统计解的概念来源于统计物理中人们对湍流的研究 (见文献 [1,2,3]). 在现实中, 湍流的几个主要物理量(如速度场、能量)关于时间 (或者空间) 作整体平均后显示出很强的规律. 近年来, 统计解和不变测度作为严格的数学概念常用来刻画演化方程的解在相应空间中的概率分布. 目前已有若干文献研究了一些典型耗散系统的不变测度和统计解. 例如, 文献 [4] 给出了一般耗散半群存在不变测度的充分条件, 文献 [5] 推广了文献 [4] 的结果, 证明了一般耗散过程存在不变测度的充分条件, 文献 [6] 研究了耗散系统稳态统计解的上半连续性, 文献 [7] 研究了三维不可压 Navier-Stokes 型方程组的轨道统计解, 文献 [8] 证明了一般演化方程的统计解和轨道统计解的理论框架. 最近, 文献 [9] 证明了一般演化方程存在轨道统计解的充分条件, 且该结果被应用于一些典型的演化方程 (见文献 [10,11,12,13,14,15]), 同时文献 [16] 研究了随机 Navier-Stokes 方程组的不变样本测度.

本文讨论加权空间中一阶格点系统的统计解及其 Kolmogorov 熵

其中 $\mathbb{Z}$ 表示整数集, $u_i=u_i(t)$ 是未知函数, $\alpha$ 是正的常数, ${f_i}(t, u_i)$ 和 $g_{i}(t)$ 是给定的函数, $\tau \in \mathbb{R}$ 是初始时间, ${u_{i,\tau }}$ 是初始值. 考虑加权空间

其中 $\{\rho _i\}_{i\in \mathbb{Z}}$ 是满足一定条件 (将在后面给出) 的序列.

格点系统 (1.1) 可以看作是下面偏微分方程关于空间变量 $x\in \mathbb{R}$ 的离散化近似

格点系统在很多领域中有广泛应用, 如电子工程^[17], 模式识别^[18], 图像处理^[19,20], 化学反应理论^[21]等. 格点系统的渐近行为已被广泛研究, 例如文献 [22,23] 证明了一阶和二阶耗散格点系统整体吸引子存在的充要条件; 文献 [24,25,26] 研究了非自治格点系统存在紧致核截面与一致吸引子的充要条件, 以及核截面与一致吸引子的上半连续性和熵的估计, 并将理论应用于具体的格点数学物理方程; 文献 [27] 研究了一阶时滞格点系统吸引子的存在性; 文献 [28,29,30] 研究了随机格点系统的随机吸引子; 文献 [31,32] 讨论了格点系统指数吸引子与一致指数吸引子的存在性问题. 同时, 文献 [33,34,35] 研究了加权空间中格点系统的拉回指数吸引子、随机吸引子的存在性和上半连续性以及非自治拉普拉斯格点系统的拉回和向前动力学行为; 最近, 文献 [36] 研究了加权空间中格点系统 (1.1) 的一致吸引子, 其中考虑的更复杂的非线性项 $f_i(t, u_{i-m}, \cdots, u_{i+m})$ 为几乎周期函数. 但据我们所知, 目前没有文献研究加权空间中格点系统的统计解及其 Kolmogorov 熵的问题.

本文旨在研究加权空间中格点系统 (1.1) 的统计解的存在性及其 Kolmogorov 熵的估计. 为此, 首先证明问题 (1.1)-(1.2) 在加权空间 $\ell^2_\rho$ 中的整体适定性, 接着证明解映射在 $\ell^2_\rho$ 中生成的连续过程存在拉回吸收集和拉回吸引子, 且关于初始时间具有 $\tau$-连续性 (见引理 4.1) 并存在一族 Borel 概率测度, 同时证明该概率测度满足 Liouville 定理, 是格点系统 (1.1) 的统计解. 最后, 给出统计解的 Kolmogorov 熵的定义及其上界估计.

这里值得指出的是, 文献 [37] 研究了格点系统 (1.1) 的不变测度问题, 其中 $f_i(t,u_i)=f_i(u_i)$ 与时间 $t$ 无关, 相空间为

与文献 [37] 相比, 本文在加权空间 $\ell^2_\rho$ 中研究一阶格点系统的统计解及其 Kolmogorov 熵, 这会导致在证明拉回吸引子的存在性, 以及在验证生成的过程关于初始时间的 $\tau$-连续性时产生一定的困难. 显然, 空间 $\ell^2$ 是 $\ell^2_\rho$ 对应于 $\rho_i\equiv 1$ 的特殊情形. 因此, 就不变测度的存在性方面而言, 本文是文献 [39LSZ] 结果的推广. 另外, 我们首次给出加权空间中格点系统的统计解的定义, 在证明拉回吸引子上的一族不变 Borel 概率测度是其统计解之后, 我们也给出了统计解的 Kolmogorov 熵的定义, 并证明其上界估计.

