数学物理学报, 2023, 43(6): 1710-1722

分数阶 Burgers 方程时间周期弱解的唯一性与渐近稳定性

徐斐,1, 张勇,2,*

1江苏大学数学科学学院 江苏镇江 212013

2江苏大学应用系统分析研究院 江苏镇江 212013

Uniqueness and Asymptotic Stability of Time-Periodic Solutions for the Fractional Burgers Equation

Xu Fei,1, Zhang Yong,2,*

1School of Mathematical Sciences, Jiangsu University, Jiangsu Zhenjiang 212013

2Institute of Applied System Analysis, Jiangsu University, Jiangsu Zhenjiang 212013

通讯作者: *张勇，E-mail: 18842629891@163.com

收稿日期: 2022-10-8   修回日期: 2023-04-10  

基金资助: 国家自然科学基金(11971202)

Received: 2022-10-8   Revised: 2023-04-10  

Fund supported: NSFC(11971202)

作者简介 About authors

徐斐，E-mail:xufeiujs@126.com

摘要

该文主要讨论实轴上分数阶 Burgers 方程时间周期弱解的性质. 首先利用伽辽金逼近和傅里叶展开的方法, 得到了分数阶 Burgers 方程对应的线性化问题时间周期弱解的存在性. 然后通过构造合适的压缩映射, 得到了非线性方程时间周期弱解的存在唯一性, 并进一步证明了该时间周期弱解是渐近稳定的. 此外, 该文中的方法也可以用来处理有界区间上的问题, 并进一步提升了文献 [5] 中已有的结果.

关键词： 唯一性; 分数阶; 压缩映射; 渐近稳定性

Abstract

The paper is concerned with the time-periodic (T-periodic) problem of fractional Burgers equation on the real line. Based on the Galerkin approximates and Fourier expansion, we first prove the existence of T-periodic solution to a linearized version. Then, the existence and uniqueness of T-periodic solution for the nonlinear equation are established by constructing a suitable contraction mapping. Furthermore, we show that the unique T-periodic solution is asymptotically stable. In addition, our method can be extended to the classical forced Burgers equation in a bounded region, which improves the known result.

Keywords： Uniqueness; Fractional order; Contraction mapping; Asymptotic stability

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本文引用格式

徐斐, 张勇. 分数阶 Burgers 方程时间周期弱解的唯一性与渐近稳定性[J]. 数学物理学报, 2023, 43(6): 1710-1722

Xu Fei, Zhang Yong. Uniqueness and Asymptotic Stability of Time-Periodic Solutions for the Fractional Burgers Equation[J]. Acta Mathematica Scientia, 2023, 43(6): 1710-1722

1 引言和主要结果

对 Burgers 方程[3]的研究已经有很长的历史, 其中 Cole[6]和 Hopf[11] 引入了 Cole-Hopf 变换, 该变换可以把齐次 Burgers 方程转化为热方程, 从而为求解齐次 Burgers 方程提供了新的思路. 这些年, 随着在一些物理现象中不均匀扩散的出现[2,7], 越来越多的学者开始关注下面分数阶 Burgers 方程

$u_{t}+uu_{x}+\kappa\Lambda^{\alpha}u=0,$

其中 $\kappa>0$ 表示黏性系数, $0<\alpha<2$ 表示耗散指数. 分数阶耗散项 $\Lambda^{\alpha}u=(-\partial_{xx})^{\frac{\alpha}{2}}u$ 由下面傅里叶变换所定义

$\widehat{\Lambda^{\alpha}u}(\xi)=|\xi|^{\alpha}\hat{u}(\xi).$

与经典的整数阶模型相比, 分数阶扩散具有在动态发展过程中保持记忆特性和遗传特性的能力, 这使得在一些物理现象中用分数阶模型更加准确. 此外, 分数阶拉普拉斯还可以理解为稳态 Lévy 扩散过程的无穷小生成子, 它们也会出现在等离子体物理[17]、拟地转流[4]和湍流的异常扩散中[3]. 从数学层面来考虑, 上述分数阶 Burgers 方程的适定性严格依赖于耗散指数 $\alpha$ 的取值范围 (参见文献 [8,15,18]). 在超临界耗散情形 ($0<\alpha<1$), 该分数阶 Burgers 方程是局部适定的, 且它的解会在有限时刻发展为梯度爆破. 在临界耗散情形 ($\alpha=1$) 和次界耗散情形 ($1<\alpha<2$), 方程的解整体适定, 有限时间内不会出现奇性. 此外, 在文献 [9] 中考虑了次临界情形下 Burgers 方程弱解的整体正则化效应, 在文献 [1] 中考虑了超临界情形下 Burgers 方程弱解的非唯一性. 在文献 [13] 中还得到了临界情形下方程解的解析性和大时间行为.

最近, 有一些数学家[5,19]考虑了在有界区域上时间周期外力驱动下的 Burgers 方程

$u_{t}+uu_{x}-\kappa u_{xx}=f, \quad (t,x)\in [T]\times \mathbb{S},$

其中 $f(t,x)$ 时间周期外力, 即 $f(t+T,x)=f(t,x)$. 在文献 [5] 中, 作者在假设条件 $f\in C(0,T;L^{2}(\mathbb{S})\cap C^{1}(0,T;L^{2}(\mathbb{S}))$ 成立的前提下, 可以在空间 $C(0,T;C^{1}(\mathbb{S})\cap C^{1}(0,T;L^{2}(\mathbb{S}))$ 中找到唯一的时间周期弱解. 这里我们的结果不仅可以提升该结论, 而且还可以处理如下全空间分数阶外力驱动下的 Burgers 方程

$u_{t}+uu_{x}+\kappa\Lambda^{\alpha}u=f,\quad (t,x)\in [T]\times \mathbb{R},$

其中 $1<\alpha\leq 2$, $f(t,x)$ 表示时间周期外力. 在物理上, 该方程可用于描述一维空间中时间周期外力作用下粘性非均匀扩散液体的流动. 当对流体施加一个时间周期的外力, 可以预期之后的流动会经历一个相同时间周期的运动. 这是研究时间周期分数阶 Burgers 方程的一个主要动机. 因此, 我们很自然地会提出疑问, 方程 (1.1) 在数学上是否存在时间周期解. 事实上, 时间周期解的存在性受到了许多数学家的关注, 例如文献 [10,12,16,20]. 但是据我们所知, 全空间中分数阶 Burgers 方程 (1.1) 的时间周期解的性质很少有人研究. 在这篇文章中, 我们将给出该问题的部分研究结果. 当 $f\leq cg$ 其中 $c$ 为常数, 简记 $f\lesssim g$, 令 $H^{s}(\mathbb{R})$ 和 $\dot{H}^{s}(\mathbb{R})$ 分别表示非齐次和齐次索伯列夫空间. 这篇文章的主要结果是有关于方程 (1.1) 时间周期弱解的存在唯一性和渐近稳定性, 定理陈述如下.

