本文在齐次 Robin 边界条件下讨论如下具有捕获项的 Beddington-DeAnglis 型捕食- 食饵模型

其中 $\Omega\in \mathrm{R}^{N}$ ($N$ 表示空间的维数) 是带有光滑边界 $\partial\Omega$ 的有界区域. $u$ 和 $v$ 分别表示食饵和捕食者在 $t$ 时刻的浓度, $r$ 和 $k$ 分别是 $u$ 的最大增长率和环境承载量, $a$ 和 $b$ 分别表示 $v$ 对 $u$ 的饱和作用和 $v$ 之间的相互作用, $c$ 和 $d$ 分别表示 $v$ 对 $u$ 的捕获率和 $v$ 关于 $u$ 的转换率, $e_{1}=E_{1}q_{1}$, $e_{2}=E_{2}q_{2}$, 其中$E_{1}$ 和 $E_{2}$ 分别表示人类关于 $u$ 和 $v$ 的捕获能力, $q_{1}$ 和 $q_{1}$ 分别表示相应的捕获系数, $d_{1}$ 和 $d_{2}$ 分别代表$u$ 和 $v$ 的扩散系数, $u_{0}(x)$ 和 $v_{0}(x)$ 都是连续函数. 参数 $r,e_{1},e_{2},a,b,c,d,k,d_{1},d_{2},\gamma,\delta$ 都是正常数. $\frac{cv}{1+au+bv}$ 是 Beddington-DeAnglis (简记为 B-D) 型反应函数. 它与 Holling 型反应函数相比, 分母中多考虑了捕食者间的相互干扰这一项 $cv$. 虽然比率依赖函数也考虑了捕食者间的相互干扰, 但在低密度情况下的奇异现象常常引起争议. 所以选用 B-D 型反应函数更贴近于实际的生物意义. $\frac{\gamma+\delta v}{1+v}$ 是关于 $v$ 的非常数死亡率, $\gamma$ 为低密度时的死亡率, $\delta$ 为最大死亡率, 其中 $\gamma<\delta$.

对于模型 (1.1), 当 $\gamma=\delta$, $e_{1}=e_{2}=b=0$ 时就是常见的具有常数死亡率的 Holling-II 型捕食-食饵扩散模型, 许多学者对此模型进行了研究^[1⇓-3]. 如彭锐和史峻平^[2] 在 Neumann 边界条件下研究了具有 Holling-II 型捕食-食饵扩散模型稳态解的全局分支解. 当 $\gamma=\delta$, $e_{1}=e_{2}=0$ 时模型 (1.1) 即为具有 B-D 型反应函数的捕食-食饵模型, 文献 [4,5] 对其以及推广模型进行了深入的研究. 如 Chen 等^[4]在 Neumann 边界条件下研究了具有 B-D 型反应函数的捕食-食饵模型常数稳态解的稳定性以及非常数正稳态解的存在性等; Zhao^[5]研究了具有 B-D 型反应函数的噪声系统全局正解的存在性, 讨论了噪声对物种灭绝的影响和物种的持久性.

近几年随着人类生产活动的丰富, 大家也越来越认识到人类活动对生态环境的巨大影响. 当 $\gamma=\delta$, $e_{1}, e_{2}\neq0$ 时模型 (1.1) 就是常见的带有线性捕获项的捕食-食饵模型. 许多学者对相关模型进行了研究, 并取得了一些好成果^[6⇓⇓-9]. 如王蓉和贾云锋^[6]讨论了具有 B-D 型反应函数和线性捕获项的捕食-食饵模型正解的存在性等; Liu 和 huang^[7]研究了具有线性捕获项的捕食-食饵模型正解的存在性、稳定性; 并在文献 [8] 中进一步研究了该系统的生态平衡、最大可持续总产量和最优经济效益等.

物种的非常数死亡率会随着浓度的增加而变大, 但始终被控制在最大死亡率和最小死亡率之间, 比常数死亡率更贴合实际, 然而目前大多数学者未考虑非常数死亡率对物种的影响. 当 $\gamma\neq\delta$ 时, $\frac{\gamma+\delta v}{1+v}$ 即为非常数死亡率, 文献 [10⇓⇓-13] 对具有非常数死亡率的捕食-食饵模型进行了深入研究. 如 Yang 等^[11]研究了具有非常数死亡率的 Holling-III 型捕食-食饵模型平衡点的稳定性和正平衡点的图灵不稳定性; Peng 等^[12]研究了具有非常数死亡率的捕食-食饵模型正解的全局存在性、唯一性, 以及物种的持久性和灭绝性.

接下来对模型 (1.1) 作无量纲化处理: 令 $\bar{u}=\frac{ru}{k}$, $\bar{a}=\frac{ak}{r}$, $\bar{d}=\frac{dk}{r}$, 下式中仍用 $u$, $a$ 和 $d$ 代表示 $\bar{u}$, $\bar{a}$ 和 $\bar{d}$. 于是模型 (1.1) 简化为

本文主要研究系统 (1.2) 对应的平衡态系统

正解的存在性、多重性、稳定性和唯一性以及系统 (1.2) 的渐近行为.

