如果流体满足 Stokes 定律, 即应力张量与速度梯度线性相关, 这种流体一般称为牛顿流体. 许多流体都属于牛顿流体, 如空气、汽油、水、机油、醇和一些碳氢化合物. 牛顿流体的运动可以用著名的 Navier Stokes 方程来描述. 然而在现实世界中, 许多流体如熔融的塑料, 合成的纤维, 油漆, 油脂, 聚合物溶液, 悬浮液, 粘合剂, 染料, 清漆和血液等并不满足 Stokes 定律. 一般地, 不满足 Stokes 定律的流体被称为非牛顿流体. 非牛顿流体的数学理论通过修正 Stokes 定律而产生, 主要体现在三个方面: 应力张量与速度梯度之间的非线性关系; 应力张量依赖于二阶或更高阶速度梯度; 在能量守恒方程中, 高阶应力张量与高阶速度梯度的出现, 见文献 [5,13].

一般的等温、不可压缩流体的运动可以用以下方程式来描述

其中 $u$ 是流体的速度, $\tau=(\tau_{ij})$ 是应力张量, $f$是外力项.

其中 $\tau_{ijk}$ 为第一个多极应力张量的分量, $p$ 为压力. 若 $i=j$ 则 $\delta_{ij}=0$, 否则 $\delta_{ij}=1$. $e_{ij}$ 由速度梯度分量形成, 其表示形式为

这里 $\varepsilon, \mu_0, \mu_1>0$ 和 $0<\alpha<1$ 为参数.

由 (1.1)-(1.4) 式可知, 一类等温非自治的不可压缩非牛顿流体的运动方程为

其中 $\mu(u)=2\mu_0(\varepsilon+|e|^2)^{-\alpha/2}.$

众所周知, 时滞效应已被证明在物理和生物现象中经常出现, 也具有重要的作用以及在现实世界中具有广泛的应用. 例如, 当我们想在工程控制中使用某些类型的外力来控制一个系统时, 似乎很自然地假设这些力不仅应该与系统的当前状态相关, 而且应该与系统的过去状态也相关, 有时甚至与系统的整个发展过程相关, 见文献 [7⇓-9,13,14,21].

如果在非牛顿流体 (1.5)-(1.6) 式中考虑时滞效应, 则该流体的运动可以描述为

其中 $g(t,u_t)$表示具有某种记忆或遗传特征的时滞外力, $u_t(s)=u(t+s), s\in (-h,0), t>\tau.$ 物理学上通常赋予上述方程初边值条件

其中 $\Omega=\mathbb{R}\times (-L,L)$, $L>0$ 为某一固定常数, $(n_1, n_2)$ 表示边界 $\partial\Omega$ 单位法向量. (1.10) 式中的第一个条件中表示粘性流体在边界上无滑溜现象, 第二个条件中 $\tau_{ijk}$ 在 (1.14) 式中给出, 表示流体的牵引力在边界上消失, 参见文献 [2⇓-4].

下面我们介绍关于此类非牛顿流体已有的相关研究成果. 若 $g(t,u_t)\equiv0$ 时, 在二维区域上, 关于初边值问题 (1.7)-(1.10) 解的存在性, 唯一性, 正则性和长时间行为的研究已有很多. 例如, 在二维有界区域上, 相关结果见文献 [1,2,4,12,15,20,22,24,25]. 在二维无界域中, 相关结果见文献 [5,6,10,18,19]. 若 $g(t,u_t)\neq 0$ 时, 关于初边值问题(1.7)-(1.11) 式的研究结果目前还比较少. 已知的结果几乎都是在二维有界区域内进行的研究. 文献 [26] 最早在二维有界区域内研究了初边值问题 (1.7)-(1.11) 式的整体适定性以及拉回动力学行为. 之后, 在不同的框架下, 一些数学工作者研究了初边值问题 (1.7)-(1.11) 式稳态解的存在性, 稳定性以及拉回动力学行为, 见文献 [9,13,14,21]. 最近, 在文献 [23] 中, 作者研究了在二维无界域上, 初边值问题 (1.7)-(1.11) 式的整体适定性和拉回动力学行为.

