研究下面的非线性 Klein-Gordon 方程

这里 $\psi=\psi\left( x,t\right) \in\mathbf{C}$

($x\in\mathbf{R}^{3}$, $t\in\mathbf{R}$), $m_{}$ 是实常数并且 $2<p<6$. 方程 (1.1) 是 Lagrangian 密度

的 Euler-Lagrange 方程.

考虑 $\psi$ 与电磁场的相互作用, 其由最小耦合原理描述, 即形如

的置换, 这里 $\phi:\mathbf{R}^{3}\times\mathbf{R}\to \mathbf{R},\quad \mathbb{A} :\mathbf{R}^{3}\times\mathbf{R}\to\mathbf{R}^{3}$, $\left(\phi, \mathbb{A}\right)$ 是规范势, $e$ 是电荷电量. 则由 (1.3) 和 (1.4) 式, Lagrangian 密度 (1.2) 变为

而经典的电磁场是由 Maxwell 理论描述, 其 Lagrangian 密度为

这里 $\mathbb{E}=-\nabla\phi-\mathbb{A}_{t}, \ \mathbb{B}=\nabla\times\mathbb{A}$. $\psi$ 与经典电磁场作用的总作用量的泛函为

考虑静电孤立波

这里 $u$ 和 $\phi$ 定义在 $\mathbf{R}^{3}$ 上的实值函数, $\omega$ 是正的频率参数, 此时容易得到

以及 $\mathbb{E}=-\nabla\phi,\ \mathbb{B}=0$, 进而有 $ \mathcal{L}_{\mathrm{M}}=\frac{1}{2}|\nabla \phi|^2. $ 因此, 总作用量泛函可以写为

它的 Euler-Lagrange 方程恰为如下的方程^[3]

通常 $\mathbb{R}^3$ 上这样的 Klein-Gordon 方程和 Maxwell 理论的耦合系统为 Klein-Gordon-Maxwell 方程 (或系统). 在后面的注记 1.2 中, 给出了方程 (1.7) 的部分相关参考文献.

然而经典理论有两种缺陷^[13]: 第一种是静电场中电荷密度为点电荷时, 会导致电磁场的能量为无穷大; 第二种是电荷密度为 $L^1$ 时(即电荷密度函数属于空间 $L^1(\mathbf{R}^3)$), 电磁场的能量可能发散.

为了解决第一种情形, Born 和 Infeld^[4] 给出了如下的 Lagrangian 密度

这里 $b\gg1$ 是所谓的 Born-Infeld 参数. 令 $\beta=\frac{1}{2b^{2}}$, 将其代入上式可得

然而并不清楚 Born-Infeld 理论是否也能避免第二种情形的发生. 为此, 文献 [13] 考虑上面密度在 $\beta\rightarrow 0$ 时的二阶近似 (在函数 $\sqrt{1-x}$ 的幂级数展开式中只取前三项 $1-\frac12 x-\frac18 x^2$), 即如下的 Lagrangian 密度

在文献 [13] 中, 作者证明了二阶近似后的 Born-Infeld 理论能同时解决点电荷时能量为无穷大和 $L^1$ 电荷密度可能会能量发散这两种情形.

考虑新的总作用量泛函

用与前面相同的静电孤立波 (1.5), 并注意到此时有 $\mathbb{E}=-\nabla\phi,\ \mathbb{B}=0$, 容易得到

由上式以及(1.6)式, 新的总作用量泛函为

它的 Euler-Lagrange 方程恰为^[11]

这里 $\Delta _4 \phi =\mathrm{div}(|\nabla \phi|^2 \nabla \phi)$. 为方便起见, 有时候称这样的 $\mathbb{R}^3$ 上的 Klein-Gordon 方程和 Born-Infeld 理论的耦合系统为 Klein-Gordon-Born-Infeld 方程 (或系统).

