本文研究下列薛定谔-泊松系统

其中 $\omega>0$, $\lambda>0$, $f(u)$ 是非线性项, $V(x)$ 是位势函数. 问题 (1.1) 起源于研究多体量子系统, 包括 Hartree-Fock 系统和 Kohn-Sham 系统等, 具体物理背景见文献 [3,4,12,16⇓⇓-19] 等. 当位势 $\omega-V(x)$ 是常数, 且非线性项为 $f(u)=|u|^{p-1}u$ 时, 问题 (1.1) 简化为

方程组 (1.2) 解的存在性与指标 $p$ 及参数 $\lambda$ 都有密切的关系. D'Aprile 和 Mugnai^[5] 在 $3\leq p<5$ 条件下应用变分方法研究了方程组 (1.2) 解的存在性. A. Ambrosetti 和 D. Ruiz [1] 在 $p\in(2,5)$ 和 $\lambda>0$ 条件下证明问题 (1.2) 存在多解. 当 $p\in(1,2)$ 时, 存在 $\lambda_0>0$, 问题 (1.2) 在 $\lambda>\lambda_0$ 条件下只有平凡解, 见文献 [9,16]. 许多重要物理模型中, 位势 $\omega-V(x)$ 通常为非常值函数, 例如 Azzollini 和 Pomponio^[2] 在条件 $f(u)=|u|^{p-1}u, p\in(3,5)$ 下研究位势函数对问题 (1.1) 的近似解序列的影响, 证明了基态解的存在性. 文献 [23] 研究了问题 (1.1) 在 $f(u)=|u|^{p-1}u, p\in(2,3)$ 情况下解的存在性. 文献 [8] 在库伦位势及 $f(u)=|u|^{p-1}u, p\in(2,3)$ 条件下研究了问题 (1.1) 存在多解的充分条件. 对于带有渐近线性的问题 (1.1), 文献 [21] 在 $\omega-V(x)$ 具有正下界的条件下获得了解的存在性的充分条件和必要条件. 本文主要研究渐近线性项及库伦位势对问题 (1.1) 解的存在性的影响, 假设如下

$(F_1)$$f\in C(\mathbb{R}, \mathbb{R}), \lim\limits_{s\rightarrow0}\frac{f(s)}{s}=0$;

$(F_2)$ 存在常数 $l>0$ 使得 $\lim\limits_{s\rightarrow\infty}\frac{f(s)}{s}=l$, 其中 $\left|\frac{f(s)}{s}\right|<l$ 对 $s\not=0$ 成立;

$(F_3)$$f(-s)=-f(s),s\in\mathbb{R}$;

$(V_1)$$V(x)=\frac{1}{|x|}$;

$(V_2)$$V(x)=\sum\limits_{i=1}^m\frac{1}{|x-x_i|}$, 其中 $x_i\in\mathbb{R}^3$ 是预先给定的点, $m$ 是某一正整数.

条件 $(F_1)$-$(F_2)$ 刻画了一类渐近线性项. 对任意的 $\alpha>0$ 和 $p>1$, 由 $(F_1)-(F_2)$ 知, 存在常数 $C>0$ 满足不等式 $|f(s)|\leq \alpha |s|+C |s|^p$. 条件 $(F_3)$ 表明 $F(u)=\int_0^uf(s){\rm d}s$ 是关于 $u$ 的偶函数. 当 $m=1$ 且 $x_1$ 为 $\mathbb{R}^3$ 中的原点时, 条件 $(V_2)$ 即简化为条件 $(V_1)$. 一般情况下, 条件 $(V_2)$ 中的位势函数不具有径向球对称性. 条件 $(V_1)$ 和 $(V_2)$ 刻画了库伦位势, 关于库伦位势的物理背景见文献 [10,12,13,20] 等. 上述假设条件 $(V_1)$ 和 $(V_2)$ 允许位势 $\omega-V(x)$ 不具有正的下界. 本文通过发展文献 [6,7,11]中的技巧克服证明近似解序列的紧性困难, 利用变分方法研究系统 (1.1) 解的存在性和解的多重性与参数 $\omega,\lambda$ 取值范围及条件 $(F_2)$ 中的渐近常数 $l$ 的关系.

