设 $\mu$ 是 $\mathbb{R}$ (或者区间 $I_{0}$) 上的 Borel 正则测度, 若存在常数 $c\geq1$, 使得对 $\mathbb{R}$ (或者区间 $I_{0}$) 的任意子区间 $I$ 有

其中 $2I$ 是与 $I$ 同中心且长度是 $I$ 的两倍的区间, 则称 $\mu$ 是 $\mathbb{R}$ (或者区间 $I_{0}$) 上的 $c$-加倍测度, 简称为加倍测度^[1]. 称一个非负局部可积的函数为权函数, 简称为权^[2]. 称 $\mathbb{R}$ 上的权函数 $\omega(x)$ 为加倍权, 如果 $\omega(x)$ 按 d$\mu=\omega(x){\rm d}x$ 定义的测度 $\mu$ 为 $\mathbb{R}$ 上的加倍测度^[3]. Beurling 和 Ahlfors^[4] 指出由加倍权定义的加倍测度绝对连续, 但一般的加倍测度不一定绝对连续. $\mathbb{R}$ 上的一个绝对连续的加倍测度关于 Lebesgue 测度的 Radon-Nikodym 导数是一个加倍权^[3,5]. $A_{\infty}$ 权是加倍权，但加倍权不一定是 $A_{\infty}$ 权^[2,6].

设 $\mu$ 是 $\mathbb{R}$ (或者区间 $I_{0}$) 上的测度, $a>0$, 若对任意集 $A\subset \mathbb{R} (\mbox{或者区间} I_{0})$ 有

则称 $\mu$ 在 $\mathbb{R}$ (或者区间 $I_{0}$) 上单调递增; 若对任意集 $A\subset \mathbb{R} (\mbox{或者区间} I_{0})$ 有 $\mu(A+a)\leq\mu(A),$ 则称 $\mu$ 在 $\mathbb{R}$ (或者区间 $I_{0}$) 上单调递减, 其中 $A+a=\{x+a: x\in A\}$ 满足 $A+a\subset\mathbb{R} (\mbox{或者区间} I_{0})$. 单调递增和单调递减的测度统称为单调测度. 如果测度 $\mu$ 的支撑集为有限个区间的并, 且 $\mu$ 限制在这有限个区间中的每个区间上都是单调测度, 则称 $\mu$ 为分段单调的. Cruzuribe^[7] 证明了分段单调的加倍测度是绝对连续的, 且其 Radon-Nikodym 导数是 $A_{\infty}$ 权, 并给出了 $\mathbb{R}^{+}$ 上单调权函数为 $A_{p}$ 权以及加倍权的条件. 本文主要研究 $\mathbb{R}$ 上分段单调的加倍权和分段加倍的加倍权.

文章的第 2 部分给出了 $\mathbb{R}$ 上单增 (或单减) 的权函数为加倍权的充要条件; 第 3 部分研究了 $\mathbb{R}$ 上分段单调的权函数为加倍权的各类等价条件; 第 4 部分讨论了 $\mathbb{R}$ 上分段加倍的权函数为加倍权的各种条件.

为了研究需要, 本文沿用记号: 设 $\omega(x)$ 为权函数, 记 $\omega(I)=\int_{I}\omega(x){\rm d}x$ 及

用 $|I|$ 表示区间 $I$ 的 Lebesgue 测度. 若 $A\subset\mathbb{R}$, 记 $-A=\{-x:x\in A\}$, 集 $A$ 的特征函数 $\mathbb{I}_{A}$ 为

本节讨论 $\mathbb{R}$ 上单调的加倍权, 为此需下面两个引理. 其中引理 2.1 给出直线上加倍测度的等价描述, 引理 2.2 描述加倍测度在支撑集上分布的均匀性.