本文将继续研究 (1.7)-(1.11) 式解的整体适定性. 我们的目地是在外力项具有最低正则性时去证明初边值问题 (1.7)-(1.11) 式解的整体适定性. 具体地讲, 对比文献 [23] 中的结果, 首先我们将给出一个完整的适定性的证明过程, 而文献 [23] 则主要关注拉回动力学行为的研究, 只简要地介绍了适定性证明的思想. 其次, 对于外力项的要求不同, 在文献 [23] 中, 要求外力项满足 $f\in L_{b}^2(\mathbb{R};H)$, 而在本文中仅要求 $f\in L_{\rm loc}^2(\mathbb{R};V')$, 该空间的正则性更低. 与此同时, 对于含时滞的外力项的要求也不同, 本文的要求更弱.

本文具体安排如下. 第 2 节是预备知识, 在这一部分, 我们将引入初边值问题 (1.7)-(1.11) 式的弱形式, 并给出其弱 (强) 解的定义. 在第 3 节中, 我们证明 (1.7)-(1.11) 式弱 (强) 解的整体适定性.

我们分别用 $\mathbb{R}$ 和 $\mathbb{Z}_+$ 表示实数和非负整数的集合. $c$ 表示通用的常数, 它在不同的地方可能取不同的值. 设 $L^p(\Omega)$ 和 $W^{m,p}(\Omega)$ 是通常的 Lebesgue 空间和 Sobolev 空间, 分别赋予范数 $|\cdot|_{p}$ 和 $|\cdot|_{m,p}$. 特别地, $\mathbb{L}^p(\Omega)=L^p(\Omega)\times L^p(\Omega)$ 和 $\mathbb{W}^{m,p}(\Omega)={W}^{m,p}(\Omega)\times {W}^{m,p}(\Omega)$ 表示二维向量 Lebesgue 空间和二维向量 Sobolev 空间, 范数为 $\|\cdot\|_{\mathbb{L}^p(\Omega)}$ 和 $\|\cdot\|_{m,p}$. 特别地, $\|\cdot\|=\|\varphi\|_{\mathbb{L}^2(\Omega)}$, $\mathbb{H}^m(\Omega)=\mathbb{W}^{m,2}(\Omega)$. $\mathbb{H}_0^1(\Omega)$ 表示 $\{\varphi\in\mathcal{C}_{0}^\infty(\Omega)\times\mathcal{C}_{0}^\infty(\Omega)\}$ 在 $\mathbb{H}^1(\Omega)$ 空间中的闭包.

在这一部分, 我们将介绍初边值问题 (1.7)-(1.11) 式弱形式的形成, 并定义 (1.7)-(1.11) 式的弱(强)解.

首先, 我们介绍三个有用的空间

设 $(\cdot, \cdot)$ 是 $\mathbb{L}^2(\Omega)$ 或 $H$ 中的内积, $\langle \cdot, \cdot \rangle$ 是 $V$ 和 $V'$ 的对偶积. 然后, 介绍四个有用的算子

对任意的 $u\in V$, 有

最后, 给出算子 $A$, $b(\cdot,\cdot,\cdot)$, $B(\cdot)$ 和 $N(\cdot)$ 的一些性质, 参见文献 [5,12,20,22,25].

引理 2.1 (1) $A$ 是一个从 $V$ 到 $V'$ 和 $D(A)=V\cap \mathbb{H}^4(\Omega)$ 到 $H$ 的线性连续算子. $B(\cdot,\cdot)$ 是一个从 $V$ 到 $V'$ 的双线性连续算子. $N(\cdot)$ 是一个从 $V$ 到 $V'$ 的非线性连续算子.

(2) 存在正常数 $c_i$ (依赖于$\Omega$), 使得

当 $u\in D(A)$, 通过如下形式 $N(u)$ 可以拓展到 $H$,

借助上述空间和算子, 我们可以得到 (1.7)-(1.11) 式的弱形式 (参见文献 [9,13,14,21])

初值问题 (2.7)-(2.9) 式的弱解和强解定义如下.

定义 2.1 函数 $u\in L^2(\tau-h,T;H)\cap L^2(\tau,T; V)\cap L^\infty(\tau,T;H)$ 满足对任意 $T>\tau$ 和 $u(\tau,x)=u^{\rm in}$ 和 $u(t,x)=\phi^{\rm in}, t\in(\tau-h,\tau)$, 使得

在 $\mathcal{D}'(\tau,T; V')$ 中成立, 则 $u$ 是方程 (2.7)-(2.9) 式的一个弱解. 进一步, 如果 $u$ 是一个弱解, 且对任意的 $T>\tau$ 有 $u\in L^2(\tau-t,T;V)\cap L^2(\tau,T; D(A))\cap L^\infty(\tau,T;V)$, 则 $u$ 称为强解.