在本节中, 先介绍一些基本假设和算子符号, 然后证明问题 (1.1)-(1.2) 的解在加权空间 $\ell^2_\rho$ 中具有整体适定性.

首先, 设 $\ell^2_\rho$ 为 (1.3) 式定义的空间, 其中 $\rho: \mathbb{Z} \to (0, + \infty ), i \to \rho (i) = \rho _i$ 是加权函数, 它关于 $|i|$ 是递减函数, 且对于 $i \in \mathbb{Z}$, 满足以下条件

这里 ${c_0}$, ${c_1}$, ${c_2}$ 均为正常数 (它们满足的条件将在假设条件 (H1) 中给出).在空间 $\ell^2_\rho$ 和 $\ell^2$ 中分别定义内积和范数为

定义算子 $A$, $B$ 和 ${B^*}$ 为

显然, $A$, $B$ 和 $B^*$ 均为 $\ell^2_\rho$ 和 $\ell^2$ 上的线性算子, 且不难验证在 $\ell^2$ 上 $B$ 与 $B^*$ 互为共轭算子, 并有

根据 (2.1)-(2.3) 式, 直接计算可得

上式表明 $B: \ell^2_\rho\longmapsto \ell^2_\rho$ 是有界算子, 且算子 $B$ 在加权空间 $\ell^2_\rho$ 中的范数满足

类似可算出算子 $A$, $B^*$ 在加权空间 $\ell^2_\rho$ 中的范数满足

综上所知, 算子 $A$, $B$ 和 $B^*$ 均是加权空间 $\ell^2_\rho$ 中的有界线性算子.

文后记 $u=(u_i)_{i\in \mathbb{Z}}$, $\alpha u=(\alpha u_i)_{i\in \mathbb{Z}}$, $f(t,u) = ({f_i}(t,{u_i}))_{i \in \mathbb{Z}}$, $g(t) = ({g_i}(t))_{i \in\mathbb{Z}}$, $(u_{i,\tau })_{i \in \mathbb{Z}} = {u_\tau}$. 根据以上介绍的记号和算子, $\ell^2_\rho$ 空间中的初值问题 (1.1)-(1.2) 可以写成

为保证问题 (2.8)-(2.9) 的整体适定性 (也为了保证拉回吸引子的存在性), 我们假设常数 $\alpha$, 以及 (2.2), (2.3) 式中的 $c_1, c_2$ 和函数 $f(t,u)=({f_i}(t,{u_i}))_{i \in \mathbb{Z}}$, $g(t) = ({g_i}(t))_{i \in\mathbb{Z}}$ 满足条件

(H1) 正数 $c_1, c_2$ 满足 $c_1\geqslant 1$, $c_2\leqslant 2$ 且方程 (1.1) 中的常数 $\alpha$ 满足

(H2) 对每个 $i \in \mathbb{Z}$, 有 $f_i(t,s)\in C({\mathbb R}^2)$, $\frac{\partial f_i(t,s)}{\partial s}\in C({\mathbb R}^2)$, $f_i(t,s)s \geqslant 0, \forall s \in \mathbb{R}$, 且存在连续函数 $\zeta:\mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}_+$ 使得

(H3) 假设 $g(t) = ({g_i}(t))_{i \in\mathbb{Z}}\in C({\mathbb R}; \ell^2_\rho)$, 且

下面我们说明满足 (2.1)-(2.3) 式和假设条件 (H1)-(H3) 的加权函数 $\rho(i)$ 以及 $f(t,u)=({f_i}(t,{u_i}))_{i \in \mathbb{Z}}$ 和 $g(t) = ({g_i}(t))_{i \in\mathbb{Z}}$ 是存在的. 事实上, 取加权函数

其中 $\omega>0$ 和 $\kappa>1/2$ 为参数, 对于该加权函数, 取 $c_0=1$ 则 (2.1) 式成立. 显然, $\frac{\rho(y\pm 1)}{\rho(y)}\in C(\mathbb{R})$ 且 $\lim\limits_{y\longrightarrow \infty}\frac{\rho(y\pm 1)}{\rho(y)}= \lim\limits_{|i|\longrightarrow \infty}\frac{\rho(i\pm 1)}{\rho(i)}=1,$ 故 $\sup\limits_{y\in {\mathbb R}}\frac{\rho(y\pm 1)}{\rho(y)}<+\infty$. 注意到 $\frac{\rho(1-1)}{\rho(1)}=(1+\omega^2)^\kappa=\frac{\rho(-1+1)}{\rho(1)}>1,$ 取 $c_1=\sup\limits_{i\in {\mathbb Z}}\frac{\rho(i\pm 1)}{\rho(i)},$ 则 $c_1>1$, 且 (2.2) 式成立. 另外, 由微分中值定理可知存在正数 $\vartheta$ 使得