引理2.1^[8] 设 $\mu$ 是 $\mathbb{R}$ 上的 Borel 正则测度, 则 $\mu$ 为加倍测度当且仅当存在常数 $C\geq1$, 使得任给相邻等长区间 $I, J$, 有$\frac{1}{C}\mu(J)\leq\mu(I)\leq C\mu(J).$

引理2.2^[9] 设 $\mu$ 是 $\mathbb{R}$ 上的 $c$-加倍测度. 任给两个等长区间 $I$, $J$, 如果 dist$(I, J)\leq\alpha|I|$, 则 $\mu(I)\leq\beta\mu(J),$ 这里常数 $\beta$ 与 $c, \alpha$ 有关, dist$(I, J)=\inf\{|x-y|: x\in I, y\in J\}$.

下面定理给出了 $\mathbb{R}$ 上递增的权函数加倍的充要条件.

定理2.1 设 $\omega$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上递增的权函数, 则 $\omega$ 是 $\mathbb{R}$ 上的加倍权当且仅当 $0<\inf\limits_{t\in\mathbb{R}}\omega(t)\leq \sup\limits_{t\in\mathbb{R}}\omega(t)<\infty$.

证 设 $\omega$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上递增的权函数. 记 $\xi=\inf\limits_{t\in\mathbb{R}}\omega(t), \eta=\sup\limits_{t\in\mathbb{R}}\omega(t)$. 则任给 $t\in\mathbb{R}$, 有

任给两个相邻等长区间 $I=[x,y], J=[y,z]$, 其中 $y-x=z-y$. 由 $\omega$ 单增性及 (2.1) 式可得

即 $\omega(I)\leq\omega(J)\leq\frac{\eta}{\xi}\omega(I)$. 由引理 2.1 可知 $\omega$ 是 $\mathbb{R}$ 上的加倍权.

反之, 设 $\omega$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上递增的加倍权, 则按方式 d$\mu=\omega(x){\rm d}x$ 定义的测度 $\mu$ 为 $\mathbb{R}$ 上的加倍测度. 假设结论不成立! 不妨 $\inf\limits_{t\in\mathbb{R}}\omega(t)=0$, 则由 $\omega$ 的递增性知: 任意 $\epsilon>0$, 存在 $M<0$, 使得当 $t<M$ 时有 $\omega(t)<\epsilon$. 从而$\mu([M])=\int_{2M}^{M}\omega(x){\rm d}x<\epsilon(-M).$ 再由 $\omega$ 的单增性得 $\mu([-M]=\int_{0}^{-M}\omega(x){\rm d}x>\omega(0)(-M).$ 从而

由 $\epsilon$ 的任意性及 $\mu$ 的加倍性, 可知与引理 2.2 的结论矛盾! 得证.

类似于定理 2.1 的证明, 容易给出 $\mathbb{R}$ 上递减的权函数加倍的充要条件.

定理2.2 设 $\omega$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上递减的权函数, 则 $\omega$ 是 $\mathbb{R}$ 上的加倍权当且仅当 $0<\inf\limits_{t\in\mathbb{R}}\omega(t)\leq \sup\limits_{t\in\mathbb{R}}\omega(t)<\infty$.

注2.1 定理 2.1 和定理 2.2 的充要条件对有限区间上的单调权函数并不成立!

例2.1 设 $\omega(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$, $x\in(0,1)$. 易证 $\omega(x)$ 为 $(0,1)$ 上递减的加倍权, 但 $\sup\limits_{x\in(0,1)}\omega(x)=+\infty$.

本节讨论 $\mathbb{R}$ 上两类分段单调的权函数为加倍权的条件.

定理3.1 设 $\omega$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的权函数. 若 $\omega$ 在 $(-\infty,0]$ 上递减, 在 $[0,+\infty)$ 上递增, 则 $\omega$ 是 $\mathbb{R}$ 上的加倍权当且仅当存在 $\delta\in(0,\frac{1}{2}]$, 使得对任意 $t\in\mathbb{R}$ 有

其中 $W(t)$ 的定义见 $(1.1)$ 式.

