1895 年, Kordeweg 和 de Vries^[1] 在波为小振幅与长波的假设下, 从流体动力学方程组推导出单向运动的浅水波方程, 即著名的 KdV 方程

其中 $ v(t, x) $ 表示 $ t $ 时刻 $ x $ 方向上的流体速度, 或者等价为从水平底部到水波自由表面的高度, $ x $ 和 $ t $ 分别与传播方向上的距离和经过的时间成比例. 方程 $ (1.1) $ 不仅存在光滑行波解, 而且这些行波解是孤立子 (孤立子在碰撞后保持其形状和速度不变). 许多研究人员对 KdV 方程进行了大量的数学研究, 参见文献 [2],[3],[4]. 然而, 该模型没有模拟浅水波的破碎现象.

1993 年, Camassa 和 Holm^[5] 在研究浅水波运动时, 利用哈密顿方法导出了一个新的完全可积的非线性色散波动方程

其中, $ k $ 表示与临界浅水波速度有关的常数, 下标表示偏导数. 方程 $ (1.2) $ 可用来描述在重力影响下波浪在浅水自由表面上的单向传播. 实际上, 早在 1981 年, Fuchssteiner 等^[6] 利用递归算子研究了双哈密顿方程, 并导出了 Camassa-Holm(CH) 方程, 只不过当时未引起人们的关注.

到目前为止, CH 方程已经得到了广泛的研究. Camassa 和 Holm^[7] 推导出 CH 方程有 $ v(t,x)=c{\rm e}^{-\left | x-ct \right | } $ ($ c\in \mathbb{R} $ 且为常数) 形式的尖峰孤立子, 以及如下形式的 $ n $ 尖峰值解

其中位置 $ \mu _{i} $ 和振幅 $ \theta _{i} $ 满足常微分方程系统

$ i=1,\cdots,n $, 且 $ \dot{\mu }_{i}=\partial _{t}(\mu _{i}),\ \dot{\theta }_{i}=\partial _{t}(\theta _{i}) $. 此外, Constantin 等^[8],[9],[10] 不仅研究了CH方程的哈密顿结构和可积性, 而且还证明了尖峰孤子的轨道稳定性. 近年来, 由于各种原因, CH 方程引起了众多学者的关注, 见文献 [11],[12],[13],[14],[15],[16],[17].

Fuchssteiner^[18] 和 Olver 等^[19] 引入了带立方非线性修正 Camassa-Holm(MCH) 方程

其中 $ u=(1-\partial^{2}_{x})^{-1}\xi $ 是流体速度, 下标表示偏导数.

不失一般性, 我们在本文中考虑 $ \alpha =0 $ 的情况. Fu 和 Gui 等^[20] 证明了MCH方程在 Besov 空间中是局部适定的, 得到了爆破情形和最大存在时间的下界, 并证明了光滑行波解的不存在性. Gui 和 Liu^[21] 研究了方程 (1.3) 的奇异性和尖峰行波解的存在性. 此外, 作者还证明了单峰值解和多峰值解的存在性. Wu 和 Guo^[22] 研究了方程 (1.3) ($ \alpha =0 $) 解的持续性, 无限传播和行波解.

在本文中, 通过在方程 (1.3) 两边作用算子 $ (1-\partial_x^2)^{-1} $, 我们有

对于方程 (1.4), 如果选择初值 $ u_{0} \in H^{s,p}(\mathbb{R}) $, $ s\ge 3 $, $ p\in (1,\infty ) $, 我们在验证 Kato 半群理论的第三个条件时遇到困难. 为了避免这一困难, 我们改选方程 (1.3), 选择初始值 $ \xi _{0} \in H^{s,p}(\mathbb{R}) $, $ s\ge 1 $, (换句话说, 初值 $ u_{0} \in H^{s,p}(\mathbb{R}) $, $ s\ge 3 $) 将可以证明方程 (1.3) 满足 Kato 半群理论 $ (1) $, $ (2) $ 和 $ (3) $, 具体细节将在第二节中证明.

注1.1 如果对于常数 $ C>0 $ 有 $ X\le CY $, 那么 $ X\lesssim Y $. 对于 $ p\in (1,\infty ) $, $ \|\cdot\|_{L^{p}} $ 将表示 Banach 空间 $ L^{p}(\mathbb{R} ) $ 中的范数, 而经典 Sobolev 空间 $ H^{s,p}(\mathbb{R}) $ 中的范数由 $ \|\cdot\|_{H^{s,p}} $, $ s\in \mathbb{R} $ 表示. 另外, $ H^{s,p}(\mathbb{R}) $ 的范数定义如下

其中 $ \widehat{D^{s}f}(\xi) =\left |\xi \right |^{s} \widehat{f}(\xi ) $, 并且 $ \widehat{f}(\xi ) $ 表示傅里叶变换.

