本文研究全纯系数形式幂级数的收敛集. 收敛集的研究起源于 Hartogs 定理的推广 (参见文献 [1,7,8,10,11]). 我们的研究受该方向近年来一系列工作启发^[3,4,9]. 在这些文献中, 形式幂级数 $ F(z,t)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} P_n(z)t^n $ 的系数是一个或多个复变量的多项式, 而且作者们的工作主要聚焦于 $ P_n(z) $ 是次数不超过 $ n $ 的齐次多项式的情形. 对 $ \mathbb{C} ^N $ 中的子集 $ E $, 如果对每一个 $ z\in E $ 都存在某个 $ r_z>0 $ 使得 $ F(z,t) $ 作为 $ t $ 幂级数对 $ |t|<r_z $ 收敛, 同时, 对于 $ z\in \mathbb{C} ^N\setminus E $, $ F(z,t) $ 作为 $ t $ 的幂级数发散, 则称 $ E $ 是形式幂级数 $ F $ 的收敛集.

特别要注意的是, 文献中总是假设形式幂级数的系数 $ \deg P_n $ 不超过 $ n $. 但是, 在一些算子理论和量子场论中的重正化理论中^[6], 一些问题涉及到下列形式幂级数

这里 $ K_n(T) $ 属于由某些算子 $ T $ 生成的 $ C^\ast $ 代数. 为了处理 $ F(T,t) $ 的谱分析或者扰动理论, 我们需要讨论 $ F(z,t) $ 的收敛集. $ K_n(z) $ 是 $ T $ 的谱 $ K $ (这是一个紧集) 的某个领域上的全纯函数. 当然, $ K_n(z) $ 不一定是多项式, 更不会只是次数不超过 $ n $ 的多项式. 因此, 我们需要知道什么样的 $ E $ 是 $ F(z,t)=\sum\limits_{n=0}^\infty f_n(z)t^n $ 这样的形式幂级数的收敛集.

这篇文章先简单讨论一般情形, 随后对 $ N=1 $ 的情形详细讨论.

令 $ \Omega $ 为 $ \mathbb{C} ^N $ 中的一个开集. 记 $ \mathscr O(\Omega) $ 为 $ \Omega $ 上的全纯函数集合.

我们考虑如下形式幂级数

这里 $ f_n(z)\in\mathscr{O}(\Omega) $, 而 $ t $ 是一个复变量. 记 $ \mathscr{O}(\Omega)[[t]] $ 为包含所有形如 (2.1) 式的幂级数的集合.

定义2.1 令 $ f(z,t)\in\mathscr{O}(\Omega)[[t]] $. 定义 $ f $ 在 $ \Omega $ 中的收敛集为

或等价地,

定义2.2 我们说 $ E\subset\Omega $ 是 $ \Omega $ 中的一个收集子集, 如果存在 $ f\in\mathscr{O}(\Omega)[[t]] $ 使得 $ E=\text{Conv}_{\Omega}(f) $. 当 $ \Omega=\mathbb{C} ^N $ 时, 我们也仅仅简称其为收敛集.

命题2.1 设 $ K $ 是 $ \mathbb{C} ^N $ 中的一个多项式凸集, 则 $ K $ 是收敛集.

证 令 $ m $ 为任一正整数且 $ y\in \mathbb{C} ^N \setminus K $. 既然 $ K $ 是多项式凸的, 那么存在一个多项式 $ P_y(z) $ 使得 $ |P_y(y)|>m $ 而对每一个 $ z\in K $, 有 $ |P_y(z)| \leq 1 $.

令 $ U_{y}=\{x\in\mathbb{C} ^N:|P_{y}(x)|> m\}. $$ \mathbb{C} ^N\setminus K $ 的开覆盖 $ U_{y}, y\in\mathbb{C} ^N\setminus K $, 有一个可数子覆盖 $ U_{y_{k}}, k=1,2,\cdots $. 现在记 $ P_{mk}(z)=P_{y_{k}}(z) $. 对每个给定的 $ m $, 我们得到一列 $ \{P_{mk}\}_{k=1}^\infty. $ 既然 $ \{P_{mk}\} $ 是可数的, 我们把它们重新编排为序列 $ \{h_j(z)\}_{j=1}^ \infty $. 定义形式幂级数如下

当 $ z\in K $ 时, 对每个 $ j $, $ |h_j(z)|\le 1 $. 因此 $ z\in \text{Conv}_{\mathbb{C} ^N}(f) $. 从而 $ K\subset\text{Conv}_{\mathbb{C} ^N}(f) $.

