本文研究全纯系数形式幂级数的收敛集. 收敛集的研究起源于 Hartogs 定理的推广 (参见文献 [1,7,8,10,11]). 我们的研究受该方向近年来一系列工作启发^[3,4,9]. 在这些文献中, 形式幂级数 $F(z,t)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} P_n(z)t^n$ 的系数是一个或多个复变量的多项式, 而且作者们的工作主要聚焦于 $P_n(z)$ 是次数不超过 $n$ 的齐次多项式的情形. 对 $\mathbb{C} ^N$ 中的子集 $E$, 如果对每一个 $z\in E$ 都存在某个 $r_z>0$ 使得 $F(z,t)$ 作为 $t$ 幂级数对 $|t|<r_z$ 收敛, 同时, 对于 $z\in \mathbb{C} ^N\setminus E$, $F(z,t)$ 作为 $t$ 的幂级数发散, 则称 $E$ 是形式幂级数 $F$ 的收敛集.

特别要注意的是, 文献中总是假设形式幂级数的系数 $\deg P_n$ 不超过 $n$. 但是, 在一些算子理论和量子场论中的重正化理论中^[6], 一些问题涉及到下列形式幂级数

这里 $K_n(T)$ 属于由某些算子 $T$ 生成的 $C^\ast$ 代数. 为了处理 $F(T,t)$ 的谱分析或者扰动理论, 我们需要讨论 $F(z,t)$ 的收敛集. $K_n(z)$ 是 $T$ 的谱 $K$ (这是一个紧集) 的某个领域上的全纯函数. 当然, $K_n(z)$ 不一定是多项式, 更不会只是次数不超过 $n$ 的多项式. 因此, 我们需要知道什么样的 $E$ 是 $F(z,t)=\sum\limits_{n=0}^\infty f_n(z)t^n$ 这样的形式幂级数的收敛集.

这篇文章先简单讨论一般情形, 随后对 $N=1$ 的情形详细讨论.

令 $\Omega$ 为 $\mathbb{C} ^N$ 中的一个开集. 记 $\mathscr O(\Omega)$ 为 $\Omega$ 上的全纯函数集合.

我们考虑如下形式幂级数

这里 $f_n(z)\in\mathscr{O}(\Omega)$, 而 $t$ 是一个复变量. 记 $\mathscr{O}(\Omega)[[t]]$ 为包含所有形如 (2.1) 式的幂级数的集合.

定义2.1 令 $f(z,t)\in\mathscr{O}(\Omega)[[t]]$. 定义 $f$ 在 $\Omega$ 中的收敛集为

或等价地,

定义2.2 我们说 $E\subset\Omega$ 是 $\Omega$ 中的一个收集子集, 如果存在 $f\in\mathscr{O}(\Omega)[[t]]$ 使得 $E=\text{Conv}_{\Omega}(f)$. 当 $\Omega=\mathbb{C} ^N$ 时, 我们也仅仅简称其为收敛集.

命题2.1 设 $K$ 是 $\mathbb{C} ^N$ 中的一个多项式凸集, 则 $K$ 是收敛集.

证 令 $m$ 为任一正整数且 $y\in \mathbb{C} ^N \setminus K$. 既然 $K$ 是多项式凸的, 那么存在一个多项式 $P_y(z)$ 使得 $|P_y(y)|>m$ 而对每一个 $z\in K$, 有 $|P_y(z)| \leq 1$.

令 $U_{y}=\{x\in\mathbb{C} ^N:|P_{y}(x)|> m\}.$$\mathbb{C} ^N\setminus K$ 的开覆盖 $U_{y}, y\in\mathbb{C} ^N\setminus K$, 有一个可数子覆盖 $U_{y_{k}}, k=1,2,\cdots$. 现在记 $P_{mk}(z)=P_{y_{k}}(z)$. 对每个给定的 $m$, 我们得到一列 $\{P_{mk}\}_{k=1}^\infty.$ 既然 $\{P_{mk}\}$ 是可数的, 我们把它们重新编排为序列 $\{h_j(z)\}_{j=1}^ \infty$. 定义形式幂级数如下

当 $z\in K$ 时, 对每个 $j$, $|h_j(z)|\le 1$. 因此 $z\in \text{Conv}_{\mathbb{C} ^N}(f)$. 从而 $K\subset\text{Conv}_{\mathbb{C} ^N}(f)$.

