数学物理学报, 2024, 44(3): 539-546

高维 Hardy 算子及其交换子的双权不等式

王瑶瑶,, 吕玫钏,, 李文明,*

河北师范大学数学科学学院 石家庄 050024

Two-Weight Inequalities for $ {n}$-dimentional Hardy Operator and Commutators

Wang Yaoyao,, Lv Meichuan,, Li Wenming,*

School of Mathematical Sciences, Hebei Normal University, Shijiazhuang 050024

通讯作者: Email：lwmingg@sina.com

收稿日期: 2023-04-1   修回日期: 2023-10-30  

基金资助: 河北省自然科学基金项目(A2021205013)

Received: 2023-04-1   Revised: 2023-10-30  

Fund supported: Natural Science Foundation of Hebei Province(A2021205013)

作者简介 About authors

王瑶瑶,Email：767155064@qq.com;

吕玫钏,Email：2415521868@qq.com

摘要

设 $ P $ 为 $ \mathbb{R}^n $ 上的Hardy 算子, $ Q $ 为 $ P $ 的对偶算子. 该文得出了 $ P $, $ Q $ 以及与 $ CMO $ 函数构成的交换子的双权不等式.

关键词： Hardy 算子; 交换子; $ CMO $; 双权不等式

Abstract

Let $ P $ be the Hardy operator on $ \mathbb{R}^n $ and $ Q $ be the adjoint operator. In this paper, we get the two-weight inequalities for $ P $, $ Q $ and the commutators of $ P $ and $ Q $ with $ CMO $ functions.

Keywords： Hardy operator; Commutator; $ CMO $; Two-weight inequality

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本文引用格式

王瑶瑶, 吕玫钏, 李文明. 高维 Hardy 算子及其交换子的双权不等式[J]. 数学物理学报, 2024, 44(3): 539-546

Wang Yaoyao, Lv Meichuan, Li Wenming. Two-Weight Inequalities for $ {n}$-dimentional Hardy Operator and Commutators[J]. Acta Mathematica Scientia, 2024, 44(3): 539-546

1 引言

设 $ f $ 为 $ \mathbb{R}^n $ 上的局部可积函数, 高维 Hardy 算子 $ P $ 及其对偶算子 $ Q $ 的定义为

$\begin{align*} Pf(x)=\frac{1}{|x|^n}\int_{|y|\leq|x|}f(y){\rm d}y, \ \ \ Qf(x)=\int_{|y|\geq|x|}\frac{f(y)}{|y|^n}{\rm d}y, \ x\in\mathbb{R}^n. \end{align*}$

高维 Hardy 算子是 Faris[1]研究量子力学问题时定义的, 在数学物理许多问题的研究中起着重要作用. Chirst 与 Grafakos[2]证明了若 $ 1<p<\infty $, 则 $ P: L^p(\mathbb{R}^n)\rightarrow L^p(\mathbb{R}^n) $ 有界, 由对偶性可得 $ Q: L^p(\mathbb{R}^n)\rightarrow L^p(\mathbb{R}^n) $ 也有界.

设 $ b $ 为 $ \mathbb{R}^n $ 上局部可积函数, 称 $ b\in BMO(\mathbb{R}^n) $, 若

$\begin{align*} \|b\|_{BMO}=\sup_{B}\frac{1}{|B|}\int_{B}|b(x)-b_{B}|{\rm d}x<\infty, \end{align*}$

其中上确界是对 $ \mathbb{R}^n $ 中任意球体 $ B $ 取得, $ |B| $ 表示 $ B $ 的 Lebesgue 测度, $ b_{B}=\frac{1}{|B|}\int_{B}b(x){\rm d}x $.

