本文研究次临界 Choquard 方程

多解的存在性, 其中$N>3$,$\lambda$是正实参数,$p_{\varepsilon}=2^\ast_{\mu}-\varepsilon$,$\varepsilon>0$,$0<\mu<N$,$2^\ast_{\mu}=\frac{2N-\mu}{N-2}$是 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式意义下的临界指数.

1954 年, 物理学家 Pekar^[27] 研究了极化子处于静止时的理论, 并首次提出了 Choquard 方程, 随后 Choquard 在 1976 年将它引入到等离子体的 Hartree-Fock 方程.

1977 年, Lieb^[18] 证明了次临界 Choquard 方程

有唯一解. Choquard 方程的理论发展至今, 研究成果非常丰富^{[10,13⇓⇓⇓-17,21⇓⇓⇓-25,29]}.

2000 年, Bartsch 和 Wang^[6]研究了次临界椭圆方程

其中$V(x)$满足下列条件

(A$_{1})$$V(x)\in \mathcal{C}(\mathbb{R}^N, \mathbb{R})$,$V(x)\geq0$,$\Omega:={\rm int}\, V^{-1}(0)$是$\mathbb{R}^N$中非空带光滑边界的有界集,$\bar{\Omega}=V^{-1}(0)$.

(A$_{2})$存在常数$M_{0}>0$, 有

其中$\mu$是$\mathbb{R}^N$上的 Lebesgue 测度. Bartsch 等利用极限方程

在指数$p$靠近临界指数$2^*:=\frac{2N}{N-2}$时存在$cat_{\Omega}(\Omega)$个正解, 来证明当方程(1.3)中$\lambda$较大同时指数$p$靠近$2^*$时, 方程(1.3)有$cat_{\Omega}(\Omega)$个正解, 这里$cat_X(Y)$指$Y$在$X$中的 Lusternik-Schnirelman 畴数, 即在拓扑空间$X$中能覆盖闭子集$Y\subset X$的最少的子集个数, 这些用来覆盖的子集要求是闭集并且可收缩.

而在文献[11]中, Clapp 和丁彦恒沿用 (A$_{1})$, (A$_{2})$对位势的假设考虑了$p=2^*$的情形, 并利用极限方程的多解性以及 Lusternik-Schnirelman 定理, 证明了当$\lambda$足够大时, 问题

至少有$cat_{\Omega}(\Omega)$个正解. Alves 和 Barro^[2]进一步证明了临界薛定谔方程

在$q\in(2,2^{\ast})$时, 至少有$cat_{\Omega}(\Omega)$个正解. Ma 等^[20]用类似的方法考虑了分数阶拉普拉斯方程

并证明方程(1.7)有$cat_{\Omega}(\Omega)$个正解. 最近, 在文献[28]中已经考虑了临界 Choquard 问题,

并得到多解的结果, 进一步在文献[30]中考虑了多临界的情形. 更多关于多解问题的研究, 见文献[1,3⇓-5,7⇓-9,31]等.

受到以上文章的启发, 本文将证明问题(1.1)在(A$_{1})$和(A$_{2})$假设下的多解性结果. 在空间$E_{\lambda}=(E,\|\cdot\|_{\lambda})$中考虑解的存在性, 其中

其上内积定义为

由内积诱导的范数为$\|\cdot\|_{\lambda}$,

为了寻找方程(1.1)的正解, 类似文献[14,命题 3.1]中, 考虑方程(1.1)对应的能量泛函为

其中$u^+(x):=\max\{u(x),0\}$是函数$u$的正部. 由命题 2.1 (见第 2 节) 知, 泛函$I_{\lambda,p_{\varepsilon}}$在空间$E_\lambda$中取值有意义并且可证$I_{\lambda,p_{\varepsilon}}\in \mathcal{C}^{1}(E_{\lambda},\mathbb{R})$. 设$\mathcal{M}_{\lambda,p_{\varepsilon}}$是与$I_{\lambda,p_{\varepsilon}}$有关的 Nehari 流形, 即

令

当$\lambda$足够大时, 问题(1.1)的极限方程为

对于方程(1.1)的解序列$u_{\lambda_n}$, 当$\lambda_n\rightarrow\infty$时, 若$u_{\lambda_n}$在$H^1(\mathbb{R}^N)$中强收敛到方程(1.9)的解$u$, 则称方程(1.1)的解序列$u_{\lambda_n}$集中到方程(1.9)的解$u$.

