本文研究了一类修正的 Camassa-Holm(mCH) 方程和 Camassa-Holm(CH) 方程推广的 mCH-CH 方程初值问题^[1]

其中 $m=u-u_{xx}, u(x, t)$ 表示在 $t$ 时刻 $x$ 方向的水流速度 (或者表示浅水波自由表面的高度), $a_{1}, a_{2}$ 是任意实数. 该方程是英国 Fokas 院士利用双哈密顿对偶方法对 Gardner 方程, $u_{t}+u_{xxx}+a_{1}u^{2}u_{x}+a_{2}uu_{x}=0$ 约化得到的, 是一类重要的具有平方和立方非线性项的完全可积的广义 CH 方程.

mCH-CH 方程也可以看作是 mCH 方程和 CH 方程的线性组合, 是两个经典的浅水波方程模型的推广. 当 $a_{1}=0, a_{2}=1$ 时, 方程 (1.1) 就退化为著名的 CH 方程^[2], 它是流体力学中一个重要的非线性偏微分方程; 当 $a_{1}=1, a_{2}=0$ 时, 方程 (1.1) 退化为具有立方非线性项的 mCH 方程 (也称 Folas -Olver-Rosenau-Qiao(FORQ) 方程)^[3⇓⇓-6]. 两类方程解的各种性质已经被深入研究, 如守恒律^[4,5,7,8]、尖峰孤子解^{[6,9⇓–11]}、 爆破现象^[12⇓-14] 和局部适定性^[14⇓-16] 等.

mCH-CH 方程自提出以来, 吸引了许多学者的关注. 2014 年, Liu 等^[15]对 mCH-CH 方程初值问题进行了系统研究, 给出了当 $s>\frac{5}{2}$ 时方程解在索伯列夫空间中的局部适定性. 2016 年, Chen 等^[17]获得了 mCH-CH 方程初值在满足一定条件下, 强解的一些爆破结果. 2018 年, Xia 等^[18] 推导了 mCH-CH 方程的 Lax 对、双哈密顿结构和无穷守恒律, 证实了该方程的可积性, 同时研究了方程单个和多个尖峰孤子解存在条件. 最近, Qin 等^[19]对 mCH-CH 方程进行了推广, 获得其初值问题的适定性、Hölder 连续性、爆破准则、尖峰孤子解等一系列结果.

另一方面, 持久性和传播速度是浅水波方程解的重要性质, 该性质刻画了解的初值与解在无穷远处的衰减和传播关系. 针对 CH 方程, Himonas 等^[20]提出了处理此类问题的基本方法, 随后该方法被广泛用来处理各类 CH 型推广方程^{[21⇓⇓⇓-25]}. 通过文献检索, 注意到 mCH-CH 方程持久性和传播速度还没有相关结果, 受上述文献启发, 本文对 mCH-CH 方程初值问题的持久性和传播速度进行了分析, 研究结果表明: mCH-CH 方程和 CH 方程有类似的持久性, 但无穷远处的传播速度和参数 $a_{1}, a_{2}$ 符号有关.

注1.1 本文中, "$\ast$"表示空间变量的卷积. 当 $1\leq p\leq \infty$ 时, $||\cdot||_{L^{p}}$ 表示 $L^{p}(\mathbb{R})$ 空间中的范数. 当 $s>0$ 时, $||\cdot||_{H^{s}}$ 表示经典的索伯列夫空间 $H^{s}(\mathbb{R})$ 的范数. 本文持久性证明中, 不同正常数一律用字母 $C$ 表示. 对任意的常数 $\lambda\in \mathbb{R}$, 如果 $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{|f(x)|}{{\rm e}^{\lambda x}}=L\neq 0$, 则当 $x\rightarrow\infty$ 时, 记 $|f(x)|\sim O({\rm e}^{\lambda x})$; 如果 $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{|f(x)|}{{\rm e}^{\lambda x}}= 0$, 则当 $x\rightarrow\infty$ 时, 记 $|f(x)|\sim o({\rm e}^{\lambda x}).$

为叙述方便, 先给出适定性引理 2.1, 再给出持久性结果 (定理 2.1-2.3).

引理2.1^[15] 设初值 $u_{0}\in H^{s}, s>\frac{5}{2}$, 则存在解的最大存在时间 $T=T(||u_0||_{H^{s}})>0$ 和初值问题 (1.1) 的唯一解 $u$, 使得 $u\in C([0, T);H^{s})\cap C^{1}([0, T);H^{s-1})$. 而且, 此解连续依赖于初值, 即映射 $u_{0}\mapsto u: H^{s}\rightarrow C([0, T);H^{s})\cap C^{1}([0, T);H^{s-1})$ 是连续的.