为展示本文结论及后文证明的需要, 我们首先给出一些预备知识. 对任意的 $u\in H^1(\mathbb{R}^3)$, 记 $\phi_u$ 为方程 $-\Delta \phi=u^2$ 在 $D^{1,2}(\mathbb{R}^3)$ 中的解, 则有

定义 $H^1(\mathbb{R}^3)$ 上的泛函

其中 $F(u)=\int_0^uf(t){\rm d}t$. 在条件 $(V_1)$ 或者条件 $(V_2)$ 下,由 Hölder 不等式和 Hardy 不等式可得

基于上述基础知识, 应用类似文献 [5,性质 2.1] 中的方法可证明 $I\in C^1(H^1(\mathbb{R}^3),\mathbb{R})$, 并且对任意的 $\varphi\in H^1(\mathbb{R}^3)$有

如果存在 $u\in H^1(\mathbb{R}^3)$ 使得 $I'(u)\varphi=0$ 对任意的 $\varphi\in H^1(\mathbb{R}^3)$ 成立, 则称 $u$ 是问题 (1.1) 的弱解. 定义 $N=\{u\in H^1(\mathbb{R}^3)\setminus\{0\}:I'(u)=0\}$. 如果 $I(w)=\inf\limits_{u\in N}I(u)>-\infty$, 则称 $w$ 是问题 (1.1) 的基态解. 在 $(V_2)$ 条件下, 问题

存在无限多特征值, 记为 $\mu_k,k=1,2,\cdots$, 这些特征值之间满足不等式 $\mu_{k}\leq \mu_{k+1}<0$. 记 $\{\varphi_k\}_{k=1}^\infty\subset H^1(\mathbb{R}^3)$ 为相应于 $\mu_k$ 的特征函数. 本文假设这些特征函数满足规范性 $|\varphi_k|_2=1$. 当 $m=1$ 时, 这些特征值可精确为: $\mu_k=-\frac{1}{4k^2}$ ($k\in\mathbb{N}$), 见文献 [Chapter XII] 或者文献 [10,11]. 本文主要结论如下.

定理1.1 假设 $l>\omega$, $(F_1)$-$(F_2)$ 和 $(V_1)$ 成立.

(i) 如果 $\omega>\frac{1}{2}$, 则存在正数 $\Lambda$, 对任意的 $\lambda\in(0,\Lambda)$, 系统 (1.1) 存在径向球对称解;

(ii) 如果 $\frac{1}{16}<\omega<\frac{1}{4}$, 则对任意的 $\lambda>0$, 系统 (1.1) 存在径向球对称解;

(iii) 如果 $0<\omega<\frac{1}{4k^2}$ (正整数 $k\geq2$), 增加假设条件 $(F_3)$, 则对任意的 $\lambda>0$, 系统 (1.1) 存在 $k$ 对径向球对称解.

在证明定理 1.1的过程中, 关键困难之一是如何证明近似解序列的有界性. $(V_1)$ 条件下 $\omega-V(x)$ 无下界, 不能应用文献 [8] 中的方法对近似解序列建立一致的无穷模估计, 本文发展文献 [6,7,11]中的技巧来证明近似解序列在 $H^1(\mathbb{R}^3)$ 空间中有界, 见下文引理 2.1. 在证明定理 1.1 的结论 (i) 时, 需要验证应用山路引理所需的变分泛函的几何结构. 在条件 $(V_1)$ 下, $\omega-\frac{1}{|x|}$ 无下界. 与文献 [21]不同, 本文应用薛定谔算子 $-\Delta-\frac{1}{|x|}$ 第一特征值的性质来验证 (1.1) 所对应的变分泛函具有山路几何结构, 见下文引理 2.3. 由定理 1.1 的证明过程不难发现, 可以在更广泛的库伦位势条件下获得系统 (1.1) 解的存在性和解的多重性结论.

定理1.2 假设 $(F_1)$-$(F_2)$ 和 $(V_2)$ 成立, $k$ 是某一自然数. 如果 $0<\omega<\min\{l,-\mu_k\}$, 则存在常数 $\Lambda_1:=\Lambda_1(\omega)>0$, 当 $\lambda>\Lambda_1$ 时有下列结论成立,

(i) 系统 (1.1) 存在基态解;

(ii) $k\geq2$ 时, 增加假设条件 $(F_3)$, 则系统 (1.1) 存在 $k$ 对非平凡解.

