一类分数高斯噪声驱动的 Ornstein-Uhlenbeck 过程的参数估计: Hurst 参数 $H\in (0,\frac12)$

一类分数高斯噪声驱动的 Ornstein-Uhlenbeck 过程的参数估计: Hurst 参数 $H\in (0,\frac12)$

陈勇¹, 李英^,²^,^*, 盛英¹, 古象盟¹

¹江西师范大学数学与统计学院南昌 330022

²湘潭大学数学与计算科学学院湖南湘潭 411105

Parameter Estimation for an Ornstein-Uhlenbeck Process Driven by a Type of Gaussian Noise with Hurst Parameter $H\in (0,\frac{1}{2})$

Chen Yong¹, Li Ying^,²^,^*, Sheng Ying¹, Gu Xiangmeng¹

¹School of Mathematics and Statistics, Jiangxi Normal University, Nanchang 330022

²School of Mathematics and Computional Science, Xiangtan University, Xiangtan 411105

通讯作者: * 李英， Email: liying@xtu.edu.cn

收稿日期: 2022-01-6 修回日期: 2023-04-10

基金资助:

国家自然科学基金(11961033)
国家自然科学基金(12171410)
湖南省教育厅一般项目(22C0072)

Received: 2022-01-6 Revised: 2023-04-10

Fund supported:

NSFC(11961033)
NSFC(12171410)
General Project of Hunan Provincial Education Department of China(22C0072)

摘要

Chen 和 Zhou (2021) 研究了一类分数高斯过程 $(G_t)_{t\ge 0}$ 驱动的 Ornstein-Uhlenbeck 过程的参数估计问题, 其中协方差函数 $ R(t,\, s)=\mathbb{E}[G_t G_s]$ 的二阶混合偏导分解成两个部分: 一个与分数布朗运动相同, 另一个以 $(ts)^{H-1}$ 为界, 其中 $H\in (\frac12,\,1)$. 该文研究同一问题, 但假设 $H\in (0,\,\frac12)$. 分数高斯过程联系的希尔伯特空间 $\mathfrak{H}$ 当 $H\in (\frac12, 1)$ 和 $H\in (0, \frac12)$ 时差异显著. 该文的起点是这类高斯过程 $(G_t)_{t\ge 0}$ 和分数布朗运动 $(B^{H}_t)_{t\ge 0}$ 分别联系的希尔伯特空间 $\mathfrak{H}$ 和 $\mathfrak{H}_1$ 的内积之间的一种定量关系. 该文得到漂移参数基于连续时间观测的最小二乘估计和矩估计的强相合性, 其中 $H\in (0,\,\frac{1}{2})$, 及渐近正态性和 Berry-Esséen 类上界, 其中 $H\in (0,\,\frac{3}{8})$.

关键词： 分数布朗运动; 四阶矩定理; Ornstein-Uhlenbeck 过程; 分数高斯过程; Berry-Esséen 类上界

Abstract

In 2021, Chen and Zhou consider an inference problem for an Ornstein-Uhlenbeck process driven by a type of centered fractional Gaussian process $(G_t)_{t\ge 0}$. The second order mixed partial derivative of the covariance function $ R(t,\, s)=\mathbb{E}[G_t G_s]$ can be decomposed into two parts, one of which coincides with that of fractional Brownian motion and the other is bounded by $(ts)^{H-1}$ with $H\in (\frac12,\,1)$, up to a constant factor. In this paper, we investigate the same problem but with the assumption of $H\in (0,\,\frac12)$. It is well known that there is a significant difference between the Hilbert space associated with the fractional Gaussian processes in the case of $H\in (\frac12, 1)$ and that of $H\in (0, \frac12)$. The starting point of this paper is a quantitative relation between the inner product of $\mathfrak{H}$ associated with the Gaussian process $(G_t)_{t\ge 0}$ and that of the Hilbert space $\mathfrak{H}_1$ associated with the fractional Brownian motion $(B^{H}_t)_{t\ge 0}$. We prove the strong consistency with $H\in (0, \frac12)$, and the asymptotic normality and the Berry-Esséen bounds with $H\in (0,\frac38)$ for both the least squares estimator and the moment estimator of the drift parameter based on the continuous observations.

Keywords： Fractional Brownian motion; Fourth moment theorems; Ornstein-Uhlenbeck process; Fractional Gaussian process; Berry-Esséen type upper bounds

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本文引用格式

陈勇, 李英, 盛英, 古象盟. 一类分数高斯噪声驱动的 Ornstein-Uhlenbeck 过程的参数估计: Hurst 参数 $H\in (0,\frac12)$[J]. 数学物理学报, 2023, 43(5): 1483-1518

Chen Yong, Li Ying, Sheng Ying, Gu Xiangmeng. Parameter Estimation for an Ornstein-Uhlenbeck Process Driven by a Type of Gaussian Noise with Hurst Parameter $H\in (0,\frac{1}{2})$[J]. Acta Mathematica Scientia, 2023, 43(5): 1483-1518

1 引言

文献 [1]研究了由以下随机微分方程定义的一维分数 Ornstein-Uhlenbeck 过程 (O-U 过程) 的未知参数 $\theta$ 的估计问题

(1.1)$ \begin{equation} \mathrm{d} X_t= -\theta X_t\mathrm{d} t+ \sigma \mathrm{d}G_t,\quad t \in [T], \ T >0, \end{equation} $

其中 $X_0=0$, $(G_t)_{t\ge 0}$ 是一类零均值高斯过程, 满足以下假设 1.1.

假设1.1 设 $H\in (\frac12, \,1)$, 协方差函数 $ R(t,\, s)=\mathbb{E}[G_t G_s],\,t\neq s \in [T]$, 的二阶混合偏导数分解为

(1.2)$ \begin{equation} \frac{\partial^2}{\partial t\partial s}R(t,s)= {H}(2H-1) |t-s| ^{2H -2}+\Psi(t,\,s), \end{equation} $

其中

(1.3)$ \begin{equation} |\Psi(t,\,s)|\le C'_{H} |{ts}| ^{H -1}, \end{equation} $

这里正常数 $ C'_{H}$ 不依赖于 $T$. 另外, 有 $R(0,t)=0,\,\forall t \geq 0$.

不失一般性, 设 $\sigma=1$, 方程 (1.2) 的解为

(1.4)$ \begin{equation} X_t=\int_0^t {\rm e}^{\theta(s-t)}\mathrm{d} G_s,\quad t \in [T]. \end{equation} $

假设只观测到一条连续时间轨迹 $(X_t, t \in [T])$. 当 $\theta>0$ 时, 即遍历的情况下, 最小二乘估计 (LSE) 和矩估计 (ME) 分别为

(1.5)$ \begin{matrix} \hat{\theta}_T&=-\frac{\int_0^T X_t\mathrm{d}X_t}{\int_0^T X_t^2\mathrm{d} t}=\theta-\frac{\int_0^T X_t\mathrm{d}G_t}{\int_0^T X_t^2\mathrm{d} t}, \end{matrix} $

(1.6)$ \begin{matrix} \tilde{\theta}_{T}&=\Big( \frac{1}{ {H} \Gamma(2H ) T} \int_0^T X_t^2\mathrm{d} t \Big)^{-\frac{1}{2H}}, \end{matrix} $

其中关于 $G$ 的积分是 Skorohod 意义 (或散度型积分) 的. 文献 [1] 中得到了当 $H\ge \frac12$ 时这两类统计量的强相合性、渐近正态性和 Berry-Esséen 类上界.

这里先简单评论一下 LSE $\hat{\theta}_T$. 因为 $X_t$ 是高斯过程, 见 (1.4) 式, 故自然的问题是积分 $\int_0^T X_t\mathrm{d}X_t$ 的意义. 尽管过去二十年内, 关于高斯过程的随机积分已经得到了很多研究, 见文献 [2,3], 而本文并不讨论该主题. 我们只提及: 因 Skorohod 积分不是线性的, 故若把积分 $\int_0^T X_t\mathrm{d}X_t$ 理解为 Skorohod 积分则等式 (1.5) 不成立. 因此 (1.5) 式中由左表达式和右表达式定义的 LSE 是不同的. 而由

$\begin{matrix} \hat{\theta}_T =\theta-\frac{\int_0^T X_t\mathrm{d}G_t}{\int_0^T X_t^2\mathrm{d} t} \end{matrix}$

定义的量是文献中研究的对象. 然而上式与待估参数 $\theta$ 有关! 因此 (1.7) 式不再是一个估计量, 即 $\hat{\theta}_T$ 没有严格统计学意义, 甚至也不能够离散化. 但从概率论的观点看, 研究比值过程

$\frac{\int_0^T X_t\mathrm{d}G_t}{\int_0^T X_t^2\mathrm{d} t},$

的渐近行为是非常有意义的, 其中分子理解为 Skorohod 积分. 这是本文的主题之一.

与 LSE $\hat{\theta}_T$ 相比较, 矩估计 $\tilde{\theta}_T$ 是 $\theta$ 真正的估计量, 且可以被离散化. 本文不研究基于离散观测的估计问题, 后者参见文献 [4] 及其中的文献.

过去几十年中, 当高斯过程是布朗运动时, 人们对参数 $\theta$ 的统计推断问题做了大量研究 (见文献 [5,6] 和其中的参考文献). 当高斯过程是分数布朗运动时, 文献 [7,8] 得到了极大似然估计 (MLE) 的相合性, 文献 [9,10] 证明了中心极限定理, 文献 [11,12] 研究了 LSE 和矩估计的渐近行为. 文献 [13] 得到了一般平稳增量高斯过程的矩估计. 文献 [14] 研究了次分数布朗运动情况下的 MLE. 最近, 文献 [15] 研究了混合次分数布朗运动情况的 LSE. 我们还提及一些非遍历情况 ($\theta<0$) 下的工作. 当高斯过程是布朗运动时, 文献 [16,17] 得到了 MLE, 及其极限分布: 柯西分布. 文献 [18,19,20,21] 及其中的参考文献给出了分数布朗运动和其他高斯过程情况下的 LSE. 而文献 [22,23] 及其参考文献中涉及了非高斯 Hermite 过程驱动的 Ornstein-Uhlenbeck 过程.

显然, 以下四类分数高斯过程满足假设 1.1. 分数布朗运动 $\{B^H_t, t\geq 0\}$ 的协方差函数为

(1.8)$ \begin{equation} R^{B}(s,t)= \frac{1}{2}(s^{2H} + t^{2H} - |t-s|^{2H}),\quad H\in (0,1) \end{equation} $

次分数布朗运动 $\{S^H_t, t \geq 0\}$ 的协方差函数为

$R(t,s)=s^{2H}+t^{2H}-\frac{1}{2}\left((s+t)^{2H}+|t-s|^{2H}\right),\quad H\in (0,1).$

双分数布朗运动 $\{B^{H,K}_t, t\geq 0\}$ 的协方差函数为

$R(t,s)=\frac{1}{2}\left((s^{2H}+t^{2H})^K - |t-s|^{2HK}\right),\quad H,K \in (0, 1).$

广义次分数布朗运动 $\{{S^{H,K}_t, t\ge 0} \}$ 的协方差函数为

$ R(t,\, s)= (s^{2H}+t^{2H})^{K}-\frac12 \big[(t+s)^{2HK} + |t-s| ^{2HK} \big],$

其中参数 $H \in (0, 1),\,K \in[1,2)$, $HK\in (0,1)$. 对于后两类高斯过程, $HK$ 为 Hurst 参数.

当 $\theta>0$ 时, 即遍历的情况下, 对上述 LSE (1.5) 式和矩估计 (1.6) 式, 据我们所知, 除文献 [12,24] 外, 大部分研究局限于 Hurst 参数 $H\in (\frac12, 1)$. 这主要源于分数高斯过程联系的希尔伯特空间的内积的表示公式在 $H\in (\frac12, 1)$ 和 $H\in (0, \frac12)$ 时差异显著. 比如, 一个显著的事实是当 $H\in (0,\,\frac12)$ 时, 范数的单调性可能不成立, 详见第 2 节或文献 [25].

然而, 对上述四类分数高斯过程, 等式 (1.2) 和不等式 (1.3) 对 $H\in (0,\frac12)$ 和 $H\in (\frac12,\,1)$ 都成立. 一个自然的问题是 LSE (1.5)和矩估计 (1.6) 的渐近性是否对 $H\in (0,\frac12)$ 也成立. 上段指出在分数布朗运动的情况下, 该问题在文献 [hu nua zhou 19,CL 21] 中已解决. 本文对于一类分数高斯过程, 给出这个问题的部分肯定答案. 为简单起见, 本文只讨论遍历情况 (即: $\theta>0$).

本文的起点是建立一类分数高斯过程联系的不等式 (2.8) 和 (2.9). 该不等式建立了这类分数高斯过程与分数布朗运动各自的希尔伯特空间内积的定量关系. 为此, 先将假设 1.1 改进为文献 [26] 中的假设.

假设1.2 对于 $H \in (0,\frac12)\cup (\frac12,1)$, 协方差函数 $R(t,s)=\mathbb{E}[G_{t}G_{s}]$ 满足

(1) 对任意的 $s\geq 0$, 有 $R(0,s)=0$.