设 $ 1\leq q<\infty $, $ b\in L^q_{Loc}(\mathbb{R}^n) $, 称 $ b\in CMO^q(\mathbb{R}^n) $, 若

$\begin{align*} \|b\|_{CMO^q}=\sup_{t>0}\bigg(\frac{1}{|B(0,t)|}\int_{B(0,t)}|b(x)-b_{B(0,t)}|^q{\rm d}x\bigg)^{1/q}<\infty. \end{align*}$

其中 $ B(0,t)=\{x\in \mathbb{R}^n: |x|\leq t\} $. 注意到对 $ 1\leq p<q<\infty $, $ CMO^q(\mathbb{R}^n)\subsetneqq CMO^p(\mathbb{R}^n) $. $ CMO^p $ 空间就是中心 $ BMO $ 空间, 是由 Lu 与 Yang[3]定义的. 易见对 $ 1\leq p<\infty $, $ BMO(\mathbb{R}^n)\subsetneqq CMO^p(\mathbb{R}^n) $.

设 $ b $ 是 $ \mathbb{R}^n $ 上的局部可积函数, 高维 Hardy 算子 $ P $ 及其对偶算子 $ Q $ 与 $ b $ 构成的交换子定义为

$\begin{align*} P_bf(x)=\frac{1}{|x|^n}\int_{|y|\leq|x|}(b(x)-b(y))f(y){\rm d}y, \\ Q_bf(x)=\int_{|y|\geq|x|}\frac{(b(x)-b(y))f(y)}{|y|^{n}}{\rm d}y. \end{align*}$

Fu 等[4]给出了高维 Hardy 算子交换子的特征, Zhao 等[5]得到了高维 Hardy 算子及其交换子的端点估计, 关于高维 Hardy 算子及其交换子的其它结果参见文献[6⇓-8].

Duoandikoetxea, Martín-Reyes 与 Ombrosi[9]为了研究高维 Hardy 算子 $ P $ 的加权有界性, 对 $ 1<p<\infty $, 定义了权函数类 $ A_{p,0} $.权函数 $ w\in A_{p,0} $, 若

$\begin{eqnarray*} \sup_{t>0}\bigg(\frac{1}{|B(0,t)|}\int_{B(0,t)}w(y){\rm d}y\bigg)\bigg(\frac{1}{|B(0,t)|}\int_{B(0,t)}w(y)^{-p'/p}{\rm d}y\bigg)^{p/p'}<\infty, \end{eqnarray*}$

并证明了 $ w\in A_{p,0} $ 为高维 Hardy 算子 $ P $ 与 $ Q $ 在 $ L^p(w) $ 上有界的充分条件, 也是算子 $ P+Q: L^p(w)\rightarrow L^p(w) $ 有界的必要条件.

设 $ 1<p<\infty $, 称权函数 $ w $ 满足 Muckenhoupt[10]定义的 $ A_p $ 条件, 记为 $ w\in A_p $, 若

$\begin{align*} \sup_B\bigg(\frac{1}{|B|}\int_B w(x){\rm d}x\bigg)\bigg(\frac{1}{|B|}\int_B w(x)^{-p'/p}{\rm d}x\bigg)^{p/p'}<\infty, \end{align*}$

其中上确界是对 $ \mathbb{R}^n $ 中任意球 $ B $ 取得. 易见 $ A_p\subset A_{p,0} $.

关于高维 Hardy 算子的双权有界性, Drábek 等[11]证明了高维 Hardy 算子 $ P $ 在 $ L^p(v)\rightarrow L^p(u) $ 上有界的充要条件是权函数 $ (u,v) $ 满足下列 $ M_p $ 条件:若 $ 1\leq p<\infty $,

$\begin{align*} \sup_{r>0}\bigg(\int_{|x|> r}|x|^{-np}u(x){\rm d}x\bigg)^{1/p}\bigg(\int_{|x|\leq r}v(x)^{1-p'}{\rm d}x\bigg)^{1/p'}<\infty. \end{align*}$

Zhao 等[12]对高维双线性 Hardy 算子也证明了类似的加权不等式.

本文利用 Long 等[13], Li 等[14]研究经典 Hardy 算子的方法,给出高维 Hardy 算子 $ {P} $, 其对偶算子 $ Q $ 以及交换子双权不等式成立的 $ A_p $ 型充分条件.

2 高维 Hardy 算子的双权不等式

本节我们给出高维 Hardy 算子 $ P $ 以及对偶算子 $ Q $ 双权有界的充分条件.