这节最后给出一些预备知识.

令 $q(x)\in C(\overline{\Omega}), \lambda_{1}(q)$ 是如下特征值问题的主特征值

则 $\lambda_{1}(q)$ 连续依赖 $q$, $\lambda_{1}(q)$ 是简单的. 而且, 如果 $q_{1}\leq q_{2}, q_{1}\not\equiv q_{2}$, 则 $\lambda_{1}(q_{1})<\lambda_{1}(q_{2}). $ 为了简单起见, 记 $\lambda_{1}(0)$ 为 $\lambda_{1},$ 相应的主特征函数记为 $\varphi_{1}.$

考虑如下的非线性问题

众所周知, 若 $r>d\lambda_{1},$ 则方程 (1.4) 存在唯一正解. 记为 $\theta_{(\frac{r}{d},\frac{1}{d})}$. 特别地, $\theta_{(\frac{r}{d},\frac{1}{d})}<r$ 且 $\theta_{(\frac{r}{d},\frac{1}{d})}$ 连续依赖 $r$. 显然 $\theta_{(\frac{r}{d},\frac{1}{d})}=d\theta_{\frac{r}{d}}$.

本节应用不动点指数理论和稳态分歧理论讨论系统 (1.3) 正解的存在性和多重性. 显然, 当 $r>d_{1}\lambda_{1}+e_{1}$ 时, 系统 (1.3) 存在半平凡解 $(d_{1}\theta_{\frac{r-e_{1}}{d_{1}}},0)$, 记 $u^{\ast}=d_{1}\theta_{\frac{r-e_{1}}{d_{1}}}$. 首先类似文献 [14, 引理1] 的证明利用特征值的比较原理给出系统 (1.3) 存在正解的必要条件.

引理 2.1 若系统 (1.3) 存在正解, 则

接着运用极值原理以及上下解方法易得系统 (1.3) 正解的先验估计.

引理 2.2 若 $d(r-e_{1})>e_{2}(1+a(r-e_{1}))$, 则系统 (1.3) 的任意正解 $(u,v)$ 满足

其中 $Q_{1}=r-e_{1}$, $Q_{2}=\frac{d(r-e_{1})-e_{2}(1+a(r-e_{1}))}{be_{2}}$.

下面为了计算不动点指数, 引入如下记号

定义算子 $A_{\nu}:D \rightarrow W$ 为

其中 $\nu\in[0,1]$, 且 $q$ 是满足 $q>\max\{\frac{c}{d_{1}b},\frac{e_{2}+\delta}{d_{2}}\}$ 的充分大的正常数, 记 $A=A_{1}$, 显然算子 $A$ 在 $D$ 上的非负不动点即为系统 (1.3) 的非负解. 记 $\bar{e}_{2} = -\gamma-d_{2}\lambda_{1}(-\frac{du^{\ast}}{d_{2}(1+au^{\ast})})$.

注 2.1 由于

从而可知当 $r=d_{1}\lambda_{1}+e_{1}$ 时, $\bar{e}_{2}(r)=-\gamma-d_{2}\lambda_{1}<0$; 当 $r\rightarrow\infty$ 时, $\bar{e}_{2}(r)\rightarrow -\gamma-d_{2}\lambda_{1}+\frac{d}{a}$. 由于 $\bar{e}_{2}(r)$ 关于 $r$ 单调递增, 所以当 $-\gamma-d_{2}\lambda_{1}+\frac{d}{a}>0$ 时, 即 $d>a(\gamma+d_{2}\lambda_{1})$ 时, 必存在唯一的 $r^{\ast}>d_{1}\lambda_{1}+e_{1}$, 使得 $\bar{e}_{2}(r^{\ast})=0$. 因此, 当 $d>a(\gamma+d_{2}\lambda_{1})$ 且 $r>r^{\ast}$ 时 $\bar{e}_{2}(r)>0$.

接下来, 类似文献 [15] 的方法运用 Dancer 指数定理^[16]可得如下结论, 在此省略其证明.

引理 2.3 设 $d>a(\gamma+d_{2}\lambda_{1})$, $r>r^{\ast}$. 则

(i) $\mathrm{index}_{W}(A,D)=1$;

(ii) $\mathrm{index}_{W}(A,(0,0))=0$;

(iii) 若 $e_{2}<\bar{e}_{2}$, 则 $\mathrm{index}_{W}(A,(u^{\ast},0))=0$; 若 $e_{2}>\bar{e}_{2}$, 则 $\mathrm{index}_{W}(A,(u^{\ast},0))=1$.

通过引理 2.3 以及度的可加性可得系统 (1.3) 正解存在的充分条件.