定理 1.1 假设 $1<\alpha<\frac{3}{2}$, $f\in X=H^{1}(0,T;\dot{H}^{-\frac{\alpha}{2}}(\mathbb{R}))\cap L^{2}(0,T;L^{2}(\mathbb{R}))\cap L^{2}(0,T;\dot{H}^{-\alpha}(\mathbb{R}))$ 且外力 $f(t,x)$ 满足

$\|f\|_{X}<C(\kappa,\alpha),\quad \|f(0)\|_{ \dot{H}^{-\frac{\alpha}{2}}(\mathbb{R})}=\|f(T)\|_{ \dot{H}^{-\frac{\alpha}{2}}(\mathbb{R})},$

其中 $C(\kappa,\alpha)=\min\{ \frac{2\kappa^{2}\sqrt{2(3-2\alpha)}}{9(\kappa+1)^{2}(\sqrt{2(3-2\alpha)}+1)}, \frac{\kappa^{2}}{6(\kappa+1)^{2}} \}$, 那么问题 (1.1) 存在唯一时间周期弱解

$u\in H^{1}(0,T;H^{\frac{\alpha}{2}}(\mathbb{R}))\cap L^{2}(0,T;\dot{H}^{\alpha}(\mathbb{R})),$

并在 $H^{\frac{\alpha}{2}}(\mathbb{R})$ 范数意义下满足 $u(0)=u(T)$, 而且不等式

$\|u\|_{H^{1}(0,T;H^{\frac{\alpha}{2}}(\mathbb{R}))}+\|\Lambda^{\alpha}u\|_{L^{2}(0,T;L^{2}(\mathbb{R}))}\leq 3(1+\frac{1}{\kappa})\|f\|_{X}$

成立. 此外, 上述得到的时间周期弱解 $u(t,x)$ 是渐近稳定的. 也就是说, 如果 $U(t,x)$ 是初值为 $U_{0}\in L^{2}(\mathbb{R})$ 柯西问题 (1.1) 的弱解, 那么

$\|U-u\|_{L^{\infty}(0,T;L^{2}(\mathbb{R}))\cap L^{2}(0,T;\dot{H}^{\frac{\alpha}{2}}(\mathbb{R}))}\leq \|U_{0}-u(0)\|_{L^{2}(\mathbb{R})}.$

注 1.1 基于文献 [20] 中的结果, 我们知道当 $U_{0}\in L^{2}(\mathbb{R})$ 且 $f\in X$, 那么柯西问题 (1.1) 一定存在一个全局弱解 $U\in L^{\infty}([0,T),L^{2}(\mathbb{R}))\cap L^{2}([0,T),\dot{H}^{\frac{\alpha}{2}}(\mathbb{R}))$, 并且当 $T>0$ 时该弱解满足

$\begin{aligned} & -\int^{T}_{0}\langle U, \psi_{t}\rangle {\rm d}t-\frac{1}{2}\int^{T}_{0}\langle U^{2},\psi_{x}\rangle {\rm d}t+\int^{T}_{0}\langle\Lambda^{\frac{\alpha}{2}}U, \Lambda^{\frac{\alpha}{2}}\psi\rangle {\rm d}t \nonumber\\ &=\langle U_{0},\psi(x,0)\rangle+\int^{T}_{0}\langle f,\psi\rangle {\rm d}t, \quad \psi\in C_{c}^{\infty}([0,T)\times \mathbb{R}). \end{aligned}$

另外值得注意的是, 证明上述定理 1.1 的方法也可以用来提升有界区间上经典 Burgers 方程的结果, 具体陈述如下.

推论 1.1(当 $\alpha=2$) 假设 $f\in X=H^{1}(0,T;\dot{H}^{-1}(\mathbb{S}))\cap L^{2}(0,T;L^{2}(\mathbb{S}))$ 且外力 $f(t,x)$ 满足

$\|f\|_{X}<\frac{\kappa^{2}}{6(\kappa+1)^{2}},\quad \|f(0)\|_{\dot{H}^{-1}(\mathbb{S})}=\|f(T)\|_{\dot{H}^{-1}(\mathbb{S})},$

那么带 Dirichlet 边界条件的方程 (1.1) 存在唯一的时间周期解

$u\in H^{1}(0,T;H^{1}(\mathbb{S})),$

且该解 $u$ 满足 $\|u(0)\|_{H^{1}(\mathbb{S})}=\|u(T)\|_{H^{1}(\mathbb{S})}$ 以及

$\|u\|_{H^{1}(0,T;H^{1}(\mathbb{S}))}\leq 3(1+\frac{1}{\kappa})\|f\|_{X}.$

此外该时间周期解 $u(t,x)$ 也是渐近稳定的. 也就是说,

$\|U-u\|_{L^{\infty}(0,T;L^{2}(\mathbb{S}))\cap L^{2}(0,T;\dot{H}^{1}(\mathbb{S}))}\leq \|U_{0}-u(0)\|_{L^{2}(\mathbb{S})}.$

注 1.2 与参考文献 [5, 定理 1.1] 相比, 推论 1.1 中对外力 $f$ 的限制更少, 这在一定程度上提升了文献 [5] 中的结果.

本文写作思路如下, 在第 2 节中, 我们利用对时间变量的傅里叶展开和对空间变量的伽辽金逼近的方法证明了方程 (1.1) 对应的线性化问题解的存在唯一性. 在第 3 节中, 主要通过构造合适的压缩映射来证明定理 1.1. 最后一节中, 我们主要在有界区间处理 $\alpha=2$ 的情况, 即证明推论 1.1.

2 线性化问题

在这节中, 我们主要考虑方程 (1.1) 对应的线性化问题

$u_{t}+\kappa\Lambda^{\alpha}u=f,\quad (t,x)\in[T]\times \mathbb{R},$

其中 $\kappa>0$ 且 $1<\alpha<\frac{3}{2}$. 受文献 [5,12] 的启发, 我们利用傅里叶展开和伽辽金逼近的方法可得到

定理 2.1 假设 $f\in X=H^{1}(0,T;\dot{H}^{-\frac{\alpha}{2}}(\mathbb{R}))\cap L^{2}(0,T;L^{2}(\mathbb{R}))\cap L^{2}(0,T;\dot{H}^{-\alpha}(\mathbb{R}))$ 且在 $\dot{H}^{-\frac{\alpha}{2}}(\mathbb{\mathbb{R}})$ 范数意义下 $f(0)=f(T)$, 那么问题 (2.1) 存在唯一的时间周期弱解

$u\in H^{1}(0,T;H^{\frac{\alpha}{2}}(\mathbb{R}))\cap L^{2}(0,T;\dot{H}^{\alpha}(\mathbb{R})),$

且满足在 $H^{\frac{\alpha}{2}}(\mathbb{R})$ 意义下 $u(0)=u(T)$ 以及

$\|u\|_{H^{1}(0,T;H^{\frac{\alpha}{2}}(\mathbb{R}))}+\|\Lambda^{\alpha}u\|_{L^{2}(0,T;L^{2}(\mathbb{R}))}\leq (1+\frac{1}{\kappa})\|f\|_{X}.$

证 为了更清晰的展示证明过程, 我们首先给出定理 2.1 的证明思路. 对于任给 $\varphi\in C^{\infty}_{0,T}((0,T)\times \mathbb{R})=:\{\varphi\in C^{\infty}_{0}| \varphi(0)=\varphi(T)\}$, 我们首先尝试找到函数 $u\in H^{1}(0,T;\dot{H}^{\frac{\alpha}{2}}(\mathbb{R}))$ 以及 $u_{t}\in L^{2}(0,T;L^{2}(\mathbb{R}))$ 满足

$\int^{T}_{0}\int_{\mathbb{R}}u_{t}\varphi {\rm d}x{\rm d}t+\kappa\int^{T}_{0}\int_{\mathbb{R}}\Lambda^{\frac{\alpha}{2}}u\Lambda^{\frac{\alpha}{2}}\varphi {\rm d}x{\rm d}t=\int^{T}_{0}\int_{\mathbb{R}}f\varphi {\rm d}x{\rm d}t.$

然后证明

$\|u(0)\|_{H^{\frac{\alpha}{2}}(\mathbb{R})}=\|u(T)\|_{H^{\frac{\alpha}{2}}(\mathbb{R})},$
$\|\Lambda^{\frac{\alpha}{2}}u\|_{L^{2}(0,T;L^{2}(\mathbb{R}))}\leq \frac{1}{\kappa}\|f\|_{L^{2}(0,T;\dot{H}^{-\frac{\alpha}{2}}(\mathbb{R}))},$
$\|u_{t}\|_{L^{2}(0,T;L^{2}(\mathbb{R}))}\leq \|f\|_{L^{2}(0,T;L^{2}(\mathbb{R}))},$
$\|\Lambda^{\frac{\alpha}{2}}u_{t}\|_{L^{2}(0,T;L^{2}(\mathbb{R}))}\leq \frac{1}{\kappa} \|f_{t}\|_{L^{2}(0,T;\dot{H}^{-\frac{\alpha}{2}}(\mathbb{R}))}.$

