本文研究

的收敛问题与色散爆破, 其中 $ \gamma\neq0 $ 且 $ \gamma $, $ \beta $ 是实数. 方程 (1.1) 被称为修正 Kawahara 方程. 修正 Kawahara 方程是为了研究表面具有张力的水波而建立的一种模型^[15]. 国内外一些学者研究了方程 (1.1)-(1.2) 的适定性. 例如: 利用 $ [k;Z]$-乘子范数法, Chen 等^[7]证明了方程 (1.1)-(1.2) 在空间 $ H^{s}(\mathbb{R})(s\geq-\frac{1}{4}) $ 中局部适定. 同时利用傅里叶限制范数法, Jia 和 Huo^[14]独立证明了 (1.1)-(1.2) 在空间 $ H^{s}(\mathbb{R})(s\geq-\frac{1}{4}) $ 中是局部适定的. 使用 $ I $ 方法, Yan 等^[22]证明 (1.1)-(1.2) 在空间 $ H^{s}(\mathbb{R})(s>-\frac{3}{22}) $ 中是整体适定的. 进一步, Yan 和 Li^[21]证明方程 (1.1)-(1.2) 在空间 $ H^{s}(\mathbb{R})(s<-\frac{1}{4}) $ 中是不适定的. 对于非线性方程收敛问题的研究, 美国国家科学院院士 Staffilani 等^[9]研究了一维、二维立方 Schrödinger 方程的逐点收敛, 一致收敛以及初值随机化的一致收敛. 使用傅里叶限制范数法和频率截断技巧, Yan 等^[24]研究了一般 KdV 方程在 Sobolev 空间中的逐点收敛与一致收敛. 利用二进制混合 Lebesgue 空间, Kato 光滑估计, 极大函数估计和不动点定理, Linares 等^[18] 研究了一般 ZK 方程的逐点收敛.

色散爆破最初是由 Benjamin 等^[1]为了描述具有奇点的线性 KdV 方程而提出来的.之后, Bona 等^[3]将方程的解在 $ (\mathbb{R}^d,\mathbb{R})\backslash\{(x^*,t^*)\} $ 上连续, 且 $ \lim\limits_{(x,t)\rightarrow (x^*,t^*)}u(x,t)=\infty $ 的这一现象, 称作色散爆破, 并进一步研究了一般 KdV 方程的色散爆破. 近年来, Bona 和 Saut^[4] 分析了一维线性和非线性 Schrödinger 方程的色散爆破. 之后, Bona 等^[4] 进一步研究了 Schrödinger 方程在 $ n $ 维和其他 Schrödinger 类型方程的色散爆破. 使用一些权重空间和内插定理等, Linares 等^[2] 研究了一般 ZK 方程的色散爆破.

受文献 [5,6,8,9,11,20,25] 启发, 该文主要研究方程(1.1)-(1.2) 的三个问题. 首先, 对几乎处处的 $ x\in\mathbb{R} $, 当初值 $ u_0 $ 属于 $ H^{s}(\mathbb{R})(s\geq 1/4) $, 证明当 $ t\rightarrow 0 $ 时, $ u(x,t)\rightarrow u_0(x) $, 其中 $ u(x,t) $ 是 (1.1)-(1.2) 的解. 其次, 当初值 $ u_0 $ 属于$ H^{s}(\mathbb{R})(s>0) $, 证明当 $ t\rightarrow 0 $ 时, $ u(x,t)\rightarrow U(t)u_0(x) $ (与 $ x $ 无关). 最后, 证明 $ u(x,t) $ 在$ \mathbb{R}\times\left((-\infty,1)\cup(1,+\infty)\right) $ 上关于 $ (x,t) $ 连续, 并在点 $ (0,1) $ 满足 $ \lim\limits_{(x,t)\rightarrow (0,1)}u(x,t)=\infty $, 且 $ u(x,1) $ 在 $ (-\infty,1)\cup(1,+\infty) $ 上关于 $ x $ 连续.

该文的主要结论如下.

定理1.1 (逐点收敛) 假设 $ u_{0}\in $$ H^{s}(\mathbb{R}) $$ (s\geq\frac{1}{4}) $, 且 $ u $ 是方程 (1.1)-(1.2) 的解, 则对几乎处处的 $ x\in\mathbb{R} $, 有

注1.1 有关定理 1.1 的证明, 受文献 [25?] 启发, 该文主要利用高低频分解技巧, 极大函数估计, Strichartz 估计以及傅里叶限制范数法等给出三种不同的证明方法.