通过赋予非线性项 $|u|^{p-2}u$ 以及参数 $m, \omega$ 以不同的条件, 一些学者用变分法得到了系统 (1.8) 的解或者多解的存在性结果. 这些文献当中, d'Avenia 和 Pisani^[11] 的是先锋性的工作. 通过假设非线性项的指数 $p$ 满足 $4<p<6$, 以及方程的参数 $m, \omega$ 满足 $|\omega| <|m|$, 使用 $\mathbf{Z}_2$-山路定理, 文献 [11]得到了系统 (1.8) 存在无穷多个径向对称解. 随后, 文献 [20] 在参数满足 $\sqrt{\left(\frac{p}{2}-1\right)}|m|>\omega>0$ 条件下, 研究了 $p\in (2, 4]$ 的情况. 而在文献 [32] 中, 作者研究了系统 (1.8) 无穷多个变号解的存在性, 这里要求参数和指数分别满足 $\sqrt{\left(\frac{p}{2}-1\right)}|m|>\omega>0$ 和 $2<p<4$ 或者 $0<\omega<|m|$ 和 $4\leq p<6$.

将系统 (1.8) 中的非线性项 $|u|^{p-2}u$ 换成带临界指数的非线性项 $|u|^{p-2}u+|u|^{2^*-2}u$, Teng 和 Zhang^[25] 用山路定理得到了如下带临界指数的系统

至少有一个非平凡解, 其中指数和参数分别要满足 $4<p<6$ 和 $\omega <m$. 值得一提的是, 在这篇文献中, 作者也得到了下面的系统

$\left\{\begin{array}{ll} -\Delta u+\left[m^{2}-(\omega+\phi)^{2}\right] u=|u|^{p-2} u+|u|^{2^{*}-2} u, & x \in \mathbf{R}^{3}, \\ \nabla \cdot \frac{\nabla \phi}{\sqrt{1-\frac{|\nabla \phi|^{2}}{b^{2}}}}=(\omega+\phi) u^{2}, & x \in \mathbf{R}^{3} \end{array}\right.$

非平凡解的存在性. 关于 Klein-Gordon-Born-Infeld 方程非线性项包含临界指数的其它结果可见文献 [14⇓-16].

将系统 (1.8) 中的非线性项 $|u|^{p-2}u$ 换成带非齐次项的非线性项$|u|^{p-2}u+h(x)$, 运用山路定理和 Ekeland 变分原理, Chen 和 Li^[7]得到了非齐次系统

两个非平凡解的存在性, 其中参数和指数分别满足 $|m|> \omega >0$ 和 $4<p<6$ 或 $\sqrt{\left(\frac{p}{2}-1\right)}|m|>\omega>0$ 和 $2<p\leq 4$. 随后, 文献 [28] 的作者改进了文献 [7] 中的结果.

用前面两篇文献类似的方法, Chen 和 Song^[9] 得到了下面的带凹凸非线性项以及强制位势函数的 Klein-Gordon-Born-Infeld 方程

多个非平凡解的存在性, 这里 $1<q<2<p<6$.

关于全空间上的 Klein-Gordon-Born-Infeld 方程的其它相关结果还可以见文献 [1,6,26,29,31]. 顺便指出, 文献 [23,24]得到了有界区域上带有一般非线性项的 Klein-Gordon-Born-Infeld 方程解的存在性和多重性结果.

受以上文献的启发, 这篇文章的目的是研究 $\mathbb{R}^3$ 上具有一般凹凸非线性项以及强制位势函数的 Klein-Gordon-Born-Infeld 方程

无穷多高能量解的存在性, 其中 $ v,k: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$, $f:{\mathbb{R}}^3\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 满足下面的假设条件

(v1) $v(x) \in C(\mathbb{R}^3, \mathbb{R})$ 满足 $\inf_{x\in {\mathbb{R}}^3}v(x)>0$ 并且存在常数 $r_0>0$ 满足

(g1) 存在常数 $1 < q_1 < q_2 < 2$ 和函数 $h_i(x)\in L^{\frac{2}{2-q_i}}(\mathbb{R}^3, \mathbb{R}^+)\ (i=1, 2)$ 满足

