鲁棒优化方法是处理实际生活中带有不确定数据的优化问题的确定性数学方法, 在通信工程、交通网络和信号处理等领域发挥着重要作用,见文献[1⇓⇓⇓-5]. 众所周知, 静态决策模型是单阶段鲁棒优化模型. 然而, 现实中的众多动态决策模型, 如计划调度、库存问题和批量问题等都是多阶段鲁棒优化问题, 这使得决策者能够随着时间的推移分阶段调整其策略. 自适应鲁棒优化作为处理这类动态决策问题的一种行之有效方法, 近些年来引起众多学者的广泛关注,并取得了一定的前期研究成果, 如文献[6⇓⇓-9].

由于自适应鲁棒优化问题的求解非常困难, 即使是简单的两阶段鲁棒优化问题也可能是 NP-Hard的, 因此, 具有特定结构的两阶段自适应鲁棒优化问题的易求解等价模型刻画得到了众多学者的关注. 如 Jeyakumar等^[10]通过建立非齐次函数的可分离二次不等式系统的广义的 S-引理, 研究了一类具有不精确数据和二次自适应变量的鲁棒线性优化问题的精确二阶锥规划问题重构. Chuong 等^[11]基于可分离二次决策规则, 研究了在盒子不确定集下的两阶段鲁棒线性规划的精确半定规划重构. 借助一类新的二次决策规则, 文献[12]刻画了具有仿射参数化的线性自适应鲁棒优化问题的精确半定规划和二阶锥规划重构. 借助线性矩阵不等式和闭锥约束规范条件, Chuong 等^[13]给出了两阶段自适应鲁棒多目标线性规划问题的最优性条件. 借助 Slater 条件, Chuong 等^[14] 研究了平方和凸多项式结构的两阶段自适应鲁棒优化问题的精确半定规划对偶. 借助鲁棒对偶方法, 文献[15]将具有多面体不确定集的自适应鲁棒非线性问题转化为自适应鲁棒线性问题, 并刻画了它们之间的性质.

受文献[13]的启发, 本文研究一类目标函数和约束函数均具有谱面不确定数据的两阶段自适应多目标规划问题. 首先, 基于谱面体不确定集, 建立具有仿射自适应变量的鲁棒多目标规划问题的 Farkas 引理. 随后, 引入该两阶段自适应多目标线性规划问题的半定规划对偶问题, 并借助一类闭锥约束规范和 Farkas 引理, 讨论它们之间的对偶性质. 最后, 在盒子和椭球等特定结构的不确定集下, 给出该规划问题的对偶问题, 并刻画它们之间的对偶性.

假设$\mathbb{R}^{n}$为$n$维欧氏空间, 并赋予欧氏范数$\|\cdot\|$.$\mathbb{R}_+^{n}$表示$\mathbb{R}^{n}$的非负象限,$\mathrm{int}\mathbb{R}_+^{n}$表示$\mathbb{R}_+^{n}$的拓扑内部. 对任意的$x$,$y\in\mathbb{R}^n$,$\langle x,y\rangle:=x^{\top}y$表示$x$和$y$之间的内积. 记$0_n$为$\mathbb{R}^{n}$的原点. 对于非空集合$\mathrm{\Omega}\subset\mathbb{R}_+^{n}$,$\mathrm{conv\Omega}$和$\mathrm{cl\Omega}$分别表示$\Omega$的凸包和闭包,$\mathrm{coneco}\Omega{:}=\mathbb{R}_+\mathrm{conv}\Omega$表示$\Omega\cup\{0_n\}$的凸锥. 记$I_n \in \mathbb{R}^{n \times n}$为$n \times n$阶单位矩阵. 设$S^n$为所有$n \times n$阶实对称矩阵所构成的集合. 若对任意的$x \in \mathbb{R}^n$,$x^{\top} M x \geq 0$, 则称$M \in S^n$是半正定矩阵, 记为$M \succeq 0$. 若对任意的$x \in \mathbb{R}^n\setminus\{0_n\}$,$x^{\top} M x > 0$, 则称$M \in S^n$是正定矩阵, 记为$M \succ 0$.

设$U$为谱面体^[16,17], 即

此处$A_i,$$i=0,1,\cdots,s,$是对称矩阵.显然, (2.1) 式中的谱面体集不仅是闭凸集, 而且包含球、多面体、盒子和椭球等常见的不确定集. 本文如无特殊说明, 总是假定$U$是非空有界集合.

