一类双曲椭圆混合型趋化模型的黎曼问题

一类双曲椭圆混合型趋化模型的黎曼问题

何芬^,, 王振^,^*

武汉理工大学理学院武汉 430070

Riemann Problem for a Class of Mixed-type Chemotaxis Models

He Fen^,, Wang Zhen^,^*

School of Science, Wuhan University of Technology, Wuhan 430070

通讯作者: * 王振, Email:zwang@whut.edu.cn

收稿日期: 2023-07-17 修回日期: 2024-01-25

基金资助:

国家自然科学基金(11771442)

Received: 2023-07-17 Revised: 2024-01-25

Fund supported:

NSFC(11771442)

作者简介 About authors

何芬,Email:fenhe.zky@foxmail.com

摘要

该文研究了一类双曲椭圆混合型趋化模型的黎曼问题. 该方程组在 $v$ -轴上是线性退化的. 我们在相平面上得到了初始左右状态在不同区域时黎曼解存在的可解域. 特别地, 当左状态在第二象限, 右状态在第一象限时, 该混合型方程组的初值问题都是黎曼可解的.

关键词： 趋化模型; 黎曼问题; 混合型方程

Abstract

In this paper, we consider the Riemann problem for a system arising in chemotaxis. The system is of mixed type and transitions from a hyperbolic to an elliptic region. It is linearly degenerated along the $v$ -axis. We obtain a solvable domain in the phase plane for the existence of Riemann solutions when the initial left and right states are in different regions. In particular, when the left state is fixed in the second quadrant and any right state is in the first quadrant, the initial value problem of this mixed-type system is Riemann solvable.

Keywords： Chemotaxis; Riemann problem; Mixed-type system

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本文引用格式

何芬, 王振. 一类双曲椭圆混合型趋化模型的黎曼问题[J]. 数学物理学报, 2024, 44(2): 354-360

He Fen, Wang Zhen. Riemann Problem for a Class of Mixed-type Chemotaxis Models[J]. Acta Mathematica Scientia, 2024, 44(2): 354-360

1 引言

一维守恒律方程组可描述为

$\begin{cases}\partial_tu + \partial_x(uv)=0,\\\partial_t v-\partial_xu=0,\end{cases}$

(1.1)

$t>0$ , $x\in \mathbb{R}$ .

该方程 (1.1) 源于趋化模型^[13]

$\begin{cases} \partial_tp=D\partial_x(p\partial_x\ln(\frac{p}{\Phi(\omega)})),\\ \partial_t\omega=(\lambda p-\mu)\omega+\varepsilon\partial_x^2\omega,\end{cases}$

(1.2)

其中 $p(x,t)$ 表示粒子密度, $\omega(x,t)$ 表示物质的浓度, $D$ 表示粒子的扩散率. 函数 $\Phi$ 通常被称为趋化势能, 其公式为

$\Phi(\omega)=\omega^{-\alpha}.$

(1.3)

如果 $\alpha<0$ , 则称为正趋化, 反之, 则称为负趋化. 利用 (1.3) 式, 通过变换

$u=p,v=\partial_x(\ln\omega).$

(1.4)

(1.2) 式可转化为

$\begin{cases}\partial_tu-\alpha D \partial_x(uv)=D\partial_x^2u,\\\partial_t v-\partial_x(\lambda u+\varepsilon v^2)=\varepsilon\partial_x^2v.\end{cases}$

(1.5)

对于 $\alpha<0$ , 令

$\tilde{t}=\lambda t, \tilde{x}=\sqrt{\frac{\lambda}{-\alpha D}}x,\tilde{v}=\sqrt{\frac{-\alpha D}{\lambda}}v, \tilde{\varepsilon}=\frac{\varepsilon}{-\alpha D}, \tilde{D}=-\frac{1}{\alpha}.$

(1.6)

为了简单起见, 令 $\tilde{t}=t, \tilde{x}=x, \tilde{v}=v, \tilde{\varepsilon}=\varepsilon, \tilde{D}=D$ , (1.5) 式简化为

$\begin{cases}\partial_tu + \partial_x(uv)=D\partial_x^2u,\\\partial_t v-\partial_x( u+\varepsilon v^2)=\varepsilon\partial_x^2v.\end{cases}$

(1.7)

(1.1) 式是 (1.7) 式的一个特例 ( $D=0$ , $\varepsilon=0$ ), 也是混合型. 通过计算, 若 $v^2\geq4u$ , 方程 (1.1)是双曲型; 若 $v^2<4u$ , 方程 (1.1) 是椭圆型; 若 $v^2=4u$ , 方程 (1.1) 是非严格双曲型. 此外, 如果 $u=0, v>0$ , 第一特征族是线性退化的. 如果 $u=0, v<0$ , 第二特征族是线性退化的.