当 $z\in \mathbb{C} ^N\setminus K$ 时, 对每个 $m\in \mathbb{N}$, 存在 $k\in \mathbb{N}$ 使得 $|P_{mk}(z)|\ge m$. 因而, 函数列 $\{|h_\ell(z)|\}$ 是无界的, 即形式幂级数 $f(z,t)$ 是 $t$ 的发散幂级数. 因此 $\mathbb{C} ^N\setminus K\subset\mathbb{C} ^N\setminus\text{Conv}_{\mathbb{C} ^N}(f)$, 即 $\text{Conv}_{\mathbb{C} ^N}(f)\subset K$. 证毕.

下面命题给出了收敛集的一个必要条件.

命题2.2 设 $E$ 是 $\Omega\subset \mathbb{C} ^N$ 的收敛子集, 那么 $E$ 是 $F_\sigma$ 集.

证 设 $E=\text{Conv}_{\Omega}(f)$, 这里

对 $j\in\mathbb{N}$, 记 $K_j=\{z\in\Omega:\ \hbox{dist}\{z,\partial \Omega\}\ge \frac 1j\ \hbox{和}\ |z|<j\}$. 那么 $\Omega=\bigcup\limits_{j=1}^\infty K_j$ 且每一个 $K_j$ 被包含在 $K_{j+1}$ 的内部. 我们现在证明

对 $z\in E$, 存在正整数 $L$ 使得 $z\in K_L$. 由收敛集的定义, 存在正整数 $J$ 使得

令 $m=\max\{L,J\}$. 那么 $z\in \bigcap\limits_{n=0}^\infty \{z\in K_m: |f_n(z)|\leq m^n\}$. 另一方面, 我们设 $z\in \bigcup\limits_{j=1}^{\infty}\bigcup\limits_{l=1}^{\infty} \{z\in K_j: \;|f_n(z)|\leq j^n\}$. 则存在一个正整数 $j$ 使得 $z\in \bigcap\limits_{n=0}^\infty \{z\in K_l: \;|f_n(z)|\leq j^n\}$. 因此 $|f_n(z)|\leq j^n$ 对所有正整数 $n$ 成立, 即 $z\in E$.

注意到 $\bigcap\limits_{n=0}^\infty \{z\in K_j: \;|f_n(z)|\leq j^n\}$ 都是闭集. 由 (2.2) 式, $E$ 是一个 $F_\sigma$ 集. 证毕.

命题2.2 的逆是不成立的. 我们将在下一节给出一个反例.

现在我们讨论多个收敛集的交.

命题2.3 设 $E_1,\cdots, E_k$ 是 $\Omega$ 中的收敛集. 那么它们的交 $E:=\bigcap\limits_{j=1}^k E_j$ 也是 $\Omega$ 的收敛集.

证 显然只需要证明两个 $\Omega$ 的收敛集的交也是 $\Omega$ 上收敛的即可.

设我们有如下两个形式幂级数

和

以及相对应的收敛集 $A=\hbox{Conv}_{\Omega}(f)$ 和 $B=\hbox{Conv}_{\Omega}(g)$. 定义新的形式幂级数如下

则

设 $z\in A\cap B$, 则对每一个 $n\in \mathbb{N}$ 都存在 $r_A,r_B>0$, 使得 $|f_n(z)|<r_A^n$ 且 $|g_n(z)|<r_B^n$. 那么 $|F_n(z)|<((\max\{r_A,r_B\})^{\frac12})^n$. 因此 $A\cap B\subset \text{Conv}_{\Omega}(F)$.

在另一方面, 对 $z\in \text{Conv}_{\Omega}(F)$, 设 $|F_n(z)|<r^n$. 那么 $|f_n(z)|$ 和 $|g_n(z)|$ 都小于 $(r^2)^n$, 即, $\text{Conv}_{\Omega}(F)\subset A\cap B.$ 证毕.

接下来本文仅考虑 $N=1$ 情形.

先讨论一些复平面上收敛集的性质. 给定任何可数集 $E\subset\mathbb{C}$. 在下面定理中构造一个 $\mathbb{C}$ 的收敛集, 它恰好就是 $E$. 为了证明方便, 记

,这里 $S\subset \mathbb{C}$ 且 $r>0$.

定理2.1 令 $S=\{z_1,z_2,\cdots \}$ 是 $\mathbb{C}$ 中的一个可数点列.定义形式幂级数 $F\in\mathbb{C} [z][[t]]$ 如下

这里 $C_{n}={(n/\gamma_{n}})^n$, 而

那么 $\text{Conv}_\mathbb{C} (F)=S$.

