考虑形如以下形式的一类一阶非线性时标动态方程

的 Hyers-Ulam-Rassias 稳定性, 其中 $ \sigma $ 为前跳算子, $ \mathbb{I}=[a,b]_{\mathbb{T}}=[a,b]\cap \mathbb{T} $, $ \mathbb{I}^{\mathcal{K}}=[a,b)_{\mathbb{T}} $, $ \mathbb{T} $ 是一个时标, $ a,b\in \mathbb{T} $, $ a<b $, 并且假定以下两个条件成立

(A1) $ r, p_{1}, p_{2}\in {\rm C_{rd}}(\mathbb{I}, \mathbb{R}) $, 且

(A2) $ f\in {\rm C_{rd}}(\mathbb{I}\times\mathbb{R}, \mathbb{R}) $, 且存在某常数 $ L>0 $ 使得

1940 年, Ulam^[15]首次提出了泛函方程的一种新型稳定性概念 (后来被称为 Ulam 稳定性). 当微分方程或差分方程的解难以精确求出时, Ulam 稳定性可以有助于推断逼近某个近似解的精确解存在性. 接着, Hyers^[10]研究了一类线性泛函方程的稳定性, 并在 1941 年成功求出方程的近似解. 后续的一些研究继续改进了文献 [10] 的结论, 其中包含了 1978 年 Rassias 发表在文献 [12] 的成果.

最近, 一些专家学者推导了富有意义的时标动态方程稳定性结论. 关于时间尺度理论和时标动态方程的研究进展, 详情请参见文献 [1],[2],[4],[5],[8],[9],[11]. 2017 年, Shen^[14]采用了积分因子法, 在有限区间 $ [a,b]_{\mathbb{T}} $ 上探讨了两个一阶线性时标动态方程

和

的 Ulam 稳定性. 2021 年, 利用动态不等式, Alghamdi 等^[3]给出了一阶时标动态方程

的 Hyers-Ulam 和 Hyers-Ulam-Rassias 稳定性结果. 2022 年, Bohner 和 Tikare^[6]讨论了非线性时标动态方程

的 Ulam 稳定性. 作者使用了 Picard 算子和动态不等式等方法, 分别得到了方程 (1.2) 新的 Ulam 稳定性结论, 以及另外两个时标动态方程

和

的 Hyers-Ulam-Rassias 稳定性结论.

受到文献 [6] 的启发, 考虑在形式上比上述方程更加普遍的 (1.1) 式的 Hyers-Ulam-Rassias 稳定性, 所得结论将可以覆盖、修正和完善文献 [6] 的相关结果. 除此以外, 由于方程 (1.1) 统合了文献 [6] 所提及的三类方程, 因此相关结论可以更便于使用. 最后, 提供三个例子说明相关结论的应用之处.

在这一节, 先给出以下定义和引理, 作为相关结论的重要理论基础.

定义 2.1 给 $ {\rm C_{rd}}(\mathbb{I}, \mathbb{R}) $ 赋予范数

这里, 易知 $ ({\rm C_{rd}}(\mathbb{I}, \mathbb{R}), \|\cdot\|) $ 是一个 Banach 空间.

引理 2.1^[16,定理2] 假设 $ x,A\in {\rm C_{rd}}(\mathbb{I}, (0,\infty)) $, $ A^{\Delta}(t)\geq 0 $, $ B,C\in {\rm C_{rd}}(\mathbb{I}, [0,\infty)) $ 且均为正回归函数. 对 $ t\in \mathbb{I} $, 若

成立, 则有

引理 2.2^{[7,引理3.1]} 函数 $ x $ 是方程 (1.2) 的一个解当且仅当

成立, 这里

引理 2.3 (抽象 Gronwall 引理, 见文献 [13,引理 2.1]) 设 $ (X,d,\leq) $ 为有序度量空间. 如果 $ A: X\rightarrow X $ 是一个递增 Picard 算子, 且存在唯一的不动点 $ x^{*} $, 那么对所有 $ x\in X $, 若 $ x\leq A(x) $, 则有 $ x\leq x^{*} $; 若 $ x\geq A(x) $, 则有 $ x\geq x^{*} $.

