设 $\mathbb{C}_{n, n}$ 表示 $n$ 阶全体复矩阵的集合, $\mathbb{C}_{n}$ 表示 $n$ 维复向量空间.记 $A^\ast$, ${\mathcal{R}}\left( {A} \right)$,${\mathcal{N}}\left( {A} \right)$, ${rk}\left( A \right)$, $\| A \|$, $\rho (A)$ 分别表示矩阵 $A$ 的共轭转置, 值域, 零空间, 秩, 谱范数, 谱半径.设 $A\in\mathbb{C}_{n, n}$, 使得 ${rk}(A^{k+1})={rk}(A^k)$ 成立的最小非负整数$k$, 称为 $A$ 的指数, 记为 ${\mbox{Ind}}(A)=k$.特别地, 记 $\mathbb{C}^{\tiny{\mbox{CM}}}_n=\left\{A\mid A\in \mathbb{C}_{n,n},\ {rk}(A^2)={rk}(A)\right\}.$

广义逆理论的应用是非常广泛的, 如在最小二乘^[1]、统计^[2]、控制论^[3]、微分方程^[4]、马尔科夫链^[5]、四元数矩阵方程^[6⇓-8]} 等经典问题中, 是不可缺少的研究工具. 随着对广义逆理论的深入研究, 一些学者又将广义逆理论推广到其它空间中, 如 Hilbert 空间中线性算子的广义逆^[9]、Banach 空间中算子的广义逆^[10]、闵可夫斯基空间中的广义逆^[11] 等, 并取得丰富的成果.闵可夫斯基空间是狭义相对论中由一个时间维和三个空间维组成的四维时空, 最早由德国数学家闵可夫斯基提出.形式上, 闵可夫斯基空间是一个非退化并对称双线性型的四维实向量空间, 可以用对称双线性形式表示为 $(+,-,-,-)$, 它也可以记作 $\mathbb{R}^{1,3}$. 其中闵可夫斯基空间中的度量矩阵是 $\mathcal{G} = \mathrm{Diag}\left(-1, I_{3}\right)$.闵可夫斯基空间在物理学有着广泛的意义, 如洛伦兹变换^[12] 等.1996 年,Renardy^[13] 建立闵可夫斯基空间中矩阵的奇异值分解, 并给出矩阵奇异值分解存在的条件, 相关结果应用到若干光学问题的研究中^[14].Renardy^[13] 给出闵可夫斯基空间内积定义, 即为 $(u, v)=[u, Gv]$,其中 $u, v\in\mathbb{C}_{n}$, $G={Diag}(1, -I_{n-1})$, $[\cdot,\cdot ]$ 是传统意义的欧氏内积, 矩阵 $A\in \mathbb{C}_{n,n}$ 闵氏转置定义为 $A^{\sim}=GA^{*}G$.

2000 年, Meenakshi^[11] 首次将广义逆引入到闵可夫斯基空间,提出了闵氏 Moore-Penrose 逆的概念. 设 $A\in\mathbb{C}_{n, n}$,如果存在唯一矩阵 $X\in\mathbb{C}_{n, n}$ 满足

则称 $X$ 为 $A$ 的闵氏 Moore-Penrose 逆, 记为 $A^{m}$. 值得注意的是, 并非所有矩阵 $A$ 都存在闵氏 Moore-Penrose 逆, 该逆存在当且仅当

更多关于闵氏 Moore-Penrose 逆的性质, 可以参见文献[15⇓⇓-18].

2019 年, Wang 等^[19]提出了闵可夫斯基空间中 $\mathfrak{m}$-core 逆的概念. 设 $A\in\mathbb{C}^{\tiny{\mbox{CM}}}_n$,如果存在唯一矩阵 $X\in\mathbb{C}_{n, n}$ 满足

则称 $X$ 为 $A$ 的 $\mathfrak{m}$-core 逆, 记为 $A^{(m)}$.随后, Wang 等^[20]在 $\mathfrak{m}$-core 逆的研究基础上又给出了$\mathfrak{m}$-core-EP 逆的定义.设 $A\in\mathbb{C}_{n, n}$ 且 ${\mbox{Ind}}(A)=k$,如果存在唯一矩阵 $X\in\mathbb{C}_{n, n}$ 满足

则称 $X$ 为 $A$ 的 $\mathfrak{m}$-core-EP 逆, 记为 $A^{(E)}$.