证 不妨设点列 $z_i$ 是两两不同的, 则有 $\gamma_n$ 是大于 $0$ 的. 设 $L_j=\{z_1,\cdots,z_j\}$, $j\in\mathbb{N}$. 现在证明

只需证明 $\bigcap\limits_{j=k}^\infty N_{{\gamma_{j}}}(L_j) \subset L_k$, 而它可以由下式给出

对 $j$ 用归纳法证明 (2.5) 式. (2.5) 式对 $j=k$ 是显然成立的. 假设 (2.5) 式对于 $j=N\geq k$ 是成立的. 令 $z\in \bigcap\limits_{s=k}^\infty N_{{\gamma_{s}}}(L_s).$ 对 $i\not=j$, $1\le i,j\le N+1$, 既然 $|z_j-z_i|\geq 2\gamma_N$, 我们得到 $N_{\gamma_N}(z_i)\cap N_{\gamma_N}(z_j)=\emptyset$. 这给出

由归纳假设有 $z\in N_{\gamma_N}(L_k)$, 并且由 (2.6) 式有 $z\notin \bigcup\limits_{\ell=k+1}^{N+1} N_{\gamma_{N}}(z_{\ell})$. 由 $\gamma_{N+1}\leq \gamma_{N}$ 得到 $\bigcup\limits_{\ell=k+1}^{N+1} N_{\gamma_{N+1}}(z_{\ell})\subset \bigcup\limits_{\ell=k+1}^{N+1} N_{\gamma_{N}}(z_{\ell})$, 因此

在另一方面, 我们知道

由 (2.7) 和 (2.8) 式, $z\in N_{\gamma_{N+1}}(L_k)$. 这完成了归纳步骤, 因而 (2.5) 式是成立的.

现在令 $P_0(z)=1$. 对 $n\geq1$, 设

以及形式幂级数

注意到当 $n\geq k$ 时, $P_n(z_k)=0$. 因此, 我们有 $S\subset\text{Conv}_\mathbb{C} (F)$.

现在假设 $z\not\in S$. 由 (2.4) 式, 对每一个 $k$, 有 $z\notin\bigcap\limits_{j=k}^\infty U_j$. 存在一个严格递增的正整数列 $j_k$ 使得 $z\notin U_{j_k}$, $\forall k=1,2,\cdots$. 因此

(上式成立是因为 $\gamma_i\geq \gamma_{j_k}$$\forall$$i \leq j_k$). 这就给出 $z\notin \text{Conv}_\mathbb{C} (f)$, 因此, $S=\text{Conv}_\mathbb{C} (f).$

例2.1 由定理2.1, 有理数集 $\mathbb Q$ 是 $\mathbb{C}$ 中收敛集. 但是既然 $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ 不是 $F_{\sigma}$ 集, 由命题2.2, 无理数集不是收敛集.

下面定理指出对有限点集, 可以构造一个指定稠密点的系数函数的形式幂级数来生成它.

定理2.2 令 $\Omega \subset \mathbb{C}$. 设 $S$ 是 $\Omega$ 的一个可数稠密子集且 $\{C_{n}\}$ 是一列正数. 又设 $A=\{a_1,a_2,\cdots,a_k\}$ 是 $\Omega$ 中的有限个点. 则存在 $S$ 的一个排列 $\{z_1, z_2, \cdots \}$ 使得 $A\subset \text{Conv}_{\Omega}(F)$, 其中 $F$ 定义如下

证 设 $A$ 的半径是 $d$. 又设 $S=\{s_1,s_2,\cdots \}$. 从 $S$ 中选择不同的 $z_1,z_2,\cdots,$ 使得下面两个条件成立

(1) $|z_{l(k+1)+i}-a_i|<d,$$C_{l(k+1)+i+p}|z_{l(k+1)+i}-a_i|<\frac d{(l+2)!},\ \forall$$l=0,1,2,\cdots,$$i=1,2,\cdots,k,$$p=0,1,\cdots,k$;

(2) $\forall\ l=1,2,\cdots,\ z_{l(k+1)}=s_{\tau(l)}$, 这里 $\tau(l)=\min\{p\in\mathbb{N} :|s_p-a_i|<ld,s_p\in S\setminus \{z_1,\cdots,z_{l(k+1)-1}\}\}.$

现在只需要验证

取定 $n\geq k+1$ 和 $1\leq i\leq k$. 选择 $l\geq 0$ 和 $0\leq p\leq k$ 使得 $n=l(k+1)+i+p$.

