本文研究了一类修正的 Camassa-Holm(mCH) 方程和 Camassa-Holm(CH) 方程推广的 mCH-CH 方程初值问题^[1]

其中 $ m=u-u_{xx}, u(x, t) $ 表示在 $ t $ 时刻 $ x $ 方向的水流速度 (或者表示浅水波自由表面的高度), $ a_{1}, a_{2} $ 是任意实数. 该方程是英国 Fokas 院士利用双哈密顿对偶方法对 Gardner 方程, $ u_{t}+u_{xxx}+a_{1}u^{2}u_{x}+a_{2}uu_{x}=0 $ 约化得到的, 是一类重要的具有平方和立方非线性项的完全可积的广义 CH 方程.

mCH-CH 方程也可以看作是 mCH 方程和 CH 方程的线性组合, 是两个经典的浅水波方程模型的推广. 当 $ a_{1}=0, a_{2}=1 $ 时, 方程 (1.1) 就退化为著名的 CH 方程^[2], 它是流体力学中一个重要的非线性偏微分方程; 当 $ a_{1}=1, a_{2}=0 $ 时, 方程 (1.1) 退化为具有立方非线性项的 mCH 方程 (也称 Folas -Olver-Rosenau-Qiao(FORQ) 方程)^[3⇓⇓-6]. 两类方程解的各种性质已经被深入研究, 如守恒律^[4,5,7,8]、尖峰孤子解^{[6,9⇓–11]}、 爆破现象^[12⇓-14] 和局部适定性^[14⇓-16] 等.

mCH-CH 方程自提出以来, 吸引了许多学者的关注. 2014 年, Liu 等^[15]对 mCH-CH 方程初值问题进行了系统研究, 给出了当 $ s>\frac{5}{2} $ 时方程解在索伯列夫空间中的局部适定性. 2016 年, Chen 等^[17]获得了 mCH-CH 方程初值在满足一定条件下, 强解的一些爆破结果. 2018 年, Xia 等^[18] 推导了 mCH-CH 方程的 Lax 对、双哈密顿结构和无穷守恒律, 证实了该方程的可积性, 同时研究了方程单个和多个尖峰孤子解存在条件. 最近, Qin 等^[19]对 mCH-CH 方程进行了推广, 获得其初值问题的适定性、Hölder 连续性、爆破准则、尖峰孤子解等一系列结果.

另一方面, 持久性和传播速度是浅水波方程解的重要性质, 该性质刻画了解的初值与解在无穷远处的衰减和传播关系. 针对 CH 方程, Himonas 等^[20]提出了处理此类问题的基本方法, 随后该方法被广泛用来处理各类 CH 型推广方程^{[21⇓⇓⇓-25]}. 通过文献检索, 注意到 mCH-CH 方程持久性和传播速度还没有相关结果, 受上述文献启发, 本文对 mCH-CH 方程初值问题的持久性和传播速度进行了分析, 研究结果表明: mCH-CH 方程和 CH 方程有类似的持久性, 但无穷远处的传播速度和参数 $ a_{1}, a_{2} $ 符号有关.

注1.1 本文中, "$ \ast $"表示空间变量的卷积. 当 $ 1\leq p\leq \infty $ 时, $ ||\cdot||_{L^{p}} $ 表示 $ L^{p}(\mathbb{R}) $ 空间中的范数. 当 $ s>0 $ 时, $ ||\cdot||_{H^{s}} $ 表示经典的索伯列夫空间 $ H^{s}(\mathbb{R}) $ 的范数. 本文持久性证明中, 不同正常数一律用字母 $ C $ 表示. 对任意的常数 $ \lambda\in \mathbb{R} $, 如果 $ \lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{|f(x)|}{{\rm e}^{\lambda x}}=L\neq 0 $, 则当 $ x\rightarrow\infty $ 时, 记 $ |f(x)|\sim O({\rm e}^{\lambda x}) $; 如果 $ \lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{|f(x)|}{{\rm e}^{\lambda x}}= 0 $, 则当 $ x\rightarrow\infty $ 时, 记 $ |f(x)|\sim o({\rm e}^{\lambda x}). $

为叙述方便, 先给出适定性引理 2.1, 再给出持久性结果 (定理 2.1-2.3).