定理2.1 设 $ 1<p<\infty $, 若存在 $ r>1 $, 权函数 $ (u,v) $ 满足对任意的 $ t>0 $,

$\begin{eqnarray*} \bigg(\frac{1}{|B(0,t)|}\int_{B(0,t)}u(y){\rm d}y\bigg)\bigg(\frac{1}{|B(0,t)|}\int_{B(0,t)}v(y)^{-rp'/p}{\rm d}y\bigg)^{p/rp'}\leq C<\infty, \end{eqnarray*}$

则存在常数 $ C>0 $, 使得对任意可测函数 $ f $, 有

$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}^n}|Pf(x)|^pu(x){\rm d}x\leq C \int_{\mathbb{R}^n}|f(x)|^pv(x){\rm d}x. \end{eqnarray*}$

证 由 Hölder 不等式以及权条件有

$\begin{eqnarray*} &&\int_{\mathbb{R}^n}|{P}f(x)|^pu(x){\rm d}x \\ &\leq&\sum_{j=-\infty}^{\infty}\int_{{2^j}\leq |x|<{2^{j+1}}}\bigg(\frac{1}{2^{jn}}\int_{|y|\leq 2^{j+1}}|f(y)|{\rm d}y\bigg)^pu(x){\rm d}x\\ &=&\sum_{j=-\infty}^{\infty}\int_{{2^j}\leq |x|<{2^{j+1}}}\bigg(\frac{1}{2^{jn}}\sum_{k=-\infty}^{j}\int_{2^k\leq |y|< 2^{k+1}}|f(y)|{\rm d}y\bigg)^pu(x){\rm d}x\\ &\leq&\sum_{j=-\infty}^{\infty}\int_{{2^j}\leq|x|<{2^{j+1}}}u(x){\rm d}x\\ &&\times\bigg(\frac{1}{2^{jn}}\sum_{k=-\infty}^{j}\bigg(\int_{2^k\leq|y|< 2^{k+1}}|f(y)|^pv(y){\rm d}y\bigg)^{1/p}\bigg(\int_{2^k\leq|y|< 2^{k+1}}v(y)^{-p'/p}{\rm d}y\bigg)^{1/p'}\bigg)^p\\ &\leq&\sum_{j=-\infty}^{\infty}\int_{|x|<{2^{j+1}}}u(x){\rm d}x\bigg(\frac{1}{2^{jn}}\sum_{k=-\infty}^{j}\bigg(\int_{2^k\leq|y|< 2^{k+1}}|f(y)|^pv(y){\rm d}y\bigg)^{1/p}\\ &&\times\bigg(\int_{|y|< 2^{j+1}}v(y)^{-rp'/p}{\rm d}y\bigg)^{1/{rp'}}\bigg(\int_{2^k\leq|y|<2^{k+1}}1{\rm d}y\bigg)^{1/{r'p'}}\bigg)^p\\ &\leq& C\sum_{j=-\infty}^{\infty}\bigg(\sum_{k=-\infty}^j2^\frac{(k-j)n}{r'p'}\bigg(\int_{2^k\leq|y|<2^{k+1}}|f(y)|^pv(y){\rm d}y\bigg)^{1/p}\bigg)^p\\ &\leq& C\sum_{j=-\infty}^{\infty}\bigg(\sum_{k=-\infty}^j2^\frac{(k-j)n}{2r'}\bigg)^{p/p'} \bigg(\sum_{k=-\infty}^j2^\frac{(k-j)pn}{2r'p'}\int_{2^k\leq|y|<2^{k+1}}|f(y)|^pv(y){\rm d}y\bigg)\\ &\leq& C\sum_{j=-\infty}^{\infty}\sum_{k=-\infty}^j2^{\frac{(k-j)pn}{2r'p'}}\int_{2^k\leq|y|<2^{k+1}}|f(y)|^pv(y){\rm d}y\\ &=&C\sum_{k=-\infty}^{\infty}\sum_{j=k}^{\infty}2^{\frac{(k-j)pn}{2r'p'}}\int_{2^k\leq|y|<2^{k+1}}|f(y)|^pv(y){\rm d}y\\ &\leq& C\sum_{k=-\infty}^{\infty}\int_{2^k\leq|y|<2^{k+1}}|f(y)|^pv(y){\rm d}y\\ &=&C\int_{\mathbb{R}^n}|f(y)|^pv(y){\rm d}y. \end{eqnarray*}$

定理 2.1 得证.

