1 引言
统计解的概念来源于统计物理中人们对湍流的研究 (见文献 [1 ,2 ,3 ]). 在现实中, 湍流的几个主要物理量(如速度场、能量)关于时间 (或者空间) 作整体平均后显示出很强的规律. 近年来, 统计解和不变测度作为严格的数学概念常用来刻画演化方程的解在相应空间中的概率分布. 目前已有若干文献研究了一些典型耗散系统的不变测度和统计解. 例如, 文献 [4 ] 给出了一般耗散半群存在不变测度的充分条件, 文献 [5 ] 推广了文献 [4 ] 的结果, 证明了一般耗散过程存在不变测度的充分条件, 文献 [6 ] 研究了耗散系统稳态统计解的上半连续性, 文献 [7 ] 研究了三维不可压 Navier-Stokes 型方程组的轨道统计解, 文献 [8 ] 证明了一般演化方程的统计解和轨道统计解的理论框架. 最近, 文献 [9 ] 证明了一般演化方程存在轨道统计解的充分条件, 且该结果被应用于一些典型的演化方程 (见文献 [10 ,11 ,12 ,13 ,14 ,15 ]), 同时文献 [16 ] 研究了随机 Navier-Stokes 方程组的不变样本测度.
本文讨论加权空间中一阶格点系统的统计解及其 Kolmogorov 熵
(1.1) $ \begin{matrix} & \dot u_i+(2u_i-u_{i-1}-u_{i+1})+\alpha u_{i}+f_{i}(t,u_i)=g_{i}(t), i \in \mathbb{Z}, t>\tau, \tau \in \mathbb{R}, \end{matrix} $
(1.2) $ \begin{matrix} {u_i}(\tau ) = u_{i,\tau}, i \in \mathbb{Z}, \end{matrix} $
其中 $\mathbb{Z}$ $u_i=u_i(t)$ $\alpha $ ${f_i}(t, u_i)$ $g_{i}(t)$ $\tau \in \mathbb{R}$ ${u_{i,\tau }}$
(1.3) $ \begin{matrix} \ell_\rho^2 = \bigg\{u = (u_i)_{i\in {\mathbb Z}}:\sum\limits_{i \in \mathbb{Z}} {\rho_i}u^2_i < +\infty, u_i \in {\mathbb R}\bigg\}, \end{matrix} $
其中 $\{\rho _i\}_{i\in \mathbb{Z}}$
格点系统 (1.1) 可以看作是下面偏微分方程关于空间变量 $x\in \mathbb{R}$
(1.4) $ \begin{matrix} u_t -\Delta u+\alpha u+f(t,u)=g(t). \end{matrix} $
格点系统在很多领域中有广泛应用, 如电子工程[17 ] , 模式识别[18 ] , 图像处理[19 ,20 ] , 化学反应理论[21 ] 等. 格点系统的渐近行为已被广泛研究, 例如文献 [22 ,23 ] 证明了一阶和二阶耗散格点系统整体吸引子存在的充要条件; 文献 [24 ,25 ,26 ] 研究了非自治格点系统存在紧致核截面与一致吸引子的充要条件, 以及核截面与一致吸引子的上半连续性和熵的估计, 并将理论应用于具体的格点数学物理方程; 文献 [27 ] 研究了一阶时滞格点系统吸引子的存在性; 文献 [28 ,29 ,30 ] 研究了随机格点系统的随机吸引子; 文献 [31 ,32 ] 讨论了格点系统指数吸引子与一致指数吸引子的存在性问题. 同时, 文献 [33 ,34 ,35 ] 研究了加权空间中格点系统的拉回指数吸引子、随机吸引子的存在性和上半连续性以及非自治拉普拉斯格点系统的拉回和向前动力学行为; 最近, 文献 [36 ] 研究了加权空间中格点系统 (1.1) 的一致吸引子, 其中考虑的更复杂的非线性项 $f_i(t, u_{i-m}, \cdots, u_{i+m})$
本文旨在研究加权空间中格点系统 (1.1) 的统计解的存在性及其 Kolmogorov 熵的估计. 为此, 首先证明问题 (1.1)-(1.2) 在加权空间 $\ell^2_\rho$ $\ell^2_\rho$ $\tau$ - 连续性 (见引理 4.1) 并存在一族 Borel 概率测度, 同时证明该概率测度满足 Liouville 定理, 是格点系统 (1.1) 的统计解. 最后, 给出统计解的 Kolmogorov 熵的定义及其上界估计.
这里值得指出的是, 文献 [37 ] 研究了格点系统 (1.1) 的不变测度问题, 其中 $f_i(t,u_i)=f_i(u_i)$ $t$
(1.5) $ \begin{matrix} \ell^2 = \bigg \{u = (u_i)_{i \in \mathbb{Z}}:\sum\limits_{i \in \mathbb{Z}} u^2_i < +\infty, {u_i} \in \mathbb{R}\bigg\}. \end{matrix} $
与文献 [37 ] 相比, 本文在加权空间 $\ell^2_\rho$ $\tau$ - 连续性时产生一定的困难. 显然, 空间 $\ell^2$ $\ell^2_\rho$ $\rho_i\equiv 1$
2 整体适定性
在本节中, 先介绍一些基本假设和算子符号, 然后证明问题 (1.1)-(1.2) 的解在加权空间 $\ell^2_\rho$
首先, 设 $\ell^2_\rho$ $\rho: \mathbb{Z} \to (0, + \infty ), i \to \rho (i) = \rho _i$ $|i|$ $i \in \mathbb{Z}$
(2.1) $ 0 < \rho(i) = {\rho_i} < {c_0} < + \infty, $
(2.2) $ \rho(i \pm 1) = {\rho_{i \pm 1}} \leqslant {c_1}\rho (i), $
(2.3) $ |\rho(i \pm 1) - \rho (i)| \leqslant {c_2}\rho (i), $
这里 ${c_0}$ ${c_1}$ ${c_2}$ $\ell^2_\rho$ $\ell^2$
定义算子 $A$ $B$ ${B^*}$
显然, $A$ $B$ $B^*$ $\ell^2_\rho$ $\ell^2$ $\ell^2$ $B$ $B^*$
(2.4) $ \begin{equation} (Au, v)=({B^*}Bu,v)= (Bu,Bv), (Bu,v)= (u,{B^*}v), u=(u_i)_{i\in {\mathbb Z}}\in \ell^2. \end{equation} $
(2.5) $ \begin{matrix} \|B u\|_{\rho}^{2} &=\sum_{i \in \mathbb{Z}} \rho_{i}\big((B u)_{i}\big)^{2} = \sum_{i \in \mathbb{Z}} \rho_{i}\big(u_{i+1}-u_{i}\big)^{2} \leqslant 2\sum_{i \in \mathbb{Z}} \rho_{i}\big(u^2_{i+1}+u^2_{i}\big) \nonumber\\ &= 2\sum_{i \in \mathbb{Z}} \rho_{i}u^2_{i+1}+ 2\sum_{i \in \mathbb{Z}} \rho_{i}u^2_{i} = 2\sum_{i \in \mathbb{Z}} \rho_{i-1}u^2_{i}+ 2\sum_{i \in \mathbb{Z}} \rho_{i}u^2_{i}\nonumber\\ &\leqslant 2\sum_{i \in \mathbb{Z}} c_1\rho_{i}u^2_{i}+ 2\sum_{i \in \mathbb{Z}} \rho_{i}u^2_{i} = 2(1+c_1)\|u\|_{\rho}^{2}, \forall u=(u_i)_{i\in {\mathbb Z}}\in \ell^2_\rho. \end{matrix} $
上式表明 $B: \ell^2_\rho\longmapsto \ell^2_\rho$ $B$ $\ell^2_\rho$
(2.6) $ \begin{matrix} \|B\|_\rho \leqslant \sqrt{2(1+c_1)}. \end{matrix} $
类似可算出算子 $A$ $B^*$ $\ell^2_\rho$
(2.7) $ \begin{matrix} \|B^*\|_\rho\leqslant \sqrt{2(1+c_1)}, \quad \|A\|_\rho \leqslant \sqrt{8(1+c_1)}. \end{matrix} $
综上所知, 算子 $A$ $B$ $B^*$ $\ell^2_\rho$
文后记 $u=(u_i)_{i\in \mathbb{Z}}$ $\alpha u=(\alpha u_i)_{i\in \mathbb{Z}}$ $f(t,u) = ({f_i}(t,{u_i}))_{i \in \mathbb{Z}}$ $g(t) = ({g_i}(t))_{i \in\mathbb{Z}}$ $(u_{i,\tau })_{i \in \mathbb{Z}} = {u_\tau}$ . 根据以上介绍的记号和算子, $\ell^2_\rho$
(2.8) $ \begin{matrix} & \frac{{\mathrm d}u}{{\mathrm d}t} + \alpha u + Au + f(t,u) = g(t), t > \tau, \tau \in \mathbb{R}, \end{matrix} $
(2.9) $ \begin{matrix} u(\tau ) = (u_{i,\tau })_{i \in \mathbb{Z}} = {u_\tau} \in \ell^2_\rho. \end{matrix} $
为保证问题 (2.8)-(2.9) 的整体适定性 (也为了保证拉回吸引子的存在性), 我们假设常数 $\alpha$ $c_1, c_2$ $f(t,u)=({f_i}(t,{u_i}))_{i \in \mathbb{Z}}$ $g(t) = ({g_i}(t))_{i \in\mathbb{Z}}$
(H1) 正数 $c_1, c_2$ $c_1\geqslant 1$ $c_2\leqslant 2$ $\alpha$
(2.10) $ \begin{equation} \sigma:=\alpha-c_1c_2>0. \end{equation} $
(H2) 对每个 $i \in \mathbb{Z}$ $f_i(t,s)\in C({\mathbb R}^2)$ $\frac{\partial f_i(t,s)}{\partial s}\in C({\mathbb R}^2)$ $f_i(t,s)s \geqslant 0, \forall s \in \mathbb{R}$ $\zeta:\mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}_+$
(2.11) $ \begin{equation} \sup\limits_{i\in \mathbb{Z}} \sup\limits_{t\in \mathbb{R}} \max\limits_{s\in [-r,r]} |\frac{\partial f_i(t,s)}{\partial s}| \leqslant \zeta(r), \forall\, r\in \mathbb{R}_+. \end{equation} $
(H3) 假设 $g(t) = ({g_i}(t))_{i \in\mathbb{Z}}\in C({\mathbb R}; \ell^2_\rho)$
(2.12) $ \begin{equation} \int_{ -\infty }^t {{\rm e}^{\sigma s}} \|g(s)\|_\rho^2{\mathrm d}s < + \infty, \forall t \in \mathbb{R}. \end{equation} $
下面我们说明满足 (2.1)-(2.3) 式和假设条件 (H1)-(H3) 的加权函数 $\rho(i)$ $f(t,u)=({f_i}(t,{u_i}))_{i \in \mathbb{Z}}$ $g(t) = ({g_i}(t))_{i \in\mathbb{Z}}$
其中 $\omega>0$ $\kappa>1/2$ $c_0=1$ $\frac{\rho(y\pm 1)}{\rho(y)}\in C(\mathbb{R})$ $ \lim\limits_{y\longrightarrow \infty}\frac{\rho(y\pm 1)}{\rho(y)}= \lim\limits_{|i|\longrightarrow \infty}\frac{\rho(i\pm 1)}{\rho(i)}=1, $ $\sup\limits_{y\in {\mathbb R}}\frac{\rho(y\pm 1)}{\rho(y)}<+\infty$ . 注意到 $ \frac{\rho(1-1)}{\rho(1)}=(1+\omega^2)^\kappa=\frac{\rho(-1+1)}{\rho(1)}>1, $ $ c_1=\sup\limits_{i\in {\mathbb Z}}\frac{\rho(i\pm 1)}{\rho(i)}, $ $c_1>1$ $\vartheta$
取 $c_2=c_1\kappa \omega$ $\kappa>1/2$ $\omega$ $c_2\leqslant 2$ $\forall i \in \mathbb{Z}$ ${f_i}(t,s) = s^3|\sin t|$ $\zeta(s)=4s^2$ $({f_i}(t,s))_{i\in \mathbb{Z}}$ $g(t) = ({g_i}(t))_{i \in\mathbb{Z}}$ 38 ].
下面证明问题 (2.8)-(2.9) 整体解的存在唯一性.
(1) 对于每个给定的 ${u_\tau } \in \ell^2_\rho$ $\tau \in \mathbb{R}$
(2.13) $ \begin{matrix} u \in C([\tau, T),\ell^2_\rho) \cap C^1(\big(\tau, T\big),\ell^2_\rho), \end{matrix} $
其中 $T > \tau $ $T < + \infty $ $\mathop {\lim }\limits_{t \to {T^-}}\|u(t)\|_\rho=+ \infty$ .