引理2.1^[15] 设初值 $ u_{0}\in H^{s}, s>\frac{5}{2} $, 则存在解的最大存在时间 $ T=T(||u_0||_{H^{s}})>0 $ 和初值问题 (1.1) 的唯一解 $ u $, 使得 $ u\in C([0, T);H^{s})\cap C^{1}([0, T);H^{s-1}) $. 而且, 此解连续依赖于初值, 即映射 $ u_{0}\mapsto u: H^{s}\rightarrow C([0, T);H^{s})\cap C^{1}([0, T);H^{s-1}) $ 是连续的.

利用算子 $ (1-\partial_{x}^{2})^{-1} $ 的格林函数 $ G = \frac{1}{2}{\rm e}^{-|x|}( x \in \mathbb{R}) $ 把方程 (1.1) 写成它的卷积形式:

其中 $ E(u)=\frac{2}{3}a_{1}u^{3}+a_{1}uu_{x}^{2}+a_{2}u^{2}+\frac{1}{2}a_{2}u^{2}_{x}, F(u)=\frac{1}{3}a_{1}u^{3}_{x}. $ 由引理 2.1 知, 对于 $ T>0 $ 和 $ s>\frac{5}{2} $, 有 $ u\in C([0, T);H^{s}) $ 是 mCH-CH 方程 (1.1) 的强解.令 $ M=\sup\limits_{t\in[t]}||u(t)||_{H^{s}} $, 则由索伯列夫嵌入定理可得

其中 $ C $ 为非负常数.

定理2.1 设 $ T>0 $ 和 $ s>\frac{5}{2}, u\in C([0, T);H^{s}) $ 是初值问题 (1.1) 的强解. 如果对给定的 $ \delta\in(0, 1) $, 初值 $ u_{0}(x) $ 满足

那么

在区间 $ [0, T) $ 上是一致成立的.

证 引入权函数 $ \varphi_{N}(x) $

其中 $ N\in \mathbb{Z}^{+} $ 且 $ \delta\in(0, 1) $. 显然对任意的 $ N\in\mathbb{Z}^{+}, x\in \mathbb{R} $, 有

几乎处处成立. 同时经过计算, 可证得存在一个依赖 $ \delta $ 的常数 $ C_{0} $, 使得如下不等式

对任意 $ N\in \mathbb{Z}^{+} $ 均成立.

对方程 (2.1) 乘以 $ (u\varphi_{N})^{2n-1} \varphi_{N}, n\in \mathbb{Z}^{+} $, 同时对变量 $ x $ 在 $ \mathbb{R} $ 上进行积分得

利用 (2.2) 和 (2.3) 式以及 Hölder 不等式有

将上述估计结果代入 (2.5) 式有

对方程 (2.1); 关于变量 $ x $ 求导得

对方程 (2.7) 乘以 $ (u_{x}\varphi_{N})^{2n-1} \varphi_{N}, n\in \mathbb{Z}^{+} $, 并对变量 $ x $ 在 $ \mathbb{R} $ 上进行积分有

类似地, 利用(2.2)和 (2.3) 式以及 Hölder 不等式有

将以上估计代入 (2.8) 式有

将 (2.6) 式和 (2.9) 式相加有

对 (2.10)式应用 Gronwall 不等式得

因为对任意函数 $ f\in L^{1}\cap L^{\infty} $ 有

因此对 (2.11) 式两边取极限, 令 $ n\rightarrow\infty $, 有

利用 (2.2) 和 (2.4) 式有

由于 $ \partial^{2}_{x}G\ast f=G\ast f-f $, 所以

将以上的估计结果代入 (2.12) 式有

其中 $ C $ 是一个与 $ a_{1}, a_{2}, M, T, C_{0} $ 相关的常数.

