本文主要研究 Banach 空间 $ X $ 上有限时滞微分方程

的概自守性, 其中线性算子 $ A:D(A) \to X $ 的定义域 $ D(A) $ 在 $ X $ 中非稠定, 且 $ A $ 满足 Hille-Yosida 条件, 即: 存在 $ M> 0 $, $ \omega\in \mathbb{R} $, 使得当 $ \lambda > \omega $ 时有 $ \lambda \in \rho(A) $, 并且对任意的 $ \lambda > \omega $ 和 $ n\in \mathbb{N}^* $ 都有

这里 $ \rho (A) $ 为 $ A $ 的预解集. 此外, $ L:C([-r,0],X)\to X $ 为有界线性算子, $ f:\mathbb{R}\times C([-r,0],X)\to X $ 为二元一致 $ S^p$-概自守函数, 其中 $ p> 1 $, $ r>0 $ 且 $ C([-r,0],X) $ 为 $ [-r,0] $ 到 $ X $ 的连续函数全体. 以下简称满足 Hille-Yosida 条件的线性算子为 Hille-Yosida 算子.

Banach 空间上抽象发展方程解的回复性研究近几十年来成为国内外数学界广泛关注的问题^{[2,3,5,6,8⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓-20]}. 特别的, 由于非稠定的 Hille-Yosida 算子自然的出现在一些偏微分方程中^[16], 近十几年来带有非稠定的 Hille-Yosida 算子的时滞微分方程 (1.1) 的周期性、概周期性和概自守性等回复性受到了较多的关注^{[16],[10],[3],[11],[18],[1]}. 然而, 在已有的研究中, 往往要求 Hille-Yosida 算子生成的半群具有紧性、非线性项具有一致 Lipschitz 假设、方程的系数和解的函数空间为同一空间. 例如, 在 Hille-Yosida 算子生成的半群具有紧性的假设下, Boukli-Hacene, Ezzinbi, N'Guérékata 等在文献 [10],[3],[11],[18] 中研究了方程 (1.1) 对应的非齐次方程

的概周期性和概自守性. 在本文中, 我们不要求 Hille-Yosida 算子生成的半群具有紧性, 并且在非齐次项 $ g $ 仅具有较弱的 $ S^1$-概自守性假设下, 得到了方程 (1.2) 的解具有紧概自守性 (比概自守性还要强). 又如, 在非线性项具有一致 Lipschitz 假设下, Adimy, Boukli-Hacene, Ezzinbih, Laklach 等在文献 [1],[3],[18],[11] 中研究了方程 (1.1) 的概周期和概自守型解的存在唯一性. 在本文中, 我们将非线性项的条件减弱为非一致 Lipschitz 条件, 即 Lipschitz 常数与时间 $ t $ 有关 (这在某种程度上是更加自然且准确的假设).

在本文中, 我们将致力于带有非稠定的 Hille-Yosida 算子的时滞微分方程 (1.1) 概自守性的研究. 相比已有结果, 本文不要求 Hille-Yosida 算子生成的半群具有紧性, 且仅在 $ f $ 具有更弱的 Lipschitz 假设和比概自守性更弱的 $ S^p$-概自守性假设下, 建立了方程 (1.1) 的解具有紧概自守性 (比概自守性更强), 也就是我们在比已有文献更弱的假设下, 得到了更强的结论.

本文中, $ \mathbb{R} $ 表示实数集, $ \mathbb{R}^+ $ 表示非负实数集, $ \mathbb{N}^* $ 表示正整数集. 并且, 对于任意 Banach 空间 $ \mathbb{B} $ 和常数 $ r>0,\ p\ge 1 $, 我们采用如下记号: $ L^p([0,1],\mathbb{B}) $ 表示从 $ [0,1] $ 到 $ \mathbb{B} $ 的 $ p $ 次可积函数的全体, $ L_{\rm loc}^p(\mathbb{R},\mathbb{B}) $ 表示从 $ \mathbb{R} $ 到 $ \mathbb{B} $ 的局部 $ p $ 次可积函数的全体, $ C(\mathbb{R},\mathbb{B}) $ ($ C_u(\mathbb{R},\mathbb{B}) $) 表示从 $ \mathbb{R} $ 到 $ \mathbb{B} $ 的连续 (一致连续) 函数的全体, $ BC(\mathbb{R},\mathbb{B}) $ 和 $ C([-r,0],\mathbb{B}) $ 分别表示从 $ \mathbb{R} $ 到 $ \mathbb{B} $ 的有界连续函数全体和从 $ [-r,0] $ 到 $ \mathbb{B} $ 连续函数全体且用 $ \|\cdot\|_C $ 表示其上确界范数, $ C^{1}([-r,0],\mathbb{B}) $ 表示从 $ [-r,0] $ 到 $ \mathbb{B} $ 的有一阶连续导数的函数全体.