本文首先得到方程(1.1)基态解的存在性, 并给出了当$\lambda_n\rightarrow\infty$时, 基态解$u_{\lambda_n}$的集中性.

定理 1.1 假设 (A$_{1})$和 (A$_{2})$成立, 则当$\lambda$足够大时, 方程(1.1)存在对应于$c_{\lambda,p_{\varepsilon}}$的非负基态解$u_\lambda$, 并且对任意序列$\lambda_{n}\rightarrow\infty$, 解序列$u_{{\lambda_n}}$有子列在${{H}}^{1}{(\mathbb{R}^N)}$中收敛到极限方程(1.9)的基态解.

利用变分法来证明定理 1.1, 其中主要的困难是克服失紧的问题, 而关于$V(x)$的条件 (A$_2)$对紧性的证明起了关键作用.

对于更一般情形下方程(1.1)解的极限行为, 有如下结果.

定理 1.2 假设 (A$_{1})$和 (A$_{2})$成立, 当$\lambda_{n}\rightarrow\infty$且$\underset{n\rightarrow\infty}{\lim\sup}\,I_{\lambda_{n},p_{\varepsilon}}(u_n)<\infty$, 其中$\{u_{n}\}_{n\in \mathbb{N}}$是方程(1.1)的解序列, 则$u_{n}$在${{H}}^{1}{(\mathbb{R}^N)}$中有子列收敛到方程(1.9)在${{H}}^{1}_{0}{(\Omega)}$中的一个解.

由定理 1.1 知, 当$\lambda_n$较大时, 方程(1.1)的解会集中到方程(1.9)的解, 而在文献[14]中已经证明了方程(1.9)有$cat_\Omega(\Omega)$个解, 那么考虑问题(1.1) 是否也会有类似的结果, 接下来给出定理 1.3.

定理 1.3 假设 (A$_{1})$和 (A$_{2})$成立, 则存在$\varepsilon_{0}>0$, 使得对任意$\varepsilon\in(0,\varepsilon_{0}]$, 当$\lambda\geq\Lambda(\varepsilon)$时, 方程(1.1)至少有$cat_{\Omega}(\Omega)$个正解.

多解的结果是利用 Lusternik-Schnirelman 定理来证明的, 关键是建立泛函在 Nehari 流形上的水平集与$\Omega$之间的联系, 最后得到泛函有$cat_{\Omega}(\Omega)$个临界点. 遇到的困难主要有以下几点: 临界情形下的紧性缺失问题; 对能量泛函的估计; 建立区域拓扑与解个数的关系.

本文结构如下: 在第 2 节给出预备知识; 第 3 节证明$(PS)_{c}$条件并证明定理 1.1; 在第 4 节先证明解的集中性而后给出多解的结果.

为了用变分法研究问题(1.1), 需要以下 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式.

命题 2.1^[19] 设$t, r>1$且$0<\mu<N$,$\frac{1}{t}+\frac{\mu}{N}+\frac{1}{r}=2$,$f\in L^{t}({\mathbb{R}}^N)$,$h\in L^{r}({\mathbb{R}}^N)$, 则存在与$f, h$无关的常数$C(t,r,\mu,N)$, 使得

若$t=r=\frac{2N}{2N-\mu}$, 则

(2.1)式不等式成立当且仅当$f\equiv Ch$, 且达到函数为

其中$A\in \mathbb{C}$,$0\neq \gamma \in \mathbb{R}$,$a\in \mathbb{R}^N$.

根据 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式(2.1), 可以得到

可以验证, 对于$v\in E_\lambda$, 有

称$u\in E_\lambda$是方程(1.1)的弱解, 如果对于任意$v\in E_\lambda$, 有

即$\langle I'_{\lambda,p_\varepsilon}(u),v\rangle=0$.

本节将给出$(PS)_{c}$条件的证明.

引理 3.1 令$\{u_{n}\}\subset E_{\lambda}$是泛函$I_{\lambda,p_{\varepsilon}}$的$(PS)_{c}$序列, 则当$n\rightarrow\infty$时,$\{u_{n}\}$在$E_\lambda$中有界, 并且$c\geq0$.

