本文研究如下非齐次非线性 Schrödinger方程

其中 i $=\sqrt{-1}$ 是虚数单位, $n\geq 3$ 表示空间维数, $u(t,x):\mathbb{R}\times{\mathbb{R}^n}\to \mathbb{C}$ 是复值波函数, $2<p<2+\frac{4}{n-2}$, $\Delta = \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{\partial^{2}}{\partial x_{k}^{2}}$ 是 Laplace 算子. 非齐次非线性薛定谔方程 (1.1) 在物理学的一些相关领域如非线性光学、等离子体的离子声波中有重要的应用^{[1], ref2}.

本文对 $V(x), Q(x)$ 作如下假设.

(A1) $V(x)=0, Q(x)=1$;

(A2) $V(x)=0, Q(x)=|x|^{-b}$;

(A3) $V(x)\in C(\mathbb{R}^{n}\backslash \{0\},\mathbb{R})$, 存在常数 $A>0, a\geq0$, 使得 $|V(x)|\leq A|x|^{-a}$; $Q\in C(\mathbb{R}^{n}\backslash \{0\}$, $[0, +\infty))$, 存在常数 $B>0, b\geq0$, 使得 $Q(x)\leq B|x|^{-b}$.

由文献 [3⇓-5] 知, 如果 $V(x), Q(x)$ 满足 (A1)-(A3) 中任一条件, 则方程 $(1.1)$ 在 $H^{1}(\mathbb{R}^{n})$ 空间中局部适定: 任取初值 $u_{0}\in H^{1}(\mathbb{R}^{n})$, 存在 $T>0$, 使得方程 $(1.1)$ 存在唯一解 $u\in C([-T, T]:H^{1}(\mathbb{R}^{n}))$, 满足 $u(0,x)=u_{0}$, 并且解 $u(t,x)$ 满足能量守恒和质量守恒, 即对所有的 $t\in[-T, T]$, 有

设 $\omega>0$, 如果 $\psi\in H^{1}(\mathbb{R}^{n}\backslash \{0\})$ 满足如下椭圆方程 $-\Delta \psi+\omega \psi+V(x)\psi-Q(x) |\psi|^{p-2}\psi=0,$ 那么 $u(t,x)\equiv {\rm e}^{{\rm i}\omega t}\psi$ 被称为方程 (1.1) 的一个驻波解, 文献 [6⇓-8] 讨论了驻波解的存在性, 文献 [9⇓⇓⇓-13] 研究了驻波解的轨道稳定性. 文献 [9] 在研究驻波的轨道稳定性时, 对于 $\rho>0$, 引入了如下约束变分问题

其中 $B_{L^{2}}(\rho)=\big\{u\in L^{2}(\mathbb{R}^{n}): \int_{\mathbb{R}^{n}} |u|^{2}= \rho^{2}\big\}.$

当 $V(x)\equiv 0, Q(x)\equiv1$, $2<p<2+\frac{4}{n}$ 时, Lions 和 Cazenave^[9] 运用集中紧性引理, 分析了 (1.2) 式的极小化序列的紧性, 进而得到了方程 (1.1) 驻波的存在性和轨道稳定性.

当 $V(x)$, $Q(x)\in L^{\infty}(\mathbb{R}^{n})$, $2<p<2+\frac{4}{n}$ 时, Bellazzini 和 Visciglia^[10] 根据文献 [9] 的思想, 利用变分方法, 研究了约束变分问题 (1.2), 并证明了 (1.2) 式的极小化序列都收敛, 从而证明了方程驻波解的存在性和轨道稳定性.

本文中, 对于 $V(x)\in L^{\infty}(\mathbb{R}^{n}), Q(x)=|x|^{-b}$, $2<p<2+\frac{4-2b}{n}$ 的情形, 研究如下方程

其中 $0<b<2$.

相应地, 方程 (1.3) 的驻波解为 $u(t,x)\equiv {\rm e}^{{\rm i}\omega t}\psi(\psi \in H^{1}(\mathbb{R}^{n}),\omega>0)$, $\psi$ 满足如下椭圆方程

在 $V(x)$ 的适当假设下, 已有大量文献致力于证明方程 (1.4) 非平凡解的存在性^[6],[7],[8],

本文的主要目的是通过文献 [10] 中的方法, 证明在 $L^{2}$ 次临界条件下 ($2<p<2+\frac{4-2b}{n}$), 方程 (1.3) 驻波解的存在性和轨道稳定性. 为此, 考虑如下极小化问题

其中

为了介绍本文的主要结果, 我们用 $\mathcal{M}=\{u\in H^{1}(\mathbb{R}^{n}): E(u)=I_{\rho,p}^{V,|x|^{-b}}, u\in B_{L^{2}}(\rho)\}$ 表示问题 $(1.5)$ 式的极小元集合.