(2) 对任意取定的 $s\in (0,T)$, $ R(t,s) $ 是区间 $[T]$ 上的连续函数, 并关于 $t\in(0,s)\cup(s,T)$ 可微, 且偏导数 $\frac{\partial }{\partial t }R(t,s) $ 在区间 $[T]$ 上绝对可积.

(3) 对任意取定的 $t\in (0,T)$, 差

$\frac{\partial R(t,s)}{\partial t} - \frac{\partial R^{B}(t,s)}{\partial t} $

是区间 $[T]$ 上的连续函数, 且关于 $s\in(0,T)$ 可微, 并使得关于 $s$ 的偏导函数 $\Psi (t,s)$ 满足

(1.9)$ \begin{matrix} |\Psi (t,s)|&\leq C_{H }^{^{\prime }}|ts|^{H -1}, \end{matrix} $

其中 $C_{H }^{^{\prime }}$ 为不依赖 $T$ 的正常数. 这里 $R^B(t,s)$ 是分数布朗运动的协方差函数 (1.8) 式.

我们将在第 2 节的最后简要说明双分数布朗运动满足假设 1.2. 类似地, 次分数布朗运动和广义次分数布朗运动以及其他一些高斯过程均满足假设 1.2.

下述几个定理将分别给出上述两个估计量的强相合性、中心极限定理和 Berry-Esséen 类上界.

定理1.1 设方程 (1.1) 的最小二乘估计 $\hat{\theta}$ 和矩估计 $\tilde{\theta}_{T}$ 分别由等式 (1.5) 和 (1.6) 给出. 若假设 1.2 成立, 则 $\hat{\theta}$ 和 $\tilde{\theta}_{T}$ 强相合性. 即

$\begin{align*} \lim\limits_{T\to\infty}\hat{\theta}_T=\theta,\qquad \lim\limits_{T\to\infty}\tilde{\theta}_T=\theta, \qquad a.s.. \end{align*}$

Pickands的著名定理指出^[27]: 若单位方差的平稳高斯过程 $\xi_t$ 的协方差函数 $\mathrm{Cov}(\xi_0,\,\xi_t)$ 满足: 当 $t\to 0$ 时, 有渐近展开

$\begin{align*} \mathrm{Cov}(\xi_0,\,\xi_t)=1-c |t| ^{\alpha} +o(|t|^{\alpha} ), \end{align*}$

这里 $0<c<\infty$, $0<\alpha\le 2$, 则对于任何 $\gamma>0$, 当 $t\to \infty$ 时, $\frac{\xi_t}{t^{\gamma}}$ 几乎必然收敛于零. 应用该定理于平稳高斯过程^[11,12]

$\begin{align*} \xi_t:=\int_{-\infty}^{t} {\rm e}^{-\theta (t-s)}\mathrm{d} B^{H}_s, \end{align*}$

可得分数布朗运动驱动的 O-U 过程两个估计量的强相合性. 另外, 文献 [4,13] 利用协方差函数 $\mathbb{E} [\xi_t\xi_0]$ 的渐近展开, 得到驱动噪声为分数布朗运动时, $\tilde{\theta}_{T}$ 的 Berry-Esséen 界. 但是对本文的情况, $\xi_t$ 不再是平稳高斯过程, 故上述 Pickands 定理及文献 [4,13] 的方法不再适用. 我们转而通过多重 Wiener-Itó 积分的超收缩性、Kolmogorov 连续性定理和 Garsia-Rodemich-Rumsey 不等式绕过这个难点, 得到了当 $t\to\infty$ 时, 随机积分 (见命题 3.2 和 3.4) 几乎必然收敛到零. 该方法可以替代文献 [1,15,28,29,30,31] 中 Pickands 定理起到的作用. 在不同于本文的假设下, 文献 [32] 利用矩母函数得到了类似的结果. 对于多重 Wiener-Itó 随机积分而言, 超收缩性可以推出指数可积性, 所以这两种方法是类似的, 参见文献 [33]. 对于 Garsia-Rodemich-Rumsey 不等式, 参见文献 [33,34].

定理1.2 设 $H\in (0,\,\frac38)$ 且假设 1.2 成立. 当 $T\to \infty$ 时, $\sqrt{T}( \hat{\theta}_T-\theta )$ 和 $\sqrt{T}( \tilde{\theta}_T-\theta ) $ 是渐近正态的, 即

(1.10)$ \begin{matrix} \sqrt{T}( \hat{\theta}_T-\theta )& \stackrel{ {law}}{\to} { \mathcal{N}(0, \,\theta \sigma_{H}^2)},\end{matrix} $

(1.11)$ \begin{matrix} \sqrt{T}( \tilde{\theta}_T-\theta )&\stackrel{ {law}}{\to} \mathcal{N}(0, \,\theta \sigma_{H}^2 /4H^2),\end{matrix} $

其中

$\begin{align*} \sigma^2_H= (4H-1) + \frac{2 \Gamma(2-4H)\Gamma(4H)}{\Gamma(2H)\Gamma(1-2H)}. \end{align*}$

注1.1 我们仅得到 $H\in (0,\,\frac38)$ 时的中心极限定理是因为当 $H\in (0,\frac12)$ 时, 不等式 (4.1) 的计算非常复杂 (见命题 4.1). 这个不等式的改进将在未来的工作中完成.

定理1.3 令 $\Phi(z)$ 为标准正态的累积分布函数.设 $H\in (0,\,\frac38)$ 且假设 1.2 成立, 则存在一个正常数 $C_{\theta, H}$, 使得当 $T$ 充分大时, 有不等式

(1.12)$ \begin{equation} \sup_{z\in \mathbb{R} } \|{P(\sqrt{\frac{T}{\theta \sigma^2_{H}}} (\hat{\theta}_T-\theta )\le z)-\Phi( z)}\|\le\frac{ C_{\theta, H}}{T^{ \delta}}, \end{equation} $

且

(1.13)$ \begin{equation} \sup_{z\in \mathbb{R} }\|{P(\sqrt{\frac{4H^2 T}{\theta \sigma^2_{H}}} (\tilde{\theta}_T-\theta )\le z)-\Phi( z)}\|\le\frac{ C_{\theta, H}}{{T^{\delta} }}, \end{equation} $

其中

$\begin{equation} \delta=\left\{ \begin{array}{ll}\frac12, & \quad \ H\in {(0,\frac14)}, \\{\frac32-4H}, &\quad \ H\in (\frac14,\frac38). \end{array} \right. \end{equation}$

当 $H=\frac14$ 时, 上界替换为 $\frac{ \log T}{\sqrt{T} }$.

注1.2 对于矩估计 $\tilde{\theta}_T$, 若驱动噪声 $G_t$ 是分数布朗运动 $B_t^H,\,H\in (0,\,\frac12)$ 时, 则 (1.13) 式中的 Berry-Esséen 类上界可以改进为 $\frac{1}{\sqrt{T}}$, 参见文献 [13,命题4.1]. 因此, 可以合理地猜测, 当 $H\in (\frac14,\frac12)$ 时, $\frac{1}{\sqrt{T}}$ 为这两个估计量的 Berry-Esséen 类上界更好的界. 这需要找到比命题 4.1 及文献 [24,引理 3.11] 更好的估计式.

在本文的其余部分, $C$ 和 $c$ 是一个与 $T$ 无关的正常数, 其取值可以因行而异.

2 准备

设 $G = \{G_t, t\in [T]\}$ 为零均值高斯过程, 定义于概率空间 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$. 其协方差函数为

$ \mathbb{E}(G_tG_s)=R(s,t), \ s, t \in [T]. $

这里 $\mathcal{F}$ 由高斯族 $G$ 生成. 另外设协方差函数 $R$ 连续. 令 $\mathcal{E}$ 为区间 $[T]$ 上的所有阶梯函数的集合. 希尔伯特空间 $\mathfrak{H}$ 定义为 $\mathcal{E}$ 的闭包, 其中 $\mathcal{E}$ 赋予内积

$\begin{align*} <\mathbb{l} _{[a,b)},\,\mathbb{l}_{[c,d)}>_{\mathfrak{H}}=\mathbb{E}\big(( G_b-G_a) ( G_d-G_c) \big). \end{align*}$

仍记 $G=\{G(h), h \in \mathfrak{H}\}$ 为概率空间 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 上的高斯等距过程, 它是以空间 $\mathfrak{H}$ 中的元素为指标的高斯族.高斯族 $G$ 满足

$\mathbb{E}(G) = \mathbb{E}(G(h)) = 0,\quad \quad \mathbb{E}(G(g)G(h)) = \langle g, h \rangle_{\mathfrak{H}},\,\,\forall g, h \in \mathfrak{H}.$

记 $\mathcal{V}_{[T]}$ 为区间 $[T]$ 上有界变差函数的集合. 则 $\mathcal{V}_{[T]}$ 在 $\mathfrak{H}$ 中稠, 见文献 [25]. 当限制在集合 $\mathcal{V}_{[T]}$ 上时, 由文献 [25,定理 2.3] 有

命题2.1 当限制于 $\mathcal{V}_{[T]}$ 时, 有

(2.1)$ \begin{matrix} <f,g>_{\mathfrak{H}}=\int_{[T]^2} R(t,s) \nu_f( \mathrm{d} t) \nu_{g}( \mathrm{d} s),\qquad \forall f,\, g\in \mathcal{V}_{[T]}, \end{matrix} $

这里测度 $\nu_{g}$ 是 $g^0$ 联系的 Lebesgue-Stieljes 符号测度在 $([T], \mathcal{B}([T]))$ 上的限制, 其中

$\begin{equation*} g^0(x)=\left\{ \begin{array}{ll} g(x), & \quad \ x\in [T],\\ 0, &\quad \text{其他}. \end{array} \right. \end{equation*}$

若假设 1.2 成立, $\mathfrak{H}$ 的内积有另一种表示, 它由命题 2.1 和如下分部积分公式得到.

引理2.1 (分部积分公式^[26]) 令 $[a,b] $ 是长度为正的紧区间, $\mathcal{V}_{[a,b]}$ 为 $[a,b]$ 上的有界变差函数集合. 若函数 $\phi:[a,b]\to \mathbb{R}$ 在 $[a,b]$ 上连续, 在 $(a,b)$ 上可微且 $\phi' $ 绝对可积, 则对任意的 $f\in \mathcal{V}_{[a,b]}$, 有

(2.2)$ \begin{matrix} -\int_{[a,b]} f(t) \phi'(t) \mathrm{d} t =\int_{[a,b]} \phi(t) \nu_f( \mathrm{d} t), \end{matrix} $

这里测度 $\nu_f$ 为 $f^0$ 联系的 Lebesgue-Stieljes 符号测度在 $([a,b], \mathcal{B}([a,b]))$ 的限制, 其中

$\begin{equation*} f^0(x)=\left\{ \begin{array}{ll} f(x), & \quad \ x\in [a,b],\\ 0, &\quad \text{其他 }. \end{array} \right. \end{equation*}$

命题2.2 若协方差函数 $R(t,s)$ 满足假设 1.2 (1) 和 (2), 则

(2.3)$ \begin{matrix} <f,g>_{\mathfrak{H}}=-\int_{[T]^2} f(t) \frac{\partial R(t,s)}{\partial t} \mathrm{d} t \nu_{g}(\mathrm{d} s),\qquad \forall f,\, g\in \mathcal{V}_{[T]}. \end{matrix} $

注2.1 与文献 [3] 不同, 本文不需要考虑定义在 $\mathcal{D}_T$ 上的线性算子 $\mathbf{A}$, 其中 $\mathcal{D}_T$ 是 $(0,T )$ 中具有紧支持的 $C^{\infty}$ 函数的空间. 此外, 本文中的假设不同于文献 [3] 中的假设.

证由 Fubini 定理, (2.1) 式可写为: $ \forall f,\, g\in \mathcal{V}_{[T]}$,

(2.4)$ \begin{matrix} <f,g>_{\mathfrak{H}}=\int_0^T \Big( \int_0^T R(t,s) \nu_f( \mathrm{d} t) \Big) \nu_{g}( \mathrm{d} s). \end{matrix} $

若假设 1.2 (1)-(2) 成立, 则对任意给定的 $s\in [T]$, 有

(2.5)$ \begin{matrix} \int_0^T R(t,s) \nu_f( \mathrm{d} t) &= \int_0^s R(t,s) \nu_f( \mathrm{d} t) +\int_s^T R(t,s) \nu_f( \mathrm{d} t) \notag\\ &=- \int_0^s f(t) \frac{\partial}{\partial t} R(t,s) \mathrm{d} t -\int_s^T f(t) \frac{\partial}{\partial t} R(t,s) \mathrm{d} t\notag \\ &=- \int_0^T f(t) \frac{\partial}{\partial t} R(t,s) \mathrm{d} t, \end{matrix} $

这里第二个等号来自引理 2.1. 将 (2.5) 式代入 (2.4) 式, 即得 (2.3) 式.