(g2) $g(x,-z)=-g(x,z), \forall (x,z)\in \mathbb{R}^3\times\mathbb{R}$;

(f1) $f\in C(\mathbb{R}^3\times \mathbb{R}, \mathbb{R})$ 并且存在常数 $2<p<2^*=6,\ c_0>0,$ 满足

(f2) $\lim\limits_{|z|\to \infty}\frac{F(x,z)}{|z|^2}=+\infty$ 对 $x\in \mathbb{R}^3$ 一致成立, 这里 $F(x,z):=\int_0^z f(x,y){\rm d}y$, 并且 $F(x,z)\geq 0,$$ \forall (x,z)\in \mathbb{R}^3\times\mathbb{R};$

(f3) 存在常数 $L_0>0, \theta >2$ 和 $c_1\geq 0$ 满足 $zf(x,z)-\theta F(x,z)+c_1|z|^2\geq 0,\ \ \ \forall (x,|z|)\in \mathbb{R}^3\times[L_0, +\infty);$

(f4) $f(x,-z)=-f(x,z),\ \ \forall (x,z)\in \mathbb{R}^3\times\mathbb{R}$.

定理1.1 假设条件 (v1), (g1), (g2), (f1), (f2), (f3) 和 (f4) 成立, 则存在 $\mu_0>0$ 使得当 $0\leq \mu\leq\mu_0$ 时问题 ($\mathcal{KGBI}$)有一列解 $\{(u_n, \phi_n)\}$ 满足

以及当 $n\to \infty$ 时有

注1.1 目前只有参考文献 [9] 用山路定理和 Ekeland 变分原理得到带凹凸非线性项的方程 (1.9) 至少两个非平凡解的存在性, 而方程 (1.9)的凹凸非线性项为特殊的多项式之和: $k(x)|z|^{q-2}z+g(x)|z|^{p-2}z(1<q<2<p<6)$. 与文献 [9] 中的结果相比较, 我们的结果不仅放宽非线性项为一般的情形, 而且得到的是无穷多个大能量解的存在性.

定理1.2 假设条件 (v1), (g1), (g2), (f1), (f2), (f3) 和 (f4) 成立, 则存在 $\mu_0>0$ 使得当 $0\leq \mu\leq\mu_0$ 时, Klein-Gordon-Maxwell 方程

有一列解 $\{(u_n, \phi_n)\}$ 满足

以及当 $n\to \infty$ 时有

注1.2 这是关于方程 ($\mathcal{KGM}$) 在 $\mu\neq 0$ 和条件 (v1) (或者类似的条件) 下, 无穷多个高能量解的第一个存在性结果. 这里给出关于方程 ($\mathcal{KGM}$) 在 $\mu= 0$ 和条件 (v1) (或者类似的条件) 下的结果, 见文献 [5,8,10,12,17⇓-19,27].

注1.3 定理 1.2 的证明和定理 1.1 的证明类似, 因此后面我们将只给出定理 1.1 的证明.

为完成定理的证明, 我们需要下面的临界点定理 (见文献[21,定理 9.12]).

定理1.3 ($\mathbf{Z}_2$-山路定理) 设 $E$ 是无穷维的 ${\mathrm{Banach}}$ 空间, $\varphi \in C^1(E, \mathbb{R})$ 是偶泛函 (即对任一 $u\in E$ 都有 $\varphi(-u)=\varphi(u)$ 成立) 并且 $\varphi(0)=0$. 如果 $E=V\oplus X$, 这里 $V$ 有限维, 并且 $\varphi$ 满足

(i) 对任何有限维子空间 $Y \subset E$, 这里存在 $R=R(Y)$ 满足 $\varphi(u)\leq 0$ 当 $\|u\|\geq R$;

(ii) 存在常数 $\rho, \alpha >0$ 满足 ${\varphi}(u)\big |_{\{u\in X:\|u\|_{} = \rho\}}\geq \alpha$;

(iii) Palais-Smale 条件对大于 $0$ 的数成立, 即任何 $E$ 中满足 $\varphi(u_n)\rightarrow c>0$ 和 $\varphi'(u_n)\rightarrow 0$ 的序列 $\{u_n\}$, 都有一列强收敛的子列, 则泛函 $\varphi$ 有一列无界的临界值序列.