证 先证必要条件, 设 $\omega$ 是满足已知条件的加倍权, 从而存在常数 $c\geq1,$ 使得对任意 $t\in\mathbb{R}^{+}$ 有

即

取 $\delta=\frac{1}{c+1}\in(0,\frac{1}{2}]$, 则对任意 $t\in\mathbb{R}^{+}$, 可知 (3.1) 式成立. 类似可证对任意 $t\in\mathbb{R}^{-}$, (3.1) 式也成立.

再证充分条件, 设 $\omega$ 满足 (3.1) 式的权函数, 下证 $\omega$ 是 $\mathbb{R}$ 上的加倍权. 任给 $x, y, z\in\mathbb{R}$, 且满足 $z>y>x$ 及 $z-y=y-x=r$. 记 $I=[x,y], J=[y,z]$. 要证 $\omega$ 是 $\mathbb{R}$ 上的加倍权, 仅证存在常数 $c\geq1$ (不依赖于 $|I|, |J|$), 有

为证 (3.2) 式成立, 需分下面 2 种情况.

情况 1 $x\geq0$ 或 $z\leq0$.

不失一般性设 $x\geq0$. 对于 $z\leq0$ 的情形类似证明. 由 $\omega$ 在 $[0,+\infty)$ 上递增, 显然 $\omega(I)\leq\omega(J)$; 为证 (3.2) 式成立, 需再分 3 种子情况证 $\omega(J)\leq c\omega(I)$.

情况 1.1 当 $x=0$ 时. 由已知条件 (3.1) 式, 可知

从而

即得 $\omega(J)\leq \frac{\delta+1}{\delta}\omega(I)$.

情况 1.2 当 $0<x\leq r$ 时. 记 $I'=[y], J'=[y, z+x]$, 则由情况 1.1, 可知

又因为 $J\subset J'$, 则 $\omega(J)\leq \omega(J')$. 由 $x\leq r$, 可得

再结合 (3.3) 式得 $\omega(J)\leq 2\frac{\delta+1}{\delta}\omega(I)$.

情况 1.3 当 $0<r<x$. 取 $n\in\mathbb{Z}^{+}$, 使得 $x':=y-nr<r$. 记 $z'=y+nr$, $I'=[x',y]$, $J'=[y, z']$. 则由情况 1.2, 可知

因为 $\omega$ 在 $[0,+\infty)$ 上递增, 故由 $|J'|=n|J|$, 可得 $\omega(J)\leq\frac{1}{n}\omega(J')$. 又 $|I'|=n|I|$, 则

再结合 (3.4) 式得 $\omega(J)\leq 2\frac{\delta+1}{\delta}\omega(I)$.

情况 2 $x<0$ 且 $z>0$. 不失一般性设 $y\geq0$. 此时 $x<0$, $r\geq-x$, $r>y$. 需再分 3 种子情况证 (3.2) 式成立.

情况 2.1 当 $y=0$ 时. 由条件 (3.1) 式中的右式 $\delta W(-r)\leq W(r)$, 可知

即 $\delta\omega(I)\leq\omega(J)$. 类似有 $\delta\omega(J)\leq\omega(I)$. 从而 $\delta\omega(I)\leq\omega(J)\leq\frac{1}{\delta}\omega(I).$

情况 2.2 当 $0<-x<y$ 时. 由情形 2.1 可得 $\omega([x,0])\leq\frac{1}{\delta}\omega([-x])$. 再由 $\omega$ 在 $[0,+\infty)$ 上递增, 可知

从而

另一方面, 由情况 1.2 可得 $\omega([-x+y,z])\leq2(1+\frac{1}{\delta})\omega([-x,-x+y]).$ 结合 $\omega$ 在 $[0,+\infty)$ 上的递增性及条件 (3.1) 式中的左式 $\delta W(2t)\leq W(t)$, 可知

从而

情况 2.3 当 $0<y<-x$ 时. 由情况 2.1 可得

一方面, 由 $\omega$ 在 $[0,+\infty)$ 上递增得 $\omega[y]\leq\omega[y,2y]$. 结合 (3.5) 式得

另一方面, 当 $0<-\frac{x}{2}\leq y$ 时, 此时由情况 1.2 可得

由已知条件 (3.1) 式, 可知

再结合 (3.6) 式有

当 $0<y\leq -\frac{x}{2}$ 时, 因 $\omega$ 在 $(-\infty,0]$ 上递减, 由情况 1.3 可知

再结合 (3.5) 式可得

取 $c=\max\{\frac{4}{\delta^2}(\frac{1}{\delta}+1), 8(\frac{1}{\delta}+1)^2 +1\}$, 则可证 (3.2) 式成立. 证毕.