在本节, 我们应用 Kato 半群理论, 建立了方程 (1.3) 初值问题的局部适定性.

考虑抽象的拟线性发展方程

设自反的Banach空间 $ \mathscr{X} $, $ \mathscr{Y} $, 并且 $ \mathscr{Y} $ 连续且稠密地嵌入 $ \mathscr{X} $ 中. 设$ \varphi:\mathscr{Y}\rightarrow \mathscr{X} $ 是拓扑同构. 用 $ \mathscr{L}(\mathscr{Y},\mathscr{X}) $ ($ \mathscr{L}(\mathscr{X}) $, 如果 $ \mathscr{X}=\mathscr{Y} $)表示从 $ \mathscr{Y} $ 到 $ \mathscr{X} $ 的所有有界线性算子的空间. 假设

(1) 对于 $ m \in \mathscr{Y} $, 有 $ A(m)\in \mathscr{L}(\mathscr{Y},\mathscr{X}) $ 且

即 $ A(m) $ 是拟 $ m $-增生的, 在 $ \mathscr{Y} $ 有界集上一致有 $ A(m)\in G(\mathscr{X},1,\beta) $.

(2) 设 $ B(m)\in \mathscr{L}(\mathscr{X}) $ 在 $ \mathscr{Y} $ 有界集上一致有界, 且 $ \varphi A(m)\varphi^{-1}=A(m)+B(m) $. 此外,

(3) $ f:\mathscr{Y} \rightarrow \mathscr{Y} $ 可延拓到从 $ \mathscr{X} $ 到 $ \mathscr{X} $ 的映射, $ f $ 在 $ \mathscr{Y} $ 的有界集上有界, 且满足

这里 $ c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4} $ 依赖于 $ \max\{\|m\|_{\mathscr{Y}},\|n\|_{\mathscr{Y}}\} $.

命题2.1^[2] 假设初值 $ u_{0}\in \mathscr{Y} $ 且 (1), (2), (3) 成立, 存在 $ T=T\left (u_{0}\right )>0 $ 和方程 $ (2.1) $ 的唯一解$ u\left ( t,x \right ) $ 使得

另外, $ u_{0}\rightarrow u $ 是从 $ \mathscr{Y} $ 到 $ C([0,T);\mathscr{Y})\cap C^{1}([0,T);\mathscr{X}) $ 的连续映射.

接下来, 我们叙述本文的主要结果

定理2.1 假设初值 $ \xi_{0} \in H^{s,p}, \ s\ge 1 $, $ p\in (1,\infty ) $, 则存在 $ T=T\left ( \xi_{0} \right ) > 0 $ 和方程(1.3) 的唯一解 $ \xi\left ( t,x \right ) $ 使得

此外, 方程 (1.3) 的解连续依赖 $ \xi_{0} $, 即映射

是连续的.

注2.1 事实上, 方程 (1.3) 的唯一解 $ \xi\left ( t,x \right ) $ 满足 $ \xi (t,x)\in C([0,T);H^{s,p})\cap C^{1}([0,T);H^{s-1,p}) $. 它由下面的不等式证明

其中我们在第三个不等式应用引理 $ 2.1 $ 中 $ r=s+1,\ t=s-1 $ 的情况.

为了证明定理 2.1, 我们使用命题 2.1. 为了简单起见, 我们设势函数为 $ \xi=u-u_{xx} $, $ \eta =v-v_{xx} $, 利用格林函数 $ p(x)=\frac{1}{2}{\rm e}^{-|x|} $, $ x\in \mathbb{R}, $ 可得对于所有的 $ g\in L^{p} $ 都有$ (1-\partial^{2}_{x})^{-1}g=p\ast g $ 成立, 并且 $ u=p\ast \xi $, $ v=p\ast \eta $, 即

这里我们用 $ \ast $ 表示卷积. 另外, 如果 $ A $ 是一个无界算子, $ D(A) $ 表示 $ A $ 的定义域. 线性算子 $ A $ 和 $ B $ 的交换子用 $ [A,B]=AB-BA $ 来表示. 设 $ \mathscr{X}=L^{p} $, $ \mathscr{Y}=H^{s,p} $, $ A(\xi)=(u^{2}-u_{x}^{2})\partial_{x} $, $ f(\xi)=-2u_{x}\xi^{2} $, $ \Lambda=(1-\partial^{2}_{x})^{\frac{1}{2}} $ 及 $ \varphi =\Lambda^{s} $. 显然地, $ \varphi $ 是 $ H^{s,p} $ 到 $ L^{p} $ 的一个拓扑同构. 因此, 为了从命题 2.1 的结果推导出定理 2.1, 我们仅需要证明 $ A(\xi) $ 和 $ f(\xi) $ 满足条件 (1), (2) 和 (3).