取 $c_2=c_1\kappa \omega$, 让 $\kappa>1/2$ 固定, $\omega$ 充分地小, 则可使 $c_2\leqslant 2$, 且 (2.3) 式成立. 另外, $\forall i \in \mathbb{Z}$, 我们记 ${f_i}(t,s) = s^3|\sin t|$, 取 $\zeta(s)=4s^2$, 则 $({f_i}(t,s))_{i\in \mathbb{Z}}$ 满足条件 (H2). 关于满足条件 (H3) 的函数 $g(t) = ({g_i}(t))_{i \in\mathbb{Z}}$ 的存在性可以参考文献 [38].

下面证明问题 (2.8)-(2.9) 整体解的存在唯一性.

引理2.1 设条件(H1)-(H3)成立.

(1) 对于每个给定的 ${u_\tau } \in \ell^2_\rho$ 和 $\tau \in \mathbb{R}$, 初值问题 (2.8)-(2.9) 存在唯一的解

其中 $T > \tau$, 并且如果 $T < + \infty$, 则有 $\mathop {\lim }\limits_{t \to {T^-}}\|u(t)\|_\rho=+ \infty$.

(2) 对任意 $t\in [\tau, T)$, 都有

证 由于 $A: \ell^2_\rho \longmapsto \ell^2_\rho$ 是有界线性算子, $g(t) \in C(\mathbb{R}; \ell^2_\rho)$, 我们只需证明 $f(t,u): \mathbb{R}\times \ell^2_\rho \longmapsto \ell^2_\rho$ 关于 $u\in \ell^2_\rho$ 是局部 Lipschitz 映射即可. 设 ${\mathcal B}$ 是 $\ell_\rho^2$ 中的有界闭球, 任取 $u=(u_i)_{i\in {\mathbb Z}}$, $v=(v_i)_{i\in {\mathbb Z}} \in {\mathcal B}$, 则对于每个 $i \in \mathbb{Z}$ 和任意 $t \in \mathbb{R}$, 由条件 (H2) 和微分中值定理知存在 ${\vartheta_i} \in (0,1)$ 使得

其中 ${\xi _i} = {\vartheta_i}{u_i} + (1 - {\vartheta_i}){v_i} \in {\mathcal B}$. 从而由 (2.11) 式就有

其中 $r_{\mathcal B}$ 是有界集 ${\mathcal B}$ 的直径. 根据常微分方程的经典理论, 引理中的(1)得证.

为证明引理中的 (2), 用 $u(t) = (u_i(t))_{i \in \mathbb{Z}} \in \ell^2_\rho$ 与 (2.8) 式在 $\ell^2_\rho$ 中作内积, 得

记 $w_i(t) = \rho_iu_i(t)$, $w(t)= (w_i(t))_{i \in\mathbb{Z}}$, 直接计算有

注意到 $c_2 \leqslant 2$, 有

同时, 由假设 (H1) 和 Cauchy 不等式得

综合 (2.17) 和 (2.20)-(2.22) 式推得

此处和文后 $\sigma > 0$ 由 (2.10) 式给定.由 (2.23) 式和 Gronwall 不等式, 即得 (2.14) 式. 证毕.

由引理 2.1 可推知, 对每一给定的初值 $u_\tau\in \ell^2_\rho$, 问题 (2.8)-(2.9) 存在唯一一个整体解. 因此, 解映射

在空间 $\ell^2_\rho$ 上生成一个过程 ${\{U(t,\tau )\}_{t \geqslant \tau }}$. 下面证明 $\{U(t,\tau )\}_{t\geqslant \tau}$ 的连续性.

引理2.2 设条件(H1)-(H3)成立, 则 $\{U(t,\tau )\}_{t\geqslant \tau}$ 是 $\ell^2_\rho$ 上的连续过程, 即对于给定的 $t$ 和 $\tau$, $U(t,\tau ): \ell^2_\rho \longmapsto \ell^2_\rho$ 是连续映射.

