近年来, 如下 Kirchhoff 型方程

在质量约束条件

下正规化解的存在性问题受到了广泛的关注, 其中 $a$, $b$, $\rho>0$ 为给定常数. Kirchhoff^[21] 首先引入了方程 (1.1), 该方程是 D'Alembert's 弹性弦的自由振动波动方程的推广. 继 Lions^[25] 开创性地引入了泛函分析法之后, 方程 (1.1) 解的存在性及其性态引起了广泛的关注.

在本文中, 我们将致力于研究问题 (1.1) 正规化解的存在性及渐近行为, 其中参数 $\lambda\in\mathbb{R}$ 是关于 (1.2) 式的 Lagrange 乘子. 当 $f(t)=|t|^{p-2}t$, $2<p<6$ 时, Ye^[41,42] 利用 Lions 集中紧性原理^[26], 并通过构造纤维映射, 首次给出了问题 (1.1)-(1.2) 正规化解的存在性和不存在性结果. Ye^[43] 研究了具有极小极大特征的临界点的存在性和集中行为, 以及问题 (1.1)-(1.2) 带有位势的情形^[23]. 当 $p\in\left(2,\frac{14}{3}\right)$ 时, Zeng 和 Zhang^[45] (分数阶情形, 参见文献[16]) 证明了 (1.1)-(1.2) 相应的泛函在$L^2$-正规化流形上的极小点的存在性和唯一性, 以及当 $p\in\left[\frac{14}{3},6\right)$ 时, 山路型临界点的存在性和唯一性. 假设 $f(t)=|t|^{p-2} t$ 且 $\frac{14}{3}<p<6$, Luo 和 Wang^[29] 通过与文献[4]中相似的讨论, 并利用辅助泛函具有新的环绕结构的这一性质, 证明了对任意的 $\rho>0$, 问题 (1.1)-(1.2) 存在一列无界的正规化解 $(u_n,\lambda_n)\in H^{1}_{r}(\mathbb{R}^{3})\times \mathbb{R}^{-}$. 此外, 他们还给出了上述解关于参数 $b\rightarrow 0^+$ 的渐近行为. Xie 和 Chen^[39] 则考虑了非线性项 $f$ 满足更一般的质量超临界增长条件的问题 (1.1)-(1.2). 受文献[17]的启发, Zeng 等^[44] 证明了当非线性项 $f$ 满足质量次临界, 或者质量临界, 或者质量超临界增长条件时, 问题 (1.1)-(1.2) 正规化解的存在性, 不存在性和多重性. 此外, 当空间维数 $N\geq5$ 时, 由于非局部项 $b\left(\int_{\mathbb{R}^{3}}|\nabla u|^{2}\ d x\right)\Delta u$ 的存在导致问题 (1.1)-(1.2) 山路几何结构的缺失, 他们在文章中也给出了当 $N\geq5$ 时的新结果. Qi^[31] 在 $\mathbb{R}$ 中的非紧度量图 $\mathcal{G}$ 上考虑了 (1.1)-(1.2) 正规化基态解的存在性, 不存在性和唯一性. 当 $p\in\left(\frac{10}{3},\frac{14}{3}\right)$ 时, Qi 和 Zou^[32] 证明了存在 $\rho_{*}>0$, 使得当 $\rho>\rho_{*}$ 时, (1.1)-(1.2) 在平移意义下只有两个正的正规化解; 当 $\rho=\rho_{*}$ 时, (1.1)-(1.2) 有唯一正的正规化解; 当 $\rho<\rho_{*}$ 时, (1.1)-(1.2) 不存在正的正规化解.

当 $f(t)=\mu|t|^{q-2} t+|t|^{p-2}t$, $\mu>0$, $2<q<\frac{14}{3}<p\leq 6$ 或者 $\frac{14}{3}<q<p\leq 6$ 时, Li 等^[22] (也可参见文献[47]) 将文献[33,34]中的结果推广到了 Kirchhoff 型方程, 并获得了 (1.1)-(1.2) 正规化解的存在性和渐近性质. Liu 等^[27] 将文献[22]中的部分结果推广到了分数阶情形. 对任意给定的 $\rho>0$, 当 $f$ 满足适当的 $L^2$-超临界增长条件时, He 等^[13] 借助 Pohozaev 流形约束的方法, 证明了 (1.1)-(1.2) 正规化基态解的存在性, 并考虑了解的渐近行为. 当 $N\geq4$ 时, Zhang 等^[46] 研究了 (1.1)-(1.2) 正规化基态解和山路型解的存在性, 并考虑了解的不存在性. 此外, 当 $N=2$ 且非线性项 $f$ 在无穷远处具有指数临界增长时, 他们利用一般非局部 Kirchhoff 型函数的变分方法证明了山路型正规化解的存在性. 问题 (1.1)-(1.2) 含位势的结果, 参见文献[1,7,10,15,30,35]. 更多的结果, 参见文献[8,9,14,24,36,40,48]及其相关参考文献.

当 $a=1$, $b=0$ 时, 问题 (1.1)-(1.2) 即为

这一问题源于对 Bose-Einstein 凝聚体质量浓度的稳态和伪相对论玻色子恒星的坍缩的研究^[3]. 研究(1.3)解的存在性问题自然地归结为证明其相应的泛函 $E(u):H^1(\mathbb{R}^{N})\rightarrow \mathbb{R}$,

