对任意的实数 $x\in (0,1)$ 以及任意的 $n\geq1$,令

其中 $[x]$表示不超过 $x$ 的最大整数,对于任意的 $x\in(0,1)$,该算法可诱导出一个无穷级数展式

该展式被称为$x$的Lüroth 展式,其中 $\{d_{n}(x)\}_{n\geq1}$ 称为$x$的Lüroth 展式中的数字. 为了方便起见, 我们将$x$的Lüroth展式简记为$x=[d_1(x),d_2(x),\cdots,d_n(x),\cdots]$.该展式由Lüroth于 1883 年在文献[8]里面首次研究. 众所周知, 每个无理数都有其唯一的无限展开式,每个有理数都有其有限展开式或者周期展开式^[1,3].

对任意的$x\in (0,1)$, 记前$n$个数字中的最大数字为

关于$L_n(x)$ 最近有很多研究. Galambos^[4]研究了Lüroth展式的极值理论, 证明了对任意的 $y>0$,

其中 $\lambda$表示$(0,1)$上的Lebesgue 测度. 不久后, 他在文献[5]中证明了$L_n(x)$ 的重对数率. 即对$\lambda$-几乎所有的$x\in(0,1)$,

Shen^[12]等人研究了上述极限的例外集, 证明了对任意的$\alpha\geq0$,集合

的Hausdorff维数是 1. Lin^[7]等人补充了该结果极限不存在的情形并证明了,对任意的 $0\leq \alpha<\beta\leq\infty$,集合

的Hausdorff维数是1. 文献[16]中考虑了将上述集合中增长速度$\log n$换成更一般的 $\psi(n)$ 的情形.

将Nakada和Natsui^[10]的结果应用到Lüroth展式中对$\lambda$-几乎所有的$x\in(0,1)$,有

Song^[13]等人讨论了上述极限的例外集的分形维数.

定理 1.1^[13] 对任意的$\gamma \geq0$以及$\alpha \geq0$, 有

用$\dim_{\mathrm{H}}$来表示某个集合的Hausdorff维数.

定理 1.2^[13] 对任意的 $a>1$ 以及 $\alpha \geq0$,

对此,我们考虑更加精细的集合,对于任意实数 $0< \alpha < \beta <\infty$,令

其中 $\phi (n)= n^{\gamma}\, (\gamma>0)$ 或者 ${\rm e}^{n^{\gamma}}\, (\gamma>0 )$. 我们有

定理 1.3 对任意的实数$0< \alpha < \beta < \infty$

(1) 当$\phi (n)= n^{\gamma}\, (\gamma>0)$, 有 $\operatorname{dim}_{\mathrm{H}}F_{\phi}(\alpha, \beta)=1$;

(2) 当$\phi (n)={\rm e}^{n^{\gamma}}\, (\gamma>0 )$, 有

同样地, 我们也得到了Lüroth展开式中数字部分和的例外集的类似结果. 当$x \in (0,1)\backslash \mathbb{Q}$,定义$S_{n}(x)=\sum\limits_{i=1}^{n} d_{i}(x)$,其中$d_{i}(x)$ 是$x$的Lüroth展开式的数字.

在文献[6,9,14]中, 对任意的 $\alpha \in(0, \infty)$,他们分别对不同的函数 $\varphi(n)$ 研究了水平集

的分形维数.

在本文中,对$\gamma\in \left(0, \infty\right)$我们考虑了以下集合

并证明了

定理 1.4 对任意的$0<\alpha < \beta< \infty$,有

在本节中,我们将罗列一些在后面的证明中将用到的Lüroth展开式的性质和相关结果.

对于任意的$1\leq i\leq n$ 且 $d_{i}\geq 2$,我们称集合

为 $n$ 阶基本区间,用 $I_{n}(x)$ 表示包含$x$的 $n$ 阶基本区间,用 $|I|$ 表示区间 $I$ 的长度. 下面引理给出了一个 $n$ 阶基本区间的长度.