证 设 ${\mathcal B}$ 是 $\ell^2_\rho$ 中的有界集. 对于给定的初始时刻 $\tau \in \mathbb{R}$, 设 $u_\tau^{(k)} \in {\mathcal B}$ ($k = 1,2$) 为初始时刻的两个初值, 记$u^{(k)}(t) = U(t,\tau )u^{(k)}_\tau$ 分别为问题 (2.8)-(2.9) 对应于 $u^{(k)}_\tau$ 的解. 记 $\tilde{u}(\cdot) = {u^{(1)}}(\cdot) - {u^{(2)}}(\cdot)$, 则 $\tilde{u}$ 满足

用 $\tilde{u}$ 与 (2.24) 式在 $\ell^2_\rho$ 中作内积, 得

由 (2.14), (2.16) 式和条件 (H2), (H3) 知存在常数 $L(t, \tau, {\mathcal B})>0$, 使得

结合 (2.7), (2.26) 和 (2.27) 式推得

对 (2.28) 式应用 Gronwall 不等式, 得

证明完毕.

在这一节中, 我们证明过程 ${\{U(t,\tau )\}_{t \geqslant \tau }}$ 在 $\ell^2_\rho$ 中存在有界拉回吸收集. 然后证明 ${\{ U(t,\tau )\}_{t \geqslant \tau }}$ 具有拉回渐近零性质和拉回 ${\mathcal D}_\sigma$-吸引子. 有界拉回吸收集和拉回吸引子的定义可参考文献 [38,39].

文后记

显然, $\ell^2_\rho$ 中任何固定的有界集 ${\mathscr{B}}$ 都属于集类 ${\mathcal{D}_\sigma}$. 下面的引理说明过程 ${\{U(t,\tau )\} _{t \geqslant \tau }}$ 在 $\ell^2_\rho$ 中存在有界拉回吸收集.

引理3.1 设条件 (H1)-(H3) 成立. 则存在 $\widehat {{\mathcal{B}_0}} = \{ {\mathcal{B}_0}(s)| {s \in \mathbb{R}}\}$, 使得对任意的 $t\in \mathbb{R}$, ${\widehat D = \{ D(s)|s \in \mathbb{R}\} \in {\mathcal{D}_\sigma}}$, $\exists {\tau_0} = {\tau_0}(t,\widehat D) \leqslant t$ 使得 $U(t,\tau )D(\tau ) \subset {\mathcal{B}_0}(t), \forall t \geqslant {\tau_0}$, 其中 ${\mathcal B}_0(s)= {\mathcal{B}_0}(0;{R_\sigma}(s))$ 表示 $\ell^2_\rho$ 中以原点为球心, 以 ${R_\sigma}(s)$ 为半径的闭球.

证 记 $R_\sigma(t)>0$ 使得

则由 (2.14) 和 (3.2) 式知 $\widehat {\mathcal{B}_0} = \{{\mathcal{B}_0}(0;{R_\sigma}(t)) | {t \in \mathbb{R}}\}$ 为 ${\{U(t,\tau )\} _{t \geqslant \tau }}$ 在 $\ell^2_\rho$ 中的有界拉回吸收集. 证明完毕.

接下来我们证明过程 $\{U(t, \tau)\}_{t\geqslant \tau}$ 在 $\ell^2_\rho$ 中具有拉回 ${\mathcal D}_{\sigma}$-渐近零的性质.

引理3.2 设条件 (H1)-(H3) 成立. 则对于给定的 $t \in \mathbb{R},$$\forall \varepsilon > 0$ 和 $\forall {\widehat D = \{D(s)|s \in \mathbb{R}\}} \in {\mathcal{D}_\sigma},$$\exists {I_0} = {I_0}(t,\varepsilon,\widehat D) \in \mathbb{N}$ 和 ${\tau_0} = {\tau _0}(t,\varepsilon,\widehat D) \leqslant t,$ 使得

证 根据 Urysohn 引理知存在光滑函数 $\chi (\cdot)\in C^1({\mathbb R}_+, {\mathbb R}_+)$ 使得

其中 $\chi_0>0$ 是常数. 考虑任意的 ${\widehat D}=\{D(s)|s\in {\mathbb R}\}\in {\mathcal D}_\sigma$, 对任意 $t, \tau\in {\mathbb R}$, $t\geqslant \tau$, 记 $u(t)=u(t;\tau, u_\tau)=U(t,\tau)u_\tau$ 为问题 (2.8)-(2.9) 的以 $u_\tau\in D(\tau)$ 为初值的解. 设自然数 $I>0$, 记