近年来, 弱群逆 (WG 逆) 被广泛的研究. WG 逆是由 Wang 等^[21]提出, 设$A\in\mathbb{C}_{n, n}$ 且 ${\mbox{Ind}}(A)=k$, 如果存在唯一矩阵 $X\in\mathbb{C}_{n, n}$ 满足

则称 $X$ 为 $A$ 的 WG 逆, 记为 $A^{(w)}$,这里 $A^{\oplus}$ 是 $A$ 的 core-EP 逆^[22].随后,Wang 等^[23]利用 WG 逆提出了弱群矩阵的概念.Ferreyra 等^[24]把 WG 逆推广到长方形矩阵, 并且给出加权 WG 逆的定义和性质.Zhou 等^[25]将 WG 逆推广到 proper $\ast$-环, 并用三个代数方程来刻画它.Xu 等^[26]给出了广义 WG 逆的概念以及广义 WG 逆的代数形式.Mosić 等^[27]研究了 WG 逆扰动和算法.Yan 等^[28]利用值域和零空间给出 WG 逆一些等价刻画. 更多关于 WG 逆的性质, 可以参见文献 [29⇓⇓-32].

2022年, Wu 等^[33]将 WG 逆推广到闵可夫斯基空间,并且提出 $\mathfrak{m}$-WG 逆的概念. 设 $A\in\mathbb{C}_{n, n}$ 且 ${\mbox{Ind}}(A)=k$,如果存在唯一矩阵 $X\in\mathbb{C}_{n, n}$ 满足

则称 $X$ 为 $A$ 的 $\mathfrak{m}$-WG 逆, 记为 $A^{W}$.

本文在 WG 逆上述性质的研究基础上, 研究了 $\mathfrak{m}$-WG 逆的性质和若干刻画,给出 $\mathfrak{m}$-WG 逆与非奇异加边矩阵之间的关系, 并讨论了 $\mathfrak{m}$-WG 逆的扰动界. 最后,利用逐次矩阵平方算法给出 $\mathfrak{m}$-WG 逆近似计算和误差估计, 并给出例子验证.

引理2.1^[34] 设 $A\in\mathbb{C}_{n,n}$ 且 ${\mbox{Ind}}(A)=k$, ${rk}(A^{k})=r$,则存在一个酉矩阵 $U\in\mathbb{C}_{n,n}$ 使得

其中 $T\in\mathbb{C}_{r, r}$ 是非奇异, $S\in\mathbb{C}_{r, n-r}$,$N\in\mathbb{C}_{n-r, n-r}$ 是幂零的.此外, 设 $A$ 的形式如 (2.1) 式所示,有

这里$\widehat{T}=\sum\limits_{i=1}^{k} T^{i-1}SN^{k-i}$.令

设 $U$ 的形式如 (2.1) 式所示. 令

这里 $G_1\in\mathbb{C}_{r,r}$.

引理2.2^[20] 设 $A\in\mathbb{C}_{n, n}$ 且 ${\mbox{Ind}}(A)=k$, 则 ${\mbox{rk}}\left(A^{k}\right) = {\mbox{rk}} \left(\left(A^{k}\right)^{\sim}A^{k}\right)=r$ 当且仅当$G_{1}$ 可逆.

引理2.3^[20] 设 $A$ 的形式如 (2.1) 式所示, ${\mbox{rk}}\left(A^{k}\right) = {\mbox{rk}} \left(\left(A^{k}\right)^{\sim}A^{k}\right)=r$, 则

引理2.4^[33] 设 $A$ 的形式如 (2.1) 式所示, ${\mbox{rk}}\left(A^{k}\right) = {\mbox{rk}} \left(\left(A^{k}\right)^{\sim}A^{k}\right)=r$, 则

定义2.1^[35] 设 $A\in\mathbb{C}_{n,n}$ 且 ${\mbox{Ind}}(A)=k$, 如果存在唯一矩阵 $X\in\mathbb{C}_{n, n}$ 满足

则称 $X$ 为 $A$ 的 Drazin 逆, 记为 $A^{D}$.特别地, 当 $A\in\mathbb{C}^{\tiny{\mbox{CM}}}_n$, 称 $X$ 为 $A$ 的群逆,记为 $A^{\sharp}$.

