温度相关双扩散模型在半无穷柱体上的结构稳定性
Structural Stability of Temperature Dependent Double Diffusion Model on a Semi-infinite Cylinder
通讯作者:
收稿日期: 2022-11-30 修回日期: 2023-06-20
基金资助: |
|
Received: 2022-11-30 Revised: 2023-06-20
Fund supported: |
|
该文研究了定义在一个半无穷柱体上的温度相关双扩散模型的简化形式. 利用先验估计和加权能量分析法, 证明了当边界条件满足一定的约束条件时模型的解随空间变量指数式衰减. 利用解的先验界和衰减性结果, 得到了解对相互作用系数的结构稳定性.
关键词:
A simplified temperature dependent double diffusion model defined on a semi-infinite cylinder is studied. By using a prior estimates and weighted energy analysis, it is proved that the solution of the model decays exponentially with the space variable when the boundary conditions satisfy certain constraints. The structural stability of the solution to the interaction coefficient is obtained by using the prior bounds and decay result of the solution.
Keywords:
本文引用格式
李远飞, 李丹丹, 石金诚.
Li Yuanfei, Li Dandan, Shi Jincheng.
1 引言
其中ui,vi表示流体速度,T表示流体的温度,p,q表示压强,a是相互作用系数,gi是重力函数, 不失一般性, 假设gigi≤1,α是流体的热膨胀系数,μ,ν是饱和流体的动态粘度. 假设模型 (1.1)-(1.3) 定义在有界区域Ω⊂R3上, 并假设 (1.1)-(1.3) 式的解在区域上的边界上满足
或者
其中n=(n1,n2,n3)是∂Ω上的单位外法向量,h(x,t),F(x,t)是大于零的给定函数,κ>0是牛顿冷却定系数. 利用最大值原理,Franchi 等[5]建立了溶液对与宏观孔隙度和微观孔隙度相关的速度之间的相互作用系数的连续依赖性, 分析了粘度系数的连续依赖性, 并且建立了解对牛顿冷却定系数的连续依赖关系.
本文的工作是把有界区域Ω上的连续依赖性研究推广到半无穷区域B上, 其中
D⊂R2是有界充分光滑的区域. 在过去的研究中, 定义在有界区域上的各种类型的偏微分方程的结构稳定性得到了充分关注, 出现了大量成果[5⇓⇓⇓-9]. 半无穷柱体上的结构稳定性研究也开始受到关注. Li 和 Lin 研究半无穷柱体上 Brinkman-Forchheimer 方程的结构稳定性. 与文献[6]相比, 方程 (1.1) 和 (1.2) 中没有拉普拉斯项, 因此我们无法用∇u的L2范数来控制u的L2范数. 与文献[5]相比, 本文不仅需要考虑时间因素而且需要考虑空间变量因素, 因此文献[5,6]中的方法并不能直接应用到本文中来. 本文利用最大值原理和加权能量估计的方法, 研究方程 (1.1)-(1.3) 的解对互作用系数的连续依赖性.
令Dz表示B在x3=z处的截面, 即
令Bz表示B的子集, 即
本文采取用逗号表示求导, 重复希腊字母表示从 1 至 2 求和, 重复英文字母表示从 1 至 3 求和. 例如:u,αu,α=2∑α=1(∂u∂xα)2, ui,i=3∑i=1∂ui∂xi.在柱体的有限端和侧面上, 方程 (1.1)-(1.3) 的解满足以下初边值条件
其中∂D表示D的边界,fi(x1,x2,t),hi(x1,x2,t)和H(x1,x2,t)为已知函数.
2 先验估计
首先给出以下引理.
其中\lambda是\vartheta_{,\alpha\alpha}+\lambda\vartheta=0, \ \text{在}\ D,\ \vartheta=0,\ \text{在}\ \partial D的第一特征值.
接下来, 我们推导方程 (1.1)-(1.7) 解的先验估计.
引理 2.5 记\sigma(x, t)=H(x_1, x_2, t){\rm e}^{-\gamma_1 x_3}, \gamma_1>0. 设H\in L^\infty(\mathcal{B}), f_i, h_i\in H^1(\mathcal{B}),则
其中
证 显然\sigma(x, t)和T具有相同的初边值条件. 利用散度定理和方程 (1.3), 可得
利用 Hölder 不等式, 引理 2.1, 引理 2.2 和 Young 不等式, 可得
其中\varepsilon_1是大于 0 的任意常数. 把 (2.2)-(2.5) 式代入到 (2.1) 式, 可得
其中
在方程 (1.3) 的两边乘以T并在R\times[t]上积分, 可得
利用散度定理和边界条件 (1.4)-(1.7), 可得
联合 (2.6) 和 (2.7) 式, 可以得到引理 2.5. 证毕.
引理 2.6 如果\int_Df_3{\rm d}A=0,\int_Dh_3{\rm d}A=0,H\in L^\infty(\mathcal{B}), f_i, h_i\in H^1(R\mathcal{B}),则
其中m_3(t)和m_4(t)是大于 0 的已知函数.