当 $ z\in \mathbb{C} ^N\setminus K $ 时, 对每个 $ m\in \mathbb{N} $, 存在 $ k\in \mathbb{N} $ 使得 $ |P_{mk}(z)|\ge m $. 因而, 函数列 $ \{|h_\ell(z)|\} $ 是无界的, 即形式幂级数 $ f(z,t) $ 是 $ t $ 的发散幂级数. 因此 $ \mathbb{C} ^N\setminus K\subset\mathbb{C} ^N\setminus\text{Conv}_{\mathbb{C} ^N}(f) $, 即 $ \text{Conv}_{\mathbb{C} ^N}(f)\subset K $. 证毕.

下面命题给出了收敛集的一个必要条件.

命题2.2 设 $ E $ 是 $ \Omega\subset \mathbb{C} ^N $ 的收敛子集, 那么 $ E $ 是 $ F_\sigma $ 集.

证 设 $ E=\text{Conv}_{\Omega}(f) $, 这里

对 $ j\in\mathbb{N} $, 记 $ K_j=\{z\in\Omega:\ \hbox{dist}\{z,\partial \Omega\}\ge \frac 1j\ \hbox{和}\ |z|<j\} $. 那么 $ \Omega=\bigcup\limits_{j=1}^\infty K_j $ 且每一个 $ K_j $ 被包含在 $ K_{j+1} $ 的内部. 我们现在证明

对 $ z\in E $, 存在正整数 $ L $ 使得 $ z\in K_L $. 由收敛集的定义, 存在正整数 $ J $ 使得

令 $ m=\max\{L,J\} $. 那么 $ z\in \bigcap\limits_{n=0}^\infty \{z\in K_m: |f_n(z)|\leq m^n\} $. 另一方面, 我们设 $ z\in \bigcup\limits_{j=1}^{\infty}\bigcup\limits_{l=1}^{\infty} \{z\in K_j: \;|f_n(z)|\leq j^n\} $. 则存在一个正整数 $ j $ 使得 $ z\in \bigcap\limits_{n=0}^\infty \{z\in K_l: \;|f_n(z)|\leq j^n\} $. 因此 $ |f_n(z)|\leq j^n $ 对所有正整数 $ n $ 成立, 即 $ z\in E $.

注意到 $ \bigcap\limits_{n=0}^\infty \{z\in K_j: \;|f_n(z)|\leq j^n\} $ 都是闭集. 由 (2.2) 式, $ E $ 是一个 $ F_\sigma $ 集. 证毕.

命题2.2 的逆是不成立的. 我们将在下一节给出一个反例.

现在我们讨论多个收敛集的交.

命题2.3 设 $ E_1,\cdots, E_k $ 是 $ \Omega $ 中的收敛集. 那么它们的交 $ E:=\bigcap\limits_{j=1}^k E_j $ 也是 $ \Omega $ 的收敛集.

证 显然只需要证明两个 $ \Omega $ 的收敛集的交也是 $ \Omega $ 上收敛的即可.

设我们有如下两个形式幂级数

和

以及相对应的收敛集 $ A=\hbox{Conv}_{\Omega}(f) $ 和 $ B=\hbox{Conv}_{\Omega}(g) $. 定义新的形式幂级数如下

则

设 $ z\in A\cap B $, 则对每一个 $ n\in \mathbb{N} $ 都存在 $ r_A,r_B>0 $, 使得 $ |f_n(z)|<r_A^n $ 且 $ |g_n(z)|<r_B^n $. 那么 $ |F_n(z)|<((\max\{r_A,r_B\})^{\frac12})^n $. 因此 $ A\cap B\subset \text{Conv}_{\Omega}(F) $.

在另一方面, 对 $ z\in \text{Conv}_{\Omega}(F) $, 设 $ |F_n(z)|<r^n $. 那么 $ |f_n(z)| $ 和 $ |g_n(z)| $ 都小于 $ (r^2)^n $, 即, $ \text{Conv}_{\Omega}(F)\subset A\cap B. $ 证毕.

接下来本文仅考虑 $ N=1 $ 情形.

先讨论一些复平面上收敛集的性质. 给定任何可数集 $ E\subset\mathbb{C} $. 在下面定理中构造一个 $ \mathbb{C} $ 的收敛集, 它恰好就是 $ E $. 为了证明方便, 记

,这里 $ S\subset \mathbb{C} $ 且 $ r>0 $.

定理2.1 令 $ S=\{z_1,z_2,\cdots \} $ 是 $ \mathbb{C} $ 中的一个可数点列.定义形式幂级数 $ F\in\mathbb{C} [z][[t]] $ 如下

这里 $ C_{n}={(n/\gamma_{n}})^n $, 而

那么 $ \text{Conv}_\mathbb{C} (F)=S $.

