带有时滞边界反馈的退化波动方程的镇定

带有时滞边界反馈的退化波动方程的镇定

白晋彦^,¹, 柴树根^,²^,^*

1.晋中学院数学系山西晋中 030619

2.山西大学数学科学学院太原 030006

Stabilization of Degenerate Wave Equations with Delayed Boundary Feedback

Bai Jinyan^,¹, Chai Shugen^,²^,^*

1. Department of Mathematics, Jinzhong University, Shanxi Jinzhong 030619

2. School of Mathematical Sciences, Shanxi University, Taiyuan 030006

通讯作者: 柴树根, E-mail：sgchai@sxu.edu.cn

收稿日期: 2023-01-25 修回日期: 2023-09-11

基金资助:

国家自然科学基金(12271316)
国家自然科学青年基金(12001343)
山西省自然科学基金(201901D111042)
晋中学院技术创新团队建设计划(jzxyjscxtd202111)

Received: 2023-01-25 Revised: 2023-09-11

Fund supported:

NSFC(12271316)
NSFY(12001343)
Natural Science Foundation of Shanxi Province(201901D111042)
Technical Innovation Team of Jinzhong University(jzxyjscxtd202111)

作者简介 About authors

白晋彦,E-mail：bjy207@163.com;

摘要

该文在一维空间中研究了带有时滞边界反馈的退化波动方程的镇定问题. 首先运用半群理论证明了其解的适定性, 然后通过选用合适的乘子以及构造合适的 Lyapunov 泛函，证明了该退化波动方程解的指数稳定性结果.

关键词： 退化波方程; 时滞; 反馈镇定

Abstract

In this paper, we study the stabilization of degenerate wave equations with time-delay boundary feedback. Firstly, the well-posedness of the solution is proved by using semigroup theory. And then the exponential stability of the solution is proved by selecting suitable multipliers and constructing suitable Lyapunov functional.

Keywords： Degenerate wave equation; Time delay; Feedback stabilization

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本文引用格式

白晋彦, 柴树根. 带有时滞边界反馈的退化波动方程的镇定[J]. 数学物理学报, 2024, 44(1): 133-139

Bai Jinyan, Chai Shugen. Stabilization of Degenerate Wave Equations with Delayed Boundary Feedback[J]. Acta Mathematica Scientia, 2024, 44(1): 133-139

1 引言

近年来, 退化偏微分方程的能控性和反馈镇定受到了人们越来越多的关注, 并且出现在了很多科学领域, 比如影像学^[1]、气候学^[2]、人类遗传学^[3]等. 各科学领域的发展对退化偏微分方程的数学问题提出了越来越大的挑战. 这些问题的一个共同特征是涉及到一个变系数的椭圆算子, 在所考虑的空间区域上失去了一致椭圆性, 但在空间区域的紧子集上是保持一致椭圆性的. 这样就出现退化发生在区域的边界或内部小子集上的情形. 对退化波动方程而言, 一致椭圆性的缺失不仅影响解的适定性所属的泛函空间, 更对退化椭圆算子的各种估计提出了新的挑战, 因而对退化发生在边界和内部时退化波动方程的能控性和反馈镇定就成为了人们研究的热点问题^{[4⇓⇓⇓⇓-9]}.

众所周知, 时滞效应在日常生活的实际问题中也经常出现, 这些延迟效果的影响可将本来稳定的系统变得不稳定^{[10⇓⇓-13]}. 从而要使具有时滞的系统稳定, 克服由时滞带来的负面影响, 控制的设计较无时滞时要困难很多. 具有时滞边界和内部反馈的非退化波动方程解的稳定性问题, 目前已经有不少相关的结论^{[14⇓⇓⇓⇓-19]}. 特别地, 文献[14]指出, 当边界输入控制同时包括有时滞和无时滞两部分时, 非退化波动方程解的稳定性取决于这两部分的权重, 当无时滞部分的权重大于有时滞部分的权重时, 系统才能稳定.

