一个$f$-向前不变集$K\subseteq \mathbb{R}$(即,$f(A)\subseteq A$) 称为$C^\alpha(\alpha\geq 1)$映射$f$的双曲排斥集, 如果存在常数$C>0$和$\lambda>1$使得$|Df^n(x)|>C\lambda^n$对任意的$x\in K$和$n\in \mathbb{N}$成立. 与排斥集对立的吸引集也是动力系统理论的重要概念之一, 包含一条稠密轨道的极小吸引集称为吸引子. 在文献[20]中, Milnor 系统介绍了吸引子的概念并提出了非正则吸引子存在性问题. 非正则吸引子是测度吸引子但不是拓扑吸引子, 目前, 许多学者对测度吸引子和拓扑吸引子进行了大量的研究, 参见文献[1,9,11⇓-13,18].

回顾测度吸引子和拓扑吸引子的概念, 一个$f$-向前不变集$A$称为测度吸引子(拓扑吸引子), 如果满足下列条件

1) 集合$A$的吸引盆$\mathbb{B}(A,f):=\{x: \omega_f(x)\subset A\}$(不引起混淆的情况下, 简记为$\mathbb{B}(A)$) 具有正的Lebesgue 测度 (是一个剩余集, 即可数开的稠密子集的交集);

2) 不存在严格包含于$A$的向前不变集$A_0$使得$\mathbb{B}(A_0)$具有正的 Lebesgue 测度 (是一个剩余集).

注意到, 如果$A$是一个拓扑吸引子, 则$\mathbb{B}(A)$包含一个开区间. 拓扑吸引子必然是测度吸引子, 但反过来却不一定成立. 寻找各种不同的非正则吸引子一直是一个重要的议题. Lyubich 和 Milnor^[19]证明了实二次 Fibonacci 多项式不存在非正则吸引子. Bruin 等^[4]证明了一类具有 Fibonacci 组合性质的单峰映射具有 Lebesgue 测度为 0 的非正则吸引子, 这一结论后来被 Bruin^[3]推广到了具有 Fibonacci-like 组合性质的单峰映射上. Bruin, Keller 和 Pierre^[5]构造了一个临界点$c$的$\omega$-极限集$\omega(c)$为非正则吸引子的单峰映射. Bruin^[3]证明了一类光滑的单峰映射不存在非正则吸引子. Li 和 Wang^[16]引入了一类一般的 Fibonacci 单峰映射并讨论了非正则吸引子的存在性问题. Bruin 和 Todd^[6] 展示了一个非正则吸引子的例子.

Cantor 吸引子是许多学者感兴趣的重要议题. 在文献[21]中, 一个具有正 Lebesgue 测度的不变 Cantor 集$\Lambda$的映射$f$被构造, 其中$f$除一个可数集$B$外是处处可微的且对任意的$x\in\Lambda\backslash B$有$|f'(x)|=2$. Blokh 和 Lyubich^[1] 证明了临界点为$c$的$S$-单峰映射的测度吸引子必然是 Cantor 集$\omega(c)$且拓扑熵$h_{top}(f|_{\omega(c)})=0$, 这一结论后来被 Kozlovski^[13]推广到了一类除临界点外是$C^3$的单峰映射上. Bruin^[3] 研究了$S$-单峰映射的吸引 Cantor 集存在的拓扑条件. Li 和 Shen^[14]研究了一类光滑区间映射的 Cantor 吸引子的 Hausdorff 维数问题. 在文献[15]中, Li 和 Shen 构造了一个具有非正则吸引子的不可重整化映射.

在文献[10]中, 我们通过 Denjoy-like 手术构造了一簇$C^1$单峰映射$\tilde{g}_\beta$, 使得$\tilde{g}_\beta$具有一个厚的双曲排斥不变 Cantor 集$\tilde{A}_\beta$, 且$\tilde{A}_\beta$包含一个非正则吸引子$\tilde{A}_\beta^\ast$.$\tilde{g}_\beta$的$C^1$光滑性是由临界点的原像集元素个数的精确估计以及插入区间长度的精确控制保证的. 然而, 以上构造的双曲排斥集$\tilde{A}_\beta$是不可达的, 这是因为插入区间上只有可数个点的轨道能够进入到$\tilde{A}_\beta$中.