推论2.1 设 $g=h\cdot \mathbb{1}_{[a,b]}(\cdot)$, 其中 $h$ 为连续可微函数, $0\le a<b\le T$; $\delta_a(\cdot)$ 为以 $a$ 为中心的狄拉克单点测度, 参见文献 [24], 则有

$\begin{align*} \nu_g(\mathrm{d} s)= h'(s)\cdot \mathbb{1}_{[a,b]}(s)\mathrm{d} s+ h(s)\cdot \big(\delta_a(s)-\delta_b(s)\big)\mathrm{d} s, \end{align*}$

及 $\forall f\in \mathcal{V}_{[T]}$, 有

$\begin{align*} <f, g>_{\mathfrak{H}}&=-\int_{[T]\times [a,b]} f(t)h'(s) \frac{\partial R(t,s)}{\partial t} \mathrm{d} t \mathrm{d} s +\int_{[T]} f(t) \Big(h(b) \frac{\partial R(t,b)}{\partial t}-h(a) \frac{\partial R(t,a)}{\partial t} \Big) \mathrm{d} t. \end{align*}$

记 $\mathfrak{H}_1$ 为分数布朗运动 $B^H$ 联系的希尔伯特空间. 由命题 2.2 得

(2.6)$ \begin{matrix} <f, g>_{\mathfrak{H}_1}&=- \int_{[T]^{2}}f(t ) \frac{\partial R^B(t,s)}{\partial t} \mathrm{d} t \nu_{g}({\mathrm{d} s}), \quad \forall f,\,g \in\mathcal{V}_{[T]}, \end{matrix} $

这里 $R^B(t,s)$ 是分数布朗运动的协方差函数. 当 $H\in (\frac12,\,1)$ 时, (2.6) 式等价于

(2.7)$ \begin{equation} \langle f,g\rangle_{\mathfrak{H}_1}=H(2H-1)\int_{[T]^{2}}f(t)g(s) |t-s| ^{2H-2}{\rm d}t{\rm d}s, \quad \forall f,g\in \mathcal{V}_{[T]}, \end{equation} $

这时, 若 $0\le f\le g$, 则范数的单调性成立

$\begin{align*} <f, f>_{\mathfrak{H}_1}\le <g, g>_{\mathfrak{H}_1}. \end{align*}$

一个显著的事实是: 当 $H\in (0,\,\frac12)$ 时, 范数的这种单调性可能不再成立. 这导致处理 $ H\in (0,\,\frac12)$ 的问题困难许多. 另外, 若 $f,g\in \mathcal{V}_{[T]} $ 支撑的交集的 Lebesgue 测度为 $0$, 则等式 (2.7) 式仍成立.

记号2.1 设函数 $f,\,g \in\mathcal{V}_{[T]}$, 定义它们的另一种"积"为

$\begin{matrix} <f, g>_{\mathfrak{H}_2}&=C_{H}^{'} \int_{[T]^{2}} |f(t) g(s)|(ts)^{H-1}\mathrm{d} t \mathrm{d} s =C_{H}^{'} \mu(|f|)\mu(|g|),\nonumber \end{matrix} $

其中 $\mu(f)=\int f\mathrm{d}\mu$ 且 $\mu(\mathrm{d} x)=x^{\beta-1}\mathrm{d} x$. 而若$f\in L^2(R^2, \mu\times \mu)$, 则定义

$\begin{align*} (\mu\times \mu) (f)= \int f \,\mathrm{d}(\mu\times \mu). \end{align*}$

下述不等式 (2.8) 是本文的起点之一, 它给出了 $\mathfrak{H}$ 和 $\mathfrak{H}_1$ 中两个内积之间的定量关系.

推论2.2 若协方差函数 $R(t,s)$ 满足假设 1.2, 则

(2.8)$ \begin{equation} |<f, g>_{\mathfrak{H}} - <f, g>_{\mathfrak{H}_1}|\leq {<f, g>_{\mathfrak{H}_2} },\qquad \forall f,\, g\in \mathcal{V}_{[T]}. \end{equation} $

证由命题 2.2 和 Fubini 定理知, $\forall f,\,g \in\mathcal{V}_{[T]}$ 有

$\begin{align*} <f, g>_{\mathfrak{H}} - <f, g>_{\mathfrak{H}_1}&=\int_0^T f(t) \mathrm{d} t \int_0^T\big(\frac{\partial R^B(t,s)}{\partial t} -\frac{\partial R(t,s)}{\partial t} \big) \nu_{g}( \mathrm{d} s) \\ &=\int_0^T f(t) \mathrm{d} t \int_0^T g(s) \big(\frac{\partial^2 R(t,s)}{\partial s\partial t} -\frac{\partial^2 R^B(t,s)}{\partial s\partial t} \big) \mathrm{d} s, \end{align*}$

这里最后一个等式由假设 1.2 (3) 和引理 2.1 得到. 再由不等式 (1.9) 得

$\begin{align*} |<f, g>_{\mathfrak{H}} - <f, g>_{\mathfrak{H}_1}|\leq C'_H \int_0^T |f(t)| t^{H-1} \mathrm{d} t \int_0^T |g(s)| s^{H-1} \mathrm{d} s= {<f, g>_{\mathfrak{H}_2} }. \end{align*}$

同理有 $\mathfrak{H}^{\odot 2}$ 和 $\mathfrak{H}_1^{\odot 2}$ 内积的定量联系.

命题2.3 若假设 1.2 成立, 则对任意的 $\varphi, \psi \in (\mathcal{V}_{[T]})^{\odot 2}$, 有

(2.9)$ \begin{matrix} |<\varphi,\, \psi>_{\mathfrak{H}^{\otimes 2}} - <\varphi,\,\psi>_{\mathfrak{H}_1^{\otimes 2}} | & \leq (C_{H}' )^2(\mu \times \mu)(|\varphi|) (\mu \times \mu)(|\psi|) + 2C_{H}'(\mu \times \mu)(|\varphi\otimes_{1'} \psi|), \end{matrix} $

其中 $\varphi\otimes_{1'} \psi$ 是 $\mathfrak{H}_1^{\odot 2}$ 中 $\varphi$ 和 $\psi$ 之间的一次压缩, 见下式 (2.10).

分别记 $\mathfrak{H}^{\otimes p}$ 和 $\mathfrak{H}^{\odot p}$ 为希尔伯特空间 $\mathfrak{H}$ 的 $p$ 次张量积和 $p$ 次对称张量积. 记 $\mathcal{H}_p$ 为高斯等距过程 $G$ 的 $p$ 阶维纳混沌空间: 即由 $\{H_p(G(h)): h \in \mathfrak{H}, \ \|h\|_{\mathfrak{H}} = 1\}$ 张成的 $L^2(\Omega)$ 的闭子空间, 其中 $H_p$ 为$p$阶Hermite多项式

$H_p(x)=\frac{(-1)^p}{p!} {\rm e}^{\frac{x^2}{2}} \frac{d^p}{dx^p} {\rm e}^{-\frac{x^2}{2}}, \quad p \geq 1,\quad H_0(x)=1.$

对任意的 $h \in \mathfrak{H}$, 令 $I_p(h^{\otimes p})=H_p(G(h))$, 其中 $I_p(\cdot)$ 为 $p$ 重 Wiener-Itô 随机积分. 映射 $I_p$ 给出了 $\mathfrak{H}^{\odot p}$ (其范数为 $\frac{1}{\sqrt{p!}}\|\cdot\|_{\mathfrak{H}^{\otimes p}}$) 和 $\mathcal{H}_p$ 之间的一个等距映射. 依惯例, $\mathcal{H}_0 = \mathbb{R}$, $I_0(x)=x$.

设 $\{e_k, k \geq 1\}$ 为希尔伯特空间 $\mathfrak{H}$ 的一个标准正交基. 给定 $f \in \mathfrak{H}^{\odot m}, g \in \mathfrak{H}^{\odot n}$, $f$ 和 $g$ 的 $q$ 次压缩定义为 $\mathfrak{H}^{\otimes (m+n-2q)}$ 中的元素

(2.10)$ \begin{equation} f \otimes_q g = \sum_{i_1,\cdots,i_q=1}^{\infty} \langle f,e_{i_1} \otimes \cdots \otimes e_{i_q} \rangle_{\mathfrak{H}^{\otimes q}} \otimes \langle g,e_{i_1} \otimes \cdots \otimes e_{i_q} \rangle_{\mathfrak{H}^{\otimes q}} \,,\quad q=1,\cdots, m \wedge n. \end{equation} $

当 $G $ 为分数布朗运动 $B^H$ 时, 记$f \otimes_q' g $ 为 $f$ 和 $g$ 之间的$q$ 次压缩, 它是 $\mathfrak{H}_1^{\otimes (m+n-2q)}$ 中的元素.

下式是 Wiener-Itô 多重随机积分的乘积公式

(2.11)$ \begin{equation} I_p(g) I_q(h) = \sum_{r=0}^{p \wedge q} r!\binom{p}{r} \binom{q}{r} I_{p+q-2r}(g\tilde\otimes_r h),\quad\forall g \in \mathfrak{H}^{\odot p},h \in \mathfrak{H}^{\odot q}, \end{equation} $

其中 $g\tilde\otimes_r h$ 是 $g\otimes_r h$ 的对称化, 参见文献 [35].

四阶矩定理刻画了 Wiener-Itô 多重随机积分序列的中心极限定理^[35,36]

定理2.1 设 $ p \geq 2 $ 为正整数. 若 $\{f_{T}\in \mathfrak{H}^{\odot p},\, T>0\}$ 满足

$ \lim\limits_{T \to \infty}\mathbb{E} [I_p (f_T) ^2] = \lim\limits_{T \to \infty} p! \|f_T\|^2_{\mathfrak{H}^{\otimes{p}}} = \sigma^2>0, $

则下列条件等价

(1) $\lim\limits_{T \to \infty} \mathbb{E}[I_p(f_T)^4] = { 3\sigma^4}$.

(2) 对 $q=1,\cdots, p-1$, 有 $\lim\limits_{T \to \infty}||f_T \otimes_q f_{T}||_{\mathfrak{H}^{\otimes 2(p-q)}} = 0$.

(3) 当 $T\to\infty $, Wiener-Itô 多重随机积分 $\{I_p (f_T), T \geq 0\}$ 依分布收敛于 $N(0,\sigma^2)$.

最后简要说明双分数布朗运动 $\{B^{\bar{H},K}_t, t\geq 0\}$ 满足假设 1.2, 其中参数 $\bar{H},K \in (0, 1)$. 回顾其协方差函数

$R(t,s)=\frac{1}{2}\left((s^{2\bar{H}}+t^{2\bar{H}})^K - |t-s|^{2\bar{H}K}\right).$

假设 1.2 (1) 显然成立, 且对任意给定的 $s\in (0,T)$, $R(\cdot,s)$ 在 $t\in [T]$ 上连续. 令 $H=\bar{H}K$. 当 $t\in (0, s)\cup(s,T)$ 时, 有

$\begin{align*} \frac{\partial }{\partial t}R(t,s)=H\Big[(s^{2\bar{H}}+t^{2\bar{H}})^{K-1}t^{2\bar{H}-1}- |t-s|^{2\bar{H}K-1}\mathrm{sgn}(t-s) \Big], \end{align*}$

它在 $t\in[T]$ 上绝对可积, 故假设 1.2 (2) 成立. 而对任意给定的 $t\in (0,T)$, 差

$\begin{align*} \frac{\partial R(t,s)}{\partial t} - \frac{\partial R^{B}(t,s)}{\partial t} =H\Big[(s^{2\bar{H}}+t^{2\bar{H}})^{K-1}t^{2\bar{H}-1}- t^{2{H}-1}\Big] \end{align*}$

在 $[T]$ 上连续且关于 $s\in(0,T)$ 可微. 因 $\bar{H},\, K \in (0, 1)$, 则差满足

$\begin{align*} |\frac{\partial }{\partial s}\Big( \frac{\partial R(t,s)}{\partial t} - \frac{\partial R^{B}(t,s)}{\partial t}\Big)|&=2H\bar{H}(1-K) (s^{2\bar{H}}+t^{2\bar{H}})^{K-2}(ts)^{2\bar{H}-1}\\ &\leq 2^{K-1}H\bar{H}(1-K) (ts)^{\bar{H}(K-2) +2\bar{H}-1}\le H\times (ts)^{H-1}, \end{align*}$

其中最后一行利用了不等式 $a^2+b^2\ge 2ab$. 故假设 1.2 (3) 成立. 则双分数布朗运动满足假设 1.2. 同理可得其它几个例子均满足假设 1.2.