引理 2.1^[3] 对于任意的 $d_{1}, \cdots, d_{n} \in \mathbb{N}$ 且 $d_j\geq2,\,\,(1\leq j\leq n)$, $n$ 阶基本区间 $I_n$ 的左右端点分别为

和

从而有

对任意的整数 $M\geq 2$,令

则有

引理 2.2^[11] 对任意的整数 $M\geq 2$,令 $\dim_{\mathrm{H}} E_M=s_M$,则有$\lim_{M\to\infty}s_M=1.$

对任意的 $m\geq2,n\geq1$,令

引理 2.3^[13] 对任意的 $s \in\left(\frac{1}{2}, 1\right)$,以及任意的 $n \geq 1, m \geq 2 n$,有

其中 $\zeta(\cdot)$ 为 Riemann zeta 函数.

引理 2.4^[15] 对任意的 $0<\alpha<\beta<\infty$, 令 $\varphi(x)$ 是一个定义在 $(0, \infty)$ 上的函数并且满足 $\varphi(x)>0$,当 $\phi(n)$ 为 $n^{\gamma}(\gamma>0)$ 或者 ${\rm e}^{n^{\gamma}}(\gamma>0)$ 时, 对任意的 $n \in \mathbb{N}$, 令

其中 $\eta$ 是一个使得 $\eta(2 \pi)^{-1}$ 是一个无理数以及 $\eta<\alpha(\beta-\alpha)^{-1}$ 的正数. 则可得$\varphi(n)$ 是单调递增的, 且

在本节我们将给出定理 1.3 的证明.

在 3.1 小节中, 我们将利用引理 2.4 中定义的新函数 $\varphi$ 构造新的集合,再利用其与函数 $\phi$ 的关系, 给出当 $\phi(n)$为$n^{\gamma}(\gamma>0)$ 或者 ${\rm e}^{n^{\gamma}}(\gamma>0)$时, 集合 $F_{\phi}(\alpha, \beta)$ 的维数下界, 对于 $\phi(n)={\rm e}^{n^{\gamma}} ( \gamma>\frac{1}{2} )$ 时集合 $F_{\phi}(\alpha, \beta)$ 的维数上界, 我们将在 3.2 小节中证明.

在给出 $F_{\phi}(\alpha, \beta)$ 的维数下界估计之前, 我们需要先证明一个辅助性结论.

引理 3.1 固定 $\gamma>0,$ 假设 $0<c_{1}(n)<c_{2}(n)$ 对所有的 $n$ 都成立, 并且满足

以及

则存在一个整数 $N_{1}$, 使得对于所有的 $n \geq N_{1},$ 有 $\left(c_{2}(n)-c_{1}(n)\right) \cdot {\rm e}^{n^{\gamma}}>1$, 且对所有的 $N \geq N_{1}$,集合

的 Hausdorff 维数为 $\frac{1}{2}$.

证 对于任意小的 $\varepsilon>0$,由条件 (3.1) 可知, 当 $n$ 充分大时有

由于在 $B\left(\gamma, c_{1}(n), c_{2}(n), N\right)$与$B\left(\gamma, c_{1}(n), c_{2}(n), 1\right)$ 之间存在一个双 Lipschitz 映射，故而只需确定 $B\left(\gamma, c_{1}(n), c_{2}(n), 1\right)$ 的 Hausdorff 维数.

令$D_n=\{(\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_n)\colon c_{1}(n)<\sigma_{j} {\rm e}^{-j^{\gamma}}<c_{2}(n),\sigma_j\geq 2,\,\,\sigma_j\in\mathbb{N},\,\,\,1\leq j\leq n\},$

则 $\bigcup\limits_{(d_{1}, \cdots, d_{n})\in D_n}I_{n}\left(d_{1}, \cdots, d_{n}\right)$ 是 $B\left(\gamma, c_{1}(n), c_{2}(n), 1\right)$ 的一个覆盖.

