本文用 $\mathbf{R}^{d}$ 表示 $d$ 维欧式空间, $\mathbf{R}_0=[0,+\infty)$, $\mathbf{R}_+=(0,+\infty)$; $\mathbf{Z}_+=\{1,2,\cdots \}$; 用 $\mathbf{C}$ 表示复数集. 设 $\Omega$ 是 $\mathbf{R}^d$ 中一个具有光滑边界 $\partial \Omega$ 的有界开域, $\bar{\Omega}:=\Omega\cup\partial \Omega$. 本文致力于研究如下带有非局部 Laplace 算子的饱和 Schrödinger-Klein-Gordon 方程

其中 $\mathbf{z}=\mathbf{z}(x,t)$, $\mathbf{w} = \mathbf{w} (x,t)$ 分别表示复标量核子场和实介子场; $\mathrm{i}=\sqrt{-1}$ 是虚数单位; $\alpha,\beta\in(0,1)$ 满足 $2\max\{\alpha,\beta\}<d$; $\hbar>0$ 为普朗克常数; $a>0$ 为系统的耗散机制; $b>0$ 是阻尼系数; $c>0$ 为介子的质量; $\mu, \nu>0$ 是耦合常数; $f\in\mathbf{C}$, $g\in\mathbf{R}$ 表示外力; 饱和函数 $\mathbf{Sat} _1$ 和 $\mathbf{Sat} _2$ 定义为

其中 $\mathbf{z}=\hat{\mathbf{z}}+\mathrm{i}\breve{\mathbf{z}}\in\mathbf{C}$, $|\mathbf{z}|=\sqrt{\hat{\mathbf{z}}^2+\check{\mathbf{z}}^2}$, $\rho, \varrho$ 和 $\varepsilon$ 为正饱和系数. 令 $\rho, \varrho, \varepsilon\rightarrow0$, 则方程 (1.1) 转化为非饱和方程, 这类方程在过去的几十年中被广泛研究, 参见文献 [1],[2],[3],[4],[5].

方程 (1.1) 的初值条件为

著名的 Schrödinger-Klein-Gordon 方程是量子场论中描述守恒的复中子场与实介子场相互作用的经典模型. 耦合的 Schrödinger-Klein-Gordon 方程, 因其相当精确地描述了物理系统关于时间的量子态, 而且这种耦合方程的发展为科学和工程领域开辟了新的前景, 因此这类方程吸引了许多学者的关注. 近年来 Schrödinger-Klein-Gordon 系统成为描述量子力学的重要工具, 被众多学者所研究, 参见文献 [3],[4],[5],[6],[7]. 另一方面, 问题 (1.1) 中的非线性项 $\mathbf{Sat} _1$ 和 $\mathbf{Sat} _2$ 可以看作一种特殊的"饱和非 Kerr 律", 出现在许多应用中. 饱和定律精确地描述了经过激光束的气体蒸气介电常数的变化, 这种现象也发生在光纤的孤子传播中. 在半导体掺杂光纤中, 孤子输运模型采用饱和非线性而不是通常的 Kerr 非线性. 这么做的主要动机是在半导体掺杂玻璃和其他复合材料可以观察到较弱的非线性. 饱和函数已经被广泛研究, 参见文献 [8],[9],[10],[11],[12].

Bochner 在其微分几何著作^[13]中首次提出了概自守的概念, 它是概周期的推广. 概自守的概念在研究一类常微分方程、抛物方程和广义微分方程的概自守动力学中是必不可少的, 这一事实进一步说明了概自守在动力学定性研究中的重要性. 首先, 就从系数空间到解空间的升力性质而言, 动力学在概周期的范畴内通常不是封闭的, 但是在概自守的范畴内是封闭的. 其次, 概自守动力学的出现说明了周期系统与概周期系统的主要区别. 例如, 在单调动力系统中, 周期系数的"升力"永远不可能是概自守的. 研究概自守动力学的另一个重要意义是它与 Levitan $N$-概周期性的关系. 因为概自守函数在本质上是 $N$-概周期的, 所以目前对概自守动力学的研究与 $N$-概周期的情况密切相关, 参见文献 [14],[15],[16],[17],[18],[19],[20].

纵观历史, 几乎全部现有的文章都集中在 Schrödinger 或 Klein-Gordon 方程的概周期动力学的研究上, 参见文献 [21],[22],[23],[24],[25],[26]. 例如, 利用 KAM 定理, 作者在文献 [21],[22],[23],[24] 中研究了一类特殊的 Schrödinger 方程的概周期解. Signing^[25] 考虑了具有概周期集的 Klein-Gordon 型方程的均匀化问题. Abdallah 等^[26]研究了具有非线性概周期项的 Klein-Gordon-Schrödinger 无限维格系统的一致全局吸引子的存在性. 然而, 据我们所知, 目前几乎没有文献涉及到 Schrödinger 或 Klein-Gordon 方程的概自守动力学研究. 受此启发, 本文将结合 Galerkin 方法、Fourier 级数、Laplace 变换和 Picard 迭代, 研究带有非局部 Laplace 算子的饱和 Schrödinger-Klein-Gordon 方程 (1.1) 在合适的函数空间中概自守弱解的存在性和唯一性.

设 $s\in(0,1)$, $\mathscr{S}$ 是速降函数组成的 Schwartz 空间, 分数阶 Laplace 算子^[27] $(-\Delta)^{s}:\mathscr{S}\rightarrow \mathrm{L}^2(\mathbf{R}^d)$ 表示为

其中 $\mathbf{B}(x,\epsilon)$ 表示球心为 $x\in\mathbf{R}^d$, 半径为 $\epsilon$ 的球, $C(d,s)$ 是标准化常数, 其表达式为

对 $s\in(0,1)$, $(-\Delta)^{s}$ 的一个等价形式为

设 $\mathrm{X}^s(\Omega)$ 表示所有 Lebesgue 可测函数 ${ \mathbf{u} }:\mathbf{R}^d\rightarrow\mathbf{R}$ 组成的线性空间, 使得在 $\mathrm{X}^s(\Omega)$ 中任意函数 ${ \mathbf{u} }$ 对 $\Omega$ 的限制属于 $\mathrm{L}^2(\Omega)$, 定义 $\mathrm{X}^s(\Omega)$ 的范数为

其中 $|\cdot|_2$ 表示 $\mathrm{L}^2(\Omega)$ 的范数, $Q:=(\mathbf{R}^d\times \mathbf{R}^d)\backslash(\eth\Omega\times\eth\Omega)$, $\eth\Omega:=\mathbf{R}^d\backslash\Omega$. 定义

其范数为

$\left(\mathrm{X}_0^s(\Omega), |\cdot|_{\mathrm{X}_0^s}\right)$ 是 Hilbert 空间, 其内积为

定义空间 $\mathrm{L}_{s}^2(\Omega)=\{ \mathbf{u} :(-\Delta)^s \mathbf{u} \in\mathrm{L}^2(\Omega)\}$, $| \mathbf{u} |_{s,2}:=|(-\Delta)^s \mathbf{u} |_2$, $\forall{ \mathbf{u} }\in\mathrm{L}_{s}^2(\Omega)$.