设$v_r:=\left(v_r^1, \cdots, v_r^m\right) \in \mathbb{R}^m,$$r=1, \cdots, p,$和$\theta_j:=\left(\theta_j^1, \cdots, \theta_j^m\right) \in \mathbb{R}^m,$$j=1, \cdots, q,$是给定向量.

基于谱面体不确定集$U$, 本文考虑下述两阶段自适应多目标线性规划问题

其中$u:=\left(u_1, \cdots, u_s\right) \in U$是不确定参数,$x:=(x_1,\cdots,x_n)\in\mathbb{R}^n$为第一阶段决策变量,$x(\cdot):U\rightarrow\mathbb{R}^m$为第二阶段决策变量, 即自适应决策变量, 它依赖于不确定参数$u\in U$, 并且满足如下仿射决策规则

其中$y\in\mathbb{R}^m$和$W\in\mathbb{R}^{m\times s}$.$c_r:U\rightarrow\mathbb{R}^n,$$r=1, \cdots, p,$$a_j: U\rightarrow\mathbb{R}^n$和$b_j:U\rightarrow\mathbb{R}^n,$$j=1, \cdots, q,$是仿射映射, 即

其中$c_r^i \in \mathbb{R}^n,$$r=1, \cdots, p,$$a_j^i \in \mathbb{R}^n,$$b_j^i \in \mathbb{R}^n$,$j=1, \cdots, q,$$i=0,1, \cdots, s$.

借助鲁棒优化方法^[1,2], 引入基于仿射决策规则 (2.2) 式的 (UTP) 的鲁棒对等问题

记$\mathcal{F}$为鲁棒对等问题 (RTP) 的可行集, 即

受文献[18]的鲁棒弱有效解的概念启发, 引入 (UTP) 的鲁棒弱有效解的定义.

定义 2.1 若$\left(\bar{x},\bar{y},\overline{W}\right)\in \mathcal{F}$是$\mathrm{(RTP)}$的弱有效解, 即不存在$(x,y,W)\in \mathcal{F},$使得

则称$\left(\bar{x},\bar{y},\overline{W}\right)$是$\mathrm{(UTP)}$的鲁棒弱有效解.

本节旨在刻画基于仿射决策规则 (2.2) 式的 (UTP) 的鲁棒对偶性. 为此, 首先建立基于仿射决策规则 (2.2) 式的 (UTP) 的 Farkas 引理. 紧接着, 给出 (UTP) 的半定规划对偶问题. 最后, 利用 Farkas 引理研究问题 (UTP) 与它的对偶问题之间的对偶性质.

引理 3.1 (Farkas 引理)设$C{:}=\mathrm{coneco}\{(a_j(u),\theta_j,u_1\theta_j,\cdots,u_s\theta_j,b_j(u)),j=1,\cdots,q \mid u:=(u_1,\cdots,u_s)\in{U}\}\subset\mathbb{R}^{n+m+ms+1}$为闭锥. 假设$\mathcal{F}\neq\emptyset$, 则下列命题等价

(I)$(x,y,W)\in \mathcal{F} \Rightarrow \mathop{\mathrm{max}}\limits_{u\in U}\{c_r(u)^{\top}x+v_r^{\top}x(u)\}\geq\xi_r,$$r=1,\cdots,p.$

(II)$\exists \alpha_r^0 \in \mathbb{R}_{+}, \sum\limits_{r=1}^p \alpha_r^0=1, \alpha_r^i\in\mathbb{R}, \lambda_j^0 \in \mathbb{R}_{+}$和$\lambda_j^i\in\mathbb{R}, i=1,\cdots,s, j=1,\cdots,q,$使得