既然

以及

我们有

在 (2.12) 式中, 因子 $(l+2)!$ 来自于 $(a_i-z_{\alpha(k+1)})$, $\forall \alpha=0,1,\cdots,l+1.$ 由 (2.12) 式得到对每一个 $z=a_i\in A$ 形式幂级数 $F(z,t)$ 作为 $t$ 的幂级数收敛半径都大于 $>1/(2d)$. 这就完成了证明.

定义3.1 设 $E$ 是 $\Omega$ 的一个紧子集. $E$ 在 $\Omega$ 中的全纯凸包定义为

如果 $E=\hat{E}_\Omega$ 我们说 $E$ 在 $\Omega$ 中是全纯凸的.

命题3.1^{[5,定理1.3.4]}$\Omega\subset \mathbb{C}$ 的一个紧子集 $E$ 在 $\Omega$ 中是全纯凸的当且仅当 $\Omega$ 不包含 $\mathbb{C} \setminus E$ 的有界连通分支.

由命题3.1, 易知下面命题:

命题3.2 令 $E$ 的 $\Omega$ 的紧子集. 那么 $\hat{E}_\Omega=E\cup (\bigcup\limits_\alpha C_\alpha)$, 其中 $\{C_\alpha\}$ 是 $\mathbb{C} \setminus E$ 的包含在 $\Omega$ 中的有界连通分支.

我们还需要下列引理.

引理3.1 令 $K$ 为 $\Omega\subset \mathbb{C}$ 中的全纯凸紧子集, 则 $\mathbb{C} \setminus K$ 只有有限个连通分支.

证 假设 $\mathbb{C} \setminus K$ 有无穷多个分支. 既然 $\mathbb{C} \setminus K$ 是开集, 记这些可数个分支为 $C_i,i=1,2,\cdots$. 又记 $d=\max_{w\in K}|w|$. 显然 $\{z\in \mathbb{C} : |z|>d\}$ 一定是 $\mathbb{C} \setminus K$ 的无界分支. 因此 $C_i\cap\{z\in \mathbb{C} : |z|>d\}=\emptyset,\forall i\in 1,2,\cdots$. 我们得到 $U=\bigcup\limits_{i=1}^\infty C_i\subset\{z\in \mathbb{C} :|z|\leq d\}$, 即 $U$ 是有界的.

由命题3.1, 对任意 $j\in \mathbb{N}$, $C_j$ 不能被包含在 $\Omega$ 中. 这样可以选择 $w_j\in C_j\setminus \Omega$. 设 $w$ 是有界集 $\{w_j\}_{j=1}^\infty$ 的一个极限点. 在没有混淆的情况下可以假设当 $j\rightarrow\infty$ 时 $w_j\rightarrow w$. 记

为 $C_j$ 的内部半径.

由上面的讨论有 $\sum\limits^\infty_{j=1}{ \frac14}\pi d_j^2\leq \text{area}(U)\leq \pi d^2$. 因此当 $j\rightarrow\infty$ 时, $d_j$ 趋于 $0$. 既然 $D(w_j,r)\subset C_j$, $\forall\ r<\text{dist}(w_j,K)=\text{dist}(w_j,\partial C_j)$, 由 (3.1) 式, 有

因此

这是不可能的, 因为 $\Omega$ 是开集而 $w$ 是 $\Omega$ 外部点集的极限点.

因此 $\mathbb{C} \setminus K$ 只能有有限个有界分支. 证毕.

定义3.2 设 $K$ 是 $\Omega\subset \mathbb{C}$ 的一个子集. 如果 $K$ 是 $\Omega$ 中可数个全纯凸紧子集的并, 就说 $K$ 是 $\Omega$ 中的$\sigma$ 全纯凸集. 进一步, 我们说 $K$ 是 $\sigma$ 凸集, 如果它是可数个多项式凸紧集的并.

引理3.2 每一个 $\Omega$ 上的全纯凸紧子集 $K$ 都是一个 $\sigma$-凸集.

证 由引理 3.1, $\mathbb{C} \setminus K$ 仅有有限个连通分支. 先假设它仅有一个连通分支 $C$. 取 $a\in C$ 和 $0<r<R$ 使得 $K\subset\mathfrak{R}_{rR}=\{z\in\mathbb{C} :r<|z-a|<R\}$. 对 $1<j\in\mathbb{N}$, 取

和 $K_j=K\cap E_j$, 则 $K=\bigcup\limits_{j=2}^\infty K_j$. 仅需要证明对任意 $j>1$, $K_j$ 是多项式凸集.