在主要结果的证明之前, 我们先介绍几个函数空间及其内积和范数的定义. 定义函数空间 $H^1({\mathbb{R}}^3):=\left\{u\in L^2({\mathbb{R}}^3): |\nabla u| \in L^2({\mathbb{R}}^3) \right\}.$ 设

则 $E$ 是一个 Hilbert 空间, 其上的内积为 $(u,v)_E=\int_{{\mathbb{R}}^3}\left(\nabla u\cdot \nabla v+v(x)uv\right){\rm d}x,$ 范数为 $\|u\|_E=(u,u)_E^{1/ 2}$. 显然, 由条件 $(v1)$, 对任何 $s \in$ [2,6], 嵌入 $E\hookrightarrow L^s({{\mathbb{R}}^3})$ 是连续的. 因此, 对任何 $s \in$ [2,6], 存在常数 $\tau_s>0$ 满足

这里 $|\cdot|_s$ 是\ Lebesgue 空间 $L^s(\mathbb{R} ^3)$ 的标准范数. 更进一步, 在假设条件 $(v1)$ 下, 对任何 $s\in [2, 6)$, 嵌入 $E\hookrightarrow L^s({\mathbb{R}}^3)$ 是紧的^[2].

用符号 $D({\mathbb{R}}^3)$ 表示函数空间 $C_0^{\infty}({\mathbb{R}}^3,\mathbb{R})$ 在范数 $\|\phi\|_{D}=|\nabla \phi|_{2}+|\nabla \phi|_{4}$ 下的完备化空间, 符号 $D^{1,2}({\mathbb{R}}^3)$ 是函数空间 $C_0^{\infty}({\mathbb{R}}^3,\mathbb{R})$ 在范数 $\|\phi\|_{D^{1,2}}=|\nabla \phi|_{2}$ 下的完备化空间. 很清楚, 空间 $D({\mathbb{R}}^3)$ 可连续嵌入到空间 $D^{1,2}({\mathbb{R}}^3)$. 更进一步, 由 Sobolev 不等式, 空间 $D^{1,2}({\mathbb{R}}^3)$ 是能够连续嵌入到空间 $L^{6}({\mathbb{R}}^3)$.

方程系统 ($\mathcal{KGBI}$)具有变分结构. 的确, 考虑泛函 $\mathcal{J}: E \times D^{}({\mathbb{R}}^3)\rightarrow \mathbb{R}$,

显然, 泛函 $\mathcal{J}\in C^1(E\times D^{}({\mathbb{R}}^3),\mathbb{R})$ 且其在给定的点 $(u, \phi)$ 的偏导数具有如下形式

这里 $\zeta \in E, \eta \in D^{}({\mathbb{R}}^3).$ 因此, 我们有 $(u, \phi)$ 是问题 ($\mathcal{KGBI}$)的弱解当且仅当其是泛函 $\mathcal{J}$ 在空间 $E\times D^{}({\mathbb{R}}^3)$ 中的临界点.

引理2.1 对每一个 $u\in H^1({\mathbb{R}}^3)$, 存在唯一的 $\phi _u\in D({\mathbb{R}}^3)$, 其是系统 ($\mathcal{KGBI}$)第二个方程的解并且满足 $-\omega \leq\phi_u \leq 0$.

证 引理的证明可见文献 [引理 3] 以及文献 [20,引理 2.3].