法一、利用 Chebyshev 不等式, 经及后文的引理 2.1, 2.3, 3.1, 取 $ T^{\epsilon}\leq\frac{\epsilon_1}{\|u_0\|_{H^{s}}^{12}} $, 可得

由于 $ \epsilon_1 $ 是任意的, 则对几乎处处的 $ x\in\mathbb{R} $, (1.3) 式成立.

法二、将方程 (1.1)-(1.2) 积分形式解的非线性项部分分成

对任意的 $ \epsilon_1>0 $, 存在 $ D\in \mathbb{N}^+ $, 使得

由引理 2.1, 易证对任意的 $ a\in\mathbb{R} $, $ b>\frac{1}{2} $, 有

利用 Sobolev 嵌入 $ X_{a,b}(\mathbb{R}^2)\hookrightarrow C\left([T];H^{a}(\mathbb{R})\right) $, 可得

推出

由 (1.4) 式和 (1.7) 式可知, 对任意的 $ \alpha>0 $, 有

由于 $ \epsilon_1 $ 是任意的, 则对几乎处处的 $ x\in\mathbb{R} $, (1.3) 式成立.

法三、利用引理 2.3 和文献 [10] 相似的证明, 可得

由引理 4.2 可得, 方程 (1.1)-(1.2) 在空间 $ H^{s}(\mathbb{R})(s\geq\frac{1}{4}) $ 中局部适定, 且 $ \left\|u\right\|_{X_{T}}\leq 2C\left\|u_0\right\|_{H^{s}}<\infty $. 则对任意的 $ \alpha>0 $, 利用引理 2.5 和 Cauchy-Schwartz 不等式, 取 $ T\leq\frac{\epsilon^{\frac{1}{2}}}{\left\|u_0\right\|^6_{H^{s}}} $, 有

由于 $ \epsilon $ 任意小, 定理 1.1 得证.

定理1.2 (一致收敛) 假设 $ u_{0}\in $$ H^{s}(\mathbb{R}) $$ (s>0) $, 且 $ u $ 是方程 (1.1)-(1.2) 的解, 则有

定理1.3 (色散爆破) 假设 $ \hat{u}_{0}(\xi)=\frac{{\rm e}^{{\rm i}(\gamma\xi^{5}-\beta\xi^{3})}} {\langle\xi\rangle^{\frac{3}{4}+\epsilon_1}}(\epsilon_1<\frac{1}{4}) $, 且 $ u $ 是方程 (1.1)-(1.2) 的解, 则有

(1) $ u $ 在 $ \mathbb{R}\times\left((-\infty,1)\cup (1,+\infty)\right) $ 上关于 $ (x,t) $ 连续,

(2) $ u(x,1) $ 在 $ (-\infty,0)\cup (0,+\infty) $ 上关于 $ x $ 连续,

(3) $ \lim\limits_{(x,t)\rightarrow (0,1)}u(x,t)=\infty $.

符号说明: 令 $ D\geq 4a \left(a=\max\left\{1,\left(2\left|\frac{3\beta}{5\gamma}\right|\right)^{\frac{1}{2}}\right\}\right) $ ($ a $ 见文献 [14,23]),

引理2.1^[21] 令 $ \epsilon>0 $, $ T\in(0,1) $, $ s\in\mathbb{R} $, $ -\frac{1}{2}<b^{\prime}\leq 0\leq b\leq b^{\prime}+1 $ 且 $ f\in H^{s}(\mathbb{R}),\ g\in X_{s,b^{\prime}}(\mathbb{R}^{2}) $. 则有

引理2.2 令 $ b>\frac{1}{2} $, 则有

证 (2.3) 式和 (2.4) 式参见文献 [22]. 当文献[19,(2.6) 式] 中 $ \alpha=\frac{3}{2} $, $ \theta=\frac{2}{3} $, 得

类似于文献 [14] 的一个标准证明, (2.6) 式意味着 (2.5) 式成立.

引理2.3^[23]

令 $ s\geq\frac{1}{4} $, $ b>\frac{1}{2} $, 则有

引理2.4^[20] 令 supp$\widehat{u}(\xi_1)\subseteq \left\{|\xi_1|\sim N_1\right\} $, supp$\widehat{v}(\xi_2)\subseteq \left\{|\xi_2|\sim N_2\right\} $, supp$\widehat{u}(\xi)\subseteq \left\{|\xi|\sim N\right\} $, 且 $ N_1\gg N_2 $, $ b>\frac{1}{2} $, 则有

引理2.5^[19]令 $ s>\frac{1}{4} $, $ T>0 $, 则对任意的 $ u\in X_{T} $, 有 $ u^2\partial_{x}u\in L^2\left([-T,T];H^{s}(\mathbb{R})\right) $, 且