证 因为$\{u_{n}\}$是$(PS)_{c}$列, 即满足

则当$n$很大时,

因此${\rVert u_{n} \rVert}_{\lambda}$有界. 另一方面,

所以可得$c\geq0$. 证毕.

引理 3.2 令$c>0$,$\{u_{n}\}$是$(PS)_{c}$序列. 若在$E_{\lambda}$中$u_{n}\rightharpoonup u$且$u\not\equiv0$, 则

其中$E_{\lambda}^{\prime}$是$E_{\lambda}$的对偶空间,$v_{n}=u_{n}-u$, 并且$\{v_{n}\}$是一个$(PS)_{c-I_{\lambda,p_{\varepsilon}}(u)}$序列.

证 首先证明

由

又因为在$E_{\lambda}$中,$u_{n}\rightharpoonup u$, 所以有

利用 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式,

注意到

其中$R>0$. 因为在$E_{\lambda}$中,$u_{n}\rightharpoonup u$, 可得

不妨假设$u^+\not\equiv0$, 所以

那么存在$h_{1}\in L^{\frac{p_{\varepsilon}2N}{2N-\mu}}(B_{R}(0))$使得

因此

并且

再利用勒贝格控制收敛定理, 则

同样可得

因此有

任意给定$\delta>0$, 选择$R>0$使得

再根据 Hölder 不等式以及$\{u_{n}\}$有界可知

结合 (3.1), (3.2) 式以及$\{v_{n}\}$有界, 当$n\rightarrow\infty$时, 有

类似可证

和

最后,只需证明

因为在$E_{\lambda}$中,$v_{n}\rightharpoonup 0$,$p_{\varepsilon}=2^\ast_{\mu}-\varepsilon$,$\{|v_{n}|^{p_{\varepsilon}}\}$在$L^{\frac{2N}{2N-\mu}}(\mathbb{R}^N)$中有界; 再根据$v_{n}\rightarrow 0$a.e.$\mathbb{R}^N$, 在$L^{\frac{2N}{2N-\mu}}(\mathbb{R}^N)$中$|v_{n}|^{p_{\varepsilon}}\rightharpoonup0$, 那么有$(v_{n}^+)^{p_{\varepsilon}}\rightharpoonup0$. 由 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式, 可知$F : L^{\frac{2N}{2N-\mu}}(\mathbb{R}^N)\rightarrow \mathbb{R}$,

是连续的. 因此$F((v_{n}^+)^{p_{\varepsilon}})\rightarrow0$. 于是

从而有

其次证明

对任意$w\in E_{\lambda}$,

因此需要证明当$n\rightarrow\infty$时,

因为

由 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式和 Hölder 不等式,

注意到

其中$R>0$. 因为在$E_{\lambda}$中,$u_{n}\rightharpoonup u$, 可得

所以

那么存在$h_{2}\in L^{\frac{2N(p_{\varepsilon}-1)}{N-\mu+2}}(B_{R}(0))$使得

由此可知

并且

再利用勒贝格控制收敛定理

又因为

因此

任意给定$\delta_{1}>0$, 选择$R>0$使得

再根据 Hölder 不等式以及$\{u_{n}\}$有界可知

综合 (3.3), (3.4) 式以及$\{v_{n}\}$有界, 当$n\rightarrow\infty$时, 有

类似可得

然后证明

令

其中

当$R\rightarrow\infty$以及$n\rightarrow\infty$时,

其中$x\in B_{R}(0)$,因此

类似的对于$K_5$. 因此结合$K_1,K_2,K_3,K_4,K_5$的估计, 有

所以

证毕.

引理 3.3 假设$\{u_{n}\}$是$(PS)_{c}$序列, 则$c=0$或存在$c_{0}>0$, 对任意的$\lambda>0$, 有$c\geq c_{0}$.

