考虑如下具有不连续条件的 Sturm-Liouville 逆谱问题 $L(d,q,h,H,a_1,a_2)$

其中 $\lambda:=\rho^2$ 为谱参数, 实值势函数 $q\in L^2(0,1)$, 不连续点 $d\in(0,\frac{1}{2}]$, 边界条件和不连续条件系数 $h,H,a_1,a_2\in \mathbb{R}$ 且 $a_1>0$.

逆谱问题旨在从算子的谱特征中恢复算子的系数 (包括势函数和一些参数信息), 这类问题近年来引起了学者的广泛关注. 有关连续 Sturm-Liouville 算子逆谱问题的研究已经比较完善^{[1⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓-11]}. 一般地，在唯一性中, Sturm-Liouville 算子可由不同类型的谱数据唯一确定, 如两组谱, 特征值和归一化常数, Weyl 函数等. 特别地, Hochstadt 和 Lieberman^[4]研究了连续的半逆问题, 即势函数在一半区间上已知时, 重构另一半区间上的势函数仅需一组谱数据. 当已知的势函数信息更多时, 所需要的谱数据更少, 这类问题通常被称为基于混合谱数据的逆谱问题, 详见文献[3,5,6,10]

与连续情形的逆谱问题相比, 不连续的研究更加复杂. 具有不连续条件的边值问题常出现在数学物理和地球科学以及其他自然科学分支中, 并在科学与工程领域中具有实际应用^[2]. 其中, 不连续逆问题通常与不连续的材料性质有关^[12], 是由介质外收集的谱信息重建不连续介质的材料特性和介电常数及电导率等的逆问题. 具有内部不连续点的边值问题也出现在地球振动的地球物理模型中^[13], 其不连续主要是由地壳底部的横波反射引起的. 此外, 不连续逆问题还可用于研究电子学中构造具有理想技术特性的异质电子线路的参数^[14]以及数学物理中非线性发展方程解的爆破行为^[2].

目前关于不连续逆谱问题的研究主要关注其唯一性^{[15⇓⇓⇓⇓-20]}, 即从算子的谱特征中唯一确定势函数和未知参数. 特别地, Hald^[15]首先讨论了有限区间上具有一个不连续条件的 Sturm-Liouville 算子半逆问题的唯一性. Wang^[18]利用混合谱数据给出了具有不连续条件的部分逆谱问题的几种唯一性定理. Yang 和 Bondarenko^[20]考虑了重构不连续 Hochstadt-Lieberman 问题的可解性. 同年, 他们研究了不连续 Sturm-Liouville 算子逆问题的局部可解性和稳定性^[21], 并指出问题 (1.1)-(1.3) 式等价于如下问题 $L=L(d_1,d_2,q_1,q_2,h,H,a_1,a_2)$

其中$d_1=d$, $d_2=1-d$, $q_j\in L^2(0,d_j)$, $j=1,2$ 且$q_1(x):=q(x)\big|_{[d_1]}$, $q_2(x):=q(1-x)\big|_{[d_2]}$.

众所周知, 边值问题 $L$ 是自伴的且只有单重的实特征值. 设 $\{\lambda_{n}\}_{n\geq0}$ 为边值问题 $L$ 的特征值. 本文主要研究如下逆问题.

逆问题 1.1 假设 $d=\frac{1}{2}$, 给定特征值 $\{\lambda_{n}\}_{n\geq0}$, 势函数 $q_2$ 和系数 $H, a_1$, 重构 $q_1, h$ 和 $a_2$.

文献[22]研究了逆问题 1.1 的唯一性. Yang 和 Bondarenko^[21]研究了逆问题 1.1 的局部可解性和稳定性. 所谓局部可解性是指: 对于已知的边值问题 $L(\frac{1}{2},\frac{1}{2},q_1,q_2,h,H,a_1,a_2)$ 及其特征值集$\{\lambda_n\}_{n\ge0}$, 若一组数据$\{\tilde{\lambda}_n\}_{n\ge0}, \tilde{q}_2, a_1, \tilde{H}$ 与边值问题$L$ 中的相应数据误差很小, 则存在一个边值问题 $L(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\tilde{q}_1, \tilde{q}_2, \tilde{h},\tilde{H},\tilde{a}_1,a_2)$ 以 $\{\tilde{\lambda}_n\}_{n\ge0}$ 为特征值.