(2) 对任意 $t\in [\tau, T)$
(2.14) $ \begin{matrix} \big\|u(t)\big\|_\rho ^2 \leqslant {{\rm e}^{-\sigma(t-\tau )}}\big\|u_\tau\big\|_\rho ^2 +\frac{{\rm e}^{-\sigma t}}{\alpha }\int_\tau ^t {{\rm e}^{\sigma s}}\big\|g(s)\big\|_\rho^2{\mathrm d}s, \forall t \geqslant \tau. \end{matrix} $
证 由于 $A: \ell^2_\rho \longmapsto \ell^2_\rho$ $g(t) \in C(\mathbb{R}; \ell^2_\rho)$ $f(t,u): \mathbb{R}\times \ell^2_\rho \longmapsto \ell^2_\rho$ $u\in \ell^2_\rho$ ${\mathcal B}$ $\ell_\rho^2$ $u=(u_i)_{i\in {\mathbb Z}}$ $v=(v_i)_{i\in {\mathbb Z}} \in {\mathcal B}$ $i \in \mathbb{Z}$ $t \in \mathbb{R}$ ${\vartheta_i} \in (0,1)$
(2.15) $ \begin{equation} {f_i}(t,{u_i}) - {f_i}(t,{v_i}) = ({u_i} - {v_i})f_i^{\prime}(t,{\xi _i}), \end{equation} $
其中 ${\xi _i} = {\vartheta_i}{u_i} + (1 - {\vartheta_i}){v_i} \in {\mathcal B}$ . 从而由 (2.11) 式就有
(2.16) $ \begin{matrix} \|f(t, u)-f(t, v)\|_{\rho}^2 &= \sum_{i \in \mathbb{Z}} \rho_i \big|f_i\big(t, u_i\big)-f_i\big(t, v_i\big)\big|^2 =\sum_{i \in \mathbb{Z}} \rho_i \big|u_i-v_i\big|^2\big|f_i^{\prime}\big(t, \xi_i\big)\big|^2\nonumber\\ & \leqslant \sup_{i\in \mathbb{Z}}\sup_{t\in \mathbb{R}}\max_{\xi\in {\mathcal B}} |f_i^{\prime}(t,\xi)|^2\|u-v\|^2_{\rho}\nonumber\\ \leqslant \zeta(r_{\mathcal B})\|u-v\|^2_{\rho}, \end{matrix} $
其中 $r_{\mathcal B}$ ${\mathcal B}$
为证明引理中的 (2), 用 $u(t) = (u_i(t))_{i \in \mathbb{Z}} \in \ell^2_\rho$ $\ell^2_\rho$
(2.17) $ \begin{matrix} \frac{1}{2}\frac{{\mathrm d}}{{\mathrm d}t}\|u(t)\|_\rho^2 + \alpha \|u(t)\|^2_\rho + (Au(t),u(t))_\rho + (f(t,u(t)),u(t))_\rho = (g(t),u(t))_\rho, t > \tau. \end{matrix} $
记 $w_i(t) = \rho_iu_i(t)$ $w(t)= (w_i(t))_{i \in\mathbb{Z}}$
(2.18) $ (Au,u)_\rho = \sum\limits_{i \in \mathbb{Z}} {(Bu)_i}{(Bw)_i}, $
(2.19) $ |{(Bw)_i} - {\rho_i}{(Bu)_i}| =|u_{i+1}({\rho_{i+1}}-{\rho_i})| \leqslant {c_2}{\rho_i}|u_{i+1}|. $
(2.20) $ \begin{equation} \begin{aligned} (Au,u)_\rho = \sum\limits_{i \in \mathbb{Z}} {(Bu)_i}{(Bw)_i} &= \sum\limits_{i\in \mathbb{Z}}\Big\{{\rho_i}{((Bu)_i)^2} + {(Bu)_i}[{(Bw)_i} - {\rho_i}{(Bu)_i}]\Big\} \\ &\geqslant \sum\limits_{i\in {\mathbb Z}}\Big\{\rho_i((Bu)_i)^2-c_2\rho_i|u_{i+1}||(Bu)_i|\Big\} \\ & \geqslant \sum\limits_{i \in \mathbb{Z}}\Big\{( {\rho_i} - \frac{1}{2}{c_2}{\rho_i} ){((Bu)_i)^2} - \frac{1}{2}{c_2}{\rho_i}{|u_{i+1}|^2}\Big\}\\ & \geqslant -\frac{c_2}{2}\sum\limits_{i\in \mathbb{Z}}\rho_iu^2_{i+1} \geqslant -\frac{c_1 c_2}{2}\sum\limits_{i\in \mathbb{Z}}\rho_{i+1}u^2_{i+1} = -\frac{1}{2}{c_1}{c_2}\| {u}\|_\rho^2. \end{aligned} \end{equation} $
同时, 由假设 (H1) 和 Cauchy 不等式得
(2.21) $ \begin{matrix} - {(f(t,u(t)),u(t))_\rho } &= - \sum\limits_{i \in \mathbb{Z}} {\rho_i} {f_i}(t,{u_i}(t)){u_i}(t) \leqslant 0,\end{matrix} $
(2.22) $ \begin{matrix} {(g(t),u(t))_\rho } &\leqslant \frac{{\alpha \| {u(t)} \|_\rho ^2}}{2} + \frac{{\| {g(t)} \|_\rho ^2}}{{2\alpha }}. \end{matrix} $
综合 (2.17) 和 (2.20)-(2.22) 式推得
(2.23) $ \begin{matrix} \frac{{\mathrm d}}{{\mathrm d}t}\|u(t)\|_\rho^2 + \sigma \|u(t)\|_\rho^2 \leqslant \frac{\|g(t)\|_\rho^2}{\alpha}, t>\tau, \end{matrix} $
此处和文后 $\sigma > 0$
由引理 2.1 可推知, 对每一给定的初值 $u_\tau\in \ell^2_\rho$
在空间 $\ell^2_\rho$ ${\{U(t,\tau )\}_{t \geqslant \tau }}$ . 下面证明 $\{U(t,\tau )\}_{t\geqslant \tau}$
引理2.2 设条件(H1)-(H3)成立, 则 $\{U(t,\tau )\}_{t\geqslant \tau}$ $\ell^2_\rho$ $t$ $\tau$ $U(t,\tau ): \ell^2_\rho \longmapsto \ell^2_\rho$
证 设 ${\mathcal B}$ $\ell^2_\rho$ $\tau \in \mathbb{R}$ $ u_\tau^{(k)} \in {\mathcal B}$ $k = 1,2$ ) 为初始时刻的两个初值, 记$u^{(k)}(t) = U(t,\tau )u^{(k)}_\tau$ $u^{(k)}_\tau$ $\tilde{u}(\cdot) = {u^{(1)}}(\cdot) - {u^{(2)}}(\cdot)$ $\tilde{u}$
(2.24) $ \begin{equation} \frac{{\mathrm d}\tilde{u}(t)}{{\mathrm d}t}+A\tilde{u}(t)+ \alpha \tilde{u}(t)+f(t,u^{(1)}(t))-f(t,u^{(2)}(t))=0, t>\tau, \end{equation} $
(2.25) $ \begin{equation} \tilde{u}(\tau)=u_\tau^{(1)}-u_\tau^{(2)}. \end{equation} $
用 $\tilde{u}$ $\ell^2_\rho$
(2.26) $ \begin{matrix} \frac{1}{2}\frac{{\mathrm d}}{{\mathrm d}t}\|\tilde{u}(t)\|_\rho^2 + \alpha \|\tilde{u}(t)\|_\rho^2 + (A\tilde{u}(t),\tilde{u}(t))_\rho + (f(t,u^{(1)}(t)) - f(t,u^{(2)}(t)),\tilde{u}(t))_\rho = 0. \end{matrix} $
由 (2.14), (2.16) 式和条件 (H2), (H3) 知存在常数 $L(t, \tau, {\mathcal B})>0$
结合 (2.7), (2.26) 和 (2.27) 式推得
(2.28) $ \begin{matrix} \frac{{\mathrm d}}{{\mathrm d}t}\|\tilde{u}(t)\|_\rho^2 +2\big[\alpha-2\sqrt{2(1+c_1)}-L(t, \tau, {\mathcal B})\big] \|\tilde{u}(t)\|_\rho^2 \leqslant 0. \end{matrix} $
对 (2.28) 式应用 Gronwall 不等式, 得
3 拉回吸引子的存在性
在这一节中, 我们证明过程 ${\{U(t,\tau )\}_{t \geqslant \tau }}$ $\ell^2_\rho$ ${\{ U(t,\tau )\}_{t \geqslant \tau }}$ ${\mathcal D}_\sigma$ - 吸引子. 有界拉回吸收集和拉回吸引子的定义可参考文献 [38 ,39 ].
(3.1) $ \begin{matrix} {\mathcal{D}_\sigma} = \big\{ {\widehat D = \{ D(s)|s \in \mathbb{R}\} }| {\mathop {\lim }\limits_{s \to - \infty } }{{\rm e}^{\sigma s}}\mathop {\sup }\limits_{u \in D(s)} {\| u\|_\rho ^2}=0 \big\}. \end{matrix} $
显然, $\ell^2_\rho$ ${\mathscr{B}}$ ${\mathcal{D}_\sigma}$ . 下面的引理说明过程 ${\{U(t,\tau )\} _{t \geqslant \tau }}$ $\ell^2_\rho$
引理3.1 设条件 (H1)-(H3) 成立. 则存在 $\widehat {{\mathcal{B}_0}} = \{ {\mathcal{B}_0}(s)| {s \in \mathbb{R}}\}$ $t\in \mathbb{R}$ ${\widehat D = \{ D(s)|s \in \mathbb{R}\} \in {\mathcal{D}_\sigma}}$ $\exists {\tau_0} = {\tau_0}(t,\widehat D) \leqslant t$ $U(t,\tau )D(\tau ) \subset {\mathcal{B}_0}(t), \forall t \geqslant {\tau_0}$ ${\mathcal B}_0(s)= {\mathcal{B}_0}(0;{R_\sigma}(s))$ $\ell^2_\rho$ ${R_\sigma}(s)$
(3.2) $ \begin{matrix} R_\sigma^2(t) = 1 + \frac{{\rm e}^{-\sigma t}}{\alpha }\int_{-\infty }^t {{{\rm e}^{\sigma s}}\| g(s)\|_\rho^2}{\mathrm d}s, t \in \mathbb{R}. \end{matrix} $
则由 (2.14) 和 (3.2) 式知 $\widehat {\mathcal{B}_0} = \{{\mathcal{B}_0}(0;{R_\sigma}(t)) | {t \in \mathbb{R}}\}$ ${\{U(t,\tau )\} _{t \geqslant \tau }}$ $\ell^2_\rho$
接下来我们证明过程 $\{U(t, \tau)\}_{t\geqslant \tau}$ $\ell^2_\rho$ ${\mathcal D}_{\sigma}$ - 渐近零的性质.
引理3.2 设条件 (H1)-(H3) 成立. 则对于给定的 $t \in \mathbb{R},$ $\forall \varepsilon > 0$ $\forall {\widehat D = \{D(s)|s \in \mathbb{R}\}} \in {\mathcal{D}_\sigma},$ $\exists {I_0} = {I_0}(t,\varepsilon,\widehat D) \in \mathbb{N}$ ${\tau_0} = {\tau _0}(t,\varepsilon,\widehat D) \leqslant t,$
(3.3) $ \begin{matrix} \sup\limits_{{u_\tau }\in D(\tau)}\sum\limits_{|i|\geqslant I_0} {\rho_i} |(U(t, \tau)u_\tau)_i| ^2 \leqslant \varepsilon^2, \forall \tau \leqslant \tau_0. \end{matrix} $
证 根据 Urysohn 引理知存在光滑函数 $\chi (\cdot)\in C^1({\mathbb R}_+, {\mathbb R}_+)$
(3.4) $ \begin{matrix} \left\{ \begin{array}{ll} \chi(x)=0, & 0\leqslant x\leqslant 1, \\ 0\leqslant \chi(x)\leqslant 1, & 1\leqslant x\leqslant 2, \\ \chi(x)=1, & x\geqslant 2, \\ |\chi'(x)|\leqslant \chi_0, & x\geqslant 0, \end{array} \right. \end{matrix} $
其中 $\chi_0>0$ ${\widehat D}=\{D(s)|s\in {\mathbb R}\}\in {\mathcal D}_\sigma$ $t, \tau\in {\mathbb R}$ $t\geqslant \tau$ $u(t)=u(t;\tau, u_\tau)=U(t,\tau)u_\tau$ $u_\tau\in D(\tau)$ $I>0$
用 $v = {(v_i)_{i \in \mathbb{Z}}}$ $\ell^2_\rho$
(3.5) $ \begin{matrix} (\dot{u}(t),v(t))_\rho +\alpha(u(t),v(t))_\rho +(Au(t),v(t))_\rho +(f(t,u(t)),v(t))_\rho = (g(t),v(t))_\rho. \end{matrix} $
下面对 (3.5) 式中的各项进行计算和估计. 首先,
(3.6) $ \begin{matrix} (\dot{u}(t),v(t))_\rho = \frac{1}{2}\frac{{\mathrm d}}{{\mathrm d}t}\sum\limits_{i \in \mathbb{Z}} {\rho _i} \chi ({\frac{|i|}{I}})u_i^2(t). \end{matrix} $
对于 ${(Au(t),v(t))_\rho }$
(3.7) $ \begin{matrix} (Au(t),v(t))_\rho &= \sum\limits_{i \in \mathbb{Z}} {(Bu)_i} {(Bz)_i} \\ &= \sum_{i \in \mathbb{Z}}\chi(\frac{|i|}{I}){(Bu)_i}{(Bw)_i} +\sum_{i \in \mathbb{Z}}{(Bu)_i}\big[{(Bz)_i}-\chi(\frac{|i|}{I}){(Bw)_i}\big]. \end{matrix} $
(3.8) $ \begin{matrix} \sum_{i \in \mathbb{Z}} \chi(\frac{|i|}{I}){(Bu)_i}{(Bw)_i} &\geqslant -\frac{c_2}{2} \sum_{i \in \mathbb{Z}} \rho_{i} \chi(\frac{|i|}{I})u^2_{i+1} \geqslant -\frac{c_1c_2}{2} \sum_{i \in \mathbb{Z}} \rho_{i+1}\chi(\frac{|i|}{I})u^2_{i+1} \\ &= -\frac{c_1c_2}{2} \sum_{i \in\mathbb{Z}}\rho_{i+1}[\chi(\frac{|i|}{I})-\chi(\frac{|i+1|}{I}) +\chi(\frac{|i+1|}{I})]u^2_{i+1}. \end{matrix} $
(3.9) $ \begin{matrix} \sum_{i \in \mathbb{Z}} \rho_{i+1}[\chi(\frac{|i|}{I})-\chi(\frac{|i+1|}{I})]u^2_{i+1} \leqslant \frac{\chi_{0}}{I} \sum_{i \in \mathbb{Z}} \rho_{i+1}u^2_{i+1} = \frac{\chi_{0}}{I}\|u\|_{\rho}^{2}. \end{matrix} $