证 利用方程(1.1)和(1.2), 可得
注意到
由于\int_Df_3{\rm d}A=0, 所以\int_{D_z}u_{3}{\rm d}A=0. 利用引理 2.3, 可知存在向量函数\psi=(\psi_1, \psi_2)满足
利用引理 2.2 和引理 2.3, 可得
所以
类似地, 有
利用 Hölder 不等式和 Young 不等式, 可得
把(2.9)-(2.12)式代入到(2.8)式, 可得
在 (2.13) 式中取z=0并利用 (1.4) 式, 可得
其中
对 (2.14) 式从 0 到t积分并利用引理 2.2, 可得
结合引理 2.5 和 2.15 式并取\varepsilon_1=\frac{\mu\nu\lambda}{2(\mu+\nu)}, 可得
联合(2.14)和(2.16)式, 可得
在(2.16)和(2.18)式中分别取
可以完成定理 2.6 的证明. 证毕.
3 空间衰减结果
利用上一节获得的先验估计, 我们可得以下空间衰减性结果.
定理 3.1 设\int_Df_3{\rm d}A=0,\int_Dh_3{\rm d}A=0,H\in L^\infty(\mathcal{B}), f_i, h_i\in H^1(\mathcal{B}),则方程 (1.1)-(1.7) 的解随z\rightarrow\infty呈指数式衰减. 具体地,
其中b_1是大于0的常数,b_2(t)是大于0的已知函数以及\xi>z.
证 用(\xi-z)T乘以方程 (1.3), 并在R_z\times[t]上积分可得
注意到
则(2.13)式可以写为
建立"能量"函数
对(3.3)式微分, 可得
若在(3.4)式中取z=0, 利用条件 (1.4) 和引理 2.6, 可得
结合(3.1)式和(2.13)式, 并注意到(3.4)式可得
其中
对(3.6)式从 0 到z积分, 可得
在(3.6)式中取z=0, 并结合(3.5)式, 可得
其中
联合(3.7)式,(3.8)式和(3.3)式可得定理 3.1. 证毕.
4 连续依赖性结果
假设(u_i^*, v_i^*, T^*, p^*, q^*)是方程 (1.1)-(1.7) 对应于a=a^*的一组解. 令
则(w_i, r_i, \Sigma, \pi, s)满足
我们可得以下定理.
定理 4.1 设\int_Df_3{\rm d}A=0,\int_Dh_3{\rm d}A=0,H\in L^\infty(\mathcal{B}), f_i, h_i\in H^1(\mathcal{B}),则方程 (1.1)-(1.7) 的解连续依赖于系数a, 即(w_i, r_i, \Sigma)\rightarrow0,\ \text{当}\ a\rightarrow a^*.具体地, 或者不等式
成立, 或者不等式
成立, 其中b_4(t), b_7, b_8, b_9(t)>0, \omega>8b_7[\frac{1}{\mu}+\frac{1}{\nu}].
证 首先, 我们建立以下辅助函数
利用方程(4.1), (4.2), (4.4), (4.5)和(4.7), 由(4.8)式可得
利用 Schwarz 不等式, 定理 3.1 和算术几何平均不等式, 可得
由于\int_{D_z}w_3{\rm d}A=\int_{D}w_3{\rm d}A=0, 所以利用引理 2.3 可知存在向量函数\widetilde{\phi}=(\widetilde{\phi}_1, \widetilde{\phi}_2)使得
所以
与(2.9)式类似, 可得
以及
利用Hölder不等式, 可得
把(4.10)-(4.13)式代入到(4.9)式, 可得
其中b_3=2\max\Big\{\frac{\sqrt{k_1}}{2\sqrt{\lambda}}+\frac{\sqrt{k_1}}{\mu\sqrt{\lambda}}+\frac{\sqrt{k_1}}{2\mu\sqrt{\lambda}}a^*, \frac{\sqrt{k_1}}{2\sqrt{\lambda}}+\frac{\sqrt{k_1}}{\nu\sqrt{\lambda}}+\frac{\sqrt{k_1}}{2\nu\sqrt{\lambda}}a^*\Big\}, b_4(t)=\frac{1}{a}\big(\frac{\sqrt{k_1}}{\sqrt{\lambda}}+\frac{1}{b_1}\big)b_2(t).
其次, 设
利用散度定理和方程(4.3), 由(4.15)式可得
利用 Hölder 不等式, 引理 2.6, 引理2.4和引理2.1, 可得
把(4.17)-(4.20) 式代入到 (4.16) 式, 可得
其中b_5(t)=\alpha\sqrt{k_2m_4(t)}\max\{\frac{1}{\sqrt{\mu}}, \frac{1}{\sqrt{\nu}}\}+\frac{1}{\sqrt{\lambda}}, b_6=\frac{1}{\omega}\alpha^2 T_m^2\max\{\frac{1}{\mu}, \frac{1}{\nu}\},b_7=\frac{1}{2}\alpha^2 T_m^2\max\{\frac{1}{\mu}, \frac{1}{\nu}\}.