鉴于引理2.1, 考虑一元泛函 $\varphi:E \rightarrow {\mathbb{R}}$, $\varphi(u)={\mathcal{J}}(u,\phi_u)$, 即

定义映射 $\Phi : H^1({\mathbb{R}}^3)\rightarrow D, u\rightarrow \phi _u$. 由标准的证明可知 $\Phi \in C^1(H^1({\mathbb{R}}^3), D^{})$. 由于 $\mathcal{J}$ 和 $\Phi$ 都是 $C^1$ 的, 因此 $\varphi\in C^1(E,\mathbb{R})$. 对任何 $u, v \in E$, 我们有

这里用到了 ${\mathcal{J}}'_{ \phi}(u, \phi_u)=0$. 现在, 我们有 $(u,\phi)\in E \times D({\mathbf{R}}^3)$ 是泛函 ${\mathcal{J}}$ 的临界点 (即 $(u,\phi)$ 是系统 ($\mathcal{KGBI}$)的解) 当且仅当 $u$ 是泛函 $\varphi$ 的临界点并且 $\phi=\phi_u$.

显然, 由 (g2) 和 (f4) 可知 $\varphi$ 是偶的并且 $\varphi(0)=0$.

引理2.2 假设条件 (v1), (g1), (f1), (f2), (f3) 成立, 则对任何有限维子空间 $Y \subset X$, 存在 $R=R(Y)$ 使得当 $\|u\|_E\geq R$ 时有 $\varphi(u)\leq 0$.

证 用反证法, 我们假设这里存在序列 $\{u_n\}\subset Y$ 满足对任何 $n\in \mathbf{N}$ 有 $ \|u_n\|_E\rightarrow\infty$ 和 $\varphi(u_n)\geq 0$. 设 $w_n=\frac{u_n}{\|u_n\|_E}$, 则, 可能归于某一子列, 我们有 $w_n\rightharpoonup w$ 在 $E$ 中成立, $w_n(x)\rightarrow w(x)$ 对几乎处处的 $x\in {\mathbb{R}}^3$ 成立. 由于 $Y$ 是有限维的, 则在 $Y$ 中有 $w_n\to w$, 从而有 $\|w\|_E=1$. 设 $\Omega =\{x\in {\mathbb{R}}^3:\ w(x)\neq 0\}$, 则 meas$(\Omega)>0$, 并且对几乎处处的 $x\in \Omega$, 当 $n\rightarrow \infty$ 时有 $|u_n(x)|\rightarrow +\infty$. 因此, 由 (f2) 和 Fatou 引理, 可得

用 $\phi_u$ 乘以等式

两端, 再用分部积分法有

从 (2.5) 式, 我们能推知

因而从 (2.6) 式和 $-\omega \leq \phi_u$, 我们能得到

由此, 有

由等式 $G(x, z)=\int_0^1g(x, tz)z{\rm d}t$, (g1), H$\ddot{\mathrm{o}}$lder 不等式和 (2.1) 式, 可得

鉴于 $1 < q_1 < q_2 < 2$, 则当 $n\to\infty$ 时有

显然, 从 $\varphi(u_{n}) \geq 0 $ 可得

从 (2.2) 和 (2.6) 式, 泛函 $\varphi$ 也可以写为

因此, 复合 (2.7)-(2.9), (2.11)-(2.13) 式, 得到

这与 (2.4) 式相矛盾.

鉴于对任何 $s\in [2, 6)$, 嵌入 $E\hookrightarrow L^s({\mathbb{R}}^3)$ 是紧的, 由自伴紧算子的谱理论, 特征值问题

拥有一列完备的特征值序列 $\{\lambda_j\}$ 满足 $0<\lambda_1<\lambda_2<\cdots <\lambda_j< \cdots\to +\infty,$ 并且每个特征值 $\lambda_j$ 都具有有限的重数. 用符号 $E_j$ 表示特征值 $\lambda_j$ 所对应的特征函数空间, 则 $\dim E_j<\infty$ 并且 $E=\overline{\oplus_{j=1}^{\infty}E_j}$. 定义 $Y_k:=\oplus_{j=1}^k E_j, \ \ Z_k:=\overline{\oplus_{j=k}^{\infty}E_j}.$

引理2.3 假设条件 $(v1)$ 成立, 则对任何 $2\leq s<2^*$, 当 $k\rightarrow \infty$ 时有

证 证明类似于文献 [30,引理 3.8] 的证明, 这里省略.