在 $(V_2)$ 条件下, 系统 (1.1) 对应的变分泛函不具有对称性. 本文在函数空间 $H^1(\mathbb{R}^3)$ 中应用变分方法, 并应用集中紧性原理, 结合无穷远处极限方程解的性质来克服近似解序列的紧性困难, 见下文引理 3.5 和引理 3.6.

为了应用临界点理论, 我们首先研究变分泛函的几何性质, 证明变分泛函 $I$ 满足应用山路引理或者 Clark's 定理所需要的几何条件.

引理2.1 假设 $l>\omega>0$, $\lambda>0$, $(F_1)$-$(F_2)$ 和 $(V_2)$. 则满足 $I(u_n)\leq C<+\infty$ 的 $\{u_n\}\subset H^1(\mathbb{R}^3)$ 是有界序列, 并且泛函 $I$ 在 $H^1(\mathbb{R}^3)$ 中有下界.

证 假设 $|u_n|_2\rightarrow+\infty$, 对 $I(u_n)\leq C$ 两边同时除以 $|u_n|_2^2$, 令 $v_n=u_n/|u_n|_2$, 可得

由条件 $(F_2)$ 知

此不等式结合 (2.1) 式可得

对任意的 $\epsilon>0$ 和 $u\in H^1(\mathbb{R}^3)$, 由 Hölder 不等式和 Hardy 不等式, 可得

因此

取 $\epsilon>0$ 使得 $4m\epsilon<1/2$, 由 (2.2) 和 (2.3) 式可得

因此 $\{|\nabla v_n|_2\}$ 一定有界且 $\int_{\mathbb{R}^3} \phi_{v_n} v_n^2{\rm d}x\overset{n}{\rightarrow}0$. 所以, 存在 $v\in H^1(\mathbb{R}^3)$ 使得

因此, $v(x)=0 \text{ a.e. }x\in\mathbb{R}^3$. 对任意有界域 $\Omega\subset\mathbb{R}^3$ 和 $1<q<6$, 有 $\int_{\Omega}|v_n|^q{\rm d}x\overset{n}{\rightarrow}0$. 对任意 $R>0$,

结合 (2.2) 和 (2.5) 式, 令 $n\rightarrow+\infty$ 可得

在假设 $l>\omega$ 条件下, 取充分大的 $R>0$ 即得出矛盾, 因此 $\{|u_n|_2\}$ 有界. 对 (2.2) 式两边同时乘以 $|u_n|_2^2$, 并结合 (2.3) 式得到

取 $\epsilon>0$ 充分小, 则有 $\{|\nabla u_n|\}$ 有界.

下面证明 $I$ 在 $H^1(\mathbb{R}^3)$ 中有下界. 显然

且 $\{u\in H^1(\mathbb{R}^3):I(u)<0\}\subset H^1(\mathbb{R}^3)$ 有界. 因此

证毕.

径向球对称函数空间 $H^1_r(\mathbb{R}^3)=\{u\in H^1(\mathbb{R}^3):u(x)=u(|x|)\}$ 是 $H^1(\mathbb{R}^3)$ 的子空间; 当 $m=1,x_0=0$ 时, 条件 $(V_2)$ 所描述的函数类满足条件 $(V_1)$, 条件 $(V_1)$ 是 $(V_2)$ 的特例. 类似引理 2.1 的证明, 可得到如下结论.

引理2.2 假设 $l>\omega>0$, $\lambda>0$, $(F_1)$-$(F_2)$ 和 $(V_1)$. 则满足 $I(u_n)\leq C<+\infty$ 的 $\{u_n\}\subset H^1_r(\mathbb{R}^3)$ 是有界序列, 并且泛函 $I$ 在 $H^1_r(\mathbb{R}^3)$ 中有下界.

为了在径向球对称函数空间 $H^1_r(\mathbb{R}^3)$ 中获得山路几何解的存在性, 我们需要如下引理.

引理2.3 假设 $(F_1)$-$(F_2)$ 和 $(V_1)$ 成立, 如果 $-\mu_1<\mu_1+\omega<l$, 则存在 $\Lambda>0$, 当 $\lambda\in(0,\Lambda)$ 时, 泛函 $I(u)$ 在空间 $H^1_r(\mathbb{R}^3)$ 中满足山路引理的条件, 即: (i) $I(0)=0$; 存在充分小的 $\rho>0$ 使得 $I(u)\geq c_0>0$ 对任意的 $u\in \{u\in H^1_r(\mathbb{R}^3):\|u\|=\rho\}$ 都成立; (ii) 存在 $e\in H^1_r(\mathbb{R}^3)$ 满足 $\|e\|>\rho$, 且 $I(e)<0$.

