本文研究如下非齐次非线性 Schrödinger方程

其中 i $=\sqrt{-1} $ 是虚数单位, $ n\geq 3 $ 表示空间维数, $ u(t,x):\mathbb{R}\times{\mathbb{R}^n}\to \mathbb{C} $ 是复值波函数, $ 2<p<2+\frac{4}{n-2} $, $ \Delta = \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{\partial^{2}}{\partial x_{k}^{2}} $ 是 Laplace 算子. 非齐次非线性薛定谔方程 (1.1) 在物理学的一些相关领域如非线性光学、等离子体的离子声波中有重要的应用^{[1], ref2}.

本文对 $ V(x), Q(x) $ 作如下假设.

(A1) $ V(x)=0, Q(x)=1 $;

(A2) $ V(x)=0, Q(x)=|x|^{-b} $;

(A3) $ V(x)\in C(\mathbb{R}^{n}\backslash \{0\},\mathbb{R}) $, 存在常数 $ A>0, a\geq0 $, 使得 $ |V(x)|\leq A|x|^{-a} $; $ Q\in C(\mathbb{R}^{n}\backslash \{0\} $, $ [0, +\infty)) $, 存在常数 $ B>0, b\geq0 $, 使得 $ Q(x)\leq B|x|^{-b} $.

由文献 [3⇓-5] 知, 如果 $ V(x), Q(x) $ 满足 (A1)-(A3) 中任一条件, 则方程 $ (1.1) $ 在 $ H^{1}(\mathbb{R}^{n}) $ 空间中局部适定: 任取初值 $ u_{0}\in H^{1}(\mathbb{R}^{n}) $, 存在 $ T>0 $, 使得方程 $ (1.1) $ 存在唯一解 $ u\in C([-T, T]:H^{1}(\mathbb{R}^{n})) $, 满足 $ u(0,x)=u_{0} $, 并且解 $ u(t,x) $ 满足能量守恒和质量守恒, 即对所有的 $ t\in[-T, T] $, 有

设 $ \omega>0 $, 如果 $ \psi\in H^{1}(\mathbb{R}^{n}\backslash \{0\}) $ 满足如下椭圆方程 $ -\Delta \psi+\omega \psi+V(x)\psi-Q(x) |\psi|^{p-2}\psi=0, $ 那么 $ u(t,x)\equiv {\rm e}^{{\rm i}\omega t}\psi $ 被称为方程 (1.1) 的一个驻波解, 文献 [6⇓-8] 讨论了驻波解的存在性, 文献 [9⇓⇓⇓-13] 研究了驻波解的轨道稳定性. 文献 [9] 在研究驻波的轨道稳定性时, 对于 $ \rho>0 $, 引入了如下约束变分问题

其中 $ B_{L^{2}}(\rho)=\big\{u\in L^{2}(\mathbb{R}^{n}): \int_{\mathbb{R}^{n}} |u|^{2}= \rho^{2}\big\}. $

当 $ V(x)\equiv 0, Q(x)\equiv1 $, $ 2<p<2+\frac{4}{n} $ 时, Lions 和 Cazenave^[9] 运用集中紧性引理, 分析了 (1.2) 式的极小化序列的紧性, 进而得到了方程 (1.1) 驻波的存在性和轨道稳定性.

当 $ V(x) $, $ Q(x)\in L^{\infty}(\mathbb{R}^{n}) $, $ 2<p<2+\frac{4}{n} $ 时, Bellazzini 和 Visciglia^[10] 根据文献 [9] 的思想, 利用变分方法, 研究了约束变分问题 (1.2), 并证明了 (1.2) 式的极小化序列都收敛, 从而证明了方程驻波解的存在性和轨道稳定性.

本文中, 对于 $ V(x)\in L^{\infty}(\mathbb{R}^{n}), Q(x)=|x|^{-b} $, $ 2<p<2+\frac{4-2b}{n} $ 的情形, 研究如下方程

其中 $ 0<b<2 $.