引理2.5^[35] 设 $A\in\mathbb{C}^{\tiny{\mbox{CM}}}_n$, 则

引理2.6^[19] 设 $A\in\mathbb{C}^{\tiny{\mbox{CM}}}_n$ 且 ${\mbox{rk}}\left(A\right) = {\mbox{rk}} \left(A^{\sim}A\right)$, 则

引理2.7^[20] 设 $A\in\mathbb{C}_{n, n}$ 且 ${\mbox{Ind}}(A)=k$, ${\mbox{rk}}\left(A^{k}\right) = {\mbox{rk}} \left(\left(A^{k}\right)^{\sim}A^{k}\right)=r$, 则

引理2.8^[33] 设 $A\in\mathbb{C}_{n, n}$ 且 ${\mbox{Ind}}(A)=k$, ${\mbox{rk}}\left(A^{k}\right) = {\mbox{rk}} \left(\left(A^{k}\right)^{\sim}A^{k}\right)=r$, 则

引理2.9^[35] 设 $E$ 和 $F$ 为 $\mathbb{C}_{n}$ 的互补子空间, $P_{E,F}$ 表示沿 $E$ 到 $F$ 上投影算子, $M\in\mathbb{C}_{n,n}$, 则

(a) $P_{E,F}M=M\Leftrightarrow {\mathcal{R}}(M)\subseteq E$;

(b) $MP_{E,F}=M\Leftrightarrow F\subseteq {\mathcal{N}}(M)$.

下面, 我们利用值域和零空间给出 $\mathfrak{m}$-WG 逆的一些刻画.

定理3.1 设 $A\in\mathbb{C}_{n, n}$ 且 ${\mbox{Ind}}(A)=k$, ${\mbox{rk}}\left(A^{k}\right) = {\mbox{rk}} \left(\left(A^{k}\right)^{\sim}A^{k}\right)=r$, 则

此外,

证 设 $A$ 的形式如 (2.1) 式所示, 应用引理2.7 和引理2.8, 得到 $\mathcal{R}(AA^{W})\subseteq \mathcal{R}(A^{k})$ 和 $\mathcal{R}(A^{W}A)\subseteq\mathcal{R}(A^{k})$. 下面, 我们只需验证 $\mathcal{R}(A^{k})\subseteq \mathcal{R}(AA^{W})$ 和 $\mathcal{R}(A^{k})\subseteq \mathcal{R}(A^{W}A)$. 由 (1.3) 式, 有 $AA^{W}=A^{(E)}A$. 在 $AA^{W}=A^{(E)}A$ 等式两边同时右乘 $A^{k}$, 得到 $AA^{W}A^{k}=A^{(E)}A^{k+1}$. 由 (1.2) 式, 可以得到 $AA^{W}A^{k}=A^{k}$. 因此, $\mathcal{R}(A^{k})\subseteq \mathcal{R}(AA^{W})$. 应用 (2.1), (2.2) 和 (2.6) 式, 可以得到 $A^{W}A^{k+1}=A^{k}$. 因此, $\mathcal{R}(A^{k})\subseteq \mathcal{R}(A^{W}A)$. 根据上面, 得到 $\mathcal{R}(AA^{W})=\mathcal{R}(A^{k})$ 和 $\mathcal{R}(A^{W}A)=\mathcal{R}(A^{k})$.

下面, 我们验证 $\mathcal{N}(AA^{W})=\mathcal{N}((A^{k})^{\sim}A)$ 和 $\mathcal{N}(A^{W}A)=\mathcal{N}((A^{k})^{\sim}A^{2})$.取任意 $x\in \mathcal{N}(AA^{W})$, 即 $AA^{W}x=0$.令

则

由 $AA^{W}x=0$, 可以得到 $x_{1}=-T^{-1}(S+G_{1}^{-1}G_{2}N)x_{2}$, 即 $x= U \left[ \begin{matrix} -T^{-1}(S+G_{1}^{-1}G_{2}N)x_{2}\\ x_{2} \end{matrix} \right]$,

这里 $x_{2}\in \mathbb{C}_{n-r,1}$ 是任意的.