在质量约束 $\tilde{S}_{\rho}:=\left\{u\in H^1(\mathbb{R}^{N}):\|u\|^2_{2}=\rho\right\}$ 上的临界点的存在性问题. 显然 $E(u)$ 的几何结构很大程度上依赖于非线性项 $f$. 众所周知, 当 $f$ 满足质量超临界增长条件时, $E(u)$ 在质量约束 $\tilde{S}_\rho$ 上是下方无界的, 故不存在全局极小点. Jeanjean^[17] 对 $f$ 施加了一些全局条件以保证相应泛函 $E(u)$ 在 $\tilde{S}_\rho$ 上具有山路几何结构, 并首次证明了问题 (1.3) 存在正规化解. 通过分析文献[17]中首先引入的辅助泛函具有新的环绕结构的这一性质, Bartsch 和 de Valeriola^[4] 将文献[17]中的结果做了推广, 并证明了问题 (1.3) 无穷多径向对称正规化解的存在性. 最近, Soave^[33,34] 考虑了问题 (1.3) 具有混合非线性项的情形, 即 $f(t)=\mu|t|^{q-2} t+|t|^{p-2} t$, $N\geq 3$, $\mu\in\mathbb{R}$, $2<q\leq 2+\frac{4}{N}\leq p< 2^{*}$ 或者 $2<q< p=2^{*}$, 其中 $2^{*}:=\frac{2 N}{N-2}$ 表示 Sobolev 临界指数. 当 $q$, $p$, $\mu$ 满足适当的假设条件时, 他证明了问题 (1.3) 正规化解的存在性, 并讨论了解的性质. Jeanjean 等^[20] 提出了一种基于不动点指标和连续性方法的新思路来研究问题 (1.3) 正规化解的存在性. 这种方法在文献[5]中首次被引入, 并能统一处理非线性项 $f$ 为质量次临界, 质量临界以及质量超临界增长的情形. Jeanjean 和 Lu^[19] 讨论了非线性项 $f$ 满足质量超临界增长的情形, 其中 $f$ 满足的条件比文献[17]更弱, 并得到了 (1.3) 的 $L^2$-正规化解的存在性. 此外, 他们利用亏格理论证明了当 $N\geq2$ 时, 上述问题存在无穷多个径向解; 当 $N\geq4$ 时, 上述问题的非径向变号解的存在性和多重性. 更多的结果, 参见文献[2,11,18,28,37]及其相关参考文献.

受文献[19,22]的启发, 本文考虑了如下 Kirchhoff 型方程正规化解的多重性及渐近行为

其中 $a$, $b>0$, $\lambda\in\mathbb{R}$, $p\in\left(2,\frac{10}{3}\right)$ 或者 $p\in\left(\frac{14}{3},6\right)$. 令

为问题 (1.4) 在质量约束 $S_{\rho}$ 上的相应的变分泛函, 其中$S_{\rho}:=\left\{u\in H^1(\mathbb{R}^{3}):\|u\|^2_{2}=\rho\right\}.$

对任意的 $\rho>0$, 若 $u$ 是 $I|_{S_{\rho}}$ 的一个临界点, 且 $\lambda$ 为相应的 Lagrange 乘子, 则称问题 (1.4) 存在解 $(u,\lambda)\in H^{1}(\mathbb{R}^{3})\times\mathbb{R}$.

定义$P(u):=a\|\nabla u\|^{2}_{2}+b\|\nabla u\|^{4}_{2}-\gamma_{p}\|u\|^{p}_{p},$其中 $\gamma_{p}:=\frac{3(p-2)}{2p}$. 显然问题 (1.4) 的任意解均落在 Pohozaev 流形 $\mathcal{P}_{\rho}$ 上, 其中$\mathcal{P}_{\rho}:=\left\{u\in S_{\rho}: P(u)=0\right\}.$

本文的主要结果如下.

定理 1.1 令 $a$, $b>0$, 则有以下结论成立.

(i) 若 $p\in\big(2,\frac{10}{3}\big)$, 则对任意的 $\rho>0$, 问题 (1.4) 存在一列径向对称的正规化解 $\{u_k\}$, 且满足当 $k\in\mathbb{N}^+$, $k\rightarrow\infty$ 时, 有$I(u_{k})\leq I(u_{k+1})<0, I(u_{k})\rightarrow 0^{-}.$

(ii)} 若 $p\in\left(\frac{14}{3},6\right)$, 则对任意的 $\rho>0$, 问题 (1.4) 存在一列径向对称的正规化解 $\{u_k\}$, 且满足当 $k\in\mathbb{N}^+$, $k\rightarrow\infty$ 时, 有$0<I(u_{k})\leq I(u_{k+1}), I(u_{k})\rightarrow+\infty.$

本文采用与文献[19]类似的方法来证明定理 1.1. 由于 Kirchhoff 项 $b\left(\int_{\mathbb{R}^{3}}|\nabla u|^{2}\ d x\right)\Delta u$ 的存在, 问题 (1.4) 不是逐点成立的. 这给研究带来了一些数学上的困难, 也使得问题 (1.4) 更具有研究的价值. 根据约束泛函 $J$ 的定义 (见 (2.2) 式), $J$ 为 $S_\rho$ 上的偶泛函. 因此, 利用亏格理论, 可以定义一个极小极大序列 $m_{\rho,k}$ (见 (3.2) 式), 且该序列关于 $k\in\mathbb{N}^+$ 是不减的, 见引理 3.2 和引理 3.6. 特别地, 当 $p\in\left(2,\frac{10}{3}\right)$ 时, $m_{\rho,k}<0$; 当 $p\in\left(\frac{14}{3},6\right)$ 时, $m_{\rho,k}>0$. 根据引理 3.1 和引理 3.5, 我们得到了 $J$ 在每一个极小极大能量水平 $m_{\rho,k}$ 且限制在 $S_{\rho}\cap H^{1}_{r}(\mathbb{R}^{3})$ (简记为 $S_{\rho,r}$) 上的一个 Palais-Smale 序列 $\left\{u^{k}_{n}\right\}^{\infty}_{n=1}\subset\mathcal{P}_{\rho}\cap H^{1}_{r}(\mathbb{R}^{3})$ (简记为 $\mathcal{P}_{\rho,r}$). 利用命题 3.1, 我们证明了上述 Palais-Smale 序列的紧性. 因此, 问题 (1.4) 存在一列径向对称的 $L^2$-正规化解. 本文的研究是在径向对称空间 $H^{1}_{r}(\mathbb{R}^{3})$ 中展开的, 故当 $p\in(2,6)$ 时该空间紧嵌入到空间 $L^p(\mathbb{R}^{3})$ 中.

