常微分算子理论在数学物理方程、物理学及其它学科领域中有着重要的应用, 其研究起源于十九世纪初固体传热的数学模型问题和为求解各类经典数学物理定解问题而产生的 Sturm-Liouville(S-L) 问题. 20 世纪初, Weyl 开创了奇异 S-L 理论的研究, 这成为量子力学研究微观粒子状态的重要数学手段. 包括近年来被广泛关注的边界条件中含有谱参数^{[1], [2]}且内部具有不连续条件的微分算子问题也主要来源于许多物理量的转移问题, 如具有不同特性材料叠加形成的薄叠层板块的热传导问题、衍射问题、中间有结点的弦振动问题等. 微分算子的自共轭性问题是微分算子理论研究的重要内容之一, 目前已有比较深刻的结果. 著名的自共轭型GKN 定理给出了利用最大算子域中的函数刻画线性对称微分表达式的所有自共轭实现的方法. 许多学者以 GKN 定理为依据, 针对不同类型微分算子寻求如何在最大算子域中选取函数来明确地给出自共轭边界条件. 尤其是, 1986 年孙炯教授^[3]基于 GKN 定理, 利用复参数解给出了具有中间亏指数奇异微分算子自共轭域的刻画, 这是对微分算子自共轭域理论的一个重要贡献. 为便于研究自共轭微分算子的谱, 文献 [4] 利用实谱参数解刻画了具有充分光滑实系数的高阶奇异微分算子的自共轭域. 文献 [5],[6] 将微分方程的实参数解分成极限圆型 (LC) 和极限点型 (LP) 解两类, 并利用 LC 解刻画了具有任意亏指数的一般高阶拟微分算子的自共轭域, 这为后续对微分算子自共轭边界条件的分类以及谱性质的研究提供了重要的理论依据. 有关微分算子乘积的自共轭性问题, 文献 [7] 刻画了两个二阶微分算子积的自共轭性; 文献 [8],[9] 分别研究了两个高阶正则经典微分算子乘积以及两个一端正则一端奇异微分算子积的自共轭性问题. 文献 [10],[11],[12],[13],[14],[15] 对多个正则和奇异微分算子的乘积、不同阶微分算子的乘积及奇数阶微分算子的乘积等问题的自共轭性进行了研究. 关于微分算子自共轭域的刻画结果相对较多, 但是对于微分算子对称域的刻画结果在文献中极少看到. 微分算子的对称域刻画问题即指研究对于对称 (或拟对称) 微分表达式赋予什么样的边界条件可产生对称算子. 众所周知, 自共轭算子仅是对称算子的一种特殊情形. 1995 年, Möller-Zettl^[16]首次研究了正则高阶微分算子对称域的刻画问题. Wang-Zettl^[17],[18]给出了具有任意阶数、任意亏指数的拟对称奇异微分算式产生对称算子的充分必要条件, 从而自然地得到正则及奇异极限圆型时的充要条件, 并得到自共轭算子域作为其特殊情况. 我们知道, 自共轭型-GKN 定理被广泛应用于自共轭微分算子、差分算子和 Hamiltonian 系统理论研究中. Wang-Zettl^[18],[19]给出了用于刻画由一般拟对称微分算式产生对称算子的对称型-GKN 定理, 这一结果包含了著名的自共轭型-GKN 定理作为其特殊情形. 这一对称型定理的给出或将在差分算子、Hamiltonian 系统等理论研究中起到重要作用. 本文研究由两个高阶正则拟微分算式的乘积产生对称算子的边界条件刻画问题. 我们给出了两个高阶正则拟微分算子的乘积算子是对称算子的充分必要条件, 所得结论包括了高阶正则乘积算子的自共轭域的刻画这一结果作为其特殊情形.

本文考虑由对称拟微分算式的乘积产生的对称算子问题. 为此, 先介绍有关拟微分算式的相关基本概念及理论知识, 详见文献 [18].