用 $v = {(v_i)_{i \in \mathbb{Z}}}$ 与方程 (2.8) 在 $\ell^2_\rho$ 中作内积, 得

下面对 (3.5) 式中的各项进行计算和估计. 首先,

对于 ${(Au(t),v(t))_\rho }$, 有

由 (2.2) 式和 (2.20) 式, 知

应用微分中值定理和 (3.4) 式, 可得

将 (3.9) 式代入 (3.8) 式, 有

同时直接计算得

由 (2.2) 和 (2.6) 式, 知

将 (3.12) 式代入 (3.11) 式, 则

再将 (3.10) 式和 (3.13) 式代入 (3.7) 式, 得

同时, 应用条件 (H2) 以及 Cauchy 不等式得

结合 (3.5), (3.6), (3.14)-(3.16) 式以及拉回吸收性, 有

其中 $\tau_1=\tau_1(t, \widehat{D})$ 为引理 3.1 中的拉回吸收时间. 现对任意的 $\varepsilon> 0$, 由条件 (H3) 以及 (3.2) 式知 $\exists I_1=I_1(t,\varepsilon ) \in \mathbb{N}$, 使得

将 (3.18) 式代入 (3.17) 式, 有

对 (3.19) 式应用 Gronwall 不等式, 可得

另一方面, 由条件 (H3) 知, 对上述 $\varepsilon>0$, $\exists I_2=I_2(t,\varepsilon) \in \mathbb{N}$, 使得

再由 (3.1) 式知, 对上述 $\varepsilon > 0$, $\exists \tau_2 = \tau_2(t,\varepsilon,\widehat D)$, 使得

取 $I_0=\max\{I_1, I_2\}$, $\tau_0=\min\{\tau_1, \tau_2\}$, 则由 (3.20)-(3.22) 式便得到引理结论. 证明完毕.

根据上面证得的引理 3.1, 引理 3.2 和文献 [38,定理 2.1], 我们得到本节主要结果

定理3.1 设条件 (H1)-(H3) 成立. 则问题 (2.8)-(2.9) 的解映射生成的过程 $\{U(t, \tau)\}_{t\geqslant \tau}$ 在 $\ell_\rho^2$ 中存在拉回 ${\mathcal D}_\sigma$-吸引子(记为) ${{\hat {\mathcal A}}_{\mathcal{D}_\sigma}}= \{{\mathcal A}_{{\mathcal{D}_\sigma}}(t):t \in \mathbb{R}\}$, 满足

(1) 紧性 $\forall t \in \mathbb{R}$, ${{\mathcal A}_{{\mathcal{D}_\sigma}}(t)}$ 是 $\ell_\rho^2$ 中的非空紧子集;

(2) 不变性 $U(t,\tau ){\mathcal A}_{{\mathcal{D}_\sigma}}(\tau)={{\mathcal A}_{{\mathcal{D}_\sigma}}}(t), \forall t \geqslant \tau$ ;

(3) 拉回吸引性 $\forall {\widehat {D}= \{{D}(t)|t \in \mathbb{R}\} \in {\mathcal{D}_\sigma}}$, 有

其中 ${\rm dist}_{\ell_\rho^2}(\cdot, \cdot)$ 表示 $\ell_\rho^2$ 上的 Hausdorff 半距离.

在这一节中, 我们先证明过程 $\{U(t, \tau)\}_{t\geqslant \tau}$ 在 $\ell^2_\rho$ 中具有 $\tau$-连续性, 然后说明其存在一族不变 Borel 概率测度 $\{{\mu_t}\}_{t \in \mathbb{R}}$, 最后证明该族测度是方程 (2.8) 的统计解且满足 Liouville 定理.

引理4.1 设条件 (H1)-(H3) 成立. 则过程 $\{U(t, \tau)\}_{t\geqslant \tau}$ 在 $\ell^2_\rho$ 中具有 $\tau$-连续性$,$ 即对于任意给定的 $t\in \mathbb{R}$ 和 $u_*\in \ell_\rho^2$,$\ell_\rho^2$-值映射 $\tau \longmapsto U(t, \tau)u_*$ 在 $(-\infty, t]$ 上连续且有界.

证 对任意给定的 $t\in \mathbb{R}$ 和 $u_*\in \ell_\rho^2$, 由 (2.14) 式得

由条件 (H3) 知上面不等式的右边是与 $s$ 无关的有界量. 因此, $\|U(t, \cdot)u_*\|_{\rho}$ 在 $(-\infty, t]$ 上有界.