具有边界控制的退化波动方程的一般形式为

$\begin{equation} \left\{\begin{array}{ll}u_{tt}-(x^\alpha u_{x})_x=0, & (x,t)\in (0,1)\times(0,+\infty), \\u(0,t)=0, & t\in(0,+\infty),\\u_{x}(1,t)=y(t), & t\in(0,+\infty),\\u(x,0)=u_0(x),\ \ u_t(x,0)=u_1(x), & x\in(0,1),\\w(t)=u_t(1,t), & t\in(0,+\infty),\\\end{array}\right.\end{equation}$

(1.1)

其中 $\alpha>0$ 是退化程度的度量, $y(t)$ 是一个输入控制, $w(t)$ 是观测器. 如果输入控制 $y(t)$ 没有时滞, 运用最简单的反馈控制 $y(t)=-w(t)$ , 即可使得闭环系统耗散且指数稳定 (见文献[4]). 那么, 当输入控制有了时滞, 上述闭环系统是否稳定? 本文将研究下面具有时滞边界反馈的退化波方程解的镇定问题

$\begin{equation}\left\{\begin{array}{ll} u_{tt}-(x^\alpha u_{x})_x=0, & (x,t)\in (0,1)\times(0,+\infty), \\ u(0,t)=0, & t\in(0,+\infty),\\ u_{x}(1,t)+\mu_1u_t(1,t)+\mu_2u_{t}(1,t-\tau)=0, & t\in(0,+\infty),\\ u(x,0)=u_0(x),\ \ u_t(x,0)=u_1(x), & x\in(0,1),\\ u_t(1,t-\tau)=f_0(t-\tau), & t\in(0,\tau),\\ \end{array}\right. \end{equation}$

(1.2)

其中 $0\leq\alpha<1$ , $u$ 是状态变量, $(u_0,u_1,f_0)$ 为任意属于合适空间的初值, 常数 $\tau>0$ 是时滞, $\mu_1, \mu_2$ 为正实数. 本文将证明 $\mu_1>\mu_2$ 时, 上述系统的解是指数稳定的.

定义系统(1.2)的能量泛函为

$\begin{equation} E(t)=\displaystyle\frac{1}{2}\int_0^1(u_t^2+x^\alpha u_x^2){\rm d}x+\frac{\xi}{2}\int_0^1u_t^2(1,t-\tau\rho){\rm d}\rho, \quad \forall t>0, \end{equation}$

(1.3)

其中 $\xi$ 是正实数, 满足 $\tau\mu_2<\xi<\tau(2\mu_1-u_2)$ . 注意到本文考虑 $\mu_1>\mu_2$ 时的情形, 故满足条件的 $\xi$ 是存在的.

本文的主要结果如下.

定理 1.1 假设 $\mu_1>\mu_2$ , 对任意的 $0\leq\alpha<1$ , 都存在正常数 $C_1, C_2$ , 使得

$\begin{equation} E(t)\leq C_1{\rm e}^{-C_2t}E(0), \end{equation}$

(1.4)

即系统(1.2)的解是指数稳定的.

本文将在第 2 部分证明系统 (1.2) 解的适定性, 第 3 部分证明系统 (1.2) 解的指数稳定性 (定理 1.1).

2 退化波动方程解的适定性

为了研究系统 (1.2) 解的适定性, 首先引入一些加权的 Sobolev 空间.

$W_\alpha^1(0,1)=\{u\in L^2(0,1)| u \mbox{在}\ (0,1]$ 上是局部绝对连续的,

$x^{\frac{\alpha}{2}}u_x \in L^2(0,1) \ \mbox{且}\ u(0)=0\},$

$W_\alpha^2(0,1)=\{u\in W_\alpha^1(0,1) | x^\alpha u_x\in H^1(0,1)\},$

其中 $H^1(0,1)$ 是经典的 Sobolev 空间.

设 $z(\rho,t)=u_t(1,t-\tau\rho),\quad \rho\in(0,1),\ t>0,$ 则系统 (1.2) 可转化为

$\begin{equation}\left\{\begin{array}{ll} u_{tt}-(x^\alpha u_{x})_x=0, & (x,t)\in (0,1)\times(0,+\infty), \\ z_\rho(\rho,t)+\tau z_t(\rho,t)=0, & (\rho,t)\in (0,1)\times(0,+\infty),\\ u(0,t)=0, & t\in(0,+\infty),\\ u_{x}(1,t)+\mu_1u_t(1,t)+\mu_2z(1,t)=0, & t\in(0,+\infty),\\ z(0,t)=u_t(1,t), & t\in(0,+\infty),\\ u(x,0)=u_0(x),\ \ u_t(x,0)=u_1(x), & x\in(0,1),\\ z(\rho,0)=f_0(-\tau\rho), & \rho\in(0,1).\\ \end{array}\right. \end{equation}$

(2.1)