利用同样的证明方法,取任意 $y\in \mathcal{N}((A^{k})^{\sim}A)$, 即 $(A^{k})^{\sim}Ay=0$.令

则

由 $(A^{k})^{\sim}Ay=0$, 可以得到 $y_{1}=-T^{-1}(S+G_{1}^{-1}G_{2}N)y_{2}$, 即 $y= GU \left[ \begin{matrix} -T^{-1}(S+G_{1}^{-1}G_{2}N)y_{2}\\ y_{2} \end{matrix} \right]$, 这里 $y_{2}\in \mathbb{C}_{n-r,1}$ 是任意的. 由于方程组 $AA^{W}x=0$ 和 $(A^{k})^{\sim}Ay=0$ 是同解, 可以得到 $\mathcal{N}(AA^{W})=\mathcal{N}((A^{k})^{\sim}A)$. 类似证明, 容易得到 $\mathcal{N}(A^{W}A)=\mathcal{N}((A^{k})^{\sim}A^{2})$. 此外, 由文献 [33,推论 3.2(ii)], 有 $A^{W}AA^{W}$=$A^{W}$, 即 $AA^{W}$ 和 $A^{W}A$ 都是幂等矩阵, 因此 $AA^{W}$ 和 $A^{W}A$ 都是投影算子, 即 $AA^{W}=P_{\mathcal{R}(AA^{W}), \mathcal{N}(AA^{W})}=P_{\mathcal{R}(A^{k}), \mathcal{N}((A^{k})^{\sim}A)}$ 和 $A^{W}A=P_{\mathcal{R}(A^{W}A), \mathcal{N}(A^{W}A)}=P_{\mathcal{R}(A^{k}), \mathcal{N}((A^{k})^{\sim}A^{2})}$. 定理 3.1 得证.

引理3.1^[31] 设 $A\in\mathbb{C}_{n, n}$ 且 ${\mbox{rk}}\left(A\right)=t$. $T$ 和 $S$ 是 $\mathbb{C}_{n}$ 的子空间且 $\dim(T)=\dim(S^{\perp})=s \leq t$. 若 $X$ 满足

则 $X$ 是唯一的, 并记为 $A^{(2)}_{T,S}$.

引理3.2 设 $A\in\mathbb{C}_{n, n}$ 且 ${\mbox{Ind}}(A)=k$, ${\mbox{rk}}\left(A^{k}\right) = {\mbox{rk}} \left(\left(A^{k}\right)^{\sim}A^{k}\right)=r$, 则

证 设 $A$ 的形式如 (2.1) 式所示, 由引理 2.7 和引理 2.8 得, $\mathcal{R}(A^{W})\subseteq \mathcal{R}(A^{k})$. 由文献 [33,定理 2.5(iii)], 有 $A^{W}A^{k+1}=A^{k}$, 即 $\mathcal{R}(A^{k}) \subseteq \mathcal{R}(A^{W})$. 因此, $\mathcal{R}(A^{W})=\mathcal{R}(A^{k})$. 应用 (1.3) 式和 (2.8) 式, 得到 $\mathcal{N}(AA^{W})=\mathcal{N}(A^{(E)}A)\subseteq \mathcal{N}((A^{(E)})^{2}A)=\mathcal{N}(A^{W})\subseteq\mathcal{N}(AA^{W})$. 因此, $\mathcal{N}(A^{W})$$=\mathcal{N}(AA^{W})=\mathcal{N}((A^{k})^{\sim}A)$. 由文献 [33,推论 3.2(ii)], 有 $A^{W}AA^{W}=A^{W}$. 应用引理 3.1, 得到 (3.1) 式.

下面, 应用 $\mathcal{R}(A^{W})=\mathcal{R}(A^{k})$ 和 $\mathcal{N}(A^{W})=\mathcal{N}((A^{k})^{\sim}A)$,我们给出 $A$ 的 $\mathfrak{m}$-WG 逆的几个等价刻画.