考虑如下特征值问题

其中 $s\in(0,1)$, $d>2s$. 问题 (1.2) 的弱解表示为

其中 ${ \mathbf{u} }\in \mathrm{X}_0^s(\Omega)$. 根据文献 [28] 可知, 在 $\mathrm{L}^2(\Omega,\mathbf{R})$ 中存在对应于非局部 Laplace 算子 $(-\Delta)^{s}$ 的一个完备的规范正交基 $\{e_k\}_{k=1}^{\infty}\subseteq\mathrm{X}_0^s(\Omega)$. 同时, 它也是 $\mathrm{X}_0^s(\Omega)$ 的正交基. 设 $\{\lambda_k\}_{k=1}^{\infty}$ 为 $\{e_k\}_{k=1}^{\infty}$ 对应的特征值序列, 则 $0<\lambda_1\leq \lambda_2\leq \cdots\leq \lambda_k\leq \cdots$, $\lim\limits_{k\rightarrow\infty}\lambda_k=\infty$.

设

其中 $\dot{\mathbf{z}}_t:=\frac{\partial\mathbf{z}}{\partial t}$, $\dot{ \mathbf{w} }_t:=\frac{\partial \mathbf{w} }{\partial t}$, $\ddot{ \mathbf{w} }_t:=\frac{\partial^2 \mathbf{w} }{\partial t^2}$, $\forall t\in\mathbf{R}_0$.

定义1.1 若 $(\mathbf{z}, \mathbf{w} )\in \mathbb{E}_{\mathbf{z}}\times\mathbb{E}_{ \mathbf{w} }$ 满足

其中 $t\in\mathbf{R}_+$, $c_\alpha:=C(d,\alpha)$, $c_\beta:=C(d,\beta)$, $\xi, \zeta\in \mathrm{L}^2(\Omega)$. 则 $(\mathbf{z}, \mathbf{w} )\in \mathbb{E}_{\mathbf{z}}\times\mathbb{E}_{ \mathbf{w} }$ 是方程 (1.1) 的一个全局弱解.

利用 Galerkin 方法, 本章的第一个主要结果如下所示

定理1.1 假设如下条件成立.

$(\mathcal{K}_1)$ $(\varphi,\phi,\psi)=(\hat{\varphi},\breve{\varphi},\phi,\psi) \in \{\mathrm{C}^2(\Omega)\cap\mathrm{X}_0^\alpha(\Omega)\cap\mathrm{L}_\alpha^2(\Omega)\}^2\times \{\mathrm{C}^2(\Omega)\cap\mathrm{X}_0^\beta(\Omega)\cap\mathrm{L}_{\beta}^2(\Omega)\}\times\mathrm{L}^2(\Omega).$

$(\mathcal{K}_2)$ $f, g\in \mathrm{L}^\infty(\mathbf{R}_0,\mathrm{L}^{2}(\Omega))\cap C^1(\mathbf{R}_0,\mathrm{L}^{2}(\Omega))$, $\dot{f}_t:=\frac{\partial f}{\partial t}, \dot{g}_t:=\frac{\partial g}{\partial t} \in \mathrm{L}_{\mathrm{loc}}^\infty(\mathbf{R}_0,\mathrm{L}^{2}(\Omega))$.

则方程 (1.1) 在 $\mathbb{E}_{\mathbf{z}}\times\mathbb{E}_{ \mathbf{w} }$ 中至少存在一个全局弱解 $(\mathbf{z}_0, \mathbf{w} _0)$.

设 $\{e_k^\alpha\}_{k=1}^{\infty}\subseteq\mathrm{X}_0^\alpha(\Omega)$ 和 $\{e_k^\beta\}_{k=1}^{\infty}\subseteq\mathrm{X}_0^\beta(\Omega)$ 为 $\mathrm{L}^2(\Omega,\mathbf{R})$ 中分别对应于非局部 Laplace 算子 $(-\Delta)^{\alpha}$ 和 $(-\Delta)^{\beta}$ 的两个完备的规范正交基. 同时, 它们也分别是 $\mathrm{X}_0^\alpha(\Omega)$ 和 $\mathrm{X}_0^\beta(\Omega)$ 的正交基. 设$\{\lambda_k^\alpha\}_{k=1}^{\infty}$ 和 $\{\lambda_k^\beta\}_{k=1}^{\infty}$ 分别为 $\{e_k^\alpha\}_{k=1}^{\infty}$ 和 $\{e_k^\beta\}_{k=1}^{\infty}$ 对应的特征值序列. 则 $\lambda_k^\alpha$ 和 $\lambda_k^\beta$ 具有有限的多重性且满足

定义 $(\cdot)_k:=\langle \cdot,e_k\rangle_{\mathrm{L}^2}$, $k\in\mathbf{Z}_+$, $\langle\cdot,\cdot\rangle_{\mathrm{L}^2}$ 表示 $\mathrm{L}^2(\Omega)$ 的内积. 根据状态估计、矩阵理论和 Laplace 变换, 可知 $(\mathbf{z}_0, \mathbf{w} _0)=(\hat{\mathbf{z}}_0,\breve{\mathbf{z}}_0, \mathbf{w} _0)$ 可以表示为如下形式的 Fourier 级数

其中 $\mathbf{z}_0=\hat{\mathbf{z}}_0+\mathrm{i}\breve{\mathbf{z}}_0$, $t\in \mathbf{R}_+$,

基于式 (1.3)-(1.4), 可知方程 (1.1) 的全局弱解 $({z}_0,{w}_0)$ 具有如下的唯一性、能量估计和全局指数收敛性.

定理1.2 设 $(\mathcal{K}_1)$-$(\mathcal{K}_2)$ 及以下条件成立, 则 $(\mathbf{z}_0, \mathbf{w} _0)=(\hat{\mathbf{z}}_0,\breve{\mathbf{z}}_0, \mathbf{w} _0)$ 是方程 (1.1) 在 $\mathrm{C}(\mathbf{R}_0,\{\mathrm{L}^2(\Omega)\}^3) \cap\{\mathbb{E}_{\mathbf{z}}\times\mathbb{E}_{ \mathbf{w} }\}$ 中的唯一全局弱解.

而且, 若 $a\varrho>2\mu$, 那么我们有以下的能量估计

其中 $f_\infty:=\sup\limits_{t\in\mathbf{R}_0}|f(\cdot,t)|_{2}$, $g_\infty:=\sup\limits_{t\in\mathbf{R}_0}|g(\cdot,t)|_{2}$.