(3.10) $ \begin{matrix} \sum_{i \in \mathbb{Z}} \chi(\frac{|i|}{I}){(Bu)_i}{(Bw)_i} \geqslant -\frac{1}{2} c_1 c_2\big[ \frac{\chi_{0}}{I}\|u\|_{\rho}^{2} +\sum_{i \in \mathbb{Z}} \rho_{i}\chi(\frac{|i|}{I})u^2_{i}\big]. \end{matrix} $
(3.11) $ \begin{matrix} \sum_{i \in \mathbb{Z}}(Bu)_{i}[(Bz)_{i}-\chi(\frac{|i|}{I})(Bw)_{i}] & =\sum_{i \in \mathbb{Z}}(Bu)_{i}[\chi(\frac{|i+1|}{I})-\chi(\frac{|i|}{I})] \rho_{i+1} u_{i+1} \\ &\geqslant -\frac{\chi_{0}}{I} \sum_{i \in \mathbb{Z}}|{(Bu)_i}| \rho_{i+1}|u_{i+1}| \\ & \geqslant -\frac{\chi_{0}}{2 I} \sum_{i \in \mathbb{Z}} \rho_{i+1} [|u_{i+1}|^2+({(Bu)_i})^2] \\ & = -\frac{\chi_{0}}{2 I}(\sum_{i \in \mathbb{Z}} \rho_{i+1}|u_{i+1}|^2 +\sum_{i \in \mathbb{Z}} \rho_{i+1}({(Bu)_i})^2). \end{matrix} $
(3.12) $ \begin{matrix} \sum\limits_{i\in \mathbb{Z}}\rho_{i+1}((Bu)_i)^2 \leqslant c_1\sum\limits_{i\in \mathbb{Z}}\rho_i((Bu)_i)^2 = c_1\|Bu\|_\rho^2 \leqslant 2c_1(c_1+ 1)\|u\|_\rho^2. \end{matrix} $
(3.13) $ \begin{matrix} \sum_{i\in \mathbb{Z}}(B u)_{i}[(B z)_{i}-\chi(\frac{|i|}{I})(B w)_{i}] \geqslant -\frac{{{\chi_0}}}{{2I}}(\|u\|_\rho ^2 + 2{c_1}({c_1} + 1)\|u\|_\rho^2). \end{matrix} $
再将 (3.10) 式和 (3.13) 式代入 (3.7) 式, 得
(3.14) $ \begin{matrix} {(Au(t),v(t))_\rho } &\geqslant -\frac{1}{2} c_{1} c_{2}\big[ \frac{\chi_{0}}{I}\|u\|_{\rho}^{2} +\sum_{i \in \mathbb{Z}} \rho_{i} \chi(\frac{|i|}{I})u^2_{i}\big] -\frac{\chi_{0}}{2 I}(\|u\|_{\rho}^2+2c_1(c_1+1)\|u\|_\rho^2) \\ &= -\frac{1}{2}c_1c_2 \sum_{i \in \mathbb{Z}} \rho_{i} \chi(\frac{|i|}{I})u^2_{i} -\frac{(c_1c_2 + 1 + 2c_1(c_1+ 1)){\chi_0}}{2I}\|u\|_\rho^2. \end{matrix} $
同时, 应用条件 (H2) 以及 Cauchy 不等式得
(3.15) $ \begin{matrix} {(f(t,u(t)),v(t))_\rho } &= \sum\limits_{i \in \mathbb{Z}} {\rho _i} \chi ( {\frac{|i|}{I}}){f_i}(t,{u_i}){u_i} \geqslant 0, \end{matrix} $
(3.16) $ \begin{matrix} {(g(t),v(t))_\rho } &= \sum\limits_{i \in \mathbb{Z}} {\rho_i} \chi ({\frac{|i|}{I}}){g_i}(t){u_i}(t) \leqslant \frac{1}{2\alpha }\sum\limits_{i \in \mathbb{Z}} {\rho_i} \chi ( {\frac{|i|}{I}})g_i^2(t) + \frac{\alpha}{2}\sum\limits_{i \in \mathbb{Z}} {\rho_i} \chi ({\frac{|i|}{I}})u_i^2(t). \end{matrix} $
结合 (3.5), (3.6), (3.14)-(3.16) 式以及拉回吸收性, 有
(3.17) $ \begin{matrix} & \frac{{\mathrm d}}{{\mathrm d}t}\sum\limits_{i \in \mathbb{Z}} {\rho_i} \chi ({\frac{|i|}{I}})u_i^2(t) + \sigma \sum\limits_{i \in \mathbb{Z}} {\rho_i} \chi ( {\frac{|i|}{I}} )u_i^2(t) \nonumber\\ \leqslant\ & \frac{1}{\alpha}\sum\limits_{i \in \mathbb{Z}} {\rho_i} \chi({\frac{|i|}{I}})g_i^2(t) +\frac{{(c_1c_2 + 1 + 2c_1(c_1+ 1)){\chi_0}R_\sigma^2(t)}}{I}, \tau \leqslant \tau_1, \end{matrix} $
其中 $\tau_1=\tau_1(t, \widehat{D})$ $\varepsilon> 0$ $\exists I_1=I_1(t,\varepsilon ) \in \mathbb{N}$
(3.18) $ \begin{matrix} \frac{{(c_1c_2+1+2c_1(c_1+1)){\chi_0}R_\sigma^2(t)}}{I} \leqslant \frac{{\sigma {\varepsilon ^2}}}{3}, \forall I>I_1. \end{matrix} $
(3.19) $ \begin{matrix} \frac{{\mathrm d}}{{\mathrm d}t}\sum\limits_{i \in \mathbb{Z}} {\rho_i}\chi({\frac{|i|}{I}})u_i^2(t) + \sigma\sum\limits_{i \in \mathbb{Z}} {\rho_i} \chi({\frac{|i|}{I}})u_i^2(t) \leqslant \frac{1}{\alpha }\sum\limits_{i \in \mathbb{Z}} {\rho_i} \chi({\frac{|i|}{I}})g_i^2(t) + \frac{{\sigma {\varepsilon ^2}}}{3}, \tau \leqslant {\tau_1}, I > {I_1}. \end{matrix} $
对 (3.19) 式应用 Gronwall 不等式, 可得
(3.20) $ \begin{matrix} \sum\limits_{i \in \mathbb{Z}} {\rho_i} \chi ({\frac{|i|}{I}})u_i^2(t) \leqslant \sum\limits_{i \in \mathbb{Z}} {\rho_i} \chi ({\frac{|i|}{I}})u_i^2(\tau ) {\rm e}^{-\sigma (t-\tau)} + \frac{{{{\rm e}^{-\sigma t}}}}{\alpha }\int_\tau ^t {{{\rm e}^{\sigma s}}\sum\limits_{|i| \geqslant I} {{\rho_i}g_i^2(s)}} {\mathrm d}s + \frac{{\varepsilon^2}}{3}. \end{matrix} $
另一方面, 由条件 (H3) 知, 对上述 $\varepsilon>0$ $\exists I_2=I_2(t,\varepsilon) \in \mathbb{N}$
(3.21) $ \begin{matrix} \int_\tau^t {{{\rm e}^{\sigma s}}\sum\limits_{|i| \geqslant I} {{\rho_i}g_i^2(s)}} {\mathrm d}s \leqslant \sum\limits_{|i| \geqslant I} {\int_{-\infty }^t {{{\rm e}^{\sigma s}}{\rho_i}} g_i^2(s){\mathrm d}s} \leqslant \frac{{{\varepsilon ^2}}}{3}, I \geqslant {I_2}. \end{matrix} $
再由 (3.1) 式知, 对上述 $ \varepsilon > 0$ $\exists \tau_2 = \tau_2(t,\varepsilon,\widehat D)$
(3.22) $ \begin{matrix} \sum\limits_{i\in \mathbb{Z}}\rho_i\chi(\frac{|i|}{I})u_i^2(\tau){\rm e}^{-\sigma(t-\tau)} \leqslant {\rm e}^{-\sigma(t-\tau)}\|u(\tau)\|_\rho^2 \leqslant {\rm e}^{-\sigma(t-\tau)}\sup\limits_{u_\tau \in D(\tau)}\|u(\tau)\|_\rho^2 < \frac{\varepsilon^2}{3}, \tau \leqslant \tau_2. \end{matrix} $
取 $I_0=\max\{I_1, I_2\}$ $\tau_0=\min\{\tau_1, \tau_2\}$
根据上面证得的引理 3.1, 引理 3.2 和文献 [38 ,定理 2.1], 我们得到本节主要结果
定理3.1 设条件 (H1)-(H3) 成立. 则问题 (2.8)-(2.9) 的解映射生成的过程 $\{U(t, \tau)\}_{t\geqslant \tau}$ $\ell_\rho^2$ ${\mathcal D}_\sigma$ - 吸引子(记为) ${{\hat {\mathcal A}}_{\mathcal{D}_\sigma}}= \{{\mathcal A}_{{\mathcal{D}_\sigma}}(t):t \in \mathbb{R}\} $
(1) 紧性 $\forall t \in \mathbb{R}$ ${{\mathcal A}_{{\mathcal{D}_\sigma}}(t)}$ $\ell_\rho^2$
(2) 不变性 $U(t,\tau ){\mathcal A}_{{\mathcal{D}_\sigma}}(\tau)={{\mathcal A}_{{\mathcal{D}_\sigma}}}(t), \forall t \geqslant \tau$
(3) 拉回吸引性 $\forall {\widehat {D}= \{{D}(t)|t \in \mathbb{R}\} \in {\mathcal{D}_\sigma}}$
其中 ${\rm dist}_{\ell_\rho^2}(\cdot, \cdot)$ $\ell_\rho^2$
4 不变测度与统计解的存在性
在这一节中, 我们先证明过程 $\{U(t, \tau)\}_{t\geqslant \tau}$ $\ell^2_\rho$ $\tau$ - 连续性, 然后说明其存在一族不变 Borel 概率测度 $\{{\mu_t}\}_{t \in \mathbb{R}}$
引理4.1 设条件 (H1)-(H3) 成立. 则过程 $\{U(t, \tau)\}_{t\geqslant \tau}$ $\ell^2_\rho$ $\tau$ - 连续性$,$ $t\in \mathbb{R}$ $u_*\in \ell_\rho^2 $ $ \ell_\rho^2$ - 值映射 $\tau \longmapsto U(t, \tau)u_*$ $(-\infty, t]$
证 对任意给定的 $t\in \mathbb{R}$ $u_*\in \ell_\rho^2$
(4.1) $ \begin{matrix} \begin{split} \|U(t,s)u_*\|_\rho ^2 &\leqslant {\rm e}^{-\sigma(t-s)}\|u_*\|_\rho^2 + \frac{{\rm e}^{-\sigma t}}{\alpha} \int_s^t {{\rm e}^{\sigma \theta }}\|g(\theta)\|_\rho^2{\mathrm d}\theta \\ &\leqslant \|u_*\|_\rho^2 + \frac{{{\rm e}^{-\sigma t}}}{\alpha} \int_{-\infty}^t {{\rm e}^{\sigma \theta }}\|g(\theta)\|_\rho^2{\mathrm d}\theta, \forall t \geqslant s. \end{split} \end{matrix} $
由条件 (H3) 知上面不等式的右边是与 $s$ $\|U(t, \cdot)u_*\|_{\rho}$ $(-\infty, t]$
下证 $\ell_\rho^2$ - 值映射 $\tau \longmapsto U(t, \tau)u_*$ $(-\infty, t]$ $s_*\in (- \infty, t]$ $U(t, \tau)u_*$ $\tau =s_*$ $\forall \varepsilon > 0$ $\exists \delta=\delta(\varepsilon, s_*, t, u_*)>0$
(4.2) $ \begin{matrix} |r-s_*|<\delta\quad \Longrightarrow \quad\|U(t,r)u_*- U(t,s_*)u_*\|_\rho< \varepsilon. \end{matrix} $
则 $\tilde u(\cdot)$
(4.3) $ \frac{{\mathrm d}\tilde u}{{\mathrm d}t}+\alpha \tilde u + A\tilde u + f(t,u^{(1)})-f(t,u^{(2)})=0, t>{s_*}, $
(4.4) $ \tilde u(s_*)=U(s_*,r)u_*-u_*, $
且由 (4.1) 式知存在常数 $L_1=L_1(t, s_*, u_*)>0$
(4.5) $ \begin{matrix} \|u^{(1)}(t)\|^2_\rho+\|u^{(2)}(t)\|^2_\rho\leqslant L_1. \end{matrix} $
用 $\tilde u $ $\ell_\rho^2$
(4.6) $ \begin{matrix} \frac{1}{2}\frac{{\mathrm d}}{{\mathrm d}t} \|{\tilde u(t)}\|_\rho^2 +\alpha \| {\tilde u(t)} \|_\rho ^2 + (A\tilde u(t),\tilde u(t))_\rho +(f(t,u^{(1)})-f(t,u^{(2)}),\tilde u(t))_\rho=0. \end{matrix} $
由条件 (H2), (2.16) 和 (4.5) 式知存在常数 $L_2=L_2(L_1)>0$
(4.7) $ \begin{matrix} |(f(t,{u^{(1)}})-f(t,{u^{(2)}}),\tilde u(t))_\rho| \leqslant L_2 \|\tilde u(t)\|^2_\rho. \end{matrix} $
因此, 结合 (2.7), (4.6) 和 (4.7) 式得到
(4.8) $ \begin{matrix} \frac{{\mathrm d}}{{{\mathrm d}t}}\| {\tilde u(t)} \|_\rho ^2 \leqslant 2(L_2+2\sqrt{2(1+c_1)})\| {\tilde u(t)}\|_\rho^2. \end{matrix} $
(4.9) $ \begin{matrix} \| {\tilde u(t)} \|_\rho ^2 &\leqslant \|{\tilde u({s_*})}\|_\rho^2 \exp\Big \{\int_{s_*}^t 2(L_2+2\sqrt{2(1+c_1)}){\mathrm d}\theta \Big\} \nonumber\\ &= \|U(s_*,r)u_* -u_*\|_\rho^2 \exp\Big\{\int_{s_*}^t 2(L_2+2\sqrt{2(1+c_1)}){\mathrm d}\theta\Big\}. \end{matrix} $
由 (2.13) 式知当 $|r -s_*|$ $\|U(s_*,r)u_*-u_*\|_\rho^2 $
下面我们修正文献 [5 ] 中广义 Banach 极限的定义.
定义4.1 设 $\mathfrak{F}$ $\mathbb{R}$ $\mathfrak{F}$ ${\rm LIM}_{t\rightarrow -\infty}$
(1) 对任意 $(-\infty, +\infty)$ $h(\cdot)$ ${\rm LIM}_{t\rightarrow -\infty}h(t)\geqslant 0$
(2) 若 $\lim\limits_{t\rightarrow -\infty}h(t)$ ${\rm LIM}_{t\rightarrow -\infty}h(t) =\lim\limits_{t\rightarrow -\infty}h(t)$ .