文献[21]所考虑的局部可解性和稳定性是在已知的 $q_2$ 和 $H$ 不存在任何误差的条件下进行的, 即, $\tilde{q}_2=q_2,\tilde{H}=H$. 注意到, $\tilde{q}_2$ 和 $\tilde{H}$ 作为输入的数据应该和特征值一样可能存在误差. 基于此, 本文将在文献[21]的基础上, 在 $\tilde{q}_2$ 和 $\tilde{H}$ 可能存在误差的前提下, 进一步刻画逆问题 1.1 的局部可解性和稳定性 (见定理 3.1).

另外, 文献[21]也考虑了不连续点 $d\in(0,\frac{1}{2})$ 的情形, 所以我们也考虑如下逆问题, 并给出其局部可解性和稳定性的定理 (见定理 3.2).

逆问题 1.2 假设 $d\in(0,\frac{1}{2})$, 记集合 $I$ 为非负整数集的子集. 给定 $\{\lambda_{n}\}_{n\in I}, q_2, H, a_1, a_2$ 及 $\omega_1:=h+\frac{1}{2}\int_{0}^{d} q_1(x){\rm d}x$, 重构 $q_1$ 和 $h$.

本节做一些准备工作, 介绍一些已知的结论, 特别是求解逆问题的主方程及相关定理.

设 $\varphi(x,\lambda)$, $\psi(x,\lambda)$ 是方程 (1.4) 分别满足以下初值条件的解

令 $\lambda=\rho^2$. 由边值问题初值解的变换算子理论^[7,8], $\varphi(x,\lambda)$ 具有如下的积分表达式

其中 $K(x,t)$ 为核函数, 其一阶偏导数$K_x(x,\cdot),K_t(x,\cdot)\in L^2(0,x)$. 由此可得

其中

记$K_1(t):=K_t(d_1,t)$ 和$K_2(t):=K_x(d_1,t)$, 并且称集合$\{K_1(t), K_2(t),\omega_1\}$ 为关于$q_1$ 和$h$ 的Cauchy 数据. 记$\{{\mu}_{i,n}\}_{n\ge0}$ 分别为${\varphi}^{(i)}(d_1,\lambda)$ 的零点, $i=0,1$. 易知这些零点分别为如下边值问题$L_i(q_1,h)$ 的特征值

由经典 Borg 定理^[1]和文献 [21, 引理 5], 可得下列基于 Cauchy 数据重构实值势函数和左边界条件参数的局部可解性和稳定性.

引理 2.1 对任一实值势函数$q_1\in L^2(0,d)$, $h\in \mathbb{R}$, 集合$\{K_1, K_2, \omega_1\}$ 为关于$q_1$ 和$h$ 的Cauchy 数据, 存在$\varepsilon>0$ (仅依赖于$q_1$ 和$h$), 使得对满足如下关系的任意函数${\tilde{K}_1, \tilde{K}_2}$

则存在唯一的实值$\tilde{q}_1\in L^2(0,d)$ 和$\tilde{h}=\omega_1-\frac{1}{2}\int_{0}^{d} \tilde{q}_1(t){\rm d}t$ 使得集合$\{\tilde{K}_1, \tilde{K}_2, \omega_1\}$ 是关于$\tilde{q}_1$ 和$\tilde{h}$ 的Cauchy 数据, 且有

其中常数$C$ 仅依赖于$q_1, h$.

证 由函数$\tilde{K}_1(t)$ 和$\tilde{K}_2(t)$ 及$\omega_1$ 构造函数

记$\{\tilde{\mu}_{i,n}\}_{n\ge0}$ 分别为$\tilde{\varphi}_i(\lambda)$ 的零点, $i=0,1$. 运用与文献[21, 引理 5]证明中相同的论述得 (为了方便读者, 我们将该式证明放在附录)

因为$\tilde{K}_{i+1}(t)$ 为实值函数, 所以当$\varepsilon$ 充分小时, 函数$\tilde{\varphi}_i(\lambda)$ 的零点$\{\tilde{\mu}_{i,n}\}_{n\ge0}$ 均为实的且简单的. 由 Borg 定理^[1] (见文献[2,定理 1.8.1]) 得, 存在唯一的实值$\tilde{q}_1\in L^2(0,d)$ 和$\tilde{h}\in \mathbb{R}$ 使得$\{\tilde{\mu}_{i,n}\}_{n\ge0}$ 为边值问题$L_i(\tilde{q}_1,\tilde{h})$ 的特征值, 并且有(2.3)式成立.

