利用 Nield^[1,2]以及Nield和Kuznetsov^[3]的一般理论,Falsaperla等^[4]导出了具有单一温度的双扩散多孔介质中的热对流方程.

在不丧失对所研究模型的连续依赖性问题的一般性的情况下,Franchi等^[5]把文献^[4]中的双扩散模型简化成了如下形式

其中$u_i, v_i$表示流体速度,$T$表示流体的温度,$p, q$表示压强,$a$是相互作用系数,$g_i$是重力函数, 不失一般性, 假设$g_ig_i\leq1$,$\alpha$是流体的热膨胀系数,$\mu, \nu$是饱和流体的动态粘度. 假设模型 (1.1)-(1.3) 定义在有界区域$\Omega\subset\mathbb{R}^3$上, 并假设 (1.1)-(1.3) 式的解在区域上的边界上满足

或者

其中$n=(n_1, n_2, n_3)$是$\partial\Omega$上的单位外法向量,$h(x, t), F(x, t)$是大于零的给定函数,$\kappa>0$是牛顿冷却定系数. 利用最大值原理,Franchi 等^[5]建立了溶液对与宏观孔隙度和微观孔隙度相关的速度之间的相互作用系数的连续依赖性, 分析了粘度系数的连续依赖性, 并且建立了解对牛顿冷却定系数的连续依赖关系.

本文的工作是把有界区域$\Omega$上的连续依赖性研究推广到半无穷区域$\mathcal{B}$上, 其中

$D\subset\mathbb{R}^2$是有界充分光滑的区域. 在过去的研究中, 定义在有界区域上的各种类型的偏微分方程的结构稳定性得到了充分关注, 出现了大量成果^{[5⇓⇓⇓-9]}. 半无穷柱体上的结构稳定性研究也开始受到关注. Li 和 Lin 研究半无穷柱体上 Brinkman-Forchheimer 方程的结构稳定性. 与文献[6]相比, 方程 (1.1) 和 (1.2) 中没有拉普拉斯项, 因此我们无法用$\nabla u$的$L^2$范数来控制$u$的$L^2$范数. 与文献[5]相比, 本文不仅需要考虑时间因素而且需要考虑空间变量因素, 因此文献[5,6]中的方法并不能直接应用到本文中来. 本文利用最大值原理和加权能量估计的方法, 研究方程 (1.1)-(1.3) 的解对互作用系数的连续依赖性.

令$D_z$表示$\mathcal{B}$在$x_3=z$处的截面, 即

令$\mathcal{B}_z$表示$\mathcal{B}$的子集, 即

本文采取用逗号表示求导, 重复希腊字母表示从 1 至 2 求和, 重复英文字母表示从 1 至 3 求和. 例如:$u_{,\alpha}u_{,\alpha}=\sum\limits_{\alpha=1}^2\Big(\frac{\partial u}{\partial x_\alpha}\Big)^2,\ u_{i,i}=\sum\limits_{i=1}^3\frac{\partial u_i}{\partial x_i}$.在柱体的有限端和侧面上, 方程 (1.1)-(1.3) 的解满足以下初边值条件

其中$\partial D$表示$D$的边界,$f_i(x_1, x_2, t), h_i(x_1, x_2, t)$和$H(x_1, x_2, t)$为已知函数.

首先给出以下引理.

引理 2.1^[10⇓-12] 设$H\in L^\infty$, 则

引理 2.2^[13,14] 如果$\phi\big|_{\partial D}=0,$则

其中$\lambda$是$\vartheta_{,\alpha\alpha}+\lambda\vartheta=0, \ \text{在}\ D,\ \vartheta=0,\ \text{在}\ \partial D$的第一特征值.

引理 2.3^[13,14] 如果$\phi$是$D$上的 Dirichlet 可积函数,$\int_D\phi {\rm d}x=0$, 则存在向量函数$\psi=(\psi_1, \psi_2)$满足$\psi_{\alpha, \alpha}=\phi,\ \text{在}\ D, \ \psi_\alpha=0, \ \text{在}\ \partial D,$以及大于 0 的常数$k_1$满足

引理 2.4^[15,16] 如果$\phi$是一个 Dirichlet 可积函数且$\phi\big|_{\partial D}=0, \phi\rightarrow\infty$(当$x_3\rightarrow\infty$时),

接下来, 我们推导方程 (1.1)-(1.7) 解的先验估计.