推论3.1 设 $\omega$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的权函数. 若 $\omega$ 在 $(-\infty,0]$ 上递减, 在 $[0,+\infty)$ 上递增. 则 $\omega$ 是 $\mathbb{R}$ 上的加倍权当且仅当存在常数 $\alpha\geq1$, 使得对任意 $t\in\mathbb{R}$ 有

其中 $W(t)$ 的定义见 $(1.1)$ 式.

证 先证必要条件, 设 $\omega$ 是满足已知条件的加倍权, 从而存在常数 $c\geq1,$ 使得对任意 $t\in\mathbb{R}^{+}$ 有

取 $\alpha=c\geq1$, 则对任给 $t\in\mathbb{R}^{+}$, 有

可证 (3.7) 式对任给 $t\in\mathbb{R}^{+}$ 成立, 类似可得 (3.7) 式对任给 $t\in\mathbb{R}^{-}$ 也成立.

再证充分条件, 设 $\omega$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上满足 (3.7) 式的权函数, 下证 $\omega$ 是加倍权. 不妨 $t>0$, 由条件可得

从而

于是

取 $\delta=\frac{1}{\alpha}-\frac{1}{2}$, 显然 $\delta\in(0,\frac{1}{2}]$, 且对任意 $t\in\mathbb{R}$ 有 (3.1) 式成立. 故由定理 3.1 可证 $\omega$ 是 $\mathbb{R}$ 上的加倍权.

类似于定理 3.1 证明可得下面定理 3.2.

定理3.2 设 $\omega$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的权函数, 若 $\omega$ 在 $(-\infty,0]$ 上递增, 在 $[0,+\infty)$ 上递减. 则 $\omega$ 是 $\mathbb{R}$ 上的加倍权当且仅当存在常数 $\lambda\in(1,2]$, 使得对任意 $t\in\mathbb{R}$ 有

其中 $W(t)$ 的定义见 (1.1) 式.

类似推论 3.1, 易由定理 3.2 得下面推论 3.2.

推论3.2 设 $\omega$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的权函数, 若 $\omega$ 在 $(-\infty,0]$ 上递增, 在 $[0,+\infty)$ 上递减. 则 $\omega$ 是 $\mathbb{R}$ 上的加倍权当且仅当存在 $\beta\geq1$ 使得对任意 $t\in\mathbb{R}$ 有 $W(t)\leq\beta |t|\omega(t)$, $\beta W(t)\leq W(-t).$

本节讨论 $\mathbb{R}$ 上分段加倍的权函数. 称 $\omega$ 在 $\mathbb{R}$ 上分段加倍, 如果按方式 $d\mu=\omega(x){\rm d}x$ 定义的测度 $\mu$ 的支撑集为有限个不交区间的并, 且 $\mu$ 限制在这有限个区间中的每个区间上都加倍. 下面例子说明 $\mathbb{R}$ 上分段加倍的权不一定在 $\mathbb{R}$ 上加倍, 本节主要研究 $\mathbb{R}$ 上分段加倍的权在 $\mathbb{R}$ 上仍加倍的条件.

例4.1 设 $I_{n}=(8^n,8^{n+1}]$, $n\in\mathbb{Z}^{+}\cup\{0\}$, 令

及 $\omega_{-}(t)=1$, $t\leq0$. 易知 $\omega_{+}$, $\omega_{-}$ 分别是 $[(-\infty,0]$ 上的加倍权. 令

由于

故由引理 2.1 可知 $\omega$ 不是 $\mathbb{R}$ 上的加倍权.