记 $U:=(u,u_t,z)$ , 则

$U':=(u_t,u_{tt},z_t)=(u_t,(x^\alpha u_x)_x,-\tau^{-1}z_\rho).$

因此, 系统 (2.1) 可写为抽象发展方程

$\begin{equation}\left\{\begin{array}{ll}U'=\mathcal{A}U,\\U(0)=(u_0,u_1,f_0(-\cdot\tau)),\end{array}\right.\end{equation}$

(2.2)

其中算子 $\mathcal{A}$ 被定义为

$\mathcal{A}(u,v,z)=(v,(x^\alpha u_x)_x,-\tau^{-1}z_\rho),\nonumber$

且

$\begin{align*}D(\mathcal{A}):=\Big\{{(u,v,z)\in W_\alpha^2(0,1)\times W_\alpha^1(0,1)\times H_\rho^1(0,1)},\\ u_x(1)+\mu_1v(1)+\mu_2z(1)=0, z(0)=v(1)\Big\},\nonumber\end{align*}$

这里的 $H_\rho^1(0,1)$ 以及后边的 $L_\rho^2(0,1)$ 均是关于变量 $\rho$ 的函数所属的经典的 Sobolev 空间.考虑具有如下内积的 Hilbert 空间 $\mathcal{H}=W_\alpha^1(0,1)\times L^2(0,1)\times L_\rho^2(0,1)$

$\begin{equation} \langle(u,v,z),(\widetilde{u},\widetilde{v},\widetilde{z})\rangle_{\mathcal{H}}=\displaystyle\int_0^1(x^\alpha u_x\widetilde{u}_x+v\widetilde{v}){\rm d}x+\xi\displaystyle\int_0^1z(\rho)\widetilde{z}(\rho){\rm d}\rho, \quad \forall (u,v,z), (\widetilde{u},\widetilde{v},\widetilde{z})\in \mathcal{H}. \nonumber \end{equation}$

可以验证, 算子 $\mathcal{A}$ 在 $\mathcal{H}$ 上是极大耗散的. 从而利用半群理论, 可以得到系统 (2.1) 解的适定性结果. 具体如下.

命题 2.1 算子 $\mathcal{A}$ 在 $\mathcal{H}$ 上是极大耗散的.

证设 $U=(u,v,z)\in D(\mathcal{A})$ , 则

$\begin{matrix} (\mathcal{A}U,U)& =\Big\langle(v,(x^\alpha u_x)_x,-\tau^{-1}z_\rho),(u,v,z)\Big\rangle_{\mathcal{H}} \\ & =\displaystyle\int_0^1\big[x^\alpha v_xu_x+(x^\alpha u_x)_xv\big]{\rm d}x-\displaystyle\frac{\xi}{\tau}\int_0^1z_\rho(\rho)z(\rho){\rm d}\rho \\ & =x^\alpha u_xv|_{x=0}^{x=1}-\displaystyle\frac{\xi}{2\tau}z^2(1)+\displaystyle\frac{\xi}{2\tau}z^2(0) =u_x(1)v(1)-\displaystyle\frac{\xi}{2\tau}z^2(1)+\displaystyle\frac{\xi}{2\tau}z^2(0)\\ & =-\mu_1v^2(1)-\mu_2z(1)v(1)-\displaystyle\frac{\xi}{2\tau}z^2(1)+\displaystyle\frac{\xi}{2\tau}z^2(0)\\ & \leq (-\mu_1+\frac{\mu_2}{2}+\frac{\xi}{2\tau})v^2(1)+(\frac{\mu_2}{2}-\frac{\xi}{2\tau})z^2(1) \leq 0. \end{matrix}$

(2.3)

因此算子 $\mathcal{A}$ 在 $\mathcal{H}$ 上是耗散的, 下面证算子 $\mathcal{A}$ 在 $\mathcal{H}$ 上是极大的, 即对任意给定的 $\lambda>0$ , $(\lambda I-\mathcal{A})$ 是满射. 接下来, 对任给的 $(f,g,h)\in\mathcal{H}$ , 寻找下面问题的一个解 $U=(u,v,z)\in D(\mathcal{A})$

$\begin{equation}\left\{\begin{array}{ll} \lambda u-v=f,\\ \lambda v-(x^\alpha u_x)_x=g,\\[2mm] \lambda z+\displaystyle\frac{1}{\tau}z_\rho=h. \end{array}\right. \end{equation}$