定理 2.1 设 $d>a(\gamma+d_{2}\lambda_{1})$, $r>r^{\ast}$. 若 $e_{2}<\bar{e}_{2}$, 则系统 (1.3) 至少存在一个正解.

证 由度的可加性, 可得

矛盾, 故系统 (1.3) 至少存在一个正解.

接下来, 以 $e_{2}$ 为分歧参数研究系统 (1.3) 在半平凡解 $(u^{\ast},0)$ 处产生的分歧解. 为此引入如下空间

令 $\omega = u^{\ast}-u, \chi=v$, 则 $\omega, \chi \geq0$ 且满足

其中

令 $F(\omega,\chi)=(F_{1}(\omega,\chi),F_{2}(\omega,\chi))^{T}$, 显然 $F$ 连续, $F(0,0)=0$, 且 $D_{(\omega,\chi)}F(0,0)=0$.

令 $K$ 为 Robin 边界条件下的 $(-\Delta)^{-1}$, 则问题 (2.1) 等价于

定义 $T:\mathrm{R}^{+}\times X\rightarrow X$ 为

则 $T$ 为 $X$ 上的紧可微算子. 令 $G(e_{2};\omega,\chi)=(\omega,\chi)^{T}-T(e_{2};\omega,\chi)$, 则 $G(e_{2};0,0)=0$. 显然 $G(e_{2};\omega,\chi)=0$ 当且仅当 $(e_{2};u^{\ast}-\omega,\chi)$ 是系统 (1.3) 的解.

接下来用类似文献 [17] 的方法由局部分歧定理^[18] 可知如下结论.

定理 2.2 若 $r>d_{1}\lambda_{1}+e_{1}$, 则 $(e_{2};\omega,\chi)=(\bar{e}_{2};u^{\ast},0)$ 为系统 (1.3) 的分歧点, 且在 $(\bar{e}_{2};u^{\ast},0)$ 的邻域内, 系统 (1.3) 存在正解 $(e_{2}(\epsilon);u(\epsilon),v(\epsilon))=(e_{2}(\epsilon);u^{\ast}-\epsilon(\Phi+\phi(\epsilon)),\epsilon(\Psi+\varphi(\epsilon)))(\epsilon>0)$, 其中 $\Psi$ 是特征值 $\bar{e}_{2}$ 对应的特征函数, $\Phi=(-\Delta-\frac{r-2u^{\ast}-e_{1}}{d_{1}})^{-1}(\frac{cu^{\ast}\Psi}{d_{1}(1+au^{\ast})})$, $e_{2}(0)=\bar{e}_{2}$, $\phi(0)=0$, $\varphi(0)=0$.

接着, 将局部分歧延拓为全局分歧. 令 $P_{1}=\{u\in C^{1}_{B}(\overline{\Omega}): u>0,x\in\overline{\Omega}\}$.

令 $e_{2,i}(\mu)$ 是问题

的特征值, 则 $e_{2,1}(1)=\bar{e}_{2}$. 类似文献 [19] 的方法可知, 当 $e_{2}>\bar{e}_{2}$ 时, $\mathrm{index}(T(e_{2}; \cdot),0)=(-1)^{0}=1$, 当 $e_{2,2}(1)<e_{2}<\bar{e}_{2}$ 时, $\mathrm{index}(T(e_{2};\cdot))=(-1)^{1}=-1$. 故由全局分歧定理^[19]可知在 $\mathrm{R}^{+}\times X$ 内, 系统 (1.3) 存在从 $(\bar{e}_{2};u^{\ast},0)$ 出发的连通分支 $C$, 并且分支 $C-\{(\bar{e}_{2};u^{\ast},0)\}$ 满足下列条件之一

(i) $C$ 连接了分歧点 $(\bar{e}_{2};u^{\ast},0)$ 和 $(\hat{e}_{2};u^{\ast},0)$, 其中 $I-T'(\hat{e}_{2})$ 不可逆, 且 $\bar{e}_{2}\neq\hat{e}_{2}$;

(ii) $C$ 在 ${\mathbb{R}}^{+}\times X$ 内沿 $(\bar{e}_{2};u^{\ast},0)$ 延伸到 $\infty$;

(iii) $C$ 包含了形如 $(e_{2};u^{\ast}-u,v)$ 和 $(e_{2};u-u^{\ast},-v)$ 的点, 其中 $(u,v)\neq(0,0)$.

定理 2.3 若 $r>d_{1}\lambda_{1}+e_{1}$, 则 $C-\{(\bar{e}_{2};u^{\ast},0)\}$ 在正锥 $P$ 内增大到 $\infty$. 其中 $P=\{(e_{2},\omega,\chi)\in {\mathbb{R}}^{+}\times X: \omega,\chi\in P_{1}\}$.