3 强相合性: 定理 1.1 的证明

$H> \frac12$ 的情况在文献 [1] 中已研究, 故本文仅处理 $H \in(0,\, \frac12)$ 的情况. 先定义一些证明中用到的函数

(3.1)$ \begin{matrix} f_T(t,s)&= {\rm e}^{-\theta |t-s| }\mathbb{1}_{\{0\le s,t\le T\}}, \end{matrix} $

(3.2)$ \begin{matrix} h_T(t,s)&= {\rm e}^{-\theta (T-t)-\theta (T-s)}\mathbb{1}_{\{0\le s,t\le T\}}, \end{matrix} $

(3.3)$ \begin{matrix} g_T(t,s)&= \frac{1}{2\theta T}(f_T- h_T). \end{matrix} $

SDE (1.1) 的解为

$X_t = \int_0^t {\rm e}^{-\theta(t-s)} {\rm d}G_s = I_1(f_T(t, \cdot) \mathbb{1}_{[t]}(\cdot)).$

由 Wiener-Itô 多重随机积分乘积公式和随机 Fubini 定理得

(3.4)$ \begin{matrix} \frac{1}{T} \int_0^T X_t^2\mathrm{d} t = I_2(g_T)+b_T, \end{matrix} $

这里

(3.5)$ b_T=\frac1T\int_0^T\left\|\mathrm{e}^{-\theta(t-\cdot)}\mathbb{I}_{[t]}(\cdot)\right\|_{\mathfrak{S}}^2\mathrm{d}t. $

由 (1.5) 式得

(3.6)$ \begin{matrix} \sqrt{T} (\hat{\theta}_T-\theta )&=-\frac{\frac{1}{2\sqrt{T}} I_2(f_T)}{ I_2(g_T)+b_T}. \end{matrix} $

对于核函数 $f_T(r,s) $, 定义 Wiener-Itô 二重随机积分

(3.7)$ \begin{equation} F_T:=I_2(f_T ),\quad T\ge 0. \end{equation} $

$F_T$ 是随机过程, 故称之为 Wiener-Itô 混沌 (随机) 过程[HPAU 94]. 基于下面两个关于 $F_T$ 和增量 $F_t - F_s$ 的二阶矩渐近增长性的命题, 我们给出混沌过程 $\{F_T\}$ 在区间 $[n,\,n+1]$, $n\ge 1$, 上的连续模, 并进一步得到当 $T\to\infty$ 时, 过程 $F_T$ 按轨道意义下的渐近增长性 (见命题 3.4). 混沌过程样本轨道的渐近增长性是本文证明估计量强相合的基本方法.

命题3.1 若 $H\in (0,\,\frac12)$, 则有极限

(3.8)$ \begin{matrix} \lim\limits_{T\to\infty}\frac{1}{4 \theta \sigma_{H}^2 T}\mathbb{E} [|F_T| ^2]= (H \Gamma(2H ) \theta^{-2H})^2. \end{matrix} $

证首先, 文献 [引理 17] 证明了当 $H\in (0,\,\frac12)$ 时, 有极限

(3.9)$ \begin{matrix} \lim\limits_{T\to \infty } \frac{1}{2 \theta \sigma_{H}^2 T}\left\| f_T \right\|_{\mathfrak{H}_1^{\otimes 2}}^2&=(H \Gamma(2H )\theta^{-2H} )^2. \end{matrix} $

其次, 不等式 (2.9) 给出

(3.10)$ \begin{matrix} |\left\| f_T \right\|^2_{\mathfrak{H}^{\otimes 2}}-\left\| f_T \right\|_{\mathfrak{H}_1^{\otimes 2}}^2| \le \big(C_{H}'(\mu\times \mu)(f_T) \big)^2 +2C_{H}'(\mu\times \mu)(f_T\otimes_{1'}f_T). \end{matrix} $

而由引理 5.1, 存在与 $T$ 无关的正常数 $C$ 使得

(3.11)$ \begin{matrix} (\mu\times \mu)(f_T) =\int_{[T]^2} {\rm e}^{-\theta |r-s|}(rs)^{H-1}\mathrm{d} r\mathrm{d} s=2\int_0^T {\rm e}^{-\theta r }r^{H-1}\mathrm{d} r\int_0^r {\rm e}^{ \theta s }s^{H-1}\mathrm{d} s \le C. \end{matrix} $

结合引理 5.4, 则推出

$\lim\limits_{t\to\infty}\frac{1}{ T} |\left\| f_T \right\|^2_{\mathfrak{H}^{\otimes 2}}-\left\| f_T \right\|_{\mathfrak{H}_1^{\otimes 2}}^2| =0,\quad H\in (0,\,\frac12). $

最后, 利用上式, (3.9) 式及 Itô 等距

$\mathbb{E} [|F_T|^2]=2\left\| f_T \right\|^2_{\mathfrak{H}^{\otimes 2}},$

可得极限 (3.8) 式.

注3.1 由上述命题和文献 [24,引理 3.11] 得: 若 $H\in (0,\frac12)$, 则极限

$\frac{1}{2 \theta \sigma_{H}^2 T}\left\| f_T \right\|^2_{\mathfrak{H}^{\otimes 2}} \to (H \Gamma(2H ) \theta^{-2H})^2 $

的收敛速度大于等于 $\frac{1}{T^{1-2H}}$.

记号3.1 令 $0\le s<t\le T$. 定义

(3.12)$ \begin{matrix} \phi_1(u,v)&={\rm e}^{-\theta |u-v|}\mathbb{1}_{\{s\le u,v\le t\}}, \end{matrix} $

(3.13)$ \begin{matrix} \phi_2(u,v)&={\rm e}^{-\theta |u-v|}(\mathbb{1}_{\{0\le u\le s,\, s\le v\le t\}} + \mathbb{1}_{\{0\le v\le s,\, s\le u\le t\}} ). \end{matrix} $

命题3.2 若假设 1.2 成立, 则存在与 $T$ 无关的正常数 $C$, 使得 $\forall s,t\ge 0$, 有

(3.14)$ \begin{matrix} \mathbb{E} [|F_t-F_s| ^2]\le C \Big( |t-s| ^{4H+2}+ |t-s| ^{4H+1}+ |t-s| ^{4H} + |t-s| ^{2H+1} + |t-s| ^{2H}+ |t-s| ^{H}\Big), \end{matrix} $

且 $\forall p > \frac{4}{H}, q >1$, 存在与整数 $n$ 无关的随机常数 $R_{p,q}$ 使得 $\forall n \ge1$, 有不等式

(3.15)$ \begin{matrix} |F_t-F_s|\le R_{p,q} n^{q/p}, \qquad \forall \ t,s\in [n,n+1]. \end{matrix} $

证由 Itô 等距及三角不等式得

(3.16)$ \begin{matrix} \mathbb{E} [|F_t-F_s| ^2]&=2\left\| f_t-f_s \right\|^2_{\mathfrak{H}^{\otimes 2}} \le 4 (\left\| \phi_1 \right\|_{\mathfrak{H}^{\otimes 2}}^2+\left\| \phi_2 \right\|_{\mathfrak{H}^{\otimes 2}}^2), \end{matrix} $

为简单起见, 不妨设 $\theta=1$. 由附录中的引理 5.1 知, 存在与 $T$ 无关的正常数 $C$ 使得

$\begin{align*} (\mu\times \mu)( |{\phi_1}|) & =2\int_s^t {\rm e}^{-u}u^{H-1} du\int_s^u {\rm e}^{v}v^{H-1} dv\le C\int_s^t u^{H-1} du\le C |{t-s}^{H},\\ (\mu\times \mu)( |{\phi_2}|)& \le 2\int_0^s {\rm e}^{- (s-u)}u^{H-1} du \int_s^t {\rm e}^{- (v-s)}v^{H-1} dv\le C \int_s^t v^{H-1} dv\le C|{t-s}^H. \end{align*}$

由不等式 (2.9) 和引理 5.8, 有

(3.17)$ \begin{matrix} \left\| \phi_1 \right\|_{\mathfrak{H}^{\otimes 2}}^2&\le \left\| \phi_1 \right\|_{\mathfrak{H}_1^{\otimes 2}}^2 + \big(C_H' (\mu\times \mu)( |\phi_1|)\big)^2 +2C_H'(\mu\times\mu)(\phi_1\otimes_{1'}\phi_1)\nonumber \\ &\le C\Big( |t-s| ^{2H}+ |t-s| ^{4H}+ |t-s| ^{4H+1}+ |t-s| ^{4H+2}\Big), \end{matrix} $

类似地, 不等式 (2.9) 和引理 5.9 推出

(3.18)$ \begin{matrix} \left\| \phi_2 \right\|_{\mathfrak{H}^{\otimes 2}}^2& \le \left\| \phi_2 \right\|_{\mathfrak{H}_1^{\otimes 2}}^2 + \big(C_H' (\mu\times \mu)( |\phi_2|)\big)^2 +2C_H'(\mu\times\mu)(\phi_2\otimes_{1'}\phi_2)\nonumber \\ &\le C \big( |t-s| ^{2H+1} + |t-s| ^{2H}+ |t-s| ^{H}\big). \end{matrix} $

将不等式 (3.17) 和 (3.18) 代入 (3.16) 式, 可得 (3.14) 式.

不等式 (3.15) 由 Garsia-Rodemich-Rumsey 不等式得到 (见文献 [28,命题 3.4]). 为读者的方便, 将其重述如下: 不等式 (3.14) 推出存在与 $T$ 无关的正常数 $C$ 使得对任意的 $ |t-s| \le 1$, 有

$\begin{align*} \mathbb{E} [|F_t-F_s| ^2]\le C |t-s| ^{H}. \end{align*}$

由多重 Wiener-Itô 随机积分的超收缩性得: 对任意的 $p\ge 2$ 和 $n\le t<s\le n+1$, 有

$\begin{align*} \mathbb{E} [|F_t-F_s| ^p]\le C\times (p-1)^p |t-s| ^{pH/2}. \end{align*}$

再由 Kolmogorov 连续性定理知, $F_t$ 在 $[n,n+1]$, $n\ge 1$ 上具有连续实现. 令 $\Psi(x)=x^p$, $\rho(x)=x^{H/2}$, 及

$B_n=\int_{[n,n+1]^2 }\Psi\bigg(\frac{|F_t-F_s|}{\rho( |t-s| )}\bigg) \mathrm{d} t \mathrm{d} s.$

则有: $\forall q>1$,

$\begin{align*} \mathbb{E} \bigg( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{B_n}{n^q} \bigg)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mathbb{E} (B_n)}{n^q}\le C\times (p-1)^p \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^q}<\infty. \end{align*}$

故存在随机常数 $R_{p,q}$ 使得

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{B_n}{n^q} \le R_{p,q},$

这表明对所有的 $q>1$ 和整数 $n\ge 1$, 有

(3.19)$ \begin{equation} {B_n}\le R_{p,q}{n^q}.\end{equation} $

由 Garsia-Rodemich-Rumsey 不等式^[33,34]得: 当 $p>\frac{4}{H}$ 时, 对所有的 $s,t\in [n,n+1]$, 有

$\begin{align*} |F_t-F_s|\le 8\int_0^{ |t-s| }\Psi^{-1}(\frac{4B_n}{u^2})\rho'(u)\mathrm{d} u= 2H\frac{(4B_n)^{\frac{1}{p}}}{H-\frac{4}{p}} |t-s| ^{\frac{H}{2}-\frac{2}{p}}<c_p B_n^{\frac{1}{p}}. \end{align*}$

利用上式及不等式 (3.19), 命题得证.

记混沌随机过程

(3.20)$ \begin{equation} J_T:=I_2(h_T ),\quad T\ge 0, \end{equation} $

同理可得 $\{J_T:\,T>0\}$ 的样本轨道性质

命题3.3 若假设 1.2 成立, 则存在与 $T$ 无关的正常数 $C$ 使得

(3.21)$ \begin{matrix} \sup_{T\ge 0}\mathbb{E} [|J_T| ^2]&< C, \end{matrix} $

且存在与 $T$ 无关的两个正常数 $C$ 和 $\alpha\in (0,1)$ 使得对任意的 $ |t-s| \le 1$, 有

$\begin{align*} \mathbb{E} [|J_t-J_s| ^2]&\le C |t-s| ^{\alpha}. \end{align*}$

且 {$\forall p > \frac{2}{\alpha}, q >1$}, 存在与整数 $n$ 无关的随机常数 $R_{p,q}$, 使得 $\forall n \ge1$ 有不等式

(3.22)$ \begin{matrix} |J_t-J_s|\le R_{p,q} n^{q/p}, \qquad \forall \ t,s\in [n,n+1]. \end{matrix} $

命题3.4 设 $F_T$ 和 $J_T$ 分别由 (3.7) 和 (3.20) 给出. 若假设 1.2 式成立, 则有: $\forall\alpha>0$,

(3.23)$ \begin{matrix} \lim\limits_{T\to \infty}\frac{F_T}{T}=0, \qquad \quad \lim\limits_{T\to \infty}\frac{J_T}{ {T^{\alpha}}}=0, \qquad a.s.. \end{matrix} $

证证明类似于文献 [1,28]. 这里只证 $\lim\limits_{T\to \infty}\frac{F_T}{T}=0$. 当 $H \in (0,\frac{1}{2})$ 时, 由切比雪夫不等式、多重 Wiener-Itô 随机积分的超收缩性和命题 3.1 知: $\forall\epsilon > 0$,

$\begin{equation*}P\left(\frac{|F_n|}{n} > \epsilon \right) \leq \frac{\mathbb{E}F_n^4}{n^4 \epsilon^4} \leq \frac{C\left(\mathbb{E}(F_n^2)\right)^2}{n^4 \epsilon^4} \leq C n^{-2} \,. \end{equation*}$

再由 Borel-Cantelli 引理, $\frac{F_n}{n}$ 几乎必然收敛到 $0$ (当 $n\to \infty$ 时).