一个有趣的问题是, 是否存在具有可达双曲排斥集的映射? 如果存在, 其光滑性与稳健性如何? 在本文中, 我们将构造一簇结构稳定的$C^1$映射$\{f_\alpha\}$, 使得每个$f_\alpha$具有一个可达的双曲排斥不变 Cantor 集$A_\alpha$, 且$A_\alpha$具有正 Lebesgue 测度与正拓扑熵. 我们称一个集合$A$是可达的, 如果$A$的吸引盆$\mathbb{B}(A)$与$A$的差集$\mathbb{B}(A)\backslash A$具有正 Lebesgue 测度. 称一簇映射$\{f_\alpha\}$是稳健的或结构稳定的, 如果对不同的$\alpha$和$\alpha'$, 映射$f_{\alpha}$与$f_{\alpha'}$拓扑共轭, 即, 存在一个同胚映射$h$使得$f_{\alpha}\circ h=h\circ f_{\alpha'}$成立. 映射$f_\alpha$的构造类似于 Denjoy 反例的构造^[8]以及具有正Lebesgue 测度的马蹄的构造^[2]. 更详细地说, 我们考虑分段线性映射

其中,$f$在不连续点$c=\frac{1}{2}$处的值是模糊的. 对映射 (1.1) 实施 Denjoy-like 手术, 将不连续点$c$的原像集$\cup_{n\geq 0}f^{-n}(c)$上的点替换成开区间, 控制好这些开区间的长度并在区间上定义映射. 未被开区间替换的点构成的集合$A_\alpha$既是一个可达的双曲排斥不变 Cantor 集, 又是一个非正则吸引子.

本文的主要结论见以下定理.

定理 1.1 存在一簇结构稳定的$C^1$映射$f_\alpha, 1<\alpha<3$, 使得$f_\alpha$具有可达的双曲排斥集$A_\alpha$, 且$A_\alpha$同时也是一个具有正 Lebesgue 测度的非正则 Cantor 吸引子.

注 1.1 1)$f_\alpha$一共具有三个吸引子: 不动点$x_0$, Cantor 集$A_\alpha$, 不动点$x_1$. 其中,$x_0$和$x_1$都是$f_\alpha$的拓扑吸引子;

2)$f_\alpha$限制在非正则吸引子$A_\alpha$上具有正的拓扑熵$h_{top}(f_\alpha|_{\mathcal{A}_\alpha)}=\log 2$, 这是因为对任意的$x\in \mathcal{A}_\alpha$有$f_\alpha'(x)=2$;

3)$f_\alpha$的光滑性做到了最好, 即映射$f_\alpha$不可能是$C^{1+r}$的, 这是因为具有正的 Lebesgue 测度的双曲排斥 Cantor 集的映射不可能是$C^{1+r}$的, 参见文献[7, 定理 2.6, p222];

4) 条件$1<\alpha<3$不是本质的, 这只是为了便于我们定义插入的区间上的映射.

本文剩下内容结构布局如下: 在第 2 节中, 我们对映射 (1.1) 实施 Denjoy-like 手术, 给出本文的映射$f_\alpha$的构造方法. 在第 3 节中, 我们列出本文的主要结论并给出定理 1.1 的证明.

在本节中, 我们首先给出一些记号, 然后通过对映射 (1.1) 实施 Denjoy-like 手术, 构造出本文所需的映射$f_\alpha$. 手术的关键在于控制插入区间的长度和定义这些区间上的映射.

给定一个满足下列条件的正数序列$\{\lambda_n\}_{n=1}^{+\infty}$

事实上, 满足条件 (2.1) 的序列大量存在, 比如, 可取$\lambda_n=\frac{1}{n(n+1)}$.

令

其中$1<\alpha<3$, 则

这一性质对$f_\alpha$光滑性的证明至关重要.

定义

其中,$c$是分段线性映射 (1.1) 的不连续点. 将点$x\in C_n$标记为序列$s(x)=s_n s_{n-1} \cdots s_0$, 其中$s_i$定义为

我们在不连续点$c$及其原像集上的点分别进行爆破插入一个开区间. 更详细地说, 我们将不连续点$c$用一个长度为 3 的开区间$J_c:=(p,q)$替换, 并且将被标记为$s(x)=s_n s_{n-1} \cdots s_0$的点$x\in C\backslash \{c\}$用一个长度为$b_{\alpha,n}$的开区间$J_{s_n s_{n-1} \cdots s_0}$替换, 即$|J_{s_n s_{n-1} \cdots s_0}|=b_{\alpha,n}$. 注意到$F_n=2^n$, 因此,