证 类似文献[13,定理 2.2] 的证明方法, 将$\mathrm{(RTP)}$转化为如下凸规划问题$\mathrm{(CP)}$

其中$\widetilde{x}:=\left(x, y, W_1, \cdots, W_s\right)$,$W_i,$ $i=1,\cdots,s,$ 为矩阵$W$的列, $\widetilde{c}_r(u):=\widetilde{c}_r^0+\sum\limits_{i=1}^s u_i \widetilde{c}_r^i,$ $\widetilde{c}_r^0:=(c_r^0, v_r, \underbrace{0_m, \cdots, 0_m}_s),$ $\widetilde{c}_r^i:=\left(c_r^i, 0_m, \Omega_r^i\right),$ $i=1, \cdots, s,$ $r=1, \cdots, p$, $\Omega_r^i:=(\underbrace{0_m, \cdots, v_r, \cdots, 0_m}_s)$, $v_r$为$\Omega_r^i$的第$i$个分量,$\widetilde{a}_j(u):=\widetilde{a}_j^0+\sum\limits_{i=1}^s u_i \widetilde{a}_j^i,$ $\widetilde{a}_j^0:=(a_j^0, \theta_j, \underbrace{0_m, \cdots, 0_m}_s)$, $\tilde{a}_j^i:=\left(a_j^i, 0_m, \Psi_j^i\right),$$i=1, \cdots,s,$$j=1, \cdots, q$, $\Psi_j^i:=\underbrace{\left(0_m, \cdots, \theta_j, \cdots, 0_m\right.}_s)$, $\theta_j$为$\Psi_j^i$的第$i$个分量. 显然,

记$\mathcal{F}^\prime:=\{ \widetilde{x} \in \mathbb{R}^{n+m+m s} | \widetilde{a}_j(u)^{\top} \widetilde{x} \leq b_j(u), j=1, \cdots, q, \forall u \in U\}.$由于${C}$为闭锥, 从而利用文献[19,定理 2.1] 可得下述命题等价

(i)$\widetilde{x}\in \mathcal{F}^\prime\Rightarrow\mathop{\mbox{max}}\limits_{u\in U}\widetilde{c}_r(u)^{\top}\widetilde{x}\geq\xi_r,$$r=1,\cdots,p.$

(ii) 存在$\alpha_r^0\in\mathbb{R}_{+},$$\sum\limits_{r=1}^p \alpha_r^0=1,$$\lambda_j^0 \in \mathbb{R}_{+},$$\bar{u}^r\in U$和$u^j\in U,$$j=1,\cdots,q$使得,

进一步地, 通过变量转化以及令$\alpha_r^i:=\alpha_r^0\bar{u}_i^r\in\mathbb{R},$$i=1,\cdots,s,$$r=1,\cdots,p,$$\lambda_j^i:=\lambda_j^0u_i^j\in\mathbb{R},$$i=1,\cdots,s,$$j=1,\cdots,q,$可得式 (3.1)、(3.2)、(3.3) 成立. 最后由$\bar{u}^r\in U,$$r=1,\cdots,p$和$u^j\in U,$$j=1,\cdots,q,$可知式 (3.4) 成立, 故引理证毕.

接下来, 引入$(\mathrm{UTP})$的半定规划对偶问题, 并讨论它们之间的弱对偶和强对偶性质.

令$\eta:=\left(\eta_1, \cdots, \eta_p\right) \in \mathbb{R}^p,$ $\alpha:=\left(\alpha_1^0, \cdots, \alpha_p^0, \alpha_1^1, \cdots, \alpha_p^1, \alpha_1^2, \cdots, \alpha_p^2, \cdots, \alpha_1^s, \cdots, \alpha_p^s\right) \in \mathbb{R}_{+}^p \times \mathbb{R}^{p s},$ $\lambda:=\left(\lambda_1^0, \cdots, \lambda_q^0, \lambda_1^1, \cdots, \lambda_q^1, \lambda_1^2, \cdots, \lambda_q^2, \cdots, \lambda_1^s, \cdots, \lambda_q^s\right) \in \mathbb{R}_{+}^q \times \mathbb{R}^{q s}$, 则$(\mathrm{UTP})$的半定规划对偶问题$(\mathrm{RTD})$定义为

类似于定义2.1, 我们引入,$\mathrm{(RTD)}$,的弱有效解的概念. 方便起见,记,$\mathrm{(RTD)}$,的可行集为,$\mathcal{F}_D$.

定义 3.1 设$(\bar{\eta},\bar{\alpha},\bar{\lambda})\in \mathcal{F}_D$. 若不存在$\mathrm{(RTD)}$的可行解$(\eta,\alpha,\lambda)\in \mathcal{F}_D,$使得

则称$(\bar{\eta},\bar{\alpha},\bar{\lambda})$是$\mathrm{(RTD)}$的弱有效解.

下述定理建立了$\mathrm{(UTP)}$和$\mathrm{(RTD)}$之间的弱对偶关系.

定理 3.1 若$(x,y,W) \in \mathcal{F}$和$(\eta, \alpha, \lambda) \in \mathcal{F}_D$, 则

其中${F}_r(x,y,W):=\mathop{\mathrm{max}}\limits_{{u}\in U}\{c_r(u)^{\top}x+v_r^{\top}x(u)\},$$r=1, \cdots, p$.