由 (3.3) 式, 这些基本区间的个数近似为

由条件 (3.2) 可知, 存在常数 $m,M$ 使得这些基本区间的长度满足

因此, 通过使用区间 $\left\{I_{n}\left(d_{1}, \cdots, d_{n}\right)\right\}$ 作为一个覆盖, 我们得到

下面我们来估计下界, 考虑一个均匀分布在 $B\left(\gamma, c_{1}(n), c_{2}(n), 1\right)$ 上面的概率测度 $\mu$, 即

这里符号 $\sharp$ 表示集合所含元素的个数. 由 (3.4) 式可知

对任意的 $(d_1,d_2,\cdots,d_{n-1})\in D_{n-1}$, 包含在其中的所有 $I_{n}\left(d_{1}, \cdots, d_{n}\right)$ 构成一个区间：

其长度为

由于在上式的指数中, 主项为 $\sum\limits_{1}^{n} j^{\gamma}$, 因此, 对于任意的

和任意的 $x \in B\left(\gamma, c_{1}(n), c_{2}(n), 1\right)$, 我们可以估计 $B(x, r)$ 的测度

因此当 $r={\rm e}^{-2 \sum\limits_{1}^{n} j^{\gamma}+n^{\gamma}}$ 的时候, $\log \mu(B(x, r)) / \log r$ 的最小值为

因此, $\mu$ 的下局部维数在 $B\left(\gamma, c_{1}(n), c_{2}(n), 1\right)$ 处处为 1/2,由 Frostman 引理 (见文献[2,定理 4.2]), 即

证毕.

定义新的集合

其中函数 $\varphi$ 是在引理 2.4 中定义的函数.

引理 3.2 对于前面定义的集合 $F_{\varphi}$

(1) 当 $\phi(n)=n^{\gamma} (\gamma>0)$ 时, 有 $\dim_{\mathrm{H}} F_{\varphi}=1 ;$

(2) 当 $\phi(n)={\rm e}^{n^{\gamma}} ( \gamma>0)$ 时, 有

证 (1) 对于 $\phi(n)=n^{\gamma} (\gamma>0)$ 的情况,注意到在文献[13]中证明了对任意的 $\gamma \geq0$ 以及 $\alpha \geq0$,有

由其同样的方法, 容易得到对任意满足下式

的单调递增函数 $\psi: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$,集合

的 Hausdorff 维数是满的. 因此我们可以应用这个结果, 用引理 2.4 中定义的函数 $\varphi$ 来代替 $\psi$, 然后我们得到

(2) 对于 $\phi(n)={\rm e}^{n^{\gamma}}$ 的情况.

首先我们讨论 $\gamma\in (0,\frac{1}{2})$ 的情形. 对任意的 $\tau\in(0,1)$, 令 $\delta\in(0,1)$ 为满足 $(1+\frac{1}{1-\delta})(\frac{1}{2}-\tau)<1$ 的一个正实数. 对任意的 $k\geq 1$, 令 $\varepsilon_k=\frac{1}{k^{\delta}}$, 下面我们构造一列递增的整数序列 $\{n_k\}_{k\geq1}$, $n_1$ 是使得对所有的 $n\geq n_1$ 有 $\log\varphi(n)<n^{\frac{1}{2}-\tau}$ 且 $\varphi(n_1)\geq1$ 的最小整数. 对任意的 $k\geq 2$, 令

令 $M\geq 8$ 是一个正整数, 记

由 $n_k$ 的定义, 容易验证 $E_M(\varphi)\subset F_{\varphi}$.