最后, 我们用傅里叶分析的方法提升解的正则性, 也就是说建立估计

$\|u\|_{L^{2}(0,T;L^{2}(\mathbb{R}))}\leq \frac{1}{\kappa}\|f\|_{L^{2}(0,T;\dot{H}^{-\alpha}(\mathbb{R})))}$

和

$\|\Lambda^{\alpha}u\|_{L^{2}(0,T;L^{2}(\mathbb{R}))}\leq \frac{1}{\kappa} \|f\|_{L^{2}(0,T;L^{2}(\mathbb{R}))}.$

下面我们分三步来完成定理 2.1 的证明

第一步 证明周期逼近序列 $\{u_{nm}\}$ 的存在性和一致有界性.

令 $\{\psi_{j}\}\subset C^{\infty}_{0}(\mathbb{R})$ 是空间 $H^{\frac{\alpha}{2}}(\mathbb{R})$ 的一组基且满足

$\int_{R}\Lambda^{\frac{\alpha}{2}}\psi_{j}\Lambda^{\frac{\alpha}{2}}\psi_{k}{\rm d}x=\delta_{jk},\quad \forall j,k\in N.$

因为想证明时间周期解的存在性, 我们不妨假设方程 (2.1) 的解可以写为

$u=\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}(t,x), \nonumber$

其中

$u_{n}(t,x)=\sum_{l=1}^{n}a(n)_{l}(x)\sin(\frac{2l\pi t}{T})+\sum_{l=0}^{n}b(n)_{l}(x)\cos(\frac{2l\pi t}{T}).$

对于每个固定的 $n\in N$, 我们首先构造伽辽金逼近序列 $\{u_{nm}\}_{m\in N}$

$u_{nm}(t,x)=\sum_{l=1}^{n}[\sum_{k=0}^{m}a(n,m)_{lk}\psi_{k}(x)]\sin(\frac{2l\pi t}{T})+\sum_{l=0}^{n}[\sum_{k=0}^{m}b(n,m)_{lk}\psi_{k}(x)]\cos(\frac{2l\pi t}{T})$

在分布意义 (2.3) 下满足线性方程 (2.1).

现在我们证明逼近解序列 $u_{nm}(t,x)$ (即系数 $a(n,m)_{lk}$ 和 $b(n,m)_{lk}$) 是存在且唯一的. 为了实现这一目标, 我们选择测试函数 $\varphi\in C^{\infty}_{0,T}((0,T)\times \mathbb{R})$ 且有如下形式

$\varphi(t,x)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=0}^{m}\psi_{j}(x)\sin(\frac{2i\pi t}{T})+\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m}\psi_{j}(x)\cos(\frac{2i\pi t}{T}).$

把 (2.12) 和 (2.13) 式带入到 (2.3) 式, 我们可得

$\int_{0}^{T}\int_{\mathbb{R}}\partial_{t}u_{nm}\psi_{j}(x)\sin(\frac{2i\pi t}{T}){\rm d}x{\rm d}t+\kappa\int_{0}^{T}\int_{\mathbb{R}}\Lambda^{\frac{\alpha}{2}}u_{nm}\Lambda^{\frac{\alpha}{2}}\psi_{j}(x)\sin(\frac{2i\pi t}{T}){\rm d}x{\rm d}t \nonumber\\ =\int^{T}_{0}\int_{\mathbb{R}}f\psi_{j}(x)\sin(\frac{2i\pi t}{T}){\rm d}x{\rm d}t, \quad (i=1:n, j=0:m)$

和

$\int_{0}^{T}\int_{\mathbb{R}}\partial_{t}u_{nm}\psi_{j}(x)\cos(\frac{2i\pi t}{T}){\rm d}x{\rm d}t+\kappa\int_{0}^{T}\int_{\mathbb{R}}\Lambda^{\frac{\alpha}{2}}u_{nm}\Lambda^{\frac{\alpha}{2}}\psi_{j}(x)\cos(\frac{2i\pi t}{T}){\rm d}x{\rm d}t \nonumber\\ =\int^{T}_{0}\in t_{\mathbb{R}}f\psi_{j}(x)\cos(\frac{2i\pi t}{T}){\rm d}x{\rm d}t, \quad (i=0:n, j=0:m).$

考虑到三角函数如下的正交性质

$\begin{aligned} &\int^{T}_{0}\sin(\frac{2l\pi t}{T})\cos(\frac{2i\pi t}{T}){\rm d}t=0, \quad \forall l,i\in N_{0}, \nonumber\\ & \int^{T}_{0}\sin(\frac{2l\pi t}{T})\sin(\frac{2i\pi t}{T}){\rm d}t= \int^{T}_{0}\cos(\frac{2l\pi t}{T})\cos(\frac{2i\pi t}{T}){\rm d}t=\frac{T}{2}\delta_{il}, \end{aligned}$

则 (2.14) 和 (5.15) 式可约化为

$- i\pi\sum_{k=0}^{m}b(n,m)_{ik}\int_\mathbb{{R}}\psi_{k}(x)\psi_{j}(x){\rm d}x+\frac{\kappa T}{2}a(n,m)_{ij} \nonumber\\ =\int^{T}_{0}\int_{\mathbb{R}}f\psi_{j}(x)\sin(\frac{2i\pi t}{T}){\rm d}x{\rm d}t, \quad (i=1:n, j=0:m)$

和

$i\pi\sum_{k=0}^{m}a(n,m)_{ik}\int_{\mathbb{R}}\psi_{k}(x)\psi_{j}(x){\rm d}x+\frac{\kappa T}{2}b(n,m)_{ij} \nonumber\\ =\int^{T}_{0}\int_{\mathbb{R}}f\psi_{j}(x)\cos(\frac{2i\pi t}{T}){\rm d}x{\rm d}t, \quad (i=0:n, j=0:m).$

那么对于固定的 $i\in \{1,2,\cdots,n\}$, 我们可以把 (2.16) 和 (2.17) 式写成如下的代数方程组

$Ay=F,$

其中 $A$ 是如下 $(2m+2)\times(2m+2)$ 的矩阵

$\begin{equation} \nonumber \left[ \begin{array}{cc} \frac{\kappa T}{2}\delta_{jk} & -{ i}\pi\int_{R}\psi_{j}(x)\psi_{k-m-1}(x)\\ (k=0:m, j=0:m) & (k=m+1:2m+1, j=0:m)\\ { i}\pi\int_{R}\psi_{j-m-1}(x)\psi_{k}(x) & \frac{\kappa T}{2}\delta_{(j-m-1)(k-m-1)} \\ (k=0:m, j=m+1:2m+1) & (k=m+1:2m+1, j=m+1:2m+1)\\ \end{array} \right], \end{equation}$

$y$ 是如下 $(2m+2)\times 1$ 的向量

$\begin{equation} \nonumber\\ \left[ \begin{array}{c} a(n,m)_{ij} \\ (j=0:m) \\ b(n,m)_{i(j-m-1)} \\ (j=m+1:2m+1) \\ \end{array} \right] \end{equation}$

$F$ 也是如下 $(2m+2)\times 1$ 的向量

$\begin{equation} \nonumber\\ \left[ \begin{array}{c} \int^{T}_{0}\int_{R}f\psi_{j}(x)\sin(\frac{2i\pi t}{T}){\rm d}x{\rm d}t \\ (j=0:m) \\ \int^{T}_{0}\int_{R}f\psi_{j-m-1}(x)\cos(\frac{2i\pi t}{T}){\rm d}x{\rm d}t \\ (j=m+1:2m+1) \\ \end{array}\right].\end{equation}$

易证矩阵 $A$ 是可逆的, 那么由 (2.18) 式可得

$y=A^{-1}F$

是可以被唯一确定的.