证 因为$(\eta, \alpha, \lambda) \in \mathcal{F}_D$, 所以$\alpha_r^0 \in \mathbb{R}_{+},$$\sum\limits_{r=1}^p \alpha_r^0=1,$$\alpha_r^i\in\mathbb{R},$$\lambda_j^0\in\mathbb{R}_{+}$和$\lambda_j^i\in\mathbb{R},$$i=1,\cdots,s,$$j=1,\cdots,q,$使得式 (3.5)、(3.6)、(3.7)、(3.8) 和 (3.9) 成立. 借助式 (3.9)

以及文献[20,定理 2.3] 的证明方法, 易证存在$\bar{u}^r :=(\bar{u}_1^r,\cdots,\bar{u}_s^r) \in U$,$r=1,\cdots,p,$以及$\widetilde{u}^j:=(\widetilde{u}_1^j,\dots,\widetilde{u}_s^j)\in U$,$j=1,\cdots,q,$使得

此外，由$(x,y,W)\in \mathcal{F}$以及$\widetilde{u}^j\in U$可知

另一方面, 对于$\bar{u}^r\in U$,

其中第三个等式成立是因为式 (3.5)、(3.6)、(3.10) 和 (3.14) 成立, 第四个等式成立是因为式 (3.7)、(3.11) 和 (3.13) 成立, 第一个不等式成立是因为式 (3.15) 成立以及$\lambda_j^0\in\mathbb{R}_+$, 最后一个不等式成立是因为式 (3.8) 和 (3.12) 成立.又因为

从而结合$\sum\limits_{r=1}^p\alpha_r^0=1$与$\alpha_r^0\in\mathbb{R}_+$可知

定理证毕.

借助引理 3.1 以及一类闭锥约束规范条件, 我们建立$\mathrm{(UTP)}$和$\mathrm{(RTD)}$之间的强对偶关系.

定理 3.2 设${C}{:}=\mathrm{coneco}\{(a_j(u),\theta_j,u_1\theta_j,\cdots,u_s\theta_j,b_j(u)),j=1,\cdots,q \mid u:=(u_1,\cdots,u_s)$$\in{U}\}\subset\mathbb{R}^{n+m+ms+1}$为闭锥. 若$\left(\bar{x},\bar{y},\overline{W}\right)\in\mathcal{F}$是$\mathrm{(UTP)}$的鲁棒弱有效解, 则存在$\bar{\eta}:=\left(\bar{\eta}_1, \cdots, \bar{\eta}_p\right) \in \mathbb{R}^p,$$\bar{\alpha}:=\left(\bar{\alpha}_1^0, \cdots, \bar{\alpha}_p^0, \bar{\alpha}_1^1, \cdots, \bar{\alpha}_p^1, \bar{\alpha}_1^2, \cdots, \bar{\alpha}_p^2, \cdots, \bar{\alpha}_1^s, \cdots, \bar{\alpha}_p^s\right) \in \mathbb{R}_{+}^p \times \mathbb{R}^{p s},$以及$\bar{\lambda}:=\left(\bar{\lambda}_1^0, \cdots, \bar{\lambda}_q^0,\right.$$\left. \bar{\lambda}_1^1, \cdots, \bar{\lambda}_q^1, \bar{\lambda}_1^2, \cdots, \bar{\lambda}_q^2, \cdots, \bar{\lambda}_1^s, \cdots, \bar{\lambda}_q^s\right) \in \mathbb{R}_{+}^q \times \mathbb{R}^{q s},$使得$(\bar{\eta},\bar{\alpha},\bar{\lambda})\in\mathcal{F}_D$为$\mathrm{(RTD)}$的弱有效解, 并且

其中${F}_r\left(\bar{x},\bar{y},\overline{W}\right){:}=\mathop{\mathrm{max}}\limits_{{u}\in U}\left\{c_r({u})^{\top}\bar{x}+v_r^{\top}\left(\bar{y}+\overline{W}u\right)\right\},$$r=1, \cdots, p$.