证 不妨设点列 $ z_i $ 是两两不同的, 则有 $ \gamma_n $ 是大于 $ 0 $ 的. 设 $ L_j=\{z_1,\cdots,z_j\} $, $ j\in\mathbb{N} $. 现在证明

只需证明 $ \bigcap\limits_{j=k}^\infty N_{{\gamma_{j}}}(L_j) \subset L_k $, 而它可以由下式给出

对 $ j $ 用归纳法证明 (2.5) 式. (2.5) 式对 $ j=k $ 是显然成立的. 假设 (2.5) 式对于 $ j=N\geq k $ 是成立的. 令 $ z\in \bigcap\limits_{s=k}^\infty N_{{\gamma_{s}}}(L_s). $ 对 $ i\not=j $, $ 1\le i,j\le N+1 $, 既然 $ |z_j-z_i|\geq 2\gamma_N $, 我们得到 $ N_{\gamma_N}(z_i)\cap N_{\gamma_N}(z_j)=\emptyset $. 这给出

由归纳假设有 $ z\in N_{\gamma_N}(L_k) $, 并且由 (2.6) 式有 $ z\notin \bigcup\limits_{\ell=k+1}^{N+1} N_{\gamma_{N}}(z_{\ell}) $. 由 $ \gamma_{N+1}\leq \gamma_{N} $ 得到 $ \bigcup\limits_{\ell=k+1}^{N+1} N_{\gamma_{N+1}}(z_{\ell})\subset \bigcup\limits_{\ell=k+1}^{N+1} N_{\gamma_{N}}(z_{\ell}) $, 因此

在另一方面, 我们知道

由 (2.7) 和 (2.8) 式, $ z\in N_{\gamma_{N+1}}(L_k) $. 这完成了归纳步骤, 因而 (2.5) 式是成立的.

现在令 $ P_0(z)=1 $. 对 $ n\geq1 $, 设

以及形式幂级数

注意到当 $ n\geq k $ 时, $ P_n(z_k)=0 $. 因此, 我们有 $ S\subset\text{Conv}_\mathbb{C} (F) $.

现在假设 $ z\not\in S $. 由 (2.4) 式, 对每一个 $ k $, 有 $ z\notin\bigcap\limits_{j=k}^\infty U_j $. 存在一个严格递增的正整数列 $ j_k $ 使得 $ z\notin U_{j_k} $, $ \forall k=1,2,\cdots $. 因此

(上式成立是因为 $ \gamma_i\geq \gamma_{j_k} $$ \forall $$ i \leq j_k $). 这就给出 $ z\notin \text{Conv}_\mathbb{C} (f) $, 因此, $ S=\text{Conv}_\mathbb{C} (f). $

例2.1 由定理2.1, 有理数集 $ \mathbb Q $ 是 $ \mathbb{C} $ 中收敛集. 但是既然 $ \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} $ 不是 $ F_{\sigma} $ 集, 由命题2.2, 无理数集不是收敛集.

下面定理指出对有限点集, 可以构造一个指定稠密点的系数函数的形式幂级数来生成它.

定理2.2 令 $ \Omega \subset \mathbb{C} $. 设 $ S $ 是 $ \Omega $ 的一个可数稠密子集且 $ \{C_{n}\} $ 是一列正数. 又设 $ A=\{a_1,a_2,\cdots,a_k\} $ 是 $ \Omega $ 中的有限个点. 则存在 $ S $ 的一个排列 $ \{z_1, z_2, \cdots \} $ 使得 $ A\subset \text{Conv}_{\Omega}(F) $, 其中 $ F $ 定义如下

证 设 $ A $ 的半径是 $ d $. 又设 $ S=\{s_1,s_2,\cdots \} $. 从 $ S $ 中选择不同的 $ z_1,z_2,\cdots, $ 使得下面两个条件成立

(1) $ |z_{l(k+1)+i}-a_i|<d, $$ C_{l(k+1)+i+p}|z_{l(k+1)+i}-a_i|<\frac d{(l+2)!},\ \forall $$ l=0,1,2,\cdots,$$ i=1,2,\cdots,k,$$ p=0,1,\cdots,k $;

(2) $ \forall\ l=1,2,\cdots,\ z_{l(k+1)}=s_{\tau(l)} $, 这里 $\tau(l)=\min\{p\in\mathbb{N} :|s_p-a_i|<ld,s_p\in S\setminus \{z_1,\cdots,z_{l(k+1)-1}\}\}.$

现在只需要验证

取定 $ n\geq k+1 $ 和 $ 1\leq i\leq k $. 选择 $ l\geq 0 $ 和 $ 0\leq p\leq k $ 使得 $ n=l(k+1)+i+p $.