则称 ${\rm LIM}_{t\rightarrow -\infty}$
结合文献 [5 ,定理 3.1、定理 4.1] 和已证得的定理 3.1 和引理 4.1, 我们得到下面结论.
定理4.1 设条件 (H1)-(H3) 成立. 则对于给定的 $\psi_*\in \ell_\rho^2$ ${\rm LIM}_{s\rightarrow -\infty}$ $\ell_\rho^2$ $\{\mu_t\}_{t\in \mathbb{R}}$ $\mu_t$ ${\mathcal A}_{\mathcal{D}_\sigma}(t)$
(4.10) $ \begin{matrix} {\rm LIM}_{\tau \rightarrow-\infty}\frac{1}{t-\tau}\int_\tau^t \Phi \big(U(t,s)\psi_*(s)\big){\mathrm d}s = \int_{{ {\mathcal A}_{\mathcal{D}_\sigma}}(t)}\Phi(u){\mathrm d}{\mu_t}(u), \end{matrix} $
其中 $\Phi$ $\ell_\rho^2$ $\{\mu_t\}_{t\in \mathbb{R}}$
(4.11) $ \begin{matrix} \int_{{ {\mathcal A}_{{\mathcal{D}_\sigma}}}(t)}\Phi(u){\mathrm d}{\mu_t}(u) =\int_{{ {\mathcal A}_{{\mathcal{D}_\sigma}}}(\tau)} \Phi \big(U(t,\tau)u\big){\mathrm d}{\mu }_\tau(u), t\geqslant \tau. \end{matrix} $
下面我们将给出方程 (2.8) 的统计解的定义并证明其存在性. 为此, 我们把方程 (2.8) 写成
(4.12) $ \begin{matrix} \frac{{\mathrm d}u}{{\mathrm d}t}=F(u, t):=g(t)-Au-\alpha u-f(t, u), t\in {\mathbb R}. \end{matrix} $
从引理 2.1 的证明可知 $F(u, t): \ell^2_\rho\times {\mathbb R}\longmapsto \ell^2_\rho$ $\Psi$
(4.13) $ \begin{matrix} \frac{{\mathrm d}}{{\mathrm d}t}\Psi(u(t))=(\Psi'(u), F(u, t))_\rho, \end{matrix} $
定义4.1 设 $\mathfrak{T}$ ${\rm :}$ $\Psi$ $\ell^2_\rho$ $,$ $\ell^2_\rho$ $,$
(1) 对任意 $u\in \ell^2_\rho$ $\Psi(u)$ $\Psi'(u)$ ) 存在, 也即对每个 $u\in \ell^2_\rho$ $\ell^2_\rho$ $\Psi'(u)$
(2) 映射 $u\longmapsto \Psi'(u)$ $\ell^2_\rho$ $\ell^2_\rho$
(3) 对于方程 (4.12) 的每个解 $u(t)$
称 $\mathfrak{T}$ $\mathfrak{T}$
关于方程 (4.12) 的试验函数的存在性可以参考文献 [37 ].
定义4.3 空间 $\ell^2_\rho$ $\{\mu_t\}_{t\in {\mathbb R}}$
(1) 对每个定义在 $\ell^2_\rho$ $\Phi$ $t\longmapsto \int_{\ell^2_\rho}\Phi(u){\mathrm d} \mu_t(u)$
(2) 对每个 $t\in {\mathbb R}$ $u \longmapsto (F(u,t), \phi)_\rho$ $\phi\in \ell^2_\rho$ $\mu_t$ $\phi\in \ell^2_\rho$
(3) 对任意试验函数 $\Psi\in \mathfrak{T}$
关于方程 (4.12) 的统计解的存在性, 我们有下面结果.
定理4.2 设条件 (H1)-(H3) 成立. 则定理 4.1 中得到的一族 Borel 概率测度 $\{\mu_t\}_{t\in \mathbb{R}}$
证 我们证明定理 4.1 中得到的一族 Borel 概率测度 $\{\mu _t\}_{t\in \mathbb{R}}$ $C_b(\ell^2_\rho)$ $\ell^2_\rho$
首先, 对每个给定的 $t_*\in {\mathbb R}$
(4.14) $ \begin{matrix} \lim\limits_{t\rightarrow t_*} \int_{\ell^2_\rho}\Phi(u){\mathrm d}\mu_t(u) = \int_{\ell^2_\rho} \Phi(u){\mathrm d}\mu_{t_*}(u), \forall \Phi\in C_b(\ell^2_\rho). \end{matrix} $
事实上, 由 (4.10) 和 (4.11) 式知
(4.15) $ \begin{matrix} \int_{\ell^2_\rho}\Phi(u){\mathrm d}\mu_t(u)-\int_{\ell^2_\rho} \Phi(u){\mathrm d}\mu_{t_*}(u) = \int_{{\mathcal A}_{{\mathcal D}_\sigma}(t_*)} (\Phi(U(t,t_*)u)-\Phi(u)){\mathrm d}\mu_{t_*}(u), \forall t>t_*. \end{matrix} $
注意到 $t\longrightarrow t_*^+$ $\|U(t,t_*)u-u\|_\rho\longrightarrow 0$ $\Phi\in C_b(\ell^2_\rho)$ ${\mathcal A}_{{\mathcal D}_\sigma}(t_*)$ $\ell^2_\rho$
其次, 对每个 $t\in {\mathbb R}$ $\mu_t$ ${\mathcal A}_{{\mathcal D}_\sigma}(t)\subset \ell^2_\rho$ $\phi\in \ell^2_\rho$ $\Upsilon(\cdot): \ell^2_\rho\longmapsto {\mathbb R}$
(4.16) $ \begin{matrix} \Upsilon(u)=(F(u, t), \phi)_\rho. \end{matrix} $
下面证 $\Upsilon(\cdot)$ $\ell^2_\rho$ $\Upsilon(\cdot)\in C(\ell^2_\rho)$ . 为此, 任取 $u_*\in \ell^2_\rho$ $u\in \ell^2_\rho$ $\|u_*-u\|_\rho\leqslant 1$ . 直接计算有
(4.17) $ \begin{matrix} |\Upsilon(u_*)-\Upsilon(u)| =& |(F(u_*, t)-F(u, t), \phi)_\rho| \nonumber\\ \leqslant& |(A(u_*-u), \phi)_\rho| +\alpha |(u_*-u, \phi)_\rho| +|(f(t,u_*)-f(t,u), \phi)_\rho|\nonumber\\ \leqslant& (\sqrt{8(1+c_1)}+\alpha)\|u_*-u\|_\rho \|\phi\|_\rho +\|f(t,u_*)-f(t,u)\|_\rho \|\phi\|_\rho. \end{matrix} $
现由 (2.16) 式知存在常数 $L_3=L_3(u_*)>0$ $\|f(t,u_*)-f(t,u)\|_\rho\leqslant L_3$ . 因此 (4.17) 式表明
故 $\Upsilon(\cdot)\in C(\ell^2_\rho)$ . 由 (4.14) 和 (4.16) 式知对任意 $\phi\in \ell^2_\rho$ $u \longmapsto (F(u,t), \phi)_\rho=\Upsilon(u)$ $\mu_t$
是 ${\mathbb R}$ $L^1_{\rm loc}({\mathbb R})$ .
最后, 对任意 $\Psi\in {\mathfrak T}$
(4.18) $ \begin{matrix} \Psi(u(t))-\Psi(u(\tau)) = \int_\tau^t\big(\Psi'(u(\theta)), F(u(\theta),\theta)\big)_{\rho} {\mathrm d}\theta. \end{matrix} $
现对任意 $s<\tau$ $u_*\in\ell^2_\rho$ $u(\theta)=U(\theta,s)u_*$ $\theta\geqslant s$ . 由 (4.18) 式得
(4.19) $ \begin{matrix} \Psi(U(t, s)u_*)-\Psi(U(\tau, s)u_*) = \int_\tau^t (\Psi'(U(\theta, s)u_*), F(U(\theta, s)u_*,\theta))_\rho{\mathrm d}\theta. \end{matrix} $
应用 (4.13), (4.19) 式以及 Fubini 定理得到
(4.20) $ \begin{matrix} & \int_{\ell^2_\rho}\Psi(u){\mathrm d}\mu_t(u)-\int_{\ell^2_\rho}\Psi(u){\mathrm d}\mu_\tau(u) \nonumber\\ =\ & \int_{{\mathcal A}_{{\mathcal D}_{\sigma}}(t)}\Psi(u){\mathrm d}\mu_t(u) -\int_{{\mathcal A}_{{\mathcal D}_{\sigma}}(\tau)}\Psi(u){\mathrm d}\mu_\tau(u) \nonumber\\ =\ & {\rm LIM}_{M\rightarrow -\infty}\frac{1}{\tau-M} \int_M^\tau\int_{\ell^2_\rho} \big(\Psi(U(t, s)u_*)-\Psi(U(\tau, s)u_*)\big){\mathrm d}\mu_s(u_*){\mathrm d}s \nonumber\\ =\ & {\rm LIM}_{M\rightarrow -\infty}\frac{1}{\tau-M} \int_M^\tau\int_{\ell^2_\rho}\int_\tau^t (\Psi'(U(\theta, s)u_*), F(U(\theta, s)u_*, \theta))_\rho{\mathrm d}\theta {\mathrm d}\mu_s(u_*){\mathrm d}s\nonumber\\ =\ & {\rm LIM}_{M\rightarrow -\infty}\frac{1}{\tau-M} \int_M^\tau\int_\tau^t\int_{\ell^2_\rho} (\Psi'(U(\theta, s)u_*), F(U(\theta, s)u_*, \theta))_\rho {\mathrm d}\mu_s(u_*){\mathrm d}\theta{\mathrm d}s. \end{matrix} $
由 (4.11) 式以及过程的不变性 $U(\theta, s)=U(\theta, \tau)U(\tau,s)$
(4.21) $ \begin{matrix} &\quad\, \int_{{\mathcal A}_{{\mathcal D}_{\sigma}}(t)}\Psi(u){\mathrm d}\mu_t(u) -\int_{{\mathcal A}_{{\mathcal D}_{\sigma}}(\tau)}\Psi(u){\mathrm d}\mu_\tau(u) \nonumber\\ &= \int_\tau^t\int_{\ell^2_\rho}(\Psi'(U(\theta, \tau)u_*), F(U(\theta, \tau)u_*, \theta))_\rho {\mathrm d}\mu_\tau(u_*){\mathrm d}\theta\nonumber\\ &= \int_\tau^t\int_{\ell^2_\rho}(\Psi'(u), F(u(s),s))_\rho {\mathrm d}\mu_s(u){\mathrm d}s. \end{matrix} $
5 统计解的 Kolmogorov 熵
本节给出统计解 $\{\mu_t\}_{t\in {\mathbb R}}$ $\varepsilon$ - 熵的定义, 然后证明其上界估计. 文后我们用 supp$\mu_t$ $\mu_t$
定义5.1 设 $\{\mu_t\}_{t\in {\mathbb R}}$ $\varepsilon>0$ ${\mathbb{N}}_\varepsilon(\mu_t, \ell^2_\rho)={\mathbb{N}}_\varepsilon(\mu_t)$ $\ell^2_\rho$ $\varepsilon$ $\mu_t$ ${\bf K}_\varepsilon(\mu_t)={\bf K}_\varepsilon(\mu_t,\ell^2_\rho)=\ln{\mathbb{N}}_\varepsilon(\mu_t)$ $\{\mu_t\}_{t\in {\mathbb R}}$ $\ell^2_\rho$ $\varepsilon$ - 熵.
我们已经知道, 对每个 $t\in \mathbb{R}$ $\mu_t\subset {\mathcal A}_{{\mathcal{D}_\sigma}}(t)$ . 因此, $\ell^2_\rho$ $\varepsilon$ $\mu_t\subset {\mathcal A}_{{\mathcal{D}_\sigma}}(t)$ $\mu_t$ . 由于对每个 $t\in \mathbb{R}$ ${\mathcal A}_{{\mathcal{D}_\sigma}}(t)$ $\ell^2_\rho$ $\varepsilon>0$ $\ell^2_\rho$ ${\mathcal A}_{{\mathcal{D}_\sigma}}(t)$ $\varepsilon$
(5.1) $ \begin{matrix} 0\leqslant {\bf K}_\varepsilon(\mu_t) \leqslant {\bf K}_\varepsilon({\mathcal A}_{D_\sigma}(t))<+\infty, \forall\, t\in \mathbb{R}. \end{matrix} $
(5.1) 式也表明定义 5.1 中给出的统计解的 Kolmogorov $\varepsilon$ - 熵的定义是合理的.
引理5.1 [40 ] 设 $n\in {\mathbb{N}}$ $,$ $\Lambda=\{x=(x_m)_{|m|\leqslant n}: x_m\in {\mathbb{R}}, |x_m|\leqslant r \}\subset {\mathbb{R}}^{2n+1}$ $\Lambda$ ${\mathbb R}^{2n+1}$ ${\mathbb{N}}_\varepsilon(\Lambda)=([r\cdot\frac{2} {\varepsilon}\cdot\sqrt{2n+1}]+1)^{2n+1}$ $\frac \varepsilon 2$ $,$ $[x]$ $x$
下面我们证明统计解 $\{\mu_t\}_{t\in {\mathbb R}}$ $\varepsilon$ - 熵的上界估计.