证 令$\xi_r:={F}_r\left(\bar{x},\bar{y},\overline{W}\right),$$r=1,\cdots,p.$因为$\left(\bar{x},\bar{y},\overline{W}\right)\in\mathcal{F}$是$\mathrm{(UTP)}$的鲁棒弱有效解, 所以

又因为${C}$是闭的, 从而由引理 3.1 可知, 存在$\bar{\alpha}_r^0 \in \mathbb{R}_{+}, \sum\limits_{r=1}^p \bar{\alpha}_r^0=1, \bar{\alpha}_r^i\in\mathbb{R}, \bar{\lambda}_j^0 \in \mathbb{R}_{+}$和$\bar{\lambda}_j^i\in\mathbb{R}, i=1,\cdots,s, j=1,\cdots,q,$使得

令$\bar{\eta}_r:=F_r\left(\bar{x},\bar{y},\overline{W}\right),$ $r=1,\cdots,p,$ $\bar{\eta}:=\left(\bar{\eta}_1, \cdots, \bar{\eta}_p\right) \in \mathbb{R}^p,$ $\bar{\alpha}:=\left(\bar{\alpha}_1^0, \cdots, \bar{\alpha}_p^0, \bar{\alpha}_1^1, \cdots, \bar{\alpha}_p^1, \bar{\alpha}_1^2, \cdots,\right.\\ \left.\bar{\alpha}_p^2, \cdots, \bar{\alpha}_1^s, \cdots, \bar{\alpha}_p^s\right) \!\in \!\mathbb{R}_{+}^p \!\times \!\mathbb{R}^{p s},$ $\bar{\lambda}\!:=\!\left(\bar{\!\lambda}_1^0, \!\cdots, \bar{\!\lambda}_q^0, \bar{\!\lambda}_1^1, \!\cdots, \bar{\!\lambda}_q^1, \bar{\!\lambda}_1^2, \!\cdots, \bar{\!\lambda}_q^2, \!\cdots, \bar{\!\lambda}_1^s, \!\cdots, \bar{\!\lambda}_q^s\!\right) \in \mathbb{R}_{+}^q \times \mathbb{R}^{q s}.$ 显然, $(\bar{\eta},\bar{\alpha},\bar{\lambda})$ 为 $\mathrm{(RTD)}$ 的可行解.

下证$(\bar{\eta},\bar{\alpha},\bar{\lambda})$为$\mathrm{(RTD)}$的弱有效解. 假设$(\bar{\eta},\bar{\alpha},\bar{\lambda})$不是$\mathrm{(RTD)}$的弱有效解, 则存在$(\hat{\eta},\hat{\alpha},\hat{\lambda})\in \mathcal{F_D},$使得

又因为$\bar{\eta}_r=F_r\left(\bar{x},\bar{y},\overline{W}\right),$$r=1,\cdots,p,$所以

这与定理 3.1 矛盾. 故,$(\bar{\eta},\bar{\alpha},\bar{\lambda})$为$\mathrm{(RTD)}$的弱有效解. 证毕.

注 3.1 借助Farkas 引理, 文献[19]建立了鲁棒多目标线性规划问题与其对偶问题的对偶性性质. 本文首次将该鲁棒多目标线性规划问题推广至两阶段自适应多目标情形, 建立了它的半定规划对偶问题,并研究了它们之间的弱对偶和强对偶性质, 故定理 3.1 和 3.2 推广和改进了文献[19]的相应结果.

本文的最后, 我们考虑$\mathrm{(RTP)}$中谱面体不确定集$U$的几类特殊情形. 首先, 若谱面体不确定集$U$为盒子不确定集$B$, 即

则, 易建立如下强对偶定理.

推论 3.1 设$\widehat{C}{:}=\mathrm{coneco}\{(a_j(u),\theta_j,u_1\theta_j,\cdots,u_s\theta_j,b_j(u)),j=1,\cdots,q \mid u:=(u_1,\cdots,u_s)$$\in{B}\}\subset\mathbb{R}^{n+m+ms+1}$为闭锥. 若$\left(\bar{x},\bar{y},\overline{W}\right)\in\mathcal{F}$是$\mathrm{(UTP)}$的鲁棒弱有效解, 则存在$\bar{\eta}:=\left(\bar{\eta}_1, \cdots, \bar{\eta}_p\right) \in \mathbb{R}^p,$$\bar{\alpha}:=\left(\bar{\alpha}_1^0, \cdots, \bar{\alpha}_p^0, \bar{\alpha}_1^1, \cdots, \bar{\alpha}_p^1, \bar{\alpha}_1^2, \cdots, \bar{\alpha}_p^2, \cdots, \bar{\alpha}_1^s, \cdots, \bar{\alpha}_p^s\right) \in \mathbb{R}_{+}^p \times \mathbb{R}^{p s},$以及$\bar{\lambda}:= \left(\bar{\lambda}_1^0, \cdots, \bar{\lambda}_q^0,\right.$$\left. \bar{\lambda}_1^1, \cdots, \bar{\lambda}_q^1, \bar{\lambda}_1^2, \cdots, \bar{\lambda}_q^2, \cdots, \bar{\lambda}_1^s, \cdots, \bar{\lambda}_q^s \right) \in \mathbb{R}_{+}^q \times \mathbb{R}^{q s},$使得$(\bar{\eta},\bar{\alpha},\bar{\lambda})\in\mathcal{F_D}$为$\mathrm{(\widehat{RTD})}$的弱有效解, 且