首先, 我们给出以下三个重要引理.

引理2.1^[23],[24] 假设实数 $ r,\ t $ 使得 $ r\ge t $, $ r>\frac{1}{p} $ 以及 $ r+t> \max\left \{0,\frac{2}{p}-1\right \} $, 则我们得到

其中 $ c $ 是依赖于 $ r $, $ t $ 的正常数.

引理2.2^[23],[24] 假设 $ f\in H^{s,p},\ s> 1+\frac{1}{p},\ t\le s-1,\ -r\le s-1, $ 使得

则有

其中 $ c $ 是依赖于 $ r $, $ t $ 的常数.

引理2.3^[25] 设 $ A $ 是 $ \mathrm{Banach} $ 空间 $ \mathscr{X} $ 中的稠密闭线性算子. 如果 $ A $ 和 $ A^{*} $ 都是耗散算子, 则 $ A $ 是 $ \mathscr{X} $ 上 $ C_{0} $-压缩半群的无穷小生成元.

进一步, 我们把定理 2.1 的证明分成下面四个引理.

引理2.4 假设算子 $ A(\xi )=(u^{2}-u_{x}^{2})\partial_{x} $, $ \xi \in H^{s,p} $, $ s\ge 1 $, $ p\in (1,\infty ) $, 那么算子 $ A(\xi )\in \mathscr{L}(H^{s,p},L^{p}) $ 并且有

证 设 $ \xi, \ \eta,\ z\in H^{s,p} $, $ s\ge 1 $, $ p\in (1,\infty ) $, $ u=(1-\partial^{2}_{x})^{-1}\xi $, $ v=(1-\partial^{2}_{x})^{-1}\eta $, 可以得到

其中我们在第二个不等式运用了引理 $ 2.1 $ 中 $ r=2,\ t=0 $ 和 $ r=1,\ t=0 $ 的情况以及 $ s\ge 1 $, 常数 $ c_{1} $ 依赖于 $ \max\{\|\xi \|_{H^{s,p}},\|\eta\|_{H^{s,p}}\} $. 在上述不等式中取 $ \eta=0 $ 得到 $ A(\xi )\in \mathscr{L}(H^{s,p},L^{p}) $. 这就完成了引理 2.4 的证明.

引理2.5 算子 $ A(\xi)=(u^{2}-u_{x}^{2})\partial_{x} $, $ u=(1-\partial^{2}_{x})^{-1}\xi $, $ \xi\in H^{s,p} $, $ s\ge 1 $, $ p\in (1,\infty ) $, 则算子 $ A(\xi)\in G(L^{p},1,\beta) $.

证 在证明引理 $ 2.5 $ 之前, 我们首先回顾文献 [25] 中耗散算子的定义. 设 $ \mathscr{X} $ 是一个 Banach 空间, $ \mathscr{X}^{*} $ 是它的对偶空间. 我们用 $ \left ( x^{*}, x \right ) $ 或 $ \left (x, x^{*} \right ) $ 来表示 $ x^{*} \in \mathscr{X}^{*} $ 在 $ x \in \mathscr{X} $ 处的值. 对每个 $ x \in \mathscr{X} $, 定义对偶集

且 $ F(x) \subseteq \mathscr{X}^{*} $. 如果 $ \forall x\in D(A) $ 和 $ x^{*}\in F(x) $ 使得 $ {\rm Re}(Ax,x^{*} )\le 0 $, 其中 $ {\rm Re}(Ax,x^{*}) $ 表示 $ (Ax,x^{*}) $ 的实部, 则线性算子 $ A $ 是耗散的.

首先, 我们考虑 $ L^{p} $ 中的无界算子 $ A(\xi) $. 因此 $ A(\xi) $ 被视作极大算子, 定义域由所有 $ h\in L^{p} $ 组成, 使得 $ A(\xi)h\in L^{p} $, 则 $ A(\xi) $ 是 $ L^{p} $ 中的闭算子. 此外, 由于 $ H^{s,p}\subseteq D(A)\subseteq L^{p} $ 且 $ H^{s,p} $ 在 $ L^{p} $ 中稠密, 所以 $ A(\xi) $ 是稠密算子.

对于 $ \forall \gamma > \beta $, 设 $ \beta =(1+\frac{2}{p} )\left \|\xi \right \|_{H^{s,p} } $ 和 $ \mathscr{A}(\xi)=-\gamma -A(\xi) $. 显然地, $ \mathscr{A}(\xi) $ 也是 $ L^{p} $ 的一个稠密闭算子且有 $ D(A)=D(\mathscr{A}) $.