定理1.3 设 $(\mathcal{K}_1)$-$(\mathcal{K}_3)$ 以及如下假设成立.

$(\mathcal{K}_4)$ $\min\left\{\frac{a}{\hbar},\frac{b}{2}\right\}>\max\left\{ \frac{64\mu^2}{a \hbar\rho_0^2},\frac{9\nu^2}{2b(\grave{\lambda}_1^\beta)^2\varepsilon^2}\right\}$, 其中 $\rho_0:=\min\{\rho,\varrho\}.$

则方程 (1.1) 在弱解意义下是全局指数收敛的.

最后, 为了研究方程 (1.1) 的渐近概自守弱解, 我们利用 (1.3)-(1.4) 构造了一个 Picard 迭代序列并有如下结论

定理1.4 设 $(\mathcal{K}_1)$-$(\mathcal{K}_4)$ 及如下假设成立.

$(\mathcal{K}_5)$ $(f,g)=(\mathrm{Re}f,\mathrm{Im}f,g)\in\mathbb{AAA}(\mathbf{R}_0,\{\mathrm{L}^2(\Omega)\}^3)$.

$(\mathcal{K}_6)$ $\gamma:=\max\bigg\{\frac{8\sqrt{2}\mu}{a\rho_0}, \frac{3\nu}{b\grave{\lambda}_1^\beta\varepsilon}\bigg\}<1$.

则方程 (1.1) 存在唯一的全局指数稳定的渐近概自守弱解, 其中 $\mathbb{AAA}(\mathbf{R}_0,\{\mathrm{L}^2(\Omega)\}^3)$ 表示从 $\mathbf{R}_0$ 映到 $\{\mathrm{L}^2(\Omega)\}^3$ 的所有渐近概自守函数组成的空间, 其定义将在第 5 节中给出.

本文的结构安排如下. 在第 3 节中, 引入了一些基本函数空间, 并用 Galerkin 方法证明了方程 (1.1) 全局弱解的存在性. 第 4 节利用矩阵理论和 Laplace 变换构造了全局弱解的 Fourier 级数, 并证明了该解的唯一性和收敛性. 并且, 给出了定理 1.2 和 1.3 的证明. 在第 5 节中, 利用 Picard 迭代方法研究了方程 (1.1) 的唯一全局渐近概自守弱解的存在性.

令 $I_T=(0,T)$, $\bar{I}_T=[T]$, $\forall T>0$, $\mathbb{K}$ 是某个有限维度量空间的子集, $\mathbb{H}$ 表示距离为 $\|\cdot\|_{\mathbb{H}}$ 的某个度量空间.

$\bullet$ $\mathrm{C}^m(\mathbb{K}):=\mathrm{C}^m(\mathbb{K},\mathbb{H})$ 表示从 $\mathbb{K}$ 映到 $\mathbb{H}$ 的所有 $m$ 阶连续可微函数组成的空间, 其范数为 $\|\cdot\|_{\mathrm{C}^m}$, $\forall m\in\mathbf{Z}_+$ 或 $m=\infty$. $\mathrm{C}_0^m(\mathbb{K}):=\{\eta\in\mathrm{C}^m(\mathbb{K}): \mathrm{supp}\eta\subset\subset\Omega\}$.

$\bullet$ $\mathrm{L}^p(\Omega):=\mathrm{L}^p(\Omega,\mathbf{C})$ 表示所有可测复值映射 $\eta:\Omega\rightarrow \mathbf{C}$ 组成的集合, 其范数为

特别地, $\mathrm{L}^2(\Omega)$ 是 Hilbert 空间, 其内积为

相应的范数为 $|\eta|_2=\sqrt{\langle\eta,\eta\rangle_{\mathrm{L}^2}}$. 此外, $\mathrm{L}^\infty(\Omega)$ 表示 $\Omega$ 上所有本性有界映射组成的集合, 其范数为 $|\cdot|_{\infty}$.

$\bullet$ $\mathrm{L}^p(I_T):=\mathrm{L}^p(I_T,\mathbb{H})$ 表示所有的可测向量值映射 $\eta:I_T\rightarrow \mathbb{H}$ 组成的集合, 其范数为 $\|\cdot\|_{\mathrm{L}^p}$, 其中

此外, $\mathrm{L}_{\mathrm{loc}}^p(I_T,\mathbb{H})$ 为由 $\mathrm{L}_{\mathrm{loc}}^p(I_T,\mathbb{H})=\big\{ \eta\in \mathrm{L}^p(I_T): \forall T>0\big\}$ 定义的局部 Lebesgue 空间.

定义 $\mathbb{K}_n^\alpha=\mathrm{span}\{e_1^\alpha,\cdots,e_n^\alpha\},$ $\mathbb{K}_n^\beta=\mathrm{span}\{e_1^\beta,\cdots,e_n^\beta\}$, $n\in\mathbf{Z}_+$,

其中 $(\mathbf{z}_n, \mathbf{w} _n)$ 是如下方程的解

$\forall\xi\in \mathbb{K}_n^\alpha$, $\zeta\in \mathbb{K}_n^\beta$, $t\in\bar{I}_T$, $n\in\mathbf{Z}_+$. 根据常微分方程基本理论, 可知若 $(f,g)\in\mathrm{C}^1\times\mathrm{C}^1$, 则方程 (2.1) 存在唯一的解 $(\mathbf{z}_n, \mathbf{w} _n)\in \mathrm{C}^2\times\mathrm{C}^3$, $\forall t\in\bar{I}_T$, $n\in\mathbf{Z}_+$.

定义 $f_{T_\infty}:=\sup\limits_{t\in\bar{I}_T}\{|f(\cdot,t)|_{2},|\dot{f}_t(\cdot,t)|_{2}\},$ $g_{T_\infty}:=\sup\limits_{t\in\bar{I}_T}\{|g(\cdot,t)|_{2},|\dot{g}_t(\cdot,t)|_{2}\}.$ 接着, 我们将给出方程 (2.1) 的一些状态估计.

引理2.1 若 $(\mathcal{K}_1)$-$(\mathcal{K}_2)$ 成立. 则存在某些正常数 $M_{\mathbf{z}}^T$, $M_{ \mathbf{w} }^T$, $M_{\mathbf{z}_\alpha}^T$, $M_{ \mathbf{w} _\beta}^T$, $M_{\dot{\mathbf{z}}}^T$, $M_{\dot{ \mathbf{w} }}^T$, $M_{\dot{ \mathbf{w} }_\beta}^T$, $M_{\ddot{ \mathbf{w} }}^T$ 使得

$\forall t\in \bar{I}_T\backslash\{0\}$, $n\in\mathbf{Z}_+.$

证 1) $\{\mathbf{z}_n\}$, $\{ \mathbf{w} _n\}$, $\left\{\frac{\partial}{\partial t} \mathbf{w} _n\right\}$ 的 $\mathrm{L}^2$-估计和 $\{ \mathbf{w} _n\}$ 的 $\mathrm{X}_0^\beta$-估计.