定理3.3 设 $A\in\mathbb{C}_{n, n}$ 且 ${\mbox{Ind}}(A)=k$, ${\mbox{rk}}\left(A^{k}\right) = {\mbox{rk}} \left(\left(A^{k}\right)^{\sim}A^{k}\right)=r$, $X\in\mathbb{C}_{n, n}$, 则下面几个命题是等价

(a) $X=A^{W}$;

(b) $\mathcal{R}(X)=\mathcal{R}(A^{k})$, $\mathcal{N}(X)=\mathcal{N}((A^{k})^{\sim}A)$ 和 $XA^{k+1}=A^{k}$;

(c) $\mathcal{R}(X)=\mathcal{R}(A^{k})$ 和 $AX=A^{(E)}A$;

(d) $XAX=X$, $\mathcal{R}(XA)=\mathcal{R}(A^{k})$ 和 $AX=A^{(E)}A$;

(e) $XAX=X$, $\mathcal{R}(X)=\mathcal{R}(A^{k})$ 和 $\mathcal{N}(X)=\mathcal{N}((A^{k})^{\sim}A)$.

证b (a)$\Rightarrow$(b) 应用定理3.2, 得到 $\mathcal{R}(X)=\mathcal{R}(A^{k})$, $\mathcal{N}(X)=\mathcal{N}((A^{k})^{\sim}A)$. 设 $A$ 的形式如 (2.1) 式所示, $A^{k}=U\left[ {{\begin{matrix} T^{k} &\widehat{T} \\ 0 &0 \\ \end{matrix} }} \right]U^{*}$. 由 (2.6) 式, 有

因此,

(b)$\Rightarrow$(a) 由 $\mathcal{R}(X)=\mathcal{R}(A^{k})$, 有 $X=A^{k}Y$, 这里 $Y\in\mathbb{C}_{n, n}$.应用 $XA^{k+1}=A^{k}$, 得到 $XAX=X$. 由定理 3.2, 可以得到 $X=A^{(2)}_{\mathcal{R}(A^{k}), \mathcal{N}((A^{k})^{\sim}A)}=A^{W}$.

(a)$\Rightarrow$(c) 可以直接从定理 3.2 和 (1.3) 式得到.

(c)$\Rightarrow$(a) 设 $X=U\left[ {{\begin{matrix} X_{1} &X_{2} \\ X_{3} &X_{4} \\ \end{matrix} }} \right]U^{*}$ 和 $A^{k}=U\left[ {{\begin{matrix} T^{k} &\widehat{T} \\ 0 &0 \\ \end{matrix} }} \right]U^{*}$. 应用 $\mathcal{R}(X)=\mathcal{R}(A^{k})$, 可以得到

应用 $AX=A^{(E)}A$, (2.1), (2.5) 和 (2.6) 式, 可以得到

(a)$\Rightarrow$(d) 应用定理 3.2 和 (1.3) 式, 可以得到 $XAX=X$, $\mathcal{R}(X)=\mathcal{R}(A^{k})$ 和 $AX=A^{(E)}A$. 因为 $\mathcal{R}(X)=\mathcal{R}(XAX)\subseteq \mathcal{R}(XA) \subseteq \mathcal{R}(X)=\mathcal{R}(A^{k})$, 有 $\mathcal{R}(XA)=\mathcal{R}(A^{k})$.

(d)$\Rightarrow$(c) 应用 $XAX=X$ 和 $\mathcal{R}(XA)=\mathcal{R}(A^{k})$, 得到 $\mathcal{R}(X)=\mathcal{R}(A^{k})$.

(a)$\Leftrightarrow$(e) 可以直接从定理 3.2 得到.

应用定理 3.1, 当 $X=A^{W}$ 时, 容易得到

但是, 由 $AX=P_{\mathcal{R}(A^{k}), \mathcal{N}((A^{k})^{\sim}A)}$ 和 $XA=P_{\mathcal{R}(A^{k}), \mathcal{N}((A^{k})^{\sim}A^{2})}$ 并不能推出 $X=A^{W}$. 下面, 我们给出例子来说明.