定理2.2 设 $ 1<p<\infty $, 若存在 $ r>1 $, 权函数 $ (u,v) $ 满足对任意的 $ t>0 $,

$\begin{eqnarray*} \bigg(\frac{1}{|B(0,t)|}\int_{B(0,t)}u(y)^r{\rm d}y\bigg)^{1/r}\bigg(\frac{1}{|B(0,t)|}\int_{B(0,t)}v(y)^{-p'/p}{\rm d}y\bigg)^{p/p'}\leq C<\infty. \end{eqnarray*}$

则存在常数 $ C>0 $, 使得对任意可测函数 $ f $, 有

$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}^n}|Qf(x)|^pu(x){\rm d}x\leq C \int_{\mathbb{R}^n}|f(x)|^pv(x){\rm d}x. \end{eqnarray*}$

证 由 Hölder 不等式及权条件有

$\begin{eqnarray*} &&\int_{\mathbb{R}^n}|Qf(x)|^pu(x){\rm d}x \\ &\leq&\sum_{j=-\infty}^{\infty}\int_{{2^j}\leq|x|<{2^{j+1}}}\bigg(\sum_{k=j}^{\infty}\frac{1}{2^{kn}}\int_{2^k\leq|y|<2^{k+1}}f(y){\rm d}y\bigg)^pu(x){\rm d}x\\ &\leq&\sum_{j=-\infty}^{\infty}\int_{{2^j}\leq|x|<{2^{j+1}}}u(x){\rm d}x\\ &&\times\bigg(\sum_{k=j}^{\infty}\frac{1}{2^{kn}}\bigg[\int_{2^k\leq|y|<2^{k+1}}|f(y)|^pv(y){\rm d}y\bigg]^{1/p}\bigg[\int_{2^k\leq|y|<2^{k+1}}v(y)^{-p/p'}{\rm d}y\bigg]^{1/p'}\bigg)^p\\ &\leq&C\sum_{j=-\infty}^{\infty}2^{\frac{jn}{r'}}\bigg(\int_{|x|<{2^{j+1}}}u(x)^r{\rm d}x\bigg)^{1/r}\\ &&\times\bigg(\sum_{k=j}^{\infty}\frac{1}{2^{kn}}\bigg[\int_{2^k\leq|y|<2^{k+1}}|f(y)|^pv(y){\rm d}y\bigg]^{1/p}\bigg[\int_{|y|<2^{k+1}}v(y)^{-p/p'}{\rm d}y\bigg]^{1/p'}\bigg)^p\\ &\leq& C\sum_{j=-\infty}^{\infty}\bigg(\sum_{k=j}^{\infty}2^\frac{(j-k)n}{r'p}\bigg[\int_{2^k\leq|y|<2^{k+1}}|f(y)|^pv(y){\rm d}y\bigg]^{1/p}\bigg)^p\\ &\leq& C\sum_{j=-\infty}^{\infty}\bigg(\sum_{k=j}^{\infty}2^\frac{(j-k)np'}{2r'p}\bigg)^{p/p'} \bigg(\sum_{k=j}^{\infty}2^\frac{(j-k)n}{2r'}\int_{2^k\leq|y|<2^{k+1}}|f(y)|^pv(y){\rm d}y\bigg)\\ &\leq& C\sum_{j=-\infty}^{\infty}\sum_{k=j}^{\infty}2^{\frac{(j-k)n}{2r'}}\int_{2^k\leq|y|<2^{k+1}}|f(y)|^pv(y){\rm d}y\\ &=& C\sum_{k=-\infty}^{\infty}\sum_{j=-\infty}^{k}2^{\frac{(j-k)n}{2r'}}\int_{2^k\leq|y|<2^{k+1}}|f(y)|^pv(y){\rm d}y\\ &\leq& C\sum_{k=-\infty}^{\infty}\int_{2^k\leq|y|<2^{k+1}}|f(y)|^pv(y){\rm d}y\\ &=& C\int_{\mathbb{R}^n}|f(y)|^pv(y){\rm d}y. \end{eqnarray*}$

定理 2.2 得证.