证 由引理 3.1 可知$c\geq0$. 现假设$c>0$, 易知

从而

根据 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式以及 Sobolev 嵌入定理,

其中$C$是正常数. 那么存在$\sigma>0$, 当$\|u_{n}\|_{\lambda}^{2}<\sigma$时, 有

若$c<c_{0}:=\sigma^{2}\frac{p_{\varepsilon}-1}{2p_{\varepsilon}}$, 则当$n$足够大时, 有

所以

由此可得, 当$n\rightarrow\infty$时,$\|u_{n}\|_{\lambda}\rightarrow0$; 进一步得$I_{\lambda,p_{\varepsilon}}(u_{n})\rightarrow0$, 这与$c>0$矛盾. 故$c\geq c_{0}$或$c=0$. 证毕.

引理 3.4 存在与$\lambda$无关的$\delta_{0}>0$, 当$\lambda\geq0$,$c>0$时,$(PS)_{c}$序列$\{u_{n}\}$满足

证 易知

由 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式可得

从而, 选择$\delta_{0}=\frac{2p_{\varepsilon}}{C(p_{\varepsilon}-1)}>0$, 有$\underset{n\rightarrow\infty}{\lim\inf}{|u_{n}|}^{2p_{\varepsilon}} _{\frac{2Np_{\varepsilon}}{2N-\mu}}\geq\delta_{0}c.$证毕.

引理 3.5 对任意$C_{1}>0$,$\sigma_{1}>0$, 存在$\Lambda=\Lambda(\sigma_{1})$和$R=R(\sigma_{1},C_{1})$, 当$c\in[C_{1}]$,$\lambda\geq\Lambda$时,$(PS)_{c}$序列$\{u_{n}\}$满足

证 利用文献[6,引理 2.5]中的想法. 令$R>0$, 定义

由引理 3.3 知, 当$n\rightarrow\infty$时,

利用 Hölder 不等式以及$E_{\lambda}\hookrightarrow L^{2q}(\mathbb{R}^N)$, 其中$q\in[\frac{N}{N-2}]$, 可得

其中$\frac{1}{q}+\frac{1}{q^{\prime}}=1$. 令$\theta=\frac{Np_{\varepsilon}-2N+\mu}{2p_{\varepsilon}}$, 再根据 Gagliardo-Nirenberg 不等式有

当$R$与$\lambda$很大时, 注意到上式中$\mu(B(R))$较小, 因此有$\underset{n\rightarrow\infty}{\lim\sup}{|u_{n}|}^{2p_{\varepsilon}} _{\frac{2Np_{\varepsilon}}{2N-\mu},B_{R}^{c}(0)}\leq\sigma_{1}.$证毕.

下面证明泛函$I_{\lambda,p_\varepsilon}$满足$(PS)_{c}$条件.

引理 3.6 令$C_{1}>0$, 存在$\Lambda_{1}=\Lambda(C_{1})>0$, 当$\lambda\geq\Lambda_{1}$时, 对所有的$c\in[C_{1}]$,$I_{\lambda,p_{\varepsilon}}$满足$(PS)_{c}$条件.

证 令$\{u_{n}\}$是$(PS)_{c}$序列, 由引理3.2可得$\{u_{n}\}$有界, 则存在子列仍定义为$\{u_{n}\}$有

从而$I_{\lambda,p_{\varepsilon}}^{\prime}(u)=0$和$I_{\lambda,p_{\varepsilon}}(u)\geq0$. 令$v_{n}=u_{n}-u$, 由引理 3.2 可知$\{v_{n}\}$是$(PS)_{d}$序列, 其中$d=c-I_{\lambda,p_{\varepsilon}}(u)$, 故

断言$d=0$. 否则, 若$d>0$, 通过引理 3.3 有$d\geq c_{0}$, 再由引理3.4, 可得

结合引理 3.5,$\sigma_{1}=\frac{\delta_{0}c_{0}}{2}>0$, 因此, 存在$\Lambda_{1}$,$R>0$, 当$\lambda\geq\Lambda_{1}$,有

所以与

矛盾, 因为在$E_{\lambda}$中$v_{n}\rightharpoonup0$, 嵌入$E_{\lambda}\hookrightarrow L^{\frac{2Np_{\varepsilon}}{2N-\mu}}(B_{R}(0))$是紧的, 从而

由此可得$d=0$,$\{v_{n}\}$是$(PS)_{0}$序列, 即在$E_{\lambda}$中$v_{n}\rightarrow0$. 当$\lambda$足够大时, 对所有的$c\in[C_{1}]$,$I_{\lambda,p_{\varepsilon}}$满足$(PS)_{c}$条件. 证毕.