在 (2.1) 式的第一个方程中令 $\xi={z}_n$, 取对应的虚部, 由插值不等式, 可得

即

其中 $t\in \bar{I}_T\backslash\{0\}$, $n\in\mathbf{Z}_+$. 利用 Gronwall 不等式, 可得

同理, 在 (2.1) 式的第二方程中取 $\zeta=\frac{\partial}{\partial t}{w}_n$, 有

进而

其中 $t\in \bar{I}_T\backslash\{0\}$, $n\in\mathbf{Z}_+$. 因此,

其中 $t\in \bar{I}_T\backslash\{0\}$, $n\in\mathbf{Z}_+.$

由不等式 (2.4), 可知

其中 $t\in \bar{I}_T\backslash\{0\}$, $n\in\mathbf{Z}_+$.

2) $\left\{\frac{\partial}{\partial t}\mathbf{z}_n\right\}$ 的 $\mathrm{L}^2$-估计和 $\{\mathbf{z}_n\}$ 的 $\mathrm{X}_0^\alpha$-估计.

对 (2.1) 式的第一个方程两边同时取微分, 令 $\xi=\frac{\partial}{\partial t}{z}_n$, 取其虚部, 可得

对 $t\in \bar{I}_T\backslash\{0\}$ 几乎处处成立, 其中 $n\in\mathbf{Z}_+$. 通过直接计算可得

对 $t\in \bar{I}_T\backslash\{0\}$ 几乎处处成立, 其中 $n\in\mathbf{Z}_+$. 结合 (2.5) 式可知

对 $t\in \bar{I}_T\backslash\{0\}$ 几乎处处成立, 其中 $n\in\mathbf{Z}_+$. 由 Gronwall 不等式可得

对 $t\in \bar{I}_T\backslash\{0\}$ 几乎处处成立, 其中 $n\in\mathbf{Z}_+$. 其中 $\dot{\mathbf{z}}_n(0):=\frac{\partial}{\partial t}\mathbf{z}_n(t)\Big|_{t=0}$, $n\in\mathbf{Z}_+$.

在 (2.1) 式的第一个方程中, 依次取 $t\rightarrow0$, $\xi=\dot{{z}}_n(0)$, 由分部积分公式可得

其中 $\varphi_n=\varphi+\frac{\varphi}{n}$, $\phi_n=\phi+\frac{\phi}{n}$, $n\in\mathbf{Z}_+$. 取相应的虚部可得

即

利用不等式 (2.6) 可知

其中 $t\in \bar{I}_T\backslash\{0\}$, $n\in\mathbf{Z}_+$.

在 (2.1) 式的第一个方程中, 令 $\xi=\hbar\frac{\partial}{\partial t}{z}_n+a{z}_n$, 并取其实部可得

其中

其中 $t\in \bar{I}_T\backslash\{0\}$, $n\in\mathbf{Z}_+.$

将上述结果代入式 (2.7) 可得

其中

利用不等式 (2.8) 可得

3) $\left\{\frac{\partial^2}{\partial t^2} \mathbf{w} _n\right\}$ 的 $\mathrm{L}^2$-估计和 $\left\{\frac{\partial}{\partial t} \mathbf{w} _n\right\}$ 的 $\mathrm{X}_0^\beta$-估计.

对 (2.1) 式的第二个方程两边同时微分, 取 $\zeta=\frac{\partial^2}{\partial t^2}{w}_n$, 有

对 $t\in \bar{I}_T\backslash\{0\}$ 几乎处处成立, 其中 $n\in\mathbf{Z}_+.$

定义 $\ddot{ \mathbf{w} }_n(0):=\frac{\partial^2}{\partial t^2} \mathbf{w} _n(t)\Big|_{t=0}$, $\forall n\in\mathbf{Z}_+$. 在 (2.1) 式的第二个方程中依次令 $t\rightarrow0$, $\zeta=\ddot{{w}}_n(0)$ 可得

其中

因此,

由 (2.9) 式可知

其中 $t\in \bar{I}_T\backslash\{0\}$, $n\in\mathbf{Z}_+.$ 证毕.

定理1.1 的证明 由引理 2.1 可得

因此, 存在 $\{({\mathbf{z}}_n,{ \mathbf{w} }_n)\}_{n\in\mathbf{Z}_+}$ 的一个子列 (仍记为 $\{({\mathbf{z}}_n,{ \mathbf{w} }_n)\}_{n\in\mathbf{Z}_+}$) 使得当 $n\rightarrow\infty$ 时, 有

因为 $\mathrm{X}_0^\alpha(\Omega)\hookrightarrow\mathrm{L}^2(\Omega)$ 和 $\mathrm{X}_0^\beta(\Omega)\hookrightarrow\mathrm{L}^2(\Omega)$ 是紧的, 所以可以选取 $\{({\mathbf{z}}_n,{ \mathbf{w} }_n)\}_{n\in\mathbf{Z}_+}$ 的一个子列 (仍记为 $\{({\mathbf{z}}_n,{ \mathbf{w} }_n)\}_{n\in\mathbf{Z}_+}$) 使得当 $n\rightarrow\infty$ 时, 在 $\mathrm{L}^2(\Omega)$ 中对每个 $t\in\mathbf{R}_+$ 有

由于在 $\mathrm{L}^2(\Omega)$ 中, 当 $n\rightarrow\infty$ 时, 有${z}_n\rightarrow{z}_0$. 因此当 $n\rightarrow\infty$ 时, 有

即 $\|{\mathbf{z}}_0(t)\|_{2}^2\leq M_{{\mathbf{z}}}^T$, $\forall t\in\bar{I}_T$.

注意到

在上述不等式中令 $n\rightarrow\infty$ 可得

同理, 有

由于

从而,

即

注意到 $\bigcup\limits_{m=1}^{\infty}\mathbb{K}_m^\alpha$ 在 $\mathrm{L}^2(\Omega)$ 中稠密, 所以, 当 $n\rightarrow\infty$ 时, 在 $\mathrm{L}^2(\Omega)$ 中有

同理, 当 $n\rightarrow\infty$ 时, 在 $\mathrm{L}^2(\Omega)$ 中有 $\mathbf{Sat} _2(|\mathbf{z}_n|^2)\rightharpoonup \mathbf{Sat} _2(|\mathbf{z}_0|^2)$.

对 (2.1) 式的两边同时取极限, 利用 Lebesgue 控制收敛定理以及 $\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}\mathbb{K}_n^{\alpha}$ 和 $\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}\mathbb{K}_n^{\beta}$ 在 $\mathrm{L}^2(\Omega)$ 中稠密, 可得

其中 $\xi, \zeta\in\mathrm{L}^2(\Omega)$, $t\in \mathbf{R}_+$. 显然, $(\mathbf{z}_0, \mathbf{w} _0)\in \mathbb{E}_{\mathbf{z}}\times\mathbb{E}_{ \mathbf{w} }$ 是方程 (2.1) 的一个全局弱解 (见定义 1.1). 证毕.