给定 $j\in \mathbb{N}$, 取 $w\notin K_j$. 如果 $w$ 不在 $K$ 中, 那它一定在 $C$ 中或 $\mathbb{C} \setminus K$ 的无界分支中. 在这两种情况下, $w$ 和 $\infty$ 都可以用一条与 $K_j$ 不相交的道路相连. 如果 $w$ 不在单连通集 $E_j$ 中, 则它在 $\mathbb{C} \subset E$ 中仍然可以道路连通到 $\infty$. 因此, $\mathbb{C} \setminus K_j$ 没有有界分支. 由命题 3.1 和定义 3.1, $K_j$ 是多项式凸集.

对于 $K$ 是多连通的情形, 把扇形组 $E_j$ 用弯曲扇形组代替, 使得每一个都把 $K$ 截成多项式凸的, 从而上面的论证仍然是成立的.

下面这个命题是显然的.

命题3.3 令 $\{K_j\}_{j=1}^\infty$ 是 $\Omega$ 中的一列 $\sigma$ 全纯凸 集, 则 $\bigcup\limits_{j=1}^\infty K_j$ 也是 $\sigma$ 全纯凸的.

由引理 3.2 和上面的命题 3.3, 我们得到下面的推论.

推论3.1 令 $E$ 是 $\Omega$ 中的一个 $\sigma$ 合纯凸集. 则它也是 $\sigma$ 凸集.

由推论 3.1, 我们在下文中只需要证明 $\sigma$ 凸集都是 $\sigma$ 合纯凸集.

这里给出两个较为简单的 $\sigma$ 凸集的例子. 设 $\Delta(a,r)=\{z\in\mathbb{C} :|z-a|<r\}$.

例3.1 复平面上的每个开子集是 $\sigma$ 凸集. 如果 $E\subset \mathbb{C}$ 是开集, 那么

这里 $\{w_j\}^\infty_1$ 是 $E$ 的稠密可数子集且 $\frac {r_{w_j}}2=\text{dist}(w_j,\partial E)$.

例3.2 单位圆圈 $\Gamma$ 是 $\sigma$ 凸集. 这是因为 $\Gamma=\bigcup_{j=1}^{\infty}\left\{\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}: 0 \leq \theta \leq\left(1-\frac{1}{j}\right) 2 \pi\right\}.$

下面是一个反例.

例3.3 (Sierpinski 三角) 令 $T$ 以 $A,B,C$ 为顶点且边长为 $1$ 的等边三角. 设 $D,E,F$ 分别是三条边 $AB,BC,AC$ 上的中点. 记 $D,E,F$ 两两连线把 $T$ 分成的 4 个小等边三角形为

其中 $T_{4}$ 是唯一的倒三角形. 不再考虑 $T_4$. 对 $i_1=1,2$ 或 $3$, 重复上面的操作, 仍然可以构造 $T_{i_1}=T_{i_11}\cup T_{i_12}\cup T_{i_12}\cup T_{i_13}\cup T_{i_14}$. 持续这个过程, 对每个 $T_{i_1\cdots i_k}$ ($i_l=1,2$ 或 $3$, $1\leq l\leq k$), 都有分解: $T_{i_1\cdots i_k}=T_{i_1\cdots i_k1}\cup T_{i_1\cdots i_k2}\cup T_{i_1\cdots i_k3}\cup T_{i_1\cdots i_k4}$, 其中 $T_{i_1\cdots i_k4}$ 是下一步不再考虑的倒三角形. 显然 $T_{i_1\cdots i_k}$ 的边长是 $\frac1{2^{k-1}}$.

Sierpinski 三角 $S$ 定义为

这里 $T^o_{i_1\cdots i_k4}$ 表示 $T_{i_1\cdots i_k4}$ 的内部.

设 $S$ 被包含在开集 $\Omega\subset\mathbb{C}$ 中. Sierpinski 三角不会是 $\Omega$ 上的 $\sigma$ 凸子集. 否则, 假设在 $\Omega$ 中存在一列全纯凸紧子集 $K_j,\ j=1,2,\cdots$, 使得 $S=\bigcup\limits_{j=1}^\infty K_j$. 但是, 作为完备度量空间 $\Omega$ 的的闭子集, Sierpinski 三角本身是完备度量空间. 从而它是第二纲集. 由 Bair 纲定理, 至少存在一个 $K_j$ 包含 $S$ 的一全非空的诱导开子集 $V$. 因此, 存在 $\Omega$ 的一个开子集 $U$ 使得 $V=U\cap S \subset K_j$. 取 $v\in V\subset U$. 对每一个满足 $2^{-k}<\text{dist}(v,\partial U)$ 的 $k\in \mathbb{N}$, 由 (3.3) 式, $v$ 属于某个 $T_{i_1\cdots i_k}$. 那么 $T_{i_1\cdots i_k}\subset U$. 因此 $T_{i_1\cdots i_k4}$ 也在 $U$ 中. 既然 $\partial T_{i_1\cdots i_k4}\subset S$, 我们有 $\partial T_{i_1\cdots i_k4}\subset V\subset K_j$. 故 $T^o_{i_1\cdots i_k4}$ 是 $K_j$ 的余集中的一个有界连通分支, 这和引理 3.1 相矛盾.