下面我们回顾概自守函数的定义和相关性质. 在本节中假设 $ p\ge 1,\eta >0 $, 且 $ Y,Z $ 为任意两个 Banach 空间.

定义2.1^[14] 设 $ f\in C(\mathbb{R},Y) $. 若对任意的 $ \{s_n'\}\subset \mathbb{R} $, 存在 $ \{s_n'\} $ 的子列 $ \{s_n\} $ 和函数$ \tilde {f}:\mathbb{R} \to Y $, 使得对任意的 $ t \in \mathbb{R} $, 有

则称 $ f $ 是概自守函数. 这类函数的全体记为 $ AA(\mathbb{R},Y) $.

注2.1 注意到定义 2.1 中 $ \overline{\{\tilde {f}(t)|t\in \mathbb{R}\}}\subset \overline{\{f(t)|t\in \mathbb{R}\}} $. 若 $ f\in AA(\mathbb{R},Y) $, 则 $ \overline{\{f(t)|t\in \mathbb{R}\}} $ 为 $ Y $ 中紧集. 此外, $ AA(\mathbb{R},Y) $ 在上确界范数下是 Banach 空间.

定义2.1^[14] 设 $ f\in C(\mathbb{R},Y) $. 若对 $ \mathbb{R} $ 的任意紧子集 $ K $, 对任意的 $ \{s_n'\}\subset \mathbb{R} $, 存在子列 $ \{s_n\} $ 和函数 $ \tilde {f}:\mathbb{R} \to Y $, 使得

则称 $ f $ 是紧概自守函数. 这类函数的全体记为 $ KAA(\mathbb{R},Y) $.

注2.2 $ KAA(\mathbb{R},Y)\subsetneqq AA(\mathbb{R},Y) $ 且 $ KAA(\mathbb{R},Y) $ 在上确界范数下是 Banach 空间.

定理2.1^[8] $ f\in KAA(\mathbb{R},Y) $ 当且仅当 $ f\in AA(\mathbb{R},Y) $ 且 $ f \in C_u(\mathbb{R},Y) $.

定义2.3^[15] 设 $ f\in L_{\rm loc}^p(\mathbb{R},Y) $. 记 $ f $ 的 Bochner 变换为 $ f^b:\mathbb{R}\to L^p([0,1],Y);t\mapsto f(t+\cdot). $

若

则称 $ f\in BS^p(\mathbb{R},Y) $. 此外, 定义 $ BS^p(\mathbb{R},Y) $ 中范数为

定义2.4^[14] 设 $ f\in L_{\rm loc}^p(\mathbb{R},Y) $. 若 $ f^b\in AA(\mathbb{R},L^p([0,1],Y)) $, 则称 $ f $ 为 $ S^p $-概自守函数. 这类函数的全体记为 $ S^pAA(\mathbb{R},Y) $.

注2.3 $ BS^p(\mathbb{R},Y) $ 和 $ S^pAA(\mathbb{R},Y) $ 在范数 $ \|\cdot\|_{BS^p} $ 下均为 Banach 空间.

定理2.2^[15] 设 $ f\in L_{\rm loc}^p(\mathbb{R},Y) $. 那么 $ f\in S^pAA(\mathbb{R},Y) $ 当且仅当 $ f^b\in KAA(\mathbb{R},L^p([0,1],$ $Y)) $.

定义2.5^[5] 设 $ f:\mathbb{R}\times Y\to Z $ 满足对任意的 $ y\in Y $, 有 $ f(\cdot,y) $ $ \in L_{\rm loc}^p(\mathbb{R},Z) $. 若对任意的 $ \{s_n'\}\subset \mathbb{R} $, 存在 $ \{s_n'\} $ 的子列 $ \{s_n\} $ 和二元函数 $ \tilde {f}:\mathbb{R}\times Y\to Z $, 使得对任意的 $ y\in Y $ 有

且对任意的 $ t\in \mathbb{R} $ 和 $ y\in Y $ 有

则称 $ f $ 是二元一致 $ S^p $-概自守函数. 这类函数的全体记为 $ S^pAA(\mathbb{R}\times Y,Z) $.