对任意的 $ N\in \mathbb{Z}^{+} $ 和 $ t\in [0, T) $, 对 (2.13) 式应用 Gronwall 不等式有

由权函数 $ \varphi_{N} $ 的定义, 对任意的 $ t\in [0, T) $, 令 $ N\rightarrow+\infty $ 有

因此定理 2.1 得证.

注2.1 定理 2.1 表明初值问题 (1.1) 在 $ L^{\infty} $ 空间中初值 $ u_{0}(x), \partial_{x}u_{0}(x) $ 在无穷远处以指数形式衰减时, 强解 $ u(x, t), \partial_{x}u(x, t) $ 关于空间变量在无穷远处也以指数形式衰减.

接下来的定理2.2 将给出强解的最佳衰减性.

定理2.2 设 $ T>0 $ 和 $ s>\frac{5}{2}, u\in C([0, T);H^{s}) $ 是初值问题 (1.1) 的强解. 如果对给定的 $ \beta\in(\frac{1}{2}, 1) $, 初值 $ u_{0}(x) $ 满足

那么

在区间 $ [0, T) $ 上是一致成立的.

证 对任意的 $ t_{1} \in [0, T) $, 在区间 $ [t_{1}] $ 上对方程 (2.1) 关于时间变量进行积分得

由定理 2.2 的假设和定理 2.1 结论可知

$ u(x, 0)\sim O({\rm e}^{-x}) $, 同时有

同时再对 (2.16) 式中的下列项进行估计,

由定理 2.2 的假设条件和上面各项估计结果知

又由 $ \partial_{x}G(x)=-\displaystyle\frac{1}{2}\text{sgn}(x){\rm e}^{-|x|} $ 有

注意到

因此

类似地, 由于 $ G(x)=\frac{1}{2}{\rm e}^{-|x|} $ 有

且

因此

综上所述可知

考虑到 $ t_{1}\in [0, T) $ 的任意性, 则有

定理 2.2 得证.

定理2.3 设 $ T>0 $ 和 $ s>\frac{5}{2}, u\in C([0, T);H^{s}) $ 是初值问题 (1.1)的强解. 如果对于给定的 $ \theta\in(0, 1) $ 满足

那么

在区间 $ [0, T) $ 上是一致成立的.

证 和定理 2.1 证明类似, 首先引入权函数 $ \varphi_{N}(x) $

其中 $ N\in \mathbb{Z}^{+} $ 且 $ \theta\in(0, 1) $. 显然对任意的 $ N\in\mathbb{Z}^{+}, x\in \mathbb{R} $, 容易验证 $ 0\leq \varphi'_{N}(x)\leq \varphi_{N}(x) $ 几乎处处成立. 同时经过计算, 可证得对任意 $ \theta\in(0, 1) $, 有如下不等式成立

用此处的 $ \varphi_{N}(x) $ 代替定理 2.1 中的 $ \varphi_{N}(x) $, 利用和定理 2.1 中完全相同的方法可证得定理 2.3.

注2.2 定理 2.3 表明初值问题 (1.1) 在 $ L^{\infty} $ 空间中初值 $ u_{0}(x), \partial_{x}u_{0}(x) $ 在无穷远处以代数形式衰减时, 强解 $ u(x, t), \partial_{x}u(x, t) $ 关于空间变量在无穷远处也以代数形式衰减.

初值问题 (1.1) 可以改写成如下等价形式

定理3.1 设 $ s>\frac{5}{2}, u_{0}\in H^{s} $, $ T>0 $ 是初值问题 (1.1) 的解 $ u $ 的最大存在时间 (这是由引理 2.1 保证的).

如果初值问题 (1.1)中 $ m_{0}=u_{0}-u_{0, xx} $ 在区间 $ [\alpha_{m_{0}}, \beta_{m_{0}}] $ 上有紧支集, 那么对于任意的 $ t\in[0, T) $,

解 $ m(x, t) $ 在区间 $ [q(\alpha_{m_{0}}, t), q(\beta_{m_{0}}, t)] $ 上有紧支集.