由间断条件 (1.6) 式知, 边值问题$L$ 的特征值$\{\lambda_{n}\}_{n\geq0}$ 对应如下示性函数的零点^[21]

众所周知, 当$d=1/2$ 时, 边值问题$L$ 的特征值具有如下渐近性^[23]

其中

当$d\ne 1/2$ 时, 特征值的渐近性较为复杂, 其首项为两个正弦函数之差的零点^[24]. 不失一般性假设$\lambda_{n}<\lambda_{n+1}$, $\lambda_{n}>0$, $n\geq0$. 当方程 (1.1) 的某特征值$\lambda=-a_0$$(a_0>0)$ 时, 利用谱的平移, 方程两边同时增加$b_0$ 且$b_0>a_0$, 使得$\lambda>0$, 可保证特征值都为正数.

引入 Hilbert 空间$\mathcal{H}:=L^2(0,d)\times L^2(0,d)$, 其内积和范数定义如下

其中$g=\left(g_1,g_2\right)^T,w=\left(w_1,w_2\right)^T\in \mathcal{H}$. 将 (2.1) 和 (2.2) 式代入 (2.7) 式中, 可得表达式

其中

取$\lambda=\lambda_{n}$, 由$\Delta(\lambda_n)=0$ 得

其中

上述 (2.10) 式称为逆问题 1.1 和 1.2 的主方程.

文献[25]中陈述了如下引理, 为了方便读者, 我们将证明放在附录中.

引理 2.2 若$\{ \nu_n \}_{n\in I}$ 是$\mathcal{H}$ 中的Riesz 基, 其中$I$ 为非负整数集的子集, 则存在$\varepsilon > 0$, 使得满足以下估计的任意序列$\{ \tilde \nu_n \}_{n\in I}$ 也是$\mathcal{H}$ 中的Riesz 基

进一步, 记$f_n := (K, \nu_n)_\mathcal{H}$, 其中$K\in \mathcal{H}$, 则对任意满足如下估计的序列$\{ \tilde f_n \}_{n\in I}$

都存在唯一的$\tilde K \in \mathcal{H}$, 使得$\tilde f_n = (\tilde K, \tilde \nu_n)_{\mathcal{H}}$ 成立. 此外,

其中常数$C$ 依赖于$\{ \nu_n \}_{n\in I}$ 和$K$.

对于 (2.11) 式所定义的向量函数系$\{\nu_{n}\}_{n\geq0}$ 有如下引理. 该引理已由文献[21]证明, 为了方便读者, 我们将该证明主要思想放在附录.

引理 2.3 当$d=1/2$ 时, (2.11) 式所定义的向量函数系$\{\nu_{n}\}_{n\geq0}$ 是空间$\mathcal{H}=L^2(0,\frac{1}{2})\times L^2(0,\frac{1}{2})$ 中的Riesz 基.

因此, 当$d=1/2$ 时, (2.11) 式中的$\{f_{n}\}_{n\geq0}$ 为向量函数$K$ 在一组Riesz 基下的坐标, 即

其中$\{\nu_{n}\}_{n\geq0}, \{\nu_{n}^{*}\}_{n\geq0}$ 互为对偶基.