近些年来, 对于模型 (1.7) 中 $D>0$ 的情况, 研究成果比较完善. 2007 年, Zhang 和 Zhu^[17] 证明了小初值下全局解的存在性. 2016 年, Li, Liu 和 Wang^[13] 研究了 $D=1, \varepsilon>0$ 时的行波解. 对于方程 (1.1), Li 等^[14] 解决了双曲域中同一区域的黎曼问题. 本文利用 Hsiao 等^[4] 所提的一般熵条件, 扩展了文献 [14] 中的黎曼可解区域, 并刻画了左右状态在不同象限的黎曼解构造. 关于趋化模型的更多结果, 可以参考文献 [1],[2],[3],[6],[7],[8],[9],[10],[11],[12],[15].

本文考虑方程 (1.1) 的黎曼问题, 黎曼初值满足

$U_0=(v,u)|_{t=0}=\begin{cases}U_-=(v_-,u_-) \quad x<0,\\U_+=(v_+,u_+) \quad x>0.\end{cases}$

(1.8)

在第 2 节中, 我们介绍了方程 (1.1) 的一些基本性质以及基本波情况. 在第 3 节中, 关于 $u\geq0$ , 我们构造了左右状态在同一象限以及不同象限的黎曼解. 特别地, 当左状态在第二象限, 右状态在第一象限时, 该初值问题都是黎曼可解的.

2 预备知识

本节主要是介绍方程 (1.1) 的一些基本性质与基本波情况. 在光滑解意义下, 方程 (1.1) 可以等价为

$\left(\begin{array}{c} u \\ v \end{array} \right)_t+\left(\begin{array}{cc} v & u \\-1&0 \end{array} \right)\left(\begin{array}{c} u \\ v \end{array} \right)_x=0.$

若 $v^2\geq4u$ , 其特征值分别为

$\lambda_1=\frac{v-\sqrt{v^2-4u}}{2},\quad \lambda_2=\frac{v+\sqrt{v^2-4u}}{2},$

(2.1)

相应的右特征向量为

$r_1=\left(\begin{array}{c}-\lambda_1\\1 \end{array}\right), \quad r_2=\left(\begin{array}{c}-\lambda_2\\1 \end{array}\right).$

易知, 若 $v^2\geq4u$ , 方程 (1.1) 是双曲型. 若 $v^2<4u$ , 方程 (1.1) 是椭圆型. 经计算

$\nabla \lambda_1\cdot r_1=1-\frac{v}{\sqrt{v^2-4u}}, \quad \nabla \lambda_2\cdot r_2=1+\frac{v}{\sqrt{v^2-4u}},$

(2.2)

这意味着, 如果 $v^2-4u>0$ 且 $u\neq0$ , 对于每一个特征值都是真正非线性的. 其相应的基本波只可能是激波或稀疏波. 如果 $u=0, v>0$ , 第一特征族是线性退化的. 如果 $u=0, v<0$ , 第二特征族是线性退化的. 其相应的基本波分别是 1-接触间断 $J_1$ 和 2-接触间断 $J_2$ .

根据 $k$ -Riemann 不变量^[16] 的定义, 我们得到了 1-Riemann 不变量和 2-Riemann 不变量的表达式

$w_1=(\Omega-v)(\Omega+2v)^2,$

(2.3)

$w_2=(\Omega+v)(\Omega-2v)^2,$

(2.4)

其中 $\Omega=\sqrt{v^2-4u}$ . 值得注意的是 $w_1(v,u)=w_2(-v,u)$ . 此外

$\begin{cases}w_1=0, \qquad u=0 (v>0),\\w_2=0,\qquad u=0 (v<0).\end{cases}$

(2.5)

下面我们将介绍混合型方程组的激波. 设间断线为 $s=\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t}$ , 根据 Rankine-Hugoniot 条件^[16], 可得

$\begin{cases}s[u]=[uv], \\s[v]=-[u],\end{cases}$

(2.6)

其中 $[a]=a-a_-$ . 消除 (2.6) 式中 $s$ , 则有

$[u]^2+[v][uv]=0.$

(2.7)

展开得

$(u-u_-)^2+v(u-u_-)(v-v_-)+u_-(v-v_-)^2=0,$

(2.8)