定义 $\mathbf{z}_0(t)=\hat{\mathbf{z}}_0(t)+\mathrm{i}\breve{\mathbf{z}}_0(t)$, $\mathbf{w} _0(t)=\sum\limits_{k=1}^\infty \mathbf{w} _{k,0}(t)e_k^\beta$, 其中

因为在 $\mathrm{X}_0^\alpha(\Omega)$ 中, 当 $n\rightarrow\infty$ 时有 ${z}_n\stackrel{}{\rightharpoonup}{z}_0$, 所以

同理, $\langle \mathbf{w} _0, e_k^\beta\rangle_{\mathrm{X}_0^\beta} =\lambda_k^\beta\langle \mathbf{w} _0, e_k^\beta\rangle_{\mathrm{L}^2}$, $\forall k=1,2,\cdots$. 因此, 模型 (2.10) 的第一个方程可转化为

等价于

其中 $\hat{\mathbf{z}}_{k,0}(0)=\hat{\varphi}_k,$ $\breve{\mathbf{z}}_{k,0}(0)=\breve{\varphi}_k$, $t\in \mathbf{R}_+$, $k=1,2,\cdots$.

结合方程 (3.1) 可得

其中 $t\in \mathbf{R}_0$, $k=1,2,\cdots$. 由式 (3.2), 可知 $\mathbf{z}_0=(\hat{\mathbf{z}}_0,\breve{\mathbf{z}}_0)$ 可以表示为 Fourier 级数 (1.3).

引理3.1 若定理 1.2 的所有假设均成立. 则 $\max\limits_{t\in\mathbf{R}_0}|\mathbf{z}_0(t)|_2\leq\mathbf{z}_{\infty}.$

证 考虑部分和

显然,

并且在 $\{\mathrm{L}^2(\Omega)\}^2$ 中, $\{(\hat{\mathbf{z}}_0^{n}(t),\breve{\mathbf{z}}_0^{n}(t) \}_{n\in\mathbf{Z}_+}$ 收敛到 $(\hat{\mathbf{z}}_0(t),\breve{\mathbf{z}}_0(t) )$, $\forall t\in \bar{I}_T$.

根据式 (1.3)、Minkowski 不等式、Hölder 不等式和 Bessel 不等式, 可得

同理,

在上述两个不等式中令 $n\rightarrow\infty$, 则

进而, 令 $T\rightarrow\infty$, 则 $\max\limits_{t\in\mathbf{R}_0}|\mathbf{z}_0(t)|_2\leq\mathbf{z}_{\infty}.$ 证毕.

由 (2.10) 式的第二个方程可知

其中 $\mathbf{w} _{k,0}(0)=\phi_k,$ $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \mathbf{w} _{k,0}(t)\Big|_{t=0}=\psi_k,$ $t\in \mathbf{R}_+$, $k=1,2,\cdots.$

结合不等式 (2.2) 计算得到,

其中 $h_0:=4|\varphi|_2^2+\frac{2f_\infty^2}{a\hbar}$, $t\in \bar{I}_T\backslash\{0\}$, $n\in\mathbf{Z}_+$. 由不等式 (2.3) 可得

因此,

其中 $h_1:=4\left|\psi\right|_2^2+2c_{\beta}|\phi|_{\mathrm{X}_0^\beta}^2+4c\left|\phi\right|_2^2$, $h_2:=\frac{4\nu^2h_0}{b\varepsilon^2}+\frac{4g_\infty^2}{b} +h_1$, $t\in \bar{I}_T\backslash\{0\}$, $n\in\mathbf{Z}_+$. 由于在 $\mathrm{L}^2(\Omega)$ 中, 当 $n\rightarrow\infty$ 时对每个 $t\in\mathbf{R}_+$ 都有 $\mathbf{w} _n\rightarrow \mathbf{w} _0,$ $\frac{\partial}{\partial t} \mathbf{w} _n\rightarrow\frac{\partial}{\partial t} \mathbf{w} _0$, 所以

由不等式 (3.4) 可知, $\mathbf{w} _{k,0}$, $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \mathbf{w} _{k,0}$ 是有限增长的. 若 $(\mathcal{K}_3)$ 成立, 对式 (3.3) 两边同时进行 Laplace 变换可得

其中 $t\in \mathbf{R}_0$, $k=1,2,\cdots$. 因此, $\mathbf{w} _0$ 可以表示成 Fourier 级数 (1.4).

引理3.2 设定理 1.2 的所有条件均成立. 则 $\max\limits_{t\in\mathbf{R}_0}| \mathbf{w} _0(t)|_{2}\leq \mathbf{w} _{\infty}.$

证 考虑部分和

显然,

而且在 $\mathrm{L}^2(\Omega)$ 中, $\{ \mathbf{w} _0^{n}(t))\}_{n\in\mathbf{Z}_+}$ 收敛于 $\mathbf{w} _0(t)$, $\forall t\in \bar{I}_T$. 由方程 (1.4) 可知,

由 $T$ 的任意性可知, 结论成立. 证毕.

证 我们运用反证法来证明唯一性. 设 $(\mathbf{z}_*, \mathbf{w} _*)=(\hat{\mathbf{z}}_*,\breve{\mathbf{z}}_*, \mathbf{w} _*)\in\mathrm{C}(\mathbf{R}_0,\{\mathrm{L}^2(\Omega)\}^3) \cap\{\mathbb{E}_{\mathbf{z}}\times\mathbb{E}_{ \mathbf{w} }\}$ 也是方程 (1.1) 的一个全局弱解. 定义

其中 $\hat{\mathbf{z}}_{k,*}(t)=\langle\hat{\mathbf{z}}_{*}(t), e_k^\alpha\rangle_{\mathrm{L}^2}$, $\breve{\mathbf{z}}_{k,*}(t)=\langle\breve{\mathbf{z}}_{*}(t), e_k^\alpha\rangle_{\mathrm{L}^2}$, $\mathbf{w} _{k,*}(t)=\langle \mathbf{w} _{*}(t), e_k^\beta\rangle_{\mathrm{L}^2}$, $t\in\mathbf{R}_0$, $k=1,2,\cdots$. 令 $\hat{\mathbf{z}}_*^n(t)$, $\breve{\mathbf{z}}_*^n(t)$, $\mathbf{w} _*^n(t)$ 分别表示 $\hat{\mathbf{z}}_*(t)$, $\breve{\mathbf{z}}_*(t)$, $\mathbf{w} _*(t)$ 的部分和, 其表达式为