这意味着插入区间的总长度是有限的. 经过上述手术后, 我们将新得到的区间记为$I_c:=[a,b]$. 进一步地, 我们在$a$的左侧插入一个长度为 1 的区间$I_0:=[s,a)$, 在$b$的右侧插入一个长度为1的区间$I_1:=(b,t]$, 则$[s,t]=I_0\cup I_c \cup I_1$, 其中$I_0,\ I_c, \ I_1$依赖于参数$\alpha$的选择. 我们将区间$[s,t]$记为$\mathcal{I}_\alpha:=\mathcal{A}_\alpha\cup \mathcal{B}_\alpha$, 其中$\mathcal{B}_\alpha$是插入的区间的并集,$\mathcal{A}_\alpha$是$\mathcal{B}_\alpha$的补集.

对于给定序列$s_n s_{n-1} \cdots s_0$, 设$J_{s_n s_{n-1} \cdots s_0}=(u_n,v_n),\ J_{s_{n-1} s_{n-2} \cdots s_0}=(u_{n-1},v_{n-1})$, 根据文献[10,引理 1], 可以在区间$J_{s_n s_{n-1} \cdots s_0}$上定义一个端点导数等于 2 的$C^1$保向微分同胚映射$h_{s_n s_{n-1} \cdots s_0}: J_{s_n s_{n-1} \cdots s_0}\rightarrow J_{s_{n-1} s_{n-2} \cdots s_0}$为

同理, 在区间$(s,a)$上, 可以定义一个端点导数等于 2 的$C^1$保向微分同胚映射$r_1:(s,a)\rightarrow (s,a)$为

在区间$(b,t)$上, 可以定义一个端点导数等于 2 的$C^1$保向微分同胚映射$r_2:(b,t)\rightarrow (b,t)$为

引理 2.1 映射$r_1$有唯一的吸引不动点$x_0$, 映射$r_2$有唯一的吸引不动点$x_1$.

证 我们只证$r_1$的情形,$r_2$的情形完全类似. 根据定义, 有

令$r_1(x)=x, \ x\in (s,a)$, 则

注意到$s=a-1$, 从而

因此 (2.2) 式成立当且仅当$x=\frac{2a-1}{2}=\frac{s+a}{2}$, 从而$r_1$有唯一的不动点, 记为$x_0$. 由

可知

因此,$x_0$是$r_1$的唯一吸引不动点. 证毕.

在区间$J_c=(p,q)$上, 定义映射$g:J_c\rightarrow \mathcal{I}_\alpha$为

其中

则$g$是端点导数等于 2 的$C^1$满映射. 事实上, 映射$g_1:(p,p+1)\rightarrow (b,t)$是一个转折点为$p+\frac{1}{2}$的$C^1$满映射, 且满足

映射$g_3:(q-1,q)\rightarrow (s,a)$是一个转折点为$q-\frac{1}{2}$的$C^1$满映射$q-\frac{1}{2}$, 且满足

注意到

根据文献[10, 引理 1] 知,$g_2:(p+1,q-1)\rightarrow (a,b)$是一个严格单调递减的映射, 且满足

定义$\mathcal{B}_\alpha$上的映射$\varphi:\mathcal{B}_\alpha\rightarrow \mathcal{B}_\alpha$为

则$\varphi$是一个$C^1$满映射. 由于$\mathcal{B}_\alpha$在区间$\mathcal{I}_\alpha=\mathcal{A}_\alpha\cup \mathcal{B}_\alpha$上稠密, 所以映射$\varphi(x)$可以延拓到整个区间$\mathcal{I}_\alpha$上. 我们记区间$\mathcal{I}_\alpha$上的连续映射为$f_\alpha$. 映射$f_\alpha$的构造示意图如图1所示.

注 2.1 根据$f_\alpha$的构造, 如果$x$不属于任何一个插入的区间, 即$x\notin \mathcal{B}_\alpha$, 则$x$的轨道永远不会进入到$\mathcal{B}_\alpha$中, 这意味着$\mathcal{A}_\alpha$是向前不变的, 即$f_\alpha(\mathcal{A}_\alpha)\subseteq \mathcal{A}_\alpha$.

在本节中, 我们将分析上一节构造的映射$f_\alpha$的一些性质, 进而得到本文的主要结论.