本节主要研究逆问题 1.1 和逆问题 1.2 的局部可解性和稳定性. 约定: 当$d=1/2$ 时, $I$ 为非负整数集, 当$d\in(0,1/2)$ 时, $I$ 为非负整数集的真子集. 给定边值问题 $L(d_1,d_2,q_1,q_2,h,H,a_1,$$a_2)$ 及其特征值$\{\lambda_n\}_{n\in I}$. 粗略地说, 本节将证明若数据 $\{\tilde{\lambda}_n\}_{n\in I}, \tilde{q}_2,$$\tilde{H}$ 与给定边值问题$L$ 中的相应数据误差很小, 则存在一个边值问题 $L(d_1,d_2,\tilde{q}_1, \tilde{q}_2, \tilde{h},\tilde{H},a_1,a_2)$ 以$\{\tilde{\lambda}_n\}_{n\in I}$ 为特征值. 本节约定: 若符号$\gamma$ 表示与$L$ 相关的对象, 则$\widetilde{\gamma}$ 为由$\{\tilde{\lambda}_n\}_{n\in I}, \tilde{q}_2, \tilde{H}$ 所重构得到的对应相关对象. 设$\tilde{\lambda}_{n}=\tilde{\rho}_{n}^2$. 记序列$\{\tilde{\lambda}_n\}_{n\in I}$ 与$\{{\lambda}_n\}_{n\in I}$ 的误差为

数据$\tilde{q}_2$ 和$\tilde{H}$ 与给定的${q}_2$ 和${H}$ 的误差为

文献[21]所考虑的局部可解性和稳定性中$Q=0$. 本节推广文献[21]的结果, 即证明如下两个定理.

定理 3.1 对任一问题$L=L(\frac{1}{2},\frac{1}{2},q_1,q_2,h,H,a_1,a_2)$, 存在$\varepsilon>0$, 使得对分别满足以下关系的任意序列$\{\tilde{\lambda}_{n}\}_{n\geq0}$, 函数$\tilde{q}_2\in L^2(0,\frac{1}{2})$ 和常数$\tilde{H}\in \mathbb{R}$

存在唯一的$\tilde{q}_1\in L^2(0,\frac{1}{2})$ 和$\tilde{h}\in \mathbb{R}$, 使得$\{\tilde{\lambda}_{n}\}_{n\geq 0}$ 是问题$\tilde{L}=L(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\tilde{q}_1,\tilde{q}_2,\tilde{h},\tilde{H},a_1,a_2)$ 的特征值且

其中常数$C>0$ 仅依赖于问题$L$.

定理 3.2 假设$d\in (0,\frac{1}{2})$, 对任一问题$L=L(d_1,d_2,q_1,q_2,h,H,a_1,a_2)$, 若其特征值的子序列$\{\lambda_{n}\}_{n\in I}$ 使得由 (2.11) 式构造的向量函数系$\{ \nu_n \}_{n\in I}$ 为$\mathcal{H}$ 中的Riesz 基, 则存在$\varepsilon>0$, 使得下列结论成立对分别满足以下关系的任意序列$\{\tilde{\lambda}_{n}\}_{n\in I}$, 函数$\tilde{q}_2\in L^2(0,d_2)$ 和常数$\tilde{H}\in \mathbb{R}$

存在唯一的$\tilde{q}_1\in L^2(0,d_1)$ 和$\tilde{h}\in \mathbb{R}$, 使得$\{\tilde{\lambda}_{n}\}_{n\in I}$ 是问题$\tilde{L}=L(d_1,d_2,\tilde{q}_1,\tilde{q}_2,\tilde{h},\tilde{H},a_1,a_2)$ 的特征值且

其中常数$C>0$ 仅依赖于问题$L$.

注 3.1 定理 3.1 与定理 3.2 主要区别在于: 当$d=1/2$ 时, 由 (2.11) 式构造的向量函数系$\{ \nu_n \}_{n\ge0}$ 自然构成$\mathcal{H}$ 中的Riesz 基; 当$d\in (0,1/2)$ 时, 由 (2.11) 式构造的向量函数系$\{ \nu_n \}_{n\ge0}$ 太多了, 即特征值数据超定了, 需要从中选出一部分, 然而, 如何选取, 一般比较困难, 这依赖于$d$ 的取值, 如, 当$d=1/4$ 时, 可取$I$ 为偶数集^[21].