定理5.1 设条件 (H1)-(H3) 成立. 则定理 4.2 中得到统计解 $\{\mu _t\}_{t\in \mathbb{R}}$ $\varepsilon$ - 熵满足估计
(5.2) $ \begin{matrix} {\bf K}_\varepsilon(\mu_t) \leqslant {(2 I_*(\varepsilon)+1)} \ln\big(\big[\frac{R_\sigma(t)}{\sqrt {\rho_{_{I_*(\varepsilon)}}}} \cdot\frac{2}{\varepsilon} \cdot\sqrt{2I_*(\varepsilon)+1}\big]+1\big), t\in \mathbb{R}, \end{matrix} $
其中, $I_*(\varepsilon)=I_*(\varepsilon, t, R_\sigma(t))$ $ \sup\limits_{(u_i)_{i\in {\mathbb{Z}}}=u\in {\mathcal B}_0(t)} \big(\sum\limits_{|i|>I_*(\varepsilon)} \rho_i|u_i|^2\big)^{\frac 12} \leqslant \frac{\varepsilon}{2} $
证 由引理 3.2 可知对每个 $t\in \mathbb{R}$ $\varepsilon>0$ $I_*=I_*(\varepsilon, t, R_\sigma(t))$
(5.3) $ \begin{matrix} \sup\limits_{(u_i)_{i\in {\mathbb{Z}}}=u\in {\mathcal B}_0(t)} \sum\limits_{|i|>I_*(\varepsilon)} \rho_i|u_i|^2 \leqslant \frac{\varepsilon^2}{4}. \end{matrix} $
对任意 $u=(u_i)_{i\in {\mathbb{Z}}}\in {\mathcal A}_{{\mathcal D}_\sigma}(t)\subset {\mathcal B}_0(t)$
(5.4) $ \begin{matrix} u=v+w=(v_i)_{i\in {\mathbb Z}}+(w_i)_{i\in {\mathbb Z}}, \end{matrix} $
(5.5) $ \begin{matrix} v_i=\left\{ \begin{array}{ll} u_i, |i|\leqslant I_*(\varepsilon), & \hbox{} \\ 0, |i|> I_*(\varepsilon), & \hbox{} \end{array} \right.\qquad w_i=\left\{ \begin{array}{ll} 0, |i|\leqslant I_*(\varepsilon), & \hbox{} \\ u_i, |i|> I_*(\varepsilon). & \hbox{} \end{array} \right. \end{matrix} $
(5.6) $ \begin{matrix} \|w\|_\rho =& \bigg (\sum\limits_{|i|>I_*(\varepsilon)}\rho_i|u_i|^2\bigg)^{\frac{1}{2}} \leqslant \frac{\varepsilon}{2}, \end{matrix} $
(5.7) $ \begin{matrix} \|v\|^2_\rho =& \sum\limits_{i\in {\mathbb Z}}\rho_i|v_i|^2 = \sum\limits_{|i|\leqslant I_*(\varepsilon)}\rho_i|v_i|^2 = \sum\limits_{|i|\leqslant I_*(\varepsilon)}\rho_i|u_i|^2 \leqslant \|u\|^2_\rho \leqslant R_\sigma^2(t). \end{matrix} $
在欧氏空间 ${\mathbb R}^{2I_*(\varepsilon)+1}$ ${\mathbb R}^{2I_*(\varepsilon)+1}$
个半径为 $\frac {\varepsilon}{2}$
则有 $\hat{v}_k\in \ell^2_\rho$ $k=1,2,\cdots, N_\varepsilon(\Gamma)$ $\tilde{v}\in {\mathbb R}^{2I_*(\varepsilon)+1}$ . 现对于 (5.4), (5.5) 式定义的 $v=(v_i)_{i\in {\mathbb Z}}$ $\hat{v}_k$ $(1\leqslant k\leqslant N_\varepsilon(\Gamma))$
因此, 对于任意 $u=(u_i)_{i\in {\mathbb{Z}}}\in {\mathcal A}_{{\mathcal D}_\sigma}(t)\subset {\mathcal B}_0(t)$
这表明 ${\mathcal A}_{{\mathcal D}_\sigma}(t)$ $\ell^2_\rho$ $N_\varepsilon(\Gamma)$ $\hat{v}_k$ $\varepsilon$
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本文给出了一般格点动力系统存在指数吸引子的充分条件, 然后将 得到的结果应用到下面的格点非线性Schrödinger方程: 设γ, κ,δ,σ 和 g<sub>m</sub> 满足适当的条件,证明了该格点方程存在指数吸引子.
Zhao C Zhou S Sufficient conditions for the existence of exponential attractor for lattice system
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本文给出了一般格点动力系统存在指数吸引子的充分条件, 然后将 得到的结果应用到下面的格点非线性Schrödinger方程: 设γ, κ,δ,σ 和 g<sub>m</sub> 满足适当的条件,证明了该格点方程存在指数吸引子.
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In a weighted Hilbert space, the existence of a uniform global attractor for a family of first order non-autonomous deterministic lattice dynamical systems with a nonlinear part of the form [Formula: see text] is carefully investigated, where [Formula: see text] is an element of the hull of an almost periodic function in a suitable Banach space.
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Sur les solutions statistiques des équations de Naiver-Stokes
1
1976
... 统计解的概念来源于统计物理中人们对湍流的研究 (见文献 [1 ,2 ,3 ]). 在现实中, 湍流的几个主要物理量(如速度场、能量)关于时间 (或者空间) 作整体平均后显示出很强的规律. 近年来, 统计解和不变测度作为严格的数学概念常用来刻画演化方程的解在相应空间中的概率分布. 目前已有若干文献研究了一些典型耗散系统的不变测度和统计解. 例如, 文献 [4 ] 给出了一般耗散半群存在不变测度的充分条件, 文献 [5 ] 推广了文献 [4 ] 的结果, 证明了一般耗散过程存在不变测度的充分条件, 文献 [6 ] 研究了耗散系统稳态统计解的上半连续性, 文献 [7 ] 研究了三维不可压 Navier-Stokes 型方程组的轨道统计解, 文献 [8 ] 证明了一般演化方程的统计解和轨道统计解的理论框架. 最近, 文献 [9 ] 证明了一般演化方程存在轨道统计解的充分条件, 且该结果被应用于一些典型的演化方程 (见文献 [10 ,11 ,12 ,13 ,14 ,15 ]), 同时文献 [16 ] 研究了随机 Navier-Stokes 方程组的不变样本测度. ...
1
2001
... 统计解的概念来源于统计物理中人们对湍流的研究 (见文献 [1 ,2 ,3 ]). 在现实中, 湍流的几个主要物理量(如速度场、能量)关于时间 (或者空间) 作整体平均后显示出很强的规律. 近年来, 统计解和不变测度作为严格的数学概念常用来刻画演化方程的解在相应空间中的概率分布. 目前已有若干文献研究了一些典型耗散系统的不变测度和统计解. 例如, 文献 [4 ] 给出了一般耗散半群存在不变测度的充分条件, 文献 [5 ] 推广了文献 [4 ] 的结果, 证明了一般耗散过程存在不变测度的充分条件, 文献 [6 ] 研究了耗散系统稳态统计解的上半连续性, 文献 [7 ] 研究了三维不可压 Navier-Stokes 型方程组的轨道统计解, 文献 [8 ] 证明了一般演化方程的统计解和轨道统计解的理论框架. 最近, 文献 [9 ] 证明了一般演化方程存在轨道统计解的充分条件, 且该结果被应用于一些典型的演化方程 (见文献 [10 ,11 ,12 ,13 ,14 ,15 ]), 同时文献 [16 ] 研究了随机 Navier-Stokes 方程组的不变样本测度. ...
Translationally homogeneous statistical solutions and individual solutions with infinite energy of a system of Navier-Stokes equations
1
1978
... 统计解的概念来源于统计物理中人们对湍流的研究 (见文献 [1 ,2 ,3 ]). 在现实中, 湍流的几个主要物理量(如速度场、能量)关于时间 (或者空间) 作整体平均后显示出很强的规律. 近年来, 统计解和不变测度作为严格的数学概念常用来刻画演化方程的解在相应空间中的概率分布. 目前已有若干文献研究了一些典型耗散系统的不变测度和统计解. 例如, 文献 [4 ] 给出了一般耗散半群存在不变测度的充分条件, 文献 [5 ] 推广了文献 [4 ] 的结果, 证明了一般耗散过程存在不变测度的充分条件, 文献 [6 ] 研究了耗散系统稳态统计解的上半连续性, 文献 [7 ] 研究了三维不可压 Navier-Stokes 型方程组的轨道统计解, 文献 [8 ] 证明了一般演化方程的统计解和轨道统计解的理论框架. 最近, 文献 [9 ] 证明了一般演化方程存在轨道统计解的充分条件, 且该结果被应用于一些典型的演化方程 (见文献 [10 ,11 ,12 ,13 ,14 ,15 ]), 同时文献 [16 ] 研究了随机 Navier-Stokes 方程组的不变样本测度. ...
Invariant measures for dissipative dynamical systems: Abstract results and applications
2
2012
... 统计解的概念来源于统计物理中人们对湍流的研究 (见文献 [1 ,2 ,3 ]). 在现实中, 湍流的几个主要物理量(如速度场、能量)关于时间 (或者空间) 作整体平均后显示出很强的规律. 近年来, 统计解和不变测度作为严格的数学概念常用来刻画演化方程的解在相应空间中的概率分布. 目前已有若干文献研究了一些典型耗散系统的不变测度和统计解. 例如, 文献 [4 ] 给出了一般耗散半群存在不变测度的充分条件, 文献 [5 ] 推广了文献 [4 ] 的结果, 证明了一般耗散过程存在不变测度的充分条件, 文献 [6 ] 研究了耗散系统稳态统计解的上半连续性, 文献 [7 ] 研究了三维不可压 Navier-Stokes 型方程组的轨道统计解, 文献 [8 ] 证明了一般演化方程的统计解和轨道统计解的理论框架. 最近, 文献 [9 ] 证明了一般演化方程存在轨道统计解的充分条件, 且该结果被应用于一些典型的演化方程 (见文献 [10 ,11 ,12 ,13 ,14 ,15 ]), 同时文献 [16 ] 研究了随机 Navier-Stokes 方程组的不变样本测度. ...
... ] 推广了文献 [4 ] 的结果, 证明了一般耗散过程存在不变测度的充分条件, 文献 [6 ] 研究了耗散系统稳态统计解的上半连续性, 文献 [7 ] 研究了三维不可压 Navier-Stokes 型方程组的轨道统计解, 文献 [8 ] 证明了一般演化方程的统计解和轨道统计解的理论框架. 最近, 文献 [9 ] 证明了一般演化方程存在轨道统计解的充分条件, 且该结果被应用于一些典型的演化方程 (见文献 [10 ,11 ,12 ,13 ,14 ,15 ]), 同时文献 [16 ] 研究了随机 Navier-Stokes 方程组的不变样本测度. ...
Invariant measures for non-autonomous dissipative dynamical systems
3
2014
... 统计解的概念来源于统计物理中人们对湍流的研究 (见文献 [1 ,2 ,3 ]). 在现实中, 湍流的几个主要物理量(如速度场、能量)关于时间 (或者空间) 作整体平均后显示出很强的规律. 近年来, 统计解和不变测度作为严格的数学概念常用来刻画演化方程的解在相应空间中的概率分布. 目前已有若干文献研究了一些典型耗散系统的不变测度和统计解. 例如, 文献 [4 ] 给出了一般耗散半群存在不变测度的充分条件, 文献 [5 ] 推广了文献 [4 ] 的结果, 证明了一般耗散过程存在不变测度的充分条件, 文献 [6 ] 研究了耗散系统稳态统计解的上半连续性, 文献 [7 ] 研究了三维不可压 Navier-Stokes 型方程组的轨道统计解, 文献 [8 ] 证明了一般演化方程的统计解和轨道统计解的理论框架. 最近, 文献 [9 ] 证明了一般演化方程存在轨道统计解的充分条件, 且该结果被应用于一些典型的演化方程 (见文献 [10 ,11 ,12 ,13 ,14 ,15 ]), 同时文献 [16 ] 研究了随机 Navier-Stokes 方程组的不变样本测度. ...
... 下面我们修正文献 [5 ] 中广义 Banach 极限的定义. ...
... 结合文献 [5 ,定理 3.1、定理 4.1] 和已证得的定理 3.1 和引理 4.1, 我们得到下面结论. ...
Upper-semicontinuity of stationary statistical properties of dissipative systems
1
2009
... 统计解的概念来源于统计物理中人们对湍流的研究 (见文献 [1 ,2 ,3 ]). 在现实中, 湍流的几个主要物理量(如速度场、能量)关于时间 (或者空间) 作整体平均后显示出很强的规律. 近年来, 统计解和不变测度作为严格的数学概念常用来刻画演化方程的解在相应空间中的概率分布. 目前已有若干文献研究了一些典型耗散系统的不变测度和统计解. 例如, 文献 [4 ] 给出了一般耗散半群存在不变测度的充分条件, 文献 [5 ] 推广了文献 [4 ] 的结果, 证明了一般耗散过程存在不变测度的充分条件, 文献 [6 ] 研究了耗散系统稳态统计解的上半连续性, 文献 [7 ] 研究了三维不可压 Navier-Stokes 型方程组的轨道统计解, 文献 [8 ] 证明了一般演化方程的统计解和轨道统计解的理论框架. 最近, 文献 [9 ] 证明了一般演化方程存在轨道统计解的充分条件, 且该结果被应用于一些典型的演化方程 (见文献 [10 ,11 ,12 ,13 ,14 ,15 ]), 同时文献 [16 ] 研究了随机 Navier-Stokes 方程组的不变样本测度. ...
Trajectory statistical solutions for three-dimensional Navier-Stokes-like systems
1
2014
... 统计解的概念来源于统计物理中人们对湍流的研究 (见文献 [1 ,2 ,3 ]). 在现实中, 湍流的几个主要物理量(如速度场、能量)关于时间 (或者空间) 作整体平均后显示出很强的规律. 近年来, 统计解和不变测度作为严格的数学概念常用来刻画演化方程的解在相应空间中的概率分布. 目前已有若干文献研究了一些典型耗散系统的不变测度和统计解. 例如, 文献 [4 ] 给出了一般耗散半群存在不变测度的充分条件, 文献 [5 ] 推广了文献 [4 ] 的结果, 证明了一般耗散过程存在不变测度的充分条件, 文献 [6 ] 研究了耗散系统稳态统计解的上半连续性, 文献 [7 ] 研究了三维不可压 Navier-Stokes 型方程组的轨道统计解, 文献 [8 ] 证明了一般演化方程的统计解和轨道统计解的理论框架. 最近, 文献 [9 ] 证明了一般演化方程存在轨道统计解的充分条件, 且该结果被应用于一些典型的演化方程 (见文献 [10 ,11 ,12 ,13 ,14 ,15 ]), 同时文献 [16 ] 研究了随机 Navier-Stokes 方程组的不变样本测度. ...