命题3.4 设 $K_1$, $K_2$ 是 $\mathbb{C}$ 中两个互不相交的紧子集, 则 $(K_1\cup K_2) ^\wedge= \widehat{K}_1\cup \widehat{K}_2$.

证 只需要验证 $(K_1\cup K_2) ^\wedge\subset \widehat{K}_1\cup \widehat{K}_2$. 令 $U$ 的 $\mathbb{C} \setminus ( K_1\cup K_2)$ 的一个连通分支. 记 $Q=\partial\widehat{\overline{U}}$. 那么

既然 $Q$ 是连通的, 上式给出 $Q\subset K_1$ 或 $K_2$. 因此 $U\subset\widehat{Q}\subset \widehat{K}_1\cup \widehat{K}_2$. 这就验证了 $(K_1\cup K_2) ^\wedge\subset \widehat{K}_1\cup \widehat{K}_2$. 证毕.

定理3.1b 设 $E$ 是一个 $\sigma$ 凸集. 则存在紧多项式凸集 $E_n,\;n=1,2,\cdots$, 使得 $E_{n}\subset E_{n+1}$, $\forall$$n\geq 1$ 且 $E= \bigcup\limits_{n=1}^\infty E_n$.

证 由 $\sigma$ 凸集的定义, $E$ 可以写成下列形式

这里 $K_j$ 是紧多项式凸集. 对 $r>0$, 记 $N_r(A)$ 为 $A$ 的 $r$ 邻域. 对一个正整数 $n$, 取

并且归纳地定义

又记

由命题 3.4 得到

即集合 $E_n$ 是 $\bigcup\limits_{j=1}^{n} L_{nj}$ 的多项式凸包. 既然 $\forall$$n\in\mathbb{N}$ 和 $1\leq j\leq n$, $L_{nj}\subset L_{(n+1)j}$, 我们有 $E_n\subset E_{n+1}$.

现在证明

取 $z\in E$. 假定 $j$ 是使得 $z\in K_j$ 的最小整数, 即 $z$ 在 $K_j$ 中但不在 $K_i,\ i< j,$ 中. 那么对 $n>{1}/{\mathrm{dist}(z,\bigcup\limits_{i=1}^{j-1}K_i)}$, 有 $z\in K_j\setminus N_{\frac1n}(\bigcup\limits_{i=1}^{j-1}K_i)=L_{nj}$. 因此 $E\subset\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}E_n$. 另一方面, 设 $z\in \bigcup\limits_{n=1}^{\infty}E_n$. 那么存在 $n$ 使得 $z\in E_n=\bigcup\limits_{j=1}^{n}{F_{nj}}\subset \bigcup\limits_{j=1}^{n}\widehat{K_j}=\bigcup\limits_{j=1}^{n}K_j\subset E$. 因而 $E=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} E_n$.

用 $d(E,F)$ 记 $E$ 和 $F$ 的欧氏距离.

引理3.3 设 $E, \{E_n\}$ 如定理 3.1 中所给出. 令 $U_n= N_{\frac{1}{3n}} (E_n)$. 则对每个正整数 $m$, 有

证 否则, 设存在一个 $m>0$ 和 $z\in\mathbb{C}$ 使得

首先证明

对 $n$ 用归纳法证明 (3.10) 式. 对 $n=m$, 由 $E_n=\bigcup\limits_{j=1}^nF_{nj}$ 和 (3.9), (3.10) 式显然是成立的. 如果存在一个整数 $N$ 使得 (3.10) 式对 $n=N-1$ 成立但当 $n=N$ 时不成立. 那么取