即

$s(v;v_-,u_-)=-\frac{u-u_-}{v-v_-}=\frac{v\pm\sqrt{v^2-4u_-}}{2}, \quad v^2>4u_-.$

(2.9)

由于椭圆域的存在, Lax 熵条件^[16] 不再适用. 利用 Hsiao 等^[4] 所提的一般熵条件, 可知 1-激波曲线 $S_1(v;v_-,u_-)$ 满足

$S_1: \begin{cases}s_1(v;v_-,u_-)=\displaystyle\frac{v-\sqrt{v^2-4u_-}}{2},\\[3mm]u=u_-\displaystyle\frac{v-\sqrt{v^2-4u_-}}{2}(v-v_-), v<v_-.\end{cases}$

(2.10)

2-激波曲线 $S_2(v;v_-,u_-)$ 满足

$S_2: \begin{cases}s_2(v;v_-,u_-)=\displaystyle\frac{v+\sqrt{v^2-4u_-}}{2},\\[3mm]u=u_-\displaystyle\frac{v+\sqrt{v^2-4u_-}}{2}(v-v_-), v<v_-.\end{cases}$

(2.11)

接下来我们寻求 $(v,u)(x,t)=(u,v)(\xi)$ , $\xi=\frac{x}{t}$ 形式的自相似解. 利用 (2.3) 式和 (2.4) 式, 我们推导出 1-稀疏波 $R_1$ 和 2-稀疏波 $R_2$ 如下

$R_1: \begin{cases}\sqrt{\Omega-v} (\Omega+2v)=\sqrt{\Omega_-v_-}(\Omega_-+2v_-), \quad & v<0,\\\sqrt{-\Omega+v} (\Omega+2v)=\sqrt{-\Omega_-+v_-}(\Omega_-+2v_-), \quad& v>0.\end{cases}$

(2.12)

$R_2: \begin{cases}\sqrt{\Omega+v} (\Omega-2v)=\sqrt{\Omega_-+v_-}(\Omega_-2v_-), \quad &v>0,\\\sqrt{-\Omega-v} (\Omega-2v)=\sqrt{-\Omega_-v_-}(\Omega_-2v_-), \quad& v<0,\end{cases}$

(2.13)

其中 $\Omega=\sqrt{v^2-4u}$ , $\Omega_-=\sqrt{v_-^2-4u_-}$ .

经过计算, $R_1$ 的一阶导和二阶导为

$\begin{aligned}u'(v)=\frac{\Omega-v}{2}\begin{cases} >0,\qquad v<0, \\ <0,\qquad {v>0, } \end{cases}\\u"(v)=\frac{v-\Omega}{\Omega} \begin{cases}<0,\qquad v<0, \\ >0,\qquad {v>0. } \end{cases}\end{aligned}$

(2.14)

由于稀疏波的特征速度随着 $\frac{x}{t}$ 的增加而增加, 这就意味着 $\lambda_1(v_-, u_-)<\lambda_1(v,u)$ . 从

$\frac{\text{d}\lambda_1(v,u(v))}{{\rm d}v}=\frac{\Omega-v+2u'(v)}{2\Omega}=\frac{\Omega-v}{\Omega}\begin{cases} >0,\qquad v<0,\\<0,\qquad v>0, \end{cases}$

(2.15)

可知, 1-稀疏波 $R_1$ 满足

$R_1: \begin{cases} v>v_-,\qquad v<0, \\ v<v_-,\qquad v>0. \end{cases}$

(2.16)

类似地, 2-稀疏波 $R_2$ 的一阶导和二阶导为

$\begin{aligned}& u'(v)=-\frac{\Omega+v}{2} \begin{cases} <0,\qquad v>0, \\ >0,\qquad v<0, \end{cases}\\&u"(v)=-\frac{\Omega+v}{\Omega} \begin{cases}<0,\qquad v>0, \\ >0,\qquad v<0, \end{cases}\\&\frac{\text{d}\lambda_2(v,u(v))}{{\rm d}v}=\frac{\Omega+v-2u'(v)}{2\Omega}=\frac{\Omega+v}{\Omega}\begin{cases} >0,\qquad v>0, \\ <0,\qquad v<0. \end{cases}\end{aligned}$

(2.17)

且满足

$R_2: \begin{cases} v>v_-,\qquad v>0, \\ v<v_-,\qquad v<0. \end{cases}$

(2.18)