由引理 2.3, 我们能够选择一个整数 $m\geq 1$ 满足

这里 $c_0$ 为假设条件 (f1) 中出现的常数. 设 $V=Y_{m-1},\ \ X=Z_m, $ 则 $E=V\oplus X$ 并且 $V$ 有限维的.

引理2.4 假设条件 (v1), (g1), (f1) 成立, 则存在常数 $\mu_0>0, \rho>0, \alpha >0$ 满足当 $0\leq \mu\leq\mu_0$ 时有 ${\varphi}(u)\big |_{\{u\in X:\|u\|_{} = \rho\}}\geq \alpha$.

证由假设条件 (f1) 和等式 $F(x, z)=\int_0^1f(x, tz)z{\rm d}t$, 可得

从而由 (2.13), (2.10) 式, $q_1<q_2$, (2.14) 和 (2.1) 式, 对任何 $u\in X$ 且 $\|u\|_E\leq 1$ 有

这里 $H:=\frac{1}{q_{1}}\left|h_{1}\right|_{\frac{2}{2-q_{1}}} \tau_{2}^{q_{1}}+\frac{1}{q_{2}}\left|h_{2}\right|_{\frac{2}{2-q_{2}}} \tau_{2}^{q_{2}}$. 设

容易知道存在唯一的常数 $t_0 > 0$, 其为函数 $g(t)$ 的最大值点. 由

可以得到临界点 $t_0=\left(\frac{(2-q_1)p}{4(p-q_1)c_0\tau_p^p}\right)^{\frac{1}{p-2}}>0.$ 从而有 $\max_{t\geq 0}g(t)=g(t_0)>0$. 选取 $\|u\|_E=t_0:=\rho$, 可以得出, 对任何 $\mu$ 满足 $0\leq \mu\leq\frac{g(\rho)}{2H}:=\mu_0$, 有

证明结束.

引理2.5 假设条件 (v1), (g1), (f1), (f2), (f3) 成立, 泛函 $\varphi$ 的任何 Palais-Smale 序列在 $E$ 中是有界的.

证 设序列 $\{ u_{n} \}$ 是泛函 $\varphi$ 的一个 Palais-Smale 序列, 即对某个 $c \in \mathbb{R}$, 当 $n \to \infty$ 时有 $ \varphi(u_{n}) \to c, \ \ \varphi' (u_{n})\to 0. $ 我们需要验证序列 $\{u_n\}$ 在 $E$ 中是有界的. 否则, 可归于某一子列, 当 $n\rightarrow \infty$ 时有 $ \|u_n\|_E\rightarrow \infty$. 设 $w_n=\frac{u_n}{\|u_n\|_E}$, 则归于某一子列, 有 $ w_n\rightharpoonup w$ 在 $E$ 中成立, $w_n\rightarrow w$ 在 $L^s({\mathbb{R}}^3)(2\leq s<6)$ 中成立, $w_n(x)\rightarrow w(x)$ 对几乎处处的 $x\in {\mathbb{R}}^3$ 成立. 设 $\Omega =\{x\in {\mathbb{R}}^3:\ w(x)\neq 0\}$. 如果 meas$(\Omega)>0$, 用与引理 2.2 的证明类似的方法, 我们能得出矛盾. 因此 meas$(\Omega)=0$. 这隐含对几乎处处的 $x\in \mathbb{R}^3$ 有 $w(x)=0$ 成立, 并且在 $L^s({\mathbb{R}}^3)(2\leq s<6)$ 中有 $w_n\rightarrow 0$. 由 (f1) 和 $p>2$, 可得