为了证明 $\dim_{\mathrm{H}} E_M(\varphi)=1$, 对任意的 $\varepsilon>0$, 我们将采用文献[13]的方法, 构造一个从 $E_M(\varphi)$ 到 $E_M$ 的 $\frac{1}{1+\varepsilon}$-Lipschitz 映射 $f$, 再由引理 2.2, 令 $\varepsilon\to 0$ 以及$M\to \infty$, 则可得到 $\dim_{\mathrm{H}} E_M(\varphi)=1$. 对任意的 $x\in E_M(\varphi)$, 令 $y=f(x)$ 是将$x$的Lüroth展式中的所有 $d_{n_k}$ 都去掉而得到的, 显然 $y\in E_M$. 令 $r(n):=\min\{k\colon n_k\leq n\}$, 要验证映射 $f$ 是一个 $\frac{1}{1+\varepsilon}$-Lipschitz 映射, 只需验证

和

对任意的 $n\geq n_2$,有

则可知 $\log \varphi(n)\geq \frac{(r(n)-1)^{1-\delta}-1}{2(1-\delta)}+\log\varphi(n_1)$,故而

其中 Vinogradov 符号中的常数是绝对常数. 因为对所有的 $n\geq n_1$ 都有 $\log \varphi(n)<n^{\frac{1}{2}-\tau}$, 我们有

再由 $0<\tau<\frac{1}{2}$ 且满足$(1+\frac{1}{1-\delta})(\frac{1}{2}-\tau)<1$ 可知,$\frac{\frac{1}{2}-\tau}{1-\delta}<1.$这意味着 (3.6) 式成立.

由

应用 (3.8) 式可知 (3.7) 式成立.

下面考虑 $\gamma \in\left[\frac{1}{2}, \infty\right)$ 的情况.对于任意的 $\varepsilon>0$, 存在 $N \in \mathbb{N}$ 使得对于任意的 $n \geq N$ 满足 $\frac{1}{n}<\varepsilon$. 对于 $\gamma \in\left[\frac{1}{2}\right., \infty ),$ 令

对于任意 $x \in A(\gamma, \varphi)$, 当 $n$ 足够大的时候, 存在一个 $1 \leq k \leq n$, 使得 $L_{n}(x)=d_{k}(x)$. 根据 $\varphi$ 的单调性, 有

因此

令

以及

很明显, $c_{1}(n)$, $c_{2}(n)$ 满足引理 3.1中的条件, 因此有

证毕.

最后, 由引理 2.4, 对于任意 $x \in F_{\varphi}$, 有

故可得

因此, 根据引理 3.2, 当 $\phi(n)=n^{\gamma}(\gamma>0)$ 或者 ${\rm e}^{n^{\gamma}}\left(0<\gamma<\frac{1}{2}\right)$ 时, 有 $\dim_{\mathrm{H}} F_{\phi}(\alpha, \beta)=1$. 当 $\phi(n)={\rm e}^{n^{\gamma}}\left(\gamma \geq \frac{1}{2}\right)$ 时, 有 $\dim_{\mathrm{H}} F_{\phi}(\alpha, \beta) \geq \frac{1}{2}$.

根据上面的下界估计, 我们只需讨论当 $\phi(n)={\rm e}^{n^{\gamma}}\left(\gamma>\frac{1}{2}\right)$ 时集合 $F_{\phi}(\alpha, \beta)$ 的上界. 对于任意 $0<\alpha<\beta<\infty$且$\gamma>\frac{1}{2}$, 我们将证明 $\dim_{\mathrm{H}} F_{\phi}(\alpha, \beta) \leq \frac{1}{2}$. 在下文中, 为了方便, 我们将省略取整符号 $[\cdot]$, 结果不会受到影响.

引理 3.3 对于任意的实数 $0<\alpha<\beta<\infty,$ 令$\phi(n)={\rm e}^{n^{\gamma}}$$(\gamma>\frac{1}{2} )$, 有

证 情况一: 当 $\frac{1}{2}<\gamma<1$ 时.