一方面, 我们先证明 $ \mathscr{A}(\xi) $ 是耗散算子. 如果 $ h\in D(\mathscr{A}) $ 使得 $ \left \| h \right \| _{L^{p}}=0 $, 再令 $ h^{*}=0 $, 那么 $ {\rm Re}(\mathscr{A}(\xi)h,h^{*})\le 0 $. 因此, 我们考虑 $ h\in D(\mathscr{A}) $ 且 $ \left \| h \right \| _{L^{p}}\ne 0 $ 的情况. 选择 $ h^{*}=\frac{\left | h \right |^{p-2}h }{\left \| h \right \| _{L^{p}}^{p-2} } $, 可得

这意味着 $ h^{*} \in L^{p' } $, $ \frac{1}{p}+\frac{1}{p'}=1 $ 并且 $ (h^{*},h)=\left \| h \right \| _{L^{p}}^{2}=\left \| h^{*} \right \| _{L^{p' }}^{2} $. 注意到

从上面的等式, 我们可以得到

显然有

因此 $ \mathscr{A}(\xi) $ 是耗散算子得证.

另一方面, 我们再证明 $ \mathscr{A}^{*}(\xi) $ 为耗散算子. 设 $ h\in D(\mathscr{A} ) $,

其中 $ \bar \gamma $ 表示 $ \gamma $ 的共轭. 那么我们得到 $ D(\mathscr{A} ^{*}(\xi) )\subseteq L^{p'} $ 且 $ \mathscr{A}^{*} (\xi)=- \gamma +2\xi u_{x}+(u^{2}-u_{x}^{2}) \partial _{x} $. 根据上面相似的步骤, 考虑 $ \forall d\in D(\mathscr{A}^{*}(\xi)) $, $ \left \| d \right \| _{L^{p'}} \ne 0 $, 设

有

因此 $ d^{*} \in L^{p} $, $ (d^{*},d)=\left \| d \right \| _{L^{p'}} ^{2} =\left \| d^{*} \right \|_{L^{p}} ^{2} $,

所以 $ \mathscr{A}^{*} (\xi) $ 也是耗散算子. 由引理 $ 2.3 $ 可知 $ \mathscr{A}(\xi) $ 是 $ L^{p} $ 上 $ C_{0} $-压缩半群的无穷小生成元.

综上所述, 对于 $ \xi \in H^{s,p} $, $ s\ge 1 $, $ p\in (1,\infty ) $, 算子 $ A(\xi)=(u^{2}-u_{x}^{2}) \partial _{x}\in G(L^{p},1,\beta) $. 证毕.

引理2.6 算子 $ B(\xi)=\varphi A(\xi)\varphi^{-1} -A(\xi) \in L(L^{p}) $, $ \varphi =\Lambda^{s} $, $ \xi\in H^{s,p} $, $ s\ge 1 $, $ p\in (1,\infty ) $. 此外,

证 设 $ \xi,\ \eta \in H^{s,p},\ z\in L^{p},\ s\ge 1 $, $ p\in (1,\infty ) $, 有

则我们得到

其中我们在第三个不等式利用了引理 2.2 中 $ r=0,\ t=s-1 $ 的情况, 且常数 $ c_{2} $ 依赖于 $ \max\{\|\xi \|_{H^{s,p}},\|\eta\|_{H^{s,p}}\} $. 在上述不等式中取 $ \eta=0 $ 得到 $ B(\xi )\in L(L^{p}) $. 这就完成了引理 2.6 的证明.

引理2.7 假如 $ f(\xi )=-2u_{x}\xi ^{2} $, $ \xi \in H^{s,p} $, $ s\ge 1 $, $ p\in (1,\infty ) $. 那么 $ f(\xi ) $ 在 $ H^{s,p} $ 上的有界集上有界并且满足

证 设 $ \xi, \ \eta \in H^{s,p},\ s\ge 1 $, $ p\in (1,\infty ) $. 因为 $ H^{s,p} $ 是一个 Banach 代数, 所以有

在上述不等式中取 $ \eta =0 $ 可得 $ f(\xi ) $ 在 $ H^{s,p} $ 上的有界集上有界.

接下来, 设 $ \xi, \ \eta \in H^{s,p},\ s\ge 1 $, $ p\in (1,\infty ) $, 则有

其中常数 $ c_{3}, c_{4} $ 依赖于 $ \max\{\|\xi \|_{H^{s,p}},\|\eta \|_{H^{s,p}}\} $. 这就完成了引理 $ 2.7 $ 的证明.

定理 2.1 的证明 结合命题 2.1、引理 2.4-引理 2.7, 利用 Kato 半群理论和耗散算子的定义, 即可证明定理 2.1.