证 首先证明 $C-\{(\bar{e}_{2};u^{\ast},0)\}\subset P$. 假设 $C-\{(\bar{e}_{2};u^{\ast},0)\}\nsubseteq P$, 则存在点 $(\hat{e}_{2};\hat{u},\hat{v})\in C-\{(\bar{e}_{2};u^{\ast},0)\}\cap\partial P$ 和序列 $(e_{2,i};u_{i},v_{i})\subset C\cap P$, 使得当 $i\rightarrow\infty$ 时, $(e_{2,i};u_{i},v_{i})\rightarrow(\hat{e}_{2};\hat{u},\hat{v})$. 显然 $\hat{u}\in \partial P_{1}$ 或 $\hat{v}\in\partial P_{1}$. 若 $\hat{u}\in \partial P_{1},$ 则存在 $x_{0}\in\overline{\Omega}$ 使得 $\hat{u}(x_{0})=0$, 由极值原理可得 $\hat{u}(x)\equiv0$. 同理 $\hat{v}(x)\equiv0$. 因此 $(\hat{u},\hat{v})$ 可能有以下两种情况

(1) 假设 $(\hat{u},\hat{v})\equiv(0,0)$, 则当 $i\rightarrow \infty$ 时, $(e_{2,i};u_{i},v_{i})\rightarrow(\hat{e}_{2};0,0)$. 令 $U_{i}=\frac{u_{i}}{\|u_{i}\|_{\infty}}$, 则 $U_{i}$ 满足

由 $L^{p}$ 估计和 Sobolev 嵌入定理可知当 $i\rightarrow\infty$ 时, 在 $C_{B}^{1}(\bar{\Omega})$ 上 $U_{i}\rightarrow U$ 成立, 且 $U\geq0,\not\equiv0$, 则 $U$ 满足

由极值原理知 $U>0$, 因此 $r=d_{1}\lambda_{1}+e_{1}$, 与 $r>d_{1}\lambda_{1}+e_{1}$ 矛盾.

(2) 假设 $(\hat{u},\hat{v})\equiv(u^{\ast},0)$, 则当 $i\rightarrow\infty$ 时, $(e_{2,i};u_{i},v_{i})\rightarrow(\hat{e}_{2};u^{\ast},0)$. 令 $V_{i}=\frac{v_{i}}{\|v_{i}\|_{\infty}}$, 则 $V_{i}$ 满足

同情况 (1) 有 $\hat{e}_{2}=-\gamma-d_{2}\lambda_{1}(-\frac{du^{\ast}}{d_{2}(1+au^{\ast})})$, 与 $\bar{e}_{2}\neq \hat{e}_{2}$ 矛盾.

因此 $C-\{(\bar{e}_{2};u^{\ast},0)\}\subset P$, 故全局分歧的条件 (i) 和 (iii) 都不成立, $C$ 只能在 $\mathrm{R}^{+}\times X$ 内沿 $(\bar{e}_{2};u^{\ast},0)$ 延伸到 $\infty$.

显然正解存在的必要条件 $e_{2}<-d_{2}\lambda_{1}(-\frac{du^{\ast}}{d_{2}(1+au^{\ast})})\triangleq\Lambda$ 和充分条件 $e_{2}<\bar{e}_{2}=-\gamma-d_{2}\lambda_{1}(-\frac{du^{\ast}}{d_{2}(1+au^{\ast})})$ 之间存在代沟, 下面对于这个代沟讨论系统 (1.3) 正解的多重性.

定理 2.4 设 $d>a(\gamma+d_{2}\lambda_{1})$, $r>r^{\ast}$, 则存在常数 $\hat{e}_{2}\in(\bar{e}_{2},\Lambda)$, 使得当 $e_{2}\in(\bar{e}_{2},\hat{e}_{2})$ 时系统 (1.3) 至少有两个正解, 当 $e_{2}\leq \bar{e}_{2}$ 时系统 (1.3) 至少有一个正解.

证 由定理 2.1 可知, 当 $e_{2}< \bar{e}_{2}$ 时系统 (1.3) 至少有一个正解. 故接下来只需证当 $e_{2}\in(\bar{e}_{2},\hat{e}_{2})$ 时系统 (1.3) 至少有两个正解, 当 $e_{2}= \bar{e}_{2}$ 时系统 (1.3) 至少有一个正解.

取充分大的 $M>\max\{\frac{c}{d_{1}b},\frac{e_{2}+\delta}{d_{2}}\}$, 定义算子 $A_{\kappa}:D\rightarrow W$ 为

$\kappa\in[0,1]$. 显然当 $\kappa=1$ 时, 系统 (1.3) 的非负解就是 $A_{1}$ 在 $D$ 上的非负不动点.