下证 $\ell_\rho^2$-值映射 $\tau \longmapsto U(t, \tau)u_*$ 在 $(-\infty, t]$ 上的连续性. 为此, 任取 $s_*\in (- \infty, t]$, 只需证明 $U(t, \tau)u_*$ 在 $\tau =s_*$ 处连续, 即证 $\forall \varepsilon > 0$, $\exists \delta=\delta(\varepsilon, s_*, t, u_*)>0$, 使得

不妨设 $r < {s_*} < t$, 记

则 $\tilde u(\cdot)$ 满足下面的初值问题

且由 (4.1) 式知存在常数 $L_1=L_1(t, s_*, u_*)>0$ 使得

用 $\tilde u$ 与 (4.3) 式在 $\ell_\rho^2$ 中作内积得

由条件 (H2), (2.16) 和 (4.5) 式知存在常数 $L_2=L_2(L_1)>0$ 使得

因此, 结合 (2.7), (4.6) 和 (4.7) 式得到

应用 Gronwall 不等式, 得

由 (2.13) 式知当 $|r -s_*|$ 足够小时, (4.9) 式右端的 $\|U(s_*,r)u_*-u_*\|_\rho^2$ 就能充分地小. 证毕.

下面我们修正文献 [5] 中广义 Banach 极限的定义.

定义4.1 设 $\mathfrak{F}$ 为定义在 $\mathbb{R}$ 上的有界实值函数全体. 若定义在 $\mathfrak{F}$ 上的线性泛函 (用 ${\rm LIM}_{t\rightarrow -\infty}$ 表示) 满足

(1) 对任意 $(-\infty, +\infty)$ 上的非负函数 $h(\cdot)$ 有 ${\rm LIM}_{t\rightarrow -\infty}h(t)\geqslant 0$;

(2) 若 $\lim\limits_{t\rightarrow -\infty}h(t)$ 存在, 则 ${\rm LIM}_{t\rightarrow -\infty}h(t) =\lim\limits_{t\rightarrow -\infty}h(t)$.

则称 ${\rm LIM}_{t\rightarrow -\infty}$ 为一个广义 Banach 极限.

结合文献 [5,定理 3.1、定理 4.1] 和已证得的定理 3.1 和引理 4.1, 我们得到下面结论.

定理4.1 设条件 (H1)-(H3) 成立. 则对于给定的 $\psi_*\in \ell_\rho^2$ 和广义 Banach 极限 ${\rm LIM}_{s\rightarrow -\infty}$, 在 $\ell_\rho^2$ 上存在唯一的一族 Borel 概率测度 $\{\mu_t\}_{t\in \mathbb{R}}$, 使得 $\mu_t$ 的支集包含在 ${\mathcal A}_{\mathcal{D}_\sigma}(t)$ 中, 且有

其中 $\Phi$ 是 $\ell_\rho^2$ 上的连续有界实值函数. 同时, $\{\mu_t\}_{t\in \mathbb{R}}$ 在下述意义下具有不变性

下面我们将给出方程 (2.8) 的统计解的定义并证明其存在性. 为此, 我们把方程 (2.8) 写成

从引理 2.1 的证明可知 $F(u, t): \ell^2_\rho\times {\mathbb R}\longmapsto \ell^2_\rho$ 是连续映射. 下面介绍试验函数类的定义, 我们期望试验函数类中的函数 $\Psi$ 满足

其中 $u(t)$ 是方程 (4.12) 的解.

定义4.1 设 $\mathfrak{T}$ 为满足下面条件的函数的全体${\rm :}$$\Psi$ 是定义在 $\ell^2_\rho$ 上的实值函数$,$ 在 $\ell^2_\rho$ 的有界子集上有界$,$ 且满足

(1) 对任意 $u\in \ell^2_\rho$, $\Psi(u)$ 的 Frechét 导数(记作 $\Psi'(u)$)存在, 也即对每个 $u\in \ell^2_\rho$, 存在 $\ell^2_\rho$ 中元素 $\Psi'(u)$, 使得

(2) 映射 $u\longmapsto \Psi'(u)$ 是从 $\ell^2_\rho$ 到 $\ell^2_\rho$ 的连续有界映射;

(3) 对于方程 (4.12) 的每个解 $u(t)$ 都有 (4.13) 式成立.

称 $\mathfrak{T}$ 为方程 (4.12) 的试验函数类, $\mathfrak{T}$ 中的函数称为方程 (4.12) 的试验函数.

关于方程 (4.12) 的试验函数的存在性可以参考文献 [37].