相应地, 方程 (1.3) 的驻波解为 $ u(t,x)\equiv {\rm e}^{{\rm i}\omega t}\psi(\psi \in H^{1}(\mathbb{R}^{n}),\omega>0) $, $ \psi $ 满足如下椭圆方程

在 $ V(x) $ 的适当假设下, 已有大量文献致力于证明方程 (1.4) 非平凡解的存在性^[6],[7],[8],

本文的主要目的是通过文献 [10] 中的方法, 证明在 $ L^{2} $ 次临界条件下 ($2<p<2+\frac{4-2b}{n}$), 方程 (1.3) 驻波解的存在性和轨道稳定性. 为此, 考虑如下极小化问题

其中

为了介绍本文的主要结果, 我们用 $ \mathcal{M}=\{u\in H^{1}(\mathbb{R}^{n}): E(u)=I_{\rho,p}^{V,|x|^{-b}}, u\in B_{L^{2}}(\rho)\} $ 表示问题 $ (1.5) $ 式的极小元集合.

定理1.1 假设 $ 0< b< 2 $, $ n\geq3, 2< p< 2+\frac{4-2b}{n} $ 并且 $ V(x)\in L^{\infty}{\Bbb R}^{n}) $, 则存在 $ \rho_{0}>0 $, 使得对任意的 $ \rho>\rho_{0} $, 集合 $ \mathcal{M} $ 是轨道稳定的. 换句话说, 对任意的 $ \epsilon>0 $, 存在 $ \delta>0 $ 使得对任意的 $ u \in H^{1}(\mathbb{R}^{n}) $, 如果 $ \inf _{v\in \mathcal{M}}\|u-v\|_{H^{1}}<\delta, $ 那么方程 (1.1) 的解 $ u(x,t) $ 满足 $ \sup _{t\geq 0} \inf _{v\in \mathcal{M}}\|u(t,\cdot)- v\|_{H^{1}}<\varepsilon. $

研究极小化问题 (1.5) 的主要困难是 Sobolev 嵌入 $ (H^{s}(\mathbb{R}^{n})\hookrightarrow L^{q}(\mathbb{R}^{n})) $ 中紧性的缺失, 为了克服这个困难, 下面引入了一个变分原理^[10], 该原理可以用来证明某些极小化序列的紧性.

命题2.1^[10] 设 $ (\mathcal{H},\|\cdot\|) $, $ (\mathcal{H}_{1},\|\cdot\|_1) $, $ (\mathcal{H}_{2},\|\cdot\|_2) $ 是三个 Hilbert 空间, 满足

并且对 $ \forall h\in \mathcal{H} $ 有

对于 $ \rho>0 $, 定义集合 $ B_{\mathcal{H}_2}(\rho)\equiv \{h\in \mathcal{H}_2: \|h\|_{\mathcal{H}_{2}}=\rho\} $. 定义泛函 $ S,T:\mathcal{H}\to {\Bbb R} $ 以及极小化问题

如果泛函 $ S $ 和 $ T $ 满足如下条件

(1) $ T(0)=0 $;

(2) $ T $ 是弱连续的;

(3) 对 $ \forall\lambda\geq1 $, 若 $ h\in\mathcal{H} $, 则有 $ T(\lambda h)\leq \lambda^{2}T(h) $, $ S(\lambda h)\leq \lambda^{2}S(h) $;

(4) 如果在 $ \mathcal{H} $ 空间中 $ h_k\rightharpoonup\bar{h} $, 且在 $ \mathcal{H}_2 $ 空间中 $ h_k\rightarrow\bar{h} $, 则 $ S(h_k)\rightarrow S(\bar{h}) $;

(5) 如果在 $ \mathcal{H} $ 空间中 $ h_k\rightharpoonup\bar{h} $, 则 $ S(h_k-\bar{h})+S(\bar{h})=S(h_k)+o(1) $;

(6) $ -\infty<I_{S,T}^\rho<I_S^\rho $;

(7) 对任意满足 $ \|h_k\|_{\mathcal{H}}\rightarrow \infty $ 的序列 $ \{h_k\}\in B_{\mathcal{H}_2}(\rho)\bigcap \mathcal{H} $, 当 $ k\rightarrow \infty $ 时, 有

那么 $ (2.1) $ 式的每一个极小化序列在 $ \mathcal{H} $ 中都是紧的.