引理2.6 对任意的 $ f\in L^{2}(\mathbb{R}) $, 有

证 利用三角不等式, 显然

因为 $ \{U(t)\} $ 在 $ L^2(\mathbb{R}) $ 是一个酉群, 且 $ H^{\frac{1}{2}+\epsilon}(\mathbb{R})\hookrightarrow L^{\infty}(\mathbb{R}) $, 利用 Mikowski 不等式和 Hölder 不等式, 有

假设 $ \phi(\xi)=\tau+\beta\xi^3-\gamma\xi^5=0 $ 有 5 个单根 $ a_j\ (j=1,2,3,4,5) $, 利用狄拉克函数的性质: $ \int_{\mathbb{R}}\delta(x-a)f(x){\rm d}x=f(a) $ 与 $ \delta\left(\phi(x)\right)=\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{\delta(x-x_i)}{\left|\phi'(x_i)\right|} $ ($ x_i $ 是 $ \phi(x) $ 的单根), 得

因为 $ |\xi|\geq D $, $ {\rm d}\tau=|5\gamma\xi^4-3\beta\xi^2|{\rm d}\xi\sim |\xi|^4{\rm d}\xi $, 有

由 (2.12) 式, (2.13) 式和 (2.15) 式可得引理 2.6 成立.

引理2.7 对任意的 $ f\in $$ L^{2}(\mathbb{R}) $, 有

证 利用高低频分解技巧, 类似于引理 2.6 的证明, 得证引理 2.7 成立.

引理2.8 对任意的 $ f\in L^{2}(\mathbb{R}) $, 有

证 利用引理 2.7, 类似于文献 [19] 的证明, 当 $ 0\leq\theta\leq1 $ 时, 有

取 (2.18) 式中的 $ \theta=\frac{4}{5} $, 引理 2.8 得证.

引理2.9 对任意的 $ f\in $$ \dot{H}^{\frac{1}{4}}(\mathbb{R}) $, 有

证 利用引理 2.7, 类似于文献 [19] 的证明, 当 $ 0\leq\theta\leq1 $ 时, 有

取 (2.20) 式中的 $ \theta=\frac{4}{5} $, 得证引理 2.9 成立.

引理3.1^[14,22] 令 $ \epsilon>0 $, $ s\geq-\frac{1}{4} $, $ b^{\prime}=-\frac{1}{2}+2\epsilon $,

$ b=\frac{1}{2}+\epsilon $, 则有

引理3.2 令 $ \epsilon >0 $, $ s_{1}=\frac{1}{2}+3\epsilon $, $ b^{\prime}=-\frac{1}{2}+2\epsilon $, $ b=\frac{1}{2}+\epsilon $, 且 $ s_{2}\geq3\epsilon $, 则有

证 要证 (3.2) 式, 利用对偶, 只需证明

记

利用 Plancherel 恒等式, 只需证

对 $ F_j\ (j=1,2,3)$ 和 $ G $ 进行二进制分解, 满足 supp$\mathscr{F}_{x}u_j\subseteq \{|\xi_j|\sim N_j\} $ 和 supp$\mathscr{F}_{x}h\subseteq \{|\xi|\sim N\} $. 不失一般性, 假设 $ N_{3}\leq N_{2}\leq N_{1} $. 记 $ \sum=\sum\limits_{N_1,N_2,N_3,N} $.

(1) 当 $ N_{1}\leq4a $ 时, 既然 $ s_1=\frac{1}{2}+3\epsilon $, $ s_2\geq 3\epsilon $, 利用 Hölder 不等式和引理 2.2, 可得

(2) 当 $ N_{1}\gg N_{2} $, $ N_{1}\geq 4a\geq N_{2} $ 时, 既然 $ s_1=\frac{1}{2}+3\epsilon $, $ s_2\geq 3\epsilon $, 利用 Hölder 不等式, 引理 2.2, 2.4, 可得

(3) 当 $ N_{1}\gg N_{2}\geq 4a $ 时, 既然 $ s_1=\frac{1}{2}+3\epsilon $, $ s_2\geq 3\epsilon $,

利用 Hölder 不等式, 引理 2.2, 2.4, 可得

(4) 当 $ N_{1}\sim N_{2}\gg N_3 $, $ N_{1}\geq4a $, $ N_{3}\leq4a $ 时, 既然 $ s_1=\frac{1}{2}+3\epsilon $, $ s_2\geq 3\epsilon $, 利用 Hölder 不等式, 引理 2.2, 2.4, 可得

(5) 当 $ N_{1}\sim N_{2}\gg N_3\geq4a $ 时, 既然 $ s_1=\frac{1}{2}+3\epsilon $, $ s_2\geq 3\epsilon $, 利用 Hölder 不等式, 引理 2.2, 2.4, 可得

(6) 当 $ N_{1}\sim N_{2}\sim N_3 $, $ N_{1}\geq4a $ 时, 既然 $ s_1=\frac{1}{2}+3\epsilon $, $ s_2\geq 3\epsilon $, 利用 Plancherel 恒等式, Hölder 不等式和引理 2.2, 可得

引理 3.2 证毕.

