_1^{\eta}(\rho^{\eta}, v^{\eta} ) $ 满足

疏散波的波速为负, 故 $ \rho^{\eta}_{\alpha} < \rho^{\eta} $. 类似定理 3.1 中的证明可得: 由方程组 (4.2) 可以唯一确定状态 $ (\rho^{\eta}, v^{\eta}) $. 在 $ \mu $-路段上, 左状态 $ (\rho^{\mu}, v^{\mu})= (\rho^{\mu}_{\alpha}, v^{\mu}_{\alpha}) $ 需通过 1- 疏散波 $ R_1^{\mu} $ 与真空状态连接, 疏散波 $ R_1^{\mu} $ 左边界波速 $ \lambda_1^{\mu}(\rho^{\mu}_{\alpha}, v^{\mu}_{\alpha}) $ 和右边界波速 $ \lambda_1^{\mu}(0, v_- + \eta (\rho_-)^{\gamma}) $ 满足

疏散波的波速非负. 最后, 真空状态通过接触间断波 $ J_2^{\mu}: \tau^{} = v_+ $ 与右状态 $ (\rho_+, v_+) $ 连接.

(2) 如图5 所示, 由于 $ \rho_- v_- < \rho_{\alpha}^{\mu} v_{\alpha}^{\mu} $ 且 $ \rho_- < \rho_{\alpha}^{\eta} $, 则有

由耦合条件 (3.1) 可得, 相变左侧状态 $ (\rho^{\eta}, v^{\eta}) = (\rho_-, v_-) $, 右侧状态 $ (\rho^{\mu}, v^{\mu}) $ 由 (3.7) 式确定. 类似定理 4.1(1) 部分证明可得 $ \rho^{\mu} < \rho^{\mu}_{\alpha} $ 且 $ (\rho^{\mu}, v^{\mu}) $ 唯一. 在 $ \mu $- 路段上, 状态 $ (\rho^{\mu}, v^{\mu}) $ 与 $ (\rho_+, v_+) $ 的连接与定理 4.1(1) 完全相同, 证明省略.

(3) 如图6 所示, 由于 $ \rho_- v_- > \rho_{\alpha}^{\mu} v_{\alpha}^{\mu} $, 则有

由耦合条件 (3.1) 可得, 相变左侧状态 $ (\rho^{\eta}, v^{\eta}) $ 由式 (4.2) 确定, 右侧状态 $ (\rho^{\mu}, v^{\mu})= (\rho^{\mu}_{\alpha}, v^{\mu}_{\alpha}) $. 在 $ \eta $-路段上, 状态 $ (\rho_{-}, v_{-}) $ 需通过 1-激波 $ S_1^{\eta} $ 与右状态 $ (\rho^{\eta}, v^{\eta}) $ 连接, 在 $ \mu $-路段上, 状态 $ (\rho^{\eta}, v^{\eta}) $ 与 $ (\rho_+, v_+) $ 的连接与定理 4.1(1) 完全相同, 证明省略. 证毕.

注 4.2 当 $ v_- + \eta(\rho_-)^{\gamma} = v_+ $ 时, 则有 $ \lambda_1^{\mu}(0, v_- + \eta (\rho_-)^{\gamma}) = \tau^{} = v_+ $, 即解 (4.7)、(4.10) 和 (4.1) 的疏散波 $ R_1^{\mu} $ 的右边界与接触间断波 $ J_2^{\mu} $ 重合.

定理 4.2 令 $ v_- + \eta (\rho_-)^{\gamma} < v_+ $. 当 $ \mu \to \eta $ 时, CARZ 模型的黎曼解 (4.7)、(4.10) 和 (4.1) 都收敛到ARZ模型的黎曼解 (2.6).