例3.1 设 $A=\left[ \begin{matrix} \frac{2}{9} & \frac{4}{9} & -\frac{5}{9} \\ -\frac{2}{9} & \frac{5}{9} & -\frac{4}{9}\\ -\frac{8}{9} & \frac{2}{9} & \frac{2}{9} \end{matrix} \right]$ 且 $k={\mbox{Ind}}(A)=2$, $X=\left[ \begin{matrix} \frac{16}{9} & -\frac{10}{9} & \frac{2}{9} \\ \frac{2}{9} & \frac{1}{9} & -\frac{2}{9}\\ -\frac{28}{9} & \frac{22}{9} & -\frac{8}{9} \end{matrix} \right]$, 则 $A^{W}=\left[ \begin{matrix} \frac{20}{9} & -\frac{14}{9} & \frac{4}{9} \\ \frac{10}{9} & -\frac{7}{9} & \frac{2}{9}\\ -\frac{20}{9} & \frac{14}{9} & -\frac{4}{9} \end{matrix} \right]$.

容易验证 $AX=P_{\mathcal{R}(A^{k}), \mathcal{N}((A^{k})^{\sim}A)}$ 和 $XA=P_{\mathcal{R}(A^{k}), \mathcal{N}((A^{k})^{\sim}A^{2})}$. 然而, $X\neq A^{W}$. 下面, 我们给出了成立的充要条件.

定理3.4设 $A\in\mathbb{C}_{n, n}$ 且 ${\mbox{Ind}}(A)=k$, ${\mbox{rk}}\left(A^{k}\right) = {\mbox{rk}} \left(\left(A^{k}\right)^{\sim}A^{k}\right)=r$, $X\in\mathbb{C}_{n, n}$, 则 $X=A^{W}$ 的充要条件是

证$\Rightarrow$) 若 $X=A^{W}$, 应用定理 3.1, 定理 3.2 和定理 3.3, 可以得到方程组 (3.2).

$\Leftarrow$) 由 ${\mbox{rk}}\left(X\right)={\mbox{rk}}\left(A^{k}\right)$, 可以得到 $\mathcal{R}(X)=\mathcal{R}(A^{k})$. 应用 $\mathcal{R}(X)=\mathcal{R}(A^{k})$ 和引理 2.9 (i), 可以得到 $XAX=P_{\mathcal{R}(A^{k}),\mathcal{N}((A^{k})^{\sim}A^{2})}X=X$. 因此, $\mathcal{N}(AX)\subseteq\mathcal{N}(XAX)=\mathcal{N}(X)\subseteq\mathcal{N}(AX)=\mathcal{N}((A^{k})^{\sim}A)$, 即 $\mathcal{N}(X)=\mathcal{N}((A^{k})^{\sim}A)$. 应用定理 3.2, 可以得到 $X=A^{W}$.

在本节中, 我们将研究 $\mathfrak{m}$-WG 逆与非奇异加边矩阵之间的关系, 这种关系是由克莱默法则表示出来.

定理4.1 设 $A\in\mathbb{C}_{n, n}$ 且 ${\mbox{Ind}}(A)=k$, ${\mbox{rk}}\left(A^{k}\right) = {\mbox{rk}} \left(\left(A^{k}\right)^{\sim}A^{k}\right)=r$. 设 $B\in\mathbb{C}_{n, n-r}$ 和 $C^{*}\in\mathbb{C}_{n, n-r}$ 是列满秩矩阵并且使得

则

是可逆的, 并且有

证 设

应用引理 2.7 和引理 2.8, 有

应用定理 3.1 和引理 2.8, 得到

因此,

类似证明, 可以得到 $Z\mathcal{A}=I_{2n-r}$.

定理4.2 设 $A\in\mathbb{C}_{n, n}$ 且 ${\mbox{Ind}}(A)=k$, ${\mbox{rk}}\left(A^{k}\right) = {\mbox{rk}} \left(\left(A^{k}\right)^{\sim}A^{k}\right)=r$. 设 $B\in\mathbb{C}_{n, n-r}$ 和 $C^{*}\in\mathbb{C}_{n, n-r}$ 是列满秩矩阵并且使得

如果 $b\in \mathcal{R}(A^{k})$, 那么 $x=A^{W}b$ 是奇异线性方程组 $Ax = b$ 的唯一解, 并且解的分量表示为

证 应用 $x=A^{W}b\in \mathcal{R}(A^{k})$ 和 $\mathcal{R}(A^{k})=\mathcal{N}(C)$, 得到 $Cx=0$, 则 $Ax=b$ 的解满足

应用定理 4.2, 有 $x=A^{W}b$, 并且它的分量形式由克拉默法则表示为

证毕.