命题 3.1 对于任意的$1<\alpha<3$, 映射$f_\alpha$是$C^1$的, 且对任意的$x\in \mathcal{A}_\alpha$, 有$f'(x)=2$.

证 由于证明与文献[10, 定理 A]{ding2022thick} 证明完全类似, 因此这里不再重述. 证毕.

注 3.1 根据$f_\alpha$的构造,$f_\alpha$显然不是$C^2$的. 假设$J_{s_{n} s_{n-1} \cdots s_0}=(u_n,v_n)$, 则

但是

这意味着$f_\alpha$不是$C^2$的. 事实上, 根据定义, 我们有

从而 (3.1)式成立. 注意到

因此,

命题 3.2 $\mathcal{A}_\alpha$是$f_\alpha$的一个具有正 Lebesgue 测度的、可达的双曲排斥 Cantor 集, 同时也是$f_\alpha$的一个非正则吸引子.

证 根据$f_\alpha$的构造, 被开区间替换的点集是单位区间上的可数稠密子集,$\mathcal{A}_\alpha$是区间$\mathcal{I}_\alpha$的闭子集, 且$\mathcal{A}_\alpha$中的任意点都可以被$\mathcal{B}_\alpha$中某些开区间的端点逼近, 所以$\mathcal{A}_\alpha$是一个 Lebesgue 测度为 1 的Cantor 集. 根据命题 3.1, 对任意的$x\in \mathcal{A}_\alpha$, 有$f'(x)=2>1$, 又$\mathcal{A}_\alpha$是一个向前不变集, 故$\mathcal{A}_\alpha$是双曲排斥的.

由于$\mathcal{A}_\alpha\subseteq\mathbb{B}(\mathcal{A}_\alpha)$, 所以$\mathcal{A}_\alpha$的吸引盆$\mathbb{B}(\mathcal{A}_\alpha)$有正的 Lebesgue 测度. 注意到$f$在单位区间上是拓扑传递的, 这意味着$f_\alpha|_{\mathcal{A}_\alpha}$是拓扑传递的, 因此, 不存在真包含于$\mathcal{A}_\alpha$的向前不变闭集$\mathcal{A}_{\alpha,0}$使得$\mathbb{B}(\mathcal{A}_{\alpha,0})$有正的 Lebesgue 测度, 从而$\mathcal{A}_\alpha$是测度吸引子. 由于不存在开区间被$\mathcal{A}_\alpha$吸引, 所以$\mathcal{A}_\alpha$不是拓扑吸引子. 事实上,$\mathcal{A}_\alpha$只能吸引能够到达$\mathcal{A}_\alpha$的点, 即,$\mathbb{B}(\mathcal{A}_\alpha)=\cup_{i=0}^{+\infty}f_\alpha^{-i}(\mathcal{A}_\alpha)$, 由$\mathcal{A}_\alpha$的无处稠密性及$f_\alpha$分段严格单调连续性知$\mathbb{B}(\mathcal{A}_\alpha)$不包含开区间.

注意到, 开区间在映射$J_c=(p,q)$在映射$f_\alpha$作用下被映为整个区间$\mathcal{I}_\alpha$. 当$x\in (p+1, q-1)\subset J_c$时, 有

故$g_2$是一个非奇异的同胚映射. 由于$\mathcal{A}_\alpha\subset g_2((p+1,q-1))$且$\mathcal{A}_\alpha$具有正 Lebesgue 测度, 所以$g_2^{-1}(\mathcal{A}_\alpha)$也具有正 Lebesgue 测度. 由于$g_2^{-1}(\mathcal{A}_\alpha)\subset \mathbb{B}(\mathcal{A}_\alpha)$且$\mathcal{A}_\alpha\subset \mathbb{B}(\mathcal{A}_\alpha)$, 而$g_2^{-1}(\mathcal{A}_\alpha)\subset J_c\subset \mathcal{B}_\alpha$与$\mathcal{A}_\alpha$是互不相交的, 因此$\mathbb{B}(\mathcal{A}_\alpha)\backslash \mathcal{A}_\alpha$具有正 Lebesgue 测度, 即$\mathcal{A}_\alpha$是可达的. 证毕.

在探讨映射$f_\alpha$的结构稳定性之前, 我们将先研究一类区间映射的拓扑共轭问题.