下面引理 4.1 给出了 $\mathbb{R}$ 上一类分段加倍权在 $\mathbb{R}$ 上仍加倍的必要条件.

引理4.1 设 $\omega_{+}$, $\omega_{-}$ 分别是 $[0, +\infty)$, $(-\infty, 0]$ 上的权函数, 令

若 $\omega$ 是 $\mathbb{R}$ 上的加倍权, 则下列条件 (i), (ii), (iii) 同时成立:

(i) $\omega_{+}$, $\omega_{-}$ 分别是 $[0, +\infty)$, $(-\infty, 0]$ 上的加倍权;

(ii) 存在常数 $\xi\geq1$, 使得对任意 $T_0 >0$, 当 $0<t<T_{0}$ 时有

(iii) 存在常数 $\eta\geq1$, 使得对任意 $T_1 <\infty$, 当 $2T_{1}<R<\infty$ 时有

其中 $W(t)$ 的定义见 $(1.1)$ 式.

证 条件 (i), (ii) 显然成立. 现证条件 (iii) 也成立. 设 $I=[T_1, R]$, $J=[-R, -T_1 ]$, 其中 $R>2T_1$. 则

由于 $\omega$ 是 $\mathbb{R}$ 上的加倍权, 由引理 2.2 可知存在常数 $\beta>0$ 有

类似有 $\omega(J)\leq \beta\omega(I)$. 取 $\eta=\max\{\beta, \frac{1}{\beta}\}$, 则

这里 $\eta$ 只依赖于 $\mu$ 的加倍常数. 得证.

注4.1 下面给出一个例子说明引理 4.1 条件 (iii) 中的 $R>2T_{1}$ 不可改为 $R>T_{1}$.

例4.2 设 $\omega_{-}(t)=1$, $t\leq0$, 令

则 $\omega_{+}$, $\omega_{-}$ 分别是 $[0, +\infty)$, $(-\infty, 0]$ 上的权函数. 定义

易知 $\omega(t)$ 为 $\mathbb{R}$ 上的加倍权. 但任给 $\epsilon>0$, 取 $R=T_{1}+\epsilon$, $T_{1}=1$, 则

从而引理 4.1 条件 (iii) 中的 $R>2T_{1}$ 不可改为 $R>T_{1}$.

下面定理 4.1 给出了 $\mathbb{R}$ 上一类分段加倍权在 $\mathbb{R}$ 上仍加倍的充要条件.

定理4.1 设 $\omega_{+}$, $\omega_{-}$ 分别是 $[0, +\infty)$, $(-\infty, 0]$ 上的权函数, 定义

则 $\omega$ 是 $\mathbb{R}$ 上的加倍权当且仅当下列条件 (i), (ii), (iii) 同时成立:

(i) $\omega_{+}$, $\omega_{-}$ 分别是 $[0, +\infty)$, $(-\infty, 0]$ 上的加倍权;

(ii) 存在正常数 $T_0$, $\xi$, 使得当 $0<t\leq T_{0}$ 时有 $\frac{1}{\xi}\leq\frac{W(t)}{W(-t)}\leq\xi;$

(iii) 存在正常数 $T_1$$(T_0<T_1 <\infty)$, $\eta>0$, 使得当 $T_{1}<R<+\infty$ 时有

这里 $W(t)$ 的定义见 (1.1) 式.

证 由引理 4.1 易证必要性. 下面仅证充分性. 设条件 (i), (ii), (iii) 同时成立, 要证 $\omega$ 是 $\mathbb{R}$ 上的加倍权, 由引理 2.1, 需证任给相邻等长的区间 $I, J$ 有

其中 $c\geq1$ 为不依赖于 $|I|, |J|$ 的常数.

由已知条件可不妨 $0\in J$. 记 $J=J^{-}\cup J^{+}$, 其中$J^{-}=J\cap(-\infty, 0), J^{+}=J\cap[0, +\infty)$. 记 $d=|J^{-}|$, 仅证 $d\leq\frac{|J|}{2}$ 的情形, 对于 $d>\frac{|J|}{2}$ 的情形类似可证. 用 $c_1,c_2$ 分别表示 $\omega_{-}$, $\omega_{+}$ 的加倍常数. 下面分 3 种情况证 (4.1) 式成立.