现在我们建立伽辽金逼近解 $u_{nm}(t,x)$ 的一致估计. 用 $a(n,m)_{ij}$ 作用 (2.14) 式, 用 $b(n,m)_{ij}$ 作用 (2.15) 式, 并把他们相加可得

$\int^{T}_{0}\int_{\mathbb{R}}\partial_{t}u_{nm}u_{nm}{\rm d}x{\rm d}t+\kappa\int^{T}_{0}\int_{\mathbb{R}}|\Lambda^{\frac{\alpha}{2}}u_{nm}|^{2}{\rm d}x{\rm d}t=\int^{T}_{0}\int_{\mathbb{R}}fu_{nm}{\rm d}x{\rm d}t,$

由于 $u_{nm}(t)$ 是时间周期的, 这表明

$\|\Lambda^{\frac{\alpha}{2}}u_{nm}(t)\|_{L^{2}(0,T;L^{2}(\mathbb{R}))}\leq \frac{1}{\kappa}\|f\|_{L^{2}(0,T;\dot{H}^{-\frac{\alpha}{2}}(\mathbb{R}))}$

类似地, 用 $-b(n,m)_{ij}\frac{2i\pi}{T}$ 作用 (2.14) 式, 用 $a(n,m)_{ij}\frac{2i\pi}{T}$ 作用 (2.15) 式, 并把他们相加可得

$\int^{T}_{0}\int_{\mathbb{R}}|\partial_{t}u_{nm}|^{2}{\rm d}x{\rm d}t+\kappa\int^{T}_{0}\int_{\mathbb{R}}\Lambda^{\frac{\alpha}{2}}u_{nm}\partial_{t}\Lambda^{\frac{\alpha}{2}}u_{nm}{\rm d}x{\rm d}t =\int^{T}_{0}\int_{\mathbb{R}}f\partial_{t}u_{nm}{\rm d}x{\rm d}t.$

由于 $\Lambda^{\frac{\alpha}{2}}u_{nm}(t)$ 是时间周期的, 那么

$\|\partial_{t}u_{nm}(t)\|_{L^{2}(0,T;L^{2}(\mathbb{R}))}\leq \|f\|_{L^{2}(0,T;L^{2}(\mathbb{R}))}.$

最后用 $-a(n,m)_{ij}(\frac{2i\pi}{T})^{2}$ 作用 (2.14) 式, 用 $-b(n,m)_{ij}(\frac{2i\pi}{T})^{2}$ 作用 (2.15) 式, 并把他们相加可得

$\int^{T}_{0}\int_{\mathbb{R}}\partial_{t}u_{nm}\partial_{tt}u_{nm}{\rm d}x{\rm d}t+\kappa\int^{T}_{0}\int_{\mathbb{R}}\Lambda^{\frac{\alpha}{2}}u_{nm}\partial_{tt}\Lambda^{\frac{\alpha}{2}}u_{nm}{\rm d}x{\rm d}t =\int^{T}_{0}\int_{\mathbb{R}}f\partial_{tt}u_{nm}{\rm d}x{\rm d}t.$

又由 $\Lambda^{\frac{\alpha}{2}}u_{nm}(t), \partial_{t}u_{nm}(t)$ 和 $f(t)$ 是时间周期的, 那么

$\|\Lambda^{\frac{\alpha}{2}}(\partial_{t}u_{nm}(t))\|_{L^{2}(0,T;L^{2}(\mathbb{R}))}\leq \frac{1}{\kappa}\|f_{t}\|_{L^{2}(0,T;\dot{H}^{-\frac{\alpha}{2}}(\mathbb{R}))}.$

因此, 当 $n$ 固定, 上述得到的一致界 (2.19)-(2.21) 式表明存在一个函数列 $u_{n}\in H^{1}(0,T;\dot{H}^{-\frac{\alpha}{2}}(\mathbb{R}))$ 且 $\partial_{t}u_{n}\in L^{2}(0,T;L^{2}(\mathbb{R}))$ 使得

$\left\{ \begin{array}{lll} \Lambda^{\frac{\alpha}{2}}u_{nm}\rightharpoonup \Lambda^{\frac{\alpha}{2}}u_{n} & \mbox{在 $L^{2}(0,T;L^{2}(\mathbb{R}))$ 中}, \\ \partial_{t}u_{nm}\rightharpoonup \partial_{t}u_{n} &\mbox{在 $L^{2}(0,T;L^{2}(\mathbb{R}))$ 中}, \\ \Lambda^{\frac{\alpha}{2}}(\partial_{t}u_{nm})\rightharpoonup \Lambda^{\frac{\alpha}{2}}(\partial_{t}u_{n}) &\mbox{在 $L^{2}(0,T;L^{2}(\mathbb{R}))$ 中}. \end{array} \right.$

由 (2.22) 可得, 对于所有 $\varphi\in C^{\infty}_{0,T}((0,T)\times \mathbb{R})$,

$\int^{T}_{0}\int_{\mathbb{R}}\partial_{t}u_{n}\varphi {\rm d}x{\rm d}t+\kappa\int^{T}_{0}\int_{\mathbb{R}}\Lambda^{\frac{\alpha}{2}}u_{n}\Lambda^{\frac{\alpha}{2}}\varphi {\rm d}x{\rm d}t=\int^{T}_{0}\int_{\mathbb{R}}f\varphi {\rm d}x{\rm d}t$

成立.

第二步 证明序列 $\{u_{n}\}$ 的周期性和一致有界性.

为了证明序列 $u_{n}$ 在空间 $H^{\frac{\alpha}{2}}(\mathbb{R})$ 是时间周期的, 定义下面子空间

$S_{m}:={\rm span}\{\Lambda^{\frac{\alpha}{2}}\psi_{0}, \Lambda^{\frac{\alpha}{2}}\psi_{1},\cdots,\Lambda^{\frac{\alpha}{2}}\psi_{m} \}\subset L^{2}(\mathbb{R}).$

由于 $S_{m}$ 是有限维的, 易得下面嵌入

$H^{1}(0,T;S_{m})\hookrightarrow C(0,T;S_{m})$

是紧的. 那么估计 (2.21) 式表明我们可以选择合适的子序列 $\{u_{nm}\}_{m\in N}$ 使得 $\Lambda^{\frac{\alpha}{2}}u_{nm}(t)\rightarrow \Lambda^{\frac{\alpha}{2}}u_{n}(t)$ 在 $[T]$ 是一致的. 又由于 $u_{nm}(t)$ 是时间周期的, 那么在空间 $\dot{H}^{\frac{\alpha}{2}}(\mathbb{R})$中 $u_{n}(0)=u_{n}(T)$. 类似的, 由 (2.20) 式可得在空间 $L^{2}(\mathbb{R})$ 中 $u_{n}(0)=u_{n}(T)$. 因此 $u_{n}(t,x)$ 在空间 $H^{\frac{\alpha}{2}}(\mathbb{R})$ 中是时间周期的, 那么可写为 (2.21) 式这样的形式.