在这一部分, 我们结合空间区域分解技术和 Garlekin 方法建立了在外力项具有最低正则性时初值问题 (2.7)-(2.9) 式解的存在性, 然后利用能量方法得到了解的唯一性和稳定性. 这个想法来源于文献 [5].

从这里开始, 我们记 $\mathcal{C}_H=\mathcal{C}^0([-h,0];H)$ 且 $L^2_X=L^2(-h,0;X)$, 这里 $X=H,V,V'$.

为了获得初值问题 (2.7)-(2.9) 式解的整体适定性, 我们需要给出含时滞的外力项的假设条件. 设函数 $g: \mathbb{R}\times \mathcal{C}_H\mapsto \mathbb{L}^2(\Omega)$ 满足

(H1) 对于任意 $\xi\in \mathcal{C}_H$, 函数 $t\in \mathbb{R}\mapsto g(t,\xi)\in \mathbb{L}^2(\Omega)$ 是可测的;

(H2) $g(t,0)=0$ 对于所有的 $t\in \mathbb{R}$;

(H3) 存在一个常数 $L_g>0$ 使得对于任意 $t\in \mathbb{R},\ \xi, \eta\in \mathcal{C}_H$,

(H4) 存在一个常数 $C_g>0$ 使得对于所有 $\tau\leqslant t$, $u, v\in \mathcal{C}^0([\tau-h,t];H)$,

注 3.1 满足假设 (H1)-(H4) 的函数 $g(t,u_t)$ 是存在的, 参考文献 [7,8].

方程 (2.7)-(2.9) 解的整体存在性, 唯一性的结果如下.

定理 3.1 [解的存在性和唯一性] 假设 $g: \mathbb{R}\times \mathcal{C}_H\mapsto \mathbb{L}^2(\Omega)$ 满足 (H1)-(H4) 的假设, 则

(1) 对 $f\in L^2_{\rm loc}(\mathbb{R};V')$ 和 $(u^{\rm in}, \phi^{\rm in})\in H\times L_H^2$, 方程 (2.7)-(2.9) 存在唯一的弱解$u(\cdot)$ 满足

(2) 对 $f\in L^2_{\rm loc}(\mathbb{R};H)$ 和 $(u^{\rm in}, \phi^{\rm in})\in V\times L^2_V$, 方程 (2.7)-(2.9) 存在唯一的强解 $u(\cdot)$ 满足

证 因为 (2) 的证明与 (1) 的证明完全相似, 所以下面我们仅仅证明 (1).

步骤 1 无界区域 $\Omega$ 的分解

设 $\{\Omega_N\}, N=1, 2,\cdot\cdot\cdot$ 是 $\Omega$ 的单连通有界子区域组成的序列, $\partial \Omega_N$ 是 $\mathcal{C}^\infty$ 的且当 $N\rightarrow \infty$ 时, 有 $\Omega_{N}\rightarrow \Omega$. 设

考虑方程 (2.7)-(2.9) 在有界域 $\Omega_N$ 上的初值问题

其中 $f^N$ 是 $f$ 在 $V'_N$ 上的投影, $g^N$ 是 $g$ 在 $\mathbb{L}^2(\Omega_N)$ 上的投影, $u^{N \rm in}, \phi^{N \rm in}$ 分别是 $u^{ \rm in}, \phi^{\rm in}$ 在 $H_N$ 上的投影.

步骤 2 初值问题 (3.1)-(3.3) 解的存在性和唯一性

利用经典的 Faedo-Galerkin 方法, 我们可以证明如下结果 (与文献 [26] 中的证明方式完全类似).

定理 3.2 假设 $g^N: \mathbb{R}\times \mathcal{C}_{H_N}\mapsto \mathbb{L}^2(\Omega_N)$ 在 $\Omega_N$ 上满足 (H1)-(H4), 则

(1) 对 $f^N\in L^2_{\rm loc}(\mathbb{R};V'_N)$ 且 $(u^{N\rm in}, \phi^{N\rm in})\in H_N\times L_{H_N}^2$, 方程 (2.7)-(2.9) 存在唯一的弱解满足

(2) 对 $f^N\in L^2_{\rm loc}(\mathbb{R};H_N)$ 且 $(u^{N\rm in}, \phi^{N\rm in})\in V_N\times L^2_{V_N}$, 方程 (2.7)-(2.9) 有一个唯一的强解满足