其中 $t\in\mathbf{R}_0$, $n=1,2,\cdots$. 显然, $\{(\hat{\mathbf{z}}_*^n,\breve{\mathbf{z}}_*^n, \mathbf{w} _*^n)\}_{n\in\mathbf{Z}_+}$ 在 $\{\mathrm{L}^2(\Omega)\}^3$ 中收敛到 $(\hat{\mathbf{z}}_*,\breve{\mathbf{z}}_*, \mathbf{w} _*)$, $\forall t\in \mathbf{R}_0$. 进而, $(\hat{\mathbf{z}}_*,\breve{\mathbf{z}}_*, \mathbf{w} _*)$ 可以表示成相应的 Fourier 形式 (1.3) 和 (1.4). 因此,

其中 $t\in\mathbf{R}_0$, $n=1,2,\cdots.$ 注意到 $\langle\cdot\rangle_{\mathrm{L}^2}$ 关于 $|\cdot|_{2}$ 是连续的, 在上述不等式中令 $n\rightarrow\infty$, 则

同理,

所以,

利用方程 (1.4) 可得,

在上述不等式中令 $n\rightarrow\infty$, 有

定义 $\mathcal{U}(t)=|\mathbf{z}_0(t)-\mathbf{z}_*(t)|_{2}^2+| \mathbf{w} _0(t)- \mathbf{w} _*(t)|_{2}^2$, $\forall t\in\mathbf{R}_0$. 则

利用 Gronwall 不等式可知, $\mathcal{U}(t)\equiv0$, $\forall t\in\mathbf{R}_0$. 证毕.

证 由 $(\mathcal{K}_4)$ 可知, 存在足够小的 $\epsilon>0$ 使得

设 $(\mathbf{z}_*, \mathbf{w} _*)=(\hat{\mathbf{z}}_*,\breve{\mathbf{z}}_*, \mathbf{w} _*)\in\mathrm{C}(\mathbf{R}_0,\{\mathrm{L}^2(\Omega)\}^3) \cap\{\mathbb{E}_{\mathbf{z}}\times\mathbb{E}_{ \mathbf{w} }\}$ 也是方程 (1.1) 的一个全局弱解且其初始条件为

$\hat{\mathbf{z}}_*(x,0)=\hat{\varphi}_*(x),\quad \breve{\mathbf{z}}_*(x,0)=\breve{\varphi}_*(x),\quad \mathbf{w} _*(x,0)=\phi_*(x),\quad \dot{ \mathbf{w} }_*(x,0)=\psi_*(x),\quad \forall x\in\Omega.$ 令 $\varphi_*=(\hat{\varphi}_*,\breve{\varphi}_*)$, $\hat{\mathbf{z}}_*^n(t)$, $\breve{\mathbf{z}}_*^n(t)$, $\mathbf{w} _*^n(t)$ 分别表示如上节所述的 $\hat{\mathbf{z}}_*(t)$, $\breve{\mathbf{z}}_*(t)$, $\mathbf{w} _*(t)$ 的部分和, 其中 $t\in\mathbf{R}_0$, $n=1,2,\cdots$. 而且, $\{(\hat{\mathbf{z}}_*^n,\breve{\mathbf{z}}_*^n, \mathbf{w} _*^n)\}_{n\in\mathbf{Z}_+}$ 在 $\{\mathrm{L}^2(\Omega)\}^3$ 中收敛于 $(\hat{\mathbf{z}}_*,\breve{\mathbf{z}}_*, \mathbf{w} _*)$, $\forall t\in \mathbf{R}_0$, $(\hat{\mathbf{z}}_*,\breve{\mathbf{z}}_*, \mathbf{w} _*)$ 可以用相应的 Fourier 级数 (1.3) 和 (1.4) 来表示. 因此,

在上述不等式中令 $n\rightarrow\infty$, 结合 Bohr 不等式

可得

同理,

所以,

另一方面, 由方程 (1.4) 可知,

在上述不等式在令 $n\rightarrow\infty$ 可得

定义

结合不等式 (3.5) 和 (3.6) 可得,

其中

由文献 [引理 13] 可得

证毕.

这里我们介绍概自守向量值函数的概念, 详情请参阅文献 [30].

假设 $\mathbb{H}$ 表示某个 Hilbert 空间. 如果对于每一个序列 $\{\bar{t}_p\}_{p\in\mathbf{Z}_+}$, 都存在一个子序列 $\{t_p\}_{p\in\mathbf{Z}_+}\subseteq\{\bar{t}_p\}_{p\in\mathbf{Z}_+}$ 和一个函数 $\tilde{f}:\mathbf{R}\rightarrow\mathbb{H}$ 使得对任意的 $t\in\mathbf{R}$, 在 $\mathbb{H}$ 中有

则称 $\mathbb{H}$-值函数 $f\in\mathrm{C}(\mathbf{R},\mathbb{H})$ 为概自守函数. 所有这些函数的集合用 $\mathbb{AA}(\mathbf{R},\mathbb{H})$ 表示. 设 $\mathbb{B}\subseteq\mathbb{H}$ 为任意有界集. 如果映射 $f=f(\eta,t):\mathbb{H}\times\mathbf{R}\rightarrow \mathbb{H}$, $\forall(\eta,t)\in \mathbb{H}\times\mathbf{R}$ 关于变量 $t$ 是概自守的, 对 $\eta\in\mathbb{B}$ 是一致的, 则称映射 $f=f(\eta,t)$ 关于变量 $t$ 是概自守的. 这类映射的集合记为 $\mathbb{AA}(\mathbb{H}\times\mathbf{R},\mathbb{H})$.

令 $\aleph(\mathbf{R}_0,\mathbb{H})=\{\mathbf{h}\in\mathrm{C}(\mathbf{R}_0,\mathbb{H}): \lim\limits_{t\rightarrow\infty}\|\mathbf{h}(t)\|_{\mathbb{H}}=0\}$. 若存在 $\mathbf{f}\in \mathbb{AA}(\mathbf{R},\mathbb{H})$ 且 $\mathbf{h}\in \aleph(\mathbf{R}_0, \mathbb{H})$ 满足 $f=\mathbf{f}+\mathbf{h}$, 则称 $\mathbb{H}$-值连续函数 $f:\mathbf{R}_0\rightarrow \mathbb{H}$ 为渐近概自守函数. 所有这些函数组成的集合用 $\mathbb{AAA}(\mathbf{R}_0,\mathbb{H})$表示. 特别地, 若 $\mathbb{H}$ 是 Banach 空间, 则 $\mathbb{AAA}(\mathbf{R}_0,\mathbb{H})$ 也是 Banach 空间, 其范数为 $\|f\|_{\mathbb{AAA}}=\sup\limits_{t\in\mathbf{R}}\|\mathbf{f}\|_{\mathbb{H}}+\sup\limits_{t\in\mathbf{R}_0}\|\mathbf{h}\|_{\mathbb{H}},$ 其中 $f=\mathbf{f}+\mathbf{h}\in \mathbb{AAA}(\mathbf{R}_0,\mathbb{H})$, $\mathbf{f}\in \mathbb{AA}(\mathbf{R},\mathbb{H})$, $\mathbf{h}\in \aleph(\mathbf{R}_0, \mathbb{H})$.