Abstract framework for the theory of statistical solutions
1
2016
... 统计解的概念来源于统计物理中人们对湍流的研究 (见文献 [1 ,2 ,3 ]). 在现实中, 湍流的几个主要物理量(如速度场、能量)关于时间 (或者空间) 作整体平均后显示出很强的规律. 近年来, 统计解和不变测度作为严格的数学概念常用来刻画演化方程的解在相应空间中的概率分布. 目前已有若干文献研究了一些典型耗散系统的不变测度和统计解. 例如, 文献 [4 ] 给出了一般耗散半群存在不变测度的充分条件, 文献 [5 ] 推广了文献 [4 ] 的结果, 证明了一般耗散过程存在不变测度的充分条件, 文献 [6 ] 研究了耗散系统稳态统计解的上半连续性, 文献 [7 ] 研究了三维不可压 Navier-Stokes 型方程组的轨道统计解, 文献 [8 ] 证明了一般演化方程的统计解和轨道统计解的理论框架. 最近, 文献 [9 ] 证明了一般演化方程存在轨道统计解的充分条件, 且该结果被应用于一些典型的演化方程 (见文献 [10 ,11 ,12 ,13 ,14 ,15 ]), 同时文献 [16 ] 研究了随机 Navier-Stokes 方程组的不变样本测度. ...
Trajectory statistical solutions and Liouville type equations for evolution equations: Abstract results and applications
1
2020
... 统计解的概念来源于统计物理中人们对湍流的研究 (见文献 [1 ,2 ,3 ]). 在现实中, 湍流的几个主要物理量(如速度场、能量)关于时间 (或者空间) 作整体平均后显示出很强的规律. 近年来, 统计解和不变测度作为严格的数学概念常用来刻画演化方程的解在相应空间中的概率分布. 目前已有若干文献研究了一些典型耗散系统的不变测度和统计解. 例如, 文献 [4 ] 给出了一般耗散半群存在不变测度的充分条件, 文献 [5 ] 推广了文献 [4 ] 的结果, 证明了一般耗散过程存在不变测度的充分条件, 文献 [6 ] 研究了耗散系统稳态统计解的上半连续性, 文献 [7 ] 研究了三维不可压 Navier-Stokes 型方程组的轨道统计解, 文献 [8 ] 证明了一般演化方程的统计解和轨道统计解的理论框架. 最近, 文献 [9 ] 证明了一般演化方程存在轨道统计解的充分条件, 且该结果被应用于一些典型的演化方程 (见文献 [10 ,11 ,12 ,13 ,14 ,15 ]), 同时文献 [16 ] 研究了随机 Navier-Stokes 方程组的不变样本测度. ...
Trajectory statistical solutions and Liouville type theorem for nonlinear wave equations with polynomial growth
1
2021
... 统计解的概念来源于统计物理中人们对湍流的研究 (见文献 [1 ,2 ,3 ]). 在现实中, 湍流的几个主要物理量(如速度场、能量)关于时间 (或者空间) 作整体平均后显示出很强的规律. 近年来, 统计解和不变测度作为严格的数学概念常用来刻画演化方程的解在相应空间中的概率分布. 目前已有若干文献研究了一些典型耗散系统的不变测度和统计解. 例如, 文献 [4 ] 给出了一般耗散半群存在不变测度的充分条件, 文献 [5 ] 推广了文献 [4 ] 的结果, 证明了一般耗散过程存在不变测度的充分条件, 文献 [6 ] 研究了耗散系统稳态统计解的上半连续性, 文献 [7 ] 研究了三维不可压 Navier-Stokes 型方程组的轨道统计解, 文献 [8 ] 证明了一般演化方程的统计解和轨道统计解的理论框架. 最近, 文献 [9 ] 证明了一般演化方程存在轨道统计解的充分条件, 且该结果被应用于一些典型的演化方程 (见文献 [10 ,11 ,12 ,13 ,14 ,15 ]), 同时文献 [16 ] 研究了随机 Navier-Stokes 方程组的不变样本测度. ...
Asymptotic regularity of trajectory attractor and trajectory statistical solution for the 3D globally modified Navier-Stokes equations
1
2019
... 统计解的概念来源于统计物理中人们对湍流的研究 (见文献 [1 ,2 ,3 ]). 在现实中, 湍流的几个主要物理量(如速度场、能量)关于时间 (或者空间) 作整体平均后显示出很强的规律. 近年来, 统计解和不变测度作为严格的数学概念常用来刻画演化方程的解在相应空间中的概率分布. 目前已有若干文献研究了一些典型耗散系统的不变测度和统计解. 例如, 文献 [4 ] 给出了一般耗散半群存在不变测度的充分条件, 文献 [5 ] 推广了文献 [4 ] 的结果, 证明了一般耗散过程存在不变测度的充分条件, 文献 [6 ] 研究了耗散系统稳态统计解的上半连续性, 文献 [7 ] 研究了三维不可压 Navier-Stokes 型方程组的轨道统计解, 文献 [8 ] 证明了一般演化方程的统计解和轨道统计解的理论框架. 最近, 文献 [9 ] 证明了一般演化方程存在轨道统计解的充分条件, 且该结果被应用于一些典型的演化方程 (见文献 [10 ,11 ,12 ,13 ,14 ,15 ]), 同时文献 [16 ] 研究了随机 Navier-Stokes 方程组的不变样本测度. ...
Statistical solution and partial degenerate regularity for the 2D non-autonomous magneto-micropolar fluids
1
2020
... 统计解的概念来源于统计物理中人们对湍流的研究 (见文献 [1 ,2 ,3 ]). 在现实中, 湍流的几个主要物理量(如速度场、能量)关于时间 (或者空间) 作整体平均后显示出很强的规律. 近年来, 统计解和不变测度作为严格的数学概念常用来刻画演化方程的解在相应空间中的概率分布. 目前已有若干文献研究了一些典型耗散系统的不变测度和统计解. 例如, 文献 [4 ] 给出了一般耗散半群存在不变测度的充分条件, 文献 [5 ] 推广了文献 [4 ] 的结果, 证明了一般耗散过程存在不变测度的充分条件, 文献 [6 ] 研究了耗散系统稳态统计解的上半连续性, 文献 [7 ] 研究了三维不可压 Navier-Stokes 型方程组的轨道统计解, 文献 [8 ] 证明了一般演化方程的统计解和轨道统计解的理论框架. 最近, 文献 [9 ] 证明了一般演化方程存在轨道统计解的充分条件, 且该结果被应用于一些典型的演化方程 (见文献 [10 ,11 ,12 ,13 ,14 ,15 ]), 同时文献 [16 ] 研究了随机 Navier-Stokes 方程组的不变样本测度. ...
Using trajectory attractor to construct trajectory statistical solution for the 3D incompressible micropolar flows
1
2020
... 统计解的概念来源于统计物理中人们对湍流的研究 (见文献 [1 ,2 ,3 ]). 在现实中, 湍流的几个主要物理量(如速度场、能量)关于时间 (或者空间) 作整体平均后显示出很强的规律. 近年来, 统计解和不变测度作为严格的数学概念常用来刻画演化方程的解在相应空间中的概率分布. 目前已有若干文献研究了一些典型耗散系统的不变测度和统计解. 例如, 文献 [4 ] 给出了一般耗散半群存在不变测度的充分条件, 文献 [5 ] 推广了文献 [4 ] 的结果, 证明了一般耗散过程存在不变测度的充分条件, 文献 [6 ] 研究了耗散系统稳态统计解的上半连续性, 文献 [7 ] 研究了三维不可压 Navier-Stokes 型方程组的轨道统计解, 文献 [8 ] 证明了一般演化方程的统计解和轨道统计解的理论框架. 最近, 文献 [9 ] 证明了一般演化方程存在轨道统计解的充分条件, 且该结果被应用于一些典型的演化方程 (见文献 [10 ,11 ,12 ,13 ,14 ,15 ]), 同时文献 [16 ] 研究了随机 Navier-Stokes 方程组的不变样本测度. ...
Strong trajectory statistical solutions and Liouville type equation for dissipative Euler equations
1
2020
... 统计解的概念来源于统计物理中人们对湍流的研究 (见文献 [1 ,2 ,3 ]). 在现实中, 湍流的几个主要物理量(如速度场、能量)关于时间 (或者空间) 作整体平均后显示出很强的规律. 近年来, 统计解和不变测度作为严格的数学概念常用来刻画演化方程的解在相应空间中的概率分布. 目前已有若干文献研究了一些典型耗散系统的不变测度和统计解. 例如, 文献 [4 ] 给出了一般耗散半群存在不变测度的充分条件, 文献 [5 ] 推广了文献 [4 ] 的结果, 证明了一般耗散过程存在不变测度的充分条件, 文献 [6 ] 研究了耗散系统稳态统计解的上半连续性, 文献 [7 ] 研究了三维不可压 Navier-Stokes 型方程组的轨道统计解, 文献 [8 ] 证明了一般演化方程的统计解和轨道统计解的理论框架. 最近, 文献 [9 ] 证明了一般演化方程存在轨道统计解的充分条件, 且该结果被应用于一些典型的演化方程 (见文献 [10 ,11 ,12 ,13 ,14 ,15 ]), 同时文献 [16 ] 研究了随机 Navier-Stokes 方程组的不变样本测度. ...
Trajectory statistical solutions for the 3D Navier-Stokes equations: The trajectory attractor approach
1
2020
... 统计解的概念来源于统计物理中人们对湍流的研究 (见文献 [1 ,2 ,3 ]). 在现实中, 湍流的几个主要物理量(如速度场、能量)关于时间 (或者空间) 作整体平均后显示出很强的规律. 近年来, 统计解和不变测度作为严格的数学概念常用来刻画演化方程的解在相应空间中的概率分布. 目前已有若干文献研究了一些典型耗散系统的不变测度和统计解. 例如, 文献 [4 ] 给出了一般耗散半群存在不变测度的充分条件, 文献 [5 ] 推广了文献 [4 ] 的结果, 证明了一般耗散过程存在不变测度的充分条件, 文献 [6 ] 研究了耗散系统稳态统计解的上半连续性, 文献 [7 ] 研究了三维不可压 Navier-Stokes 型方程组的轨道统计解, 文献 [8 ] 证明了一般演化方程的统计解和轨道统计解的理论框架. 最近, 文献 [9 ] 证明了一般演化方程存在轨道统计解的充分条件, 且该结果被应用于一些典型的演化方程 (见文献 [10 ,11 ,12 ,13 ,14 ,15 ]), 同时文献 [16 ] 研究了随机 Navier-Stokes 方程组的不变样本测度. ...
Invariant sample measures and random Liouville type theorem for the two-dimensional stochastic Navier-Stokes equations
1
2022
... 统计解的概念来源于统计物理中人们对湍流的研究 (见文献 [1 ,2 ,3 ]). 在现实中, 湍流的几个主要物理量(如速度场、能量)关于时间 (或者空间) 作整体平均后显示出很强的规律. 近年来, 统计解和不变测度作为严格的数学概念常用来刻画演化方程的解在相应空间中的概率分布. 目前已有若干文献研究了一些典型耗散系统的不变测度和统计解. 例如, 文献 [4 ] 给出了一般耗散半群存在不变测度的充分条件, 文献 [5 ] 推广了文献 [4 ] 的结果, 证明了一般耗散过程存在不变测度的充分条件, 文献 [6 ] 研究了耗散系统稳态统计解的上半连续性, 文献 [7 ] 研究了三维不可压 Navier-Stokes 型方程组的轨道统计解, 文献 [8 ] 证明了一般演化方程的统计解和轨道统计解的理论框架. 最近, 文献 [9 ] 证明了一般演化方程存在轨道统计解的充分条件, 且该结果被应用于一些典型的演化方程 (见文献 [10 ,11 ,12 ,13 ,14 ,15 ]), 同时文献 [16 ] 研究了随机 Navier-Stokes 方程组的不变样本测度. ...