证 令 $ \mu \to \eta $, 第 1-特征曲线 $ L_1^{\mu}(\rho) $ 有

即曲线 $ L_1^{\mu}(\rho) $ 和 $ L_1^{\eta}(\rho) $ 将会重合, 对应最高点状态$ (\rho_{\alpha}^{\mu}, v_{\alpha}^{\mu}) $ 与 $ (\rho_{\alpha}^{\eta}, v_{\alpha}^{\eta}) $ 也将会重合

(1) 当 $ \rho_- v_- < \rho_{\alpha}^{\mu} v_{\alpha}^{\mu} $ 且 $ \rho_- \geqslant \rho_{\alpha}^{\eta} $ 时, 由定理 4.1(1) 知: 黎曼问题 (1.3)、(1.4) 的解的结构为 (4.7). 考虑第 1-特征曲线 $ L_1^{\eta}(\rho) $ 函数 $ m_1^{\eta} $, 经过简单的计算可得

故其一阶导数是严格单调递减的, 令 $ \frac{{\rm d} m_1^{\eta}}{{\rm d} \rho} = 0 $, 得到唯一驻点 $ \rho_{\alpha}^{\eta} $, 函数 $ m^{\eta}_1 $ 在 $ [\rho^{\eta}_{\alpha}] $ 区间上严格单调递增, 在 $ (\rho^{\eta}_{\alpha}, +\infty) $ 上严格单调递减, 即 $ (\rho^{\eta}_{\alpha}, \rho^{\eta}_{\alpha}v^{\eta}_{\alpha}) $ 是曲线 $ L_1^{\eta}(\rho) $ 在 $ M:=(\rho, \rho v) $ 平面上的唯一最大值点.

对方程组 (4.2) 的第一式两边分别令 $ \mu \to \eta $ 得

因此, 当 $ \mu \to \eta $ 时, $ (\rho^{\eta}, v^{\eta}) = (\rho_{\alpha}^{\eta}, v_{\alpha}^{\eta}) $. 根据上式、(4.8) 和 (4.9)式, 疏散波 $ R_1^{\eta} $ 右边界波速和 $ R_1^{\mu} $ 左边界波速

此时疏散波 $ R_1^{\eta} $ 右边界、 $ R_1^{\mu} $ 左边界与 $t$ 轴三者重合. 因此解 (4.7) 中 $ R_1^{\eta} $ 和 $ R_1^{\mu} $ 将会连接起来, 同时相变 PT 将会消失. 疏散波 $ R_1^{\mu} $ 右边界波速和接触间断波 $ J^{\mu}_2 $ 的波速当 $ \mu \to \eta $ 时均保持不变. 综上, 当 $ \mu \to \eta $ 时, 黎曼解 (4.7) 收敛到 ARZ 模型的黎曼解 (2.6), 如图1(a) 所示.

(2) 当 $ \rho_- v_- < \rho_{\alpha}^{\mu} v_{\alpha}^{\mu} $ 且 $ \rho_- < \rho_{\alpha}^{\eta} $ 时, 由定理 4.1(2) 知: 黎曼问题 (1.3)-(1.4) 的解的结构为 (4.10) 式. 根据 (3.7) 式中的第一个等式得 $ v^{\mu} = \frac{\rho_- v_-}{\rho^{\mu}} $, 将其带入 (3.7) 式的第二个等式有 $ \frac{\rho_- v_-}{\rho^{\mu}} + \mu (\rho^{\mu})^{\gamma} = v_- + \eta (\rho_-)^{\gamma} $. 对上式两边关于 $ \mu $ 求导有

由定理 4.1(2) 知 $ \rho^{\mu} < \rho^{\mu}_{\alpha} $, 从而当 $ \rho \in (0, \rho_{\alpha}^{\mu}) $ 时, 有 $ \frac{{\rm d} \rho^{\mu}}{{\rm d} \mu } >0 $. 对方程组 (3.7) 两边分别令 $ \mu \to \eta $ 得

结合 (4.17) 式和 $ \frac{{\rm d} \rho^{\mu}}{{\rm d} \mu } >0 $, 可以得到 $ \lim\limits_{\mu \to \eta } \rho^{\mu} = \rho_- $ 和 $ \lim\limits_{\mu \to \eta } v^{\mu} = v_- $. 根据 (4.11) 式, 疏散波 $ R_1^{\mu} $ 左边界波速

疏散波 $ R_1^{\mu} $ 右边界波速和接触间断波 $ J^{\mu}_2 $ 的波速

综上, 当 $ \mu \to \eta $ 时, 黎曼解 (4.10) 的收敛到 ARZ 模型的黎曼解 (2.6), 如图1(b)所示.