接下来证明方程(1.1)存在非平凡解关于山路值

其中

并定义

类似在文献[29,定理 4.2] 证明, 可以证明

接下来给出定理 1.1 前半部分的证明, 后半部分将在定理 1.2 的证明中给出.

定理 1.1 的证明 易证$I_{\lambda, p_{\varepsilon}}$满足山路定理条件, 因此存在一串$(PS)_{m_{\lambda,p_\epsilon}}$列, 记为$\{u_{n}\}$; 由引理3.6可知,$\{u_{n}\}$的子列存在弱收敛极限, 记为$u_{\lambda,p_\varepsilon}$; 由(3.5)式, 那么$u_{\lambda,p_{\varepsilon}}$是问题(1.1)的基态解. 又因为$I_{\lambda,p_{\varepsilon}}(u_{\lambda,p_{\varepsilon}})=I_{\lambda,p_{\varepsilon}}(|u_{\lambda,p_{\varepsilon}}|)$, 可以假设$u_{\lambda,p_{\varepsilon}}\geq0$. 再利用强极值原理, 则$u_{\lambda,p_{\varepsilon}}$是正解.

方程(1.1)的极限方程(1.9)的 Nehari 流形定义为

令

其中

再令

其中$B_{r}=\{x\in\mathbb{R}^N:|x|<r\}$.

引理 4.1^[14] 当$\varepsilon\rightarrow0$时,$c(p_{\varepsilon},\Omega)\rightarrow(\frac{1}{2}-\frac{1}{2\cdot2^{\ast}_{\mu}})S_{H,L}^{\frac{2^{\ast}_{\mu}}{2^{\ast}_{\mu}-1}}$, 其中

是最佳常数.

若序列$\{u_{n}\}\subset{H}^{1}{(\mathbb{R}^N)}$满足

则称$\{u_{n}\}$是$(PS)_{c,\infty}$序列.

命题 4.1 假设$\{u_{n}\}$是$(PS)_{c,\infty}$序列,$c\in(0,(\frac{1}{2}-\frac{1}{2\cdot2^{\ast}_{\mu}})S_{H,L}^{\frac{2^{\ast}_{\mu}}{2^{\ast}_{\mu}-1}})$, 那么存在子列仍记为$\{u_{n}\}$以及$u$, 满足

并且

(i) 在$\mathbb{R}^N\backslash\Omega$中$u\equiv0$,$u$是方程

的解;

(ii) 在${H}^{1}{(\mathbb{R}^N)}$中$u_{n}\rightarrow u$;

(iii) 当$n\rightarrow\infty$时,$\lambda_{n}\int_{\mathbb{R}^N}V(x)|u_{n}|^{2}{\rm d}x\rightarrow0$;

(iv) 当$n\rightarrow\infty$时,

证 先证(i), 由引理 3.3,

可知$\{\|u_{n}\|_{\lambda_{n}}\}$在$\mathbb{R}$上有界. 对任意的$n\in\mathbb{N}$, 有$\|u_{n}\|_{\lambda_{n}}\geq\|u_{n}\|$, 故$\{u_{n}\}$在${H}^{1}{(\mathbb{R}^N)}$中有界, 那么存在子列仍记为$\{u_{n}\}$, 有$u\in {H}^{1}{(\mathbb{R}^N)}$满足

以及

对每个$m\in\mathbb{N}$, 定义$C_{m}=\{x\in\mathbb{R}^N:V(x)\geq\frac{1}{m}\}$, 易知

注意到

根据 Fatou 引理

从而$u$在$C_{m}$中几乎处处为$0$, 即$u$在$\mathbb{R}^N\backslash\bar{\Omega}$中几乎处处为$0$. 令$\varphi\in C_{0}^{\infty}(\Omega)$, 有

由于$\{u_{n}\}$是$(PS)_{c,\infty}$序列, 所以

因为在${H}^{1}{(\mathbb{R}^N)}$中$u_{n}\rightharpoonup u$, 故

以及

因此对$\forall\varphi\in C_{0}^{\infty}(\Omega)$,

那么$u$是问题

的弱解.