既然

以及

我们有

在 (2.12) 式中, 因子 $ (l+2)! $ 来自于 $ (a_i-z_{\alpha(k+1)}) $, $ \forall \alpha=0,1,\cdots,l+1. $ 由 (2.12) 式得到对每一个 $ z=a_i\in A $ 形式幂级数 $ F(z,t) $ 作为 $ t $ 的幂级数收敛半径都大于 $ >1/(2d) $. 这就完成了证明.

定义3.1 设 $ E $ 是 $ \Omega $ 的一个紧子集. $ E $ 在 $ \Omega $ 中的全纯凸包定义为

如果 $ E=\hat{E}_\Omega $ 我们说 $ E $ 在 $ \Omega $ 中是全纯凸的.

命题3.1^{[5,定理1.3.4]}$ \Omega\subset \mathbb{C} $ 的一个紧子集 $ E $ 在 $ \Omega $ 中是全纯凸的当且仅当 $ \Omega $ 不包含 $ \mathbb{C} \setminus E $ 的有界连通分支.

由命题3.1, 易知下面命题:

命题3.2 令 $ E $ 的 $ \Omega $ 的紧子集. 那么 $ \hat{E}_\Omega=E\cup (\bigcup\limits_\alpha C_\alpha) $, 其中 $ \{C_\alpha\} $ 是 $ \mathbb{C} \setminus E $ 的包含在 $ \Omega $ 中的有界连通分支.

我们还需要下列引理.

引理3.1 令 $ K $ 为 $ \Omega\subset \mathbb{C} $ 中的全纯凸紧子集, 则 $ \mathbb{C} \setminus K $ 只有有限个连通分支.

证 假设 $ \mathbb{C} \setminus K $ 有无穷多个分支. 既然 $ \mathbb{C} \setminus K $ 是开集, 记这些可数个分支为 $ C_i,i=1,2,\cdots $. 又记 $d=\max_{w\in K}|w| $. 显然 $ \{z\in \mathbb{C} : |z|>d\} $ 一定是 $ \mathbb{C} \setminus K $ 的无界分支. 因此 $ C_i\cap\{z\in \mathbb{C} : |z|>d\}=\emptyset,\forall i\in 1,2,\cdots $. 我们得到 $ U=\bigcup\limits_{i=1}^\infty C_i\subset\{z\in \mathbb{C} :|z|\leq d\} $, 即 $ U $ 是有界的.

由命题3.1, 对任意 $ j\in \mathbb{N} $, $ C_j $ 不能被包含在 $ \Omega $ 中. 这样可以选择 $ w_j\in C_j\setminus \Omega $. 设 $ w $ 是有界集 $ \{w_j\}_{j=1}^\infty $ 的一个极限点. 在没有混淆的情况下可以假设当 $ j\rightarrow\infty $ 时 $ w_j\rightarrow w $. 记

为 $ C_j $ 的内部半径.

由上面的讨论有 $ \sum\limits^\infty_{j=1}{ \frac14}\pi d_j^2\leq \text{area}(U)\leq \pi d^2 $. 因此当 $ j\rightarrow\infty $ 时, $ d_j $ 趋于 $ 0 $. 既然 $ D(w_j,r)\subset C_j$, $\forall\ r<\text{dist}(w_j,K)=\text{dist}(w_j,\partial C_j) $, 由 (3.1) 式, 有

因此

这是不可能的, 因为 $ \Omega $ 是开集而 $ w $ 是 $ \Omega $ 外部点集的极限点.

因此 $ \mathbb{C} \setminus K $ 只能有有限个有界分支. 证毕.

定义3.2 设 $ K $ 是 $ \Omega\subset \mathbb{C} $ 的一个子集. 如果 $ K $ 是 $ \Omega $ 中可数个全纯凸紧子集的并, 就说 $ K $ 是 $ \Omega $ 中的$\sigma$ 全纯凸集. 进一步, 我们说 $ K $ 是 $ \sigma $ 凸集, 如果它是可数个多项式凸紧集的并.

引理3.2 每一个 $ \Omega $ 上的全纯凸紧子集 $ K $ 都是一个 $ \sigma $-凸集.

证 由引理 3.1, $ \mathbb{C} \setminus K $ 仅有有限个连通分支. 先假设它仅有一个连通分支 $ C $. 取 $ a\in C $ 和 $ 0<r<R $ 使得 $ K\subset\mathfrak{R}_{rR}=\{z\in\mathbb{C} :r<|z-a|<R\} $. 对 $ 1<j\in\mathbb{N} $, 取

和 $ K_j=K\cap E_j $, 则 $ K=\bigcup\limits_{j=2}^\infty K_j $. 仅需要证明对任意 $ j>1$, $K_j $ 是多项式凸集.