引理2.1^[14](Gagliardo-Nirenberg插值不等式) 若 $ 0<b<2 $, $ 2<p<2+\frac{4-2b}{n} $, 则对 $ \forall u\in H^{1}(\mathbb{R}^{n}) $, 有

在本文中, 对任意的 $ U(x), G(x) $ 以及 $ \rho>0 $, 定义如下泛函

此外, 对于 $ V(x)\in L^{\infty}(\mathbb{R}^{n}) $, 引入一个函数

其中

易知 $ \bar{V}(x) $ 是一个非负函数, 即对几乎处处的 $ x\in \mathbb{R}^{n} $. $ \bar{V}(x)\geq 0 $.

引理2.2 当 $ 0< b< 2 $, $ 2< p< 2+\frac{4-2b}{n} $ 时, 假设 $ V(x)\in L^{\infty}(\mathbb{R}^{n}) $, 则存在 $ \rho_{0}> 0 $ 使得对任意的 $ \rho> \rho_{0} $ 以及 $ \lambda_{0}>0 $, 有

证 为了表达简单, 记 $\min\{|x|^{-b},\lambda_{0}\}=\gamma(x) $. 首先证明 $ I_{\rho,p}^{\bar{V},|x|^{-b}}>-\infty $, 由引理 2.1, 对任意的 $ u\in H^{1}(\mathbb{R}^{n})\bigcap B_{L^{2}}(\rho) $ 有

这意味着

因为 $ 2<p<2+\frac{4-2b}{n} $, 所以 $ 2 > \frac{n(p-2)+2b}{2} $, 通过 $ (2.4) $ 式可以推出 $ I_{\rho,p}^{\bar{V},|x|^{-b}}>-\infty $ 成立.

由泛函 $ I_{\rho,p}^{\bar{V},|x|^{-b}} $ 的定义易得 $ I_{\rho,p}^{\bar{V},|x|^{-b}}\leq I_{\rho,p}^{\bar{V},\min\{|x|^{-b},\lambda_{0}\}} $, 下面证明不等式严格成立. 考虑 $ I_{1,p}^{0,\lambda_{0}} $ 的极小元 $ u_{0} $ (存在性见文献 [8]), 根据文献 [8] 可知 $ u_{0}\in L^{\infty}(\mathbb{R}^{n})\bigcap C^{\infty}(\mathbb{R}^{n}) $. 设 $ u_{0,\rho}= u_{0}(\frac{x}{\rho^{\alpha}})\rho^{-\beta} $, 其中 $ \alpha $ 与 $ \beta $ 的定义如下

则容易验证

由 (2.5) 及 (2.6) 式知, $ u_{0,\rho} $ 是 $ I_{\rho,p}^{0,\lambda_{0}} $ 的极小元. 注意到, 由 $ \bar{V}(x)\geq 0 $, $ 0< \gamma(x)\leq \lambda_{0} $ 可得

如果我们能证明存在 $ \rho_{0}>0 $ 使得对任意的 $ \rho> \rho_{0} $ 有

则根据 $ (2.7) $ 和 $ (2.8) $ 式可得 $ I_{\rho,p}^{\bar{V},|x|^{-b}}< I_{\rho,p}^{0,\lambda_{0}}\leq I_{\rho,p}^{\bar{V},\gamma(x)} $, 引理成立. 下面证明 $ (2.8) $ 式成立.