设连续函数 $\mathbf{h}:\mathbb{H}\times\mathbf{R}_0\rightarrow\mathbb{H}$ 对所有的 $\eta\in\mathbb{B}$ 满足 $\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\|\mathbf{h}(\eta,t)\|_{\mathbb{H}}=0$. 所有这类函数组成的集合用 $\aleph(\mathbb{H}\times\mathbf{R}_0, \mathbb{H})$ 表示. 若函数 $f=f(\eta,t):\mathbb{H}\times\mathbf{R}_0\rightarrow \mathbb{H}$, $\forall(\eta,t)\in \mathbb{H}\times\mathbf{R}_0$ 对任意的 $\eta\in\mathbb{B}$ 关于变量 $t$ 是渐近概自守的, 则称函数 $f=f(\eta,t)$ 关于变量 $t$ 是渐近概自守的. 即 $f=\mathbf{f}+\mathbf{h}$, 其中主项 $\mathbf{f}\in\mathbb{AA}(\mathbb{H}\times\mathbf{R},\mathbb{H})$, $\mathbf{h}\in \aleph(\mathbb{H}\times\mathbf{R}_0, \mathbb{H})$. 这类函数用 $\mathbb{AAA}(\mathbb{X}\times\mathbf{R}_0,\mathbb{X})$ 表示.

本节我们将使用 Picard 迭代方法. 基于式 (1.3) 和 (1.4), 构造一个 Picard 迭代序列 $(\delta_m,\eta_m) =(\hat{\delta}_m,\breve{\delta}_m,\eta_m)\in\{\mathrm{L}^2(\Omega)\}^3$, 如下所示

其中 $k=1,2,\cdots$, $m=1,2,\cdots,$ $t\in\mathbf{R}_0$.

定义 $|\delta_m|_2=\sqrt{|\hat{\delta}_m|_2^2+|\breve{\delta}_m|_2^2}$, $\forall m=0,1,\cdots$.

命题4.1 设定理 1.4 的所有条件都成立. 则 $\{(\delta_m,\eta_m)=(\hat{\delta}_m,\breve{\delta}_m,\eta_m): m=1,2,\cdots \}$ 在 $\{\mathrm{L}^2(\Omega)\}^3$ 中是有定义的并且是 $\mathrm{L}^2$-连续的.

证 结合方程 (4.1), 利用 Minkowski 不等式和 Hölder 不等式可得,

同理,

所以,

另一方面, 有

同理,

通过数学归纳法可得,

其中 $t\in\mathbf{R}_0$, $m=3,4,\cdots.$ 因此, $\delta_m=(\hat{\delta}_m,\breve{\delta}_m)\in\{\mathrm{L}^2(\Omega)\}^2(m=1,2,\cdots )$ 是有定义的.

另一方面, 基于方程 (4.2) 可知

其中 $t\in\mathbf{R}_0$, $m=1,2,\cdots$. 因此, $\{\eta_m:m=1,2,\cdots \}\subseteq\mathrm{L}^2(\Omega)$ 是有定义的.

对任意的 $\epsilon\in(0,1)$, 取任意的 $t_0, t_1\in\mathbf{R}_0$ 满足 $t_1\geq t_0$ 以及

利用迭代序列 (4.1) 和 Hölder 不等式, 直接计算得到

同理, $|\breve{\delta}_m(t_1)-\breve{\delta}_m(t_0)|_2^2\leq \epsilon^2$, $\forall m=1,2,\cdots$.

类似地, 结合方程 (4.2) 可得

综上所述, $\{(\hat{\delta}_m,\breve{\delta}_m,\eta_m): m=0,1,\cdots \}$ 是 $\mathrm{L}^2$-连续的. 证毕.

考虑 $(\hat{\delta}_m,\breve{\delta}_m,\eta_m)$ 的部分和, 其表达式为

其中 $t\in\mathbf{R}_0$, $m,n=1,2,\cdots.$ 通过命题 4.1 的证明可知 $\{(\hat{\delta}_m^n,\breve{\delta}_m^n,\eta_m^n): n=1,2,\cdots \}$ 在 $\{\mathrm{L}^2(\Omega)\}^3$ 中对任意的 $t\in\bar{I}_T$ 一致收敛于 $(\hat{\delta}_m,\breve{\delta}_m,\eta_m)$, $m=1,2,\cdots$.

命题4.2 若定理 1.4 所有假设均成立. 则 $\{(\delta_m,\eta_m)=(\hat{\delta}_m,\breve{\delta}_m,\eta_m): m=0,1,\cdots \} \subseteq\mathbb{AAA}(\mathbf{R}_0,\{\mathrm{L}^2(\Omega)\}^3)$.

证 简记

由于 $(\varphi,\phi)=(\hat{\varphi},\breve{\varphi},\phi)\in\mathbb{AAA}(\mathbf{R}_0,\{\mathrm{L}^2(\Omega)\}^3)$, 利用文献 [30,定理 3.6] 可知,

因此,

其中 $\hat{\mathcal{F}}_{\mathbb{A}}, \breve{\mathcal{F}}_{\mathbb{A}} \in\mathbb{AA}(\{\mathrm{L}^2(\Omega)\}^3\times\mathbf{R}_0,\mathrm{L}^2(\Omega))$, $\hat{\mathcal{F}}_{\mathbb{N}}, \breve{\mathcal{F}}_{\mathbb{N}} \in\aleph(\{\mathrm{L}^2(\Omega)\}^3\times\mathbf{R}_0,\mathrm{L}^2(\Omega))$, $\mathcal{G}_{\mathbb{A}}\in\mathbb{AA}(\{\mathrm{L}^2(\Omega)\}^2\times\mathbf{R}_0,\mathrm{L}^2(\Omega)),$ $\mathcal{G}_{\mathbb{N}}\in \aleph(\{\mathrm{L}^2(\Omega)\}^2\times\mathbf{R}_0,\mathrm{L}^2(\Omega))$.

若 $m=1$, 则 $\hat{\delta}_{1}^n(t)=\sum\limits_{i=1}^4\hat{\delta}_{1,i}^n(t)$, 其中

与命题 4.1 类似, $\{(\hat{\delta}_{1,i}^n(\cdot),\breve{\delta}_{1,i}^n(\cdot),\eta_{1,i}^n(\cdot))\}$ 在 $\{\mathrm{L}^2(\Omega)\}^3$ 中收敛于 $(\hat{\delta}_{1,i}^\infty(\cdot),\breve{\delta}_{1,i}^\infty(\cdot),\eta_{1,i}^\infty(\cdot))$, $i=1,2,3$. 此外,

因此, $\hat{\delta}_{1,i}^\infty\in\aleph(\mathbf{R}_0, \mathrm{L}^2(\Omega))$, $i=1,2,3$.