引理 2.5 记$\sigma(x, t)=H(x_1, x_2, t){\rm e}^{-\gamma_1 x_3}, \gamma_1>0$. 设$H\in L^\infty(\mathcal{B}), f_i, h_i\in H^1(\mathcal{B}),$则

其中

证 显然$\sigma(x, t)$和$T$具有相同的初边值条件. 利用散度定理和方程 (1.3), 可得

利用 Hölder 不等式, 引理 2.1, 引理 2.2 和 Young 不等式, 可得

其中$\varepsilon_1$是大于 0 的任意常数. 把 (2.2)-(2.5) 式代入到 (2.1) 式, 可得

其中

在方程 (1.3) 的两边乘以$T$并在$R\times[t]$上积分, 可得

利用散度定理和边界条件 (1.4)-(1.7), 可得

联合 (2.6) 和 (2.7) 式, 可以得到引理 2.5. 证毕.

引理 2.6 如果$\int_Df_3{\rm d}A=0$,$\int_Dh_3{\rm d}A=0$,$H\in L^\infty(\mathcal{B}), f_i, h_i\in H^1(R\mathcal{B}),$则

其中$m_3(t)$和$m_4(t)$是大于 0 的已知函数.

证 利用方程(1.1)和(1.2), 可得

注意到

由于$\int_Df_3{\rm d}A=0$, 所以$\int_{D_z}u_{3}{\rm d}A=0$. 利用引理 2.3, 可知存在向量函数$\psi=(\psi_1, \psi_2)$满足

利用引理 2.2 和引理 2.3, 可得

所以

类似地, 有

利用 Hölder 不等式和 Young 不等式, 可得

把(2.9)-(2.12)式代入到(2.8)式, 可得

在 (2.13) 式中取$z=0$并利用 (1.4) 式, 可得

其中

对 (2.14) 式从 0 到$t$积分并利用引理 2.2, 可得

结合引理 2.5 和 2.15 式并取$\varepsilon_1=\frac{\mu\nu\lambda}{2(\mu+\nu)}$, 可得

联合(2.14)和(2.16)式, 可得

在(2.16)和(2.18)式中分别取

可以完成定理 2.6 的证明. 证毕.

利用上一节获得的先验估计, 我们可得以下空间衰减性结果.

定理 3.1 设$\int_Df_3{\rm d}A=0$,$\int_Dh_3{\rm d}A=0$,$H\in L^\infty(\mathcal{B}), f_i, h_i\in H^1(\mathcal{B}),$则方程 (1.1)-(1.7) 的解随$z\rightarrow\infty$呈指数式衰减. 具体地,

其中$b_1$是大于0的常数,$b_2(t)$是大于0的已知函数以及$\xi>z$.

证 用$(\xi-z)T$乘以方程 (1.3), 并在$R_z\times[t]$上积分可得

注意到

则(2.13)式可以写为

建立"能量"函数

对(3.3)式微分, 可得

若在(3.4)式中取$z=0$, 利用条件 (1.4) 和引理 2.6, 可得

结合(3.1)式和(2.13)式, 并注意到(3.4)式可得

其中

对(3.6)式从 0 到$z$积分, 可得

在(3.6)式中取$z=0$, 并结合(3.5)式, 可得

其中

联合(3.7)式,(3.8)式和(3.3)式可得定理 3.1. 证毕.

假设$(u_i^*, v_i^*, T^*, p^*, q^*)$是方程 (1.1)-(1.7) 对应于$a=a^*$的一组解. 令

则$(w_i, r_i, \Sigma, \pi, s)$满足

我们可得以下定理.

定理 4.1 设$\int_Df_3{\rm d}A=0$,$\int_Dh_3{\rm d}A=0$,$H\in L^\infty(\mathcal{B}), f_i, h_i\in H^1(\mathcal{B}),$则方程 (1.1)-(1.7) 的解连续依赖于系数$a$, 即$(w_i, r_i, \Sigma)\rightarrow0,\ \text{当}\ a\rightarrow a^*.$具体地, 或者不等式

成立, 或者不等式

成立, 其中$b_4(t), b_7, b_8, b_9(t)>0, \omega>8b_7[\frac{1}{\mu}+\frac{1}{\nu}]$.