定义4.3 空间 $\ell^2_\rho$ 上的一族 Borel 概率测度 $\{\mu_t\}_{t\in {\mathbb R}}$ 称作是方程 (4.12) 的一个统计解, 若满足

(1) 对每个定义在 $\ell^2_\rho$ 上的连续有界函数 $\Phi$, 映射 $t\longmapsto \int_{\ell^2_\rho}\Phi(u){\mathrm d} \mu_t(u)$ 是连续的;

(2) 对每个 $t\in {\mathbb R}$, 映射 $u \longmapsto (F(u,t), \phi)_\rho$ 对每个 $\phi\in \ell^2_\rho$ 都 $\mu_t$ 可积, 且对每个 $\phi\in \ell^2_\rho$ 映射

(3) 对任意试验函数 $\Psi\in \mathfrak{T}$, 有

关于方程 (4.12) 的统计解的存在性, 我们有下面结果.

定理4.2 设条件 (H1)-(H3) 成立. 则定理 4.1 中得到的一族 Borel 概率测度 $\{\mu_t\}_{t\in \mathbb{R}}$ 是方程 (4.12) 的统计解.

证 我们证明定理 4.1 中得到的一族 Borel 概率测度 $\{\mu _t\}_{t\in \mathbb{R}}$ 满足定义 4.3. 记 $C_b(\ell^2_\rho)$ 为定义在 $\ell^2_\rho$ 上的连续有界函数全体.

首先, 对每个给定的 $t_*\in {\mathbb R}$, 证明

事实上, 由 (4.10) 和 (4.11) 式知

注意到 $t\longrightarrow t_*^+$ 时有 $\|U(t,t_*)u-u\|_\rho\longrightarrow 0$, $\Phi\in C_b(\ell^2_\rho)$ 且 ${\mathcal A}_{{\mathcal D}_\sigma}(t_*)$ 是 $\ell^2_\rho$ 中的紧集, 故 (4.15) 式表明

类似可证

(4.14) 式得证.

其次, 对每个 $t\in {\mathbb R}$, 我们已经得知 $\mu_t$ 的支集包含于 ${\mathcal A}_{{\mathcal D}_\sigma}(t)\subset \ell^2_\rho$ 中. 对于每个 $\phi\in \ell^2_\rho$, 定义 $\Upsilon(\cdot): \ell^2_\rho\longmapsto {\mathbb R}$

下面证 $\Upsilon(\cdot)$ 是定义在 $\ell^2_\rho$ 上的连续函数, 即证 $\Upsilon(\cdot)\in C(\ell^2_\rho)$. 为此, 任取 $u_*\in \ell^2_\rho$, 考虑 $u\in \ell^2_\rho$ 满足 $\|u_*-u\|_\rho\leqslant 1$. 直接计算有

现由 (2.16) 式知存在常数 $L_3=L_3(u_*)>0$ 使得 $\|f(t,u_*)-f(t,u)\|_\rho\leqslant L_3$. 因此 (4.17) 式表明

故 $\Upsilon(\cdot)\in C(\ell^2_\rho)$. 由 (4.14) 和 (4.16) 式知对任意 $\phi\in \ell^2_\rho$ 映射 $u \longmapsto (F(u,t), \phi)_\rho=\Upsilon(u)$ 都是 $\mu_t$ 可积的. 同时, 由上一步的证明可知函数

是 ${\mathbb R}$ 上的连续函数, 显然属于 $L^1_{\rm loc}({\mathbb R})$.

最后, 对任意 $\Psi\in {\mathfrak T}$, 我们由 (4.13) 式可得

现对任意 $s<\tau$, 设 $u_*\in\ell^2_\rho$, 记 $u(\theta)=U(\theta,s)u_*$, $\theta\geqslant s$. 由 (4.18) 式得

应用 (4.13), (4.19) 式以及 Fubini 定理得到

由 (4.11) 式以及过程的不变性 $U(\theta, s)=U(\theta, \tau)U(\tau,s)$ 得

注意到上式的右边与 $s$ 无关, 因此有

证明完毕.

本节给出统计解 $\{\mu_t\}_{t\in {\mathbb R}}$ 的 Kolmogorov $\varepsilon$-熵的定义, 然后证明其上界估计. 文后我们用 supp$\mu_t$ 表示概率测度 $\mu_t$ 的支集.

定义5.1 设 $\{\mu_t\}_{t\in {\mathbb R}}$ 是定理 4.2 中得到的统计解. 对任意 $\varepsilon>0$, 记 ${\mathbb{N}}_\varepsilon(\mu_t, \ell^2_\rho)={\mathbb{N}}_\varepsilon(\mu_t)$ 为 $\ell^2_\rho$ 中半径为 $\varepsilon$ 的覆盖 supp$\mu_t$ 的所需用到的球的最少个数. 称 ${\bf K}_\varepsilon(\mu_t)={\bf K}_\varepsilon(\mu_t,\ell^2_\rho)=\ln{\mathbb{N}}_\varepsilon(\mu_t)$ 为统计解 $\{\mu_t\}_{t\in {\mathbb R}}$ 在 $\ell^2_\rho$ 中的 Kolmogorov $\varepsilon$-熵.