设 $D_{\epsilon}=\{(u,v)\in W:\parallel(u,v)-(u^{\ast},0)\parallel_{E}<\epsilon\}$, 由前文可知$e_{2}\in(\bar{e}_{2},\hat{e}_{2})$, 存在常数 $\epsilon>0$, 使得系统 (1.3) 有唯一的正解 $(u(\epsilon),v(\epsilon))\in D_{\epsilon}$. 因此只需证当 $e_{2}\in[\bar{e}_{2},\hat{e}_{2})$, 系统 (1.3) 在 $D\setminus D_{\epsilon}$ 上有正解.

令 $D_{1}=D\setminus D_{\epsilon}$. 由引理 2.2 可知 $A_{\kappa}$ 在 $\partial D_{1}$ 上没有不动点, 从而通过同伦不变性有 $\mathrm{index}_{W}(A_{1},D_{1})=\mathrm{index}_{W}(A_{0},D_{1})$. 而 $A_{0}$ 在 $D_{1}$ 的不动点只有 (0,0) 和 $(u^{\ast},\tilde{v})$, 其中 $\tilde{v}$ 是如下问题的唯一正解

由 Dancer 不动点指数定理^[16]以及度的可加性有

故 $\mathrm{index}_{W}(A_{1},D_{1})=1$. 而 $\mathrm{index}_{W}(A_{1},(0,0))=0$, 故系统 (1.3) 在 $D_{1}$ 内至少有一个正解.

这一节考察当 $b$ 充分大时系统 (1.3) 正解的稳定性和唯一性. 注意到当 $b$ 充分大时, 系统 (1.3) 的正解只有一种类型, 也就是当 $b$ 充分大时系统 (1.3) 的任意正解满足 $(u,bv)$ 趋近于如下问题的正解

如果 $r>d_{1}\lambda_{1}+e_{1}$, 则问题 (3.1) 等价于

首先给出系统 (3.2) 正解存在且非退化渐近稳定的条件.

引理 3.1 设 $d>a(\gamma+d_{2}\lambda_{1})$, $r>r^{\ast}$. 若 $e_{2}<\bar{e}_{2}$, 则系统 (3.2) 存在唯一的全局渐近稳定的正解 $w^{\ast}$.

证 由文献 [19] 中定理 2.1 可知结论显然成立.

引理 3.2 设 $d>a(\gamma+d_{2}\lambda_{1})$, $r>r^{\ast}$, 对任意小的 $\sigma, \varepsilon>0$, 存在充分大的 $M=M(\sigma,\varepsilon)>0$, 使得当 $b>M$ 且 $e_{2}\in(\varepsilon,\bar{e}_{2})$ 时, 系统 (1.3) 的正解 $(u,v)$ 满足 $\|u-u^{\ast}\|_{C^{1}_{B}}+\|v\|_{C^{1}_{B}}\leq \sigma$, 而且 $\|bv-w^{\ast}\|_{C^{1}_{B}}\leq \sigma$.

证 反证法. 假设存在 $e_{2,i}\rightarrow e_{2}\in[\varepsilon,\bar{e}_{2}]$, $b_{i}\rightarrow\infty$, 使得系统 (1.3) 任意正解 $(u_{i},v_{i})$ 远离 $(u^{\ast},0)$, 在 $L^{2}$ 中 $\frac{du_{i}}{1+au_{i}+b_{i}v_{i}}\rightarrow h$. 由于 $d_{1}\theta_{\frac{r-e_{1}-\frac{c}{b_{i}}}{d_{1}}}\leq u \leq u^{\ast}=d_{1}\theta_{\frac{r-e_{1}}{d_{1}}}.$ 所以在 $C^{1}_{B}(\bar{\Omega})$ 中 $u_{i}\rightarrow u^{\ast}$. 另外由 $L^{p}$ 估计和 Sobolev 嵌入定理可假定 $v_{i}\rightarrow v$. 则

由于 $v\geq0$, 所以考虑如下两种情况

(i) 若 $v\equiv 0$, 则 $(u_{i},v_{i})\rightarrow (u^{\ast},0)$, 与假设矛盾;

(ii) 若 $v\geq0,\not\equiv 0$, 由 Harnack 不等式得 $v>0$, 则 $h=0$, 于是由 (3.3) 式可知 $v\equiv 0$, 矛盾. 故 $\|u-u^{\ast}\|_{C^{1}_{B}}+\|v\|_{C^{1}_{B}}\leq \sigma$.

接下来证明 $b_{i}\|v_{i}\|_{\infty}$ 是一致有界的. 反证法, 假设 $b_{i}\|v_{i}\|_{\infty}\rightarrow\infty$. 令 $\tilde{v}_{i}=\frac{v_{i}}{\|v_{i}\|_{\infty}}$, 则

同上由正则性理论假设在 $C^{1}_{B}$ 中 $\tilde{v}_{i}\rightarrow \tilde{v}\geq0,\not\equiv0$. 对 (3.4) 式取极限可得

由 Harnack 不等式得 $\tilde{v}>0$, 而由上式得 $\tilde{v}\equiv0$, 矛盾. 故 $b_{i}\|v_{i}\|_{\infty}$ 一致有界.