其次证 (ii), 由 (i) 可得, 在$\mathbb{R}^N\backslash\Omega$中$u\equiv0$, 并且$V(x)$在$\Omega$中等于$0$, 所以

由于$u$的支集在$\Omega$中,$V(x)$在$\Omega$中等于$0$, 所以即使$\lambda_{n}$很大,$\int_{\mathbb{R}^N}\lambda_{n}V(x)u_{n}u{\rm d}x=0$, 那么

因此

结合$\{|u_{n}|_{\lambda_{n}}\}$有界与$\|I_{\lambda_{n},p_{\varepsilon}}^{\prime}(u_{n})\|_{(E_{\lambda_{n}})^{\prime}}\rightarrow 0$可知$\langle{I_{\lambda_n,p_{\varepsilon}}^{\prime}(u_{n}),u_{n}}\rangle\rightarrow0,$从而

再由$\langle{I_{\lambda_n,p_{\varepsilon}}^{\prime}(u_{n}),u}\rangle\rightarrow0$可得

故有

因此

下证:$u_n\rightarrow u$在$L^p(\mathbb{R}^N)$对于$2<p<2^*$. 否则由文献[29,引理 1.21], 存在$\delta>0,$$\rho>0$,$x_n\in\mathbb{R}^N$且$|x_n|\rightarrow\infty$, 有

那么

最后一个不等式利用了 Hölder 不等式及当$n\rightarrow\infty$时,$\mu(B_\rho(x_n)\cap\{x:V(x)\leq M_0\})\rightarrow0,$因此有$u_n\rightarrow u$在$L^p(\mathbb{R}^N)$对于$2<p<2^*$. 由 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式, 有$\|v_{n}\|_{\lambda_{n}}^{2}\rightarrow0$, 即在${H}^{1}{(\mathbb{R}^N)}$中,$u_{n}\rightarrow u$.

再证 (iii), 由

所以$\lambda_{n}\int_{\mathbb{R}^N}V(x)|u_{n}|^{2}{\rm d}x\rightarrow0$.

最后证 (iv): 下面改写泛函$I_{\lambda_{n},p_{\varepsilon}}$,

由结论 (ii) 在${H}^{1}{(\mathbb{R}^N)}$中,$u_{n}\rightarrow u$, 以及结论 (iii) 可得

因此

证毕.

接下来证明关于$c(p_{\varepsilon},\Omega)$与$c_{\lambda,p_{\varepsilon}}$之间的估计.

引理 4.2 若$\lambda_{n}\rightarrow+\infty$, 则$c_{\lambda_{n},p_{\varepsilon}}\rightarrow c(p_{\varepsilon},\Omega)$.

证 不等式$c_{\lambda_{n},p_{\varepsilon}}<c(p_{\varepsilon},\Omega)$是严格的. 如果$c_{\lambda_{n},p_{\varepsilon}}=c(p_{\varepsilon},\Omega)$, 可找到问题(1.1)的非负解, 并且解在$\Omega$外部为$0$, 由极大值原理可知这是不可能的. 假设当$\lambda_{n}\rightarrow\infty$时, 存在$K$, 使得

根据引理 3.3,$K>0$. 由引理 3.6 可知, 存在$\Lambda_{1}(p_{\varepsilon})>0$, 使得对所有的$\lambda_{n}\geq\Lambda_{1}(p_{\varepsilon})$,$I_{\lambda_{n},p_{\varepsilon}}$满足山路定理条件, 因此$c_{\lambda_{n},p_{\varepsilon}}$可达, 记达到函数为$u_{n}$. 由$\{u_{n}\}\subset {H}^{1}{(\mathbb{R}^N)}$有界以及命题 4.1, 存在$\{u_{n}\}$的子列仍记为$\{u_{n}\}$和$u\in {H}^{1}_{0}{(\Omega)}\backslash\{0\}$使得

由于$u\neq0$,$\langle{I_{p_{\varepsilon},\Omega}^{\prime}(u),u}\rangle=0$, 可得$u\in\mathcal{M}(p_{\varepsilon},\Omega)$, 因此$I_{p_{\varepsilon},\Omega}(u)\geq c(p_{\varepsilon},\Omega)$, 所以$I_{\lambda_{n},p_{\varepsilon}}(u_{n})+o_{n}(1)\geq c(p_{\varepsilon},\Omega)$; 进一步可得当$\lambda_{n}\rightarrow+\infty$时,$c_{\lambda_{n},p_{\varepsilon}}\rightarrow c(p_{\varepsilon},\Omega)$. 证毕.