(2.4)

首先可以求得 $z$ . 由问题(2.4)的第三个方程可知, $z_\rho+\tau\lambda z=h\tau,$ 结合关系 $z(0)=v(1)$ 以及 (2.4) 式的第一个方程, 有

$\begin{matrix}z(\rho)& =v(1){\rm e}^{-\lambda\rho\tau}+{\rm e}^{-\lambda\rho\tau}\int_0^\rho h\tau {\rm e}^{\lambda\sigma\tau}{\rm d}\sigma\\ & =\lambda u(1){\rm e}^{-\lambda\rho\tau}-f(1){\rm e}^{-\lambda\rho\tau}+{\rm e}^{-\lambda\rho\tau}\int_0^\rho h\tau {\rm e}^{\lambda\sigma\tau}{\rm d}\sigma.\end{matrix}$

(2.5)

特别地,

$\begin{equation}z(1)=\lambda u(1){\rm e}^{-\lambda\tau}-f(1){\rm e}^{-\lambda\tau}+{\rm e}^{-\lambda\tau}\int_0^1h\tau {\rm e}^{\lambda\sigma\tau}{\rm d}\sigma.\end{equation}$

(2.6)

另外, 结合(2.4)式的第一个和第二个方程, 可知需要寻找 $u\in W_\alpha^2(0,1)$ 且满足

$\begin{equation}\lambda^2u-(x^\alpha u_x)_x=\lambda f+g.\end{equation}$

(2.7)

现在假设 $u\in W_\alpha^2(0,1)$ 存在, 且是(2.7)式的解, 则有

$\begin{equation}\displaystyle\int_0^1(\lambda^2u-(x^\alpha u_x)_x)w{\rm d}x=\displaystyle\int_0^1(\lambda f+g)w{\rm d}x, \quad \ \ \forall w\in W_\alpha^1(0,1). \end{equation}$

(2.8)

分部积分后整理可得

$\begin{matrix}& \displaystyle\int_0^1\big(\lambda^2uw+x^\alpha u_xw_x\big){\rm d}x+(\mu_1+\mu_2{\rm e}^{-\lambda\tau})\lambda u(1)w(1)\\ =& \displaystyle\int_0^1(\lambda f+g)w{\rm d}x+\mu_1f(1)w(1)+\mu_2{\rm e}^{-\lambda\tau}(f(1)-\int_0^1h\tau {\rm e}^{\lambda\sigma\tau}{\rm d}\sigma)w(1). \end{matrix}$

(2.9)

记

$\Lambda(u,w)=\displaystyle\int_0^1\big(\lambda^2uw+x^\alpha u_xw_x\big){\rm d}x+(\mu_1+\mu_2{\rm e}^{-\lambda\tau})\lambda u(1)w(1),$

$L(w)=\displaystyle\int_0^1(\lambda f+g)w{\rm d}x+\mu_1f(1)w(1)+\mu_2{\rm e}^{-\lambda\tau}(f(1)-\int_0^1h\tau {\rm e}^{\lambda\sigma\tau}{\rm d}\sigma)w(1).$

由于 $\Lambda$ 在 $W_\alpha^1(0,1)\times W_\alpha^1(0,1)$ 上是连续双线性泛函且满足强制性, $L$ 在 $W_\alpha^1(0,1)$ 上是连续的, 从而根据 Lax-Milgram 定理可知, (2.9) 式存在唯一解 $u\in W_\alpha^1(0,1)$ . 下面将证 $(u,v,z)\in D(\mathcal{A})$ 且是 (2.4) 式的解.

记 $\mathcal{D}(0,1)$ 是 $(0,1)$ 上具有紧支集的 $C^\infty$ 函数构成的集合, 由于 $\mathcal{D}(0,1)\subset W_\alpha^1(0,1)$ , 所以

$\displaystyle\int_0^1(\lambda^2u-(x^\alpha u_x)_x)w{\rm d}x=\displaystyle\int_0^1(\lambda f+g)w{\rm d}x, \quad \ \ \forall w\in \mathcal{D}(0,1).$

根据对偶可知在分布意义下 $u$ 是 (2.7) 式的解, 因此 $u\in W_\alpha^2(0,1)$ 且在 $(0,1)$ 上几乎处处有

$\lambda^2u-(x^\alpha u_x)_x=\lambda f+g.$

将上面方程在 $(0,1)$ 上积分并利用分部积分公式, 结合(2.9)式有

$u_x(1)+(\mu_1+\mu_2{\rm e}^{-\lambda\tau})\lambda u(1)=\mu_1f(1)+\mu_2{\rm e}^{-\lambda\tau}(f(1)-\int_0^1h\tau {\rm e}^{\lambda\sigma\tau}{\rm d}\sigma),$

运用(2.4)和(2.6)式可得 $u_x(1)+\mu_1v(1)+\mu_2z(1)=0.$ 综上所知, $(u,v,z)\in D(\mathcal{A})$ 且是问题(2.4)的解. 因此有如下结果. 证毕.