设 $b_{i}v_{i}=w_{i}$, 则$\|w_{i}\|_{\infty}$ 一致有界, 且 $w_{i}$ 满足

由正则性理论可假定在 $C^{1}_{B}$ 中 $w_{i}\rightarrow w$. 对 (3.5) 式取极限, 显然 $w$ 是系统 (3.2) 的非负解.

(i) 当 $e_{2}=\bar{e}_{2}$ 时由文献 [21, 定理 2.1] 可知系统 (3.2) 只有零解, 即 $b_{i}v_{i}=w_{i}\rightarrow w=0$;

(ii) 当 $e_{2}\in(\varepsilon,\bar{e}_{2})$ 时, 由引理 3.1 可知 $b_{i}v_{i}=w_{i}\rightarrow w=w^{\ast}$.

最后, 给出系统 (1.3) 正解的稳定性和唯一性条件.

定理 3.1 设 $d>a(\gamma+d_{2}\lambda_{1})$, $r>r^{\ast}$, 对任意小的 $\varepsilon>0$, 存在充分大的 $M(\varepsilon)$, 使得当 $b>M(\varepsilon), e_{2}\in(\varepsilon,\bar{e}_{2})$ 时, 系统 (1.3) 存在唯一正解且非退化线性稳定.

证 用反证法. 设 $(u,v)$ 是系统 (1.3) 的正解, $\tau=\frac{1}{b}$, $w=bv$, 考虑如下问题

假设 $b_{i}\to\infty,e_{2,i}\to e_{2}\in[\varepsilon,\bar{e}_{2}]$ 时, 系统 (3.6) 存在退化或线性不稳定的正解 $(u_{i},w_{i})$, 即系统 (3.6) 在 $(u_{i},w_{i})$ 处的线性化特征值问题存在 $\mathrm{Re}(\mu_{i})\leq0$ 的特征值 $\mu_{i}$, 以及满足 $\|\xi_{i}\|_{L^{2}}^{2}+\|\eta_{i}\|_{L^{2}}^{2}=1$ 的特征函数 $(\xi_{i},\eta_{i})\not\neq(0,0)$, 使得

由 $L^{p}$ 估计可知 $u_{i},w_{i}\in W^{2,p}$ 且有界, 因此 $\{\mathrm{Im}(\mu_{i})\}$ 和 $\{\mathrm{Re}(\mu_{i})\}$ 有界, 即 ${\mu_{i}}$ 有界, 假设 $\mu_{i}\to\mu$, 则 $\mathrm{Re}(\mu)\leq0$. 同理由 $L^{p}$ 估计可知 $\|\xi_{i}\|_{W^{2,2}},\|\eta_{i}\|_{W^{2,2}}$ 有界, 所以假设在 $H^{1}$ 中 $\xi_{i}\to \xi,\eta_{i}\to\eta$. 结合引理 3.2 对系统 (3.7) 取极限得

若 $\xi\not\equiv0$, 则 $\mu\geq\lambda_{1}(-\frac{r-2u^{\ast}-e_{1}}{d_{1}})>\lambda_{1}(-\frac{r-u^{\ast}-e_{1}}{d_{1}})=0, $ 矛盾, 故 $\xi\equiv0$. 同理 $\eta\equiv0$, 矛盾. 故当 $b_{i}\to\infty$ 时, 系统 (1.3) 的任意正解非退化且线性稳定.

最后证明系统 (1.3) 正解的唯一性. 由已知条件可得系统 (1.3) 存在正解. 根据算子 $A$ 的紧性理论可知系统 (1.3) 至多有有限个正解, 记为 $\{(u_{i},v_{i}):1\leq i\leq n\}$. 而 $\overline{W}_{(u_{i},v_{i})}=S_{(u_{i},v_{i})}$, 所以 $A'(u_{i},v_{i})$ 在 $\overline{W}_{(u_{i},v_{i})}$ 上没有 $\alpha$ 性质, 又因为系统 (1.3) 任意正解非退化且线性稳定, 于是根据文献 [16] 可知 $\mathrm{index}_{W}(A,(u_{i},v_{i}))=1$. 结合引理 2.3 和度的可加性可得 $1=\mathrm{index}_{W}(A,D)=0+\sum_{1\leq i\leq n}\mathrm{index}_{W}(A,(u_{i},v_{i}))=n. $

即系统 (1.3) 正解唯一.

首先, 运用抛物系统的比较原理易得两物种灭绝的条件, 由于证明方法基础, 故在此省略.

定理 4.1 (i) 若 $r\leq d_{1}\lambda_{1}+e_{1}$, 则当 $t\to\infty$ 时, 系统 (1.2) 的正解 $(u,v)\to (0,0)$;

(ii) 若 $d>a(\gamma+d_{2}\lambda_{1})$, $r>r^{\ast}, e_{2}>\bar{e}_{2}$, 则当 $t\to\infty$ 时, 系统 (1.2) 的正解 $(u,v)\to(u^{\ast},0)$.