对任意的 $\varepsilon>0,$ 取任意的 $x \in F_{\phi}(\alpha, \beta)$ 和一个序列 $n_{k}=k ^{\frac{1}{\gamma}}(\log k) ^{\frac{1}{\gamma^{2}}}$,当 $k$ 足够大的时候,有

和$(\alpha-\varepsilon) {\rm e}^{n_{k-1}^{\gamma}}\leq S_{n_{k-1}}(x) \leq n_{k-1}(\beta+\varepsilon) {\rm e}^{n_{k-1}^{\gamma}}.$

所以有

其中

和

注意到当 $k$ 足够大的时候, $u_{k}>\frac{\alpha-\varepsilon}{2} {\rm e}^{k(\log k)^{\frac{1}{\gamma}}}$, 有

其中

因此对于任意 $s \in\left(\frac{1}{2}, 1\right)$, 由引理 2.1 和引理 2.3 得

此时 $C=\left(\frac{\alpha-\varepsilon}{2}\right)^{-2 s}(\beta+\varepsilon).$ 需要注意的是

这里, 对于任意的实数 $a$ 和 $b, a \ll b$ 表示存在一个常数 $C_0$, 使得 $a \leq C_0 b$. 注意到 $\frac{1}{2}<\gamma<1$ 时 $0<\frac{1}{\gamma}-1<1$, 因此对于任意 $s \in\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 且 $k$ 足够大的时候, 则上述不等式的右侧是任意小的. 即

情况二: 当 $\gamma \geq 1$ 时.

在这种情况下, 我们将修正上述序列 $\left\{n_{k}\right\}_{k \geq 1}$, 取一个子序列 $\left\{n_{k_{i}}\right\}_{i \geq 1}$ 如下: 令 $k_{1}=3$, 以及取 $k_{i}$ 使得

类似于情况一的证明, 在其中将序列 $\left\{n_{k}\right\}_{k \geq 1}$ 替换为序列 $\left\{n_{k_{i}}\right\}_{i \geq 1}$, 用同样的方法可得到

证毕.

由于类似于定理 1.3 的证明, 我们给出证明定理 1.4 的过程梗概. 这里我们为了方便也省略了整数符号 $[\cdot]$.

首先我们来证明下界.

引理 4.1 对引理 2.4 定义的函数 $\varphi$, 令

则

证 当 $\gamma \in\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 的时候,很容易验证

然后根据文献[6]中的结果, 有

当 $\gamma \geq \frac{1}{2}$ 时, 令

对于某个 $N \in \mathbb{N},$

此时令

可知 $c_{1}(n), c_{2}(n)$ 显然满足引理 3.1 中的条件, 因此

结论得证.

同样地, 由引理 2.4, 对于任意 $x \in E_{\varphi}$, 有

故而可得

因此, 我们得到了 $E(\gamma, \alpha, \beta)$ 的 Hausdorff 维数的下界.

下面我们来证明上界. 这里我们将分两种情形讨论.

情况一: 当 $\frac{1}{2}<\gamma<1$ 时.

取 $x \in E(\gamma, \alpha, \beta)$, 对于任意 $0<\varepsilon<\alpha$, 取一个整数序列

那么存在 $N \in \mathbb{N},$ 对于任意 $k>N$,

和$(\alpha-\varepsilon) {\rm e}^{n_{k-1}^{\gamma}}<S_{n_{k-1}}(x)<(\beta+\varepsilon) {\rm e}^{n_{k-1}^{\gamma}}.$

因此

从而由 $\{n_k\}_{k\geq1}$ 的取法可知,

因此

剩余部分类似于引理 3.3 的证明, 可得

情况二: 当 $\gamma \geq 1$ 时.

类似于引理 3.3 的证明, 我们修正在上述情况下的子列 $\left\{n_{k}\right\}_{k \geq 1}$, 取其子序列 $\left\{n_{k_{i}}\right\}_{i \geq 1}$, 使得

类似于上面的证明, 可得

结合上面的上界估计和下界估计, 我们完成了定理 1.4 证明.