定理 1.2 的证明 假设$\{u_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$是问题(1.1)在$\lambda_{n}\rightarrow+\infty$时的解序列, 使得

通过命题 4.1, 可知在${H}^{1}{(\mathbb{R}^N)}$中,$u_{n}\rightarrow u$,$u$是问题(1.9)在${H}^{1}_{0}{(\Omega)}$中的解. 类似的, 当序列$u_{\lambda_n}$为关于$c_{\lambda_n,p_\varepsilon}$的基态解序列时, 由命题 4.1 和引理 4.2, 那么$u_{\lambda_n}$在$H^1(\mathbb{R}^N)$中强收敛到$u$,并且$u$是方程(1.9)的基态解. 证毕.

现在假设$\Omega$是$V^{-1}(0)$的内部. 由 (A$_{1})$可知存在$r>0$, 使得$\Omega^{-}_{r}\hookrightarrow\Omega\hookrightarrow\Omega^{+}_{r}$是同伦等价的, 这里

其中$r$固定.

设$\eta\in C_{c}^{\infty}(\mathbb{R}^N)$, 对于$x\in\Omega$满足$\eta(x)=x$. 定义非零函数$u\in {H}_{0}^{1}(\Omega)$的重心为

那么, 在文献[14]中已经得到下列结果.

引理4.3^[14] 对任意的$r^{\prime}<r$, 存在$\varepsilon(r^{\prime})$使得对$\forall\varepsilon\in(0,\varepsilon(r^{\prime})]$, 当$u\in\mathcal{M}(p_{\varepsilon},\Omega)$并且$I_{p_{\varepsilon},\Omega}(u)\leq c(p_{\varepsilon},r^{\prime})$时,$\beta(u)\in\Omega^{+}_{r^{\prime}}$.

现在, 类似文献[6]中重心函数的定义, 选取$R_0>0$满足$\bar{\Omega}\subset B_{R_0}$并且令

然后定义$u\in\mathcal{M}_{\lambda,p_{\varepsilon}}$的重心函数为

那么有下列结果.

引理 4.4 存在$\varepsilon_{2}>0$, 则对任意的$\varepsilon\in(0,\varepsilon_{2}]$, 存在$\Lambda_{2}(\varepsilon)>0$, 对所有的$\lambda\geq\Lambda_{2}(\varepsilon)$以及任意的$u\in\mathcal{M}_{\lambda,p_{\varepsilon}}$, 满足$I_{\lambda,p_{\varepsilon}}(u)\leq c(p_{\varepsilon},r)$, 使得$\beta_0(u)\in\Omega^{+}_{r}$.

证 利用反证法. 令引理4.3中的$\varepsilon(\frac{r}{2})=\varepsilon_{2}$, 存在序列$\lambda_{n}\rightarrow+\infty$和$u_{n}\in\mathcal{M}_{\lambda_{n},p_{\varepsilon}}$, 使得$I_{\lambda_{n},p_{\varepsilon}}(u_{n})\leq c(p_{\varepsilon},r)$并且$\beta_0(u_{n})\notin\Omega^{+}_{r}$. 已知

并且, 当$\lambda_{n}\rightarrow+\infty$时, 由命题 4.1 的结论, 在$\mathbb{R}^N\backslash\Omega$中$u\equiv0$, 因此

因此, 可得

所以存在$\alpha\in(0,1]$使得

即$\alpha u\in\mathcal{M}(p_{\varepsilon},\Omega)$, 那么有

根据引理 4.3,$\beta(\alpha u)\in\Omega^{+}_{\frac{r}{2}}$, 并且因为在$H^1(\mathbb{R}^N)$中$u_n\rightarrow u$, 所以

这与$\beta_0(u_{n})\notin\Omega^{+}_{r}$矛盾. 证毕.

由定理 1.1 和极值原理可知存在问题(1.9)的基态解$u_{r}>0$, 再根据文献[23]知$u_{r}$是球对称的, 即

对给定的$u_{r}$, 定义$\psi_{r}:\Omega^{-}_{r}\rightarrow {{H}}^{1}_{0}{(\Omega)}$,

因为$u_{r}$是球对称的, 对任意$y\in\Omega^{-}_{r}$, 可以验证$\beta_0(\psi_{r}(y))=y$.