证 对任意给定的 $l>0$, 由伸缩变换 $v(x)=\sigma^{3/2}u(\sigma x)$ 结合特征值问题 (1.6) 知

特别地, 取 $\sigma=1/2$, 则

由条件 $(F_1)$-$(F_2)$ 知存在常数 $C>0$ 使得 $F(t)\leq \frac{\omega+2\mu_1}{4}t^2+ C|t|^3$,

其中 $\delta_0=\min\{1/4,(2\mu_1+\omega)/4\}$. 因此存在正数 $c_0,\rho>0$ 使得 $\min\limits_{\|u\|=\rho}I(u)\geq c_0>0$.

定义

取 $\varphi_1$ 为问题 (1.6) 的第一特征函数, 由 Fatou 引理得

取 $e=t\varphi_1$, 当 $t$ 充分大时 $\|e\|>\rho$ 且 $I_0(e)<0$. 存在 $\Lambda>0$ 使得 $I(e)<0$ 对 $\lambda\in(0,\Lambda)$ 成立.

为了证明多解的存在性, 我们需要如下引理.

引理2.4 假设 $(F_1)$-$(F_2)$ 和 $(V_2)$ 成立, $\mu_k$ 是问题 (1.6) 的第 $k$ 个特征值, $\varphi_k$ 是相应的特征函数, $k=1, 2, 3, \cdots$, 则有下列结论

(i) 如果 $\omega<-\mu_1$, 对任意给定的 $\lambda>0$, 存在充分小的 $\tau>0$ 使得 $I(\tau\varphi_1)<0$ 成立;

(ii) 对任意给定的正整数 $k\geq2$ 和 $\lambda>0$, 如果 $\omega<-\mu_k$, 存在充分小的 $\tau>0$ 使得 $\sup\limits_{u\in S_k}I(u)<0$, 其中 $S_k=\{\tau u:u=\sum\limits_{i=1}^ka_i\varphi_i,\sum\limits_{i}^ka_i^2=1\}$.

证 由第一特征函数的性质和假设 $(F_1)$ 推知, $\lim\limits_{\tau\rightarrow0}F(\tau\varphi_1)/(\tau\varphi_1)^2=0$ 关于 $x\in\mathbb{R}^3$ 一致地成立.在条件 $\omega+\mu_1<0$ 下取充分小的 $\tau>0$, 则

即证结论 (i). 类似地, 对任意的 $u\in S_k$, $u$ 可以表示为

其中 $\sum\limits_{i=1}^ka_i^2=1$. 由假设 $\omega<\mu_k$ 推知 $\omega+\sum\limits_{i=1}^ka_i^2\mu_i<\omega+\mu_k<0$. 取 $\varepsilon=-\frac{\omega+\mu_k}{2}>0$, 当 $\tau>0$ 充分小时,

结论 (ii) 得证.

在 $(V_1)$ 条件下, 通过在径向球对称函数空间 $H^1_r(\mathbb{R}^3)$ 中研究变分泛函 $I$ 的临界点的存在性, 得到系统 (1.1) 的径向球对称解的存在性. 在 $(V_2)$ 条件下, 应用集中紧性原理, 给出泛函 $I$ 的紧性条件, 从而给出 (1.1) 存在基态解和多解的充分条件. 根据结论所需条件的不同, 我们把定理的证明过程以引理的形式分步给出.