定理1.1 假设 $0< b< 2$, $n\geq3, 2< p< 2+\frac{4-2b}{n}$ 并且 $V(x)\in L^{\infty}{\Bbb R}^{n})$, 则存在 $\rho_{0}>0$, 使得对任意的 $\rho>\rho_{0}$, 集合 $\mathcal{M}$ 是轨道稳定的. 换句话说, 对任意的 $\epsilon>0$, 存在 $\delta>0$ 使得对任意的 $u \in H^{1}(\mathbb{R}^{n})$, 如果 $\inf _{v\in \mathcal{M}}\|u-v\|_{H^{1}}<\delta,$ 那么方程 (1.1) 的解 $u(x,t)$ 满足 $\sup _{t\geq 0} \inf _{v\in \mathcal{M}}\|u(t,\cdot)- v\|_{H^{1}}<\varepsilon.$

研究极小化问题 (1.5) 的主要困难是 Sobolev 嵌入 $(H^{s}(\mathbb{R}^{n})\hookrightarrow L^{q}(\mathbb{R}^{n}))$ 中紧性的缺失, 为了克服这个困难, 下面引入了一个变分原理^[10], 该原理可以用来证明某些极小化序列的紧性.

命题2.1^[10] 设 $(\mathcal{H},\|\cdot\|)$, $(\mathcal{H}_{1},\|\cdot\|_1)$, $(\mathcal{H}_{2},\|\cdot\|_2)$ 是三个 Hilbert 空间, 满足

并且对 $\forall h\in \mathcal{H}$ 有

对于 $\rho>0$, 定义集合 $B_{\mathcal{H}_2}(\rho)\equiv \{h\in \mathcal{H}_2: \|h\|_{\mathcal{H}_{2}}=\rho\}$. 定义泛函 $S,T:\mathcal{H}\to {\Bbb R}$ 以及极小化问题

如果泛函 $S$ 和 $T$ 满足如下条件

(1) $T(0)=0$;

(2) $T$ 是弱连续的;

(3) 对 $\forall\lambda\geq1$, 若 $h\in\mathcal{H}$, 则有 $T(\lambda h)\leq \lambda^{2}T(h)$, $S(\lambda h)\leq \lambda^{2}S(h)$;

(4) 如果在 $\mathcal{H}$ 空间中 $h_k\rightharpoonup\bar{h}$, 且在 $\mathcal{H}_2$ 空间中 $h_k\rightarrow\bar{h}$, 则 $S(h_k)\rightarrow S(\bar{h})$;

(5) 如果在 $\mathcal{H}$ 空间中 $h_k\rightharpoonup\bar{h}$, 则 $S(h_k-\bar{h})+S(\bar{h})=S(h_k)+o(1)$;

(6) $-\infty<I_{S,T}^\rho<I_S^\rho$;

(7) 对任意满足 $\|h_k\|_{\mathcal{H}}\rightarrow \infty$ 的序列 $\{h_k\}\in B_{\mathcal{H}_2}(\rho)\bigcap \mathcal{H}$, 当 $k\rightarrow \infty$ 时, 有

那么 $(2.1)$ 式的每一个极小化序列在 $\mathcal{H}$ 中都是紧的.

引理2.1^[14](Gagliardo-Nirenberg插值不等式) 若 $0<b<2$, $2<p<2+\frac{4-2b}{n}$, 则对 $\forall u\in H^{1}(\mathbb{R}^{n})$, 有

在本文中, 对任意的 $U(x), G(x)$ 以及 $\rho>0$, 定义如下泛函

此外, 对于 $V(x)\in L^{\infty}(\mathbb{R}^{n})$, 引入一个函数

其中

易知 $\bar{V}(x)$ 是一个非负函数, 即对几乎处处的 $x\in \mathbb{R}^{n}$. $\bar{V}(x)\geq 0$.

引理2.2 当 $0< b< 2$, $2< p< 2+\frac{4-2b}{n}$ 时, 假设 $V(x)\in L^{\infty}(\mathbb{R}^{n})$, 则存在 $\rho_{0}> 0$ 使得对任意的 $\rho> \rho_{0}$ 以及 $\lambda_{0}>0$, 有

证 为了表达简单, 记 $\min\{|x|^{-b},\lambda_{0}\}=\gamma(x)$. 首先证明 $I_{\rho,p}^{\bar{V},|x|^{-b}}>-\infty$, 由引理 2.1, 对任意的 $u\in H^{1}(\mathbb{R}^{n})\bigcap B_{L^{2}}(\rho)$ 有

这意味着

因为 $2<p<2+\frac{4-2b}{n}$, 所以 $2 > \frac{n(p-2)+2b}{2}$, 通过 $(2.4)$ 式可以推出 $I_{\rho,p}^{\bar{V},|x|^{-b}}>-\infty$ 成立.