Synchronization in chaotic systems
1
1990
... 格点系统在很多领域中有广泛应用, 如电子工程[17 ] , 模式识别[18 ] , 图像处理[19 ,20 ] , 化学反应理论[21 ] 等. 格点系统的渐近行为已被广泛研究, 例如文献 [22 ,23 ] 证明了一阶和二阶耗散格点系统整体吸引子存在的充要条件; 文献 [24 ,25 ,26 ] 研究了非自治格点系统存在紧致核截面与一致吸引子的充要条件, 以及核截面与一致吸引子的上半连续性和熵的估计, 并将理论应用于具体的格点数学物理方程; 文献 [27 ] 研究了一阶时滞格点系统吸引子的存在性; 文献 [28 ,29 ,30 ] 研究了随机格点系统的随机吸引子; 文献 [31 ,32 ] 讨论了格点系统指数吸引子与一致指数吸引子的存在性问题. 同时, 文献 [33 ,34 ,35 ] 研究了加权空间中格点系统的拉回指数吸引子、随机吸引子的存在性和上半连续性以及非自治拉普拉斯格点系统的拉回和向前动力学行为; 最近, 文献 [36 ] 研究了加权空间中格点系统 (1.1) 的一致吸引子, 其中考虑的更复杂的非线性项 $f_i(t, u_{i-m}, \cdots, u_{i+m})$
Pattern formation and spatial chaos in spatially discrete evolution equations
1
1996
... 格点系统在很多领域中有广泛应用, 如电子工程[17 ] , 模式识别[18 ] , 图像处理[19 ,20 ] , 化学反应理论[21 ] 等. 格点系统的渐近行为已被广泛研究, 例如文献 [22 ,23 ] 证明了一阶和二阶耗散格点系统整体吸引子存在的充要条件; 文献 [24 ,25 ,26 ] 研究了非自治格点系统存在紧致核截面与一致吸引子的充要条件, 以及核截面与一致吸引子的上半连续性和熵的估计, 并将理论应用于具体的格点数学物理方程; 文献 [27 ] 研究了一阶时滞格点系统吸引子的存在性; 文献 [28 ,29 ,30 ] 研究了随机格点系统的随机吸引子; 文献 [31 ,32 ] 讨论了格点系统指数吸引子与一致指数吸引子的存在性问题. 同时, 文献 [33 ,34 ,35 ] 研究了加权空间中格点系统的拉回指数吸引子、随机吸引子的存在性和上半连续性以及非自治拉普拉斯格点系统的拉回和向前动力学行为; 最近, 文献 [36 ] 研究了加权空间中格点系统 (1.1) 的一致吸引子, 其中考虑的更复杂的非线性项 $f_i(t, u_{i-m}, \cdots, u_{i+m})$
Cellular neural networks: Theory
1
1988
... 格点系统在很多领域中有广泛应用, 如电子工程[17 ] , 模式识别[18 ] , 图像处理[19 ,20 ] , 化学反应理论[21 ] 等. 格点系统的渐近行为已被广泛研究, 例如文献 [22 ,23 ] 证明了一阶和二阶耗散格点系统整体吸引子存在的充要条件; 文献 [24 ,25 ,26 ] 研究了非自治格点系统存在紧致核截面与一致吸引子的充要条件, 以及核截面与一致吸引子的上半连续性和熵的估计, 并将理论应用于具体的格点数学物理方程; 文献 [27 ] 研究了一阶时滞格点系统吸引子的存在性; 文献 [28 ,29 ,30 ] 研究了随机格点系统的随机吸引子; 文献 [31 ,32 ] 讨论了格点系统指数吸引子与一致指数吸引子的存在性问题. 同时, 文献 [33 ,34 ,35 ] 研究了加权空间中格点系统的拉回指数吸引子、随机吸引子的存在性和上半连续性以及非自治拉普拉斯格点系统的拉回和向前动力学行为; 最近, 文献 [36 ] 研究了加权空间中格点系统 (1.1) 的一致吸引子, 其中考虑的更复杂的非线性项 $f_i(t, u_{i-m}, \cdots, u_{i+m})$
Cellular neural networks: Applications
1
1988
... 格点系统在很多领域中有广泛应用, 如电子工程[17 ] , 模式识别[18 ] , 图像处理[19 ,20 ] , 化学反应理论[21 ] 等. 格点系统的渐近行为已被广泛研究, 例如文献 [22 ,23 ] 证明了一阶和二阶耗散格点系统整体吸引子存在的充要条件; 文献 [24 ,25 ,26 ] 研究了非自治格点系统存在紧致核截面与一致吸引子的充要条件, 以及核截面与一致吸引子的上半连续性和熵的估计, 并将理论应用于具体的格点数学物理方程; 文献 [27 ] 研究了一阶时滞格点系统吸引子的存在性; 文献 [28 ,29 ,30 ] 研究了随机格点系统的随机吸引子; 文献 [31 ,32 ] 讨论了格点系统指数吸引子与一致指数吸引子的存在性问题. 同时, 文献 [33 ,34 ,35 ] 研究了加权空间中格点系统的拉回指数吸引子、随机吸引子的存在性和上半连续性以及非自治拉普拉斯格点系统的拉回和向前动力学行为; 最近, 文献 [36 ] 研究了加权空间中格点系统 (1.1) 的一致吸引子, 其中考虑的更复杂的非线性项 $f_i(t, u_{i-m}, \cdots, u_{i+m})$
Propagating waves in discrete bistable reaction diffusion systems
1
1993
... 格点系统在很多领域中有广泛应用, 如电子工程[17 ] , 模式识别[18 ] , 图像处理[19 ,20 ] , 化学反应理论[21 ] 等. 格点系统的渐近行为已被广泛研究, 例如文献 [22 ,23 ] 证明了一阶和二阶耗散格点系统整体吸引子存在的充要条件; 文献 [24 ,25 ,26 ] 研究了非自治格点系统存在紧致核截面与一致吸引子的充要条件, 以及核截面与一致吸引子的上半连续性和熵的估计, 并将理论应用于具体的格点数学物理方程; 文献 [27 ] 研究了一阶时滞格点系统吸引子的存在性; 文献 [28 ,29 ,30 ] 研究了随机格点系统的随机吸引子; 文献 [31 ,32 ] 讨论了格点系统指数吸引子与一致指数吸引子的存在性问题. 同时, 文献 [33 ,34 ,35 ] 研究了加权空间中格点系统的拉回指数吸引子、随机吸引子的存在性和上半连续性以及非自治拉普拉斯格点系统的拉回和向前动力学行为; 最近, 文献 [36 ] 研究了加权空间中格点系统 (1.1) 的一致吸引子, 其中考虑的更复杂的非线性项 $f_i(t, u_{i-m}, \cdots, u_{i+m})$
Dynamics of systems on infinite lattices
1
2006
... 格点系统在很多领域中有广泛应用, 如电子工程[17 ] , 模式识别[18 ] , 图像处理[19 ,20 ] , 化学反应理论[21 ] 等. 格点系统的渐近行为已被广泛研究, 例如文献 [22 ,23 ] 证明了一阶和二阶耗散格点系统整体吸引子存在的充要条件; 文献 [24 ,25 ,26 ] 研究了非自治格点系统存在紧致核截面与一致吸引子的充要条件, 以及核截面与一致吸引子的上半连续性和熵的估计, 并将理论应用于具体的格点数学物理方程; 文献 [27 ] 研究了一阶时滞格点系统吸引子的存在性; 文献 [28 ,29 ,30 ] 研究了随机格点系统的随机吸引子; 文献 [31 ,32 ] 讨论了格点系统指数吸引子与一致指数吸引子的存在性问题. 同时, 文献 [33 ,34 ,35 ] 研究了加权空间中格点系统的拉回指数吸引子、随机吸引子的存在性和上半连续性以及非自治拉普拉斯格点系统的拉回和向前动力学行为; 最近, 文献 [36 ] 研究了加权空间中格点系统 (1.1) 的一致吸引子, 其中考虑的更复杂的非线性项 $f_i(t, u_{i-m}, \cdots, u_{i+m})$
Attractors and dimension of dissipative lattice systems
1
2006
... 格点系统在很多领域中有广泛应用, 如电子工程[17 ] , 模式识别[18 ] , 图像处理[19 ,20 ] , 化学反应理论[21 ] 等. 格点系统的渐近行为已被广泛研究, 例如文献 [22 ,23 ] 证明了一阶和二阶耗散格点系统整体吸引子存在的充要条件; 文献 [24 ,25 ,26 ] 研究了非自治格点系统存在紧致核截面与一致吸引子的充要条件, 以及核截面与一致吸引子的上半连续性和熵的估计, 并将理论应用于具体的格点数学物理方程; 文献 [27 ] 研究了一阶时滞格点系统吸引子的存在性; 文献 [28 ,29 ,30 ] 研究了随机格点系统的随机吸引子; 文献 [31 ,32 ] 讨论了格点系统指数吸引子与一致指数吸引子的存在性问题. 同时, 文献 [33 ,34 ,35 ] 研究了加权空间中格点系统的拉回指数吸引子、随机吸引子的存在性和上半连续性以及非自治拉普拉斯格点系统的拉回和向前动力学行为; 最近, 文献 [36 ] 研究了加权空间中格点系统 (1.1) 的一致吸引子, 其中考虑的更复杂的非线性项 $f_i(t, u_{i-m}, \cdots, u_{i+m})$
Asymptotic behavior of non-autonomous lattice systems
1
2007
... 格点系统在很多领域中有广泛应用, 如电子工程[17 ] , 模式识别[18 ] , 图像处理[19 ,20 ] , 化学反应理论[21 ] 等. 格点系统的渐近行为已被广泛研究, 例如文献 [22 ,23 ] 证明了一阶和二阶耗散格点系统整体吸引子存在的充要条件; 文献 [24 ,25 ,26 ] 研究了非自治格点系统存在紧致核截面与一致吸引子的充要条件, 以及核截面与一致吸引子的上半连续性和熵的估计, 并将理论应用于具体的格点数学物理方程; 文献 [27 ] 研究了一阶时滞格点系统吸引子的存在性; 文献 [28 ,29 ,30 ] 研究了随机格点系统的随机吸引子; 文献 [31 ,32 ] 讨论了格点系统指数吸引子与一致指数吸引子的存在性问题. 同时, 文献 [33 ,34 ,35 ] 研究了加权空间中格点系统的拉回指数吸引子、随机吸引子的存在性和上半连续性以及非自治拉普拉斯格点系统的拉回和向前动力学行为; 最近, 文献 [36 ] 研究了加权空间中格点系统 (1.1) 的一致吸引子, 其中考虑的更复杂的非线性项 $f_i(t, u_{i-m}, \cdots, u_{i+m})$
Kernel sections for processes and nonautonomous lattice systems
1
2008
... 格点系统在很多领域中有广泛应用, 如电子工程[17 ] , 模式识别[18 ] , 图像处理[19 ,20 ] , 化学反应理论[21 ] 等. 格点系统的渐近行为已被广泛研究, 例如文献 [22 ,23 ] 证明了一阶和二阶耗散格点系统整体吸引子存在的充要条件; 文献 [24 ,25 ,26 ] 研究了非自治格点系统存在紧致核截面与一致吸引子的充要条件, 以及核截面与一致吸引子的上半连续性和熵的估计, 并将理论应用于具体的格点数学物理方程; 文献 [27 ] 研究了一阶时滞格点系统吸引子的存在性; 文献 [28 ,29 ,30 ] 研究了随机格点系统的随机吸引子; 文献 [31 ,32 ] 讨论了格点系统指数吸引子与一致指数吸引子的存在性问题. 同时, 文献 [33 ,34 ,35 ] 研究了加权空间中格点系统的拉回指数吸引子、随机吸引子的存在性和上半连续性以及非自治拉普拉斯格点系统的拉回和向前动力学行为; 最近, 文献 [36 ] 研究了加权空间中格点系统 (1.1) 的一致吸引子, 其中考虑的更复杂的非线性项 $f_i(t, u_{i-m}, \cdots, u_{i+m})$
Compact uniform attractors for dissipative non-autonomous lattice dynamical systems
1
2007
... 格点系统在很多领域中有广泛应用, 如电子工程[17 ] , 模式识别[18 ] , 图像处理[19 ,20 ] , 化学反应理论[21 ] 等. 格点系统的渐近行为已被广泛研究, 例如文献 [22 ,23 ] 证明了一阶和二阶耗散格点系统整体吸引子存在的充要条件; 文献 [24 ,25 ,26 ] 研究了非自治格点系统存在紧致核截面与一致吸引子的充要条件, 以及核截面与一致吸引子的上半连续性和熵的估计, 并将理论应用于具体的格点数学物理方程; 文献 [27 ] 研究了一阶时滞格点系统吸引子的存在性; 文献 [28 ,29 ,30 ] 研究了随机格点系统的随机吸引子; 文献 [31 ,32 ] 讨论了格点系统指数吸引子与一致指数吸引子的存在性问题. 同时, 文献 [33 ,34 ,35 ] 研究了加权空间中格点系统的拉回指数吸引子、随机吸引子的存在性和上半连续性以及非自治拉普拉斯格点系统的拉回和向前动力学行为; 最近, 文献 [36 ] 研究了加权空间中格点系统 (1.1) 的一致吸引子, 其中考虑的更复杂的非线性项 $f_i(t, u_{i-m}, \cdots, u_{i+m})$
Attractors of retarded first order lattice systems
1
2007
... 格点系统在很多领域中有广泛应用, 如电子工程[17 ] , 模式识别[18 ] , 图像处理[19 ,20 ] , 化学反应理论[21 ] 等. 格点系统的渐近行为已被广泛研究, 例如文献 [22 ,23 ] 证明了一阶和二阶耗散格点系统整体吸引子存在的充要条件; 文献 [24 ,25 ,26 ] 研究了非自治格点系统存在紧致核截面与一致吸引子的充要条件, 以及核截面与一致吸引子的上半连续性和熵的估计, 并将理论应用于具体的格点数学物理方程; 文献 [27 ] 研究了一阶时滞格点系统吸引子的存在性; 文献 [28 ,29 ,30 ] 研究了随机格点系统的随机吸引子; 文献 [31 ,32 ] 讨论了格点系统指数吸引子与一致指数吸引子的存在性问题. 同时, 文献 [33 ,34 ,35 ] 研究了加权空间中格点系统的拉回指数吸引子、随机吸引子的存在性和上半连续性以及非自治拉普拉斯格点系统的拉回和向前动力学行为; 最近, 文献 [36 ] 研究了加权空间中格点系统 (1.1) 的一致吸引子, 其中考虑的更复杂的非线性项 $f_i(t, u_{i-m}, \cdots, u_{i+m})$
Random attractors for stochastic lattice dynamical systems in weighted spaces
1
2011
... 格点系统在很多领域中有广泛应用, 如电子工程[17 ] , 模式识别[18 ] , 图像处理[19 ,20 ] , 化学反应理论[21 ] 等. 格点系统的渐近行为已被广泛研究, 例如文献 [22 ,23 ] 证明了一阶和二阶耗散格点系统整体吸引子存在的充要条件; 文献 [24 ,25 ,26 ] 研究了非自治格点系统存在紧致核截面与一致吸引子的充要条件, 以及核截面与一致吸引子的上半连续性和熵的估计, 并将理论应用于具体的格点数学物理方程; 文献 [27 ] 研究了一阶时滞格点系统吸引子的存在性; 文献 [28 ,29 ,30 ] 研究了随机格点系统的随机吸引子; 文献 [31 ,32 ] 讨论了格点系统指数吸引子与一致指数吸引子的存在性问题. 同时, 文献 [33 ,34 ,35 ] 研究了加权空间中格点系统的拉回指数吸引子、随机吸引子的存在性和上半连续性以及非自治拉普拉斯格点系统的拉回和向前动力学行为; 最近, 文献 [36 ] 研究了加权空间中格点系统 (1.1) 的一致吸引子, 其中考虑的更复杂的非线性项 $f_i(t, u_{i-m}, \cdots, u_{i+m})$
Sufficient conditions for the existence of global random attractors for stochastic lattice dynamical systems and applications