注3.1 引理 3.2 是证明定理 1.2 一致收敛的一个关键引理.

引理4.1 假设 $ u_{0}\in $$ H^{s}(\mathbb{R}) $$ (s\geq\frac{1}{4}) $, 则对几乎处处的 $ x\in\mathbb{R} $, 有

证 在 $ H^{s}(\mathbb{R}) $ 中应用稠密性定理, 则对任意的 $ \varepsilon > 0 $, 有 $ u_0=f+g $, 且 $ f\in \mathcal{S}(\mathbb{R}),\ \|g\|_{H^{s}}<\varepsilon $. 利用三角不等式, 可得

因为

可得

利用极限存在的充要条件, 有

则对任意的 $ \alpha>0 $, 利用 (4.3) 式和 (4.4) 式, Chebyshev 不等式, Sobolev 嵌入 $ H^{\frac{1}{4}}(\mathbb{R})\hookrightarrow L^{4}(\mathbb{R}) $ 以及引理 2.3, 可得

因为 $ \epsilon $ 是任意的, 可得

引理 4.1 得证.

注4.1 引理 4.1 的证明主要受文献 [6,9,11] 的启发.

引理4.2 假设 $ u_{0}\in $$ H^{s}(\mathbb{R}) $$ (s\geq\frac{1}{4}) $, 则方程 (1.1)-(1.2) 存在唯一解 $ u $, $ u\in X_{T} $ 且满足

证 文献 [19] 中引理 2.4, 定理 2.5, 推论 2.7, 2.9 的证明是在条件 $ \gamma\beta<0 $ 的前提下得到的. 本文舍去条件 $ \gamma\beta<0 $, 证明了与其对应的引理 2.6-2.9. 记

定义空间 $ X_{T}=\left\{u\in C\left([-T,T];H^{s}(R)\right),\ \ \max\limits_{1\leq j\leq8}\lambda_j^{T}(u)<\infty\right\}. $ 利用引理 2.6-2.9, 在 $ X_{T,b}=\left\{u\in X_{T}, \ \ \left\|u\right\|_{X_{T}}<2C\left\|u_0\right\|_{H^{s}}<\infty\right\} $ 上采用和文献 [19] 中相似的证明, 利用压缩不动点定理, 得证方程 (4.6)-(4.10) 存在唯一解 $ u $, 且 (4.6)-(4.10) 式成立.

注4.2$ X_{T} $ 的定义见文献 [19]. 引理 4.2 利用高低频分解技巧改进了文献 [19,定理 1.1] 的结果, 舍去了限制条件 $ \gamma\beta<0 $.

定理1.1 的证明 法一、利用 Duhamel's 公式, 可得

要证明定理 1.1, 利用引理 4.1, 只需证明

即证, 对任意的 $ \alpha>0 $,

利用 Chebyshev 不等式和引理 2.1, 2.3, 3.1, 取 $ T^{\epsilon}\leq\frac{\epsilon_1}{\|u_0\|_{H^{s}}^{12}} $, 可得

由于 $ \epsilon_1 $ 任意小, 则 (4.12) 式成立, 定理1.1 得证.

法二、 由适定性可知 $ \eta\left(\frac{t}{T}\right)\int_0^tU(t-t^{\prime})\partial_x(u^3)(x,t^{\prime}){\rm d}t^{\prime}\in X_{s,b} $, 则对任意的 $ \epsilon_1>0 $, 存在 $ D\in \mathbb{N}^+ $, 有

由引理 2.1, 易证对任意的 $ a\in\mathbb{R} $, $ b>\frac{1}{2} $, 有

利用 Sobolev 嵌入 $ X_{a,b}(\mathbb{R}^2)\hookrightarrow C\left([T];H^{a}(\mathbb{R})\right) $, 可得

推出

对任意的 $ \alpha>0 $, 由 (4.13) 式和 (4.16) 式可得

由于 $ \epsilon_1 $ 任意小, 定理1.1得证.