事实上, 由于 $ u_{0,\rho} $ 是 $ I_{\rho,p}^{0,\lambda_{0}} $ 的极小元, 所以对于 $ (2.8) $ 式, 只需证明

(2.9) 式等价于

由 $ u_{0,\rho}= u_{0}(\frac{x}{\rho^{\alpha}})\rho^{-\beta} $ 以及 Hölder 不等式可得

因为 $ 2< n\alpha-p\beta $, 并且 $ \alpha= \alpha(n,p)= \frac{2(p-2)}{(p-2)n-4}<0 $, 所以当 $ \rho $ 足够大时, 由 $ (2.11) $ 式可以得到 $ (2.10) $ 式, 证毕.

应用命题 2.1, 可以建立 (1.5) 式极小化序列的紧性.

引理3.1 当 $ 0< b< 2 $, $ 2< p< 2+\frac{4-2b}{n} $ 时, 若 $ V(x)\in L^{\infty}(\mathrm{R^{n}}) $, 则存在 $ \rho_{0}>0 $ 使得当 $ \rho>\rho_{0} $ 时, (1.5) 式的极小化序列在 $ H^{1}(\mathbb{R}^{n}) $ 空间中是紧的.

证 因为 $ V-\bar{V} $ 是一个常数, 所以 $ I_{\rho,p}^{V,|x|^{-b}} $ 的极小化序列也是 $ I_{\rho,p}^{\bar{V},|x|^{-b}} $ 的极小化序列. 因此, 我们只需证明 $ I_{\rho,p}^{\bar{V},|x|^{-b}} $ 的极小化序列在 $ H^{1}(\mathbb{R}^{n}) $ 空间中是紧的. 为此根据命题 2.1, 定义如下空间 $ \mathcal{H}, \mathcal{H}_{1}, \mathcal{H}_{2} $: $ \mathcal{H}= H^{1}(\mathbb{R}^{n}),\ \mathcal{H}_{1}= \dot{H}^{1}(\mathbb{R}^{n}),\ \mathcal{H}_{2}= L^{2}(\mathbb{R}^{n}). $ 对任意的 $ \lambda_{0}>0 $, 定义泛函

其中 $ \gamma(x)=\min\{|x|^{-b},\lambda_{0}\} $.

接下来证明泛函 $ S $ 和 $ T $ 满足命题 2.1 的条件 (1)-(7). 条件 $ (1) $ 和条件 $ (3) $ 可直接验证是成立的, 因此我们只对条件 $ (2) $ 以及条 (4)-(7) 作详细证明.

对于条件 $ (2) $, 如果在 $ H^{1}(\mathbb{R}^{n}) $ 中 $ u_{k}\rightharpoonup \bar{u} $, 则由紧性原理可知在 $ L^{p}(B(0,r))(\forall r>0 ) $ 中 $ u_{k}\rightarrow \bar{u} $. 进一步由不等式 (2.2) 可得

所以

从而有 $ T(u_{k})\rightarrow T(\bar{u}) $.

对于条件 $ (4) $, 如果在 $ H^{1}(\mathbb{R}^{n}) $ 中 $ u_{k}\rightharpoonup \bar{u} $, 且在 $ L^{2}(\mathbb{R}^{n}) $ 中 $ u_{k}\rightarrow \bar{u} $. 则容易验证

所以

从而有 $ S(u_{k})\rightarrow S(\bar{u}) $.

对于条件 $ (5) $, 若 $ \{u_{k}\} $ 在 $ H^{1}(\mathbb{R}^{n}) $ 中满足 $ u_{k}\rightharpoonup \bar{u} $, 易知

从而要证条件 (5) 只需证明

一方面, 因为 $ \bar{u}\in L^{p}(\mathbb{R}^{n}) $, 所以

另一方面, 因为 $ p>2 $, 通过基本不等式可知存在常数 $ C=C(p) $ 使得

根据 (3.3) 式可得

进一步通过 Hölder 不等式有

其中 $ \Omega= \mathbb{R}^{n}\backslash B(0,r) $. 由 $ \|u_{k}\|_{L^{p}} $ 一致有界以及 (3.2) 式, 结合以上估计可得