令$\tilde{\psi}(x,\lambda)$ 是方程$-y''(x)+\tilde{q}_2(x)y(x)=\lambda y(x)$ 满足下面初值条件的解

由变换算子理论可知, 有如下的表达式^[7,26]

其中$T(x,t), T_0(x,t)$ 分别为$(q_2, H)\rightarrow(\tilde{q}_2,\tilde{H})$ 和$(0,0)\rightarrow (q_2,H)$ 的变换算子核函数且

根据核函数的相关估计^[26], 对$x\in [d_2]$, 可得

其中正常数$C$ 依赖于$\|q_2\|_{L^2(0,d_2)}+ |H|+\|\tilde{q}_2\|_{L^2(0,d_2)}+|\tilde{H}|$. 由 (3.1) 式及$Q\le \varepsilon$ 知

所以可令$\varepsilon<1$ 使得 (3.10) 式中的常数$C$ 仅依赖于$\|q_2\|_{L^2(0,d_2)}, |H|$. 由 (3.3) 或 (3.6) 式和 (3.9) 式的第一个等式知

由 (3.8) 式, 分部积分得

其中

再由 (3.10) 式得$\|P\|_{L^2(0,d_2)}\leq CQ, \|P_1\|_{L^2(0,d_2)}\leq CQ$, 并且

其中常数$C$ 仅依赖于$\|q_2\|_{L^2(0,d_2)}, |H|$.

对于逆问题 1.1 ($d=1/2$), 可基于特征值的渐近估计 (2.8) 和 (2.9) 式, 由已知的数据$q_2, H, a_1$ 来获得$\omega_1$ 和$a_2$. 对于逆问题 1.2 ($d\in(0,1/2)$), $\omega_1$ 和$a_2$ 作为已知数据给出. 回忆 (2.11) 式, 即由$q_2, H, \{\lambda_{n}\}_{n\in I}, a_1, a_2, \omega_1$ 所构造的序列$\{\nu_{n}\}_{n\in I}$ 和$\{f_{n}\}_{n\in I}$. 类似地, 由$\tilde{q}_2, \tilde{H}, \{\tilde{\lambda}_{n}\}_{n\in I}, a_1, a_2, \omega_1$ 来定义序列

其中

引理 3.1 存在$\varepsilon>0$, 使得若 (3.2) 和 (3.3) 式 (或 (3.5) 和 (3.6) 式) 成立, 则

其中常数$C$ 仅依赖于问题$L$.

证 基于 Schwartz 引理^[2], 对$n\geq0, x\in [d_2]$ 可得下面的估计

由 (3.11), (3.12) 和 (3.20) 式可知

令$\nu_{n}-\tilde{\nu}_n=(p_{n,1},p_{n,2})$, 其中

注意到$\|P\|_{L^2(0,d_2)}\leq CQ, \|P_1\|_{L^2(0,d_2)}\leq CQ$, 利用估计 (3.13), (3.19), (3.21) 和 (3.22) 式可得

其中$P_2(t)\in L^2(-d_2,d_2)$ 且$\|P_2\|_{L^2(-d_2,d_2)}\leq CQ$. 又因为$\{\rho_n\}_{n\ge0}$ 为没有聚点的离散实数列, 所以由 Fourier 变换理论得

再结合 (3.2) 或 (3.5) 式有

可证得 (3.17) 式. 对于$|f_n-\tilde{f}_n|$, 同理可得 (3.18) 式的证明.

因此, 根据主方程 (2.10), 引理 2.2 和引理 3.1, 我们有下面的结论.

引理 3.2 若$\{ \nu_n \}_{n\in I}$ 是$\mathcal{H}$ 中的Riesz 基, 则存在$\varepsilon > 0$, 使得对满足 (3.2) 和 (3.3) 式 (或 (3.5) 和 (3.6) 式) 的任意序列$\{\tilde{\lambda}_{n}\}_{n\in I}$, 函数$\tilde{q}_2\in L^2(0,d_2)$ 和常数$\tilde{H}\in \mathbb{R}$, 存在唯一的向量函数$\tilde K=(\tilde{K}_1,\tilde{K}_2)^T\in \mathcal{H}$, 有$(\tilde K, \tilde \nu_n)_{\mathcal{H}}=\tilde f_n, n\in I$ 成立且

下面我们给出定理 3.1 和 3.2 的证明.