利用算子 $(1-\partial_{x}^{2})^{-1}$ 的格林函数 $G = \frac{1}{2}{\rm e}^{-|x|}( x \in \mathbb{R})$ 把方程 (1.1) 写成它的卷积形式:

其中 $E(u)=\frac{2}{3}a_{1}u^{3}+a_{1}uu_{x}^{2}+a_{2}u^{2}+\frac{1}{2}a_{2}u^{2}_{x}, F(u)=\frac{1}{3}a_{1}u^{3}_{x}.$ 由引理 2.1 知, 对于 $T>0$ 和 $s>\frac{5}{2}$, 有 $u\in C([0, T);H^{s})$ 是 mCH-CH 方程 (1.1) 的强解.令 $M=\sup\limits_{t\in[t]}||u(t)||_{H^{s}}$, 则由索伯列夫嵌入定理可得

其中 $C$ 为非负常数.

定理2.1 设 $T>0$ 和 $s>\frac{5}{2}, u\in C([0, T);H^{s})$ 是初值问题 (1.1) 的强解. 如果对给定的 $\delta\in(0, 1)$, 初值 $u_{0}(x)$ 满足

那么

在区间 $[0, T)$ 上是一致成立的.

证 引入权函数 $\varphi_{N}(x)$

其中 $N\in \mathbb{Z}^{+}$ 且 $\delta\in(0, 1)$. 显然对任意的 $N\in\mathbb{Z}^{+}, x\in \mathbb{R}$, 有

几乎处处成立. 同时经过计算, 可证得存在一个依赖 $\delta$ 的常数 $C_{0}$, 使得如下不等式

对任意 $N\in \mathbb{Z}^{+}$ 均成立.

对方程 (2.1) 乘以 $(u\varphi_{N})^{2n-1} \varphi_{N}, n\in \mathbb{Z}^{+}$, 同时对变量 $x$ 在 $\mathbb{R}$ 上进行积分得

利用 (2.2) 和 (2.3) 式以及 Hölder 不等式有

将上述估计结果代入 (2.5) 式有

对方程 (2.1); 关于变量 $x$ 求导得

对方程 (2.7) 乘以 $(u_{x}\varphi_{N})^{2n-1} \varphi_{N}, n\in \mathbb{Z}^{+}$, 并对变量 $x$ 在 $\mathbb{R}$ 上进行积分有

类似地, 利用(2.2)和 (2.3) 式以及 Hölder 不等式有

将以上估计代入 (2.8) 式有

将 (2.6) 式和 (2.9) 式相加有

对 (2.10)式应用 Gronwall 不等式得

因为对任意函数 $f\in L^{1}\cap L^{\infty}$ 有

因此对 (2.11) 式两边取极限, 令 $n\rightarrow\infty$, 有

利用 (2.2) 和 (2.4) 式有

由于 $\partial^{2}_{x}G\ast f=G\ast f-f$, 所以

将以上的估计结果代入 (2.12) 式有

其中 $C$ 是一个与 $a_{1}, a_{2}, M, T, C_{0}$ 相关的常数.

对任意的 $N\in \mathbb{Z}^{+}$ 和 $t\in [0, T)$, 对 (2.13) 式应用 Gronwall 不等式有

由权函数 $\varphi_{N}$ 的定义, 对任意的 $t\in [0, T)$, 令 $N\rightarrow+\infty$ 有

因此定理 2.1 得证.

注2.1 定理 2.1 表明初值问题 (1.1) 在 $L^{\infty}$ 空间中初值 $u_{0}(x), \partial_{x}u_{0}(x)$ 在无穷远处以指数形式衰减时, 强解 $u(x, t), \partial_{x}u(x, t)$ 关于空间变量在无穷远处也以指数形式衰减.

接下来的定理2.2 将给出强解的最佳衰减性.

定理2.2 设 $T>0$ 和 $s>\frac{5}{2}, u\in C([0, T);H^{s})$ 是初值问题 (1.1) 的强解. 如果对给定的 $\beta\in(\frac{1}{2}, 1)$, 初值 $u_{0}(x)$ 满足

那么

在区间 $[0, T)$ 上是一致成立的.

证 对任意的 $t_{1} \in [0, T)$, 在区间 $[t_{1}]$ 上对方程 (2.1) 关于时间变量进行积分得

由定理 2.2 的假设和定理 2.1 结论可知

$u(x, 0)\sim O({\rm e}^{-x})$, 同时有

同时再对 (2.16) 式中的下列项进行估计,

由定理 2.2 的假设条件和上面各项估计结果知

又由 $\partial_{x}G(x)=-\displaystyle\frac{1}{2}\text{sgn}(x){\rm e}^{-|x|}$ 有

注意到

因此

类似地, 由于 $G(x)=\frac{1}{2}{\rm e}^{-|x|}$ 有

且

因此

综上所述可知

考虑到 $t_{1}\in [0, T)$ 的任意性, 则有

定理 2.2 得证.