步骤 3 方程(2.7)-(2.9)的解的存在性

设 $H_N, V_N$ 是第一步中所定义的, 且进一步满足 $H_1\subset H_2\subset \cdot\cdot\cdot \subset H$ 和 $V_1\subset V_2\subset \cdot\cdot\cdot \subset V.$

(3.1) 式和 $u^N$ 作内积得

由 (2.1) 式和

我们有

由 Hölder 不等式, 我们有

和

在这里, 我们应用了 $\rm{(H2)}$ 和 $\rm{(H3)}$ 和嵌入 $V_N\hookrightarrow H_N$. 由 (3.5)-(3.7) 式可得

对 (3.8) 式在 $[\tau,t]$ 上积分有

对任意的 $N\in \mathbb{Z}_+$, 有

由 (3.10) 式我们可以得到

由 (3.11) 式我们可以得到对任意的 $t\in[\tau,T]$, 存在常数 $M_1$ 和 $M_2$ 且它们不依赖于 $N$, 使得

另一方面, (3.1) 式表明

由引理 2.1 中的 (2.2) 式我们有

由引理 2.1 中的 (2.3) 式和 (2.4) 式我们有

由引理 2.1 中的 (2.5) 式我们有

由嵌入 $H\hookrightarrow V'$ 及 $\rm{(H2)}$ 和 $\rm{(H3)}$ 我们有

由 (3.14)-(3.18) 式可得

这里 $c_5$ 只依赖于 $\mu_1, c_2, c_3, c_4, L_g$. 对 (3.18) 式在 $[\tau,T]$ 积分有

这里由 (3.10) 式, (3.12) 式和 (3.13) 式可知 $M_3$ 是与 $N$ 无关的.

由 (3.12) 式, (3.13) 式和 (3.20) 式可知, 通过对角线选取法, 我们可以得到一个子列 (仍然用相同的符号表示) $\{u^{N}\}$ 和某个元素 $u\in L^{\infty}(\tau,T;H)\cap L^2(\tau,T;V)$ 和 $u'\in L^2(\tau,T;V')$ 使得

由(3.21)-(3.23) 式和空间嵌入定理 (见文献 [11])可得

由 (3.20) 式可知对任意的 $N, M\in \mathbb{Z}_+$, 我们有

由 (3.13) 式可知对任意的 $N\in \mathbb{Z}_+$, 我们有

由 (3.25)-(3.26) 式可知对任意的 $M\in \mathbb{Z}_+$, 嵌入 $V_{M} \hookrightarrow \mathbb{H}_0^1(\Omega_{M})\hookrightarrow V'_{M}$ 是紧嵌入和嵌入定理 (见文献 [17]) 可得存在一个子序列(仍然用相同的符号表示) $\{u^{N}\}$ 使得

为了获得方程 (2.7)-(2.9) 的弱解, 我们需要取极限 $N\rightarrow \infty$. 下面我们证明对于任意 $v\in \mathcal{C}^1([\tau,T];V)$ 有下面的收敛关系

(3.28) 式和 (3.29) 式的证明: 由 (3.22) 式, 我们得到 (3.28)-(3.29) 式成立.

(3.30) 式的证明: 由 (2.3) 式, (2.4) 式和嵌入 $\mathbb{H}_0^1(\Omega)\hookrightarrow H$, 我们有

因此, 由 (3.33) 式, Hölder 不等式和 (3.27) 式, 我们有

(3.31) 式的证明: 由 (2.5) 式和类似于文献 [5, (2.85)] 不等式的推导, 我们有

由(3.27) 和 (3.34) 式可得

(3.32) 式的证明: 由 Hölder 不等式和 (H4), 我们有

由

$\phi^{Nin}\rightarrow \phi^{in}$ 在 $L^2(\tau-h,\tau;H)$ 中强收敛和嵌入 $\mathbb{H}_0^1(\Omega)\hookrightarrow H$ 和 (3.27) 式我们有

由 (3.35)-(3.36) 式可得

特别地, 我们取 $v\in \mathcal{C}^1([\tau,T];V)$ 且 $v(T)=0$. 对方程 (3.1)-(3.3) 中 $N$ 取极限, 由 (3.28)-(3.32) 式可知

这表明

在 $\mathcal{D}'(\tau,T; V')$ 条件下成立.