我们已经知道, 对每个 $t\in \mathbb{R}$ 有 supp$\mu_t\subset {\mathcal A}_{{\mathcal{D}_\sigma}}(t)$. 因此, $\ell^2_\rho$ 中半径为 $\varepsilon$ 的覆盖 $\mu_t\subset {\mathcal A}_{{\mathcal{D}_\sigma}}(t)$ 所用到的球必定可以覆盖 supp$\mu_t$. 由于对每个 $t\in \mathbb{R}$, ${\mathcal A}_{{\mathcal{D}_\sigma}}(t)$ 是 $\ell^2_\rho$ 中紧集, 故对每个 $\varepsilon>0$, $\ell^2_\rho$ 中用来覆盖 ${\mathcal A}_{{\mathcal{D}_\sigma}}(t)$ 的半径为 $\varepsilon$ 的最少的球的个数必定是有限数. 故而根据定义有

(5.1) 式也表明定义 5.1 中给出的统计解的 Kolmogorov $\varepsilon$-熵的定义是合理的.

引理5.1^[40] 设 $n\in {\mathbb{N}}$ 为某个自然数$,$$\Lambda=\{x=(x_m)_{|m|\leqslant n}: x_m\in {\mathbb{R}}, |x_m|\leqslant r \}\subset {\mathbb{R}}^{2n+1}$ 为正规多面体. 则 $\Lambda$ 可以被 ${\mathbb R}^{2n+1}$ 中 ${\mathbb{N}}_\varepsilon(\Lambda)=([r\cdot\frac{2} {\varepsilon}\cdot\sqrt{2n+1}]+1)^{2n+1}$ 个半径为 $\frac \varepsilon 2$ 的球覆盖$,$ 其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数.

下面我们证明统计解 $\{\mu_t\}_{t\in {\mathbb R}}$ 的 Kolmogorov $\varepsilon$-熵的上界估计.

定理5.1 设条件 (H1)-(H3) 成立. 则定理 4.2 中得到统计解 $\{\mu _t\}_{t\in \mathbb{R}}$ 的 Kolmogorov $\varepsilon$-熵满足估计

其中, $I_*(\varepsilon)=I_*(\varepsilon, t, R_\sigma(t))$ 是使得 $\sup\limits_{(u_i)_{i\in {\mathbb{Z}}}=u\in {\mathcal B}_0(t)} \big(\sum\limits_{|i|>I_*(\varepsilon)} \rho_i|u_i|^2\big)^{\frac 12} \leqslant \frac{\varepsilon}{2}$ 成立的最小正整数.

证 由引理 3.2 可知对每个 $t\in \mathbb{R}$ 和任意 $\varepsilon>0$, 存在自然数 $I_*=I_*(\varepsilon, t, R_\sigma(t))$, 使得

对任意 $u=(u_i)_{i\in {\mathbb{Z}}}\in {\mathcal A}_{{\mathcal D}_\sigma}(t)\subset {\mathcal B}_0(t)$, 记

其中

则有

(5.7) 式表明

引理 5.1 表明正规多面体

在欧氏空间 ${\mathbb R}^{2I_*(\varepsilon)+1}$ 的通常范数下可以被 ${\mathbb R}^{2I_*(\varepsilon)+1}$ 中

个半径为 $\frac {\varepsilon}{2}$ 的球覆盖, 记这些球的球心为

同时, 记

则有 $\hat{v}_k\in \ell^2_\rho$, $k=1,2,\cdots, N_\varepsilon(\Gamma)$, $\tilde{v}\in {\mathbb R}^{2I_*(\varepsilon)+1}$. 现对于 (5.4), (5.5) 式定义的 $v=(v_i)_{i\in {\mathbb Z}}$, 由上面的推导可知存在某个 $\hat{v}_k$$(1\leqslant k\leqslant N_\varepsilon(\Gamma))$, 使得

因此, 对于任意 $u=(u_i)_{i\in {\mathbb{Z}}}\in {\mathcal A}_{{\mathcal D}_\sigma}(t)\subset {\mathcal B}_0(t)$, 有

这表明 ${\mathcal A}_{{\mathcal D}_\sigma}(t)$ 可以被 $\ell^2_\rho$ 中 $N_\varepsilon(\Gamma)$ 个球心在 $\hat{v}_k$ 半径为 $\varepsilon$ 的球所覆盖. 由定义 5.1 和 (5.1) 式, 定理 5.1 得证.