取 $z\in R$. 则存在 $i$, $k$ 使得 $1\leq i\leq m<k\leq N$ 和 $z\in F_{Ni}\cap F_{Nk}\subset K_i\cap F_{Nk}$. 因此, $z$ 不在 $L_{Nk}$ 中. 既然 $z\in F_{Nk}=\widehat{L_{Nk}}$, 我们得到 $z$ 属于 $L_{Nk}$ 的余集中的一个有界连通分支. 但是 $N_{\frac1N}(z)\subset N_{\frac1N}(K_i)$ 包含在 $L_{Nk}$ 的余集中. 因此 $N_{\frac1N}(z)$ 是有界分支. 故 $N_{\frac1N}(z)$ 包含在 $L_{Nk}$ 的多项式凸包中, 即 $N_{\frac1N}(z)\subset \widehat{L_{Nk}}=F_{Nk}$. 因此,

固定 $i\leq m$. 假设 $z$ 在 $K_i$ 中但不在 $F_{Nk}(m\leq k\leq N)$ 中. 那么 $z$ 必须在 $L_{Nk}, m\leq k\leq N,$ 的余集的无界分支中. 由于 $N_{\frac1N}(z)\subset N_{\frac1N}(K_i)$ 和 $L_{Nk}$ 不相交, 我们得到 $N_{\frac1N}(z)$ 正好是无界分支. 即 $N_{\frac{1}{N}}(z) \cap \widehat{L_{N k}}=\emptyset \forall m \leq k \leq N.$. 因此,

已经假设 (3.10) 式对 $N-1$ 成立, 且 $N_{\frac{1}{3 N-3}}\left(\bigcup_{j=1}^{m} F_{N-1, j}\right)$ 是 $N_{\frac{1}{3 N-3}}\left(\bigcup_{j=1}^{m} F_{N j}\right)=N_{\frac{1}{3 N-3}}(S \cup R)$ 的子集, 我们看到

但是由假定 $z\notin E$, (3.12) 式和

得

这样给出

再由 (3.13) 式得

因而

(3.15) 和 (3.17) 式与 $z\in U_N=N_{\frac{1}{3N}} (Q\cup S)$ 相矛盾. 这样完成了对 (3.10) 式的归纳证明. 最后, 由 $\bigcup\limits_{j=1}^{m}F_{nj}\subset \bigcup\limits_{j=1}^{m}K_j$, 我们看到

因此, $z\in \bigcup\limits_{j=1}^{m} K_j\subset E$, 这与 (3.9) 式矛盾. 证毕.

定理3.2 令 $E$ 是 $\Omega$ 中的一个收敛集. 则 $E$ 是 $\sigma$ 凸集. 进一步, 存在 $\Omega$ 的一个全纯凸集上升列 $\{E_j\}$ (即 $E_i\subset E_j\ \forall i<j$) 使得 $E=\bigcup\limits_{j=1}^\infty E_j$.

证 令 $E$ 为收敛集 $\text{Conv}_{\Omega}(f)$, 其中

这里 $f_{n} (z)\in \mathscr{O}(\Omega)$. 记

这里 $\text{dist}(z,\partial \Omega)$ 是 $z$ 到 $\Omega$ 的边界的距离. 显然每个 $E_{jn}$ 都是紧的. 令

我们有

由命题2.2 的证明, $E=\bigcup_{j=1}^{\infty} E_{j}$. 由全纯凸集的定义知, 每个 $E_{jn}$ 是 $\Omega$ 中的全纯凸集, 一组 $\Omega$ 中全纯凸集的交是全纯凸的. 这就完成了定理 3.2 的证明.

给定 $\Omega$ 和一个正整数 $m$, 记

引理3.4 令 $K$ 是 $\Omega$ 中一个紧的多项式凸子集, $U\subset\Omega$ 是包含 $K$ 的一个集, 且 $m$ 是一个正整数. 那么存在有限多个多项式, $P_{m1}(z),\cdots,P_{m\ell}(z)$, 使得

以及

证 既然 $K$ 是多项式凸的, 对每一个 $z_0\in \Omega_m \setminus U$, 存在一个多项式 $Q(z)$, 使得

这样存在 $z_0$ 的某个领域 $V(z_0)$ 使得 $\forall \ z\in V(z_0),\ |Q(z)|\geq m$. 既然 $\Omega_m \setminus U$ 是紧的, 我们有有限多个这样的开集 $V(z_1),\cdots,V(z_{\ell})$ 覆盖 $\Omega_m \setminus U$. 相应的多项式记为 $P_{mj}(z), \ \forall j=1,\cdots, \ell$. 那么 $\forall j=1,\cdots,\ \ell,\ P_{mj}(z)$ 满足 (3.23) 以及 (3.24) 式.

现在证明本文的主要定理.

定理3.3$E\subset\Omega$ 是一个 ($\Omega$ 中) 收敛集 当且仅当它是 $\sigma$ 凸的.