证 首先, 我们建立以下辅助函数

利用方程(4.1), (4.2), (4.4), (4.5)和(4.7), 由(4.8)式可得

利用 Schwarz 不等式, 定理 3.1 和算术几何平均不等式, 可得

由于$\int_{D_z}w_3{\rm d}A=\int_{D}w_3{\rm d}A=0$, 所以利用引理 2.3 可知存在向量函数$\widetilde{\phi}=(\widetilde{\phi}_1, \widetilde{\phi}_2)$使得

所以

与(2.9)式类似, 可得

以及

利用Hölder不等式, 可得

把(4.10)-(4.13)式代入到(4.9)式, 可得

其中$b_3=2\max\Big\{\frac{\sqrt{k_1}}{2\sqrt{\lambda}}+\frac{\sqrt{k_1}}{\mu\sqrt{\lambda}}+\frac{\sqrt{k_1}}{2\mu\sqrt{\lambda}}a^*, \frac{\sqrt{k_1}}{2\sqrt{\lambda}}+\frac{\sqrt{k_1}}{\nu\sqrt{\lambda}}+\frac{\sqrt{k_1}}{2\nu\sqrt{\lambda}}a^*\Big\}, b_4(t)=\frac{1}{a}\big(\frac{\sqrt{k_1}}{\sqrt{\lambda}}+\frac{1}{b_1}\big)b_2(t). $

其次, 设

利用散度定理和方程(4.3), 由(4.15)式可得

利用 Hölder 不等式, 引理 2.6, 引理2.4和引理2.1, 可得

把(4.17)-(4.20) 式代入到 (4.16) 式, 可得

其中$b_5(t)=\alpha\sqrt{k_2m_4(t)}\max\{\frac{1}{\sqrt{\mu}}, \frac{1}{\sqrt{\nu}}\}+\frac{1}{\sqrt{\lambda}}, b_6=\frac{1}{\omega}\alpha^2 T_m^2\max\{\frac{1}{\mu}, \frac{1}{\nu}\},b_7=\frac{1}{2}\alpha^2 T_m^2\max\{\frac{1}{\mu}, \frac{1}{\nu}\}$.

第三, 设

则结合(4.8)式和(4.15)式, 可得

所以

因为$\omega>8b_7[\frac{1}{\mu}+\frac{1}{\nu}]$, 结合(4.14)式和(4.21)式, 可得

即

其中$\frac{1}{2b_8}=\max\Big\{\frac{8\sqrt{k_1}b_7}{\omega\sqrt{\lambda}}, b_5(t), 2b_3b_7+b_6, \frac{4\sqrt{k_1}}{\sqrt{\lambda}}a^*b_7\Big\}$.对 (4.25) 式从 0 到$z$积分, 可得

要使得 (4.27) 和 (4.26) 式有意义, 我们必须推导$F(0, t)$的上界. 在 (4.25) 式中取$z=0$可得

所以接下来我们只需推导$-\frac{\partial}{\partial z}F(0, t)$的上界. 为此, 对(4.9)式和(4.16)式微分, 并利用边界条件(4.4)可得

利用 Hölder 不等式, (2.17)式和引理2.1, 可得

其中$b_9(t)=\frac{b_7}{aa^*}\int_0^tn_1(\eta){\rm d}\eta+\big(\frac{1}{\mu\lambda}+\frac{1}{\nu\lambda}\big)\big[m_2(t)+2\varepsilon_1\int_0^tn_1(\eta){\rm d}\eta\big]$.

由于$\omega>8b_7\big(\frac{1}{\mu}+\frac{1}{\nu}\big)$, 结合(4.24) 和 (4.29)式, 可得$-\frac{\partial}{\partial z}F(0, t)\leq2b_9(t)\widetilde{a}^2$. 由(4.28)式可得

把(4.30)式代入到 (4.26) 式和 (4.27) 式, 并结合(4.23)式可以完成定理4.1的证明. 证毕.

注 4.1 定理 4.1 表明在$L^2(\mathcal{B}\times(0, t))$测度下, 方程 (1.1)-(1.7) 的解连续依赖于相互交换系数.