(3) 当 $ \rho_- v_- > \rho_{\alpha}^{\mu} v_{\alpha}^{\mu} $ 时, 根据极限的保号性有 $ \rho_- v_- \geqslant \lim\limits_{\mu \to \eta } \rho^{\mu}_{\alpha} v^{\mu}_{\alpha} = \rho_{\alpha}^{\eta} v_{\alpha}^{\eta} $, 另一方面由状态 $ (\rho_{\alpha}^{\eta}, v_{\alpha}^{\eta}) $ 的定义有 $ \rho_- v_- \leqslant \rho_{\alpha}^{\eta} v_{\alpha}^{\eta} $, 从而 $ (\rho_-, v_-) =(\rho_{\alpha}^{\eta}, v_{\alpha}^{\eta}) $. 此时 黎曼问题 (1.3)-(1.4)解的结构为 (4.1) 式且 $ \rho^{\eta}> \rho^{\eta}_{\alpha} $. 对方程组 (4.2) 两边分别令 $ \mu \to \eta $ 得

根据 (4.18) 式, 定义 $ H(\rho)= \rho^{} ( \, v_{\alpha}^{\eta} + \eta ( \rho_{\alpha}^{\eta} )^{\gamma} - \eta \rho^{\gamma} \, ) - \rho_{\alpha}^{\eta} v_{\alpha}^{\eta} $, 其中 $ \rho \in [\rho_{\alpha}^{\eta}, (\frac{ v_- + \eta (\rho_-)^{\gamma} }{ \eta } )^{\frac{1}{\gamma}}] $. 计算得 $ H'(\rho) = \, v_{\alpha}^{\eta} + \eta ( \rho_{\alpha}^{\eta})^{\gamma} - \eta ( 1 + \gamma ) \rho^{\gamma} > 0 $, 故 $ H(\rho) $ 在区间 $ [\rho_{\alpha}^{\eta}, (\frac{ v_- + \eta (\rho_-)^{\gamma} }{ \eta } )^{\frac{1}{\gamma}}] $ 上严格单调递增. 另一方面 $ H(\rho^{\eta}_{\alpha})=0 $, 故由方程组 (4.18) 可以得唯一解 $ (\rho^{\eta}, v^{\eta}) = (\rho^{\eta}_{\alpha}, v^{\eta}_{\alpha}) $. 因此当 $ \mu$$\to$$ \eta $ 时, $ (\rho_-, v_-) = (\rho^{\eta}_{\alpha}, v^{\eta}_{\alpha}) = (\rho^{\eta}, v^{\eta}) $, 即激波 $ S_1^{\eta} $ 和相变 $ PT $ 将会消失; 疏散波$ R_1^{\mu} $ 左边界波速 $ \lim\limits_{\mu \to \eta } \lambda_1^{\mu}(\rho_{\alpha}^{\mu}, v_{\alpha}^{\mu}) = v^{\eta}_{\alpha} - \eta \gamma (\rho^{\eta}_{\alpha} )^{\gamma} = 0 $; 疏散波 $ R_1^{\mu} $ 右边界波速和接触间断波 $ J^{\mu}_2 $ 的波速当 $ \mu$$\to$$ \eta $ 时均保持不变. 综上, 当 $ \mu$$ \to$$ \eta $ 时, 黎曼解 (4.1) 收敛到 ARZ 模型的黎曼解 (2.6).

由以上讨论可知, 当压力项前面的参数 $ \mu$$\to$$\eta $ 时, 黎曼问题 (1.3)-(1.4) 在情形 $ v_- + \eta (\rho_-)^{\gamma} < v_+ $ 下的黎曼解 (4.7)、(4.10) 和 (4.1) 的极限恰好与相同初值下的 ARZ 模型 (1.1) 的黎曼解的结构一致. 也就是说, 在上述情形下, 当压力趋于一致时, CARZ 模型 (1.3) 的解的收敛到 ARZ 模型 (1.1) 的解. 证毕.

当 $ \mu \to \eta $ 时, 耦合 Aw-Rascle-Zhang 交通流模型的黎曼问题 (1.3)-(1.4) 在情形 $ v_- + \eta (\rho_-)^{\gamma} = v_+ $ 下的黎曼解的极限可类似定理 4.2 讨论, 我们得出如下定理.

定理 4.3 令 $ v_- + \eta(\rho_-)^{\gamma} \leqslant v_+ $, 耦合 ARZ 模型的黎曼问题 (1.3)-(1.4) 的解存在唯一且稳定; 当 $ \mu \to \eta $ 时, 该黎曼解对应的收敛至 ARZ 模型 (1.1)、(1.4) 的解.