在本节中, 我们给出 $\mathfrak{m}$-WG 逆的扰动界.

引理5.1^[36] 设 $A\in\mathbb{C}_{n,n}$ 且 $\|A\|\leq1$, 则 $I_{n}+A$ 是可逆的, 并且有

定理5.1 设 $A\in\mathbb{C}_{n, n}$ 且 ${\mbox{Ind}}(A)=k$, ${\mbox{rk}}\left(A^{k}\right) = {\mbox{rk}} \left(\left(A^{k}\right)^{\sim}A^{k}\right)=r$, $B=A+E\in\mathbb{C}_{n, n}$. 如果 $E$ 满足 $AA^{W}E=E$, $EAA^{W}=E$ 和 $\|A^{W}E\|<1$, 则

此外,

证 设 $A$ 的形式如 (2.1) 式所示, $E$ 的分解形式为

因为 $E$ 满足 $AA^{W}E=E$, 即

于是, 可以得到 $E_{21}=0$ 和 $E_{22}=0$. 此外,

因为 $E$ 满足 $EAA^{W}=E$, 即

因此, 有 $E_{12}=E_{11}T^{-1}(S+G_{1}^{-1}G_{2}N)$. 应用 (2.6) 式和 (5.3) 式, 得到

因为 $\|A^{W}E\|<1$, 所以 $I_{n}+A^{W}E$ 和 $T+E_{11}$ 是可逆的. 则

应用 (2.6) 式和 (5.5) 式, 得到

应用 (5.4) 式, (5.6) 式和 $E_{12}=E_{11}T^{-1}(S+G_{1}^{-1}G_{2}N)$, 得到 $B^{W}=(I_{n}+A^{W}E)^{-1}A^{W}$. 此外,

应用 (5.7) 式和 (2.6) 式, 得到

应用 (5.4) 式, (5.8) 式和 $E_{12}=E_{11}T^{-1}(S+G_{1}^{-1}G_{2}N)$, 得到 $B^{W}=A^{W}(I_{n}+EA^{W})^{-1}$. 应用 (2.1), (2.6), (5.3) 和 (5.4) 式, 得到

$\begin{align*} BB^{W} & = U \left[ \begin{matrix} T+E_{11} & S+E_{12}\\ 0 & N \end{matrix} \right] U^{*} U \left[ \begin{matrix} (T\!+\!E_{11})^{-1} & (T\!+\!E_{11})^{-2}(S+E_{12}+G_{1}^{-1}G_{2}N) \\ 0 & 0 \end{matrix} \right] U^{*} \\ & = U \left[ \begin{matrix} I_{r} & (T+E_{11})^{-1}(S+E_{12}+G_{1}^{-1}G_{2}N) \\ 0 & 0 \end{matrix} \right] U^{*}, \end{align*}$

$AA^{W} = U \left[ \begin{matrix} T & S\\ 0 & N \end{matrix} \right] U^{*} U \left[ \begin{matrix} T^{-1} & T^{-2}(S+G_{1}^{-1}G_{2}N) \\ 0 & 0 \end{matrix} \right] U^{*} = U \left[ \begin{matrix} I_{r} & T^{-1}(S+G_{1}^{-1}G_{2}N) \\ 0 & 0 \end{matrix} \right] U^{*}.$

应用 $E_{12}=E_{11}T^{-1}(S+G_{1}^{-1}G_{2}N)$, 得到 $BB^{W}=AA^{W}$.

下面, 我们验证 (5.1) 式和 (5.2) 式. 应用引理 5.1, 得到

应用 $B^{W}=(I_{n}+A^{W}E)^{-1}A^{W}$ 和 (5.9) 式, 得到

应用 (2.6) 式, (5.3) 式, (5.4) 式和$E_{12}=E_{11}T^{-1}(S+G_{1}^{-1}G_{2}N)$, 得到

即 $(I+A^{W}E)B^{W}=A^{W}$. 因此,

应用 (5.10) 式和 (5.12) 式, 得到

应用 (5.10) 式和 (5.11) 式, 得到

证毕.