其中${F}_r\left(\bar{x},\bar{y},\overline{W}\right){:}=\mathop{\mathrm{max}}\limits_{{u}\in B}\left\{c_r({u})^{\top}\bar{x}+v_r^{\top}\left(\bar{y}+\overline{W}u\right)\right\},$$r=1,\cdots,p$, 以及

证 设$A_i\in S^{2s},$$i=0,1,\cdots,s$, 即

其中$E_i$是第$(i,i)$项为 1, 其余项为 0 的$s\times s$阶对角矩阵. 则式 (3.16) 定义的盒子不确定集$B$与式 (2.1)定义的谱面体不确定集$U$等价. 此外, 对于$\bar{\alpha}\in \mathbb{R}_{+}^p \times \mathbb{R}^{p s},$$\bar{\lambda}\in \mathbb{R}_{+}^q \times \mathbb{R}^{q s},$有

因此, 借助定理3.2可得该推论成立.

若$\mathrm{(RTP)}$中谱面体不确定集$U$为椭球不确定集$T$, 即

其中$M\in S^s$,$M\succ0,$$M=H^{\top}H$,$H$是$s\times s$阶的矩阵, 则有如下强对偶定理.

推论3.2 设$\widetilde{C}{:}=\mathrm{coneco}\{(a_j(u),\theta_j,u_1\theta_j,\cdots,u_s\theta_j,b_j(u)),j=1,\cdots,q \mid u:=(u_1,\cdots,u_s)$$\in{T}\}\subset\mathbb{R}^{n+m+ms+1}$为闭锥. 若$\left(\bar{x},\bar{y},\overline{W}\right)\in\mathcal{F}$是$\mathrm{(UTP)}$的鲁棒弱有效解, 则存在$\bar{\eta}:=\left(\bar{\eta}_1, \cdots, \bar{\eta}_p\right) \in \mathbb{R}^p,$$\bar{\alpha}:=\left(\bar{\alpha}_1^0, \cdots, \bar{\alpha}_p^0, \bar{\alpha}_1^1, \cdots, \bar{\alpha}_p^1, \bar{\alpha}_1^2, \cdots, \bar{\alpha}_p^2, \cdots, \bar{\alpha}_1^s, \cdots, \bar{\alpha}_p^s\right) \in \mathbb{R}_{+}^p \times \mathbb{R}^{p s},$以及$\bar{\lambda}:=\left(\bar{\lambda}_1^0, \cdots, \bar{\lambda}_q^0,\right.$$\left.\bar{\lambda}_1^1, \cdots, \bar{\lambda}_q^1, \bar{\lambda}_1^2, \cdots, \bar{\lambda}_q^2, \cdots, \bar{\lambda}_1^s, \cdots, \bar{\lambda}_q^s\right) \in \mathbb{R}_{+}^q \times \mathbb{R}^{q s},$使得$(\bar{\eta},\bar{\alpha},\bar{\lambda})\in\mathcal{F_D}$为$\mathrm{(\widetilde{RTD})}$的弱有效解, 且

其中${F}_r\left(\bar{x},\bar{y},\overline{W}\right){:}=\mathop{\mathrm{max}}\limits_{{u}\in T}\left\{c_r({u})^{\top}\bar{x}+v_r^{\top}\left(\bar{y}+\overline{W}u\right)\right\},$$r=1,\cdots,p$, 以及

证 设$A_i\in S^{s+1},$$i=0,1,\cdots,s$, 即

其中$e_i\in\mathbb{R}^s$是第$i$项为 1, 其余项为 0 的向量. 利用 Schurb 定理, 有

上式表明, 式 (3.17) 定义的椭球不确定集$T$与式 (2.1) 定义的谱面体不确定集$U$等价. 此外, 对于$\bar{\alpha}\in \mathbb{R}_{+}^p \times \mathbb{R}^{p s}$和$\bar{\lambda}\in \mathbb{R}_{+}^q \times \mathbb{R}^{q s},$有

从而, 借助定理3.2 可得该推论成立.