对序列 $\{u_{n}\}$ 执行类似第一步中的过程, 可得下面一致的界

$\left\{ \begin{array}{lll} \|\Lambda^{\frac{\alpha}{2}}u_{n}\|_{L^{2}(0,T;L^{2}(\mathbb{R}))}\leq \frac{1}{\kappa}\|f\|_{L^{2}(0,T;\dot{H}^{-\frac{\alpha}{2}}(\mathbb{R}))}, \\ \|\partial_{t}u_{n}\|_{L^{2}(0,T;L^{2}(\mathbb{R}))}\leq \|f\|_{L_{2}(0,T;L^{2}(\mathbb{R}))}, \\ \|\Lambda^{\frac{\alpha}{2}}(\partial_{t}u_{n})\|_{L^{2}(0,T;L^{2}(\mathbb{R}))}\leq \frac{1}{\kappa} \|f_{t}\|_{L^{2}(0,T;\dot{H}^{-\frac{\alpha}{2}}(\mathbb{R}))}. \end{array} \right.$

那么存在一个函数 $u\in H^{1}(0,T;\dot{H}^{\frac{\alpha}{2}}(\mathbb{R}))$ 且 $u_{t}\in L^{2}(0,T;L^{2}(\mathbb{R}))$ 使得

$\left\{ \begin{array}{lll} \Lambda^{\frac{\alpha}{2}}u_{n}\rightharpoonup \Lambda^{\frac{\alpha}{2}}u &\mbox{在 $L^{2}(0,T;L^{2}(\mathbb{R}))$ 中}, \\ \partial_{t}u_{n}\rightharpoonup \partial_{t}u &\mbox{在 $L^{2}(0,T;L^{2}(\mathbb{R}))$ 中}, \\ \Lambda^{\frac{\alpha}{2}}(\partial_{t}u_{n})\rightharpoonup \Lambda^{\frac{\alpha}{2}}(\partial_{t}u) &\mbox{在 $L^{2}(0,T;L^{2}(\mathbb{R}))$ 中}. \end{array} \right.$

因此, 由 (2.23) 和 (2.25) 式可推得 (2.3) 式, 由 (2.11) 和 (2.24) 式可推得 (2.5)-(2.7) 式.

第三步 证明 $u(t,x)$ 的时间周期性和缺失的正则性

值得注意的是, 这里证明 (2.4) 式中 $u$ 的时间周期性和建立 (2.8) 和 (2.9) 式中 $u$ 的正则性不仅可以完成定理 2.1 的证明, 而且正则性 (2.8) 和 (2.9) 式在下一节处理非线性问题时也发挥着重要的作用. 现在我们首先证明 $u(t,x)$ 是时间周期的, 对于 $\varphi\in C^{\infty}_{0,T}((0,T)\times \mathbb{R})$, 由于 $u(t,x)$ 是方程 (2.3) 的弱解, 可得

$\int_{\mathbb{R}}(u(T)-u(0))\varphi(0){\rm d}x-\int^{T}_{0}\int_{\mathbb{R}}u\varphi_{t}{\rm d}x{\rm d}t+k\int^{T}_{0}\int_{\mathbb{R}}\Lambda^{\frac{\alpha}{2}}u \Lambda^{\frac{\alpha}{2}}\varphi {\rm d}x{\rm d}t =\int^{T}_{0}\int_{\mathbb{R}}f\varphi {\rm d}x{\rm d}t.$

此外, 又由 (2.23) 式可得

$\int_{\mathbb{R}}(u_{n}(T)-u_{n}(0))\varphi(0){\rm d}x-\int^{T}_{0}\int_{\mathbb{R}}u_{n}\varphi_{t}{\rm d}x{\rm d}t+k\int^{T}_{0}\int_{\mathbb{R}}\Lambda^{\frac{\alpha}{2}}u_{n} \Lambda^{\frac{\alpha}{2}}\varphi {\rm d}x{\rm d}t =\int^{T}_{0}\int_{\mathbb{R}}f\varphi {\rm d}x{\rm d}t.$

考虑到 $u_{n}(t)$ 是时间周期的, 则 (2.25) 和上式表明

$-\int^{T}_{0}\int_{\mathbb{R}}u\varphi_{t}{\rm d}x{\rm d}t+k\int^{T}_{0}\int_{\mathbb{R}}\Lambda^{\frac{\alpha}{2}}u \Lambda^{\frac{\alpha}{2}}\varphi {\rm d}x{\rm d}t =\int^{T}_{0}\int_{\mathbb{R}}f\varphi {\rm d}x{\rm d}t.$

因此由 $\varphi$ 的任意性, (2.26) 和 (2.27) 式可得 $u(t,x)$ 是时间周期的.

最后我们用傅里叶分析的技巧来证明 (2.8) 和 (2.9) 式. 对方程 (2.1) 两边取傅里叶变换, 可得

$\partial_{t}\hat{u}(t,\xi)+\kappa|\xi|^{\alpha}\hat{u}(t,\xi)=\hat{f}(t,\xi).$

由 (2.5)-(2.7) 式可知 $\||\xi|^{\frac{\alpha}{2}}\hat{u}\|_{L^{2}(0,T;L^{2}(\mathbb{R}))}$ 是有定义的. 对任意的 $r>0$, 我们有

$\|\hat{u}\|_{L^{2}(0,T;L^{2}([-r,r]^{c}))}=\||\xi|^{-\frac{\alpha}{2}}|\xi|^{\frac{\alpha}{2}}\hat{u}\|_{L^{2}(0,T;L^{2}([-r,r]^{c}))}\leq r^{-\frac{\alpha}{2}}\||\xi|^{\frac{\alpha}{2}}\hat{u}\|_{L^{2}(0,T;L^{2}(\mathbb{R}))}$

和

$\||\xi|^{\alpha}\hat{u}\|_{L^{2}(0,T;L^{2}([-r,r]))}=\||\xi|^{\frac{\alpha}{2}}|\xi|^{\frac{\alpha}{2}}\hat{u}\|_{L^{2}(0,T;L^{2}([-r,r]))}\leq r^{\frac{\alpha}{2}}\||\xi|^{\frac{\alpha}{2}}\hat{u}\|_{L^{2}(0,T;L^{2}(\mathbb{R}))},$

那么 $\|\hat{u}\|_{L^{2}(0,T;L^{2}([-r,r]^{c}))}$ 和 $\||\xi|^{\alpha}\hat{u}\|_{L^{2}(0,T;L^{2}([-r,r]))}$ 也是有定义的. 对 (2.28) 式两边同时平方, 我们可得

$|\partial_{t}\hat{u}|^{2}+\kappa^{2}|\xi|^{2\alpha}|\hat{u}|^{2}+\kappa\partial_{t}(|\xi|^{\alpha}|\hat{u}|^{2})=|\hat{f}|^{2}.$

又由 (2.31) 式可得

$\kappa^{2}|\hat{u}|^{2}+\kappa\partial_{t}(|\xi|^{-\alpha}|\hat{u}|^{2})\leq|\xi|^{-2\alpha}|\hat{f}|^{2}.$

考虑到 (2.29) 式和 $u(t)$ 的时间周期性, 对上式两端在 $[T]\times [-r,r]^{c}$ 上积分可得

$\int^{T}_{0}\|\hat{u}\|^{2}_{L^{2}([-r,r]^{c})}{\rm d}t\leq \frac{1}{\kappa^{2}}\int^{T}_{0}\||\xi|^{-\alpha}\hat{f}\|^{2}_{L^{2}([-r,r]^{c})}{\rm d}t\leq \frac{1}{\kappa^{2}}\|f\|^{2}_{L^{2}(0,T;\dot{H}^{-\alpha}(\mathbb{R}))},$

那么在 (2.32) 式中令 $r\rightarrow 0$ 可得 (2.8) 式. 类似地, 我们可以从 (2.31) 式推出

$\kappa^{2}|\xi|^{2\alpha}|\hat{u}|^{2}+\kappa\partial_{t}(|\xi|^{\alpha}|\hat{u}|^{2})\leq |\hat{f}|^{2}.$

考虑到 (2.30) 式和 $u(t)$ 的时间周期性, 对上式两端在 $[T]\times [-r,r]$ 上积分可得

$\int^{T}_{0}\||\xi|^{\alpha}\hat{u}\|^{2}_{L^{2}([-r,r])}{\rm d}t\leq \frac{1}{\kappa^{2}}\int^{T}_{0}\|\hat{f}\|^{2}_{L^{2}([-r,r])}{\rm d}t\leq \frac{1}{\kappa^{2}}\|f\|^{2}_{L^{2}(0,T;L^{2}(\mathbb{R}))},$

那么在 (2.33) 式中令 $r\rightarrow \infty$ 可得 (2.9) 式. 此外, 容易验证线性问题 (2.1) 的解是唯一的, 证毕.