同时, 本文讨论了在定理 1.1 中所得到的解 $\left\{(u_{k},\lambda_{k})\right\} \subset S_{\rho,r} \times \mathbb{R}^{-}$ 关于参数 $b\rightarrow 0^+$ 的渐近行为. 为了强调上述解是依赖于参数 $b$ 的, 分别用 $u^{b}_{k}$ 和 $\lambda^{b}_{k}$ 来表示 $u_{k}$ 和 $\lambda_{k}$.

定理 1.2 令 $a$, $b$, $\rho>0$, $p\in\left(2,\frac{10}{3}\right)$ 或者 $p \in\left(\frac{14}{3},6\right)$. 假设 $\left\{(u^{b}_{k},\lambda^{b}_{k})\right\} \subset S_{\rho,r} \times \mathbb{R}^{-}$ 是由定理 1.1 得到的问题 (1.4) 的一列解. 对任一序列 $\{b_{m}\}\subset\mathbb{R}^{+}$ 且满足当 $m \rightarrow+\infty$ 时, $b_{m}\rightarrow 0^{+}$, 则存在子列 $\{b_{m}\}$ (在子列意义下, 仍然用 $\{b_{m}\}$ 来表示), 使得对任一 $k \in \mathbb{N}^{+}$, 当 $m \rightarrow+\infty$ 时, 有 $u^{b_{m}}_{k}\rightarrow u^{0}_{k}$ 于 $H^{1}_{r}(\mathbb{R}^{3})$ 和 $\lambda^{b_{m}}_{k} \rightarrow \lambda^{0}_{k}$, 其中 $\left\{(u^{0}_{k},\lambda^{0}_{k})\right\}\subset S_{\rho,r} \times \mathbb{R}^{-}$ 是以下方程的一列 $L^2$-正规化解

本文采用与文献[29]中相似的方法来证明定理 1.2. 首先证明了由 (2.2) 式定义的泛函 $J(u)$ 关于参数 $b$ 是非减的, 见引理 3.8. 接下来, 对任一序列 $\{b_{m}\}\subset\mathbb{R}^{+}$ 且满足当 $m \rightarrow+\infty$ 时, $b_{m}\rightarrow 0^{+}$, 证明了对每一个 $k\in \mathbb{N}^{+}$, 当 $m \rightarrow+\infty$ 时, $\big\{u^{b_m}_{k}\big\}_{m\in \mathbb{N}^{+}}$ 和 $\big\{\lambda^{b_m}_{k}\big\}_{m\in \mathbb{N}^{+}}$ 分别在 $H^{1}_{r}(\mathbb{R}^{3})$ 和 $\mathbb{R}^{-}$ 中是一致有界的. 最后, 在子列意义下, 证明了对每一个 $k\in \mathbb{N}^{+}$, 当 $m \rightarrow+\infty$ 时, $u^{b_{m}}_{k}\rightarrow u^{0}_{k}$ 于 $H^{1}_r(\mathbb{R}^{3})$, 和 $\lambda^{b_{m}}_{k}\rightarrow\lambda^{0}_{k}$ 且满足 $\lambda^{0}_{k}<0$. 因此, $\left\{(u^{0}_{k},\lambda^{0}_{k})\right\}\subset S_{\rho,r} \times \mathbb{R}^{-}$ 是问题 (1.5) 的一列 $L^2$-正规化解.

本文组织如下. 在第 2 节给出预备知识. 在第 3 节给出定理 1.1 和定理 1.2 的证明.

注 本文将采用以下记号

$\bullet$$\|u\|_{p}:=\left(\int_{\mathbb{R}^{3}}|u|^{p} \ d x\right)^{\frac{1}{p}}$, $p \in[1,\infty)$;

$\bullet$$H^{1}(\mathbb{R}^{3}):=\left\{u\in L^{2}(\mathbb{R}^{3}):\nabla u\in L^{2}(\mathbb{R}^{3})\right\}$ 是通常的 Sobolev 空间并赋予范数

$\bullet$$H^{1}_{r}(\mathbb{R}^{3}):=\left\{u \in H^{1}(\mathbb{R}^{3}): u \text { 是径向对称的}\right\}$;

$\bullet$$\rightharpoonup$ 表示相应的函数空间上的弱收敛.

在本节中, 我们给出一些预备引理. 首先有如下 Gagliardo-Nirenberg 不等式^[38].

引理 2.1 若 $2\leq q< 2^{*}$, 则对任意的 $u\in H^{1}(\mathbb{R}^3)$, 存在仅依赖于 $q$ 的常数 $C_{q}$, 使得

其中 $\gamma_{q}=\frac{3(q-2)}{2q}$.

对任意的 $s\in\mathbb{R}$ 和 $u\in H^{1}(\mathbb{R}^{3})$, 定义

则有

接下来, 对任意的 $u\in H^{1}(\mathbb{R}^{3})\setminus\{0\}$, 考虑映射 $s\mapsto I(s\star u)$.

引理 2.2 假设 $a$, $b>0$, $p\in\left(2,\frac{10}{3}\right)$ 或者 $p\in\left(\frac{14}{3},6\right)$. 对任意的 $u\in H^{1}(\mathbb{R}^{3})\setminus\{0\}$, 则有以下结论成立:

(i) 存在唯一的实数 $s(u)\in\mathbb{R}$ 使得 $P(s(u)\star u)=0$.

(ii) 若 $p\in\left(2,\frac{10}{3}\right)$, 则对任意的 $s\neq s(u)$, 有 $I(s(u)\star u)<I(s\star u)$, 且 $I(s(u)\star u)<0$. 若 $p\in\left(\frac{14}{3},6\right)$, 则对任意的 $s\neq s(u)$, 有 $I(s(u)\star u)>I(s\star u)$, 且 $I(s(u)\star u)>0$.