因为

$\begin{align*} |\frac{F_T}{T}|\le \frac{1}{T}|F_T-F_n|+ \frac{n}{T}\frac{|F_n|}{n}, \end{align*}$

这里 $n=[T]$ 是不大于 $T$ 的最大整数, 故由命题 3.2 知 $\frac{F_T}{T}$ 几乎必然收敛到 $0$ (当 $T\to \infty$ 时).

由命题 3.4 知: 当 $T \to \infty$ 时, 有

$I_2(g_T) = \frac{F_T - J_T}{2\theta T} \to 0\quad {\rm a.s..}$

下面考虑 $b_T$.

命题3.5 设 $b_T$ 由 (3.5) 式给出. 若假设 1.2 成立, 则有极限

(3.24)$ \begin{matrix} \lim\limits_{T\to\infty}b_T = H\Gamma(2H)\theta^{-2H} >0. \end{matrix} $

证首先由洛必达法则知

$\begin{matrix} \lim\limits_{T\to\infty}b_T&= \lim\limits_{T\to\infty} \left\| {\rm e}^{-\theta (T-\cdot) }\mathbb{1}_{[T]}(\cdot) \right\|^2 _{\mathfrak{H}}. \end{matrix}$

其次, 由文献 [12,24] 知

$\begin{align*} \lim\limits_{T\to\infty} \left\| {\rm e}^{-\theta (T-\cdot) }\mathbb{1}_{[T]}(\cdot) \right\|^2 _{\mathfrak{H}_1}=H\Gamma(2H)\theta^{-2H}. \end{align*}$

由不等式 (2.8) 得

(3.26)$ \begin{matrix} |\left\| {\rm e}^{-\theta (T-\cdot) }\mathbb{1}_{[T]}(\cdot) \right\|^2 _{\mathfrak{H}}- \left\| {\rm e}^{-\theta (T-\cdot) }\mathbb{1}_{[T]}(\cdot) \right\|^2 _{\mathfrak{H}_1}|&\le C|\int_0^T {\rm e}^{-\theta (T-u)} u^{H-1} \mathrm{d} u|^2 \\ &\le C \big(T^{2(H-1)} \wedge 1\big). \end{matrix} $

其中最后一个不等式由引理 5.1 得到. 结合以上三式, 有极限 (3.24) 式成立. 证毕.

注3.2 文献 [24,引理 3.2] 给出极限

$ \frac{1}{T}\int_0^T \left\| {\rm e}^{-\theta (t-\cdot) }\mathbb{1}_{[t]}(\cdot) \right\|^2 _{\mathfrak{H}_1} \mathrm{d} t \to H\Gamma(2H)\theta^{-2H}$

的收敛速度大于等于 $\frac{1}{T}$. 显然当 $H\in (0,\frac12)$ 时, $2(H-1)<-1$. 由不等式 (3.26) 式可知, 存在正常数 $C$ 使得当 $T$ 充分大时, 有不等式

(3.27)$ \begin{equation} |b_T- H\Gamma(2H)\theta^{-2H}| \leq \frac{C}{T }.\end{equation} $

定理 1.1 的证明 由等式 (3.3), (3.4), (3.7) 和 (3.20) 知

$\begin{align*} \frac{1}{T} \int_0^T X_t^2\mathrm{d} t&= I_2(g_T)+b_T=\frac{1}{2\theta}[\frac{F_T}{T} - \frac{J_T}{T}]+ b_T. \end{align*}$

由命题 3.4 和 3.5 知

$\begin{equation*} \lim\limits_{T\to \infty}\frac{1}{T} \int_0^T X_t^2\mathrm{d} t = H\Gamma(2H)\theta^{-2H},\,\,\, {\rm a.s.,} \end{equation*}$

再由连续映射定理知矩估计量 $\tilde{\theta}_T$ 强收敛. 因为

$\begin{align*} \hat{\theta}_T-\theta &=\frac{- \frac{1}{2T} F_T}{ I_2(g_T)+b_T}, \end{align*}$

所以由命题 3.4 和 3.5 知最小二乘估计量 $\hat{\theta}_T$ 也强收敛.

4 渐近正态性和 Berry-Esséen 界

4.1 渐近正态性

命题4.1 设常数 $\delta $ 由 (1.14) 式给出. 若 $H\in (0,\,\frac14)\cup(\frac14,\frac38)$, 则存在正常数 $C_{\theta,H} $ 使得不等式

(4.1)$ \begin{equation} \frac{1}{T}\left\| f_T\otimes_{1} f_T \right\|_{\mathfrak{H}^{\otimes 2}}\le \frac{C_{\theta,H}}{T^{\delta }}, \end{equation} $

成立; 若 $H=\frac14$, 则上界替换为 $\frac{ \log T}{\sqrt{T} }$.

证不失一般性, 假设 $\theta=1$. 对于取定的 $u_1,\,u_2\in [T]$, 有 $f_T(u_1,\cdot),\,f_T(u_2,\cdot)\in \mathcal{V}_{[T]}$. 由推论 2.1, $f_T$ 和 $f_T$ 的一阶压缩为:

$\begin{align*} \left(f_T\otimes_1 f_T\right) (u_1,u_2) &:=<f_T(u_1,\cdot),\,f_T(u_2,\cdot)>_{\mathfrak{H}}\\ &= -\int_{[T]^2} f_T(u_1,v_1) \frac{\partial}{\partial v_2}f_T(u_2,v_2) \frac{\partial }{\partial v_1}R(v_1,\,v_2) \mathrm{d} v_1\mathrm{d} v_2\\ &=\int_{[T]^2}{\rm e}^{-|u_1-v_1|-|u_2-v_2|}\mathrm{sgn}(v_2-u_2) \frac{\partial }{\partial v_1}R(v_1,\,v_2) \mathrm{d} v_1\mathrm{d} v_2\\ & + \int_{[T]}{\rm e}^{-|u_1-v_1|- (T-u_2)} \frac{\partial }{\partial v_1}R(v_1,\,T) \mathrm{d} v_1. \end{align*}$

由三角不等式, 有

(4.2)$ \begin{equation} \|f_T \otimes_1 f_T \|^2_{\mathfrak{H}^{\otimes 2}} \le \left\| f_T \otimes_{1'} f_T \right\|^2_{\mathfrak{H}^{\otimes 2}} + \left\| f_T \otimes_1 f_T-f_T \otimes_{1'} f_T \right\|^2_{\mathfrak{H}^{\otimes 2}}. \end{equation} $

由不等式 (2.9), 若 $H\neq \frac14$, 则有

$\begin{align*} \left\| f_T \otimes_{1'} f_T \right\|^2_{\mathfrak{H}^{\otimes 2}}& \le \left\| f_T \otimes_{1'} f_T \right\|^2_{\mathfrak{H}_1^{\otimes 2}}\\ & +C \Big[\big((\mu\times \mu)(|f_T \otimes_{1'} f_T|)\big)^2+ (\mu\times \mu)\big(|(f_T \otimes_{1'} f_T)\otimes_{1'} (f_T \otimes_{1'} f_T)|\big)\Big]\\ &\le C [ T+T^{2\gamma_1} +T^{\gamma}], \end{align*}$

其中最后一个不等式由文献 [12] 中的不等式 (3.17)、引理 5.4 和引理 5.7 得到. 由分部积分公式得

$\begin{align*} f_T \otimes_1 f_T-f_T \otimes_{1'} f_T= \int_{[T]^2} f_T(u_1,v_1) f_T(u_2,v_2) \frac{\partial ^2 }{\partial v_1 \partial v_2}\big(R(v_1,\,v_2) -R^B(v_1,\,v_2)\big) \mathrm{d} v_1\mathrm{d} v_2, \end{align*}$

用引理 5.5 可知

(4.3)$ \begin{equation} \left\| f_T \otimes_1 f_T-f_T \otimes_{1'} f_T \right\|^2_{\mathfrak{H}^{\otimes 2}}\le {C_{\theta,H}}{T^{2\gamma_1}}. \end{equation} $

比较三个数值 $1,\,2\gamma_1$ 和 $\gamma$, 并记

$\delta_0=\max\{1,\,2\gamma_1,\,\gamma\}=\left\{ \begin{array}{ll} 1, & H\in (0,\frac14],\\ {8H-1}, &\quad H\in (\frac14,\frac12). \end{array} \right.$

则有

$\begin{align*} \left\| f_T \otimes_1 f_T \right\|^2_{\mathfrak{H}^{\otimes 2}} \le CT^{\delta_0}. \end{align*}$

显然 $\delta=1-\frac{\delta_0}{2} $, 因此 (4.1) 成立. $H=\frac14$ 的情况同理可证. 证毕.

定理 1.2 的证明 定义一个依赖于 $\theta$ 和 $H$ 的常数

$a:= H\Gamma(2H)\theta^{-2H}.$

首先, 由命题 3.1、命题 4.1 和定理 2.1 知: 若 $H\in (0,\frac38)$ 时, 则当 $T\to\infty$ 时,有

(4.4)$ \begin{equation} \frac{1}{2\sqrt{T}} F_T \stackrel{ {law}}{\to} \mathcal{N}(0,\,\theta a^2\sigma_{H}^2). \end{equation} $

其次, 回顾等式(3.6)

$\begin{align*} \sqrt{T}( \hat{\theta}_T-\theta) =\frac{-\frac{1}{2\sqrt{T}} F_T}{ I_2(g_T)+b_T}. \end{align*}$

由 Slutsky 定理、命题 3.5 和中心极限定理 (4.4) 知: 若 $H\in (0,\frac38)$, 则中心极限定理 (1.10) 式成立.

再次, 若 $H\in (0,\frac38)$, 则如下中心极限定理成立

(4.5)$ \begin{matrix} \sqrt{T}\Big(\frac{1}{T} \int_0^T X_s^2\mathrm{d} s - a \Big) \stackrel{ {law}}{\to} \mathcal{N}(0,\,a^2\sigma_{H}^2/\theta). \end{matrix} $

事实上, 我们有

(4.6)$ \begin{matrix} \sqrt{T}\Big(\frac{1}{T} \int_0^T X_s^2\mathrm{d} s - a \Big)&= \frac{1}{2\theta}\Big[\frac{F_T}{\sqrt{T}} - \frac{J_T}{\sqrt{T}}\Big]+ \sqrt{T} \big(b_T-a). \end{matrix} $

由不等式 (3.27)得

$ \lim\limits_{T\to\infty} \sqrt{T} \big(b_T-a)=0.$

由命题 3.3 和命题 3.4 知: 当 $T\to\infty$ 时, $\frac{J_T}{\sqrt{T}}\to 0 $ a.s.. 再次使用 Slutsky 定理可得中心极限定理 (4.5) 成立.

最后, 因为

$\begin{align*} \tilde{\theta}_T=\Big( \frac{1}{ {H} \Gamma(2H )T} \int_0^T X_s^2\mathrm{d} s\Big)^{-\frac{1}{2H}}, \end{align*}$

所以由标准的 Delta 方法知: 若 $H\in (0,\frac38)$, 则渐近正态性 (1.11) 成立. 证毕.

4.2 Berry-Esséen 界

命题4.2 令数值 $\delta $ 由 (1.14) 式给出. 设 Wiener-Itô 二重随机积分 $F_T,\,J_T $ 分别由 (3.7) 式和 (3.20) 式给出. 定义 Wiener-Itô 二重随机积分

$Q_T := \frac{F_T-J_T }{ \sqrt{T}}.$

则存在正常数 $C_{\theta, H}$, 使得当 $H\neq \frac14$ 且 $T$ 充分大时, 有

(4.7)$\begin{matrix} \sup_{z\in \mathbb{R} }| P(\frac{1}{\sqrt{ 4\theta a^2\sigma_{H}^2}} Q_T\le z)- \Phi( z) |\le \frac{ C_{\theta, H}}{{T^{\delta}}}, \end{matrix}$

其中 $\Phi(z)$ 为标准正态分布; 当 $H= \frac14$ 时, 上界替换为 $\frac{\log T}{\sqrt{T} }$.

注4.1 由文献 [35,推论 5.2.10], 不等式 (4.7) 中的距离可以改进为全变差距离.

证我们沿着文献 [1,命题 5.3] 的证明方法. 首先, 由四阶矩类型的 Berry-Esséen 界 (例如文献 [35,推论 5.2.10]) 得

$\begin{align*} \sup_{z\in \mathbb{R} }| P(\frac{1}{\sqrt{ 4\theta a^2\sigma_{H}^2}} Q_T\le z)- \Phi( z) |\le 2\Bigg[\sqrt{\frac{\mathbb{E}[Q_T^4]-3 \mathbb{E}[Q_T^2]^2}{3 \mathbb{E}[Q_T^2]^2} } + \frac{|\mathbb{E}[Q_T^2]- {4}\theta a^2\sigma_{H}^2 |}{\mathbb{E}[Q_T^2] \vee ( {4}\theta a^2\sigma_{H}^2)}\Bigg]. \end{align*}$

由注 3.1, 不等式 (3.21) 和引理 5.10 可得

$\begin{align*} \frac{|\mathbb{E}[Q_T^2]- {4}\theta a^2\sigma_{H}^2 |}{\mathbb{E}[Q_T^2] \vee ( {4}\theta a^2\sigma_{H}^2)}\le C\times (T^{2H-1}+T^{-1}+T^{(4H-1)_{+}-1}\log T) \le C T^{2H-1}. \end{align*}$

显然 $1-2H\ge \delta$. 故只需证当 $T$ 充分大时, 有不等式

(4.8)$ \begin{matrix} \mathbb{E} [Q_T^4]-3 \mathbb{E} [Q_T^2]^2\le \frac{C}{T^{ 2\delta }} \end{matrix} $

即可. 而这由文献 [1,(5.8) 式], 及以下三个估计可以得到.