3 定理 1.1 的证明

在这一节中, 我们主要通过构造压缩映射的方法来证明非线性方程 (1.1) 时间周期解的存在唯一性.

证 为了方便起见, 我们首先引入两个空间

$X_{T}:=\{\phi\in X| \phi(0)=\phi(T) \text{在} \dot{H}^{-\frac{\alpha}{2}}(\mathbb{R})\}$

和

$Y_{T}:=\{\phi\in Y=H^{1}(0,T;H^{\frac{\alpha}{2}}(\mathbb{R}))\cap L^{2}(0,T;\dot{H}^{\alpha}) | \phi(0)=\phi(T) \text{在} H^{\frac{\alpha}{2}}(\mathbb{R})\}.$

根据 Gagliardo-Nirenberg 不等式和文献 [14] 中的 Kato-Ponce 型交换子估计, 接下来我们将证明对于任意 $v\in Y_{T}$ 都有 $vv_{x}\in X_{T}$. 容易证明当 $v\in Y_{T}$, 那么$(vv_{x})(0)=(vv_{x})(T)$. 此外, 由插值定理可得

$\bigg(\int^{T}_{0}\|vv_{x}\|^{2}_{L^{2}}{\rm d}t\bigg)^{\frac{1}{2}} =\bigg(\int^{T}_{0}\int_{\mathbb{R}}v^{2}v_{x}^{2}{\rm d}x{\rm d}t\bigg)^{\frac{1}{2}}\leq \max_{t\in [T]}\|v(t)\|_{L^{\infty}}\bigg(\int^{T}_{0}\|v_{x}\|^{2}_{L^{2}}{\rm d}t\bigg)^{\frac{1}{2}} \nonumber\\ \lesssim \|v\|_{Y}\bigg(\int^{T}_{0}\|\Lambda^{\alpha}v\|_{L^{2}}^{\frac{2}{\alpha}}\|v\|_{L^{2}}^{2-\frac{2}{\alpha}}{\rm d}t\bigg)^{\frac{1}{2}} \nonumber\\ \leq \|v\|_{Y}\bigg(\int^{T}_{0}\|\Lambda^{\alpha}v\|_{L^{2}}^{2}{\rm d}t\bigg)^{\frac{1}{2\alpha}}\bigg(\int^{T}_{0}\|v\|_{L^{2}}^{2}{\rm d}t\bigg)^{\frac{\alpha-1}{2\alpha}} \nonumber\\ \leq \|v\|_{Y}^{2}, $
$\bigg(\int^{T}_{0}\|vv_{x}\|^{2}_{\dot{H}^{-\frac{\alpha}{2}}}{\rm d}t\bigg)^{\frac{1}{2}} \leq\frac{1}{2}\bigg(\int^{T}_{0}\|\Lambda^{1-\frac{\alpha}{2}}(vv)\|^{2}_{L^{2}}{\rm d}t\bigg)^{\frac{1}{2}}\lesssim \bigg(\int^{T}_{0}\|\Lambda^{1-\frac{\alpha}{2}}v\|^{2}_{L^{2}}\|v\|^{2}_{L^{\infty}}{\rm d}t\bigg)^{\frac{1}{2}} \nonumber\\ \lesssim \|v\|_{Y}\bigg(\int^{T}_{0}\|\Lambda^{1-\frac{\alpha}{2}}v\|^{2}_{L^{2}}{\rm d}t\bigg)^{\frac{1}{2}} \lesssim \|v\|_{Y}\bigg(\int^{T}_{0}\|\Lambda^{\frac{\alpha}{2}}v\|^{2-\alpha}_{L^{2}}\|v\|_{L^{2}}^{\alpha}{\rm d}t\bigg)^{\frac{1}{2}} \nonumber\\ \leq \|v\|_{Y}(\int^{T}_{0}\|\Lambda^{\frac{\alpha}{2}}v\|_{L^{2}}^{2}{\rm d}t\bigg)^{\frac{\alpha}{4}}\bigg(\int^{T}_{0}\|v\|_{L^{2}}^{2}{\rm d}t\bigg)^{\frac{2-\alpha}{4}} \nonumber\\ \leq \|v\|_{Y}^{2}$

和

$\bigg(\int^{T}_{0}\|\partial_{t}(vv_{x})\|^{2}_{\dot{H}^{-\frac{\alpha}{2}}}{\rm d}t\bigg)^{\frac{1}{2}}=\bigg(\int^{T}_{0}\|\partial_{x}(vv_{t})\|^{2}_{\dot{H}^{-\frac{\alpha}{2}}}{\rm d}t\bigg)^{\frac{1}{2}}\leq \bigg(\int^{T}_{0}\|\Lambda^{1-\frac{\alpha}{2}}(vv_{t})\|^{2}_{L^{2}}{\rm d}t\bigg)^{\frac{1}{2}} \nonumber\\ \lesssim\bigg(\int^{T}_{0}\|\Lambda^{1-\frac{\alpha}{2}}v_{t}\|_{L^{2}}^{2}\|v\|^{2}_{L^{\infty}}{\rm d}t+ \int^{T}_{0}\|\Lambda^{1-\frac{\alpha}{2}}v\|_{L^{2}}^{2}\|v_{t}\|^{2}_{L^{\infty}}{\rm d}t\bigg)^{\frac{1}{2}} \nonumber\\ \lesssim\bigg(\|v\|_{Y}^{2}\int^{T}_{0}\|\Lambda^{1-\frac{\alpha}{2}}v_{t}\|_{L^{2}}^{2}{\rm d}t+ \|v\|_{Y}^{2}\max_{t\in [T]}\|\Lambda^{1-\frac{\alpha}{2}}v(t)\|^{2}_{L^{2}}\bigg)^{\frac{1}{2}} \nonumber\\ \lesssim\|v\|_{Y}^{2},$

这里我们用到 $H^{\frac{\alpha}{2}}(\mathbb{R})\hookrightarrow L^{\infty}(\mathbb{R})$ 和 Hölder 不等式.

最后, 我们只需估计 $\|vv_{x}\|_{L^{2}(0,T;\dot{H}^{-\alpha}(\mathbb{R}))}$ 的界, 这时限制 $1<\alpha<\frac{3}{2}$ 是本质的. 事实上, 我们希望做到 $1<\alpha<2$, 但是目前的技术只能限制在 $1<\alpha<\frac{3}{2}$. 由于 $vv_{x}=\frac{1}{2}\partial_{x}(v^{2})$, 取傅里叶变换可得

$\widehat{vv_{x}}(t,\xi)=\frac{1}{2}{\rm i}\xi\widehat{v^{2}}(t,\xi),$

且

$|\widehat{v^{2}}(t,\xi)|\leq \|v^{2}\|_{L^{1}},\quad (t,\xi)\in (0,T)\times \mathbb{R}.$

那么

$|\widehat{vv_{x}}(t,\xi)|\leq \frac{1}{2}|\xi|\|v^{2}\|_{L^{1}},$
$|\xi|^{-\alpha}|\widehat{vv_{x}}(t,\xi)|\leq \frac{1}{2}|\xi|^{1-\alpha}\|v^{2}\|_{L^{1}}, \quad \text{在} (0,T)\times \mathbb{R} \text{几乎处处成立}.$