再次由 (f1) 得, 存在 $M>0$ 满足

由以上两个不等式得

由等式 $F(x,z)=\int^1_0f(x,tz)z{\rm d}t$ 可得

从 (2.15) 和 (2.16) 式我们有

这里 $\widetilde{c}_1=(\frac{\theta}{2}+1)(M+2c_0)$. 结合条件 (f3) 可得

由恒等式 $G(x, z)=\int_0^1g(x, tz)z{\rm d}t$, (g1), H$\ddot{\mathrm{o}}$lder 不等式和式 (2.1), 我们有

鉴于 $ \|u_n\|_E\rightarrow \infty$ 和 $1 < q_1 < q_2 < 2$, 可得当 $n\rightarrow \infty$ 时有

因此, 从 (2.13), (2.3), (2.17) 式和 $-\omega \leq \phi_u$, 当 $n\rightarrow \infty$ 时就有

这隐含 $0\geq \frac{\theta}{2}-1$, 与 $\theta > 2$ 是相矛盾的. 因此, $\{u_n\}$ 在 $E$ 中是有界的.

引理2.6 假设条件 (v1), (k1), (f1) 成立, 则 $\varphi$ 的任何有界的 Palais-Smale 序列在 $E$ 中有强收敛的子列.

证 设 $\{ u_{n} \}$ 是 $\varphi$ 的有界的 Palais-Smale 序列, 即对某个 $c \in \mathbb{R}$, 当 $n\rightarrow \infty$ 时有 $ \sup_n\|u_n\|_E<+\infty,\ \ \varphi(u_{n}) \to c, \ \ \varphi' (u_{n})\to 0. $ 不失一般性, 如果必要可取子列, 存在 $u \in E$ 使得在 $E$ 中有 $u_n \rightharpoonup u$ 和

由 (2.3) 式, 我们容易得到

显然当 $n\rightarrow \infty$ 时有

从 (2.6) 式和 $-\omega \leq \phi_u$, 我们得到

并且由 $\{u_n\}\subset E$ 的有界性可得 $\{\phi_{u_n}\}$ 在 $D$ 中是有界的. 因此, 从 H$\ddot{\mathrm{o}}$lder 不等式, 嵌入 $D(\mathbb{R}^3)\hookrightarrow L^6(\mathbb{R}^3)$, 由 (2.1) 和 (2.18) 式, 可得当 $n\rightarrow \infty$ 时有

和

因此, 当 $n\rightarrow \infty$ 时有

因为 $|\phi^2_{u_n}u_n|_{{{3}/{2}}}\leq |\phi_{u_n}|^2_{6} |u_n|_{3},$ 可知序列 $\{\phi^2_{u_n}u_n\}$ 在 $L^{{3}/{2}}$ 中是有界的, 所以当 $n\rightarrow \infty$ 时有

由此可得当 $n\rightarrow \infty$ 时有

由 (g1), (2.18) 和 $\sup_n\|u_n\|_E<+\infty$, 可知当 $n\rightarrow \infty$ 时有

类似地, 当 $n\rightarrow \infty$ 时也有 $ \left|\int_{\mathbf{R}^{3}}g(x, u)(u_n-u){\rm d}x\right| \rightarrow 0. $ 因此, 当 $n\rightarrow \infty$ 时有

再由 (f1) 和 (2.18) 式, 易得当 $n\rightarrow \infty$ 时有

综合 (2.19)-(2.24) 式, 可得当 $n\rightarrow \infty$ 时有 $\|u_n-u\|_E\rightarrow 0$.

定理1.1 的证明 从引理 2.2 和引理 2.4, 可得泛函 $\varphi$ 满足定理 1.3 的几何条件. 引理 2.5 和引理2.6 隐含泛函 $\varphi$ 满足 Palais-Smale 条件. 因此, 由定理 1.3, 问题 ($\mathcal{KGBI}$)有无穷多个非平凡解 $(u_n, \phi_{u_n})\in E \times D^{}(\mathbb{R}^3)$ 满足当 $n\to \infty$ 时有 $\varphi(u_n,\phi_{u_n})\to +\infty$.