定理 3.1 和 3.2 的证明 由引理 2.2, 2.3, 3.1 和引理 3.2 知, 在定理 3.1 (或定理 3.2) 的条件下, 存在唯一的$\tilde K(t)$ 使得

其中$\{\tilde{\nu}_{n}\}_{n\in I}$ 和$\{\tilde{f}_{n}\}_{n\in I}$ 由 (3.14)-(3.16) 式给出. 定义函数

由 (3.23) 式知

利用 (2.1), (2.2) 式及$\tilde{K}$ 的分量$\tilde{K}_1, \tilde{K}_2$, 我们可构造函数

结合 (3.25), (3.26) 式可知, (3.24) 式中$\tilde{\Delta}(\lambda)$ 则有如下表示

根据引理 2.1和引理 3.2, 存在唯一的$\tilde{q}_1\in L^2(0,d_1)$ 和$\tilde{h}\in \mathbb{R}$, 使得$\{\tilde{\lambda}_{n}\}_{n\in I}$ 是问题$\tilde{L}=L(d_1,d_2,\tilde{q}_1,\tilde{q}_2,\tilde{h},\tilde{H},a_1,a_2)$ 的特征值且有估计 (3.4) 或 (3.7) 式成立.

在附录中我们补充一些具体说明, 首先给出 (2.6) 式的证明.

证 记$\varphi(\lambda):=\varphi(d,\lambda)$. 由 (2.1) 和 (2.4) 式可知

注意到$\{{\mu}_{0,n}\}_{n\ge0}$ 是${\varphi}(\lambda)$ 的零点且为边值问题$L_0(q_1,h)$ 的特征值. 令函数$f(\rho):=\varphi(\lambda)$, 则$\{\sqrt{{\mu}_{0,n}}\}_{n\ge0}$ 是$f(\rho)$ 的零点. 注意到, 存在正常数$r$ 和$c_0$, 使得对所有$n\geq0$, 有$r<\sqrt{\mu_{0,n}}$, $r<\sqrt{\mu_{0,n+1}}-\sqrt{\mu_{0,n}}$, 并且当$|\rho-\sqrt{\mu_{0,n}}|\leq r$ 时, 有$|\dot{f}(\rho)|=\left|\frac{\rm d}{{\rm d}\rho}f(\rho)\right|\geq c_0$. 定义$\gamma_{n,r}:=\{\rho:|\rho-\sqrt{\mu_{0,n}}|=r\}, n\geq0$. 由 Taylor 公式有

其中$\theta_n\in \rm{int} \gamma_{n,r}$, $|\dot{f}(\theta_n)|\geq c_0$.

类似地, 令函数$\tilde{f}_0(\rho):=\tilde{\varphi}_0(\lambda)$. 注意到$\{{\tilde{\mu}}_{0,n}\}_{n\ge0}$ 是$\tilde{\varphi}_0(\lambda)$ 的零点, 则$\{\sqrt{{\tilde{\mu}}_{0,n}}\}_{n\ge0}$ 是$\tilde{f}_0(\rho)$ 的零点, 再结合 (A.1), (A.2) 式可得

则有

由特征值$\{\mu_{0,n}\}_{n\ge0}$ 的渐近性:$\sqrt{\mu_{0,n}}=(2n+1)\pi+O(\frac{1}{n})$, $n\rightarrow \infty$, 所以$\sin (\sqrt{\tilde{\mu}_{0,n}}t)=\sin((2n+1)\pi t)+O(\frac{1}{n})$, $n\rightarrow \infty$. 将其代入 (A.3) 式, 结合 Bessel 不等式我们有

由渐近性知$\left|\mu_{0,n}-\tilde{\mu}_{0,n}\right|^2\leq C(n+1)^2\left|\sqrt{\mu_{0,n}}-\sqrt{\tilde{\mu}_{0,n}}\right|^{2}$, 因此

其中常数$C$ 依赖于$q_1, h$. 同理可证得

证毕.

下面我们给出引理 2.2 的证明.