定义 2.2^{[6,定义2.8]} 称方程 (1.2) 具有 $ \mathcal{N} $ 型 Hyers-Ulam-Rassias 稳定性, 这里的 $ \mathcal{N} $ 为 $ \mathbb{I} $ 上所有非减右连续正函数所组成的族, 如果存在常数 $ K>0 $ 使得: 对任意 $ \varepsilon>0 $ 和 $ \varphi \in \mathcal{N} $, 若函数 $ y $ 满足

则方程 (1.2) 存在一个解 $ x $ 满足

这里, 正数 $ K $ 被称为 HUR 稳定性常数.

接下来, 给出方程 (1.1) 的 Hyers-Ulam-Rassias 稳定性结论.

定理 2.1 假设条件 (A1) 和 (A2) 均成立. 若 $ EL(b-a)<1 $, 这里

则有

(1) 方程 (1.1) 存在唯一解 $ x^{*} $ 满足初始条件 $ x^{*}(a)=x_{0} $, 这里 $ x_{0} $ 为一常数;

(2) 方程 (1.1) 具有 $ \mathcal{N} $ 型 Hyers-Ulam-Rassias 稳定性, 且 HUR 稳定性常数为

证 如果 $ x $ 是方程 (1.1) 的一个解, 且初始条件 $ x(a)=x_{0} $ 成立, 这里 $ x_{0} $ 为一常数, 则由方程 (1.1), 有

于是, 可推出

即

令

则有

由引理 2.2, 可得

定义算子 $ U: {\rm C_{rd}}(\mathbb{I}, \mathbb{R})\rightarrow {\rm C_{rd}}(\mathbb{I}, \mathbb{R}) $ 如下

对任意 $ x,y\in {\rm C_{rd}}(\mathbb{I}, \mathbb{R}) $, 可推出

即有

根据 $ EL(b-a)<1 $ 和压缩映射原理, 可知 $ U $ 在 $ {\rm C_{rd}}(\mathbb{I}, \mathbb{R}) $ 是收缩的, 且存在唯一的不动点 $ x^{*} $, 这里的 $ x^{*} $ 不但是方程 (1.1) 的唯一解, 而且还满足初始条件 $ x^{*}(a)=x_{0} $.

接着, 假设 $ y $ 是不等式

的一个解, 这里 $ \varepsilon>0 $ 和 $ \varphi \in \mathcal{N} $. 然后, 假定 $ x $ 为方程 (1.1) 的唯一解且满足 $ x(a)=y(a) $. 类似地, 可得 (2.3) 式, 其中的 $ x_{0} $ 被 $ y(a) $ 替代. 由不等式 (5), 易知 $ y $ 满足方程

这里 $ \left\vert \Phi(t)\right\vert \leq \varepsilon \varphi(t) $. 于是, 可得

由 $ \varphi \in \mathcal{N} $, 可知对 $ t\in \mathbb{I}^{\mathcal{K}} $, 有 $ \varphi(t)>0 $ 和 $ \varphi^{\Delta}(t)\geq 0 $, 所以对一切 $ t\in \mathbb{I} $, 均有

和

定义算子 $ V: {\rm C_{rd}}(\mathbb{I}, \mathbb{R})\rightarrow {\rm C_{rd}}(\mathbb{I}, \mathbb{R}) $ 如下

对任意 $ x,y\in {\rm C_{rd}}(\mathbb{I},\mathbb{R}) $ 和 $ t\in \mathbb{I} $, 可推出

因为 $ EL(b-a)<1 $, 可知 $ V $ 在 $ {\rm C_{rd}}(\mathbb{I}, \mathbb{R}) $ 上是收缩的. 更进一步地, 由 Banach 压缩原理, 可推出 $ V $ 是一个 Picard 算子, 而且存在不动点 $ w^{*} $. 所以, 可得