引理2.1 设 $ f\in S^pAA(\mathbb{R}\times Y,Z) $ 且存在 $ \mathcal{L}\in S^lAA(\mathbb{R},\mathbb{R}^+) $, 使得

其中 $ l\ge p $. 那么对任意的 $ \{s_n'\}\subset \mathbb{R} $ 和 $ Y $ 中任意紧集 $ K $, 存在 $ \{s_n'\} $ 的子列 $ \{s_n\} $, 二元函数 $ \tilde {f}:\mathbb{R}\times Y\to Z $, $ \mathcal{M}\in BS^p(\mathbb {R},\mathbb{R}^+) $, 以及零测集 $ E\subset \mathbb{R} $, 使得对任意的 $ y\in Y $ 有 $ \tilde {f}(\cdot,y)\in L_{\rm loc}^p(\mathbb{R},Z) $, 对任意的 $ t\in \mathbb{R}-E $ 和$ y_1,y_2\in K $ 有 $ \|\tilde {f}(t,y_1)-\tilde {f}(t,y_2)\|\le \mathcal{M}(t)\|y_1-y_2\|, $ 且对任意的 $ t\in \mathbb{R} $, 有

证 文献 [5] 中已证明当 $ Y=Z $ 时结论成立. 类似地, 可按照文献 [5] 中思路证明上述引理成立.

接下来, 本文给出紧概自守函数的一个复合定理. 这里, 先回顾一个引理.

引理2.2 设 $ v\in C(\mathbb{R},X) $. 那么函数 $ t\mapsto v_t\in KAA(\mathbb{R},C([-r,0],X)) $ 当且仅当 $ v\in KAA(\mathbb{R},X) $, 其中 $ v_t=v(t+\cdot) $.

证 由定理 2.1, 文献 [,引理 4.6], 以及文献 [2,定理 4.15] 的证明可得上述结论成立.

定理2.3 若有

(1) $ f\in S^pAA(\mathbb{R}\times C([-r,0],X),X) $, 其中 $ p>1 $,

(2) $ v\in KAA(\mathbb{R},X) $,

(3) 存在 $ \mathcal{L}\in S^lAA(\mathbb{R},\mathbb{R}^+), $ 使得对任意的 $ t\in \mathbb{R} $ 和 $ \psi_1,\psi_2 \in C([-r,0],X) $ 有

其中 $ l\ge \max \{p,\frac {{p}}{{p-1}}\}, $

那么 $ F\in S^qAA(\mathbb{R},X), $ 其中 $ q=\frac {{lp}}{{p+l}} $ 且 $ F:\mathbb{R}\to X;t\mapsto f(t,v_t). $

证 首先令 $ p'=\frac { {p}}{ {p-q}} $, $ q'=\frac { {p}}{ {q}} $, 则 $ qq'=p, qp'=l $ 且由 $ l\ge \max \{p,\frac { {p}}{{p-1}}\} $ 可知 $ p',q'>1 $. 其次, 因为 $ v\in KAA(\mathbb{R},X), $ 则由引理 2.2 可知函数 $ t\mapsto v_t\in KAA(\mathbb{R},C([-r,0],X)) $, 且由注 2.1 和 2.2 可知 $ K=\overline {\{v_t|t\in \mathbb {R}\}} $ 为紧集. 接下来分二步证明 $ F\in S^qAA(\mathbb{R},X) $.

第一步 证明 $ F\in L_{\rm loc}^q(\mathbb{R},X) $ 且 $ F^b\in C(\mathbb{R},L^q([0,1],X)) $. 注意到对任意的 $ [a,b]\subset \mathbb {R} $ 有

故 $ F\in L_{\rm loc}^q(\mathbb{R},X) $. 此外, 又注意到对任意的 $ t_0\in \mathbb{R} $ 有

于是结合 $ F\in L_{\rm loc}^q(\mathbb{R},X) $, 由平均连续性可得 $ F^b\in C(\mathbb{R},L^q([0,1],X)) $.

第二步 证明对任意的 $ \{s_n'\}\subset \mathbb{R} $, 存在 $ \{s_n'\} $ 的子列 $ \{s_n\} $ 和函数 $ \tilde {F}:\mathbb{R}\to X $, 使得对任意的 $ t\in \mathbb{R} $ 有

因为 $ f\in S^pAA(\mathbb{R}\times C([-r,0],X),X) $, 由引理 2.1 可知, 对于 $ \mathbb{R} $ 中任意点列 $ \{s_n'\} $, 存在$ \{s_n'\} $ 的子列 $ \{s_n\} $, 函数 $ g:\mathbb{R}\times C([-r,0],X)\to X $, $ \mathcal{M}\in BS^p(\mathbb {R},\mathbb{R}^+) $, 以及零测集 $ E\subset \mathbb{R} $, 使得对任意的 $ \psi\in C([-r,0],X) $ 有 $ g(\cdot,\psi)\in L_{\rm loc}^p(\mathbb{R},X) $, 对任意的 $ t\in \mathbb{R} $ 有