推论5.1 设 $A\in\mathbb{C}_{n, n}$ 且 ${\mbox{Ind}}(A)=k$, ${\mbox{rk}}\left(A^{k}\right) = {\mbox{rk}} \left(\left(A^{k}\right)^{\sim}A^{k}\right)=r$, $B=A+E\in\mathbb{C}_{n, n}$. 如果 $E$ 满足 $\mathcal{R}(E)\subseteq\mathcal{R}(A^{k})$, $EAA^{W}=E$ 和 $\|A^{W}E\|<1$, 则

此外,

证 应用引理 2.9 和定理 3.1, 我们知道 $\mathcal{R}(E)\subseteq\mathcal{R}(A^{k})$ 等价于 $AA^{W}E=E$. 下面, 类似于定理 5.1的证明过程, 容易得到 (5.13), (5.14) 和 (5.15) 式.

推论5.2 设 $A\in\mathbb{C}_{n, n}$ 且 ${\mbox{Ind}}(A)=k$, ${\mbox{rk}}\left(A^{k}\right) = {\mbox{rk}} \left(\left(A^{k}\right)^{\sim}A^{k}\right)=r$, $B=A+E\in\mathbb{C}_{n, n}$. 如果 $E$ 满足 $A^{W}AE=E$, $EAA^{W}=E$ 和 $\|A^{W}E\|<1$, 则

此外,

证 设 $A$ 的形式如 (2.1) 式所示, $E$ 的分解形式为

由于 $E$ 满足 $A^{W}AE=E$, 即

因此, 得到 $E_{21}=0$ 和 $E_{22}=0$. 下面, 类似于定理 5.1 的证明过程, 容易得到 (5.16),(5.17) 和 (5.18) 式.

在这一节, 我们利用逐次矩阵平方算法^[37] 给出 $\mathfrak{m}$-WG 逆的计算. 应用 (1.3), (2.8), (2.7) 和 (1.1) 式, 得到

则

设

参见文献 [37] 逐次矩阵平方算法迭代, 给出计算 $A^{W}$ 的迭代序列

令

$X_{m}$ 是 $T^{m}$ 右上角分块, 即 $X_{m}=\sum\limits^{m-1}_{i=0}P^{i}Q$. $T^{m}$ 计算为

此外,

由文献 [37,定理 2.1], 我们给出下面定理 6.1.

定理6.1 设 $A\in\mathbb{C}_{n, n}$ 且 ${\mbox{Ind}}(A)=k$, ${\mbox{rk}}\left(A^{k}\right) = {\mbox{rk}} \left(\left(A^{k}\right)^{\sim}A^{k}\right)=r$. $\beta$ 是实参数并使得 $\max \limits_{1\leq i\leq s}|1-\beta\lambda_{i}|<1$, $\lambda_{i} (i=1,\cdots,s)$ 是 $A^{k}(A^{k})^{\sim}A^{2}$ 的非零特征值. 当 $\rho(I-X_{0}A)<1$, 有

收敛于 $A^{W}$, 并且误差估计为

此外,

证 应用 (6.1) 式和 (6.4) 式, 得到

应用数学归纳法, 有

因此,

最后等式, 我们利用了 $\lim\limits_{n\to \infty}\|B^{n}\|^{1/n}=\rho(B)$. 证毕.

例6.1 设 $A=\left[ \begin{matrix} 0 & 4 & -1 \\ -1 & 3 & -1 \\ -2 & -2 & 0 \end{matrix} \right]$ 且 ${\mbox{Ind}}(A)=2$. 令

$A^{2}(A^{2})^{\sim}A^{2}$ 的特征值 $\lambda_{i}$ 为 $\{0, 0, 468\}$, 则非零特征值 $\lambda_{i}$ 满足

通过计算, 会发现算法迭代第 $36$ 次时收敛, $A^{W}$ 的近似值为 $(T^{2})^{36}$ 的右上角, 有

即

此外, 我们知道 $A^{†}$ 可以通过数学软件 Matlab 直接计算, 即 pinv(A) 语句. 应用引理 2.5, 引理 2.6, 引理 2.8, 引理 2.9 和 (2.3) 式, 得到

根据上式, 有 $A^{W}=X$. 如果 $A^{W}\neq X$, 我们考虑给出误差矩阵的范数, 即 $\|A^{W}-X\|$.