(iii) 映射 $u\mapsto s(u)$ 关于 $u\in H^{1}(\mathbb{R}^{3})\setminus\{0\}$ 是连续的.

(iv) 对任意的 $y\in\mathbb{R}^{3}$, 有 $s(u(\cdot+y))=s(u(\cdot))$. 进一步, $s(-u)=s(u)$.

证 (i) 由于

可得 $I(s \star u)$ 关于 $s$ 是 $C^{1}$ 的, 且

对于质量次临界情形, 即 $2<p<\frac{10}{3}$, 则 $0<\gamma_{p}p<2$, 从而

因此, 存在 $s(u)\in\mathbb{R}$ 使得

接下来证明 $s(u)$ 是唯一的. 事实上, 令

经过直接计算, 可得当 $s\in(-\infty,\infty)$ 时, $h'(s)>0$. 另一方面, 显然当 $s\rightarrow-\infty$ 时, $h(s)\rightarrow -\infty$; 当 $s\rightarrow+\infty$ 时, $h(s)\rightarrow +\infty$. 因此, 存在唯一的实数 $s(u)$ 使得 $h(s(u))=0$. 即, $P(s(u)\star u)=0$.

对于质量超临界情形, 即 $\frac{14}{3}<p<6$, 则 $4<\gamma_{p}p<6$, 从而

因此, 存在 $s(u)\in\mathbb{R}$ 使得

接下来证明 $s(u)$ 是唯一的. 事实上, 经过直接计算, 可得存在唯一的实数 $s_0\in\mathbb{R}$ 使得当 $s\in(-\infty,s_0)$ 时, $h'(s)>0$; 当 $s\in(s_0,\infty)$ 时, $h'(s)<0$. 另一方面, 显然当 $s\rightarrow-\infty$ 时, $h(s)\rightarrow a\|\nabla u\|^{2}_{2}>0$; 当 $s\rightarrow+\infty$ 时, $h(s)\rightarrow -\infty$. 因此, 存在唯一的实数 $s(u)>s_0$ 使得 $h(s(u))=0$. 即, $P(s(u)\star u)=0$.

(ii) 由 (i) 的证明过程可知, 结论(ii) 显然成立.

通过与文献[19,引理 2.4] 相似的讨论, 可得 (iii) 和 (iv) 成立.

利用引理 2.2, 可得以下关于泛函 $I$ 限制在 Pohozaev 流形 $\mathcal{P}_{\rho}$ 上的相关结论.

引理 2.3 假设 $a$, $b>0$, $p\in\left(2,\frac{10}{3}\right)$ 或者 $p\in\left(\frac{14}{3},6\right)$. 则有

(i) $\mathcal{P}_{\rho}\neq \emptyset$.

(ii) 若 $p\in\left(2,\frac{10}{3}\right)$, 则 $\inf\limits_{u\in\mathcal{P}_{\rho}} I(u)<0$; 若 $p\in\left(\frac{14}{3},6\right)$, 则 $\inf\limits_{u\in\mathcal{P}_{\rho}} I(u)>0$.

(iii) 若 $p\in\left(2,\frac{10}{3}\right)$, 则 $I$ 在 $S_{\rho}$ 上是强制的; 若 $p\in\left(\frac{14}{3},6\right)$, 则 $I$ 在 $\mathcal{P}_{\rho}$ 上是强制的.

证 (i) 由引理 2.2 (i), 可得 $\mathcal{P}_{\rho}\neq \emptyset$.

(ii) 对任意的 $u\in\mathcal{P}_{\rho}$, 有

当 $p\in\left(2,\frac{10}{3}\right)$ 时, 利用 (2.1) 式和 $0<\gamma_{p}p<2$, 可得 $\inf\limits_{u\in\mathcal{P}_{\rho}} I(u)<0$.

当 $p\in\left(\frac{14}{3},6\right)$ 时, 则必有 $\inf\limits_{u\in\mathcal{P}_{\rho}}\|\nabla u\|_{2}>0$. 反之, 假设存在序列 $\{u_n\}\subset\mathcal{P}_{\rho}$ 使得当 $n\rightarrow\infty$ 时, $\|\nabla u_{n}\|_{2}\rightarrow 0$. 根据引理 2.1, 可得

这就得到了矛盾. 因此 $\inf\limits_{u\in\mathcal{P}_{\rho}}\|\nabla u\|_{2}>0$. 结合 (2.1) 式与 $\gamma_{p}p \in(4,6)$, 可得 $\inf\limits_{u\in\mathcal{P}_{\rho}} I(u)>0$.

(iii) 对任意的 $u\in S_{\rho}$, 利用引理 2.1, 可推出

所以当 $p\in\left(2,\frac{10}{3}\right)$ 时, 可得 $0<\gamma_{p}p<2$, 且 $I$ 在 $S_{\rho}$ 上是强制的.

当 $p\in\left(\frac{14}{3},6\right)$ 时, 由 (2.1) 式, 可得 $I$ 在 $\mathcal{P}_{\rho}$ 上是强制的.

对于给定的 $\rho>0$, 定义辅助泛函 $J:S_{\rho}\rightarrow \mathbb{R}$ 如下

其中 $s(u)$ 是由引理 2.2(i) 给出的. 通过与[19,引理 4.2,引理 4.3] 相似的讨论, 可得如下结果.

引理 2.4 假设 $a$, $b>0$, $p\in\left(2,\frac{10}{3}\right)$ 或者 $p\in\left(\frac{14}{3},6\right)$. 则泛函 $J: S_{\rho} \rightarrow \mathbb{R}$ 是 $\mathcal{C}^{1}$ 的, 且对任意的 $u\in S_{\rho}$ 和 $\varphi\in T_{u}S_{\rho}$, 有

其中 $T_{u} S_{\rho}:=\left\{z\in H^{1}(\mathbb{R}^{3}):\int_{\mathbb{R}^{3}}zu=0\right\}$.