定理 2.1 对任意初值 $U(0)\in\mathcal{H}$ , 系统(2.2)存在唯一解 $U\in C([0,+\infty),\mathcal{H})$ . 进一步, 若 $U(0)\in D(\mathcal{A})$ , 那么 $U\in C([0,+\infty),D(\mathcal{A}))\cap C^1([0,+\infty),\mathcal{H}).$

3 退化波动方程解的指数稳定性

命题 3.1 对系统 (1.2) 的任意解, 对应解的能量是递减的, 且存在正常数 $C$ 使得下面的估计式成立

$\begin{equation}E'(t)\leq -C(u_t^2(1,t)+u_t^2(1,t-\tau)), \quad \forall t>0. \end{equation}$

(3.1)

证由于

$\begin{matrix}E(t)& =\frac{1}{2}\int_0^1\big(u_t^2(x,t)+x^\alpha u_x^2(x,t)\big){\rm d}x+\frac{\xi}{2}\int_0^1u_t^2(1,t-\tau\rho){\rm d}\rho\\ & =\frac{1}{2}\int_0^1\big(u_t^2(x,t)+x^\alpha u_x^2(x,t)\big){\rm d}x+\frac{\xi}{2\tau}\int_{t-\tau}^tu_s^2(1,s){\rm d}s, \end{matrix}$

(3.2)

从而

$\begin{equation} E'(t)=\int_0^1(u_tu_{tt}+x^\alpha u_xu_{xt}){\rm d}x+\frac{\xi}{2\tau}u_t^2(1,t)-\frac{\xi}{2\tau}u_t^2(1,t-\tau).\nonumber \end{equation}$

对上述等式进行分部积分并利用系统 (1.2) 的边界条件以及 Hölder 不等式, 可得

$\begin{align*} E'(t)& =-\mu_1u_t^2(1,t)-\mu_2u_t(1,t)u_t(1,t-\tau)+\frac{\xi}{2\tau}u_t^2(1,t)-\frac{\xi}{2\tau}u_t^2(1,t-\tau)\\ & \leq(-\mu_1+\frac{\mu_2}{2}+\frac{\xi}{2\tau})u_t^2(1,t)+(\frac{\mu_2}{2}-\frac{\xi}{2\tau})u_t^2(1,t-\tau).\nonumber \end{align*}$

最后根据假设 $\tau\mu_2<\xi<\tau(2\mu_1-u_2)$ 可知, 存在常数 $C>0$ , 使得估计式(3.1)成立. 证毕.

命题 3.2 当 $0\leq\alpha<1$ 时, 对系统 (1.2) 的任意解有下面的不等式成立

$\begin{equation}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_0^12xu_xu_t{\rm d}x\leq (1+2\mu_1^2)u_t^2(1,t)+2\mu_2^2u_t^2(1,t-\tau)-\int_0^1u_t^2{\rm d}x-(1-\alpha)\int_0^1x^\alpha u_x^2{\rm d}x. \end{equation}$

(3.3)

证根据分部积分公式和 Cauchy-Schwarz 不等式, 有

$\begin{align*} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_0^12xu_xu_t{\rm d}x & =\int_0^1\big(2xu_{xt}u_t+2xu_x(x^\alpha u_x)_x\big){\rm d}x\\ & =u_t^2(1,t)-\int_0^1u_t^2{\rm d}x+2u_x^2(1,t)-2\int_0^1x^\alpha u_x^2{\rm d}x-\int_0^1x^{\alpha+1}(u_x^2)_x{\rm d}x\\ & =u_t^2(1,t)-\int_0^1u_t^2{\rm d}x+u_x^2(1,t)-(1-\alpha)\int_0^1x^\alpha u_x^2{\rm d}x\\ & \leq (1+2\mu_1^2)u_t^2(1,t)+2\mu_2^2u_t^2(1,t-\tau)-\int_0^1u_t^2{\rm d}x-(1-\alpha)\int_0^1x^\alpha u_x^2{\rm d}x.\nonumber \end{align*}$

得证.