3 高维 Hardy 算子交换子的双权有界性

本节我们给出高维 Hardy 算子 $ P $ 及其对偶算子 $ Q $ 与 $ CMO $ 函数构成的交换子 $ P_b $, $ Q_b $ 双权有界的充分条件.

引理3.1[4] 设 $ b\in{CMO}^{1}(\mathbb{R}^n) $, $ j, k\in \mathbb{Z} $, 则

$\begin{align*} |b(x)-b_{B(0,2^{j})}|\leq|b(x)-b_{B(0,2^{k})}|+C|j-k|\|b\|_{{\rm CMO}^1}. \end{align*}$

定理3.1 设 $ 1<p<\infty $, $ b\in {CMO}^{r'\max\{p,p'\}} $, 若存在 $ r>1 $, 权函数 $ (u,v) $ 满足对任意的 $ t>0 $,

$\begin{eqnarray*} \bigg(\frac{1}{|B(0,t)|}\int_{B(0,t)}u(y)^rdy\bigg)^{1/r}\bigg(\frac{1}{|B(0,t)|}\int_{B(0,t)}v(y)^{-rp'/p}{\rm d}y\bigg)^{p/rp'}\leq C, \end{eqnarray*}$

则存在常数 $ C>0 $, 使得对任意可测函数 $ f $, 有

$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}^n}|P_bf(x)|^pu(x){\rm d}x\leq C\int_{\mathbb{R}^n}|f(x)|^pv(x){\rm d}x, \\ \int_{\mathbb{R}^n}|Q_bf(x)|^pu(x){\rm d}x\leq C\int_{\mathbb{R}^n}|f(x)|^pv(x){\rm d}x. \end{eqnarray*}$

证 首先证明 $ P_b $ 的双权不等式.

$\begin{eqnarray*} &&\int_{\mathbb{R}^n}|P_bf(x)|^pu(x){\rm d}x \\ &=&\int_{\mathbb{R}^n}\bigg|\frac{1}{|x|^n}\int_{|y|\leq|x|}(b(x)-b(y))f(y){\rm d}y\bigg|^pu(x){\rm d}x\\ &\leq&\sum_{j=-\infty}^{\infty}\int_{{2^j}\leq|x|<{2^{j+1}}}\bigg(\frac{1}{|x|^n}\int_{|y|\leq|x|}|b(x)-b(y)||f(y)|{\rm d}y\bigg)^pu(x){\rm d}x\\ &\leq&\sum_{j=-\infty}^{\infty}\int_{{2^j}\leq|x|<{2^{j+1}}}\bigg(\frac{1}{2^{jn}}\sum_{k=-\infty}^j\int_{2^k\leq|y|<2^{k+1}}|b(x)-b(y)||f(y)|{\rm d}y\bigg)^pu(x){\rm d}x\\ &\leq&\sum_{j=-\infty}^{\infty}\int_{{2^j}\leq|x|<{2^{j+1}}} \bigg(\frac{1}{2^{jn}}\sum_{k=-\infty}^j\int_{2^k\leq|y|<2^{k+1}}\Big[|b(x)-b_{B(0,2^{j+1}}||f(y)|\\ &&+|b(y)-b_{B(0,2^{j+1})}||f(y)|\Big]{\rm d}y\bigg)^pu(x){\rm d}x\\ &\leq&2^{p/p'}\sum_{j=-\infty}^{\infty}\int_{{2^j}\leq|x|<{2^{j+1}}}\bigg(\frac{1}{2^{jn}}\sum_{k=-\infty}^j\int_{2^k\leq|y|<2^{k+1}}|b(x)-b_{B(0,2^{j+1})}||f(y)|{\rm d}y\bigg)^pu(x){\rm d}x\\ &&+2^{p/p'}\sum_{j=-\infty}^{\infty}\int_{{2^j}\leq|x|<{2^{j+1}}}\bigg(\frac{1}{2^{jn}}\sum_{k=-\infty}^j\int_{2^k\leq|y|<2^{k+1}}|b(y)-b_{B(0,2^{j+1})}||f(y)|{\rm d}y\bigg)^pu(x){\rm d}x\\ &=&{\rm I}+{\rm II}. \end{eqnarray*}$