在本节中, 首先研究问题 (1.4) 的 $L^2$-正规化解的多重性. 利用极小极大原理 (参见文献[12,定理 7.2]), 我们将构造泛函 $J$ 在能量水平 $m_{\rho,k}$ 上的一个 Palais-Smale 序列 $\{u^{k}_{n}\}^{\infty}_{n=1}\subset\mathcal{P}_{\rho,r}$, 即满足本节中的 (3.2) 式.

令 $X\subset H^{1}(\mathbb{R}^{3})$, $\sigma: H^{1}(\mathbb{R}^{3})\rightarrow H^{1}(\mathbb{R}^{3})$ 且满足 $\sigma(u)=-u$. 若 $\sigma(A)=A$, 则称集合 $A\subset X$ 是 $\sigma$-不变的. 对任意的 $(t,u)\in[0,1]\times X$, 若 $\eta(t,\sigma(u))=\sigma(\eta(t,u))$, 则称同伦 $\eta:[0,1]\times X\rightarrow X$ 是 $\sigma$-等变的. 文献[12,定义 7.1] 中给出如下定义.

定义 3.1 假设 $B$ 是 $X\subset H^{1}(\mathbb{R}^{3})$ 的一个闭的 $\sigma$-不变集. $X$ 的一类紧子集族 $\mathcal{G}$ 称为带闭的边界 $B$ 的 $\sigma$-同伦稳定族, 若 $\mathcal{G}$ 满足

(i) $\mathcal{G}$ 中的任一集合是 $\sigma$-不变的;

(ii) $\mathcal{G}$ 中的任一集合包含 $B$;

(iii) 假设 $A$ 是 $\mathcal{G}$ 中的任一集合, $\eta\in C([0,1]\times X,X)$ 是 $\sigma$-同伦等变的, 且对任意的 $(t,u)\in(\{0\}\times X)\cup([0,1]\times B)$, 满足 $\eta(t,u)=u$. 则有 $\eta(\{1\}\times A)\in\mathcal{G}$.

引理 3.1 假设 $a$, $b>0$, $p\in\big(2,\frac{10}{3}\big)$. 令 $\mathcal{G}$ 为 $S_{\rho,r}$ 的带闭的边界 $B=\emptyset$ 的 $\sigma$-同伦稳定紧子集族, 且令

若 $m_{\rho,\mathcal{G}}<0$, 则泛函 $I$ 在能量水平 $m_{\rho,\mathcal{G}}$ 上存在一个 Palais-Smale 序列 $\{u_{n}\}\subset\mathcal{P}_{\rho,r}$.

证 显然存在序列 $\{A_n\}\subset\mathcal{G}$ 使得

利用引理 2.2(iii), 定义连续映射 $\eta$ 如下

且满足对任意的 $(t,u)\in\{0\}\times S_{\rho,r}$, 有 $\eta(t,u)=u$. 因此由 $\mathcal{G}$ 的定义可知, 当 $n\in\mathbb{N}^{+}$ 时, 有

和 $D_{n}\subset\mathcal{P}_{\rho,r}$. 由 $J$ 的定义可知, 对任意的 $s\in\mathbb{R}$ 和 $u\in S_{\rho,r}$, 有 $J(s\star u)=J(u)$. 因此,

即$\{D_{n}\}\subset\mathcal{G}$ 同样是 $m_{\rho,\mathcal{G}}$ 的极小化序列. 接下来, 利用极小极大原理 (参见文献[12,定理 7.2]), 可得泛函 $J$ 在能量水平 $m_{\rho,\mathcal{G}}$ 上存在一个 Palais-Smale 序列 $\{v_{n}\}\subset S_{\rho,r}$, 且满足当 $n\rightarrow\infty$ 时, 有 $\mathrm{dist}_{H^{1}(\mathbb{R}^{3})}(v_{n},D_{n})\rightarrow 0$. 定义

断言 1 在子列意义下, 存在序列 $\{u_{n}\}\subset S_{\rho,r}$ 和常数 $\tau>0$ 使得 $\|\nabla u_{n}\|_{2}>\tau$.

事实上, 利用引理 2.2(i) 和 $u_n\in \mathcal{P}_{\rho,r}$, 可得 $I(u_n)=J(u_n)<0$. 故由引理 2.3(iii), 可推出 $\{u_{n}\}\subset S_{\rho}$ 在 $H^{1}_{r}(\mathbb{R}^{3})$ 中有界. 在子列意义下, 存在 $u\in H^{1}_{r}(\mathbb{R}^{3})$ 使得 $u_{n}\rightharpoonup u$ 于 $H^{1}_{r}(\mathbb{R}^{3})$. 接下来证明, $u\neq 0$. 事实上, 若 $u=0$, 则有 $\|u_{n}\|_{p}\rightarrow 0$. 再次利用 $u_n\in \mathcal{P}_{\rho,r}$, 可知

这与 $J(v_n)\rightarrow m_{\rho,\mathcal{G}}<0$ 矛盾. 故 $u\neq 0$. 令 $\tau:=\frac{1}{2}\|\nabla u\|_{2}>0$, 则有

因此, 断言 1 成立.

断言 2 存在常数 $C>0$ 使得, ${\rm e}^{-2s_{n}} \leq C$ 关于 $n\in\mathbb{N}^{+}$一致成立.