引入如下假设

设 $d>a(\delta+d_{2}\lambda_{1})$, $r>r^{\ast}$ 且 (4.1) 式成立, 则如下问题

分别存在唯一正解, 记作 $u_{\ast}$, $v^{\ast}$ 和 $v_{\ast}$, 且 $u_{\ast}\leq u\leq u^{\ast}$, $v_{\ast}\leq v\leq v^{\ast}$.

定理 4.2 设 $d>a(\delta+d_{2}\lambda_{1})$, $r>r^{\ast}$ 且 (4.1) 成立, 则在 $C^{1}(\bar{\Omega})\cap C^{2}(\bar{\Omega})$ 存在函数 $(\underline{u},\underline{v})$ 和 $(\bar{u},\bar{v})$ 满足

和如下关系

进一步, $[\underline{u},\bar{u}]\times[\underline{v},\bar{v}]$ 是系统 (1.2) 的正全局吸引子.

证 令 $(f(u,v),g(u,v))=(\frac{u}{d_{1}}(r-u-e_{1}-\frac{cv}{1+au+bv}),\frac{v}{d_{2}}(\frac{du}{1+au+bv}-\frac{\gamma+\delta v}{1+v}-e_{2})). $首先由上下解方法易证 $(u^{\ast},v^{\ast})$ 和 $(u_{\ast},v_{\ast})$ 是系统 (1.3) 的一对上下解, 显然 $(f,g)$ 是混拟单调函数且满足 Lipschitz 条件, 于是由单调迭代序列方法可知存在满足上述条件的一对函数 $(\underline{u},\underline{v})$ 和 $(\bar{u},\bar{v})$.

下证正全局吸引子成立. 由于系统 (1.2) 的非负解 $u$ 满足下式

而 $r>d_{1}\lambda_{1}+e_{1}$, 由比较原理

则对任意充分小的 $\epsilon>0$, 存在 $T(\epsilon)>0$, 使得对所有的 $t>T(\epsilon)$, 都有 $u(x,t)\leq u^{\ast}+\epsilon$. 将其代入系统 (1.2) 的第二个式子, 得

由比较原理可得

故存在 $T^{'}(\epsilon)>0$, 使得对所有的 $t>T^{'}(\epsilon)$, 都有 $v(x,t)\leq v^{\ast}+\epsilon.$

另一方面, 由于

由比较原理有

则存在 $T^{''}(\epsilon)>0$, 使得对所有的 $t>T^{''}(\epsilon)$, 都有 $u(x,t)\geq u_{\ast}-\epsilon$. 将其代入系统 (1.2) 的第二个式子, 得

再由比较原理可知

则存在 $T^{'''}(\epsilon)>0$, 使得对所有的 $t>T^{'''}(\epsilon)$, 都有 $v(x,t)\geq v_{\ast}-\epsilon.$

令 $T=\max\{T(\epsilon),T^{'}(\epsilon),T^{''}(\epsilon),T^{'''}(\epsilon)\}$, 由 (4.2)-(4.5) 式, 对所有的 $t>T$ 和任意的 $\epsilon>0$ 有

令 $\epsilon\to 0$ 并结合文献 [22, 推论 2.1 和定理 2.1] 得出结论. 定理 4.2 得证.

本节通过数值模拟对理论结果进行补充和说明. 采用 Matlab 软件及有限差分法在一维情形 $\Omega=(0,l)$ 下模拟系统 (1.2). 用二阶中心差分格式离散空间变量 $x,$ Crank-Nicholson 近似时间变量 $t$.

首先给出判别 $e_{2}<\bar{e}_{2}=-d_{2}\lambda_{1}(-\frac{du^{\ast}}{d_{2}(1+au^{\ast})})-\gamma$ 的条件. 因为 $\lambda_{1}(-\frac{d\theta_{r-e_{1}}}{d_{2}(1+a\theta_{r-e_{1}})})<\lambda_{1}-\frac{d(r-e_{1}-\lambda_{1})}{d_{2}(1+a(r-e_{1}))}$, 所以 $-d_{2}\lambda_{1}(-\frac{du^{\ast}}{d_{2}(1+au^{\ast})})-\gamma>-d_{2}\lambda_{1}(-\frac{d\theta_{r-e_{1}}}{d_{2}(1+a\theta_{r-e_{1}})})-\gamma >-d_{2}\lambda_{1}+\frac{d(r-e_{1}-\lambda_{1})}{1+a(r-e_{1})}-\gamma\doteq\bar{B}.$ 因此, 如果 $e_{2}<\bar{B}$, 则 $e_{2}<\bar{e}_{2}$.