3 黎曼解

本节中, 我们构造了 $u\geq0$ 方程 (1.1) (7) 的黎曼解. 首先, 我们将区域划分如下

$\begin{aligned} & H_{1} =\{(v, u) \mid v>0, (v, u) \in H\}, \\ & E_{1} =\{(v, u) \mid v>0, (v, u) \in E\}, \\ & H_{2} =\{(v, u) \mid v<0, (v, u) \in H\}, \\ & E_{2} =\{(v, u) \mid v<0, (v, u) \in E\}, \end{aligned}$

其中 $H$ 满足 $v^2-4u\geq 0$ , 是非严格双曲域, $E$ 满足 $v^2-4u< 0$ , 是椭圆域. $H_{1}\cup E_{1}$ 是第一象限, $H_{2}\cup E_{2}$ 是第二象限.

图 1

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图 1 区域划分

记 $U_{-}=(v_{-},u_-)$ , $U_{+}=(v_{+},u_+)$ , $U_{m}=(v_{m},u_m)$ . 接下来, 我们主要研究固定左状态 $U_{-}$ 在双曲域的情形, 当左状态在椭圆域的情况可参见文献 [5]. 关于方程 (1.1) (7) 的黎曼问题分两种情况讨论. 如果 $U_{-}$ 和 $U_{+}$ 都在同一象限, 主要结果如下.

定理 3.1 假设 $u\geq0$ , $U_{m}$ 是连接 $U_{-}$ 和 $U_{+}$ 的中间状态. 方程 (1.1) (7) 在同一象限的黎曼解构造如下

(a) $U_{-}$ , $U_{+} \in H_1$ . (见图 2)

图 2

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图 2 关于 $u>0, v>0$ 的黎曼问题

如果 $(v_{+},u_+)\in I$ , $(v_{-},u_-)\xrightarrow{S_1}(v_{m},u_m)\xrightarrow{R_2}(v_{+},u_+)$ ,

如果 $(v_{+},u_+)\in II$ , $(v_{-},u_-)\xrightarrow{S_1}(v_{m},u_m)\xrightarrow{S_2}(v_{+},u_+)$ ,

如果 $(v_{+},u_+)\in III$ , $(v_{-},u_-)\xrightarrow{R_1}(v_{m},u_m)\xrightarrow{S_2}(v_{+},u_+)$ ,

如果 $(v_{+},u_+)\in IV$ , $(v_{-},u_-)\xrightarrow{R_1}(v_{m},u_m)\xrightarrow{R_2}(v_{+},u_+)$ .

其中 $II$ , $III$ 可解域即包含于 $E_1$ 区域也包含于 $H_1$ 区域.

(b) $U_{-}$ , $U_{+} \in H_2$ . (见图 3)

图 3

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图 3 关于 $u>0, v<0$ 的黎曼问题

如果 $(v_{+},u_+)\in I'$ , $(v_{-},u_-)\xrightarrow{R_1}(v_{m},u_m)\xrightarrow{S_2}(v_{+},u_+)$ ,

如果 $(v_{+},u_+)\in II'$ , $(v_{-},u_-)\xrightarrow{R_1}(v_{m},u_m)\xrightarrow{R_2}(v_{+},u_+)$ ,

如果 $(v_{+},u_+)\in III'$ , $(v_{-},u_-)\xrightarrow{S_1}(v_{m},u_m)\xrightarrow{R_2}(v_{+},u_+)$ ,

如果 $(v_{+},u_+)\in IV'$ , $(v_{-},u_-)\xrightarrow{S_1}(v_{m},u_m)\xrightarrow{S_2}(v_{+},u_+)$ .

其中 $I'$ , $IV'$ 可解域即包含于 $E_2$ 区域也包含于 $H_2$ 区域.

注 3.1 曲线 $\mathcal{L}_{1}$ 满足

$\begin{cases}u_m=u_-\displaystyle\frac{v_m-\sqrt{v_m^2-4u_-}}{2}(v_m-v_-),\\[3mm]u=u_m-\displaystyle\frac{v+\sqrt{v^2-4u_m}}{2}(v-v_m),\end{cases}$

(3.1)

其中 $v=-2\sqrt{u_m}$ , $0\leq u_m \leq -\sqrt{u_{-}}(\sqrt{u_{-}}+v_-)$ . 易知, 曲线 $\mathcal{L}_{2}$ 也由方程 (3.1) 表示, 其中 $v=2\sqrt{u_m}$ , $v_m>\frac{4u_{-}+v^{2}_{-}}{2v_{-}}$ .

如果 $U_{-}$ 和 $U_{+}$ 不在同一象限, 主要结果如下.