且对任意的 $ t\in \mathbb{R}-E $ 和 $ \psi_1,\psi_2\in K $ 有

又因为函数 $ t\mapsto v_t\in KAA(\mathbb{R},C([-r,0],X))\subset AA(\mathbb{R},C([-r,0],X)) $, 则由定义 2.1 和注 2.1 可知, 对上述点列 $ \{s_n\} $, 存在函数 $ h:\mathbb{R}\to C([-r,0],X) $ 和 $ \{s_n\} $ 的子列, 不妨设为 $ \{s_n\} $, 使得 $ \overline {\{h(t)|t\in \mathbb {R}\}}\subset K $ 且对任意的 $ t\in \mathbb{R} $ 有

于是由控制收敛定理可得对任意的 $ t\in \mathbb{R} $ 有

记 $ \tilde {F}:\mathbb{R}\to X;t\mapsto g(t,h(t)). $ 由 (2.1) 式, (2.2) 式和 (2.4) 式知, 对任意的 $ t\in \mathbb{R} $ 有

类似地, 由 (2.2) 式, (2.3) 式和 (2.4) 式知, 对任意的 $ t\in \mathbb{R} $ 有

因此, 综上可得 $ F\in S^qAA(\mathbb{R},X) $. 证毕.

注2.4 在文献 [5,定理 2.4] 中, 若 $ f\in S^pAA(\mathbb{R}\times X,X),p>1 $, $ v\in S^pAA(\mathbb{R},X) $, $ \overline {\{v(t)|t\in \mathbb {R}\}} $ 为紧集, 且定理 2.3 中条件 (3) 成立, 则函数 $ t\mapsto f(t,v(t))\in S^qAA(\mathbb{R},X) $. 但是这里我们无法给出一个类似的定理, 这是因为当 $ v\in AA(\mathbb{R},X) $ 时, 函数 $ t\mapsto v_t\in S^pAA(\mathbb{R},C([-r,0],X)) $ 和 $ \overline {\{v_t|t\in \mathbb {R}\}} $ 紧均不一定成立.

下面先回顾方程 (1.1) 和 (1.2) 的积分解的定义和常数变易公式, 以及以下柯西问题

的相关结果, 其中 $ A $ 为非稠定的 Hille-Yosida 算子, $ L:C([-r,0],X)\to X $ 为有界线性算子, $ g\in L_{\rm loc}^1(\mathbb{R},X) $.

定义3.1^[2] 若连续函数 $ u:[-r,+\infty)\to X $ 满足

(1) $ {\int_{0}^{t}u(s) {\rm d}s }\in D(A),t\ge 0 $,

(2) $ u(t)=\varphi(0)+A{\int_{0}^{t}u(s) {\rm d}s} +{\int_{0}^{t}[Lu_s+g(s)] {\rm d}s},t\ge 0 $,

(3) $ u_0=\varphi $,

则称 $ u $ 为方程 (3.1) 的积分解.

注3.1 若 $ u $ 为方程 (3.1) 的积分解, 则对任意的 $ t\ge 0 $, 有 $ u(t)\in \overline {D(A)} $. 于是对任意的 $ t\ge 0 $ 有 $ u_t\in C_0 $, 其中 $ u_t:[-r,0]\to \overline {D(A)};\theta \mapsto u(t+\theta) $ 且 $ C_0=\{\psi \in C([-r,0],X)|\psi (0)\in \overline {D(A)}\} $.

引理3.1^[2] 设 $ A_0:D(A_0)\to \overline {D(A)};x\mapsto Ax $, 其中 $ D(A_0)=\{x\in D(A)|Ax\in \overline {D(A)}\} $. 那么 $ A_0 $ 生成 $ \overline {D(A)} $ 上的强连续半群 $ \{T(t)\}_{t\ge 0} $.

定理3.1^[2] 设 $ \varphi (0)\in \overline {D(A)} $. 那么方程 (3.1) 存在唯一的积分解 $ u $, 且 $ u $ 满足

其中 $ \lambda > \omega $.

为了得到便于计算的方程 (3.1) 积分解的常数变易公式, 我们先给出一些相关的记号和引理. 设 $ \mathcal {A_U}:D(\mathcal {A_U}) \to C_0;\psi \mapsto \psi' $, 其中

对任意的 $ t\ge 0 $, 记

其中 $ u(\cdot,\psi) $ 为方程

的积分解.

引理3.2^[1] $ \mathcal {A_U} $ 生成 $ C_0 $ 上强连续半群 $ \{U(t)\}_{t\ge 0} $.