情况1 $|J^{+}|\leq T_0$.

一方面, 记$I^{+}=[-2d,-d]\subset I$, 则 $I^{+}$ 与 $J^{-}$ 相邻等长, 由条件 (ii) 可得

另一方面, 由 $\omega$ 在 $(-\infty,0]$ 上加倍, 由引理 2.2 可知存在只依赖于 $c_1$ 的常数 $c_{3}\geq1$, 有

再结合条件 (ii) 可得

取 $c=\max\{2(\xi+1)c_1, \frac{1}{\min\{c_{1}^{-1}, c_{3}^{-2}\xi\}}\}$, 则 (4.1) 式成立.

情况2 $T_0 <|J^{+}|\leq T_1$.

由 $\omega$ 在 $(-\infty,0]$ 上加倍, 存在依赖于 $c_1$, $T_0$, $T_1$ 的常数 $c_{4}\geq1$ 及依赖于 $c_2$, $T_0$, $T_1$ 的常数 $c_{5}\geq1$, 有

一方面, 由 (1.3) 式得

当 $d<T_0 <|J^{+}|$ 时, 结合 (4.2) 和 (4.4) 式可得

当 $T_0 \leq d$ 时, 由 (4.4) 式可得

另一方面, 由条件 (ii), (4.3) 和 (4.2) 式可得

当 $T_1 \geq |J|$ 时, 代入 (4.5) 式得

当 $T_1 < |J|$ 时, 则 $\frac{|J|}{2} <|J^{+}|\leq T_1 <|J|$, 从而 $\omega(2[-T_1 -d,-d])\geq\omega(I)$, 代入 (4.5) 式得

取 $c=\max\{2c_1c_3c_5, 2c^{2}_1c_5, \xi c_3c_4, \xi c_1c_3c_4\}$, 则 (4.1) 式成立.

情况2 $|J^{+}|>T_1$.

令 $R=|J^{+}|$. 由条件 (ii) 和 (4.3) 式可得

一方面, 由条件 (ii), (iii) 和 (4.6) 式可得

另一方面, 由条件 (ii), (iii) 和 (4.2), (4.6) 式可得

取 $c=\max\{ (\xi+1)^2 \xi c_5, (\xi+1)\eta, \frac{1}{\min\{ c^{-1}_1, \xi^{-1} c^{-1}_{3}c^{-1}_4, \eta^{-1}\}} \}$, 则 (4.1 ) 式成立. 得证.

由定理 4.1 易得下面更一般的结论.

定理4.2 设 $\mathbb{R}=I_{0}\cup I_{1}\cup\cdots \cup I_{n}$, 区间 $I_0, I_n$ 的右端点和左端点分别是 $x_0,x_n$, 且 $I_{i}\cap I_{i+1}=\{x_i \}$, $i=0,1,\cdots,n-1$. 若 $\omega$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的权函数, 则 $\omega$ 在 $\mathbb{R}$ 上加倍当且仅当下列条件 (i), (ii), (iii) 同时成立:

(i) 任给 $i\in\{0,1,\cdots,n\}$, $\omega$ 限制在区间 $I_i$ 上为加倍权;

(ii) 任给 $i\in\{0,1,\cdots,n\}$, 存在常数 $\xi_{i}\geq1, T_i >0$, 使得当 $0<t<T_{i}$ 时有 $\frac{1}{\xi_{i}}\leq\frac{\omega([x_i,x_i +t])}{\omega([x_i -t, x_i])}\leq\xi_{i};$

(iii) 存在常数 $\eta\geq1, T <+\infty$, 使得当 $T<R<\infty$ 时有 $\frac{1}{\eta}\leq\frac{\omega([T,R])}{\omega([-R,-T ])}\leq\eta.$