第三, 设
则结合(4.8)式和(4.15)式, 可得
所以
因为\omega>8b_7[\frac{1}{\mu}+\frac{1}{\nu}], 结合(4.14)式和(4.21)式, 可得
即
其中\frac{1}{2b_8}=\max\Big\{\frac{8\sqrt{k_1}b_7}{\omega\sqrt{\lambda}}, b_5(t), 2b_3b_7+b_6, \frac{4\sqrt{k_1}}{\sqrt{\lambda}}a^*b_7\Big\}.对 (4.25) 式从 0 到z积分, 可得
要使得 (4.27) 和 (4.26) 式有意义, 我们必须推导F(0, t)的上界. 在 (4.25) 式中取z=0可得
所以接下来我们只需推导-\frac{\partial}{\partial z}F(0, t)的上界. 为此, 对(4.9)式和(4.16)式微分, 并利用边界条件(4.4)可得
利用 Hölder 不等式, (2.17)式和引理2.1, 可得
其中b_9(t)=\frac{b_7}{aa^*}\int_0^tn_1(\eta){\rm d}\eta+\big(\frac{1}{\mu\lambda}+\frac{1}{\nu\lambda}\big)\big[m_2(t)+2\varepsilon_1\int_0^tn_1(\eta){\rm d}\eta\big].
由于\omega>8b_7\big(\frac{1}{\mu}+\frac{1}{\nu}\big), 结合(4.24) 和 (4.29)式, 可得-\frac{\partial}{\partial z}F(0, t)\leq2b_9(t)\widetilde{a}^2. 由(4.28)式可得
把(4.30)式代入到 (4.26) 式和 (4.27) 式, 并结合(4.23)式可以完成定理4.1的证明. 证毕.
注 4.1 定理 4.1 表明在L^2(\mathcal{B}\times(0, t))测度下, 方程 (1.1)-(1.7) 的解连续依赖于相互交换系数.
参考文献
A note on modelling of local thermal non-equilibrium in a structured porous medium
DOI:10.1016/S0017-9310(02)00138-2 URL [本文引用: 1]
Effects of local thermal non-equilibrium in steady convection processes in saturated porous media: forced convection in a channel
The onset of convection in a bidisperse porous medium
DOI:10.1016/j.ijheatmasstransfer.2006.02.008 URL [本文引用: 1]
Continuous dependence on modelling for temperature-dependent bidispersiveflow
DOI:10.1098/rspa.2017.0485 URL [本文引用: 5]
\n We consider a model for flow in a porous medium which has a double porosity structure. There is the usual porosity herein called macro porosity, but in addition, we allow for a porosity due to cracks or fissures in the solid skeleton. The cracks give rise to a micro porosity. The model considered also allows for temperature effects with a single temperature\n T\n. This paper analyses three aspects of structural stability. The first establishes continuous dependence of the solution on the interaction coefficient between the velocities associated with the macro and micro porosity. The second analyses continuous dependence on the viscosity coefficients, while the third establishes continuous dependence on the radiation constant when Newton’s law of cooling is involved on the boundary.\n
Continuous dependence for the nonhomogeneous Brinkman-Forchheimer equations in a semi-infinite pipe
DOI:10.1016/j.amc.2014.06.082 URL [本文引用: 3]
具有非线性边界条件的瞬态热传导方程的二择一结果
Phragmén-Lindelöf Type Results for transient heat conduction equation with nonlinear boundary conditions
Continuous dependence on boundary reaction terms in a porous medium of Darcy type
DOI:10.1016/j.jmaa.2012.10.054 URL [本文引用: 1]
饱和蒸汽大气原始方程组的连续依赖性
Continuous dependence of primitive equations of the atmosphere with vapor saturation
Continuous dependence for a thermal convection model with temperature-dependent solubility
Convergence and continuous dependence results for the Brinkman equations
DOI:10.1016/j.amc.2009.12.047 URL [本文引用: 1]
Structural stability for a thermal convection model with temperature-dependent solubility
DOI:10.1016/j.nonrwa.2014.07.012 URL [本文引用: 1]
Spatial decay estimates for the Brinkman and Darcy flows in a semi-infinite cylinder
DOI:10.1007/s001610050064 URL [本文引用: 2]
Keller-Segel 趋化模型解的全局存在性和爆破时间的下界估计
Global existence of solutions and lower bound estimate of blow-up time for the Keller-Segel chemotaxis model
Spatial decay bounds for double diffusive convection in Brinkman flow
DOI:10.1016/j.jde.2007.10.003 URL [本文引用: 1]
Spatial decay estimates for the Navier-Stokes equations with application to the problem of entry flow
DOI:10.1137/0135008 URL [本文引用: 1]
/
〈 | 〉 |