给定 $ j\in \mathbb{N} $, 取 $ w\notin K_j $. 如果 $ w $ 不在 $ K $ 中, 那它一定在 $ C $ 中或 $ \mathbb{C} \setminus K $ 的无界分支中. 在这两种情况下, $ w $ 和 $ \infty $ 都可以用一条与 $ K_j $ 不相交的道路相连. 如果 $ w $ 不在单连通集 $ E_j $ 中, 则它在 $ \mathbb{C} \subset E $ 中仍然可以道路连通到 $ \infty $. 因此, $ \mathbb{C} \setminus K_j $ 没有有界分支. 由命题 3.1 和定义 3.1, $ K_j $ 是多项式凸集.

对于 $ K $ 是多连通的情形, 把扇形组 $ E_j $ 用弯曲扇形组代替, 使得每一个都把 $ K $ 截成多项式凸的, 从而上面的论证仍然是成立的.

下面这个命题是显然的.

命题3.3 令 $ \{K_j\}_{j=1}^\infty $ 是 $ \Omega $ 中的一列 $ \sigma $ 全纯凸 集, 则 $ \bigcup\limits_{j=1}^\infty K_j $ 也是 $ \sigma $ 全纯凸的.

由引理 3.2 和上面的命题 3.3, 我们得到下面的推论.

推论3.1 令 $ E $ 是 $ \Omega $ 中的一个 $ \sigma $ 合纯凸集. 则它也是 $ \sigma $ 凸集.

由推论 3.1, 我们在下文中只需要证明 $ \sigma $ 凸集都是 $ \sigma $ 合纯凸集.

这里给出两个较为简单的 $ \sigma $ 凸集的例子. 设 $ \Delta(a,r)=\{z\in\mathbb{C} :|z-a|<r\} $.

例3.1 复平面上的每个开子集是 $ \sigma $ 凸集. 如果 $ E\subset \mathbb{C} $ 是开集, 那么

这里 $ \{w_j\}^\infty_1 $ 是 $ E $ 的稠密可数子集且 $ \frac {r_{w_j}}2=\text{dist}(w_j,\partial E) $.

例3.2 单位圆圈 $ \Gamma $ 是 $ \sigma $ 凸集. 这是因为 $ \Gamma=\bigcup_{j=1}^{\infty}\left\{\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}: 0 \leq \theta \leq\left(1-\frac{1}{j}\right) 2 \pi\right\}.$

下面是一个反例.

例3.3 (Sierpinski 三角) 令 $ T $ 以 $ A,B,C $ 为顶点且边长为 $ 1 $ 的等边三角. 设 $ D,E,F $ 分别是三条边 $ AB,BC,AC $ 上的中点. 记 $ D,E,F $ 两两连线把 $ T $ 分成的 4 个小等边三角形为

其中 $ T_{4} $ 是唯一的倒三角形. 不再考虑 $ T_4 $. 对 $ i_1=1,2 $ 或 $ 3 $, 重复上面的操作, 仍然可以构造 $ T_{i_1}=T_{i_11}\cup T_{i_12}\cup T_{i_12}\cup T_{i_13}\cup T_{i_14} $. 持续这个过程, 对每个 $ T_{i_1\cdots i_k} $ ($ i_l=1,2 $ 或 $ 3 $, $ 1\leq l\leq k $), 都有分解: $ T_{i_1\cdots i_k}=T_{i_1\cdots i_k1}\cup T_{i_1\cdots i_k2}\cup T_{i_1\cdots i_k3}\cup T_{i_1\cdots i_k4} $, 其中 $ T_{i_1\cdots i_k4} $ 是下一步不再考虑的倒三角形. 显然 $ T_{i_1\cdots i_k} $ 的边长是 $ \frac1{2^{k-1}} $.

Sierpinski 三角 $ S $ 定义为

这里 $ T^o_{i_1\cdots i_k4} $ 表示 $ T_{i_1\cdots i_k4} $ 的内部.

设 $ S $ 被包含在开集 $ \Omega\subset\mathbb{C} $ 中. Sierpinski 三角不会是 $ \Omega $ 上的 $ \sigma $ 凸子集. 否则, 假设在 $ \Omega $ 中存在一列全纯凸紧子集 $ K_j,\ j=1,2,\cdots $, 使得 $ S=\bigcup\limits_{j=1}^\infty K_j $. 但是, 作为完备度量空间 $ \Omega $ 的的闭子集, Sierpinski 三角本身是完备度量空间. 从而它是第二纲集. 由 Bair 纲定理, 至少存在一个 $ K_j $ 包含 $ S $ 的一全非空的诱导开子集 $ V $. 因此, 存在 $ \Omega $ 的一个开子集 $ U $ 使得 $ V=U\cap S \subset K_j $. 取 $ v\in V\subset U $. 对每一个满足 $ 2^{-k}<\text{dist}(v,\partial U) $ 的 $ k\in \mathbb{N} $, 由 (3.3) 式, $ v $ 属于某个 $ T_{i_1\cdots i_k} $. 那么 $ T_{i_1\cdots i_k}\subset U $. 因此 $ T_{i_1\cdots i_k4} $ 也在 $ U $ 中. 既然 $ \partial T_{i_1\cdots i_k4}\subset S $, 我们有 $ \partial T_{i_1\cdots i_k4}\subset V\subset K_j $. 故 $ T^o_{i_1\cdots i_k4} $ 是 $ K_j $ 的余集中的一个有界连通分支, 这和引理 3.1 相矛盾.