定理3.2 假设 $u\geq0$ , $U_{m}$ 是连接 $U_{-}$ 和 $U_{+}$ 的中间状态. 若 $U_{-}$ 在第二象限, $U_{+}$ 在第一象限, 方程 (1.1), (7) 的黎曼解包含激波, 稀疏波和接触间断 (见图 3, 图 4), 并且存在 2-接触间断跳跃到 1-接触间断的现象. 如果 $(v_{+},u_+)\in V$ , 其黎曼解构造为

$(v_{-},u_-)\xrightarrow{S_1}(v_{m},0)\xrightarrow{J_2}(0,0)\xrightarrow{J_1}(v_{1},0)\xrightarrow{S_2}(v_{+},u_+),$

图 4

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图 4 不同区域下黎曼解的构造

$v_{m}<0$ , $(v_{1},0)$ 也是一个中间状态且满足 $v_{1}>0$ . 特别地, 可解域 $V$ 是整个第一象限.

注 3.2 如果 $u_-=0, v_->0$ , 激波曲线满足 $u=-({v}^2-vv_-)$ , 它是关于 $v=\frac{v_-}{2}$ 对称的, 且经过原点 $(0,0)$ .

推论 3.1 若 $U_{-}$ 在第二象限, $U_{+}$ 在第一象限, 且 $U_{-}, U_{+}$ 均在 $v$ 轴上, 那么方程 (1.1), (7) 的黎曼解构造为

$(v_{-},u_-)\xrightarrow{J_2}(0,0)\xrightarrow{J_1}(v_{+},u_+).$

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... 记

$U_{-}=(v_{-},u_-)$ ,

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$U_{m}=(v_{m},u_m)$ . 接下来, 我们主要研究固定左状态

$U_{-}$ 在双曲域的情形, 当左状态在椭圆域的情况可参见文献 [5]. 关于方程 (1.1) (7) 的黎曼问题分两种情况讨论. 如果

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2009

... 近些年来, 对于模型 (1.7) 中

$D>0$ 的情况, 研究成果比较完善. 2007 年, Zhang 和 Zhu^[17] 证明了小初值下全局解的存在性. 2016 年, Li, Liu 和 Wang^[13] 研究了

Oscillatory traveling wave solutions to an attractive chemotaxis system

2016

... 该方程 (1.1) 源于趋化模型^[13] ...

... 近些年来, 对于模型 (1.7) 中

$D>0$ 的情况, 研究成果比较完善. 2007 年, Zhang 和 Zhu^[17] 证明了小初值下全局解的存在性. 2016 年, Li, Liu 和 Wang^[13] 研究了

Rienmann problem for a non-strictly hyperbolic system in chemotaxis

2022

... 近些年来, 对于模型 (1.7) 中

$D>0$ 的情况, 研究成果比较完善. 2007 年, Zhang 和 Zhu^[17] 证明了小初值下全局解的存在性. 2016 年, Li, Liu 和 Wang^[13] 研究了

... 所提的一般熵条件, 扩展了文献 [14] 中的黎曼可解区域, 并刻画了左右状态在不同象限的黎曼解构造. 关于趋化模型的更多结果, 可以参考文献 [1],[2],[3],[6],[7],[8],[9],[10],[11],[12],[15]. ...

Stability of traveling waves of the Keller-Segel system with logarithmic sensitivity

2014

... 近些年来, 对于模型 (1.7) 中

$D>0$ 的情况, 研究成果比较完善. 2007 年, Zhang 和 Zhu^[17] 证明了小初值下全局解的存在性. 2016 年, Li, Liu 和 Wang^[13] 研究了

1994

... 根据

$k$ -Riemann 不变量^[16] 的定义, 我们得到了 1-Riemann 不变量和 2-Riemann 不变量的表达式 ...

... 下面我们将介绍混合型方程组的激波. 设间断线为

$s=\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t}$ , 根据 Rankine-Hugoniot 条件^[16], 可得 ...

... 由于椭圆域的存在, Lax 熵条件^[16] 不再适用. 利用 Hsiao 等^[4] 所提的一般熵条件, 可知 1-激波曲线

$S_1(v;v_-,u_-)$ 满足 ...

Global existence of solutions to a hyperbolic-parabolic system

2007

... 近些年来, 对于模型 (1.7) 中

$D>0$ 的情况, 研究成果比较完善. 2007 年, Zhang 和 Zhu^[17] 证明了小初值下全局解的存在性. 2016 年, Li, Liu 和 Wang^[13] 研究了

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