由泛函 $I_{\rho,p}^{\bar{V},|x|^{-b}}$ 的定义易得 $I_{\rho,p}^{\bar{V},|x|^{-b}}\leq I_{\rho,p}^{\bar{V},\min\{|x|^{-b},\lambda_{0}\}}$, 下面证明不等式严格成立. 考虑 $I_{1,p}^{0,\lambda_{0}}$ 的极小元 $u_{0}$ (存在性见文献 [8]), 根据文献 [8] 可知 $u_{0}\in L^{\infty}(\mathbb{R}^{n})\bigcap C^{\infty}(\mathbb{R}^{n})$. 设 $u_{0,\rho}= u_{0}(\frac{x}{\rho^{\alpha}})\rho^{-\beta}$, 其中 $\alpha$ 与 $\beta$ 的定义如下

则容易验证

由 (2.5) 及 (2.6) 式知, $u_{0,\rho}$ 是 $I_{\rho,p}^{0,\lambda_{0}}$ 的极小元. 注意到, 由 $\bar{V}(x)\geq 0$, $0< \gamma(x)\leq \lambda_{0}$ 可得

如果我们能证明存在 $\rho_{0}>0$ 使得对任意的 $\rho> \rho_{0}$ 有

则根据 $(2.7)$ 和 $(2.8)$ 式可得 $I_{\rho,p}^{\bar{V},|x|^{-b}}< I_{\rho,p}^{0,\lambda_{0}}\leq I_{\rho,p}^{\bar{V},\gamma(x)}$, 引理成立. 下面证明 $(2.8)$ 式成立.

事实上, 由于 $u_{0,\rho}$ 是 $I_{\rho,p}^{0,\lambda_{0}}$ 的极小元, 所以对于 $(2.8)$ 式, 只需证明

(2.9) 式等价于

由 $u_{0,\rho}= u_{0}(\frac{x}{\rho^{\alpha}})\rho^{-\beta}$ 以及 Hölder 不等式可得

因为 $2< n\alpha-p\beta$, 并且 $\alpha= \alpha(n,p)= \frac{2(p-2)}{(p-2)n-4}<0$, 所以当 $\rho$ 足够大时, 由 $(2.11)$ 式可以得到 $(2.10)$ 式, 证毕.

应用命题 2.1, 可以建立 (1.5) 式极小化序列的紧性.

引理3.1 当 $0< b< 2$, $2< p< 2+\frac{4-2b}{n}$ 时, 若 $V(x)\in L^{\infty}(\mathrm{R^{n}})$, 则存在 $\rho_{0}>0$ 使得当 $\rho>\rho_{0}$ 时, (1.5) 式的极小化序列在 $H^{1}(\mathbb{R}^{n})$ 空间中是紧的.

证 因为 $V-\bar{V}$ 是一个常数, 所以 $I_{\rho,p}^{V,|x|^{-b}}$ 的极小化序列也是 $I_{\rho,p}^{\bar{V},|x|^{-b}}$ 的极小化序列. 因此, 我们只需证明 $I_{\rho,p}^{\bar{V},|x|^{-b}}$ 的极小化序列在 $H^{1}(\mathbb{R}^{n})$ 空间中是紧的. 为此根据命题 2.1, 定义如下空间 $\mathcal{H}, \mathcal{H}_{1}, \mathcal{H}_{2}$: $\mathcal{H}= H^{1}(\mathbb{R}^{n}),\ \mathcal{H}_{1}= \dot{H}^{1}(\mathbb{R}^{n}),\ \mathcal{H}_{2}= L^{2}(\mathbb{R}^{n}).$ 对任意的 $\lambda_{0}>0$, 定义泛函

其中 $\gamma(x)=\min\{|x|^{-b},\lambda_{0}\}$.

接下来证明泛函 $S$ 和 $T$ 满足命题 2.1 的条件 (1)-(7). 条件 $(1)$ 和条件 $(3)$ 可直接验证是成立的, 因此我们只对条件 $(2)$ 以及条 (4)-(7) 作详细证明.

对于条件 $(2)$, 如果在 $H^{1}(\mathbb{R}^{n})$ 中 $u_{k}\rightharpoonup \bar{u}$, 则由紧性原理可知在 $L^{p}(B(0,r))(\forall r>0 )$ 中 $u_{k}\rightarrow \bar{u}$. 进一步由不等式 (2.2) 可得

所以

从而有 $T(u_{k})\rightarrow T(\bar{u})$.