由于 $\hat{\mathcal{F}}_{\mathbb{A}}, \breve{\mathcal{F}}_{\mathbb{A}} \in\mathbb{AA}(\{\mathrm{L}^2(\Omega)\}^3\times\mathbf{R},\mathrm{L}^2(\Omega))$, 因而对于每个序列 $\{\bar{t}_p\}_{p\in\mathbf{Z}_+}$, 都存在一个子列 $\{t_p\}_{p\in\mathbf{Z}_+}\subseteq\{\bar{t}_p\}_{p\in\mathbf{Z}_+}$ 和函数 $\hat{\mathcal{F}}_{\mathbb{A}}^\circ, \breve{\mathcal{F}}_{\mathbb{A}}^\circ: \{\mathrm{L}^2(\Omega)\}^3\times\mathbf{R}\rightarrow\mathrm{L}^2(\Omega)$ 使得在 $\mathrm{L}^2(\Omega)$ 中, 对于每个 $t\in\mathbf{R}$

有

令

其中 $n\in\mathbf{Z}_+\cup\{\infty\}$, $t\in\mathbf{R}$. 与方程 (4.3) 和 (4.4) 的方法类似, 有 $\{\hat{\delta}_{1,4}^{\circ,n}(t):n=1,2,\cdots \}$ 在 $\mathrm{L}^2(\Omega)$ 中关于 $t\in\bar{I}_T$ 一致收敛于 $\hat{\delta}_{1,4}^{\circ,\infty}(t)$. 因此,

在上述不等式中令 $n\rightarrow\infty$ 可得

由 Lebesgue 控制收敛定理得到

同理,

因此, $\hat{\delta}_{1,4}^\infty(\cdot)\in\mathbb{AA}(\mathbf{R},\mathrm{L}^2(\Omega))$ 并且当 $n\rightarrow\infty$ 时, 有

同理, 当 $n\rightarrow\infty$ 时, 有

由数学归纳法可知 $\{(\delta_m,\eta_m)=(\hat{\delta}_m,\breve{\delta}_m,\eta_m): m=2,3,\cdots \} \subseteq\mathbb{AAA}(\mathbf{R}_0,\{\mathrm{L}^2(\Omega)\}^3)$. 证毕.

定义范数 $|\xi|_{\sup}=\sup\limits_{t\in\mathbf{R}_0}|\xi(t)|_2$, $\forall \xi\in\mathbb{AAA}(\mathbf{R}_0,\mathrm{L}^2(\Omega))$. 则根据文献 [30] 可知 $(\mathbb{AAA}(\mathbf{R}_0,$ $\mathrm{L}^2(\Omega)), |\cdot|_{\sup})$ 是 Banach 空间.

命题4.3 若定理 1.4 的所有假设都成立. 则 $\{(\delta_m,\eta_m)=(\hat{\delta}_m,\breve{\delta}_m,\eta_m): m=0,1,\cdots \}$ 是 $\mathbb{AAA}(\mathbf{R}_0,\{\mathrm{L}^2(\Omega)\}^3)$ 中的 Cauchy 序列.

证 由 $\{\hat{\delta}_m: m=1,2,\cdots \}$ 的部分和得,

其中

在上述不等式中令 $n\rightarrow\infty$, 可得

同理,

综上所述,

同理, 由方程 (4.4) 可得

所以,

定义

结合不等式 (4.5) 和 (4.6) 可知,

对任意的 $p\in\mathbf{Z}_+$, 当 $m\rightarrow\infty$ 时, 有

因此, $\{\hat{\delta}_m\}$, $\{\breve{\delta}_m\}$和$\{\eta_m\}$ 是 $\mathbb{AAA}(\mathbf{R}_0,\mathrm{L}^2(\Omega))$ 中的 Cauchy 序列. 证毕.

由命题 4.3 和 $\mathbb{AAA}(\mathbf{R}_0,\{\mathrm{L}^2(\Omega)\}^3)$ 的完备性可知, 存在 $(\delta_*,\eta_*)=(\hat{\delta}_*,\breve{\delta}_*,\eta_*)$ 使得 $\{(\hat{\delta}_m,\breve{\delta}_m,\eta_m)\}$ 在 $\mathbb{AAA}(\mathbf{R}_0,\{\mathrm{L}^2(\Omega)\}^3)$ 中收敛于 $(\hat{\delta}_*,\breve{\delta}_*,\eta_*)$. 取 $(\tilde{\delta}_*,\tilde{\eta}_*)=(\hat{\tilde{\delta}}_*,\breve{\tilde{\delta}}_*,\tilde{\eta}_*)$ 为

与命题 4.1 类似, $(\hat{\tilde{\delta}}_*,\breve{\tilde{\delta}}_*,\tilde{\eta}_*)$ 在 $\{\mathrm{L}^2(\Omega)\}^3$ 中是有定义的.

定义 $(\tilde{\delta}_*^n,\tilde{\eta}_*^n)=(\hat{\tilde{\delta}}_*^n,\breve{\tilde{\delta}}_*^n,\tilde{\eta}_*^n)$ 为 $(\hat{\tilde{\delta}}_*,\breve{\tilde{\delta}}_*,\tilde{\eta}_*)$ 的前 $n$ 项的部分和, $n=1,2,\cdots$. 利用与方程 (4.3) 和 (4.4) 类似的方法可知, $\{(\hat{\tilde{\delta}}_*^n(t),\breve{\tilde{\delta}}_*^n(t),\tilde{\eta}_*^n(t))\}$ 在 $\{\mathrm{L}^2(\Omega)\}^3$ 中收敛于 $(\hat{\tilde{\delta}}_*(t),\breve{\tilde{\delta}}_*(t),\tilde{\eta}_*(t))$, $\forall t\in\mathbf{R}_0$. 类似于不等式 (4.5) 和 (4.6) 的讨论可得,

其中

在上述最后两个不等式中依次取 $n\rightarrow\infty$, $m\rightarrow\infty$, 得

定理 1.4 的证明 由定理 1.2 知, $(\mathbf{z}_0, \mathbf{w} _0)=(\hat{\mathbf{z}}_0,\breve{\mathbf{z}}_0, \mathbf{w} _0)$ 是方程 (1.1) 在 $\mathrm{C}(\mathbf{R}_0,\{\mathrm{L}^2(\Omega)\}^3)$ 中的唯一解, 并且该解满足 Fourier 级数 (1.3) 和 (1.4). 类似与定理 1.2 的证明, 有$(\hat{\delta}_*,\breve{\delta}_*,\eta_*)=(\hat{\mathbf{z}}_0,\breve{\mathbf{z}}_0, \mathbf{w} _0)$. 证毕.