引理3.1 假设 $(F_1)$-$(F_2)$ 和 $(V_1)$, 如果有界近似解序列 $\{u_n\}\subset H^1_r(\mathbb{R}^3)$ 满足

则存在 $u_0\in H^1_r(\mathbb{R}^3)$ 使得 $\{u_n\}\subset H^1_r(\mathbb{R}^3)$ 的子列 (仍然记为 $\{u_n\}$) 收敛到 $u_0$, 即

证 根据有界性质, 存在 $\{u_n\}$ 的子列弱收敛到 $u_0\in H^1_r(\mathbb{R}^3)$, 这个收敛子列仍然记为 $\{u_n\}$. 由径向球对称 Sobolev 函数空间嵌入定理的紧性, 对任意的 $p\in[2,6)$, $\{u_n\}$ 在 $L^p(\mathbb{R}^3)$ 中强收敛到 $u_0$. 结合条件 $(F_1)$-$(F_2)$ 推知

并且

当 $n\rightarrow+\infty$ 时, 由 (3.1) 式知,

结合 (3.2) 和 (3.3) 式, 可得

另一方面, 对任意的 $\varepsilon>0$, 当 $n$ 充分大时, 选取合适的 $R>0$ 使得

因此 $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\int_{\mathbb{R}^3}\frac{|u_n-u_0|^2}{|x|}{\rm d}x=0$. 根据这些基本的收敛性质, 用标准方法即可得

证毕.

引理3.2 假设 $(F_1)$-$(F_2)$ 和 $(V_1)$. 如果 $-2\mu_1<\omega<l$, 则存在 $\Lambda>0$, 当 $\lambda\in(0,\Lambda)$ 时, 问题 (1.1) 存在径向球对称解.

证 在假设条件下, 引理 2.3 表明存在 $\Lambda>0$, 当 $\lambda\in(0,\Lambda)$ 时泛函 $I$ 在空间 $H^1_r(\mathbb{R}^3)$ 中满足山路引理的条件. 应用山路引理, 存在正常数 $c$ 和近似解序列 $\{u_n\}\subset H^1_r(\mathbb{R}^3)$ 满足 (3.1) 和 $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}I(u_n)=c$. 结合引理 2.2, 可得 $\{u_n\}$ 在 $H^1_r(\mathbb{R}^3)$ 中有界. 应用引理 3.1, 可以得到 $u_0\in H^1_r(\mathbb{R}^3)$ 和 $\{u_n\}\subset H^1_r(\mathbb{R}^3)$ 的子列满足

所以 $I(u_0)=c>0$, $u_0$ 是问题 (1.1) 的非平凡径向球对称解.

引理3.3 假设 $(F_1)$-$(F_2)$ 和 $(V_1)$, 如果 $0<\omega<-\mu_1$ 且 $\omega<l$, 则对任意的 $\lambda>0$, 问题 (1.1) 存在径向球对称解 $v$.

证 由引理 2.2 知, 泛函 $I(u)$ 在 $H^1_r(\mathbb{R}^3)$ 中有下界. 结合引理 2.4 中的结论 (i), 可以得到 $\inf\limits_{u\in H^1_r(\mathbb{R}^3)}I(u)<0$. 结合径向球对称 Sobolev 函数空间的好性质得: 存在 $v\in H^1_r(\mathbb{R}^3)$ 使得 $I(v)=\inf\limits_{u\in H^1_r(\mathbb{R}^3)}I(u)<0$, $v$ 是泛函 $I(u)$ 在 $H^1_r(\mathbb{R}^3)$ 中的一个全局极小点. 由变分原理知, $v$ 是问题 (1.1) 的径向球对称解.

为证明解的多重性, 我们需要应用经典的指标理论. 假设 $E$ 为实的 Banach 空间, 定义

对任意的 $A\in \Gamma$, 定义

如果 $\Theta\neq\emptyset$, 定义 $A$ 的指标为 $\gamma (A)=\min\limits_{k\in\Theta}k$; 否则, 定义 $\gamma (A)=\infty$; 并且令 $\gamma(\emptyset)=0$.

注3.1 假设 $S^{k-1}$ 是 $\mathbb{R}^k$ 的单位球面. 如果 $A\subset H^1(\mathbb{R}^3)\setminus\{0\}$ 与 $S^{k-1}$ 同胚, 且同胚映照是奇映照 (简称奇同胚), 则 $\gamma(A)=k$.

为下文引述需要, 我们首先给出如下版本的 Clark's 定理.

定理3.1^{[14,定理 9.1]} 令 $E$ 为实的 Banach 空间, $I\in C^1(E,\mathbb{R})$ 是下有界的偶泛函; $I$ 满足 $(P.S.)$ 条件且 $I(0)=0$. 如果存在与 $S^{j-1}$ 奇同胚的集合 $K\subset E$ 满足 $\sup_{K}I<0$. 则 $I$ 拥有 $j$ 对不同的临界点, 相应的临界值可以描述为

其中 $\gamma_i=\{A\subset E\setminus\{0\}: A \text{是满足} \gamma(A)\geq i\ \text{的关于原点对称的闭集}\}$.