下面说明$\Omega$与水平集的畴数之间的关系.

引理 4.5 存在$\bar{\varepsilon}>0$, 对任意的$\varepsilon\in(0,\bar{\varepsilon})$, 相应的存在$\Lambda_{2}(\varepsilon)>0$, 对所有的$\lambda\geq\Lambda_{2}(\varepsilon)$, 有

其中

证 取$\bar{\varepsilon}=\varepsilon(r^{\prime})$, 设$I_{\lambda,p_{\varepsilon}}^{c(p_{\varepsilon},r)}=P_{1}\cup P_{2}\cdots\cup P_{n}$, 其中$P_{j}$,$j=1,2,\cdots,n$, 是$I_{\lambda,p_{\varepsilon}}^{c(p_{\varepsilon},r)}$中的可压缩集, 即存在$h_{j}\in \mathcal{C}([0,1]\times P_{j},I_{\lambda,p_{\varepsilon}}^{c(p_{\varepsilon},r)}) $, 使得对$\forall u,v\in P_{j}$, 有

由 (4.1) 式定义的$\psi_{r}$, 注意到$\psi_{r}(y)(x)\in\mathcal{M}(p_\varepsilon,B_r(0))$, 进一步将其延拓至$\mathbb{R}^N$, 那么有$\psi_{r}(y)(x)\in\mathcal{M}_{\lambda,p_\varepsilon}$. 接下来令$B_{j}=\psi_{r}^{-1}(P_{j})$,$j=1,2,\cdots,n$, 则$B_{j}$是闭集且$B_{j}\subset\Omega_{r}^{-}$. 对$\forall x\in\Omega_{r}^{-}$, 有$\psi_{r}(x)\in I_{p_{\varepsilon},\Omega}^{c(p_{\varepsilon},r)}\subset\bigcup\limits_{j=1}^n{P_{j}}$, 所以存在$j_{0}$, 使得$\psi_{r}(x)\in P_{j_{0}}$, 即$x\in\psi_{r}^{-1}(P_{j_{0}})=B_{j_{0}}$. 因此

再证$B_{j}$在$\Omega_{r}^{+}$上可收缩. 令$g_{j}(t,x)\in \mathcal{C}([0,1] \times B_{j},\Omega_{r}^{+}) $,

有$g_{j}(0,x)=\beta_0(h_{j}(0,\psi_{r}(x)))=\beta_0(\psi_{r}(x))$,$\forall x,y\in B_j$,

所以$B_{j}$在$\Omega_{r}^{+}$上可收缩, 即可得$cat_{\Omega}(\Omega)=cat_{\Omega_{r}^{+}}(\Omega_{r}^{-})\leq cat_{I_{\lambda,p_{\varepsilon}}^{c(p_{\varepsilon},r)}}(I_{\lambda,p_{\varepsilon}}^{c(p_{\varepsilon},r)})$. 证毕.

最后有如下关于方程(1.1)的多解结果.

定理 1.3 的证明 令$\varepsilon_{0}=\min\{\varepsilon_{1},\varepsilon_{2}\}$, 对任意的$\varepsilon\in(0,\varepsilon_{0}]$,$\Lambda(\varepsilon)=\max\{\Lambda_{1}{(\varepsilon)},\Lambda_{2}(\varepsilon)\}$, 因为$c(p_{\varepsilon},r)<(\frac{1}{2}-\frac{1}{22^{\ast}_{\mu}})S_{H,L}^{\frac{2^{\ast}_{\mu}}{2^{\ast}_{\mu}-1}}$,由引理 3.6, 对所有的$c\leq c(p_{\varepsilon},r)$,$I_{\lambda,p_{\varepsilon}}(u)$满足$(PS)_{c}$条件, 再根据文献[29,定理 5.20] 可知问题(1.1)至少有$cat_\Omega(\Omega)$个非平凡弱解, 结合$I_{\lambda,p_\varepsilon}$定义及强极值原理和标准的椭圆理论, 那么有$cat_\Omega(\Omega)$个正解. 证毕.