定理2.3 设 $T>0$ 和 $s>\frac{5}{2}, u\in C([0, T);H^{s})$ 是初值问题 (1.1)的强解. 如果对于给定的 $\theta\in(0, 1)$ 满足

那么

在区间 $[0, T)$ 上是一致成立的.

证 和定理 2.1 证明类似, 首先引入权函数 $\varphi_{N}(x)$

其中 $N\in \mathbb{Z}^{+}$ 且 $\theta\in(0, 1)$. 显然对任意的 $N\in\mathbb{Z}^{+}, x\in \mathbb{R}$, 容易验证 $0\leq \varphi'_{N}(x)\leq \varphi_{N}(x)$ 几乎处处成立. 同时经过计算, 可证得对任意 $\theta\in(0, 1)$, 有如下不等式成立

用此处的 $\varphi_{N}(x)$ 代替定理 2.1 中的 $\varphi_{N}(x)$, 利用和定理 2.1 中完全相同的方法可证得定理 2.3.

注2.2 定理 2.3 表明初值问题 (1.1) 在 $L^{\infty}$ 空间中初值 $u_{0}(x), \partial_{x}u_{0}(x)$ 在无穷远处以代数形式衰减时, 强解 $u(x, t), \partial_{x}u(x, t)$ 关于空间变量在无穷远处也以代数形式衰减.

初值问题 (1.1) 可以改写成如下等价形式

定理3.1 设 $s>\frac{5}{2}, u_{0}\in H^{s}$, $T>0$ 是初值问题 (1.1) 的解 $u$ 的最大存在时间 (这是由引理 2.1 保证的).

如果初值问题 (1.1)中 $m_{0}=u_{0}-u_{0, xx}$ 在区间 $[\alpha_{m_{0}}, \beta_{m_{0}}]$ 上有紧支集, 那么对于任意的 $t\in[0, T)$,

解 $m(x, t)$ 在区间 $[q(\alpha_{m_{0}}, t), q(\beta_{m_{0}}, t)]$ 上有紧支集.

证 定义一个微分同胚族 $\{q(x, t)\}_{t\in [0, T)}$ 的初值问题

于是

利用 Gronwall 不等式有

即

显然

于是方程 (1.1) 或方程 (3.1) 中 $m_{0}$ 在区间 $[\alpha_{m_{0}}, \beta_{m_{0}}]$ 上有紧支集, 从 (3.5) 和(3.6) 式可以推断出 $m(x, t)$ 在区间 $[q(\alpha_{m_{0}}, t), q(\beta_{m_{0}}, t)]$ 上有紧支集. 定理 3.1 得证.

注3.1 定理 3.1 证明了当初值数据 $m_{0}$ 有紧支集时, 解 $m(x, t)$ 也有紧支集, 即解 $m(x, t)$

有有限的传播速度.

定理3.2 设 $s>\frac{5}{2}, u_{0}\in H^{s}, u_{0} \not\equiv 0, m_{0}$ 在 $\mathbb{R}$ 上不改变符号, $T>0$ 是初值问题(1.1) 的解 $u$ 的最大存在时间 (这是由引理 $2.1$ 保证的). 如果初值问题(1.1) 中 $u_{0}$ 在区间 $[\alpha_{u_{0}}, \beta_{u_{0}}]$ 上有紧支集, 那么对于任意的 $t\in[0, T)$, 非平凡解 $u(x, t)$ 有下列性质

其中 $E(t)=\int_{\mathbb{R}}{\rm e}^{\xi}m(\xi, t){\rm d}\xi, F(t)=\int_{\mathbb{R}}{\rm e}^{-\xi}m(\xi, t){\rm d}\xi$ 是连续的非零函数, 且 $E(0)=0, F(0)=0$.

同时, 当 $a_{1}>0, a_{2}>0, m_{0}>0$ 时, $E(t)$ 是严格增的, $F(t)$ 是严格减的; $a_{1}>0, a_{2}<0,$$m_{0}<0$ 时, $E(t)$ 是严格减的, $F(t)$ 是严格增的;当 $a_{1}<0, a_{2}<0, m_{0}<0$ 时, $E(t)$ 是严格减的, $F(t)$ 是严格增的; $a_{1}<0, a_{2}>0, m_{0}>0$ 时, $E(t)$ 是严格增的, $F(t)$ 是严格减的.