由命题 4.1 得

$\begin{align*} \mathbb{E} \left[\left(\frac{F_T }{ \sqrt{T}}\right)^4\right] -3 \left[\mathbb{E} \left(\frac{F_T }{ \sqrt{T}}\right)^2\right]^2 \le C \left(\frac{1}{T}\|f_T \otimes_1 f_T\|_{\mathfrak{H}^{\otimes 2}}\right)^2\le \frac{C}{T^{2\delta}} \,. \end{align*}$

由柯西-施瓦茨不等式及引理 5.10 知: 若 $H\neq \frac14$, 则有

$\begin{align*} | \left[\mathbb{E} [Q_T^2]\right]^2 - \left[\mathbb{E} \left(\frac{F_T }{ \sqrt{T}}\right)^2\right]^2 |&\le \mathbb{E} \left[ Q_T^2 +\left(\frac{F_T }{ \sqrt{T}}\right)^2\right] \mathbb{E} | { \frac{J_T }{ \sqrt{T}} \left(\frac{J_T-2 F_T }{\sqrt{T}} \right) } | \\ & \le {C}\times \frac{1}{ {T}^{1-(4H-1)_{+} }} \le \frac{C}{T^{2\delta}}. \end{align*}$

由引理 5.10, 命题 4.1 及文献 [1,(5.9) 式] 知: 若 $H\neq \frac14$, 则有

$\begin{align*} \frac{1}{T^2}| \mathbb{E} [F_T^3 J_T] |&\le \frac{2}{T^2}\Big[ \left\| f_T {\otimes}_1f_T \right\|_{\mathfrak{H}^{\otimes 2}} \left\| f_T \right\|_{\mathfrak{H}^{\otimes 2}} \left\| h_T \right\|_{\mathfrak{H}^{\otimes 2}} +\left\| f_T \right\|_{\mathfrak{H}^{\otimes 2}}^2 |< f_T,\, h_T>_{\mathfrak{H}^{\otimes 2}} |\Big] \\ & \le \frac{C}{T^2}\times\big[ T^{\frac32-\delta}+T^{1+ (4H-1)_{+}} \big] \le \frac{C}{T^{2\delta}}. \end{align*}$

最后, $H=\frac14$ 的情况同理可得.

定理 1.3 的证明 设 $a= H\Gamma(2H)\theta^{-2H} $, $b_T$ 由 (3.5) 式给出. 由注 (3.2) 和注 3.1 知: 存在正常数 $C$, 使得当 $T$ 充分大时, 有

$\begin{align*} |b_T^2-\frac{\left\| f_T \right\|^2_{\mathfrak{H}^{\otimes 2}}}{2\theta \sigma^2_{H}T}|\le |b_T^2- a^2|+ |\frac{\left\| f_T \right\|^2}{2\theta \sigma^2_{\beta}T}-a^2| \le C\times [\frac{1}{T}+ \frac{1}{T^{ 1-2H}}]\le \frac{C}{T^{1-2H}}. \end{align*}$

先回顾 (3.3) 式 $g_T$ 的定义, 再由命题 3.1 和 3.3 知, 存在正常数 $C$, 使得 $T$ 充分大时, 有

$\begin{align*} \left\| g_T \right\|_{\mathfrak{H}^{\otimes 2}}\le \frac{C}{\sqrt{T}}. \end{align*}$

再由文献 [推论 1] 得: 若 $H\neq \frac14$, 则存在不依赖于 $T$ 的正常数 $C$, 使得当 $T$ 对充分大时, 有不等式

$\begin{align*} & \sup_{z\in \mathbb{R} }|P\Big(\sqrt{\frac{T}{\theta \sigma^2_{H}} }(\hat{\theta}_T-\theta )\le z\Big)-\Phi(z)| \\ & \le C \times \max \Big(|b_T^2-\frac{\left\| f_T \right\|_{\mathfrak{H}^{\otimes 2}}^2}{2\theta \sigma^2_{H}T}|,\,\frac{1}{T}\left\| f_T\otimes_1 f_T \right\|,\, \left\| \frac{f_T}{\sqrt{T}} \right\| \cdot\left\| g_T \right\|,\, \left\| g_T \right\|_{\mathfrak{H}^{\otimes 2}}^2 \Big) \\ &\le C\times [\frac{1}{T^{1-2H}}+\frac{1}{T^{\delta}}+ \frac{1}{\sqrt{T}}], \end{align*}$

其中最后一个不等式由命题 3.1 和 4.1 得到. 比较数值 $1/2,\, 1-2H$, 及 $\delta$, 显然最小的是 $\delta$. 故最小二乘估计 $\hat{\theta}_T$ 的 Berry-Esséen 类上界由 (1.12) 式给出.

矩估计 $\,\tilde{\theta}_T$ 的 Berry-Esséen 类上界 (1.13) 可由文献 [13,定理3.2] 方法得到. 详见文献 [1] 定理 1.3 的证明. 我们仅指出 (1.13) 式可由命题 4.2 和以下估计得到

(4.9)$ \begin{matrix} \sup_{z> -c \sqrt{T}}\Big[ | {\Phi} \left(\nu(z)- \frac{ { \sqrt{\theta T}} (b_T-a)}{\sqrt{ a^2\sigma_{H}^2}} \right)- {\Phi}(\nu(z)) | + |\bar{\Phi}(\nu(z))-\Phi( z) |\Big]\le \frac{C}{\sqrt{T}}, \end{matrix} $

其中 $c=\frac{2H\sqrt{\theta}}{\sigma_H}$, $ \bar{\Phi}(z)=1-\Phi( z)$ 且

$ \nu(z)= \frac{c}{ 2H} \sqrt{T} \Big[ \big( 1+\frac{z }{c \sqrt{T}}\big)^{-2H}-1 \Big]. $

估计 (4.9) 式由文献 [1] 的引理 5.4、注 (3.2) 和高斯分布的基本不等式

$|\Phi(z_1)-\Phi(z_2)|\leq|z_1-z_2|$

而得到. 证毕.

5 附录

本节将反复利用引理 5.1 中的几个不等式, 因其基本上是平凡的, 故略去其证明.

引理5.1 设 $\beta>0$ 且 $\theta>0$. 定义

$A(s)= \int_0^{s} {\rm e}^{-\theta r} r^{\beta -1}\mathrm{d} r,\qquad \bar{A}(s)={\rm e}^{-\theta s}\int_0^{s} {\rm e}^{\theta r} r^{\beta -1}\mathrm{d} r. $

则存在正常数 $C$ 使得: $\forall s\in [0,\infty)$, 有不等式

$\begin{align*} A(s)&\le C \times\big(s^{\beta}\mathbb{1}_{[0,1]}(s) + \mathbb{1}_{ (1,\,\infty)}(s)\big)\le C \times(1\wedge s^{\beta}), \\ \bar{A}(s)&\le C \times\big(s^{\beta}\mathbb{1}_{[0,1]}(s) + s^{\beta-1}\mathbb{1}_{ (1,\,\infty)}(s)\big)\le C \times \big (s^{\beta-1} \wedge s^{\beta} \big). \end{align*}$

特别地, 若 $\beta\in (0,1)$, 则存在正常数 $C$, 使得 $\forall s\in [0,\infty)$, 有不等式

$\begin{align*} \bar{A}(s)&\le C \times(1\wedge s^{\beta-1}),\\ \int_0^{\infty} {\rm e}^{-\theta |r-s|} r^{\beta-1}\mathrm{d} r&\le C \times (1\wedge s^{\beta-1}),\\ \int_0^{s } {\rm e}^{-\theta |r-t|} (s-r)^{\beta-1}\mathrm{d} r&\le C \times (1\wedge (s-t)^{\beta-1}),\qquad t\in [s]. \end{align*}$

以下是引理 5.1 的两个推论.

推论5.1 若 $H\in (0,\frac12)$, 则存在不依赖于 $T$ 的正常数 $C$, 使得 $\forall t\in [T]$, 有不等式

$\begin{align*} \int_0^{T } {\rm e}^{- |r-t|} {\frac{\partial }{\partial r}R^B(r,\,T) }\mathrm{d} r&\le C \times [1\wedge t^{2H-1} +1\wedge (T-t)^{2H-1}], \end{align*}$

且 $\forall s\in [T]$, 有不等式

$\begin{align*} & \int_0^s {\rm e}^{r-s} {\frac{\partial }{\partial r}R^B(r,\,T)}\mathrm{d} r \le C \times[1\wedge s^{2H-1} +1\wedge (T-s)^{2H-1}]\le C\times {\frac{\partial }{\partial s}R^B(s,\,T) },\\ & \int_0^s {\rm e}^{r-T} |\frac{\partial }{\partial r}R^B(r,\,s)|\mathrm{d} r \le C \times[1\wedge s^{2H-1} +1\wedge (T-s)^{2H-1}] \le C\times {\frac{\partial }{\partial s}R^B(s,\,T) },\\ &\int_s^T {\rm e}^{r-T} |\frac{\partial }{\partial r}R^B(r,\,s) | \mathrm{d} r \le C\times \big[1\wedge (T-s)^{2H-1}\big],\\ &\int_0^s {\rm e}^{r-T} |\frac{\partial }{\partial s}R^B(r,\,s)|\mathrm{d} r \le C\times \big[1\wedge (T-s)^{2H-1}\big],\\ &\int_s^T {\rm e}^{r-T} |\frac{\partial }{\partial s}R^B(r,\,s) | \mathrm{d} r \le C \times[ s^{2H-1} +1\wedge (T-s)^{2H-1}]\le C\times {\frac{\partial }{\partial s}R^B(s,\,T) }. \end{align*}$

记号5.1 $\forall v, w\in [T]$, 定义

(5.1)$ \begin{matrix} \psi(w, T)&=\mu({\rm e}^{-|\cdot-w| }\mathbb{1}_{ [T]}(\cdot))=\int_{0}^{T} {\rm e}^{-|u-w| } u^{H-1}\mathrm{d} u, \end{matrix} $

(5.2)$ \begin{matrix} \phi(v, T)&= \int_0^T \psi(w, T) |\frac{\partial }{\partial v}R^B(v,\,w) | \mathrm{d} w=\int_{[T]^2} {\rm e}^{-|u-w|}u^{H-1} |\frac{\partial }{\partial v}R^B(v,\,w) | \mathrm{d} u \mathrm{d} w. \end{matrix} $

显然

(5.3)$\begin{matrix} \frac{\partial }{\partial T}\psi(w,T)= {\rm e}^{w-T} T^{H-1}, \end{matrix} $

由引理 5.1, 存在不依赖于 $T$ 的正常数 $C$ 使得

(5.4)$ \begin{matrix} \psi(T,T)&\le C T^{H-1}, \end{matrix} $

且

(5.5)$\begin{matrix} \int_{0 }^{ T} \psi(w,T) \big((T-w)^{2H-1}+w^{2H-1} \big) \mathrm{d} w&\le C \times \left\{ \begin{array}{ll} T^{(3H-1)_{+}}, & \text{若 } H\in (0,\frac13)\cup(\frac13,\frac12),\\ \log T, & \text{若 } H= \frac13. \end{array} \right. \end{matrix} $

其中 $a_{+}=\max \{a,0\}$.

推论5.2 若 $H\in (0,\frac12)$, 则存在不依赖于 $T$ 的正常数 $C$, 使得

(5.6)$ \begin{matrix} 0< {\frac{\partial \phi(v, T)}{\partial T}}\le C\times T^{H-1} \times {\frac{\partial }{\partial v}R^B(v,\,T) }, \qquad \forall v\in [T]. \end{matrix} $

证对 (5.2) 式关于 $T$ 求偏导得

(5.7)$ \begin{matrix} \frac{\partial \phi(v, T)}{\partial T}= |\frac{\partial }{\partial v}R^B(v,\,T) | \int_0^T {\rm e}^{-(T-u)} u^{H-1}\mathrm{d} u+ T^{H-1}\int_0^T {\rm e}^{-(T-w)} |\frac{\partial }{\partial v}R^B(v,\,w) |\mathrm{d} w. \end{matrix} $

由引理 5.1 和推论 5.1 知: 若 $H\in (0,\frac12)$, 则有

$\begin{align*} |\frac{\partial }{\partial v}R^B(v,\,T) | \int_0^T {\rm e}^{-(T-u)} u^{H-1}\mathrm{d} u\le C\times T^{H-1} \times {\frac{\partial }{\partial v}R^B(v,\,T) }; \end{align*}$

且

$\begin{align*} \int_0^T {\rm e}^{-(T-w)} |\frac{\partial }{\partial v}R^B(v,\,w) |\mathrm{d} w &= \bigg(\int_0^v+\int_v^T\bigg) {\rm e}^{-(T-w)} |\frac{\partial }{\partial v}R^B(v,\,w) |\mathrm{d} w \\ &\le C \times {\frac{\partial }{\partial v}R^B(v,\,T) }. \end{align*}$

将上述两个不等式代入 (5.7) 式即得 (5.6) 式.