对于条件 $(4)$, 如果在 $H^{1}(\mathbb{R}^{n})$ 中 $u_{k}\rightharpoonup \bar{u}$, 且在 $L^{2}(\mathbb{R}^{n})$ 中 $u_{k}\rightarrow \bar{u}$. 则容易验证

所以

从而有 $S(u_{k})\rightarrow S(\bar{u})$.

对于条件 $(5)$, 若 $\{u_{k}\}$ 在 $H^{1}(\mathbb{R}^{n})$ 中满足 $u_{k}\rightharpoonup \bar{u}$, 易知

从而要证条件 (5) 只需证明

一方面, 因为 $\bar{u}\in L^{p}(\mathbb{R}^{n})$, 所以

另一方面, 因为 $p>2$, 通过基本不等式可知存在常数 $C=C(p)$ 使得

根据 (3.3) 式可得

进一步通过 Hölder 不等式有

其中 $\Omega= \mathbb{R}^{n}\backslash B(0,r)$. 由 $\|u_{k}\|_{L^{p}}$ 一致有界以及 (3.2) 式, 结合以上估计可得

其中

此外, 由紧性原理可知对任意 $\varepsilon>0$, 有

其中

事实上, 存在 $k(\varepsilon)\in N$, 使得对任意 $k> k(\varepsilon)$ 有

此外, 有

根据 $(3.4)$ 以及 $(3.5)$ 式有

结合 $(3.6)$ 及 $(3.7)$ 式, 对 $\forall k>k(\varepsilon)$ 有

由 $(3.2)$ 式及以上估计知, 当 $\epsilon\rightarrow 0, R(\epsilon)\rightarrow\infty$ 时, $(3.1)$ 式成立, 即条件 (5) 得证.

对于条件 $(6)$, 由引理 2.2 知当 $\rho> \rho_{0}$ 时, $I_{\rho,p}^{\bar{V},|x|^{-b}}< I_{\rho,p}^{\bar{V},\gamma(x)}$, 容易检验 $I_{S,T}^\rho<I_S^\rho$ 成立. 此外, 使用引理 2.2 中同样的推导可得 $I_{S,T}^\rho>-\infty$.

对于条件 $(7)$, 注意到,

且 $2 > \frac{n(p-2)+2b}{2}$, 因此, 对序列 $u_{k}\in H^{1}(\mathbb{R}^{n})\bigcap B_{L^{2}}(\rho)$, 当 $\|u_{k}\|_{H^{1}}\rightarrow \infty$ 时, 由 $(3.8)$ 式可得

由命题 2.1 知, (1.5) 式的极小化序列 $\{u_{k}\}$ 在 $H^{1}(\mathbb{R}^{n})$ 空间中是紧的. 证毕.

引理3.2 在引理 3.1 的条件下, 集合 $\mathcal{M}=\{u\in H^{1}(\mathbb{R}^{n}): E(u)=I_{\rho,p}^{V,|x|^{-b}}, u\in B_{L^{2}}(\rho)\}$ 非空.

证 由引理 3.1 知, (1.5) 式的极小化序列 $\{u_{k}\}\in H^{1}(\mathbb{R}^{n})\bigcap B_{L^{2}}(\rho)$ 在 $H^{1}(\mathbb{R}^{n})$ 空间中是紧的, 因此, 由 Gagliardo-Nirenberg 不等式可得在 $L^{p}(|x|^{-b}{\rm d}x) (2\leq p<\frac{2n}{n-2})$ 空间中 $u_{k}\rightarrow \bar{u}$. 进而可得

令 $P(u)= E(u)- \frac{1}{2}\|\nabla u\|^{2}_{L^{2}}$, 易知 $P(u_{k})\rightarrow P(\bar{u})$. 进一步, 由弱下半连续性有

所以 $E(\bar{u})= I_{\rho,p}^{V,|x|^{-b}}$. 这就证明了 $\bar{u}$ 是 $I_{\rho,p}^{V,|x|^{-b}}$ 的极小元, 即集合 $\mathcal{M}$ 非空. 证毕.

定理 1.1 的证明 我们考虑用反证法. 如果定理 1.1 的结论不成立, 则存在 $\varepsilon>0$, 序列 $\{u_{n,0}\}\subset H^{1}(\mathbb{R}^{n})$ 满足

以及序列 $\{t_{n}\}\subset \mathbb{R}$ 使得

其中 $u_{n}(t_{n},x)$ 表示方程 (1.3) 对应初值 $u_{n,0}$ 的解. 由 (3.9) 式可得

由 (3.11), (3.12) 式以及能量守恒可得 $u_{n}(t_{n},\cdot)$ 是 $I_{\rho,p}^{V,|x|^{-b}}$ 的极小化序列, 于是存在 $u\in \mathcal{M}$ 使得

这显然与 (3.10) 式矛盾, 从而定理 1.1 得证.