对于 $ {\rm I} $, 由 Hölder 不等式和权条件, 有

$\begin{eqnarray*} {\rm I}&=&2^{p/p'}\sum_{j=-\infty}^{\infty}\frac{1}{2^{jpn}}\int_{2^j\leq|x|<2^{j+1}}|b(x)-b_{B(0,2^{j+1})}|^pu(x){\rm d}x\bigg(\sum_{k=-\infty}^j\int_{2^k\leq|y|<2^{k+1}}|f(y)|{\rm d}y\bigg)^p\\ &\leq&2^{p/p'}\sum_{j=-\infty}^{\infty}\frac{1}{2^{jpn}}\bigg(\int_{2^j\leq|x|<2^{j+1}}|b(x)-b_{B(0,2^{j+1})}|^{pr'}{\rm d}x\bigg)^{1/r'} \bigg(\int_{2^j\leq|x|<2^{j+1}}u(x)^r{\rm d}x\bigg)^{1/r}\\ &&\times\bigg(\sum_{k=-\infty}^j\bigg[\int_{2^k\leq|y|<2^{k+1}}|f(y)|^pv(y){\rm d}y\bigg]^{1/p} \bigg[\int_{2^k\leq|y|<2^{k+1}}v(y)^{-p'/p}{\rm d}y\bigg]^{1/p'}\bigg)^p\\ &\leq&C\|b\|^p_{{\rm CMO}^{pr'}}\sum_{j=-\infty}^{\infty}2^{jn/r'-jpn} \bigg(\int_{|x|<2^{j+1}}u(x)^r{\rm d}x\bigg)^{1/r}\\ &&\times \bigg(\sum_{k=-\infty}^j\bigg[\int_{2^k\leq|y|<2^{k+1}}|f(y)|^pv(y){\rm d}y\bigg]^{1/p}\\ &&\times\bigg[\int_{2^k\leq|y|<2^{k+1}}v(y)^{-rp'/p}{\rm d}y\bigg]^{1/rp'}\bigg[\int_{2^k\leq|y|<2^{k+1}}1{\rm d}y\bigg]^{1/r'p'}\bigg)^p\\ &\leq& C\|b\|^p_{{\rm CMO}^{pr'}}\sum_{j=-\infty}^{\infty}2^{jn/r'-jpn} \bigg(\int_{|x|<2^{j+1}}u(x)^r{\rm d}x\bigg)^{1/r}\\ &&\times\bigg(\sum_{k=-\infty}^j2^{\frac{kn}{r'p'}}\bigg[\int_{2^k\leq|y|<2^{k+1}}|f(y)|^pv(y){\rm d}y\bigg]^{1/p} \bigg[\int_{|y|<2^{j+1}}v(y)^{-rp'/p}{\rm d}y\bigg]^{1/rp'}\bigg)^p\\ &\leq& C\|b\|^p_{{\rm CMO}^{pr'}}\sum_{j=-\infty}^{\infty}\bigg(\sum_{k=-\infty}^j2^{\frac{(k-j)n}{2r'p'}} \cdot2^{\frac{(k-j)n}{2r'p'}}\bigg(\int_{2^k\leq|y|<2^{k+1}}|f(y)|^pv(y){\rm d}y\bigg)^{1/p}\bigg)^p\\ &\leq& C\|b\|^p_{{\rm CMO}^{pr'}}\sum_{j=-\infty}^{\infty}\bigg(\sum_{k=-\infty}^j2^\frac{(k-j)n}{2r'}\bigg)^{p/p'} \bigg(\sum_{k=-\infty}^j2^{\frac{(k-j)pn}{2r'p'}}\int_{2^k\leq|y|<2^{k+1}}|f(y)|^pv(y){\rm d}y\bigg)\\ &\leq& C\|b\|^p_{{\rm CMO}^{pr'}}\int_{\mathbb{R}^n}|f(y)|^pv(y){\rm d}y. \end{eqnarray*}$