注意到 $ w^{*} $ 是递增的, 且

由引理 2.1, 取 $ A(t)=E\varepsilon (b-a)\varphi(t) $, $ B(t)=EL $, $ C(t)=0 $, 有

令 $ w(t)=\left\vert y(t)-x(t)\right\vert $, 由 (2.4) 式, 不难看出对一切 $ t\in \mathbb{I} $, 均有 $ w(t)\leq V(w)(t) $, 所以 $ V $ 是 $ {\rm C_{rd}}(\mathbb{I}, \mathbb{R}) $ 上的一个递增 Picard 算子. 于是, 利用引理 2.3, 可推导出对所有 $ t\in \mathbb{I} $, $ w(t)\leq w^{*}(t) $ 均成立. 这意味着

因此, 方程 (1.1) 具有 $ \mathcal{N} $ 型 Hyers-Ulam-Rassias 稳定性, 且 HUR 稳定性常数为 $ K=E(b-a)e_{EL}(b,a) $. 证毕.

注2.1 在定义 2.2 中, 如果对 $ t\in \mathbb{I} $, 取 $ \varepsilon=1 $ 或 $ \varphi(t)\equiv 1 $, 那么定理 2.1 中的证明过程可以分别得到简化.

注2.2 对所有 $ t\in \mathbb{I} $, 令 $ r(t)\equiv 1 $, 当分别取 $ p_{2}(t)\equiv 0 $, $ p_{1}(t)\equiv 0 $, $ p_{1}(t)=p_{2}(t)\equiv 0 $ 时, 定理 2.1 的结论将会先后与文献 [6,定理 3.1-3.3] 保持一致.

注2.3 当 $ \mathbb{I} $ 为连续时标 $ [a,b]_{\mathbb{R}} $ 时, 定理 2.1 中的 (2.1) 式可简化为

且 HUR 稳定性常数 $ K=E(b-a)e_{EL}(b,a)=E(b-a){\rm e}^{EL(b-a)} $. 注意到附加条件 $ EL(b-a)<1 $, 可知 $ K<E(b-a)$e.

在这一节, 给出以下三个例子说明相关结论的意义.

例3.1 令 $ \mathbb{T}=\mathbb{N} $, $ a=2 $, $ b=10 $, $ \mathbb{I}=[2,10]_{\mathbb{T}}=\{2,3,4,5,6,7,8,9,10\} $. 对 $ t\in \mathbb{I}^{\mathcal{K}} $, 考虑方程

满足初始条件 $ x(2)=1 $, 以及对应的不等式

这里, $ r(t)=t $, $ p_{1}(t)=-1 $, $ p_{2}(t)=t-1 $, $ f(t,x)=t\cdot \sqrt[3]{x^{3}+1}/50 $, $ \varepsilon>0 $, $ \varphi \in \mathcal{N} $, $ \mu (t)=1 $.

由于

以及

令 $ L=1/5 $, 不难看出方程 (3.1) 的系数函数满足条件 (A1) 和 (A2). 由定理 2.1 的证明过程, 可得 (2.1) 式. 于是, 对一切 $ t\in \mathbb{I} $, $ s\in \mathbb{I}^{\mathcal{K}} $ 且 $ t>s $, 有

当 $ t=s\in \mathbb{I}^{\mathcal{K}} $ 时, 有 $ e_{\ominus p}(t,s)=e_{\ominus p}(t,t)=1 $, 与以上结论保持一致. 所以, 可推出

于是

因此, 可推断出方程 (3.1) 存在唯一解 $ x $ 满足 $ x(2)=1 $. 接着, 由不等式 (3.2), 存在函数 $ \Phi \in {\rm C_{rd}}(\mathbb{I}, \mathbb{R}) $, 使得 $ \left\vert \Phi(t)\right\vert \leq \varepsilon \varphi(t) $ 和

由定理 2.1 的证明过程, 对 $ t\in \mathbb{I} $, 可得

于是, 可知方程 (3.1) 存在唯一解 $ x $ 满足 $ x(2)=y(2) $. 由引理 2.2, 可知

所以, 对 $ t\in \mathbb{I} $, 可推出

于是, 采用定理 2.1 的结果, 可知方程 (3.1) 具有 $ \mathcal{N} $ 型 Hyers-Ulam-Rassias 稳定性, 且 HUR 稳定性常数为

例3.2 令 $ \mathbb{T}=3^{\mathbb{N}_{0}} $, $ a=1 $, $ b=81 $, $ \mathbb{I}=[1,81]_{\mathbb{T}}=\{1,3,9,27,81\} $. 对 $ t\in \mathbb{I}^{\mathcal{K}} $, 考虑方程

满足初始条件 $ x(1)=2 $, 以及对应的不等式

这里, $ r(t)=1/t $, $ p_{1}(t)=t $, $ p_{2}(t)=0 $, $ f(t,x)=\alpha \left(x^{\beta}(t)+1\right)^{1/\beta}/t $, $ \alpha>0 $, $ \beta \geq 1 $, $ \varepsilon>0 $, $ \varphi \in \mathcal{N} $, $ \mu (t)=2t $.