设 $ \langle{X_0}\rangle=\{X_0y|y\in X\} $, 其中

此外, 定义 $ C_0\oplus \langle{X_0}\rangle $ 中范数为

则 $ C_0\oplus \langle{X_0}\rangle $ 在范数 $ \|\cdot\|_{C_0\oplus \langle{X_0}\rangle} $ 下是 Banach 空间. 设线性算子

其中

引理3.3^[1] $ \overset {\sim}{\mathcal {A_U}} $ 为 $ C_0\oplus \langle{X_0}\rangle $ 上的 Hille-Yosida 算子, 即存在$ \overset {\sim}{M}> 0 $ 和 $ \overset {\sim}{\omega}\in \mathbb{R}, $ 使得对任意的 $ \lambda > \overset {\sim}{\omega} $ 和 $ n\in \mathbb{N}^* $ 有 $ \lambda\in \rho(\overset {\sim}{\mathcal {A_U}}) $ 且

其中 $ \rho(\overset {\sim}{\mathcal {A_U}}) $ 为 $ \overset {\sim}{\mathcal {A_U}} $ 的预解集.

定理3.2^[1] 设 $ \varphi\in C_0 $. 若 $ u $ 为方程 (3.1) 的积分解, 那么 $ u $ 满足以下常数变易公式

接下来, 我们先介绍方程 (1.1) 和 (1.2) 的积分解的定义以及 $ \{U(t)\}_{t\ge 0} $ 指数二分性的定义, 然后我们再结合常数变易公式 (3.3) 讨论方程 (1.2) 有界积分解的存在唯一性.

定义3.2^[1] 设 $ u:\mathbb{R}\to X $ 为连续函数. 若对任意的 $ t, s\in \mathbb{R} $ 且 $ t\ge s $ 有

则称 $ u $ 为方程 (1.1) 的积分解. 特别地, 若对任意的 $ t, s\in \mathbb{R} $ 且 $ t\ge s $ 有

则称 $ u $ 为方程 (1.2) 的积分解.

定义3.3^[7] 若 $ C_0 $ 有分解 $ C_0=S\oplus V $ 满足

(1) $ S,V $ 均为 $ C_0 $ 的闭子空间, 并且对任意的 $ t\ge 0 $ 有 $ U(t)S\subset S $ 和 $ U(t)V\subset V $,

(2) 对任意的 $ t\ge 0 $, $ U(t) $ 的限制 $ U_V(t):V\to V $ 可逆, 记 $ U_V(t) $ 的逆为 $ U_V^{-1}(t) $,

(3) 存在 $ N,\delta>0 $, 使得对任意的 $ t\ge 0 $ 有 $ \|U_V^{-1}(t)\|\le N{\rm e}^{-\delta t} $ 且 $ \|U_S(t)\|\le N{\rm e}^{-\delta t} $, 其中 $ U_S(t) $ 表示 $ U(t) $ 限制在 $ S $ 上,

则称 $ \{U(t)\}_{t\ge 0} $ 关于常数 $ N,\delta $ 具有指数二分性.

定理3.3 设强连续半群 $ \{U(t)\}_{t\ge 0} $ 关于常数 $ N,\delta $ 具有指数二分性. 若 $ g\in BS^1(\mathbb{R},X) $, 那么方程 (1.2) 存在唯一的有界积分解 $ u $ 且 $ u $ 满足对任意的 $ t\in \mathbb{R} $ 有

证 利用文献 [定理 29] 的证明过程可以说明上述定理成立. 证毕.

在本节中, 我们先利用 $ \{U(t)\}_{t\ge 0} $ 的指数二分性研究方程 (1.2) 的紧概自守积分解的存在唯一性. 然后再利用压缩映射原理探讨方程 (1.1) 的紧概自守积分解的存在唯一性.

定理4.1 设强连续半群 $ \{U(t)\}_{t\ge 0} $ 关于常数 $ N,\delta $ 具有指数二分性. 若 $ g\in S^1AA(\mathbb{R},X) $, 那么方程 (1.2) 存在唯一的紧概自守积分解 $ u $.

证 因为 $ g\in S^1AA(\mathbb{R},X)\subset BS^1(\mathbb{R},X) $, 则由定理 3.3 可知, 方程 (1.2) 存在唯一的有界积分解 $ u $ 满足 (3.4) 式. 于是以下只需证明 $ u\in KAA(\mathbb{R},X) $. 又根据引理 2.2, 则只需证明函数 $ t\mapsto u_t\in KAA(\mathbb{R},C([-r,0],X)) $. 又因为 $ u $ 满足 (3.4) 式, 则只需证明

其中

对任意的 $ k,l\in \mathbb{N}^* $, 记

和 $ H^S_l=\sum\limits_{k=1}^l G^S_k $. 一方面, 注意到对任意的 $ k\in \mathbb{N}^* $ 和 $ t_1,t_2\in \mathbb{R} $ 有

因为 $ g\in S^1AA(\mathbb{R},X) $, 则由定理 2.2 知 $ g^b\in KAA(\mathbb{R},L^1([0,1],X)) $, 再由定理 2.1 知