定义2.1^[18] 对于 $n>1$, 设

归纳地, 对于 $r=1, \cdots, n$, 定义

其中 $q_{n, n+1}:=1$. 称 $y^{[r]}(0 \leq r \leq n)$ 为函数 $y$ 的 $r$ 阶拟导数. 令

称表达式 $M=M_Q$ 为由 $Q$ 生成的拟微分算式. 记号 $V_n$ 通常也用 $D(M)$ 或 $D(Q)$ 来表示.

定义2.2^[18] 设 $Q \in Z_n(J), J=(a, b)$. 若对某个点 $c \in(a, b)$, 有

则称表达式 $M=M_Q$ 在端点 $a$ 是正则的, 或称 $a$ 是一个正则端点.类似可给出端点 $b$ 是正则的定义. 注意到, 由 $Q \in Z_n(J)$ 的定义可知, 若上述条件对某个 $c \in J$ 成立, 则对任何 $c \in J$ 都成立. 若拟微分算式 $M$ 在端点 $a$ 和 $b$ 处都是正则的, 则称 $M$ 在 $J$ 上是正则的, 或称 $M$ 是正则的. 如果一个端点不是拟微分算式 $M$ 的正则端点, 则称它是 $M$ 的奇异端点.

下面给出拟对称微分表达式的定义. 首先给出矩阵 $E_k$, 它在一般对称微分算式以及在产生对称算子、自共轭算子的边界条件刻画中扮演着重要的角色.

定义2.3^[18] 对于 $k \in \mathbb{N}_2$ ($\mathbb{N}_2$ 表示整数 $k(k \geq 2)$ 的集合), 定义矩阵 $E_k$

其中 $\delta_{i, j}$ 是 Kronecker $\delta$. 注意到 $E_k$ 满足 $E_k^*=E_k^{-1}=(-1)^{k+1} E_k$.

定义2.4^[18] 设 $Q \in Z_n(J)$, 假定 $Q$ 满足

(这里 $E=E_n=\left((-1)^r \delta_{r, n+1-s}\right)_{r, s=1^{\prime}}^n Q^*$ 表示 $Q$ 的共轭转置矩阵), 即有

则称 $Q$ 为拉格朗日对称或 $L$-对称矩阵, 并将 $M=M_Q$ 称为拉格朗日对称微分算式, 或称为对称微分算式.

在微分算子边值问题研究中下面的拉格朗日恒等式是一个重要关系式.

引理2.1 (拉格朗日恒等式)^[18] 设 $Q \in Z_n(J), P=-E^{-1} Q^* E$, 其中 $E=E_n=\left((-1)^r \delta_{r, n+1-s}\right)_{r, s=1}^n$, 则 $P \in $ $Z_n(J)$ 并且对任意 $y \in D\left(M_Q\right), z \in D\left(M_P\right)$, 有

其中

下面的讨论中我们考虑当 $Q$ 满足: $Q=-E^{-1} Q^* E$, 即$M=M_Q$为对称微分算式的情形. 由引理 2.1, 易得

引理2.2^[18] 对任何 $y, z \in D(M), J=(a, b)$, 极限 $\lim\limits_{t \rightarrow b^{-}}[y, z](t), \lim\limits_{t \rightarrow a^{+}}[y, z](t)$ 存在且有限, 并且

引理2.3^[18] 假定 $M$ 在点 $c \in J=(a, b)$ 是正则的, 则对任何 $y \in D(M)$, 极限 $y^{[r]}(c)=\lim\limits_{t \rightarrow c} y^{[r]}(t), r=$ $0, 1, \cdots, n-1$, 存在且有限. 特别地, 对于 $J$ 内的任意一点及其端点都是成立的.

下面给出由微分算式生成的最大、最小算子的定义, 这是研究由微分算式生成自共轭算子及对称算子的定义域的刻画问题中最基本的.