引理5.2 记 $B(\cdot,\cdot)$ 为 Beta 函数. 设 $\phi(\cdot, T)$ 由 (5.2) 式给出. 若 $H\in (0,\frac12)$, 则

(5.8)$ \begin{matrix} \lim\limits_{T\to \infty} \frac{ \phi(T, T) }{T^{3H-1}} =\lim\limits_{T\to \infty}\frac{1}{T^{3H -1}} \int_0^T \phi(v, T) {\rm e}^{v-T} \,\mathrm{d} v=2\big[B(2H,\,H)H-1\big]. \end{matrix} $

若 $\beta> -1$, 则存在不依赖于 $T$ 的正常数 $C$ 使得当 $T\ge 1$ 时, 有

(5.9)$ \begin{matrix} \int_1^T \phi(v, T)v^{\beta} \,\mathrm{d} v \le C \times \left\{ \begin{array}{ll} T^{H }, & \quad \beta \in (-1,-2H ),\\ T^{H }\log T, & \quad \beta=-2H,\\ T^{3H+\beta },& \quad \beta>-2H. \end{array} \right. \end{matrix} $

其次, 若 $\beta> -2H$, 则存在不依赖于 $T$ 的两个正常数 $c $ 及 $C$, 使得

(5.10)$ \begin{matrix} c\le\liminf_{T\to \infty}\frac{1}{T^{3H+\beta}} \int_0^T \phi(v, T)v^{\beta} \,\mathrm{d} v\le \limsup_{T\to \infty}\frac{1}{T^{3H+\beta}} \int_0^T \phi(v, T)v^{\beta} \,\mathrm{d} v \le C. \end{matrix} $

证首先, 容易知道

(5.11)$ \begin{matrix} \frac{ \phi(T, T) }{T^{3H-1}} &= \frac{H}{T^{3H-1}} \Big(\int_{ 0\le u\le w\le T}+\int_{ 0\le w\le u\le T}\Big) {\rm e}^{-|u-w|}u^{H-1} ((T-w)^{2H-1}-T^{2H-1})\mathrm{d} u \mathrm{d} w, \end{matrix} $

且, 上式中后项的极限为: 当 $T\to \infty$ 时,

$\begin{align*} & \frac{1}{T^{3H-1}} \times T^{2H-1} \Big(\int_{ 0\le u\le w\le T}+\int_{ 0\le w\le u\le T}\Big) {\rm e}^{-|u-w|}u^{H-1}\mathrm{d} u \mathrm{d} w\to \frac2H. \end{align*}$

(5.11) 式前项则记为

$\begin{align*} & \frac{1}{T^{3H-1}} \Big(\int_{ 0\le u\le w\le T}+\int_{ 0\le w\le u\le T}\Big) {\rm e}^{-|u-w|}u^{H-1} (T-w)^{2H-1} \mathrm{d} u \mathrm{d} w:=J_{1}+J_{2}. \end{align*}$

由变量替换 $a=T-w,\,z=a+u$ 和洛必达法则, 有

$\begin{align*} \lim\limits_{T\to \infty} J_{1}&=\lim\limits_{T\to \infty} \frac{1}{{\rm e}^T T^{3H-1} } \int_0^{T} {\rm e}^{z} \mathrm{d} z\int_0^{z} a^{2H-1}(z-a)^{H-1}\mathrm{d} a = B(2H,\,H). \end{align*}$

同理, 由变量替换 $a=T-w$ 和洛必达法则, 有

$\begin{align*} \lim\limits_{T\to \infty} J_{2}&=\lim\limits_{T\to \infty} \frac{1}{ {\rm e}^{-T} T^{3H-1}} \int_0^{T} {\rm e}^{-u} u^{H-1}\mathrm{d} u\int_{T-u}^{T} {\rm e}^{-a} a^{2H-1}\mathrm{d} a =B(2H,\,H). \end{align*}$

将这三个极限代入 (5.11) 式, 得极限 (5.8) 式.

由洛必达法则和推论 5.2 知

$\begin{align*} \lim\limits_{T\to \infty}\frac{1}{T^{3H-1 }} \int_0^T \phi(v, T){\rm e}^{v-T} \,\mathrm{d} v &= \lim\limits_{T\to \infty}\frac{ 1}{{\rm e}^T T^{3H-1 }} \big[\phi(T, T){\rm e}^{T}+ \int_0^T {\frac{\partial \phi(v, T)}{\partial T} }{\rm e}^{v}\,\mathrm{d} v \big]\\ &= \lim\limits_{T\to \infty}\frac{ \phi(T, T)}{ T^{3H-1 }}=2\big[B(2H,\,H)H-1\big]. \end{align*}$

且若 $\beta> -2H$, 则有上下极限关系

$\begin{align*} \liminf_{T\to \infty}\frac{1}{T^{3H+\beta}} \int_0^T \phi(v, T)v^{\beta} \,\mathrm{d} v &\ge c\lim\limits_{T\to \infty}\frac{ \phi(T, T)}{T^{3H-1}}\ge c,\\ \limsup_{T\to \infty}\frac{1}{T^{3H+\beta}} \int_0^T \phi(v, T) v^{\beta} \,\mathrm{d} v &\le C \lim\limits_{T\to \infty}\frac{1}{T^{3H+\beta-1}} \big[{ \phi(T, T)T^{\beta}\!+\! T^{H-1}\!\int_0^T |\frac{\partial R^B(v, T)}{\partial v} |v^{\beta}\,\mathrm{d} v }\big]\\ &<\infty. \end{align*}$

对最后一个极限稍加修改, 可得不等式 (5.9). 证毕.

推论5.3 设函数 $\phi(v, T)$ 由 (5.2) 式给出. 若 $H\in (0,\frac12)$, 则存在不依赖于 $T$ 的正常数 $C$, 使得当 $T\ge 1$ 时, 有

(5.12)$ \begin{equation} \int_0^T \phi(v, T)(v^{2H-1}\wedge 1) \mathrm{d} v \le C \times \left\{ \begin{array}{ll} T^{\gamma_2 }, & H \neq \frac14,\\ T^{\gamma_2 } \log T, & \quad H =\frac14, \end{array} \right. \end{equation} $

其中

$\begin{equation*} \gamma_2{=}\left\{ \begin{array}{ll} {H}, & H\in (0,\frac14],\\ { {5H-1 }}, & \quad H\in (\frac14,\frac12). \end{array} \right. \end{equation*}$

证首先,

(5.13)$ \begin{matrix} \int_0^T \phi(v, T)(v^{2H-1}\wedge 1) \mathrm{d} v = \int_{0}^1 \phi(v,T) \mathrm{d} v + \int_{1}^T \phi(v,T) v^{2H-1}\mathrm{d} v. \end{matrix} $

由不等式 (5.9) 知: 若 $H\in (0,\frac12)$,

(5.14)$ \begin{equation} \int_{1}^T \phi(v,T) v^{2H-1}\mathrm{d} v\le C \times \left\{ \begin{array}{ll} T^{\gamma_2 }, & H \neq \frac14,\\ T^{\gamma_2 } \log T, \quad &H =\frac14, \end{array} \right. \end{equation} $

由洛必达法则和推论 5.2 知, 若 $T\ge 1$ 则

$\begin{align*} \limsup_{T \to \infty} \frac{1}{T^{H}}{\int_0^1 \phi(v,T) \mathrm{d} v } &\le \limsup_{T \to \infty} \frac{C}{T^{H-1}}{\int_0^1 T^{H-1}\frac{\partial }{\partial v}R^B(v,\,T) \mathrm{d} v }\notag\\ &\le C \int_0^1 v^{2H-1}+ (1-v)^{2H-1} \mathrm{d} v<\infty, \end{align*}$

这意味着存在不依赖于的正常数 $C$, 使得若 $T\ge 1$ 则

(5.15)$ \begin{matrix} \int_0^1 \phi(v,T) \mathrm{d} v\le C T^{H}. \end{matrix} $

将不等式 (5.14)-(5.15) 代入 (5.13) 式, 即得 (5.16) 式.

引理5.3 设函数 $\phi(v, T)$ 由 (5.2) 式给出. 令

$ \chi(T)=\frac{1}{T^{5H-1}}\int_0^T \phi(v, T) (T-v)^{2H-1}\mathrm{d} v.$

若 $H\in (0,\frac12)$, 则存在不依赖于 $T$ 的两个正常数 $c,C$, 使得当 $T\ge 1$ 有

(5.16)$ \begin{matrix} c\le \liminf_{T \to \infty}\chi(T) \le \limsup_{T \to \infty} \chi(T)\le C. \end{matrix} $

证首先, 把 $ \chi(T)$ 的积分区域 $[T]^3$ 按 $u,v,w$ 的次序划分为

$\begin{align*} \chi(T)&=\frac{1}{T^{5H-1}}\int_{[T]^3} {\rm e}^{-|u-w|}u^{H-1} |\frac{\partial }{\partial v}R^B(v,\,w) | (T-v)^{2H-1}\mathrm{d} u \mathrm{d} v \mathrm{d} w\\ &= \frac{1}{T^{5H-1}}\bigg(\int_{T>w>v,u>0}+\int_{T>u>w>v>0}+\int_{T>u>v>w>0}+\int_{T>v>w>u>0}+\int_{T>v>u>w>0}\bigg) \\ & \times {\rm e}^{-|u-w|}u^{H-1} |\frac{\partial }{\partial v}R^B(v,\,w) |(T-v)^{2H-1}\mathrm{d} v\mathrm{d} u \mathrm{d} w\\ &:=H\times (I_1+I_2+I_3+I_4+I_5), \end{align*}$

其中

$\begin{align*} I_1&= \frac{1}{T^{5H-1} }\int_{T>w>v,u>0} {\rm e}^{u-w}u^{H-1} \big(v^{2H-1}+(w-v)^{2H-1}\big) (T-v)^{2H-1}\mathrm{d} v\mathrm{d} u \mathrm{d} w\\ & := I_{11}+I_{12}. \end{align*}$

由洛必达法则得

$\begin{matrix} \limsup_{T \to \infty} I_{11}&\le \limsup_{T \to \infty}\frac{1}{T^{5H-1}}{\int_0^T{\rm e}^{-w}\mathrm{d} w \int^{w}_0 {\rm e}^{u}u^{H-1}\mathrm{d} u} {\int^{T}_0v^{2H-1}(T-v)^{2H-1}\mathrm{d} v} \notag\\ &=\frac{B(2H,2H)}H. \end{matrix}$

由变量替换 $a=w-v,b=T-v$ 及洛必达法则, 有

$\begin{matrix} \lim\limits_{T \to \infty} I_{12}&=\lim\limits_{T \to \infty}\frac{1}{{\rm e}^TT^{5H-1}} {\int_0^Tb^{2H-1}\mathrm{d} b\int^{b}_0a^{2H-1}\mathrm{d} a\int^{T-b+a}_0u^{H-1}{\rm e}^{u+b-a}\mathrm{d} u}\nonumber\\ &=\lim\limits_{T \to \infty} \frac1{T^{5H-1}}\int_0^Tb^{2H-1}\mathrm{d} b\int^{b}_0a^{2H-1}(T-b+a)^{H-1}\mathrm{d} a\notag \\ &= \int_0^1y^{2H-1}\mathrm{d} y\int^{y}_0 x^{2H-1}(1-y+x)^{H-1}\mathrm{d} x.\end{matrix}$

其次, 同理可得

(5.19)$ \begin{matrix} \limsup_{T \to \infty} I_2&=\limsup_{T \to \infty} \frac{1}{T^{5H-1}} { \int_{T>u>w>v>0} {\rm e}^{w-u}u^{H-1} \big(v^{2H-1}\!+\!(w\!-\!v)^{2H-1}\big) (T\!-\!v)^{2H-1}\mathrm{d} v\mathrm{d} u \mathrm{d} w }\notag \\ &\le \frac{B(2H,2H)}H+ \lim\limits_{T \to \infty} \frac1{{\rm e}^{-T}T^{5H-1}}{\int_0^Tb^{2H-1}\mathrm{d} b\int^{b}_0 a^{2H-1}\mathrm{d} a\int^T_{T+a-b}{\rm e}^{a-b-u}u^{H-1}\mathrm{d} u}\nonumber\\ &=\frac{B(2H,2H)}H+ \int_0^1y^{2H-1}\mathrm{d} y\int^{y}_0 x^{2H-1}(1-y+x)^{H-1}\mathrm{d} x. \end{matrix} $

再次, 当 $T\to \infty$ 时, 有

(5.20)$ \begin{matrix} I_3& \le \frac{1}{T^{5H-1}} {\int^{T}_0 u^{H-1}\mathrm{d} u \int_0^{u}{\rm e}^{v-u}(T-v)^{2H-1}\mathrm{d} v\int^{v}_0{\rm e}^{w-v}(v-w)^{2H-1}\mathrm{d} w}\notag\\ & \le \frac{1}{T^{5H-1}} \int^{T}_0 u^{H-1} (T-u)^{2H-1}\mathrm{d} u=B(2H,H)\frac{1}{T^{2H}} \to 0, \end{matrix} $

且, 由引理 5.1 得

(5.21)$ \begin{matrix} I_4 &\le \frac{1}{T^{5H-1}} \int_0^T (T-v)^{2H-1}\mathrm{d} v\int_0^v (v-w)^{2H-1}\mathrm{d} w \int_0^w {\rm e}^{u-w}u^{H-1}\mathrm{d} u \notag\\ &\le \frac{C}{T^{5H-1}} \int_0^T (T-v)^{2H-1}\mathrm{d} v\int_0^v (v-w)^{2H-1} w^{H-1}\mathrm{d} w =C\times \frac{\Gamma(2H)\Gamma(2H)\Gamma(H)}{\Gamma(5H)}, \end{matrix} $

(5.22)$ \begin{matrix} I_5 &\le \frac{1}{T^{5H-1}} \int_0^T (T-v)^{2H-1}\mathrm{d} v\int_0^v u^{H-1}\mathrm{d} u \int_0^u {\rm e}^{w-u} (v-w)^{2H-1}\mathrm{d} w\notag\\ &\le \frac{1}{T^{5H-1}} \int_0^T (T-v)^{2H-1}\mathrm{d} v\int_0^v (v-u)^{2H-1} u^{H-1}\mathrm{d} u = \frac{\Gamma(2H)\Gamma(2H)\Gamma(H)}{\Gamma(5H)}. \end{matrix} $

最后, 结合极限 (5.17)-(5.22), 即得 (5.16) 式. 证毕.