证 如果初始数据 $u_{0}(x)$ 在 $[\alpha_{u_{0}}, \beta_{u_{0}}]$ 上有紧支集, 由于 $m_{0}=(1-\partial_{x}^{2})u_{0}(x)$, 则根据定理 3.1 知 $m(x, t)=(1-\partial_{x}^{2})u(x)$ 在区间 $[q(\alpha_{u_{0}}, t), q(\beta_{u_{0}}, t)]$ 上有紧支集. 由 (3.5) 式有 $m(q(x, t), t)\equiv 0(x< \alpha_{u_{0}}$ 或 $x>\beta_{u_{0}}$), 定义函数

于是, 当 $x>q(\beta_{u_{0}}, t)$ 时有

当 $x<q(\alpha_{u_{0}}, t)$ 时有

因此定理 3.2 中 (3.7) 式成立. 进一步, 当 $x>q(\beta_{u_{0}}, t)$ 时有

当 $x<q(\alpha_{u_{0}}, t)$ 时有

接着, 对 (3.8)式应用分部积分, 结合 (3.12) 和方程 (1.1) 中 $m(x, t)$ 的定义有

同理, 对 (3.9)式应用分部积分, 结合 (3.12) 和方程 (1.1) 中 $m(x, t)$ 的定义有 $F(0)=0.$

另一方面, 注意到

且有

故

因此由 (3.15)式知, 当 $m(x, t)$ 在 $[q(\alpha_{u_{0}}, t), q(\beta_{u_{0}}, t)]$ 上不变号时, $u^{2}-u^{2}_{x}>0, (u-u_{x})m>0$, 有:

当 $a_{1}>0, a_{2}>0, m_{0}>0$ 时, $\frac{{\rm d}E(t)}{{\rm d}t}>0$; 当 $a_{1}>0, a_{2}<0, m_{0}<0$ 时, $\frac{{\rm d}E(t)}{{\rm d}t}<0$;

当 $a_{1}<0, a_{2}<0, m_{0}>0$ 时, $\frac{{\rm d}E(t)}{{\rm d}t}<0$; 当 $a_{1}<0, a_{2}>0, m_{0}<0$ 时, $\frac{{\rm d}E(t)}{{\rm d}t}>0$.

同理有

因此由 (3.15) 式知, 当 $m(x, t)$ 在 $[q(\alpha_{u_{0}}, t), q(\beta_{u_{0}}, t)]$ 上不变号时, $u^{2}-u^{2}_{x}>0, (u+u_{x})m>0$, 有:

当 $a_{1}>0, a_{2}>0, m_{0}>0$ 时, $\frac{{\rm d}F(t)}{{\rm d}t}<0$; 当 $a_{1}>0, a_{2}<0, m_{0}<0$ 时, $\frac{{\rm d}F(t)}{{\rm d}t}>0$;

当 $a_{1}<0, a_{2}<0, m_{0}>0$ 时, $\frac{{\rm d}F(t)}{{\rm d}t}>0$; 当 $a_{1}<0, a_{2}>0, m_{0}<0$ 时, $\frac{{\rm d}F(t)}{{\rm d}t}<0$.

定理 3.2 得证.

注3.2 定理 3.2 证明了非平凡解 $u(x, t)$ 在无穷远处有指数形式衰减的性质, 即解 $u(x, t)$ 有无穷传播速度.

定理3.3 设 $s>\frac{5}{2}, u_{0}\in H^{s}, m_{0} \not\equiv 0$ 在区间 $[\alpha_{m_{0}}, \beta_{m_{0}}]$ 上有紧支集, $T>0$ 是初值问题(1.1) 的解 $u$ 的最大存在时间 (这是由引理 $2.1$ 保证的), 则端点 $q(\alpha_{m_{0}}, t)$ 和 $q(\beta_{m_{0}}, t)$ 的值关于时间变量保持不变, 且有 $q(\alpha_{m_{0}}, t)=\alpha_{m_{0}}$ 和 $q(\beta_{m_{0}}, t)=\beta_{m_{0}}$.

证 由 (3.2)和 (3.12), (3.13) 式有

定理得证.

注3.3 定理 3.3 说明 $m_{0} \not\equiv 0$ 在区间 $[\alpha_{u_{0}}, \beta_{u_{0}}]$ 上有紧支集时, 端点不会随特征线移动.

本文研究了一类具有平方和立方非线性项的 mCH-CH 方程初值问题, 该方程是利用双哈密顿对偶方法对 Gardner 方程约化得到的一类重要的可积方程.

首先, 通过构建权函数, 利用能量方法, 结合 Gronwall 不等式和 Hölder 不等式, 获得了该方程具有指数或代数形式衰减初值时强解的持久性.

其次, 证明了方程初始值 $m_{0}, u_{0}$ 有紧支集时, 解 $m(x, t)$ 有紧支集, 即解 $m(x, t)$ 有有限传播速度, 非平凡解 $u$ 不再具有紧支集, 但在无穷远处有指数形式衰减性质, 具有无穷传播速度, 同时端点不随特征线移动.

研究结果表明: mCH-CH 方程和 CH 方程有类似的持久性, 但无穷远处的传播速度和参数 $a_{1}, a_{2}$ 符号有关.