定义2.5^[18] 设 $Q \in Z_n(J), w$ 是一权函数, 并设 $H=L^2(J, w)$. 最大算子 $S_{\max }=S_{\max }(Q, J)$ 及其定义域 $D_{\max }=$ $D_{\max }(Q, J)$ 为

$D_{\max }(Q, J)$ 在 $H$ 中是稠密的. 令最小算子 $S_{\min }(Q, J) y=S_{\max }^*(Q, J) y$, 它是 $H$ 中稠定的闭算子, 设其定义域为 $D_{\min }(Q, J)$. 若 $Q=-E^{-1} Q^* E$, 即 $M=M_Q$ 为对称微分算式, 则 $S_{\min }(Q, J)$ 是 $H$ 中稠定的闭对称算子, 并且有

在 Hilbert 空间 $L^2(J, w)$ 中, 研究微分方程 $M y=\lambda w y$ 的对称实现, 即刻画满足 $S_{\min } \subset S \subset S^* \subset S_{\max }$ 的算子 $S$ 的边界条件, 或者说最小算子的对称扩张, 也或称为最大算子域的限制. 特别地, 当 $S=S^*$ 时, 即为自共轭实现.

文献 [18] 给出了一个正则算子是对称算子的充要条件

引理2.4^[18] 设 $M=M_Q, Q \in Z_n(J), Q=-E^{-1} Q^* E, J=(a, b), -\infty \leq a<b \leq+\infty$, 且 $a$ 和 $b$ 都是正则的. 设 $U$ 是边界条件矩阵且 $\operatorname{rank}(U)=l, 0 \leq l \leq 2 n$. 令 $U=(A: B)$, 其中 $A, B$ 是 $l \times n$ 复矩阵. 在 $L^2(J, \omega)$ 中定义算子 $S(U)$

设 $C=C(A, B)=A E_n A^*-B E_n B^*, r=\operatorname{rank} C$, 则

(1) 若 $l=n+s, 0<s \leq n$, 那么 $S(U)$ 是对称的当且仅当 $r=2 s$;

(2) 若 $l=n$, 则 $S(U)$ 是自共轭的 (因此也是对称的) 当且仅当 $r=0$;

(3) 若 $l<n$, 则 $S(U)$ 不是对称的.

本节研究由两个正则拟微分算式的乘积算式生成对称算子的边界条件的刻画问题.

设 $Q=\left(q_{i j}\right) \in Z_n(J)$ 为 $L$-对阵矩阵, $M=M_Q$ 为与 $Q$ 相关的对称微分算式. 算式 $M$ 的幂 $M^p\left(p \in \mathbb{N}_2\right)$ 自然定义为: $M^2 y=M(M y), \cdots, M^p y=M\left(M^{p-1} y\right), \cdots$. 幂 $M^p$ 是由 $L$-对阵矩阵 $Q^{[p]} \in Z_{p n}(J)$ 生成的对称算式, 即有

引理3.1^[18] 设 $Q=\left(q_{i j}\right) \in Z_n(J)$ 为$L$-对阵矩阵, $M=M_Q$. 设 $Q^{[1]}=Q$ 且对于 $p \in \mathbb{N}_2, Q^{[p]}$ 表示如下分块对角矩阵

在这个 $p n \times p n$ 矩阵 $Q^{[p]}$ 中主对角线上有 $p$ 个矩阵 $Q$, 且除了在位置 $(n, n+1), (2 n, 2 n+1), $ $\cdots, ((p-1) n, (p-1) n+1)$ 上都是 1 之外, 其余位置的元素都是零, 则矩阵 $Q^{[p]} \in Z_{p n}(J), Q^{[p]}$ 是 $L$-对阵矩阵, 且对称微分算式 $M^p$ 为

注意到, $M^p$ 与 $M$ 具有关系: $D_{\max }\left(M^p\right) \subset D_{\max }(M), D_{\min }\left(M^p\right) \subset D_{\min }(M)$.