现在, 引入函数

$\delta(t)=\frac{1}{\tau}\int_{t-\tau}^t{\rm e}^{s-t}u_t^2(1,s){\rm d}s,$

可以很容易估计到

$\begin{matrix} \delta'(t) & =\frac{1}{\tau}(u_t^2(1,t)-{\rm e}^{-\tau}u_t^2(1,t-\tau))-\frac{1}{\tau}\int_{t-\tau}^t{\rm e}^{s-t}u_t^2(1,s){\rm d}s\\ & \leq \frac{1}{\tau}[u_t^2(1,t)-{\rm e}^{-\tau}u_t^2(1,t-\tau)-{\rm e}^{-\tau}\int_{t-\tau}^tu_t^2(1,s){\rm d}s]\\ & =\frac{1}{\tau}[u_t^2(1,t)-{\rm e}^{-\tau}u_t^2(1,t-\tau)]-{\rm e}^{-\tau}\int_0^1u_t^2(1,t-\tau\rho){\rm d}\rho. \end{matrix}$

(3.4)

构造 Lyapunov 泛函

$\begin{equation}\varepsilon(t):=E(t)+\gamma_1\int_0^12xu_xu_t{\rm d}x+\gamma_2\delta(t), \end{equation}$

(3.5)

其中 $\gamma_1$ , $\gamma_2$ 是足够小的正常数, 将在后边给出.

由于

$\begin{matrix}\bigg|\gamma_1\int_0^12xu_xu_t{\rm d}x+\gamma_2\delta(t)\bigg| & \leq \gamma_1\int_0^1(x^\alpha u_x^2+u_t^2){\rm d}x+\frac{\gamma_2}{\tau}\int_{t-\tau}^tu_t^2(1,s){\rm d}s\\ & \leq \max\{2\gamma_1,\frac{2\gamma_2}{\xi}\}E(t), \end{matrix}$

(3.6)

所以通过选择足够小的 $\gamma_1$ 和 $\gamma_2$ , 使得 $1-\max\big\{2\gamma_1,\frac{2\gamma_2}{\xi}\big\}=a_1>0$ , 且记 $1+\max\big\{2\gamma_1,\frac{2\gamma_2}{\xi}\big\}=a_2$ , 则有

$\begin{equation}a_1E(t)\leq\varepsilon(t)\leq a_2E(t). \end{equation}$

(3.7)

即 $\varepsilon(t)$ 和能量 $E(t)$ 是等价的.

定理 3.1 设 $0\leq\alpha<1$ , 则存在正常数 $c_1, c_2$ 使得系统 (1.2) 的任意解有

$\begin{equation}\varepsilon(t)\leq c_1{\rm e}^{-c_2t}\varepsilon(0), \quad t>0. \end{equation}$

(3.8)

证对已构造的 Lyapunov 泛函 $\varepsilon(t)$ 关于 $t$ 求导, 并结合命题 3.1, 命题 3.2 可得

$\begin{matrix} \varepsilon'(t) & = E'(t)+\gamma_1\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_0^12xu_xu_t{\rm d}x+\gamma_2\delta'(t)\\ & \leq [-C+\gamma_1(1+2\mu_1^2)+\frac{\gamma_2}{\tau}]u_t^2(1,t)+[-C+2\gamma_1\mu_2^2-\frac{\gamma_2}{\tau}{\rm e}^{-\tau}]u_t^2(1,t-\tau)\\ & \ -\min\bigg\{2\gamma_1(1-\alpha),\frac{2\gamma_2{\rm e}^{-\tau}}{\xi}\bigg\}E(t). \end{matrix}$

(3.9)

对固定的 $C>0$ , 通过选择足够小的 $\gamma_1,\gamma_2$ , 使得

$-C+\gamma_1(1+2\mu_1^2)+\frac{\gamma_2}{\tau}\leq0, -C+2\gamma_1\mu_2^2-\frac{\gamma_2}{\tau}{\rm e}^{-\tau}\leq0.$

显然满足条件的 $\gamma_1,\gamma_2$ 是存在的, 从而

$\begin{equation} \varepsilon'(t)\leq-cE(t), \end{equation}$

(3.10)

其中 $c>0$ , 结合(3.7)式的第二个不等式, 即可证得(3.8) 式. 证毕.