引理 2.2 的证明 首先令$\nu_n=Ae_n$, $n\in I$ 是空间$\mathcal{H}$ 中的Riesz 基, 其中$\{e_{n}\}_{n\in I}$ 是$\mathcal{H}$ 的正交基, $A$ 为有界可逆线性算子. 由文献[2,命题 1.8.3] 可知, 令$\varepsilon<\frac{1}{2\|A^{-1}\|}$, 则与$\{\nu_n\}_{n\in I}$ 一起满足 (2.12) 式条件$\mathcal{V}$ 的序列$\{ \tilde \nu_n \}_{n\in I}$ 是空间$\mathcal{H}$ 的Riesz 基. 其次, 对两组Riesz 基$\{\nu_n\}_{n\in I}$ 和$\{ \tilde \nu_n \}_{n\in I}$, 假设其对偶基分别为$\{\chi_n\}_{n\in I}$ 和$\{\tilde{\chi}_n\}_{n\in I}$. 由于$f_n := (K, \nu_n)_\mathcal{H}$, 则$K=\sum\limits_{n\in I} f_n\chi_n$. 利用满足 (2.13) 式条件$F$ 的序列$\{ \tilde f_n \}_{n\in I}$, 构造函数$\tilde{K}=\sum\limits_{n\in I} \tilde{f}_n\tilde{\chi}_n$, 其中$\tilde f_n = (\tilde K, \tilde \nu_n)_{\mathcal{H}}$, 显然$\tilde{K}$ 是唯一的.

下面的证明, 参考文献[27, 引理 5]. 令$\tilde{A}e_n=\tilde{\nu}_n, (A^*)^{-1}e_n=\chi_n, (\tilde{A}^*)^{-1}e_n=\tilde{\chi}_n, n\!\in\! I,$ 其中$\tilde{A}$ 为有界可逆线性算子. 结合 (2.12) 式可知$\mathcal{V}:=\Big( \sum\limits_{n\in I} \left\| (A-\tilde{A})e_n \right\|^2_{\mathcal{H}} \Big)^{1/2}\le\varepsilon$. 又由

则$\left\|A-\tilde{A}\right\|_{\mathcal{H}}\leq\mathcal{V}$. 从而我们有

由$\tilde{A}^{-1}=\left(I+A^{-1}(\tilde{A}-A)\right)^{-1}A^{-1}$, 注意到$\mathcal{V}\leq\varepsilon<\frac{1}{2\|A^{-1}\|}$, 则

故 (A.4) 式可表示为$\left\|A^{-1}-\tilde{A}^{-1}\right\|_{\mathcal{H}}\leq C\mathcal{V}$, 这里常数$C$ 仅依赖于算子$A$ 和$\varepsilon$. 注意到

利用 (2.13) 式的条件$F$ 和算子的性质$\left\|(A^*)^{-1}-(\tilde{A}^*)^{-1}\right\|_{\mathcal{H}}=\left\|A^{-1}-\tilde{A}^{-1}\right\|_{\mathcal{H}}\leq C\mathcal{V}$, 因此得

其中常数$C$ 仅依赖于$\{ \nu_n \}_{n\in I}$ 和$K$.

对于引理 2.3, 文献[21]中已给出了相应证明, 这里我们阐述一下主要思路.

引理 2.3 的证明 首先构造函数$S(\lambda):=(s(\cdot),\nu(\cdot,\lambda))_{\mathcal{H}}$. 当$d=\frac{1}{2}$ 时, 假设存在非零元素$s=(s_1,s_2)\in \mathcal{H}=L^2(0,\frac{1}{2})\times L^2(0,\frac{1}{2})$, 使得对所有$n\geq0$, $(s,\nu_n)_{\mathcal{H}}=0$. 则有$S(\lambda_n)=0$. $\frac{S(\lambda)}{\Delta(\lambda)}$ 为整函数, 由$S(\lambda)$ 和$\Delta(\lambda)$ 的渐近性, 有$\left|\frac{S(\lambda)}{\Delta(\lambda)}\right|\leq\frac{C}{|\rho|}$. 根据 Phragmen-Lindelöf 定理^[28]可得$S(\lambda)\equiv0$. 从函数$S(\lambda)$ 的定义式可知$s_1=s_2=0$, 则$s=0$. 故向量函数系$\{\nu_{n}\}_{n\geq0}$ 在空间$\mathcal{H}$ 中完备. 此外$\{\nu_{n}\}_{n\geq0}$ 有渐近关系式: $\nu_n(x)=\nu_n^0(x)+O\left(\frac{1}{n}\right),\ n\rightarrow\infty,$ 其中

因此$\{\nu_{n}\}_{n\geq0}$ 是空间$\mathcal{H}=L^2(0,\frac{1}{2})\times L^2(0,\frac{1}{2})$ 中的Riesz 基.