应用定理 3.1 可以得到问题 (1.1) 解的多重性.

引理3.4 假设 $(F_1)$-$(F_3)$ 和 $(V_1)$. 如果 $0<\omega<-\mu_k$ ($k\in\mathbb{N}$, $k\geq2$) 且 $l>\omega$, 则对任意的 $\lambda>0$,

问题 (1.1) 存在 $k$ 对径向球对称解 $\pm v_i$ ($i=1,2,\cdots,k$).

证 当 $m=1,x_0=0$ 时, 条件 $(V_2)$ 所描述的函数类满足条件 $(V_1)$, $(V_1)$ 是 $(V_2)$ 的特例. 所以, 可以在条件 $(V_1)$ 下应用引理 2.4 中的结论 ii) 和引理 3.1 知, 泛函 $I$ 满足定理 3.1 中的假设条件, 因此存在 $k$ 对临界点 $\pm v_i$ 满足

所以 $v_i\not =0$, $i=1,2,\cdots,k$. 由变分方法知 $\pm v_i$ 均是问题 (1.1) 的径向球对称解.

为了在 $(V_2)$ 条件下研究问题 (1.1) 解的存在性, 我们首先研究近似解序列在空间 $H^1(\mathbb{R}^3)$ 中的紧性问题. 应用文献 [16] 中的技巧给出如下引理.

引理3.5 假设 $(F_1)$-$(F_2)$ 和 $\omega>0$, 则存在 $\Lambda_1>0$, 当 $\lambda>\Lambda_1$ 时方程

在 $H^1(\mathbb{R}^3)$ 中仅有平凡解.

证 假设 $u\in H^1(\mathbb{R}^3)$ 是问题 (3.4) 的解, 则

应用 Hölder 不等式得

另一方面, 由条件 $(F_1)$-$(F_2)$ 推知存在常数 $C>0$ 使得

结合不等式 (3.5) 和 (3.6) 得

存在 $\Lambda_1>0$, 当 $\lambda>\Lambda_1$时, $\frac{\omega}{2} u^2 +2\sqrt{\lambda}|u|^3-C |u|^{5/2}\geq0$ a.e $x\in\mathbb{R}^3$, 因此

这表明 $u(x)=0$ a.e $x\in\mathbb{R}^3$.

应用引理 3.5, 可证明近似解序列在 $H^1(\mathbb{R}^3)$ 中是列紧, 其证明过程类似文献 [7,引理 3.3]. 由于本文研究的非线性项不同于文献 [7] 中的相关问题, 这里给出整个证明过程.

引理3.6 假设 $(F_1)$-$(F_2), (V_2)$ 和 $\omega>0$, 有界序列 $\{u_n\}\subset H^1(\mathbb{R}^3)$ 满足

其中 $c$ 是某一常数. 取引理 3.5 中的常数 $\Lambda_1>0$. 当 $\lambda>\Lambda_1$ 时, 则存在 $u\in H^1(\mathbb{R}^3)$ 及$\{u_n\}$ 的子列在 $H^1(\mathbb{R}^3)$ 中收敛于 $u$.

证 序列 $\{u_n\}$ 在 $H^1(\mathbb{R}^3)$ 中有界, 存在 $u\in H^1(\mathbb{R}^3)$, 使得 $\{u_n\}$ 的子列 (仍然记为 $\{u_n\}$) 满足

令 $w_n=u_n-u$, 则 $\{w_n\}$ 在 $H^1(\mathbb{R}^3)$ 中有界, 且有如下两种情况

如果上述情况 $\rm(II)$ 发生, 则存在序列 $\{y_n\}\subset\mathbb{ R}^3$ 满足

那么集合 $\{y_n\}$ 必无界, 否则存在 $R_0>0$ 使得 $\sup\limits_{n}|y_n|<R_0$, 则 $\int_{B_{R_0+R}(0)}w_n^2{\rm d}x>\frac{\alpha}{2}$. 结合嵌入定理的紧性知道 $w_n$ 在有界区域上收敛到一个非零函数, 这与 $w_n$ 在空间 $H^1(\mathbb{R}^3)$ 中弱收敛于 $0$ 矛盾. 由 $u_n$ 在空间 $H^1(\mathbb{R}^3)$ 中弱收敛于 $u$, 结合条件 $(F_1)$-$(F_2)$ 得