事实上, 根据断言 1 可知, $\{\|\nabla u_{n}\|_{2}\}$ 有正的下界. 经过直接计算可得

由于 $D_{n}\subset\mathcal{P}_{\rho}$, 则当 $n\rightarrow \infty$ 时, 有

根据 $I$ 在 $S_{\rho}$ 上的强制性, 则 $\{D_{n}\}\subset S_{\rho}$ 在 $H^{1}(\mathbb{R}^{3})$ 中是一致有界的. 由于 $\mathrm{dist}_{H^{1}(\mathbb{R}^{3})}(v_{n},D_{n})\rightarrow 0$, 故 $\{v_{n}\}$ 在 $H^{1}(\mathbb{R}^{3})$ 中有界. 从而根据断言 1 和 (3.1) 式, 可知断言 2 成立.

接下来证明 $\{u_{n}\}\subset\mathcal{P}_{\rho,r}$ 为泛函 $I$ 在能量水平 $m_{\rho,\mathcal{G}}$ 上的 Palais-Smale 序列. 由 $\{u_{n}\}\subset\mathcal{P}_{\rho}$, 可知

选取 $\psi\in T_{u_{n}}S_{\rho}$, 经过直接计算可得

因此 $(-s_{n}) \star \psi\in T_{v_{n}}S_{\rho}$. 利用断言 2, 可得

切空间 $T_{u}S_{\rho}$ 的对偶空间 $(T_{u}S_{\rho})^{*}$ 的范数记为 $\|\cdot\|_{u,*}$, 利用引理 2.4, 可得

从而, 由 $\{v_{n}\}\subset S_{\rho,r}$ 是 $J$ 在能量水平 $m_{\rho,\mathcal{G}}$ 上的一个 Palais-Smale 序列, 知 $\|{\rm d}I(u_{n})\|_{u_{n},*}\rightarrow 0$.

定义 3.2 对任意非空的, 闭的 $\sigma$-不变集 $A\subset H^{1}(\mathbb{R}^{3})$, 定义 $A$ 的亏格如下

令 $\Sigma$ 为 $S_{\rho,r}$ 的一个 $\sigma$-不变紧子集族. 对任意的 $k \in \mathbb{N}^{+}$, 定义

和

令 $\{V_{k}\}$ 表示 $H^{1}_{r}(\mathbb{R}^{3})$ 的一列有限维线性子空间, 且满足 $V_{k}\subset V_{k+1}$, 维数 $\dim V_{k}=k$ 和 $\mathop{\cup}\limits_{k\geq 1}V_{k}$ 在 $H^{1}_{r}(\mathbb{R}^{3})$ 中稠密.

引理 3.2 假设 $a$, $b>0$, $p\in\left(2,\frac{10}{3}\right)$. 则对任一 $k\in\mathbb{N}^{+}$, 有

(i) $\mathcal{G}_{k}\neq\emptyset$, $\mathcal{G}_{k}$ 为 $S_{\rho,r}$ 的带闭的边界 $B=\emptyset$ 的 $\sigma$-同伦稳定紧子集族.

(ii) $m_{\rho,k}\leq m_{\rho,k+1}<0$.

证 (i) 利用亏格的性质, 可得 $\mathrm{Ind}(S_{\rho}\cap V_{k})=k$. 因此 $\mathcal{G}_{k} \neq \emptyset$. 根据定义 3.1 以及亏格的性质, 可得 (i) 成立.

(ii) 对任意的 $u\in S_\rho$, 利用引理 2.3(ii), 可知

假设存在 $A\in \mathcal{G}_k$, 使得 $\underset{u\in A}{\max}J(u)=0$. 由于 $A$ 是 $S_{\rho,r}$ 中的紧集, 故存在 $u\in A$ 使得 $J(u)=0$, 这与 (3.3) 式矛盾. 因此, $m_{\rho,k}<0$. 根据 $\mathcal{G}_{k+1} \subset \mathcal{G}_{k}$, 可推出 $m_{\rho,k}\leq m_{\rho,k+1}$.

命题 3.1 假设 $a$, $b>0$, $p\in\big(2,\frac{10}{3}\big)$ 或者 $p\in\big(\frac{14}{3},6\big)$. 若 $\{u_{n}\}\subset S_{\rho,r}$ 是泛函 $I$ 在能量水平 $c\neq0$ 上的一个 Palais-Smale 序列, 且满足当 $n\rightarrow \infty$ 时, 有 $P(u_{n})\rightarrow 0$. 则在子列意义下, 存在 $u\in H^{1}(\mathbb{R}^{3})$ 使得 $u_{n}\rightarrow u$ 于 $H^{1}(\mathbb{R}^{3})$. 进一步, $u\in S_{\rho}$ 是问题 (1.4) 的一个径向解且 $\lambda<0$.

证 由引理2.3(iii), 可知 $\{u_{n}\}$ 在 $H^{1}(\mathbb{R}^{3})$ 中有界. 故在子列意义下, 存在 $u\in H^{1}_{r}(\mathbb{R}^{3})$ 使得当 $n\rightarrow\infty$ 时, 有

根据 $(I|_{S_{\rho}})'(u_{n})\rightarrow 0$ 和 [6, 引理 3], 可得

则有

由于 $\{u_{n}\}$ 在 $H^{1}(\mathbb{R}^{3})$ 中有界, 可得 $\{\lambda_n\}$ 有界. 故在子列意义下, 存在 $\lambda\in\mathbb{R}$ 使得当 $n\rightarrow\infty$ 时, 有 $\lambda_n\rightarrow\lambda$. 又 $P(u_{n})\rightarrow 0$, 可推出

由于 $p\in\left(2,\frac{10}{3}\right)\cup \left(\frac{14}{3},6\right)$, 则有 $\gamma_{p}\in(0,1)$, 从而 $\lambda\leq0$. 我们断言 $\lambda<0$ 且 $u\neq 0$. 事实上, 若 $\lambda=0$, 则有 $\|u_{n}\|_{p}\rightarrow 0$. 再次利用 $P(u_{n})\rightarrow 0$, 可知 $I(u_{n})\rightarrow 0$, 这与 $I(u_{n})\rightarrow c\neq0$ 矛盾. 因此, $\lambda<0$. 如上所述, 也可推断出 $u\neq 0$.