于是结合 (4.1) 式可得 $ G^S_k\in C_u(\mathbb{R},C([-r,0],X)), $ 从而

另一方面, 因为 $ g\in S^1AA(\mathbb{R},X) $, 所以对任意的 $ \{s_n'\}\subset \mathbb{R} $, 存在 $ \{s_n'\} $ 的子列 $ \{s_n\} $ 和函数 $ \tilde {g}: \mathbb{R}\to X $, 使得对任意的 $ t \in \mathbb{R} $ 有

对任意的 $ k\in \mathbb{N}^* $, 令

于是对任意的 $ t\in \mathbb{R} $ 有

从而结合 (4.3) 式可知

类似可证

所以对任意的 $ k\in \mathbb{N}^* $ 有 $ G^S_k\in AA(\mathbb{R},C([-r,0],X)) $, 故 $ \big\{H^S_l\big\}^{+\infty}_{l=1}\subset AA(\mathbb{R},C([-r,0],X)) $. 因此结合 (4.2) 式可得 $ \big\{H^S_l\big\}^{+\infty}_{l=1}\subset KAA(\mathbb{R},C([-r,0],X)) $. 又注意到对任意的 $ l\in \mathbb{N}^* $ 有

即 $ \underset{l\to +\infty }{\lim}\underset{t\in \mathbb {R}}{\sup}\big\|H_l^S(t)-G^S(t)\big\|_C=0. $ 从而结合 $ \big\{H^S_l\big\}^{+\infty}_{l=1}\subset KAA(\mathbb{R},C([-r,0],X)) $ 可得 $ G^S\in KAA(\mathbb{R},C([-r,0],X)) $. 类似地, 可以证明 $ G^V\in KAA(\mathbb{R},C([-r,0],X)) $. 综上所述, 方程 (1.2) 存在唯一的紧概自守积分解 $ u $.

注4.1 当 $ \{T(t)\}_{t\ge 0} $ 为紧半群且 $ \sigma(\mathcal {A_U})\cap i\mathbb{R}=\emptyset $ 时: 文献 [10] 中证明了若 $ g\in AA(\mathbb{R},X) $, 那么方程 (1.2) 存在唯一的概自守积分解. 上述定理减弱了文献 [10] 中条件且得到了更强的结论--存在唯一的紧概自守积分解.

定理4.2 设强连续半群 $ \{U(t)\}_{t\ge 0} $ 关于常数 $ N,\delta $ 具有指数二分性. 若

(1) $ f\in S^pAA(\mathbb{R}\times C([-r,0],X),X) $, 其中 $ p>1 $,

(2) 存在 $ \mathcal{L}\in S^lAA(\mathbb {R},\mathbb {R}^+) $, 使得对任意的 $ \psi_1 $, $ \psi_2 \in C([-r,0],X) $ 和 $ t\in \mathbb{R} $ 有

且 $ \|\mathcal{L}\|_{BS^l}\in (0,\frac {\delta}{2\overset {\sim}{M}N}) $, 其中 $ l\ge \max \{p,\frac { {p}}{ {p-1}}\} $,

则方程 (1.1) 存在唯一的紧概自守积分解.

证 令 $ P:KAA(\mathbb {R},X)\to KAA(\mathbb {R},X);v\mapsto u^v $, 其中 $ u^v $ 为方程

的紧概自守积分解. 一方面, 对任意的 $ v\in KAA(\mathbb {R},X) $, 由定理 2.3 可知, 存在 $ q=\frac { {lp}}{ {p+l}}\ge 1 $, 使得函数 $ t\mapsto f(t,v_t)\in S^qAA(\mathbb{R},X) $. 再由定理 4.1 可知方程 (4.4) 存在唯一的紧概自守积分解 $ u^v $, 故 $ P $ 是适定的. 另一方面, 又注意到对任意的 $ v,w\in KAA(\mathbb {R},X) $ 有

于是结合 $ \|\mathcal{L}\|_{BS^l}\in (0,\frac {\delta}{2\overset {\sim}{M}N}) $ 可知 $ P $ 为压缩映射, 从而存在唯一的 $ v_0\in KAA(\mathbb {R},X) $ 使得 $ Pv_0=v_0 $, 即 $ u^{v_0}=v_0 $. 因此, $ v_0 $ 为方程 (1.1) 唯一的紧概自守积分解. 证毕.

注4.2 当 $ \{T(t)\}_{t\ge 0} $ 为紧半群时, 文献 [1] 中证明了若 $ f $ 为概周期函数, 满足一致 Lipschitz 条件且 Lipschitz 常数足够小, 那么方程 (1.1) 存在唯一的概周期积分解. 这里在更弱的假设下, 我们讨论概自守的情形, 这里的技巧同样可以用来讨论方程 (1.1) 的概周期问题. 此外, 值得注意的是：即使 $ \|\mathcal{L}\|_{BS^l} $ 充分小也不能保证 $ \mathcal{L}(t) $ 有界更不能保证其上确界充分小.