由于

以及

可以取 $ L=\alpha $, 则不难看出方程 (3.3) 的系数函数满足条件 (A1) 和 (A2). 类似于例 3.1 的分析过程, 对一切 $ t\in \mathbb{I} $, $ s\in \mathbb{I}^{\mathcal{K}} $ 且 $ t>s $, 均有

当 $ t=s\in \mathbb{I}^{\mathcal{K}} $ 时, 同样有 $ e_{\ominus p}(t,s)=e_{\ominus p}(t,t)=1 $. 于是, 可得

当

时, 有 $ EL(b-a)=E\alpha (b-a)<1 $, 这可推导出方程 (3.3) 存在唯一解 $ x $ 满足 $ x(1)=2 $.

接着, 由不等式 (3.4), 存在函数 $ \Phi \in {\rm C_{rd}}(\mathbb{I}, \mathbb{R}) $ 使得 $ \left\vert \Phi(t)\right\vert \leq \varepsilon \varphi(t) $ 和

类似地, 可得

对 $ t\in \mathbb{I} $, 方程 (3.3) 也存在唯一解

满足 $ x(1)=y(1) $, 于是有

由定理 2.1, 可知当 $ 0<\alpha<7/240 $ 时, 方程 (3.3) 具有 $ \mathcal{N} $ 型 Hyers-Ulam-Rassias 稳定性, 且 HUR 稳定性常数为

且易知

例3.3 令 $ \mathbb{T}=\mathbb{R} $, $ 1<a<b $, $ \mathbb{I}=[a,b]_{\mathbb{R}} $. 对 $ t\in \mathbb{I}^{\mathcal{K}} $, 考虑方程

即

满足初始条件 $ x(a)=x_{0}\in \mathbb{R} $, 以及对应的不等式

这里, $ r(t)=t $, $ p_{1}(t)=-1 $, $ p_{2}(t)=t-1 $, $ f(t,x)=\lambda t\cdot \sqrt{x^{2}+1} $, $ \lambda>0 $, $ \varepsilon>0 $, $ \varphi \in \mathcal{N} $, $ \mu (t)=0 $.

由于

以及

令 $ L=\lambda $, 同样地, 方程 (3.5) 的系数函数满足条件 (A1) 和 (A2). 根据 (2.5) 式, 有

于是, 对一切 $ t\in \mathbb{I} $, $ s\in \mathbb{I}^{\mathcal{K}} $ 且 $ t>s $, 有

当 $ t=s\in \mathbb{I}^{\mathcal{K}} $ 时, 有 $ e_{\ominus p}(t,s)=e_{\ominus p}(t,t)=1 $, 与以上结论保持一致. 所以, 可推出

于是当

时, 可满足 $ EL(b-a)=\lambda (b-a)<1 $. 这时, 方程 (3.5) 存在唯一解 $ x $ 满足 $ x(a)=x_{0} $. 类似地, 由不等式 (12), 存在函数 $ \Phi \in {\rm C_{rd}}(\mathbb{I}, \mathbb{R}) $, 使得 $ \left\vert \Phi(t)\right\vert \leq \varepsilon \varphi(t) $ 和

于是, 有

且方程 (3.5) 存在唯一解 $ x $ 满足 $ x(a)=y(a) $. 由引理 2.2, 可知

因此, 对 $ t\in \mathbb{I} $, 均有

由定理 2.1, 可知方程 (3.5) 具有 $ \mathcal{N} $ 型 Hyers-Ulam-Rassias 稳定性, 且 HUR 稳定性常数为

且易知 $ K<(b-a)$e.