对于 $ {\rm II} $, 由引理 3.1 有

$\begin{eqnarray*} {\rm II}&\leq&2^{2p/p'}\sum_{j=-\infty}^{\infty}\frac{1}{2^{jpn}}\int_{2^j\leq|x|<2^{j+1}}\bigg( \sum_{k=-\infty}^j\int_{2^k\leq|y|<2^{k+1}}|b(y)-b_{B(0,2^{k+1})}||f(y)|{\rm d}y\bigg)^pu(x){\rm d}x\\ &&+C\sum_{j=-\infty}^{\infty}\frac{1}{2^{jpn}}\int_{2^j\leq|x|<2^{j+1}}\bigg(\sum_{k=-\infty}^j\int_{2^k\leq|y|<2^{k+1}}(j-k)\|b\|_{{\rm CMO}^{1}}|f(y)|{\rm d}y\bigg)^pu(x){\rm d}x\\ &= &{\rm II_1+II_2}. \end{eqnarray*}$

对于 $ {\rm II_1} $, 由 Hölder 不等式和权条件有

$\begin{eqnarray*} {\rm II_1} &=&2^{2p/p'}\sum_{j=-\infty}^{\infty}\frac{1}{2^{jpn}}\int_{2^j\leq|x|<2^{j+1}}u(x){\rm d}x \bigg(\sum_{k=-\infty}^j\int_{2^k\leq|y|<2^{k+1}}|b(y)-b_{B(0,2^{k+1})}||f(y)|{\rm d}y\bigg)^p\\ &=&2^{2p/p'}\sum_{j=-\infty}^{\infty}\frac{1}{2^{jpn}}\int_{2^j\leq|x|<2^{j+1}}u(x){\rm d}x \bigg(\sum_{k=-\infty}^j\int_{2^k\leq|y|<2^{k+1}}|f(y)|v(y)^{1/p}\\ &&\times|b(y)-b_{B(0,2^{k+1})}|v(y)^{-1/p}{\rm d}y\bigg)^p\\ &\leq&2^{2p/p'}\sum_{j=-\infty}^{\infty}\frac{1}{2^{jpn}}\int_{|x|<2^{j+1}}u(x){\rm d}x\bigg(\sum_{k=-\infty}^j\bigg[\int_{2^k\leq|y|<2^{k+1}}|f(y)|^{p}v(y){\rm d}y\bigg]^{1/p}\\ &&\times\bigg[\int_{2^k\leq|y|<2^{k+1}}|b(y)-b_{B(0,2^{k+1})}|^{r'p'}{\rm d}y\bigg]^{1/r'p'} \bigg[\int_{|y|<2^{k+1}}v(y)^{-rp'/p}{\rm d}y\bigg]^{1/rp'}\bigg)^p\\ &\leq& C\|b\|^p_{{\rm CMO}^{p'r'}}\sum_{j=-\infty}^{\infty}\frac{1}{2^{jpn}}\int_{|x|<2^{j+1}}u(x){\rm d}x\\ &&\times\bigg(\sum_{k=-\infty}^j2^{\frac{kn}{r'p'}}\bigg[\int_{2^k\leq|y|<2^{k+1}}|f(y)|^{p}v(y){\rm d}y\bigg]^{1/p} \bigg[\int_{|y|<2^{j+1}}v(y)^{-rp'/p}{\rm d}y\bigg]^{1/rp'}\bigg)^p\\ &\leq& C\|b\|^p_{{\rm CMO}^{p'r'}}\sum_{j=-\infty}^{\infty} \bigg(\sum_{k=-\infty}^j2^{\frac{(k-j)n}{r'p'}}\bigg[\int_{2^k\leq|y|<2^{k+1}}|f(y)|^pv(y){\rm d}y\bigg]^{1/p}\bigg)^p\\ &\leq& C\|b\|^p_{{\rm CMO}^{p'r'}}\int_{\mathbb{R}^n}|f(y)|^pv(y){\rm d}y. \end{eqnarray*}$