下面考虑两个拟微分算子的乘积.令 $M=M_Q, Q \in Z_n(J), Q=-E^{-1} Q^* E, J=(a, b), -\infty \leq a<b \leq+\infty$, 并假定 $M$ 是 $J$ 上的正则微分算式.

设 $L_1, L_2$ 为两个正则微分算子

其中

这里 $0 \leq s \leq n, A_i, B_i\ (i=1, 2)$ 是 $(n+s) \times n$ 阶矩阵.

定义算子 $L_1$ 和 $L_2$ 的乘积算子 $L$

显然 $D_{\max }(L) \subset D_{\max }\left(L_i\right), D_{\min }(L) \subset D_{\min }\left(L_i\right), i=1, 2$.

由 (3.1)-(3.4) 式, 算子 $L$ 即为

这里

注意到, 由引理 3.1 知 $L$ 的拉格朗日对称矩阵为 $Q^{[2]}=\left[\begin{array}{cc}Q & M \\ 0 & Q\end{array}\right]$, 其中 $M=\left[\begin{array}{ccc}0 & \ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \cdots & 0\end{array}\right]$. 由定义 2.1, 显然有 $Q^{[2]}$ 在端点 $a$ 和 $b$ 也是正则的, 故 $L$ 是一个正则微分算式.

下面给出拉格朗日恒等式 $2 n$ 阶和 $n$ 阶的关系, 由引理 2.2, 可证明下面结论

引理3.2 对于任意的 $y, z \in D_{\max }\left(M^2\right)$, 有

证 由 (2.2) 式, 可得

因此, 我们有 $ [y, z]_{2 n}=[M y, z]_n+[y, M z]_n. $ 证毕.

定理3.1 拟导数 $(M y)^{[m]}=i^n y^{[n+m]}, 0 \leq m \leq n$.

证 由定义 2.4 可知, 若 $Q \in Z_n(J)$, 即有 $q_{r s}=(-1)^{r+s-1} \bar{q}_{n+1-s, n+1-r}, 1 \leq r, s \leq n$. 由引理 3.1 知

故当 $n=2$ 时, 有

注意到 $M y=i^2 y^{[2]}$, 于是

故 $(M y)^{[1]}=i^2 y^{[3]}$.

当 $n>2$ 时, 有

这里正整数 $z=1, \cdots, 2 n$. 注意到

即有 $(M y)^{[1]}=i^n y^{[n+1]}$.

若 $m=k-1, 2 \leq k \leq n$ 时成立, 即 $(M y)^{[k-1]}=i^n y^{[n+k-1]}$, 则当 $m=k$ 时, 有

故 $(M y)^{[k]}=i^n y^{[n+k]}$. 因而由数学归纳法, 可知 $(M y)^{[m]}=i^n y^{[n+m]}, 0 \leq m \leq n$. 证毕.

推论3.1

其中 $O$ 表示 $n$ 阶零矩阵.

证 由定理 3.1 的结论, 可直接给出此结果. 证毕.

利用 (3.7) 式, 可将 (3.5) 式所定义的 $L_1$ 和 $L_2$ 的乘积算子 $L$ 表示为

其中

下面我们给出乘积算子 $L=L_2{ }^{\circ} L_1$ 是对称算子的充分必要条件.

定理3.2 乘积算子 $L=L_2{ }^{\circ} L_1$ 是对称算子当且仅当

其中 $A_1, A_2, B_1, B_2$ 见 (3.4) 式所定义.

证 设矩阵 $A, B$ 如 (3.8) 式所定义. 首先证明 $\operatorname{rank}(U)=\operatorname{rank}(A: B)=2 n+2 s$.

注意到 $\operatorname{rank}\left(A_i: B_i\right)=n+s, i=1, 2$. 因此, $\operatorname{rank}(U)=2 n+2 s$.