和

对满足 $\|\psi\|<1$ 的 $\psi(x)\in H^1(\mathbb{R}^3)$ 都成立, 具体过程详见文献 [21,引理 3.2] 或者文献 [23]. 取 $\varphi(x)\in C^\infty_0(\mathbb{R}^3)$, $\varphi_n(x)=\varphi(x-y_n)$, 则有 $\|\varphi_n\|=\|\varphi\|$. 在 (3.8)、(3.9) 和 (3.10) 式中令 $\psi(x)=\varphi_n(x)$, 结合 $I'(u)=0$ 和 $I'(u_n)\varphi_n-I'(u)\varphi_n\overset{n}{\rightarrow}0$ 可推知

定义 $\tilde{w}_n(x)=w_n(x+y_n)$, 则

显然有 $\|\tilde{w}_n\|=\|w_n\|$, 所以 $\{\tilde{w}_n\}$ 在 $H^1(\mathbb{R}^3)$ 中有界, 存在 $\tilde{w}\in H^1(\mathbb{R}^3)$ 使得 $\{\tilde{w}_n\}$ 存在子列在 $H^1(\mathbb{R}^3)$ 中弱收敛于 $\tilde{w}$, 并且由 $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\int_{B_{r}(0)}\tilde{w}_n^2{\rm d}x=\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\int_{B_r(y_n)}w_n^2{\rm d}x\geq\alpha/2$ 知 $\tilde{w}\neq0$. 另外

结合 (3.11) 式推知, 对任意的 $\varphi\in C_0^\infty(\mathbb{R}^3)$ 有

这说明 $\tilde{w}$ 是方程 (3.4) 在空间 $H^1(\mathbb{R}^3)$ 中的非平凡弱解. 结合条件 $\lambda>\Lambda_1$, 这与引理 3.5 的结论矛盾. 排除上述情况 $\rm(II)$ 发生. 在 $\rm(I)$ 条件下由文献 [22,引理 1.21] 经典结论知, 对任意的 $q\in(2,6)$ 有 $|w_n|_q\overset{n}{\rightarrow}0$. 对任意的 $\varphi\in H^1(\mathbb{R}^3)$,

在 $(F_1)$-$(F_2)$ 条件下, 结合 Hölder 不等式和 (3.12) 式得

由假设条件可知 $(I'(u_n)-I'(u),w_n)\overset{n}{\rightarrow}0$, 即

结合 (3.13)-(3.14) 式得到 $\|w_n\|\overset{n}{\rightarrow}0$. 综上, 我们证明了 $u_n$ 在空间 $H^1(\mathbb{R}^3)$ 中存在子列收敛到 $u$.

定理1.1 的证明 结论 (i) 是引理 3.2 的直接推论; 结论 (ii) 是引理 3.3 的直接推论; 结论 (iii) 是引理3.4 的直接推论.

定理1.2 的证明 结合引理 2.1、引理 2.4 中的结论 (i) 和引理3.6, 在 $\lambda>\Lambda_1$ 条件下得到 $v\in H^1(\mathbb{R}^3)$ 使得 $I(v)=\inf\limits_{u\in H^1(\mathbb{R}^3)}I(u)<0$, 即 $v$ 是泛函 $I(u)$ 在 $H^1(\mathbb{R}^3)$ 中的全局极小点. 由变分原理知 $v$ 是方程 (1.1) 的非平凡解. 由基态解的定义知 $v$ 也是 (1.1) 的基态解.

在定理 3.1 中取 $E=H^1(\mathbb{R}^3)$, 由引理2.4中的结论 (ii) 和引理3.6 知, 在 $\lambda>\Lambda_1$ 和 $(F_1)$-$(F_3)$ 条件下泛函 $I$ 满足定理 3.1 中的假设条件, 存在 $k$ 对临界点 $\pm v_i$ 满足 $I(\pm v_i)<0$, 其中 $1\leq i\leq k$. 对任意的 $i=1,2,\cdots,k$, $\pm v_i\not =0$ 且均是方程 (1.1) 的非平凡解.