接下来我们验证 $u(t)$ 满足初始条件. 对任意的 $v\in \mathcal{C}^1([\tau,T];V)$且 $v(T)=0$, 由 (3.38) 式可知

比较 (3.37) 式和 (3.39) 式, 我们有

即

由于 $\phi^{Nin}\rightarrow \phi^{in}$ 在 $L^2(\tau-h,\tau;H)$ 强收敛, 因此可以将函数$u(t), t\in [\tau, T]$ 作如下自然延拓

因此我们证明了$u(t)$ 是方程 (2.7)-(2.9) 的一个弱解.

步骤 4 方程 (2.7)-(2.9) 的解的唯一性

假设对于初始条件 $u(\tau)=v(\tau)=u^{in}$ 和时滞条件 $u(t,x)=v(t,x)=\phi^{\rm in}(t-\tau), t\in(\tau-h,\tau)$, 方程 (2.7)-(2.9) 在区间 $(\tau-h,T]$ 上存在两个不同的解 $u$ 和 $v$. 记 $w=u-v$, 对 $t\in (\tau, T]$ 我们有

将 (3.40) 式和 $w(t)$ 做内积, 有

由 (2.3)-(2.4) 式可知

根据 $\mu(u)$ 的单调性, 我们可以得出 (见文献 [5,13,26])

由条件 (H3) 可得

结合 (2.1) 式和 (3.42)-(3.45) 式我们有

这表明

对 (3.47) 式在 $[\tau,t]$ 上积分有

对 (3.47) 式应用 Gronwall 引理有

这意味着 $u(t)=v(t), \,\forall\, t\in (\tau-h,T].$ 证毕.

解关于初值的稳定性结果如下, 证明方法可参考文献 [23], 为了文章的完整性, 这里我们也给出具体的证明过程.

定理 3.3(解关于初值的稳定性) 假设 $g: \mathbb{R}\times \mathcal{C}_H\mapsto \mathbb{L}^2(\Omega)$ 满足假设 (H1)-(H4), $u, v$ 是对应初始条件 $(u^{\rm in}, \phi^{\rm in})$ 和 $(v^{\rm in},\psi^{\rm in})$ 的两个解, 那么

(1) 对于 $f\in L^2_{\rm loc}(\mathbb{R};V')$, $(u^{\rm in}, \phi^{\rm in}), (v^{\rm in},\psi^{\rm in}) \in H\times L_H^2$, 则对于所有的 $t\geqslant \tau$, 我们有

这里 $\ell(u(t))=c\displaystyle\int_\tau^t(\|u(s)\|_V^2+1){\rm d}s$.

(2) 对于 $f\in L^2_{\rm loc}(\mathbb{R};H)$, $(u^{\rm in},\phi^{\rm in}), (v^{\rm in},\psi^{\rm in}) \in V\times L^2_V$, 则对于所有的 $t\geqslant \tau$, 我们有

证 我们首先估计 (3.48) 式. 记

则 $w$ 满足

对 (3.51) 式作内积有

由 (2.4) 式可知

由 (2.3) 式和 Young 不等式可得

由于 $\alpha\in(0,1)$, 我们可得 (见文献 [26])

由 Young 不等式可得

由 (2.1) 式和 (3.53)-(3.57) 式可得

因此

对 (3.59) 式在 $[\tau,t]$ 中积分, 由条件 (H3) 可得

即

因此, 由 Gronwall 引理可知不等式 (3.48) 成立.

接下来, 我们证明 (3.49) 式. 对 (3.58) 式在 $[\tau,t]$ 中积分, 由 (H3) 可得

即

则不等式 (3.49) 可由 (3.18) 式和 (3.61) 式得到.

最后, 我们证明 (3.50) 式. 因为 $u$ 和 $v$ 是方程 (2.7)-(2.9) 的两个强解, 因此, $w=u-v$ 满足下面方程

由 (2.3) 式, Cauchy 不等式, Hölder 不等式和嵌入 $\mathbb{H}^2(\Omega)\hookrightarrow {\mathbb{L}}^\infty(\Omega)$,

我们可得

类似文献 [24] 中的估计, 我们有

由 Hölder 不等式可得

由 (3.63)-(3.65) 式可得

(3.62) 式在 $[\tau,t]$ 上积分, 由 (H3) 可得

由 (2.1) 式和 (3.67) 式可知

因此, 由 (3.68) 式和 Gronwall 引理可知 (3.50) 式成立, 证明完成.