假设$J:=[a,b]$是一个闭区间,$A(J)$是满足下列性质的严格单调递增连续映射$f$的集合

1)$f$有三个不动点:$a,\ b$和$c$, 其中$c\in(a,b)$是$f$的吸引不动点;

2) 当$x\in(a,c)$时,$f(x)>x$; 当$x\in(c,b)$时,$f(x)<x$.

如果$f\in A(J)$, 则$f$的图像形式如图2所示. 利用文献^[17]中的拓扑共轭构造方法, 我们有如下结果.

引理 3.1 如果$h_1\in A(J_1)$和$h_2\in A(J_2)$, 其中$J_1$和$J_2$是两个闭区间, 则$h_1$和$h_2$是拓扑共轭的.

证 令$J_1:=[a_1,b_1]$和$J_2:=[a_2, b_2]$,$c_1\in (a,b),\ c_2\in (a,b)$分别是$h_1$和$h_2$的吸引不动点. 要证明$h_1$和$h_2$是拓扑共轭的, 只需证明$h_1|_{[a_1, c_1]}$拓扑共轭于$h_2|_{[a_2,c_2]}$及$h_1|_{[c_1, b_1]}$拓扑共轭于$h_2|_{[c_2,b_2]}$.

任意选择点$t_1\in (a_1, c_1)$和$s_1\in (c_1, b_1)$, 有

上式给出了$J_1$的一个分割

其中,$I_{0n}$和$I_{1n}$分别定义为

选择任意点$t_2\in (a_2, c_2),\ s_2\in (c_2, b_2)$, 选择任意的两个单调递增的同胚映射$\phi_0: (t_1, h_1(t_1)]\rightarrow (t_2, h_2(t_2)]$和$\phi_1: (s_1, h_1(s_1)]\rightarrow (s_2, h_2(s_2)].$定义映射$\phi: J_1\rightarrow J_2$为

则$\phi$是$h_1$和$h_2$的单调递增的拓扑共轭. 事实上, 对于$x\in I_{0n}$, 有

类似地, 对于$x\in I_{1n}$, 有

$\phi$在每个开区间$(h_1^{n}(t_1),\ h_1^{n+1}(t_1)]$和每个开区间$(h_1^{n}(s_1),\ h_1^{n+1}(s_1)]$上是严格单调递增且连续的, 这是因为$\phi_0,\ h_1^n$和$h_2^n$都是严格单调递增且连续的. 因此,$\phi$是区间$J_1$上的严格单调且连续的映射. 证毕.

命题 3.3 所有的$f_\alpha,\ 1<\alpha<3$是相互拓扑共轭的.

证 为了书写方便, 假设$(\mathcal{I}_1,f_1)$和$(\mathcal{I}_2,f_2)$是通过选择不同的$\alpha$构造的两个动力系统,$\mathcal{A}^i$为系统$(\mathcal{I}_i,f_i)$上的 Cantor 集,$I_0^i$为点0的左侧插入的区间,$I_1^i$为点 1 的右侧插入的区间, 其中$i=1,\ 2$.

要证明$f_1$拓扑共轭于$f_2$, 只需证存在一个单调递增的同胚映射$\Phi:\mathcal{I}_1\rightarrow \mathcal{I}_2$使得对$x\in \mathcal{I}_1$, 有$f_2\circ\Phi(x)=\Phi\circ f_1(x)$.

由于$f_1|_{I_0^1}\in A(I_0^1)$和$f_2|_{I_0^2}\in A(I_0^2)$, 根据引理 3.1,$f_1|_{I_0^1}$拓扑共轭于$f_2|_{I_0^2}$, 即存在一个单调递增的同胚映射$\varphi_0:I_0^1\rightarrow I_0^2$使得对任意的$x\in I_0^1$, 有

其中$\varphi_0$类似于引理 3.1 的证明中$\phi$的构造. 类似的, 存在一个单调递增的同胚映射$\psi_0:I_1^1\rightarrow I_1^2$使得对任意的$x\in I_1^2$, 有

其中$\psi_0$类似于引理 3.1 的证明中$\phi$的构造.