因此, 我们有

$\bigg(\int^{T}_{0}\|vv_{x}\|^{2}_{\dot{H}^{-\alpha}}{\rm d}t)^{\frac{1}{2}} =\bigg(\int^{T}_{0}\int_{\mathbb{R}}|\xi|^{-2\alpha}|\widehat{vv_{x}}(t,\xi)|^{2}{\rm d}\xi {\rm d}t\bigg)^{\frac{1}{2}} \nonumber\\ \leq \bigg(\frac{1}{4}\int^{T}_{0}\int_{[-1,1]}|\xi|^{2-2\alpha}\|v^{2}\|^{2}_{L^{1}}{\rm d}\xi {\rm d}t \nonumber\\ +\int^{T}_{0}\int_{[-1,1]^{c}}|\xi|^{-2\alpha}|\widehat{vv_{x}}(t,\xi)|^{2}{\rm d}\xi {\rm d}t\bigg)^{\frac{1}{2}} \nonumber\\ \leq \bigg(\frac{1}{4}\int^{T}_{0}\|v^{2}\|^{2}_{L^{1}}{\rm d}t\int_{[-1,1]}|\xi|^{2-2\alpha}{\rm d}\xi +\int^{T}_{0}\int_{[-1,1]^{c}}|\widehat{vv_{x}}(t,\xi)|^{2}{\rm d}\xi {\rm d}t\bigg)^{\frac{1}{2}} \nonumber\\ \leq \bigg(\frac{1}{2(3-2\alpha)}\|v\|^{4}_{L^{4}(0,T;L^{2}(\mathbb{R}))}+\|vv_{x}\|^{2}_{L^{2}(0,T;L^{2}(\mathbb{R}))}\bigg)^{\frac{1}{2}} \nonumber\\ \lesssim\bigg (\frac{1}{2(3-2\alpha)}\|v\|^{4}_{Y}+\|v\|^{4}_{Y}\bigg)^{\frac{1}{2}} \nonumber\\ \lesssim \bigg(1+\frac{1}{\sqrt{2(3-2\alpha)}}\bigg)\|v\|_{Y}^{2}.$

又由 (3.1)-(3.4) 式, 可得

$\|vv_{x}\|_{X}\lesssim \bigg(1+\frac{1}{\sqrt{2(3-2\alpha)}}\bigg)\|v\|^{2}_{Y}.$

基于第二节的结果, 我们发现方程 (1.1) 的解可以看作映射 $\Gamma: Y_{T}\rightarrow Y_{T}$ 的不动点, 也就是说对于任给的 $v\in Y_{T}$, 则 $u=\Gamma(v)$ 是下面问题

$u_{t}+\kappa\Lambda^{\alpha}u=f-vv_{x},\quad (0,T)\times \mathbb{R}$

的时间周期解. 但是, 通过计算发现很难直接证明映射 $\Gamma$ 是从空间 $Y_{T}$ 到 $Y_{T}$ 的压缩映射. 为了解决这一问题, 我们在空间 $Y_{T}$ 中取一些限制, 那么定义$Y_{T}$的子空间

$Y^{*}_{T}=\{\phi\in Y_{T}| \|\phi\|_{Y}\leq 3(1+\frac{1}{\kappa})\|f\|_{X} \},$

对于给定的 $v\in Y_{T}^{*}$, 由定理 2.1 和 (3.5) 式可得, 方程 (3.6) 存在唯一解 $u\in Y_{T}$, 且满足

$\|u\|_{Y}\leq (1+\frac{1}{\kappa})(\|f\|_{X}+\|vv_{x}\|_{X})\leq (1+\frac{1}{\kappa})(\|f\|_{X}+\frac{9\sqrt{2(3-2\alpha)}+9}{\sqrt{2(3-2\alpha)}}(1+\frac{1}{\kappa})^{2}\|f\|_{X}^{2}).$

下面我们将证明映射 $\Gamma$ 是从空间 $Y^{*}_{T}$ 到 $Y^{*}_{T}$ 的压缩映射. 对于任意给定的 $v\in Y^{*}_{T}$, 那么 (3.7) 式和 $\|f\|_{X}$ 的小性表明

$\|\Gamma(v)\|_{Y}=\|u\|_{Y}\leq (1+\frac{1}{\kappa})(\|f\|_{X}+\frac{9\sqrt{2(3-2\alpha)}+9}{\sqrt{2(3-2\alpha)}}(1+\frac{1}{\kappa})^{2}\|f\|_{X}^{2})\leq 3(1+\frac{1}{\kappa})\|f\|_{X},$

也就是说

$\Gamma(Y^{*}_{T})\subseteq Y^{*}_{T}.$

此外, 如果假设 $v_{1}, v_{2}\in Y^{*}_{T}$ 且 $u_{1}=\Gamma(v_{1}), u_{2}=\Gamma(v_{2})$, 那么定理 2.1和 $\|f\|_{X}$ 的小性表明

$\|\Gamma(v_{1})-\Gamma(v_{2})\|_{Y} =\|u_{1}-u_{2}\|_{Y} \nonumber\\ \leq (1+\frac{1}{\kappa})(\|v_{2}\partial_{x}v_{2}-v_{1}\partial_{x}v_{1}\|_{X} \nonumber\\ \leq (1+\frac{1}{\kappa})(\|v_{1}\|_{Y}+\|v_{2}\|_{Y})\|v_{1}-v_{2}\|_{Y} \nonumber\\ \leq 6(1+\frac{1}{\kappa})^{2}\|f\|_{X}\|v_{1}-v_{2}\|_{Y}<\|v_{1}-v_{2}\|_{Y}.$

那么 $\Gamma$ 是一个压缩映射, 则时间周期解 $u(t,x)$ 的存在唯一性证得.

最后, 我们来证明该时间周期弱解 $u(t,x)$ 是渐近稳定的. 令 $w(t,x)=U(t,x)-u(t,x)$, 其中 $U(t,x)$ 是注 1.1 中得到的方程 (1.1) 更弱的解, 那么 $w$ 满足

$\left\{ \begin{array}{ll} w_{t}+ww_{x}+(uw)_{x}+\kappa\Lambda^{\alpha}w=0, \\ w_{0}(x)=U_{0}(x)-u(0,x), \end{array} \right.$

用 $w$ 作用在方程 (3.9) 两端并在 $\mathbb{R}$ 上积分可得

$\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\mathbb{R}}|w|^{2}{\rm d}x+\kappa\int_{\mathbb{R}}|\Lambda^{\frac{\alpha}{2}}w|^{2}{\rm d}x=-\int_{\mathbb{R}}(uw)_{x}w{\rm d}x.$

此外, 易得

$\bigg|\int_{\mathbb{R}}(uw)_{x}w{\rm d}x\bigg| \leq\bigg |\int_{\mathbb{R}} \Lambda^{1-\frac{\alpha}{2}}(uw)\Lambda^{\frac{\alpha}{2}}w{\rm d}x\bigg| \nonumber\\ \leq \|\Lambda^{1-\frac{\alpha}{2}}(uw)\|_{L^{2}} \|\Lambda^{\frac{\alpha}{2}}w\|_{L^{2}} \nonumber\\ \leq (\|\Lambda^{1-\frac{\alpha}{2}}u\|_{L^{2}}\|w\|_{L^{\infty}}+\|u\|_{L^{\frac{1}{\alpha-1}}}\|\Lambda^{1-\frac{\alpha}{2}}w\|_{L^{\frac{2}{3-2\alpha}}})\|\Lambda^{\frac{\alpha}{2}}w\|_{L^{2}} \nonumber\\ \leq (\|\Lambda^{1-\frac{\alpha}{2}}u\|_{L^{2}}+\|u\|_{L^{\frac{1}{\alpha-1}}})\|\Lambda^{\frac{\alpha}{2}}w\|_{L^{2}}^{2} \nonumber\\ \leq 2\|u\|_{H^{\frac{\alpha}{2}}}\|\Lambda^{\frac{\alpha}{2}}w\|_{L^{2}}^{2}.$