由定理3.1和能量的等价性(3.7) 式, 即可证得定理1.1.

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This paper is devoted to a study of the null controllability problems for one-dimensional linear degenerate wave equations through a boundary controller. First, the well-posedness of linear degenerate wave equations is discussed. Then the null controllability of some degenerate wave equations is established, when a control acts on the non-degenerate boundary. Different from the known controllability results in the case that a control acts on the degenerate boundary, any initial value in state space is controllable in this case. Also, an explicit expression for the controllability time is given. Furthermore, a counterexample on the controllability is given for some other degenerate wave equations.

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Not all feedback stabilized hyperbolic systems are robust with respect to small time delay in their feedbacks

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DOI:10.1016/j.sysconle.2010.07.007 URL [本文引用: 1]

A degenerate parabolic equation arising in image processing

2004

... 近年来, 退化偏微分方程的能控性和反馈镇定受到了人们越来越多的关注, 并且出现在了很多科学领域, 比如影像学^[1]、气候学^[2]、人类遗传学^[3]等. 各科学领域的发展对退化偏微分方程的数学问题提出了越来越大的挑战. 这些问题的一个共同特征是涉及到一个变系数的椭圆算子, 在所考虑的空间区域上失去了一致椭圆性, 但在空间区域的紧子集上是保持一致椭圆性的. 这样就出现退化发生在区域的边界或内部小子集上的情形. 对退化波动方程而言, 一致椭圆性的缺失不仅影响解的适定性所属的泛函空间, 更对退化椭圆算子的各种估计提出了新的挑战, 因而对退化发生在边界和内部时退化波动方程的能控性和反馈镇定就成为了人们研究的热点问题^{[4⇓⇓⇓⇓-9]}. ...

Climate stability for a Sellers type mode

1976

Fleming-Viot processes in population genetics

1993

Control and stabilization of degenerate wave equation

2017

... 其中

$\alpha>0$ 是退化程度的度量,

$y(t)$ 是一个输入控制,

$w(t)$ 是观测器. 如果输入控制

$y(t)$ 没有时滞, 运用最简单的反馈控制

$y(t)=-w(t)$ , 即可使得闭环系统耗散且指数稳定 (见文献[4]). 那么, 当输入控制有了时滞, 上述闭环系统是否稳定? 本文将研究下面具有时滞边界反馈的退化波方程解的镇定问题 ...

Null controllability of some degenerate wave equations

2017

Persistent regional null controllability of some degenerate wave equations

2017

Interior controllability of semi-linear degenerate wave equations

2018

Exact controllability for some degenerate wave equations

2020

Exact controllability for a one-dimensional degenerate wave equation in domains with moving boundary

2021

1968

... 众所周知, 时滞效应在日常生活的实际问题中也经常出现, 这些延迟效果的影响可将本来稳定的系统变得不稳定^{[10⇓⇓-13]}. 从而要使具有时滞的系统稳定, 克服由时滞带来的负面影响, 控制的设计较无时滞时要困难很多. 具有时滞边界和内部反馈的非退化波动方程解的稳定性问题, 目前已经有不少相关的结论^{[14⇓⇓⇓⇓-19]}. 特别地, 文献[14]指出, 当边界输入控制同时包括有时滞和无时滞两部分时, 非退化波动方程解的稳定性取决于这两部分的权重, 当无时滞部分的权重大于有时滞部分的权重时, 系统才能稳定. ...

An example on the effect of time delays in boundary feedback stabilization of wave equations

1986

Not all feedback stabilized hyperbolic systems are robust with respect to small time delay in their feedbacks

1988

Stability and bifurcation of a pathogen-immune model with delay and diffusion effects

2021

Stabilization of wave systems with input delay in the boundary control

2006

... . 特别地, 文献[14]指出, 当边界输入控制同时包括有时滞和无时滞两部分时, 非退化波动方程解的稳定性取决于这两部分的权重, 当无时滞部分的权重大于有时滞部分的权重时, 系统才能稳定. ...

Stability and instability results of the wave equation with a delay term in the boundary or internal feedbacks

2006

Stabilization of the wave equation with boundary or internal distributed delay

2008

Feedback stabilization of a class of evolution equations with delay

2009

Stabilization of second order evolution equations with unbounded feedback with delay

2010

Feedback boundary stabilization of wave equations with interior delay

2010

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