其中

此外, 由紧性原理可知对任意 $ \varepsilon>0 $, 有

其中

事实上, 存在 $ k(\varepsilon)\in N $, 使得对任意 $ k> k(\varepsilon) $ 有

此外, 有

根据 $ (3.4) $ 以及 $ (3.5) $ 式有

结合 $ (3.6) $ 及 $ (3.7) $ 式, 对 $ \forall k>k(\varepsilon) $ 有

由 $ (3.2) $ 式及以上估计知, 当 $ \epsilon\rightarrow 0, R(\epsilon)\rightarrow\infty $ 时, $ (3.1) $ 式成立, 即条件 (5) 得证.

对于条件 $ (6) $, 由引理 2.2 知当 $ \rho> \rho_{0} $ 时, $ I_{\rho,p}^{\bar{V},|x|^{-b}}< I_{\rho,p}^{\bar{V},\gamma(x)} $, 容易检验 $ I_{S,T}^\rho<I_S^\rho $ 成立. 此外, 使用引理 2.2 中同样的推导可得 $ I_{S,T}^\rho>-\infty $.

对于条件 $ (7) $, 注意到,

且 $ 2 > \frac{n(p-2)+2b}{2} $, 因此, 对序列 $ u_{k}\in H^{1}(\mathbb{R}^{n})\bigcap B_{L^{2}}(\rho) $, 当 $ \|u_{k}\|_{H^{1}}\rightarrow \infty $ 时, 由 $ (3.8) $ 式可得

由命题 2.1 知, (1.5) 式的极小化序列 $ \{u_{k}\} $ 在 $ H^{1}(\mathbb{R}^{n}) $ 空间中是紧的. 证毕.

引理3.2 在引理 3.1 的条件下, 集合 $ \mathcal{M}=\{u\in H^{1}(\mathbb{R}^{n}): E(u)=I_{\rho,p}^{V,|x|^{-b}}, u\in B_{L^{2}}(\rho)\} $ 非空.

证 由引理 3.1 知, (1.5) 式的极小化序列 $ \{u_{k}\}\in H^{1}(\mathbb{R}^{n})\bigcap B_{L^{2}}(\rho) $ 在 $ H^{1}(\mathbb{R}^{n}) $ 空间中是紧的, 因此, 由 Gagliardo-Nirenberg 不等式可得在 $ L^{p}(|x|^{-b}{\rm d}x) (2\leq p<\frac{2n}{n-2}) $ 空间中 $ u_{k}\rightarrow \bar{u} $. 进而可得

令 $ P(u)= E(u)- \frac{1}{2}\|\nabla u\|^{2}_{L^{2}} $, 易知 $ P(u_{k})\rightarrow P(\bar{u}) $. 进一步, 由弱下半连续性有

所以 $ E(\bar{u})= I_{\rho,p}^{V,|x|^{-b}} $. 这就证明了 $ \bar{u} $ 是 $ I_{\rho,p}^{V,|x|^{-b}} $ 的极小元, 即集合 $ \mathcal{M} $ 非空. 证毕.

定理 1.1 的证明 我们考虑用反证法. 如果定理 1.1 的结论不成立, 则存在 $ \varepsilon>0 $, 序列 $ \{u_{n,0}\}\subset H^{1}(\mathbb{R}^{n}) $ 满足

以及序列 $ \{t_{n}\}\subset \mathbb{R} $ 使得

其中 $ u_{n}(t_{n},x) $ 表示方程 (1.3) 对应初值 $ u_{n,0} $ 的解. 由 (3.9) 式可得

由 (3.11), (3.12) 式以及能量守恒可得 $ u_{n}(t_{n},\cdot) $ 是 $ I_{\rho,p}^{V,|x|^{-b}} $ 的极小化序列, 于是存在 $ u\in \mathcal{M} $ 使得

这显然与 (3.10) 式矛盾, 从而定理 1.1 得证.