命题3.4 设 $ K_1 $, $ K_2 $ 是 $ \mathbb{C} $ 中两个互不相交的紧子集, 则 $ (K_1\cup K_2) ^\wedge= \widehat{K}_1\cup \widehat{K}_2 $.

证 只需要验证 $ (K_1\cup K_2) ^\wedge\subset \widehat{K}_1\cup \widehat{K}_2 $. 令 $ U $ 的 $ \mathbb{C} \setminus ( K_1\cup K_2) $ 的一个连通分支. 记 $ Q=\partial\widehat{\overline{U}} $. 那么

既然 $ Q $ 是连通的, 上式给出 $ Q\subset K_1 $ 或 $ K_2 $. 因此 $ U\subset\widehat{Q}\subset \widehat{K}_1\cup \widehat{K}_2 $. 这就验证了 $ (K_1\cup K_2) ^\wedge\subset \widehat{K}_1\cup \widehat{K}_2 $. 证毕.

定理3.1b 设 $ E $ 是一个 $ \sigma $ 凸集. 则存在紧多项式凸集 $ E_n,\;n=1,2,\cdots $, 使得 $ E_{n}\subset E_{n+1} $, $ \forall $$ n\geq 1 $ 且 $ E= \bigcup\limits_{n=1}^\infty E_n $.

证 由 $ \sigma $ 凸集的定义, $ E $ 可以写成下列形式

这里 $ K_j $ 是紧多项式凸集. 对 $ r>0 $, 记 $ N_r(A) $ 为 $ A $ 的 $ r $ 邻域. 对一个正整数 $ n $, 取

并且归纳地定义

又记

由命题 3.4 得到

即集合 $ E_n $ 是 $ \bigcup\limits_{j=1}^{n} L_{nj} $ 的多项式凸包. 既然 $ \forall $$ n\in\mathbb{N} $ 和 $ 1\leq j\leq n $, $ L_{nj}\subset L_{(n+1)j} $, 我们有 $ E_n\subset E_{n+1} $.

现在证明

取 $ z\in E $. 假定 $ j $ 是使得 $ z\in K_j $ 的最小整数, 即 $ z $ 在 $ K_j $ 中但不在 $ K_i,\ i< j, $ 中. 那么对 $ n>{1}/{\mathrm{dist}(z,\bigcup\limits_{i=1}^{j-1}K_i)} $, 有 $ z\in K_j\setminus N_{\frac1n}(\bigcup\limits_{i=1}^{j-1}K_i)=L_{nj} $. 因此 $ E\subset\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}E_n $. 另一方面, 设 $ z\in \bigcup\limits_{n=1}^{\infty}E_n $. 那么存在 $ n $ 使得 $ z\in E_n=\bigcup\limits_{j=1}^{n}{F_{nj}}\subset \bigcup\limits_{j=1}^{n}\widehat{K_j}=\bigcup\limits_{j=1}^{n}K_j\subset E $. 因而 $ E=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} E_n $.

用 $ d(E,F) $ 记 $ E $ 和 $ F $ 的欧氏距离.

引理3.3 设 $ E, \{E_n\} $ 如定理 3.1 中所给出. 令 $ U_n= N_{\frac{1}{3n}} (E_n) $. 则对每个正整数 $ m $, 有

证 否则, 设存在一个 $ m>0 $ 和 $ z\in\mathbb{C} $ 使得

首先证明

对 $ n $ 用归纳法证明 (3.10) 式. 对 $ n=m $, 由 $ E_n=\bigcup\limits_{j=1}^nF_{nj} $ 和 (3.9), (3.10) 式显然是成立的. 如果存在一个整数 $ N $ 使得 (3.10) 式对 $ n=N-1 $ 成立但当 $ n=N $ 时不成立. 那么取