在最后一节, 作为本文理论结果的应用, 我们讨论一类来源于年龄结构模型的偏微分方程

其中 $ a,b $ 为常数, $ \mu\in L^1((0,a),\mathbb {R}) $, $ G_1\in S^2AA(\mathbb {R}^+,\mathbb {R}^+) $, $ G_2\in S^2AA(\mathbb {R}^+,\mathbb {R}) $, 且 $ h:\mathbb {R}^+\times (0,a)\to \mathbb {R} $ 满足

为 $ S^2$-概自守函数. 这里以及下文中, $ \mathbb {R}^+ $ 上的概自守型函数均是指 $ \mathbb {R} $ 上的概自守型函数在 $ \mathbb {R}^+ $ 上的限制, 为了方便起见, $ \mathbb {R}^+ $ 和 $ \mathbb {R} $ 上的概自守型函数记号不加区分. 此外, $ L^1((0,a),\mathbb{R}) $ 表示从 $ (0,a) $ 到 $ \mathbb{R} $ 的可积函数的全体, $ L^2_{\rm loc}(\mathbb{R},\mathbb{R}) $ ($ L^2_{\rm loc}(\mathbb {R},\mathbb {R}^+) $, $ L^2_{\rm loc}(\mathbb {R},L^1((0,a),\mathbb{R})) $) 表示从 $ \mathbb{R} $ 到 $ \mathbb {R} $ ($ \mathbb {R}^+ $, $ L^1((0,a),\mathbb{R}) $) 的局部 $ 2 $ 次可积函数的全体, 且

设 $ X=\mathbb {R}\times L^1((0,a),\mathbb {R}) $, 其中范数记为

定义 $ A:D(A)\to X;\left( \begin{array}{cccc} 0\\ \phi\\ \end{array} \right)\mapsto \left( \begin{array}{cccc} -\phi(0)\\ -\phi'-\mu \phi\\ \end{array} \right) $, 其中 $ D(A)=\{0\}\times W^{1,1}((0,a),\mathbb {R}) $. 于是 $ \overline{D(A)}=\{0\}\times L^1((0,a),\mathbb {R})\neq \mathbb {R}\times L^1((0,a),\mathbb {R})=X $. 记 $ u:\mathbb {R}\to X;t\mapsto \left( \begin{array}{cccc} 0\\ v(t,\cdot)\\ \end{array} \right) $, $ u_t:[-r,0]\to X;\theta\mapsto u(t+\theta) $, $ L:C([-r,0],X)\to X;\varphi\mapsto b\varphi(-r) $,

且

其中 $ \varphi(0)=\left( \begin{array}{cccc} c_1(0)\\ c_2(0)\\ \end{array} \right) $ 且 $ \sin\varphi(0)=\left( \begin{array}{cccc} \sin c_1(0)\\ \sin(c_2(0))(\cdot)\\ \end{array} \right) $, 这里 $ c_1\in C([-r,0],\mathbb {R}) $ 且 $ c_2\in C([-r,0], L^1((0,a),\mathbb {R})) $. 因此, 由文献 [16,命题 4.6] 的证明知方程 (5.1) 可转化为抽象微分方程

且有以下引理成立.

引理5.1 若 $ \underset{x\in (0,a)}{\inf}\mu(x)>0 $, 则存在 $ \omega=-\underset{x\in (0,a)}{\inf}\mu(x)<0 $, 使得对任意的 $ \lambda>\omega $ 和 $ n\in \mathbb{N}^* $ 有 $ \lambda \in\rho(A) $ 且 $ \| (\lambda I-A)^{-n}\| \le \frac{1}{(\lambda-\omega)^n}, $ 其中 $ \rho(A) $ 为 $ A $ 的预解集.

于是由引理 5.1 和 Hille-Yosida 定理知, $ A $ 的部分算子 $ A_0 $ 生成 $ \overline{D(A)} $ 上的强连续半群 $ \{T(t)\}_{t\ge 0} $ 满足

引理5.2 若 $ \underset{x\in (0,a)}{\inf}\mu(x)>0 $ 且 $ b<\frac{-\omega}{{\rm e}^{-\omega r}} $, 则 $ C_0 $ 上强连续半群 $ \{U(t)\}_{t\ge 0} $ 关于常数 $ N, \delta $ 具有指数二分性, 其中 $ N={\rm e}^{-\omega r}, \delta=-\omega-\|L\|{\rm e}^{-\omega r} $.