记

则$A_n^i$是区间$\mathcal{I}_i$上的一些互不相交的开区间构成的集合. 显然,$A_n^1$的元素个数等于$A_n^2$的元素个数, 即,$\sharp(A_n^1)=\sharp(A_n^2)$. 事实上, 我们可以发现

假设

其中$A_{n,1}^1,\ A_{n,2}^1,\ \cdots,\ A_{n,3^{n-1}}^1$和$A_{n,1}^2,\ A_{n,2}^2,\ \cdots,\ A_{n,3^{n-1}}^2$在$\mathcal{I}_1$和$\mathcal{I}_2$中有相同的排列顺序, 则我们有

定义一个映射$\varphi_{1,1}:A_{1,1}^1\rightarrow A_{1,1}^2$使得对任意的$x\in A_{1,1}^1$, 有$f_2\circ\varphi_{1,1}(x)=\varphi_{1,1}\circ f_1(x)$, 则$\varphi_{1,1}$是一个单调递增的同胚映射, 这是因为$\varphi_0$是单调递增的同胚映射且$f_1|_{A_{1,1}^1}$与$f_2|_{A_{1,1}^2}$有相同的单调性.

注意到, 如果$A\in A_n^i$, 则$f_i(A)\in A_{n-1}^i$. 对于一个区间$A_{n,u}^1\in A_n^1,\ n>1$, 我们假设$f_1(A_{n,u}^1)=A_{n-1,v}^1\in A_{n-1}^1$, 则$A_{n,u}^2\in A_n^2$且$f_2(A_{n,u}^2)=A_{n-1,v}^2\in A_{n-1}^2$. 通过递推, 我们可以定义一个单调递增的同胚映射$\varphi_{n,u}:A_{n,u}^1\rightarrow A_{n,u}^2$使得对任意的$x\in A_{n,u}^1$, 有

类似于$A_n^i$的讨论, 我们记

假设

进一步地, 定义一个单调递增的同胚映射$\psi_{1,1}:B_{1,1}^1\rightarrow B_{1,1}^2$使得对任意的$x\in B_{1,1}^1$, 有$f_2\circ\psi_{1,1}(x)=\psi_0\circ f_1(x)$. 类似于$\varphi_{n,u}$的构造, 通过递推, 定义一个单调递增的同胚映射$\psi_{n,u}:B_{n,u}^1\rightarrow B_{n,u}^2$使得对任意的$x\in B_{n,u}^1$, 有

其中$f_i(B_{n,u}^i)=B_{n-1,v}^i,\ i=1,2$.

根据$f_i$的构造, 有

且$\mathbb{B}(\mathcal{A}^i)$在$\mathcal{I}_i$上是无处稠密的.

定义映射$\Phi_0:\mathcal{I}_1\backslash\mathbb{B}(\mathcal{A}^1)\rightarrow \mathcal{I}_2\backslash\mathbb{B}(\mathcal{A}^2)$为

将$\Phi_0(x)$延拓到区间$\mathcal{I}_1$上, 得到新的映射$\Phi: \mathcal{I}_1 \rightarrow \mathcal{I}_2$. 显然,$\Phi(x)$是单调递增的连续映射. 要证明$f_1$和$f_2$拓扑共轭, 只需证明

根据$\Phi$的定义, (3.3) 式对任意的$x\in \mathcal{I}_1\backslash\mathbb{B}(\mathcal{A}^1)$成立. 如果$x\in \mathbb{B}(\mathcal{A}^1)$是属于$A_n^1$或$B_n^1$的一个区间的端点, 则 (3.3) 式显然成立. 我们不妨假设$x_0\in \mathbb{B}(\mathcal{A}^1)$不是属于$A_n^1$或$B_n^1$的某个区间的端点, 由于$\mathbb{B}(\mathcal{A}^1)$在$\mathcal{I}_1$上是无处稠密的, 所以$x_0$可以被某些属于$A_n^1$或$B_n^1$的区间的端点无限趋近. 不妨假设$\{y_m\}$为属于$A_n^1$或$B_n^1$的区间的端点序列且当$m\rightarrow +\infty$时,$y_m$趋近于$x_0$, 则$\Phi(y_m)$为属于$A_n^2$或$B_n^2$的某些区间的端点构成的序列. 由于$\Phi(x)$和$f_1(x)$是连续的, 所以且当$m\rightarrow +\infty$时,$\Phi(y_m)$趋近于$\Phi(x_0)$,$f_1(y_m)$趋近于$f_1(x_0)$. 因此,

由于

所以

证毕.

定理 1.1 的证明 根据命题 3.1、命题 3.2 和命题 3.3, 定理 1.1 得证.