取 $ z\in R $. 则存在 $ i $, $ k $ 使得 $ 1\leq i\leq m<k\leq N $ 和 $ z\in F_{Ni}\cap F_{Nk}\subset K_i\cap F_{Nk} $. 因此, $ z $ 不在 $ L_{Nk} $ 中. 既然 $ z\in F_{Nk}=\widehat{L_{Nk}} $, 我们得到 $ z $ 属于 $ L_{Nk} $ 的余集中的一个有界连通分支. 但是 $ N_{\frac1N}(z)\subset N_{\frac1N}(K_i) $ 包含在 $ L_{Nk} $ 的余集中. 因此 $ N_{\frac1N}(z) $ 是有界分支. 故 $ N_{\frac1N}(z) $ 包含在 $ L_{Nk} $ 的多项式凸包中, 即 $ N_{\frac1N}(z)\subset \widehat{L_{Nk}}=F_{Nk} $. 因此,

固定 $ i\leq m $. 假设 $ z $ 在 $ K_i $ 中但不在 $ F_{Nk}(m\leq k\leq N) $ 中. 那么 $ z $ 必须在 $ L_{Nk}, m\leq k\leq N, $ 的余集的无界分支中. 由于 $ N_{\frac1N}(z)\subset N_{\frac1N}(K_i) $ 和 $ L_{Nk} $ 不相交, 我们得到 $ N_{\frac1N}(z) $ 正好是无界分支. 即 $N_{\frac{1}{N}}(z) \cap \widehat{L_{N k}}=\emptyset \forall m \leq k \leq N.$. 因此,

已经假设 (3.10) 式对 $ N-1 $ 成立, 且 $N_{\frac{1}{3 N-3}}\left(\bigcup_{j=1}^{m} F_{N-1, j}\right) $ 是 $ N_{\frac{1}{3 N-3}}\left(\bigcup_{j=1}^{m} F_{N j}\right)=N_{\frac{1}{3 N-3}}(S \cup R) $ 的子集, 我们看到

但是由假定 $ z\notin E $, (3.12) 式和

得

这样给出

再由 (3.13) 式得

因而

(3.15) 和 (3.17) 式与 $ z\in U_N=N_{\frac{1}{3N}} (Q\cup S) $ 相矛盾. 这样完成了对 (3.10) 式的归纳证明. 最后, 由 $ \bigcup\limits_{j=1}^{m}F_{nj}\subset \bigcup\limits_{j=1}^{m}K_j $, 我们看到

因此, $ z\in \bigcup\limits_{j=1}^{m} K_j\subset E $, 这与 (3.9) 式矛盾. 证毕.

定理3.2 令 $ E $ 是 $ \Omega $ 中的一个收敛集. 则 $ E $ 是 $ \sigma $ 凸集. 进一步, 存在 $ \Omega $ 的一个全纯凸集上升列 $ \{E_j\} $ (即 $ E_i\subset E_j\ \forall i<j $) 使得 $ E=\bigcup\limits_{j=1}^\infty E_j $.

证 令 $ E $ 为收敛集 $ \text{Conv}_{\Omega}(f) $, 其中

这里 $ f_{n} (z)\in \mathscr{O}(\Omega) $. 记

这里 $ \text{dist}(z,\partial \Omega) $ 是 $ z $ 到 $ \Omega $ 的边界的距离. 显然每个 $ E_{jn} $ 都是紧的. 令

我们有

由命题2.2 的证明, $E=\bigcup_{j=1}^{\infty} E_{j} $. 由全纯凸集的定义知, 每个 $ E_{jn} $ 是 $ \Omega $ 中的全纯凸集, 一组 $ \Omega $ 中全纯凸集的交是全纯凸的. 这就完成了定理 3.2 的证明.

给定 $ \Omega $ 和一个正整数 $ m $, 记

引理3.4 令 $ K $ 是 $ \Omega $ 中一个紧的多项式凸子集, $ U\subset\Omega $ 是包含 $ K $ 的一个集, 且 $ m $ 是一个正整数. 那么存在有限多个多项式, $ P_{m1}(z),\cdots,P_{m\ell}(z) $, 使得

以及

证 既然 $ K $ 是多项式凸的, 对每一个 $ z_0\in \Omega_m \setminus U $, 存在一个多项式 $ Q(z) $, 使得

这样存在 $ z_0 $ 的某个领域 $ V(z_0) $ 使得 $ \forall \ z\in V(z_0),\ |Q(z)|\geq m $. 既然 $ \Omega_m \setminus U $ 是紧的, 我们有有限多个这样的开集 $ V(z_1),\cdots,V(z_{\ell}) $ 覆盖 $ \Omega_m \setminus U $. 相应的多项式记为 $ P_{mj}(z), \ \forall j=1,\cdots, \ell $. 那么 $\forall j=1,\cdots,\ \ell,\ P_{mj}(z)$ 满足 (3.23) 以及 (3.24) 式.

现在证明本文的主要定理.

定理3.3$ E\subset\Omega $ 是一个 ($ \Omega $ 中) 收敛集 当且仅当它是 $ \sigma $ 凸的.