对于 $ {\rm II_2} $, 我们有

$\begin{eqnarray*} {\rm II_2} &\leq& C\|b\|^p_{{\rm CMO}^{1}}\sum_{j=-\infty}^{\infty}\frac{1}{2^{jpn}}\int_{2^j\leq|x|<2^{j+1}}u(x){\rm d}x\\ &&\times\bigg(\sum_{k=-\infty}^j(j-k)\bigg[\int_{2^k\leq|y|<2^{k+1}}|f(y)|^{p}v(y){\rm d}y\bigg]^{1/p} \bigg[\int_{2^k\leq|y|<2^{k+1}}v(y)^{-rp'/p}{\rm d}y\bigg]^{1/rp'}\\ &&\times\bigg[\int_{2^k\leq|y|<2^{k+1}}1{\rm d}y\bigg]^{1/r'p'}\bigg)^p\\ &\leq& C\|b\|^p_{{\rm CMO}^{1}}\sum_{j=-\infty}^{\infty}\frac{1}{2^{jpn}}\int_{|x|<2^{j+1}}u(x){\rm d}x \bigg(\sum_{k=-\infty}^j(j-k)2^\frac{kn}{r'p'}\\ &&\times\bigg[\int_{2^k\leq|y|<2^{k+1}}|f(y)|^{p}v(y){\rm d}y\bigg]^{1/p}\bigg[\int_{|y|<2^{k+1}}v(y)^{-rp'/p}{\rm d}y\bigg]^{1/rp'}\bigg)^p\\ &\leq& C\|b\|^p_{{\rm CMO}^{p'r'}}\sum_{j=-\infty}^{\infty}\frac{1}{2^{jpn}}\int_{|x|<2^{j+1}}u(x){\rm d}x\bigg(\int_{|y|<2^{j+1}}v(y)^{-rp'/p}{\rm d}y\bigg)^{p/rp'}\\ &&\times \bigg(\sum_{k=-\infty}^j(j-k)2^\frac{kn}{r'p'}\bigg[\int_{2^k\leq|y|<2^{k+1}}|f(y)|^{p}v(y){\rm d}y\bigg]^{1/p}\bigg)^p\\ &\leq& C\|b\|^p_{{\rm CMO}^{p'r'}}\sum_{j=-\infty}^{\infty}\bigg(\sum_{k=-\infty}^j(j-k)2^\frac{(k-j)n}{r'p'}\bigg[\int_{2^k\leq|y|<2^{k+1}}|f(y)|^{p}v(y){\rm d}y\bigg]^{1/p}\bigg)^p\\ &\leq& C\|b\|^p_{{\rm CMO}^{p'r'}}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\sum_{j=k}^{\infty}2^\frac{(k-j)np}{2r'p'}\int_{2^k\leq|y|<2^{k+1}}|f(y)|^{p}v(y){\rm d}y\\ &\leq& C\|b\|^p_{{\rm CMO}^{p'r'}}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\int_{2^k\leq|y|<2^{k+1}}|f(y)|^{p}v(y){\rm d}y\\ &\leq& C\|b\|^p_{{\rm CMO}^{p'r'}}\int_{\mathbb{R}^n}|f(y)|^{p}v(y){\rm d}y. \end{eqnarray*}$

用类似的方法可证明 $ Q_b $ 的双权不等式, 此略. 定理 3.1 得证.

当 $ u=v=w\in A_p $ 时, 由 $ A_p $ 权函数满足逆 Hölder 不等式, 我们有下列推论.

推论3.1$ 1<p<\infty $, $ b\in {CMO}^{\max\{p,p'\}} $, 若权函数 $ w\in A_p $, 则

$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}^n}|P_bf(x)|^pw(x){\rm d}x\leq C\int_{\mathbb{R}^n}|f(x)|^pw(x){\rm d}x,\\ \int_{\mathbb{R}^n}|Q_bf(x)|^pw(x){\rm d}x\leq C\int_{\mathbb{R}^n}|f(x)|^pw(x){\rm d}x. \end{eqnarray*}$

注意, 当 $ 1<p<\infty $ 时, $ A_p\subsetneqq A_{p,0} $, 而 $ A_{p,0} $ 中的权函数不再满足逆 Hölder 不等式,因此当 $ w\in A_{p,0} $ 时, 交换子 $ P_b $, $ Q_b $ 在 $ L^p(w) $ 上是否有界有待进一步研究.

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