(1) 两物种共存与不共存. 取参数 $r=1.2,e_{1}=0.2,e_{2}=0.15, \gamma=0.2,\delta=0.6,a=1,b=1,c=1.4,d=1.7,d_{1}=1,d_{2}=1$, $r$ 的不同取值见图1. 从数值模拟可以看出, 当食饵的增长率 $r$ 和捕食者的捕获率 $e_{2}$ 满足一定条件时两物种共存, 这与定理 2.1 吻合, 见图1(a) 和 (b). 当定理 4.1 (i) 的条件成立时, 两物种不共存, 与定理 4.1 (i) 的结论吻合, 见图1(c) 和 (d).

(2) 捕获率 $e_{1}$ 和 $e_{2}$ 的影响. 为了刻画捕获率的影响, $e_{1},e_{2}$ 的取值见图2, 其余参数同 (1). 数值模拟显示系统 (1.2) 随着食饵的捕获率 $e_{1}$ 的增大, 两物种 $u$ 和 $v$ 的浓度快速减少并最终导致灭绝; 随着捕食者的捕获率 $e_{2}$ 的增大, 物种 $v$ 的浓度快速减少而物种 $u$的浓度增大, 见图2(a), (b) 和图2(c), (d), 符合实际情况. 这也说明过度捕捞会导致物种的灭绝, 为了保护物种的多样性, 需要采取适当的捕捞策略.

(3) 扩散率 $d_{1}$ 和 $d_{2}$ 的影响. 为了刻画扩散率的影响, $d_{1}$, $d_{2}$ 的取值见图3, 其余参数同 (1). 由图3(a) 和 (b) 可知: 随着 $d_{1}$ 增大, 食饵 $u$ 的浓度相对减少, 捕食者 $v$ 的浓度也相对减少. 而随着 $d_{2}$ 增大, 捕食者 $v$ 的浓度相对减少, 食饵 $u$ 的浓度却相对增加, 见图3(c) 和 (d). 这均与实际情况相符.

(4) 非常数死亡率的影响. 为了刻画非常数死亡率的影响, 参数 $\gamma$ 和 $\delta$ 的取值见图4, 其余参数同 (1), 易验证定理 4.2 的条件成立. 数值模拟显示随着 $\gamma$ 和 $\delta$ 的增大, 捕食者 $v$ 的浓度减小, 食饵 $u$ 的浓度增大, 这与实际情况相符, 见图4(a), (b), (c) 和 (d). 当 $\gamma=\delta=0.1,0.6$ 时即为常数死亡率, 仍有相同的结果, 可见图4(e) 和 (f). 此外, 观察图4(d) 和 (f) 发现: 当非常数死亡率的最大死亡率取 0.9 时仍可以保证两物种的共存, 而当常数死亡率取 0.6 时捕食者浓度趋于0, 即两物种不共存, 这与实际情况和定理 4.2 的结论均不符. 因此非常数死亡率更适用于模拟物种动力学行为.

(5) 捕食者间的相互作用 $b$ 的影响. 固定其它参数 $r=1.2,e_{1}=0.15,e_{2}=0.15, \gamma=0.2,$ $\delta=0.6,$ $a=1.2,c=1.4,d=5.4,d_{1}=1,d_{2}=1$, 结合数值模拟验证了当食饵的增长率 $r$ 和捕食者的捕获率 $e_{2}$ 满足一定条件时, 对于充分大的 $b$, 系统 1.2 的平衡态正解趋于 $(u^{*},0)$, 见图5(a) 和 (b). 并且正解稳定, 见图5(e) 和 (f), 这与定理 3.1 吻合. 此外, 由图可知捕食者间的相互作用 $b$ 越强, 捕食者 $v$ 的浓度会减少, 而食饵 $u$ 的浓度会增大, 这与实际情况相符.

本文在 Robin 边界条件下研究了一类具有捕获项的 B-D 型捕食-食饵扩散模型, 与具有 Holling 型反应函数的捕食-食饵模型相比, B-D 型反应函数的引入丰富了动力学行为的研究. 通过分析得到: 当食饵的增长率较大且捕食者的捕获率和低密度死亡率较小即 $r>r^{\ast}>d_{1}\lambda_{1}+e_{1}, e_{2}<\bar{e}_{2}$且 $d>a(\gamma+d_{2}\lambda_{1})$ 时两物种能够共存; 当食饵的增长率过小或捕食者的捕获率较大时, 两物种将灭绝; 进而当捕食者间的相互作用 $b$ 非常大时, 系统 (1.3) 存在唯一且渐近稳定的正解; 而当捕食者的捕获率 $e_{2}\in(\bar{e}_{2},\hat{e}_{2})$ 时系统 (1.3) 至少存在两个正解. 研究结果表明人类捕获率越大, 两物种的数量会快速减少并最终灭绝, 所以为了保护物种的多样性, 采取适当的捕捞策略是很有必要的; 此外, 与常数死亡率相比, 具有非常数死亡率的生物模型更贴合实际.