利用 $u_{n}\rightharpoonup u\neq 0$ 于 $H^{1}(\mathbb{R}^{3})$, 在子列意义下, 可推出

故由 (3.5) 式可知

由于 $\{u_{n}\}$ 在 $H^{1}(\mathbb{R}^{3})$ 中有界, 结合 (3.4)-(3.6) 式且取 $\varphi=u_{n}-u$, 可推出

根据 $a$, $b$, $B>0$ 和 $\lambda<0$, 可得 $\|u_{n}-u\|\rightarrow 0$.

引理 3.3 假设 $a$, $b>0$, $p\in\big(2,\frac{10}{3}\big)$. 对任意的 $c\in\Big(\underset{u\in S_{\rho}}{\inf}I(u),0\Big)$, 存在充分小的 $\alpha=\alpha(c)>0$ 和充分大的 $k(c)\in\mathbb{R}^{+}$, 使得当 $k\ge k(c)$ 和 $u\in\mathcal{P}_{\rho,r}$ 时, 若 $\|\pi_k u\|\leq \alpha$, 则有 $I(u)>c$, 其中 $\pi_k$ 表示从 $H^1_r(\mathbb{R}^3)$ 到其有限维线性子空间 $V_k$ 的正交投影.

证 利用反证法, 假设 $\underset{u\in S_\rho}{\inf}I(u)<c_0<0$, 其中 $c_0$ 为负实数. 则存在 $\{k_n\}\subset\mathbb{N}^{+}$ 满足 $k_n\rightarrow\infty$ 和 $\{u_n\}\subset \mathcal{P}_{\rho,r}$ 使得

由 $\{u_n\}\subset \mathcal{P}_{\rho,r}$, 可知 $\{u_n\}$ 在 $H^1_r(\mathbb{R}^3)$ 中有界. 在子列的意义下, 存在 $u\in H_r^1(\mathbb{R}^3)$ 使得

则必有 $u=0$. 事实上,

由 $\pi_{k_n} u_n\rightarrow 0$ 于 $L^2(\mathbb{R}^3)$, 可得 $\|u\|_{2}=0$. 因此, $u=0$ 且 $\|u_n\|_{p}\rightarrow 0$. 利用 $u_n\in \mathcal{P}_\rho$, 则有 $\|\nabla u_{n}\|_{2}\rightarrow 0$, $I(u_n)\rightarrow 0$, 这与 $I(u_n)\le c_0$ 矛盾. 证毕.

引理 3.4 假设 $a$, $b>0$, $p\in\big(2,\frac{10}{3}\big)$. 则当 $k \rightarrow \infty$ 时, 有 $m_{\rho,k}\rightarrow 0^{-}$.

证 根据引理 3.2, 假设存在 $c_0<0$ 使得 $m_{\rho,k}<c_0$. 令 $\alpha(c_0)$ 和 $k(c_0)$ 是由引理 3.3 给出. 由 $m_{\rho,k}$ 的定义, 可知存在 $A\in \mathcal{G}_k$ 使得 $\underset{u\in A}{\max}J(u)<c_0$. 定义映射 $\Phi : A\rightarrow \mathcal{P}_{\rho,r}$ 为 $\Phi(u)=s(u)\star u$. 定义 $\Psi: \left\{u\in \mathcal{P}_{\rho,r}: \pi_{k(c_0)}u\ne 0\right\} \rightarrow H^1_r(\mathbb{R}^3)$ 为

由引理 3.3 可知, 映射 $\Psi\circ \Phi$ 在 $A$ 上是良定的. 利用亏格的性质, 可推出,

另一方面, 由引理 3.3, 可知 $\Psi\circ \Phi (A)\subset V_{k(c_0)}\backslash \{0\}$, 故有

结合 (3.7) 与 (3.8) 式, 当 $k>k(c_0)$ 时, 得到矛盾. 证毕.

定理 1.1(i) 的证明 利用引理 3.1 和引理 3.2(ii), 可得泛函 $I$ 在能量水平 $m_{\rho,k}<0$ 上存在一个 Palais-Smale 序列 $\{u^{k}_{n}\}^{\infty}_{n=1}\subset\mathcal{P}_{\rho,r}$. 从而根据命题 3.1, 可推出问题 (1.4) 存在 $L^2$-径向对称正规化解 $u_{k}$ 且满足 $I(u_{k})=m_{\rho,k}<0$. 因此, 再次利用引理 3.2(ii) 与引理 3.4, 可知

证毕.

根据引理 2.2, 引理 2.3 以及引理 2.4, 通过上述类似的讨论, 可得如下引理.

引理 3.5 假设 $a$, $b>0$, $p\in\big(\frac{14}{3},6\big)$. 令 $\mathcal{G}$ 为 $S_{\rho,r}$ 的带闭的边界 $B=\emptyset$ 的 $\sigma$-同伦稳定紧子集族. 定义

若 $m_{\rho,\mathcal{G}}>0$, 则泛函 $I$ 在能量水平 $m_{\rho,\mathcal{G}}$ 上存在一个 Palais-Smale 序列 $\{u_{n}\}\subset\mathcal{P}_{\rho,r}$.

引理 3.6 假设 $a$, $b>0$, $p\in\left(\frac{14}{3},6\right)$. 则对任一 $k\in\mathbb{N}^{+}$, 有

(i) $\mathcal{G}_{k}\neq\emptyset$, $\mathcal{G}_{k}$ 为 $S_{\rho,r}$ 的带闭的边界 $B=\emptyset$ 的 $\sigma$-同伦稳定紧子集族.

(ii) $0<m_{\rho,k}\leq m_{\rho,k+1}$.

引理 3.7 假设 $a$, $b>0$, $p\in\left(\frac{14}{3},6\right)$. 则当 $k \rightarrow \infty$ 时, 有 $m_{\rho,k}\rightarrow +\infty$.