那么由 (3.10) 和 (3.11) 式可得

$\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\mathbb{R}}|w|^{2}{\rm d}x+2\kappa\int_{\mathbb{R}}|\Lambda^{\frac{\alpha}{2}}w|^{2}{\rm d}x \leq 4\|u\|_{H^{\frac{\alpha}{2}}}\|\Lambda^{\frac{\alpha}{2}}w\|_{L^{2}}^{2}.$

对不等式 (3.12) 两端关于时间变量在 $(0,T)$ 上积分, 可得

$\int_{\mathbb{R}}|w|^{2}{\rm d}x+2\kappa\int_{0}^{T}\int_{\mathbb{R}}|\Lambda^{\frac{\alpha}{2}}w|^{2}{\rm d}x{\rm d}t\leq 4\max_{t\in[T]}\|u\|_{H\frac{\alpha}{2}}\int_{0}^{T}\int_{\mathbb{R}}|\Lambda^{\frac{\alpha}{2}}w|^{2}{\rm d}x{\rm d}t+\int_{\mathbb{R}}|w_{0}|^{2}{\rm d}x.$

那么又由 (3.13), (1.3) 式和 $\|f\|_{X}\leq\frac{\kappa^{2}}{6(\kappa+1)^{2}}< \frac{\kappa^{2}}{6(\kappa+1)}$, 则可推得 (1.4) 式, 证毕.

注 3.1 根据定理 1.1 的证明过程, 估计 (1.3) 可以做如下改进

$\|u\|_{H^{1}(0,T;H^{\frac{\alpha}{2}}(\mathbb{R}))}+\|\Lambda^{\alpha}u\|_{L^{2}(0,T;L^{2}(\mathbb{R}))}\leq \beta(1+\frac{1}{\kappa})\|f\|_{X},$

其中 $\beta>1$. 此外, 我们期望该结果可以推广到 $1< \alpha\leq2$, 但是用来构造压缩映射的估计 (3.4) 式限制了该指标, 即目前只能做到 $1< \alpha< \frac{3}{2}$.

4 推论 1.1 的证明

在本小节中, 我们来证明推论 1.1. 基于上面的观察和分析, 我们发现在有界区间 $\mathbb{S}$ 上且 $\alpha=2$ 时, 当外力 $f\in H^{1}(0,T;\dot{H}^{-1}(\mathbb{S}))\cap L^{2}(0,T;L^{2}(\mathbb{S}))$, 也可以在空间 $H^{1}(0,T;H^{1}(\mathbb{S}))$ 找到时间周期弱解. 此时, 在构造压缩映射时无需建立类似 (3.4) 型的估计. 值得注意的是, 这节中我们考虑的是带零迪利克雷边界条件的方程, 我们在使用分部积分时可以忽略边界项, 但傅里叶变换的技巧就不可用了.

证 根据定理 1.1 的证明, 当 $\alpha=2$ 时, 我们容易建立类似 (2.5)-(2.8) 式的如下估计

$\|\Lambda u\|_{L^{2}(0,T;L^{2}(\mathbb{S}))}\leq \frac{1}{\kappa}\|f\|_{L^{2}(0,T;\dot{H}^{-1}(\mathbb{S}))},$
$\|u_{t}\|_{L^{2}(0,T;L^{2}(\mathbb{S}))}\leq \|f\|_{L^{2}(0,T;L^{2}(\mathbb{S}))},$
$\|\Lambda u_{t}\|_{L^{2}(0,T;L^{2}(\mathbb{S}))}\leq \frac{1}{\kappa} \|f_{t}\|_{L^{2}(0,T;\dot{H}^{-1}(\mathbb{S}))},$
$\|u\|_{L^{2}(0,T;L^{2}(\mathbb{S}))}\leq \frac{1}{\kappa}\|f\|_{L^{2}(0,T;\dot{H}^{-1}(\mathbb{S})))},$

因此可以得到类似的线性化问题的时间周期弱解. 此外, 只需证明对于任意 $v\in H^{1}(0,T;H^{1}(\mathbb{S}))$, 有 $vv_{x}\in H^{1}(0,T;\dot{H}^{-1}(\mathbb{S}))\cap L^{2}(0,T;L^{2}(\mathbb{S}))$, 便可构造从 $Z_{T}$ 到 $Z_{T}$ 的压缩映射, 其中 $Z_{T}:=\{\phi\in H^{1}(0,T;H^{1}(\mathbb{S}))| \phi(0)=\phi(T) in H^{1}(\mathbb{S})\}$, 也就是说, 建立如下类似 (3.1)-(3.3) 式的估计

$\bigg(\int^{T}_{0}\|vv_{x}\|^{2}_{L^{2}}{\rm d}t\bigg)^{\frac{1}{2}}\lesssim\|v\|_{Z}^{2},$
$\bigg(\int^{T}_{0}\|vv_{x}\|^{2}_{\dot{H}^{-1}}{\rm d}t\bigg)^{\frac{1}{2}} \lesssim \|v\|_{Z}^{2},$
$\bigg(\int^{T}_{0}\|\partial_{t}(vv_{x})\|^{2}_{\dot{H}^{-1}}{\rm d}t\bigg)^{\frac{1}{2}} \lesssim\|v\|_{Z}^{2}.$

事实上, 估计 (4.5) 成立是由于

$\bigg(\int^{T}_{0}\|vv_{x}\|^{2}_{L^{2}}{\rm d}t\bigg)^{\frac{1}{2}} =\bigg(\int^{T}_{0}\int_{\mathbb{S}}v^{2}v_{x}^{2}{\rm d}x{\rm d}t\bigg)^{\frac{1}{2}}\leq \max_{t\in [T]}\|v(t)\|_{L^{\infty}}\bigg(\int^{T}_{0}\|v_{x}\|^{2}_{L^{2}}{\rm d}t\bigg)^{\frac{1}{2}} \lesssim\|v\|_{Z}^{2},$

估计 (4.6) 成立是由于

$\bigg(\int^{T}_{0}\|vv_{x}\|^{2}_{\dot{H}^{-1}}{\rm d}t\bigg)^{\frac{1}{2}} =\frac{1}{2}\bigg(\int^{T}_{0}\int_{\mathbb{S}}v^{2}v^{2}{\rm d}x{\rm d}t\bigg)^{\frac{1}{2}}\leq \frac{1}{2}\max_{t\in [T]}\|v(t)\|_{L^{\infty}}\bigg(\int^{T}_{0}\|v\|^{2}_{L^{2}}{\rm d}t\bigg)^{\frac{1}{2}} \lesssim \|v\|_{Z}^{2},$

估计 (4.7) 成立是由于

$\bigg(\int^{T}_{0}\|\partial_{t}(vv_{x})\|^{2}_{\dot{H}^{-1}}{\rm d}t\bigg)^{\frac{1}{2}} =\bigg(\int^{T}_{0}\|\partial_{x}(vv_{t})\|^{2}_{\dot{H}^{-1}}{\rm d}t\bigg)^{\frac{1}{2}}= \bigg(\int^{T}_{0}\|vv_{t}\|^{2}_{L^{2}}{\rm d}t\bigg)^{\frac{1}{2}} \nonumber\\ \leq \max_{t\in [T]}\|v(t)\|_{L^{\infty}} \bigg(\int^{T}_{0}\|v_{t}\|^{2}_{L^{2}}{\rm d}t\bigg)^{\frac{1}{2}}\lesssim\|v\|_{Z}^{2}.$

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