法三、利用引理 2.3 和文献 [10] 相似的证明, 可得

由引理 4.2 可得, 方程 (1.1)-(1.2) 在空间 $ H^{s}(\mathbb{R})(s\geq\frac{1}{4}) $ 中局部适定, 且 $ \left\|u\right\|_{X_{T}}\leq 2C\left\|u_0\right\|_{H^{s}}<\infty $. 则对任意的 $ \alpha>0 $, 利用引理 2.5 和 Cauchy-Schwartz 不等式, 取 $ T\leq\frac{\epsilon^{\frac{1}{2}}}{\left\|u_0\right\|^6_{H^{s}}} $, 有

注4.3 受文献 [9,18,25] 启发, 定理 1.1 主要利用傅里叶限制范数法, 高低频分解技巧, Strichartz 估计等三种不同的方法证明.

定理 1.2 的证明 令 $ s_{1}=\frac{1}{2}+3\epsilon $, $ b=\frac{1}{2}+\epsilon $, $ b^{\prime}=-\frac{1}{2}+2\epsilon $, $ s_{2}\geq3\epsilon $, 利用引理 2.1, 3.2, 有

由 Sobolev 嵌入 $ H^{\frac{1}{2}+\epsilon}(\mathbb{R})\hookrightarrow C(\mathbb{R}) $, 可得 $ u-\eta(t)U(t)u_{0}\in X_{s_{1},\>b}\hookrightarrow C_{t}([-T,T];H^{s_{1}}(\mathbb{R}))\hookrightarrow C([-T,T];C(\mathbb{R})) $. 因此, 有

定理 1.2 得证.

受文献 [8] 启发, 下面给出定理 1.3 的证明.

证 方程(1.1)-(1.2) 积分形式的解为

取 $ u_0 $ 满足 $ \hat{u}_{0}(\xi)=\frac{{\rm e}^{{\rm i}(\gamma\xi^5-\beta\xi^3)}}{\langle\xi\rangle^{\frac{3}{4}+\epsilon_1}} (\epsilon_1<\frac{1}{4}) $, 显然 $ u_0 \in H^{s}(\mathbb{R}) $$ (s<\frac{1}{4}+\epsilon_1) $, 且

其中 $ K_{\frac{1}{8}-\frac{\epsilon_1}{2}} $ 的具体形式参见文献 [12,16].. 利用文献 [13,命题 6.1.5] 的结论, 可得: 若$ \epsilon_1<\frac{1}{4} $, 当 $ x\rightarrow 0 $ 时, 有 $ v(x,1)\rightarrow +\infty $, 且 $ v(x,1) $ 在 $ (-\infty,0)\cup(0,+\infty) $ 连续.

当 $ t\neq1 $ 时, 有

要证 $ v(x,t) $ 在 $ \mathbb{R}\times\left((-\infty,1)\cup(1,+\infty)\right) $ 上关于 $ (x,t) $ 连续, 只需证明 $ F(x,t) $ 和 $ G(x,t) $ 在 $ \mathbb{R}\times\left((-\infty,1)\cup(1,+\infty)\right) $ 上关于 $ (x,t) $ 连续.

对任意的 $ \varepsilon >0 $, 存在 $ \delta =\min\left( {\frac{\varepsilon}{8a},\frac{\varepsilon}{8a(|\gamma|+|\beta|)}}\right)>0 $, 当 $ |x-x_0|^2+|t-t_0|^2<\delta^2 $ 时, 有

因此, 利用三角不等式, 可得 $ F(x,t) $ 在 $ \mathbb{R}\times\left((-\infty,1)\cup(1,+\infty)\right) $ 连续.

记

利用分部积分, 可得

显然, $ G_{11} $ 在 $ \mathbb{R}\times\left((-\infty,1)\cup(1,+\infty)\right) $ 是连续的. 又因为

满足

对任意的 $ \varepsilon>0 $, 存在 $ M>100 $, 使得 $ \frac{1}{4M^4}<\varepsilon $, 有

所以 $ G_{12} $ 在 $ \mathbb{R}\times\left((-\infty,1)\cup(1,+\infty)\right) $ 上关于 $ (x,t) $ 连续. 同理可得 $ G_{13} $ 和 $ G_{2} $ 关于 $ (x,t) $ 在 $ \mathbb{R}\times\left((-\infty,1)\cup(1,+\infty)\right) $ 上连续. 得证 $ G(x,t) $ 在$ \mathbb{R}\times\left((-\infty,1)\cup(1,+\infty)\right) $ 上连续.

对于方程 (1.1)-(1.2) 积分形式解的非线性项, 定理 1.2 已经证明一致收敛, 因此得证方程 (1.1)-(1.2) 的解 $ u(x,t) $ 在点 $ (0,1) $ 色散爆破.

定理 1.3 证毕.