充分性 若乘积算子 $L=L_2{ }^{\circ} L_1$ 是对称算子, 可得

同理, 可知

令 $C=C(A, B)=A E_{2 n} A^*-B E_{2 n} B^*$, 则

由引理 2.4 可知, 若 $L=L_2{ }^{\circ} L_1$ 是对称算子则有 $\operatorname{rank}C=4 s$, 即有

必要性 若 rank$\left(A_1 E_n A_2^*-B_1 E_n B_2^*\right)=2 s$, 即 $\operatorname{rank}C=4 s$, 从而由上述充分性的证明过程以及引理 2.4, 可知 $L=L_2{ }^{\circ} L_1$ 是对称算子. 证毕.

特别地, 在定理 3.2 中当 $s=0$ 时, 即有下面结论

推论3.2 乘积算子 $L=L_2{ }^{\circ} L_1$ 是自共轭算子当且仅当 $ A_1 E_n A_2^*=B_1 E_n B_2^*. $

证 在定理 3.2 中, 当 $s=0$ 时, $L$ 是自共轭算子, 因而也是对称算子, 其充要条件为 $\operatorname{rank}\left(A_1 E_n A_2^*-\right.$ $\left.B_1 E_n B_2^*\right)=0$, 即 $A_1 E_n A_2^*=B_1 E_n B_2^*$. 证毕.

推论3.3 拟微分算子 $L_1^2$ 是对称算子当且仅当 $L_1$ 是对称算子.

证 在定理 3.2 的讨论中, 当 $L_1=L_2$ 时, 有 $A_1=A_2, B_1=B_2$, 此时 $L=L_2{ }^{\circ} L_1=L_1^2$. 从而由引理 2.4 和定理 3.2 可以证明此结论. 证毕.

例4.1 设正则算式 $M=M_Q, Q=\left(q_{r s}\right) \in Z_2(J), Q=-E_2^{-1} Q^* E_2, J=(a, b), -\infty \leq a<b \leq+\infty$. 令矩阵 $A_1=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right], \ \ A_2=\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right], B_1=B_2=\left[\begin{array}{cc}0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right]$, 定义算子 $L_1, L_2$

其中 $U_1=\left(A_1: B_1\right), U_2=\left(A_2: B_2\right), Y_{a, b}=\left[\begin{array}{c}y(a) \\ y^{[1]}(a) \\ y(b) \\ y^{[1]}(b)\end{array}\right]$.

定义乘积算子 $L=L_2{ }^{\circ} L_1$ 为

其中

这里

显然有 $s=1$, 计算得

显然有 $\operatorname{rank}\left(A_1 E_2 A_2^*-B_1 E_2 B_2^*\right)=2 s=2$, 故由引理 2.4 知 $L=L_2{ }^{\circ} L_1$ 是对称算子.

例4.2 同例 4.1 定义算子 $L_1$ 和 $L_2$, 但其中取矩阵 $B_1=\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right], B_2=\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]$. 由计算可得 $A_1 E_2 A_2^*-B_1 E_2 B_2^*=$ $\left[\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]$, 这里 $s=1$, 但 $\operatorname{rank}\left(A_1 E_n A_2^*-B_1 E_n B_2^*\right)=3$, 故由引理2.4知, $L=L_2{ }^{\circ} L_1$ 不是对称算子.

例4.3 设正则算式 $M=M_Q, Q \in Z_n(J), n \in \mathbb{N}_2, Q=-E_n^{-1} Q^* E_n, J=(a, b), -\infty \leq a<b \leq+\infty$. 设 $N$ 是一个 $s \times n$ 阶矩阵且 $\operatorname{rank}(N)=s(0<s \leq n), I_n$ 是 $n$ 阶单位矩阵. 令

定义

由 (3.2) 式和 (3.3) 式分别定义算子 $L_1$ 和 $L_2$. 显然 $\operatorname{rank}\left(U_1\right)=\operatorname{rank}\left(U_2\right)=n+s$,

故 $\operatorname{rank}\left(A_1 E_2 A_2^*-B_1 E_2 B_2^*\right)=2\mathrm{s}$. 由引理 2.4 可知 $L=L_2{ }^{\circ} L_1$ 是对称算子.