证 定义一个微分同胚族 $ \{q(x, t)\}_{t\in [0, T)} $ 的初值问题

于是

利用 Gronwall 不等式有

即

显然

于是方程 (1.1) 或方程 (3.1) 中 $ m_{0} $ 在区间 $ [\alpha_{m_{0}}, \beta_{m_{0}}] $ 上有紧支集, 从 (3.5) 和(3.6) 式可以推断出 $ m(x, t) $ 在区间 $ [q(\alpha_{m_{0}}, t), q(\beta_{m_{0}}, t)] $ 上有紧支集. 定理 3.1 得证.

注3.1 定理 3.1 证明了当初值数据 $ m_{0} $ 有紧支集时, 解 $ m(x, t) $ 也有紧支集, 即解 $ m(x, t) $

有有限的传播速度.

定理3.2 设 $ s>\frac{5}{2}, u_{0}\in H^{s}, u_{0} \not\equiv 0, m_{0} $ 在 $ \mathbb{R} $ 上不改变符号, $ T>0 $ 是初值问题(1.1) 的解 $ u $ 的最大存在时间 (这是由引理 $ 2.1 $ 保证的). 如果初值问题(1.1) 中 $ u_{0} $ 在区间 $ [\alpha_{u_{0}}, \beta_{u_{0}}] $ 上有紧支集, 那么对于任意的 $ t\in[0, T) $, 非平凡解 $ u(x, t) $ 有下列性质

其中 $ E(t)=\int_{\mathbb{R}}{\rm e}^{\xi}m(\xi, t){\rm d}\xi, F(t)=\int_{\mathbb{R}}{\rm e}^{-\xi}m(\xi, t){\rm d}\xi $ 是连续的非零函数, 且 $ E(0)=0, F(0)=0 $.

同时, 当 $ a_{1}>0, a_{2}>0, m_{0}>0 $ 时, $ E(t) $ 是严格增的, $ F(t) $ 是严格减的; $ a_{1}>0, a_{2}<0,$$ m_{0}<0 $ 时, $ E(t) $ 是严格减的, $ F(t) $ 是严格增的;当 $ a_{1}<0, a_{2}<0, m_{0}<0 $ 时, $ E(t) $ 是严格减的, $ F(t) $ 是严格增的; $ a_{1}<0, a_{2}>0, m_{0}>0 $ 时, $ E(t) $ 是严格增的, $ F(t) $ 是严格减的.

证 如果初始数据 $ u_{0}(x) $ 在 $ [\alpha_{u_{0}}, \beta_{u_{0}}] $ 上有紧支集, 由于 $ m_{0}=(1-\partial_{x}^{2})u_{0}(x) $, 则根据定理 3.1 知 $ m(x, t)=(1-\partial_{x}^{2})u(x) $ 在区间 $ [q(\alpha_{u_{0}}, t), q(\beta_{u_{0}}, t)] $ 上有紧支集. 由 (3.5) 式有 $ m(q(x, t), t)\equiv 0(x< \alpha_{u_{0}} $ 或 $ x>\beta_{u_{0}} $), 定义函数

于是, 当 $ x>q(\beta_{u_{0}}, t) $ 时有

当 $ x<q(\alpha_{u_{0}}, t) $ 时有

因此定理 3.2 中 (3.7) 式成立. 进一步, 当 $ x>q(\beta_{u_{0}}, t) $ 时有

当 $ x<q(\alpha_{u_{0}}, t) $ 时有

接着, 对 (3.8)式应用分部积分, 结合 (3.12) 和方程 (1.1) 中 $ m(x, t) $ 的定义有

同理, 对 (3.9)式应用分部积分, 结合 (3.12) 和方程 (1.1) 中 $ m(x, t) $ 的定义有 $ F(0)=0. $

另一方面, 注意到

且有

故

因此由 (3.15)式知, 当 $ m(x, t) $ 在 $ [q(\alpha_{u_{0}}, t), q(\beta_{u_{0}}, t)] $ 上不变号时, $ u^{2}-u^{2}_{x}>0, (u-u_{x})m>0 $, 有:

当 $ a_{1}>0, a_{2}>0, m_{0}>0 $ 时, $ \frac{{\rm d}E(t)}{{\rm d}t}>0 $; 当 $ a_{1}>0, a_{2}<0, m_{0}<0 $ 时, $ \frac{{\rm d}E(t)}{{\rm d}t}<0 $;

当 $ a_{1}<0, a_{2}<0, m_{0}>0 $ 时, $ \frac{{\rm d}E(t)}{{\rm d}t}<0 $; 当 $ a_{1}<0, a_{2}>0, m_{0}<0 $ 时, $ \frac{{\rm d}E(t)}{{\rm d}t}>0 $.

同理有

因此由 (3.15) 式知, 当 $ m(x, t) $ 在 $ [q(\alpha_{u_{0}}, t), q(\beta_{u_{0}}, t)] $ 上不变号时, $ u^{2}-u^{2}_{x}>0, (u+u_{x})m>0 $, 有:

当 $ a_{1}>0, a_{2}>0, m_{0}>0 $ 时, $ \frac{{\rm d}F(t)}{{\rm d}t}<0 $; 当 $ a_{1}>0, a_{2}<0, m_{0}<0 $ 时, $ \frac{{\rm d}F(t)}{{\rm d}t}>0 $;

当 $ a_{1}<0, a_{2}<0, m_{0}>0 $ 时, $ \frac{{\rm d}F(t)}{{\rm d}t}>0 $; 当 $ a_{1}<0, a_{2}>0, m_{0}<0 $ 时, $ \frac{{\rm d}F(t)}{{\rm d}t}<0 $.

定理 3.2 得证.

注3.2 定理 3.2 证明了非平凡解 $ u(x, t) $ 在无穷远处有指数形式衰减的性质, 即解 $ u(x, t) $ 有无穷传播速度.

定理3.3 设 $ s>\frac{5}{2}, u_{0}\in H^{s}, m_{0} \not\equiv 0 $ 在区间 $ [\alpha_{m_{0}}, \beta_{m_{0}}] $ 上有紧支集, $ T>0 $ 是初值问题(1.1) 的解 $ u $ 的最大存在时间 (这是由引理 $ 2.1 $ 保证的), 则端点 $ q(\alpha_{m_{0}}, t) $ 和 $ q(\beta_{m_{0}}, t) $ 的值关于时间变量保持不变, 且有 $ q(\alpha_{m_{0}}, t)=\alpha_{m_{0}} $ 和 $ q(\beta_{m_{0}}, t)=\beta_{m_{0}} $.

证 由 (3.2)和 (3.12), (3.13) 式有

定理得证.

注3.3 定理 3.3 说明 $ m_{0} \not\equiv 0 $ 在区间 $ [\alpha_{u_{0}}, \beta_{u_{0}}] $ 上有紧支集时, 端点不会随特征线移动.

本文研究了一类具有平方和立方非线性项的 mCH-CH 方程初值问题, 该方程是利用双哈密顿对偶方法对 Gardner 方程约化得到的一类重要的可积方程.

首先, 通过构建权函数, 利用能量方法, 结合 Gronwall 不等式和 Hölder 不等式, 获得了该方程具有指数或代数形式衰减初值时强解的持久性.

其次, 证明了方程初始值 $ m_{0}, u_{0} $ 有紧支集时, 解 $ m(x, t) $ 有紧支集, 即解 $ m(x, t) $ 有有限传播速度, 非平凡解 $ u $ 不再具有紧支集, 但在无穷远处有指数形式衰减性质, 具有无穷传播速度, 同时端点不随特征线移动.

研究结果表明: mCH-CH 方程和 CH 方程有类似的持久性, 但无穷远处的传播速度和参数 $ a_{1}, a_{2} $ 符号有关.