定理 1.1(ii) 的证明 利用引理 3.5 和引理 3.6(ii), 可得泛函 $I$ 在能量水平 $m_{\rho,k}>0$ 上存在一个 Palais-Smale 序列 $\{u^{k}_{n}\}^{\infty}_{n=1}\subset\mathcal{P}_{\rho,r}$. 从而根据命题 3.1, 可推出问题 (1.4) 存在 $L^2$-径向对称正规化解 $u_{k}$ 且满足 $I(u_{k})=m_{\rho,k}>0$. 因此, 再次利用引理 3.6(ii) 和引理 3.7, 可知

证毕.

接下来, 我们将讨论在定理 1.1 中所获得的解关于参数 $b\rightarrow 0^+$ 时的渐近行为. 令 $h_b$, $s_b$, $P_b$, $J_{b}$, $I_b$ 和 $m^{b}_{\rho,k}$ 分别表示上述中的 $h$, $s$, $P$, $J$, $I$ 和 $m_{\rho,k}$, 目的是为了强调它们是依赖于参数 $b$ 的.

引理 3.8 令 $a$, $b>0$, $p\in\left(2,\frac{10}{3}\right)$ 或者 $p\in\left(\frac{14}{3},6\right)$. 对任意的 $u\in A$ 和 $k\in \mathbb{N}^{+}$, 其中 $A\in \mathcal{G}_{k}=\{A\in\Sigma\mid\mathrm{Ind}(A)\geq k\}$, 则泛函 $J_{b}(u)$ 关于 $b$ 是非减的.

证 根据引理 2.2, 可知 $s_b(u)$ 满足 $h_b(s_b(u))=0$, 其中

令 $0<b_1<b_2$. 显然有 $h_{b_1}(s)\leq h_{b_2}(s)$, 因此, 当 $p\in\left(2,\frac{10}{3}\right)$ 时, 有 $s_{b_2}(u)\leq s_{b_1}(u)$; 当 $p\in\left(\frac{14}{3},6\right)$ 时, 有 $s_{b_1}(u)\leq s_{b_2}(u)$. 对任意的 $u\in A$, 可得

故对任意的 $u\in A$, 当 $p\in\left(2,\frac{10}{3}\right)$ 或者 $p\in\left(\frac{14}{3},6\right)$ 时, 可推出 $J_{b_1}(u)\leq J_{b_2}(u)$. 证毕.

定理 1.2 的证明 假设 $\left\{(u^{b}_{k},\lambda^{b}_{k})\right\} \subset S_{\rho,r} \times \mathbb{R}^{-}$ 是由定理 1.1 得到的一列解. 任取一序列 $\{b_{m}\}\subset\mathbb{R}^{+}$, 且满足当 $m \rightarrow+\infty$ 时, 有 $b_{m}\rightarrow 0^{+}$. 不失一般性, 假设 $b_{m}\in(0,1]$. 根据 $m_{\rho,k}$ 的定义, 定理 1.1 和引理 3.8, 可得

(i) 若 $p\in\left(2,\frac{10}{3}\right)$, 则对任一 $k\in \mathbb{N}^{+}$, 可推出

(ii) 若 $p\in\left(\frac{14}{3},6\right)$, 则对任一 $k\in \mathbb{N}^{+}$, 可推出

由于 $P_{b_{m}}(u^{b_{m}}_{k})=0$, 则

且

因此, 利用 (3.9) 和 (3.10) 式, 可得序列 $\left\{\|\nabla u^{b_{m}}_{k}\|_{2}\right\}_{m\in \mathbb{N}^{+}}$ 和 $\left\{\lambda^{b_{m}}_{k}\right\}_{m\in \mathbb{N}^{+}}$ 在 $\mathbb{R}$ 中是有界的. 故在子列意义下, 存在 $\left(u^{0}_{k},\lambda^{0}_{k}\right)\in S_{\rho,r} \times (-\infty,0]$ 使得当 $m \rightarrow+\infty$ 时, 有

因此, 根据序列的弱收敛性, 可知 $\left\|u^{0}_{k}\right\|^2_2\leq\rho$, 且 $u^{0}_{k}$ 满足

分别选取 $\varphi=u^{b_{m}}_{k}$ 和 $\varphi=u^{b_{m}}_{k}-u^{0}_{k}$, 则有

由于 $\left\{(u^{b_{m}}_{k},\lambda^{b_{m}}_{k})\right\} \subset S_{\rho,r} \times \mathbb{R}^{-}$ 是问题 (1.4) 中当参数 $b=b_{m}$ 时的一列 $L^2$-正规化解, 且满足 $b_{m}\rightarrow 0$, 故有

由 (3.11)-(3.14) 式可知

其中 $\lambda^{0}_{k}\leq 0$. 若 $\lambda^{0}_{k}=0$, 则 $\left\|\nabla (u^{b_{m}}_{k}-u^{0}_{k})\right\|^{2}_{2}\rightarrow 0$, 且 $u^{0}_{k}$ 满足下列方程

其中 $p\in\left(2,\frac{10}{3}\right)$ 或者 $p \in\left(\frac{14}{3},6\right)$, 则有 $u^{0}_{k}=0$. 再次利用 (3.11) 式, 可得当 $m \rightarrow+\infty$ 时, 有 $I_{b_{m}}\left(u^{b_{m}}_{k}\right)\rightarrow 0$, 这与 (3.9) 和 (3.10) 式矛盾. 因此, $\lambda^{0}_{k}<0$, 且当 $m \rightarrow+\infty$ 时, $u^{b_{m}}_{k}\rightarrow u^{0}_{k}$ 于 $H^{1}_r(\mathbb{R}^{3})$. 故 $\left\{(u^{0}_{k},\lambda^{0}_{k})\right\}\subset S_{\rho,r} \times \mathbb{R}^{-}$ 为下列方程的一列 $L^2$-正规化解

证毕.