1
2009
... 格点系统在很多领域中有广泛应用, 如电子工程[17 ] , 模式识别[18 ] , 图像处理[19 ,20 ] , 化学反应理论[21 ] 等. 格点系统的渐近行为已被广泛研究, 例如文献 [22 ,23 ] 证明了一阶和二阶耗散格点系统整体吸引子存在的充要条件; 文献 [24 ,25 ,26 ] 研究了非自治格点系统存在紧致核截面与一致吸引子的充要条件, 以及核截面与一致吸引子的上半连续性和熵的估计, 并将理论应用于具体的格点数学物理方程; 文献 [27 ] 研究了一阶时滞格点系统吸引子的存在性; 文献 [28 ,29 ,30 ] 研究了随机格点系统的随机吸引子; 文献 [31 ,32 ] 讨论了格点系统指数吸引子与一致指数吸引子的存在性问题. 同时, 文献 [33 ,34 ,35 ] 研究了加权空间中格点系统的拉回指数吸引子、随机吸引子的存在性和上半连续性以及非自治拉普拉斯格点系统的拉回和向前动力学行为; 最近, 文献 [36 ] 研究了加权空间中格点系统 (1.1) 的一致吸引子, 其中考虑的更复杂的非线性项 $f_i(t, u_{i-m}, \cdots, u_{i+m})$
Random exponential attractor for cocycle and application to non-autonomous stochastic lattice systems with multiplicative white noise
1
2017
... 格点系统在很多领域中有广泛应用, 如电子工程[17 ] , 模式识别[18 ] , 图像处理[19 ,20 ] , 化学反应理论[21 ] 等. 格点系统的渐近行为已被广泛研究, 例如文献 [22 ,23 ] 证明了一阶和二阶耗散格点系统整体吸引子存在的充要条件; 文献 [24 ,25 ,26 ] 研究了非自治格点系统存在紧致核截面与一致吸引子的充要条件, 以及核截面与一致吸引子的上半连续性和熵的估计, 并将理论应用于具体的格点数学物理方程; 文献 [27 ] 研究了一阶时滞格点系统吸引子的存在性; 文献 [28 ,29 ,30 ] 研究了随机格点系统的随机吸引子; 文献 [31 ,32 ] 讨论了格点系统指数吸引子与一致指数吸引子的存在性问题. 同时, 文献 [33 ,34 ,35 ] 研究了加权空间中格点系统的拉回指数吸引子、随机吸引子的存在性和上半连续性以及非自治拉普拉斯格点系统的拉回和向前动力学行为; 最近, 文献 [36 ] 研究了加权空间中格点系统 (1.1) 的一致吸引子, 其中考虑的更复杂的非线性项 $f_i(t, u_{i-m}, \cdots, u_{i+m})$
Uniform exponential attractors for first order non-autonomous lattice dynamical systems
1
2011
... 格点系统在很多领域中有广泛应用, 如电子工程[17 ] , 模式识别[18 ] , 图像处理[19 ,20 ] , 化学反应理论[21 ] 等. 格点系统的渐近行为已被广泛研究, 例如文献 [22 ,23 ] 证明了一阶和二阶耗散格点系统整体吸引子存在的充要条件; 文献 [24 ,25 ,26 ] 研究了非自治格点系统存在紧致核截面与一致吸引子的充要条件, 以及核截面与一致吸引子的上半连续性和熵的估计, 并将理论应用于具体的格点数学物理方程; 文献 [27 ] 研究了一阶时滞格点系统吸引子的存在性; 文献 [28 ,29 ,30 ] 研究了随机格点系统的随机吸引子; 文献 [31 ,32 ] 讨论了格点系统指数吸引子与一致指数吸引子的存在性问题. 同时, 文献 [33 ,34 ,35 ] 研究了加权空间中格点系统的拉回指数吸引子、随机吸引子的存在性和上半连续性以及非自治拉普拉斯格点系统的拉回和向前动力学行为; 最近, 文献 [36 ] 研究了加权空间中格点系统 (1.1) 的一致吸引子, 其中考虑的更复杂的非线性项 $f_i(t, u_{i-m}, \cdots, u_{i+m})$
格点系统存在指数吸引子的充分条件及应用
1
2010
... 格点系统在很多领域中有广泛应用, 如电子工程[17 ] , 模式识别[18 ] , 图像处理[19 ,20 ] , 化学反应理论[21 ] 等. 格点系统的渐近行为已被广泛研究, 例如文献 [22 ,23 ] 证明了一阶和二阶耗散格点系统整体吸引子存在的充要条件; 文献 [24 ,25 ,26 ] 研究了非自治格点系统存在紧致核截面与一致吸引子的充要条件, 以及核截面与一致吸引子的上半连续性和熵的估计, 并将理论应用于具体的格点数学物理方程; 文献 [27 ] 研究了一阶时滞格点系统吸引子的存在性; 文献 [28 ,29 ,30 ] 研究了随机格点系统的随机吸引子; 文献 [31 ,32 ] 讨论了格点系统指数吸引子与一致指数吸引子的存在性问题. 同时, 文献 [33 ,34 ,35 ] 研究了加权空间中格点系统的拉回指数吸引子、随机吸引子的存在性和上半连续性以及非自治拉普拉斯格点系统的拉回和向前动力学行为; 最近, 文献 [36 ] 研究了加权空间中格点系统 (1.1) 的一致吸引子, 其中考虑的更复杂的非线性项 $f_i(t, u_{i-m}, \cdots, u_{i+m})$
格点系统存在指数吸引子的充分条件及应用
1
2010
... 格点系统在很多领域中有广泛应用, 如电子工程[17 ] , 模式识别[18 ] , 图像处理[19 ,20 ] , 化学反应理论[21 ] 等. 格点系统的渐近行为已被广泛研究, 例如文献 [22 ,23 ] 证明了一阶和二阶耗散格点系统整体吸引子存在的充要条件; 文献 [24 ,25 ,26 ] 研究了非自治格点系统存在紧致核截面与一致吸引子的充要条件, 以及核截面与一致吸引子的上半连续性和熵的估计, 并将理论应用于具体的格点数学物理方程; 文献 [27 ] 研究了一阶时滞格点系统吸引子的存在性; 文献 [28 ,29 ,30 ] 研究了随机格点系统的随机吸引子; 文献 [31 ,32 ] 讨论了格点系统指数吸引子与一致指数吸引子的存在性问题. 同时, 文献 [33 ,34 ,35 ] 研究了加权空间中格点系统的拉回指数吸引子、随机吸引子的存在性和上半连续性以及非自治拉普拉斯格点系统的拉回和向前动力学行为; 最近, 文献 [36 ] 研究了加权空间中格点系统 (1.1) 的一致吸引子, 其中考虑的更复杂的非线性项 $f_i(t, u_{i-m}, \cdots, u_{i+m})$
Pullback exponential attractors for non-autonomous lattice systems
1
2012
... 格点系统在很多领域中有广泛应用, 如电子工程[17 ] , 模式识别[18 ] , 图像处理[19 ,20 ] , 化学反应理论[21 ] 等. 格点系统的渐近行为已被广泛研究, 例如文献 [22 ,23 ] 证明了一阶和二阶耗散格点系统整体吸引子存在的充要条件; 文献 [24 ,25 ,26 ] 研究了非自治格点系统存在紧致核截面与一致吸引子的充要条件, 以及核截面与一致吸引子的上半连续性和熵的估计, 并将理论应用于具体的格点数学物理方程; 文献 [27 ] 研究了一阶时滞格点系统吸引子的存在性; 文献 [28 ,29 ,30 ] 研究了随机格点系统的随机吸引子; 文献 [31 ,32 ] 讨论了格点系统指数吸引子与一致指数吸引子的存在性问题. 同时, 文献 [33 ,34 ,35 ] 研究了加权空间中格点系统的拉回指数吸引子、随机吸引子的存在性和上半连续性以及非自治拉普拉斯格点系统的拉回和向前动力学行为; 最近, 文献 [36 ] 研究了加权空间中格点系统 (1.1) 的一致吸引子, 其中考虑的更复杂的非线性项 $f_i(t, u_{i-m}, \cdots, u_{i+m})$
Existence and upper semicontinuity of attractors for non-autonomous stochastic lattice FitzHugh-Nagumo systems in weighted spaces
1
2016
... 格点系统在很多领域中有广泛应用, 如电子工程[17 ] , 模式识别[18 ] , 图像处理[19 ,20 ] , 化学反应理论[21 ] 等. 格点系统的渐近行为已被广泛研究, 例如文献 [22 ,23 ] 证明了一阶和二阶耗散格点系统整体吸引子存在的充要条件; 文献 [24 ,25 ,26 ] 研究了非自治格点系统存在紧致核截面与一致吸引子的充要条件, 以及核截面与一致吸引子的上半连续性和熵的估计, 并将理论应用于具体的格点数学物理方程; 文献 [27 ] 研究了一阶时滞格点系统吸引子的存在性; 文献 [28 ,29 ,30 ] 研究了随机格点系统的随机吸引子; 文献 [31 ,32 ] 讨论了格点系统指数吸引子与一致指数吸引子的存在性问题. 同时, 文献 [33 ,34 ,35 ] 研究了加权空间中格点系统的拉回指数吸引子、随机吸引子的存在性和上半连续性以及非自治拉普拉斯格点系统的拉回和向前动力学行为; 最近, 文献 [36 ] 研究了加权空间中格点系统 (1.1) 的一致吸引子, 其中考虑的更复杂的非线性项 $f_i(t, u_{i-m}, \cdots, u_{i+m})$
Pullback and forward dynamics of nonautonomous Laplacian lattice systems on weighted spaces
1
2022
... 格点系统在很多领域中有广泛应用, 如电子工程[17 ] , 模式识别[18 ] , 图像处理[19 ,20 ] , 化学反应理论[21 ] 等. 格点系统的渐近行为已被广泛研究, 例如文献 [22 ,23 ] 证明了一阶和二阶耗散格点系统整体吸引子存在的充要条件; 文献 [24 ,25 ,26 ] 研究了非自治格点系统存在紧致核截面与一致吸引子的充要条件, 以及核截面与一致吸引子的上半连续性和熵的估计, 并将理论应用于具体的格点数学物理方程; 文献 [27 ] 研究了一阶时滞格点系统吸引子的存在性; 文献 [28 ,29 ,30 ] 研究了随机格点系统的随机吸引子; 文献 [31 ,32 ] 讨论了格点系统指数吸引子与一致指数吸引子的存在性问题. 同时, 文献 [33 ,34 ,35 ] 研究了加权空间中格点系统的拉回指数吸引子、随机吸引子的存在性和上半连续性以及非自治拉普拉斯格点系统的拉回和向前动力学行为; 最近, 文献 [36 ] 研究了加权空间中格点系统 (1.1) 的一致吸引子, 其中考虑的更复杂的非线性项 $f_i(t, u_{i-m}, \cdots, u_{i+m})$
Dynamics of non-autonomous first order lattice systems in weighted spaces
1
2022
... 格点系统在很多领域中有广泛应用, 如电子工程[17 ] , 模式识别[18 ] , 图像处理[19 ,20 ] , 化学反应理论[21 ] 等. 格点系统的渐近行为已被广泛研究, 例如文献 [22 ,23 ] 证明了一阶和二阶耗散格点系统整体吸引子存在的充要条件; 文献 [24 ,25 ,26 ] 研究了非自治格点系统存在紧致核截面与一致吸引子的充要条件, 以及核截面与一致吸引子的上半连续性和熵的估计, 并将理论应用于具体的格点数学物理方程; 文献 [27 ] 研究了一阶时滞格点系统吸引子的存在性; 文献 [28 ,29 ,30 ] 研究了随机格点系统的随机吸引子; 文献 [31 ,32 ] 讨论了格点系统指数吸引子与一致指数吸引子的存在性问题. 同时, 文献 [33 ,34 ,35 ] 研究了加权空间中格点系统的拉回指数吸引子、随机吸引子的存在性和上半连续性以及非自治拉普拉斯格点系统的拉回和向前动力学行为; 最近, 文献 [36 ] 研究了加权空间中格点系统 (1.1) 的一致吸引子, 其中考虑的更复杂的非线性项 $f_i(t, u_{i-m}, \cdots, u_{i+m})$
一阶格点系统的不变测度与Liouville型方程
3
2020
... 这里值得指出的是, 文献 [37 ] 研究了格点系统 (1.1) 的不变测度问题, 其中 $f_i(t,u_i)=f_i(u_i)$ $t$
... 与文献 [37 ] 相比, 本文在加权空间 $\ell^2_\rho$ $\tau$ - 连续性时产生一定的困难. 显然, 空间 $\ell^2$ $\ell^2_\rho$ $\rho_i\equiv 1$
... 关于方程 (4.12) 的试验函数的存在性可以参考文献 [37 ]. ...
一阶格点系统的不变测度与Liouville型方程
3
2020
... 这里值得指出的是, 文献 [37 ] 研究了格点系统 (1.1) 的不变测度问题, 其中 $f_i(t,u_i)=f_i(u_i)$ $t$
... 与文献 [37 ] 相比, 本文在加权空间 $\ell^2_\rho$ $\tau$ - 连续性时产生一定的困难. 显然, 空间 $\ell^2$ $\ell^2_\rho$ $\rho_i\equiv 1$
... 关于方程 (4.12) 的试验函数的存在性可以参考文献 [37 ]. ...
Pullabck attractors and invariant measures for the discrete Klein-Gordon-Schr?dinger equatios
3
2018
... 取 $c_2=c_1\kappa \omega$ $\kappa>1/2$ $\omega$ $c_2\leqslant 2$ $\forall i \in \mathbb{Z}$ ${f_i}(t,s) = s^3|\sin t|$ $\zeta(s)=4s^2$ $({f_i}(t,s))_{i\in \mathbb{Z}}$ $g(t) = ({g_i}(t))_{i \in\mathbb{Z}}$ 38 ]. ...
... 在这一节中, 我们证明过程 ${\{U(t,\tau )\}_{t \geqslant \tau }}$ $\ell^2_\rho$ ${\{ U(t,\tau )\}_{t \geqslant \tau }}$ ${\mathcal D}_\sigma$ - 吸引子. 有界拉回吸收集和拉回吸引子的定义可参考文献 [38 ,39 ]. ...
... 根据上面证得的引理 3.1, 引理 3.2 和文献 [38 ,定理 2.1], 我们得到本节主要结果 ...
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2013
... 在这一节中, 我们证明过程 ${\{U(t,\tau )\}_{t \geqslant \tau }}$ $\ell^2_\rho$ ${\{ U(t,\tau )\}_{t \geqslant \tau }}$ ${\mathcal D}_\sigma$ - 吸引子. 有界拉回吸收集和拉回吸引子的定义可参考文献 [38 ,39 ]. ...
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1996
... 引理5.1 [40 ] 设 $n\in {\mathbb{N}}$ $,$ $\Lambda=\{x=(x_m)_{|m|\leqslant n}: x_m\in {\mathbb{R}}, |x_m|\leqslant r \}\subset {\mathbb{R}}^{2n+1}$ $\Lambda$ ${\mathbb R}^{2n+1}$ ${\mathbb{N}}_\varepsilon(\Lambda)=([r\cdot\frac{2} {\varepsilon}\cdot\sqrt{2n+1}]+1)^{2n+1}$ $\frac \varepsilon 2$ $,$ $[x]$ $x$