证 由引理 3.1 和定理 3.2, 我们仅需证明充分条件.

设 $ E $ 是 $ \sigma $ 凸集. 由定理3.1, 存在一列多项式紧全纯凸集 $ E_n $ 使得 $ E=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} E_n $ 且 $ E_n\subset E_{n+1}, $$ \forall \ n\geq 1 $. 设 $ U_n $ 为引理 3.3 中给出的 $ E_n $ 的邻域, 则有

又由 $ E_k\subset E_{k+1} $ 和 $ E_k\subset U_n $, 对 $ n\geq k $, 得到

对任意 $ k\in \mathbb{N} $, 令 $ P_{k1},\cdots,P_{kn_k} $ 是由引理3.3 给出的对应于 $ \Omega_m=\Omega_k,K=E_k $ 和 $ U=U_k $ 的多项式族. 那么

对每一个 $ z\in \Omega_{k}\setminus U_k $, 存在 $ j $, $ 1\leq j\leq n_k $, 使得

把这可数个多项式重新排序 $ \{\{P_{kj}\}_{j=1}^{n_k}\}_{k=1}^{\infty} $ 为 $ h_1=P_{11},h_2=P_{12},\cdots,h_{n_1}=P_{1n_1},h_{n_1+1}=P_{21},\cdots $. 定义

和

对任意 $ z\in E $, 存在 $ k $ 使得 $ \forall $$ n\geq k $, $ z\in E_n $. 则对 $ \ell>n_1+\cdots+n_k $ 有 $ |f_\ell(z)|\leq |h_\ell(z)| \leq1 $. 这意味着 $ z\in \text{Conv}_{\Omega}(f) $. 从而 $ E\subset \text{Conv}_{\Omega}(f) $.

对任意 $ z\in \Omega\setminus E=\Omega\setminus(\bigcup\limits_{k=1}^{\infty}\bigcap\limits_{n=k}^{\infty} U_n)=\bigcap\limits_{k=1}^{\infty}\bigcup\limits_{n=k}^{\infty} (\Omega\setminus U_n)=\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}(\Omega\setminus U_n) $, 任选正整数 $ m $ 使得 $ z\in \Omega_{m} $. 则对任何 $ k>m $, 存在 $ z\in \Omega_{k} $. 取 $ \Omega_m=\Omega_{k},K=E_k, U=U_k $, 由引理 3.4, 有一个多项式 $ P_{kj}(z) $ 满足: $ |P_{kj}(z)|> k $. 令 $ \ell=n_1+\cdots+n_{k-1}+j $, 得到

总之, 对任意 $ z\notin E $ 和正整数 $ m $, 总存在无穷多个正整数 $ \ell $ 使得 $ |f_{\ell}(z)|>m^{\ell} $. 从而 $ z\notin \text{Conv}_{\Omega}(f) $. 因而 $ \text{Conv}_{\Omega}(f)\subset E $. 最后得到 $ E=\text{Conv}_{\Omega}(f) $.

直接处理可数个收敛集的并是比较困难的. 但由定理3.3知, 这和凸集的情形是等价的, 因此有下面推论.

推论3.2 可数个收敛集的并总是收敛集.

注 本文没有在收敛集的定义中限制系数多项式的次数.正如在第一节提到的那样, 第 $ n $ 项系数多项式次数不超过 $ n $ 的形式幂级数 $ f $ 的收敛集 $ \text{Conv}(f) $ 是一个 polar 集. 然而, 令人惊奇的是, 如果取消这个 $ n $ 次限制, 那收敛集就和对次数的限制是没有关系的. 对 $ \varepsilon>0 $, 令 $ f(z,t) $ 的第 $ n $ 项系数是次数不大于 $ n^{1+\varepsilon} $ 的. 称 $ \text{Conv}(f) $ 为 $ \varepsilon $ 收敛集. 那么 $ E\subset \mathbb{C} $ 是一个收敛集当且仅当它也是 $ \varepsilon $ 收敛集. 实际上, 令 $ E=\text{Conv}(f) $, 且 $ f(z,t)=\sum\limits_{j=0}^\infty P_n(z)t^n $. 记 $ d_n $ 为多项式 $ P_n $ 的次数, $ n=0,1,2,\cdots $. 取 $ m_{n} $, 满足 $ m_n>(\frac{d_n}{n^{1+\varepsilon}})^{\frac1\varepsilon} $ 的严格单调上升正整数列. 现在取 $ F(z,t)=\sum\limits_{j=0}^\infty (P_n(z))^{m_n}t^{nm_n}. $ 则 $ E=\text{Conv}(f)=\text{Conv}(F) $, 且 $ E=\text{Conv}(F) $ 是 一个 $ \varepsilon $ 收敛集.