证 由 (3.2) 式和 (5.3) 式知, 对任意的 $ \varphi \in C_0 $ 和 $ t\ge 0 $ 有

于是对任意的 $ \varphi \in C_0 $ 和 $ t\ge 0 $ 有

从而由 Gronwall 不等式^[p15] 可得对任意的 $ \varphi \in C_0 $ 和 $ t\ge 0 $ 有

继而当 $ \|L\|\leq b<\frac{-\omega}{{\rm e}^{-\omega r}} $ 时有 $ \|U(t)\varphi\|_C\le \overset {\sim}{M}{\rm e}^{\overset {\sim}{\omega}t}\|\varphi\|_C,\ \varphi \in C_0, \ t\ge 0, $ 其中 $ \overset {\sim}{M}={\rm e}^{-\omega r}\ge 1 $, $ \overset {\sim}{\omega}=\omega+\|L\|{\rm e}^{-\omega r}<0 $. 因此 $ \{U(t)\}_{t\ge 0} $ 关于常数 $ {\rm e}^{-\omega r},-\omega-\|L\|{\rm e}^{-\omega r} $ 具有指数二分性. 证毕.

定理5.1 若 $ \underset{x\in (0,a)}{\inf}\mu(x)>0 $, $ b<\frac{-\omega}{{\rm e}^{-\omega r}} $, 且 $ \|G_1\|_{BS^2}\in \big(0,\frac {-\omega-\|L\|{\rm e}^{-\omega r}}{2{\rm e}^{-2\omega r}}\big) $, 则方程 (5.1) 存在紧概自守积分解.

证 分二步证明方程 (5.1) 存在紧概自守积分解.

第一步 证明 $ f\in S^2AA(\mathbb{R}\times C([-r,0],X),X) $. 因为 $ G_1\in S^2AA(\mathbb {R},\mathbb {R}^+) $, $ G_2\in S^2AA(\mathbb {R},\mathbb {R}) $, 且 $ F\in S^2AA(\mathbb {R},L^1((0,a),\mathbb{R})) $, 所以对任意点列 $ \{s_n'\}\subset \mathbb{R} $, 存在 $ \{s_n'\} $ 的子列 $ \{s_n\} $, $ \overset {\sim}{G_1}\in L^2_{\rm loc}(\mathbb {R},\mathbb {R}^+) $, $ \overset {\sim}{G_2}\in L^2_{\rm loc}(\mathbb {R},\mathbb {R}) $, 以及 $ \overset {\sim}{F}\in L^2_{\rm loc}(\mathbb{R},L^1((0,a),\mathbb{R})) $, 使得对任意的 $ t\in \mathbb{R} $ 有

和

一方面, 对任意的 $ \varphi \in C([-r,0],X) $ 和 $ [a,b]\subset \mathbb{R} $ 有

故由 $ G_1\in L^2_{\rm loc}(\mathbb {R},\mathbb {R}^+) $, $ G_2\in L^2_{\rm loc}(\mathbb {R},\mathbb {R}) $, 且 $ F\in L^2_{\rm loc}(\mathbb {R},L^1((0,a),\mathbb{R})) $ 可知 $ f(\cdot,\varphi)\in L^2_{\rm loc}(\mathbb{R},X) $. 另一方面, 设

那么类似于 (5.4) 式可证对任意的 $ \varphi \in C([-r,0],X) $ 有 $ \overset {\sim}{f}(\cdot,\varphi)\in L^2_{\rm loc}(\mathbb{R},X) $. 此外, 注意到对任意的 $ \varphi \in C([-r,0],X) $ 和 $ t\in \mathbb{R} $ 有

即

类似可证对任意的 $ \varphi \in C([-r,0],X) $ 和 $ t\in \mathbb{R} $ 有

因此 $ f\in S^2AA(\mathbb{R}\times C([-r,0],X),X) $.

第二步 证明存在 $ \mathcal{L}\in S^2AA(\mathbb {R},\mathbb {R}^+) $ 使得对任意的 $ \varphi_1 $, $ \varphi_2 \in C([-r,0],X) $ 和 $ t\in \mathbb{R} $ 有

且 $ \|\mathcal{L}\|_{BS^2}\in \big(0,\frac {\delta}{2\overset {\sim}{M}N}\big) $.

注意到对任意的 $ t\in \mathbb{R} $ 和 $ \varphi_1,\varphi_2\in C([-r,0],X) $ 有

取 $ \mathcal{L}=G_1 $, 于是由 $ \overset {\sim}{M}=N={\rm e}^{-\omega r}, \delta=-\omega-\|L\|{\rm e}^{-\omega r} $ 和 $ \|G_1\|_{BS^2}\in \big(0,\frac {-\omega-\|L\|{\rm e}^{-\omega r}}{2{\rm e}^{-2\omega r}}\big) $ 可得

因此, 由定理 4.2 可得方程 (5.2) 存在唯一的紧概自守积分解, 故方程 (5.1) 存在紧概自守积分解. 证毕.