证 由引理 3.1 和定理 3.2, 我们仅需证明充分条件.

设 $E$ 是 $\sigma$ 凸集. 由定理3.1, 存在一列多项式紧全纯凸集 $E_n$ 使得 $E=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} E_n$ 且 $E_n\subset E_{n+1},$$\forall \ n\geq 1$. 设 $U_n$ 为引理 3.3 中给出的 $E_n$ 的邻域, 则有

又由 $E_k\subset E_{k+1}$ 和 $E_k\subset U_n$, 对 $n\geq k$, 得到

对任意 $k\in \mathbb{N}$, 令 $P_{k1},\cdots,P_{kn_k}$ 是由引理3.3 给出的对应于 $\Omega_m=\Omega_k,K=E_k$ 和 $U=U_k$ 的多项式族. 那么

对每一个 $z\in \Omega_{k}\setminus U_k$, 存在 $j$, $1\leq j\leq n_k$, 使得

把这可数个多项式重新排序 $\{\{P_{kj}\}_{j=1}^{n_k}\}_{k=1}^{\infty}$ 为 $h_1=P_{11},h_2=P_{12},\cdots,h_{n_1}=P_{1n_1},h_{n_1+1}=P_{21},\cdots$. 定义

和

对任意 $z\in E$, 存在 $k$ 使得 $\forall$$n\geq k$, $z\in E_n$. 则对 $\ell>n_1+\cdots+n_k$ 有 $|f_\ell(z)|\leq |h_\ell(z)| \leq1$. 这意味着 $z\in \text{Conv}_{\Omega}(f)$. 从而 $E\subset \text{Conv}_{\Omega}(f)$.

对任意 $z\in \Omega\setminus E=\Omega\setminus(\bigcup\limits_{k=1}^{\infty}\bigcap\limits_{n=k}^{\infty} U_n)=\bigcap\limits_{k=1}^{\infty}\bigcup\limits_{n=k}^{\infty} (\Omega\setminus U_n)=\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}(\Omega\setminus U_n)$, 任选正整数 $m$ 使得 $z\in \Omega_{m}$. 则对任何 $k>m$, 存在 $z\in \Omega_{k}$. 取 $\Omega_m=\Omega_{k},K=E_k, U=U_k$, 由引理 3.4, 有一个多项式 $P_{kj}(z)$ 满足: $|P_{kj}(z)|> k$. 令 $\ell=n_1+\cdots+n_{k-1}+j$, 得到

总之, 对任意 $z\notin E$ 和正整数 $m$, 总存在无穷多个正整数 $\ell$ 使得 $|f_{\ell}(z)|>m^{\ell}$. 从而 $z\notin \text{Conv}_{\Omega}(f)$. 因而 $\text{Conv}_{\Omega}(f)\subset E$. 最后得到 $E=\text{Conv}_{\Omega}(f)$.

直接处理可数个收敛集的并是比较困难的. 但由定理3.3知, 这和凸集的情形是等价的, 因此有下面推论.

推论3.2 可数个收敛集的并总是收敛集.

注 本文没有在收敛集的定义中限制系数多项式的次数.正如在第一节提到的那样, 第 $n$ 项系数多项式次数不超过 $n$ 的形式幂级数 $f$ 的收敛集 $\text{Conv}(f)$ 是一个 polar 集. 然而, 令人惊奇的是, 如果取消这个 $n$ 次限制, 那收敛集就和对次数的限制是没有关系的. 对 $\varepsilon>0$, 令 $f(z,t)$ 的第 $n$ 项系数是次数不大于 $n^{1+\varepsilon}$ 的. 称 $\text{Conv}(f)$ 为 $\varepsilon$ 收敛集. 那么 $E\subset \mathbb{C}$ 是一个收敛集当且仅当它也是 $\varepsilon$ 收敛集. 实际上, 令 $E=\text{Conv}(f)$, 且 $f(z,t)=\sum\limits_{j=0}^\infty P_n(z)t^n$. 记 $d_n$ 为多项式 $P_n$ 的次数, $n=0,1,2,\cdots$. 取 $m_{n}$, 满足 $m_n>(\frac{d_n}{n^{1+\varepsilon}})^{\frac1\varepsilon}$ 的严格单调上升正整数列. 现在取 $F(z,t)=\sum\limits_{j=0}^\infty (P_n(z))^{m_n}t^{nm_n}.$ 则 $E=\text{Conv}(f)=\text{Conv}(F)$, 且 $E=\text{Conv}(F)$ 是 一个 $\varepsilon$ 收敛集.