记号5.2 令 $\delta_a(\cdot)$ 为以点 $a$ 为中心的狄拉克单点测度.

记号5.3 记函数 $f_T(u,v)$ 由 (3.1) 式给出. 定义函数 $f_T$ 和 $f_T$自身的一阶压缩为

$\kappa (u_1,u_2) = f_T\otimes_{1'} f_T,$

它是 $\mathfrak{H}_1^{\otimes 2}$ 中的函数.

引理5.4 若 $H\in (0,\frac12)$, 则存在不依赖于 $T$ 的正常数 $C$, 使得当 $T\ge 1$ 时, 有

(5.23)$ \begin{equation} (\mu\times \mu) (|\kappa|) \le C T^{\gamma_1}, \end{equation} $

其中 $\forall\epsilon>0$,

(5.24)$ \begin{equation} \gamma_1=\left\{ \begin{array}{ll} {H}, & H\in (0,\frac13),\\ {H+\epsilon}, & \quad H=\frac13,\\ {4H-1}, & H\in (\frac13,\frac12). \end{array} \right. \end{equation} $

证不失一般性, 设 $\theta=1$. 首先, 因对任意的 $-\infty<a<b<\infty$, 有

(5.25)$ \begin{matrix} \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \mathbf{1}_{[a,b]}(x) =\delta_a(x)-\delta_b(x), \end{matrix} $

故当 $u_1,u_2\in [T]$ 时,

$\begin{align*} \kappa(u_1,u_2)&=-\int_{[T]^2} f_T(u_1,v_1) \frac{\partial}{\partial v_2} f_T(u_2,v_2) \frac{\partial R^B(v_1,v_2)}{\partial v_1} \mathrm{d} v_1\mathrm{d} v_2\\ &=-\int_{[T]^2} {\rm e}^{-|u_1-v_1|-|u_2-v_2|} \mathrm{sgn} (u_2-v_2) \frac{\partial R^B(v_1,v_2)}{\partial v_1} \mathrm{d} v_1\mathrm{d} v_2\\ & -\int_{[T]^2} {\rm e}^{-|u_1-v_1| - |v_2-u_2|} \frac{\partial R^B(v_1,v_2)}{\partial v_1} (\delta_0(v_2)-\delta_T(v_2)) \mathrm{d} v_1\mathrm{d} v_2\\ &:=H\times (I_1+I_2). \end{align*}$

显然

$\begin{align*} |I_1|&\le {\int_{0\le v_1\le v_2 \le T} {\rm e}^{-|u_1-v_1|-|u_2-v_2|} \big((v_2-v_1)^{2H-1}+v_1^{2H-1} \big) \mathrm{d} v_1\mathrm{d} v_2}\\ & + {\int_{0\le v_2\le v_1\le T} {\rm e}^{-|u_1-v_1|-|u_2-v_2|} (v_1-v_2)^{2H-1} \mathrm{d} v_1\mathrm{d} v_2}\\ &:=I_{11}+I_{12}, \end{align*}$

且

$ I_2={\rm e}^{- (T-u_2)} \int_{[T]} {\rm e}^{-|u_1-v_1|} \big((T-v_1)^{2H-1}+v_1^{2H-1} \big) \mathrm{d} v_1. $

因此

(5.26)$ \begin{matrix} (\mu\times \mu)( |\kappa|)\le H\times (\mu\times \mu)(I_{11}+I_{12}+I_2 ). \end{matrix} $

其次, 回顾由 (5.1) 式给出的函数 $\psi(\cdot,T)$. 再由洛必达法则、等式 (5.3)、不等式 (5.4)-(5.5) 及推论 5.1 知: 若 $H\in (0,\frac12)$, 则有

(5.27)$ \begin{matrix} & \limsup_{T\to \infty}\frac{1}{T^{\gamma_1}} (\mu\times \mu)( I_{11} )\notag \\ &=\limsup_{T\to \infty}\frac{1}{T^{\gamma_1}} \int_{0\le v_1\le v_2\le T} \psi(v_1,T)\psi(v_2,T) \big((v_2-v_1)^{2H-1}+v_1^{2H-1} \big) \mathrm{d} v_1\mathrm{d} v_2 \\ &=\limsup_{T\to \infty}\frac{1}{\gamma_1T^{\gamma_1-1}} \psi(T,T) \int_{0 }^{ T} \psi(v_1,T) \big((T-v_1)^{2H-1}+v_1^{2H-1} \big) \mathrm{d} v_1 \notag\\ & +\limsup_{T\to \infty}\frac{1}{\gamma_1 T^{\gamma_1-H}} \int_{0\le v_1\le v_2\le T} [{\rm e}^{v_2-T}\psi(v_1,T) +{\rm e}^{v_1-T}\psi(v_2,T)] \\ & \times\big((v_2-v_1)^{2H-1}+v_1^{2H-1} \big) \mathrm{d} v_1 \mathrm{d} v_2 \notag\\ &\le \limsup_{T\to \infty}\frac{C}{ T^{\gamma_1-H}} \int_{0 }^{ T} \psi(v,T) \big((T-v)^{2H-1}+v^{2H-1} \big) \mathrm{d} v <\infty, \notag \end{matrix} $

及

(5.28)$ \begin{matrix} & \limsup_{T\to \infty} \frac{1}{T^{\gamma_1}} {(\mu\times \mu)( I_{12} ) } \notag \\ &= \limsup_{T\to \infty} \frac{1}{T^{\gamma_1}} \int_{0\le v_2\le v_1\le T} \psi(v_1,T)\psi(v_2,T) |\frac{\partial R^B(v_1,v_2)}{\partial v_1}| \mathrm{d} v_1\mathrm{d} v_2 \\ &\le \limsup_{T\to \infty}\frac{1}{ \gamma_1T^{\gamma_1-1}} \psi(T,T) \int_{0 }^{ T} \psi(v_2,T) (T-v_2)^{2H-1} \mathrm{d} v_2\notag\\ & +\limsup_{T\to \infty} \frac{1}{ \gamma_1 T^{\gamma_1-H}} \int_{0\le v_2\le v_1\le T} [{\rm e}^{v_2-T}\psi(v_1,T) +{\rm e}^{v_1-T}\psi(v_2,T)] (v_1-v_2)^{2H-1} \mathrm{d} v_1\mathrm{d} v_2\notag\\ &\le \limsup_{T\to \infty}\frac{C}{ T^{\gamma_1-H}} \int_{0 }^{ T} \psi(v,T) (T-v)^{2H-1} \mathrm{d} v<\infty,\notag \end{matrix} $

及

$\begin{align*} \lim\limits_{T\to \infty} \frac{1}{T^{\gamma_1}}(\mu\times \mu)( I_2 )= \lim\limits_{T\to \infty} \frac{1}{T^{\gamma_1}} \psi(T,T) \int_{0 }^{ T} \psi(v,T) \big((T-v)^{2H-1}+v^{2H-1} \big) \mathrm{d} v= 0. \end{align*}$

将上述三个极限代入 (5.26) 式, 即得不等式 (5.23).

引理5.5 设函数 $f_T(u,v)$ 由 (3.1) 式给出. 记

$\begin{align*} \varphi(u_1,u_2)= \int_{[T]^2} f_T(u_1,v_1) f_T(u_2,v_2) \frac{\partial ^2 }{\partial v_1 \partial v_2}\big(R(v_1,\,v_2) -R^B(v_1,\,v_2)\big) \mathrm{d} v_1\mathrm{d} v_2. \end{align*}$

这里 $u_1,u_2\in [T]$. 若 $H\in (0,\,\frac12)$, 则存在正常数 $C_{\theta,H}$, 使得不等式

(5.29)$ \begin{equation} \left\| \varphi \right\|^2_{\mathfrak{H}^{\otimes 2}}\le {C_{\theta,H}}{T^{2\gamma_1}}, \end{equation} $

成立, 其中 $\gamma_1$ 由 (5.24) 式给出.

证首先, 不失一般性, 设 $\theta=1$. 由不等式 (2.9) 得

(5.30)$ \begin{matrix} \left\| \varphi \right\|^2_{\mathfrak{H}^{\otimes 2}}&\le \left\| \varphi \right\|^2_{\mathfrak{H}_1^{\otimes 2}}+\big(C_H' (\mu\times \mu)(|\varphi|) \big)^2+2C_H' (\mu\times \mu)( |\varphi\otimes_{1'}\varphi|). \end{matrix} $

其次, 易知

$\begin{align*} \left\| \varphi \right\|^2_{\mathfrak{H}_1^{\otimes 2}}&=\int_{[T]^4}\frac{ \partial^2}{\partial u_1 \partial w_2} \big(\varphi(u_1,u_2) \varphi(w_1,w_2) \big)\frac{\partial}{\partial w_1}R^B(u_1,w_1)\frac{\partial}{\partial u_2}R^B(u_2,w_2) \mathrm{d} {u_1}\mathrm{d}{u_2}\mathrm{d} {w_1}\mathrm{d}{w_2},\end{align*}$

及

$\begin{align*} \frac{ \partial }{\partial u_1 } \varphi(u_1,u_2) &=\int_{[T]^2} {\rm e}^{-|u_1-v_1|-|u_2-v_2|} \frac{\partial ^2 }{\partial v_1 \partial v_2}\big(R(v_1,\,v_2) -R^B(v_1,\,v_2)\big) \mathrm{d} v_1\mathrm{d} v_2\\ & \times \big[ \mathbb{1}_{[T]^2}(u_1,u_2)\mathrm{sgn}(v_1-u_1 ) +\mathbb{1}_{[T]}(u_2) (\delta_0(u_1)-\delta_T(u_1))\big]. \end{align*}$

由假设 1.2 和不等式 (1.9), 有

(5.31)$ \begin{matrix} \left\| \varphi \right\|^2_{\mathfrak{H}_1^{\otimes 2}}&\le C \times (I_1+I_2+I_3), \end{matrix} $

其中

$\begin{align*} I_1&=\int_{[T]^4} \big(\int_{[T]^2} {\rm e}^{-|u_1-v_1|-|u_2-v_2|} (v_1v_2)^{H-1} \mathrm{d} v_1\mathrm{d} v_2\big) \\ & \times \big(\int_{[T]^2} {\rm e}^{-|w_1-v_1'|-|w_2-v_2'|} (v_1'v_2')^{H-1} \mathrm{d} v_1'\mathrm{d} v_2'\big)\\ & \times |\frac{\partial}{\partial w_1}R^B(u_1,w_1)| |\frac{\partial}{\partial u_2}R^B(u_2,w_2) |\mathrm{d} {u_1}\mathrm{d}{u_2}\mathrm{d} {w_1}\mathrm{d}{w_2}\\ &=\Big[\int_{[T]^2} \psi(u_1,T) \psi(w_1,T)|\frac{\partial}{\partial w_1}R^B(u_1,w_1)|\mathrm{d} u_1\mathrm{d} w_1 \Big]^2 \le C T^{2\gamma_1}, \end{align*}$

这里 $\psi(u,T)$ 由 (5.1) 式给出, 最后一个不等式由 (5.27)-(5.28) 式得到. 同理, 由不等式 (5.4)-(5.5) 和 (5.27)-(5.28) 式得

$\begin{align*} I_2&=\int_{[T]^3} \big(\int_{[T]^2} {\rm e}^{-|u_1-v_1|-|u_2-v_2|} (v_1v_2)^{H-1} \mathrm{d} v_1\mathrm{d} v_2\big) \\ & \times \big(\int_{[T]^2} {\rm e}^{-|w_1-v_1'| -(T-v_2')} (v_1'v_2')^{H-1} \mathrm{d} v_1'\mathrm{d} v_2'\big)\\ & \times |\frac{\partial}{\partial w_1}R^B(u_1,w_1)| |\frac{\partial}{\partial u_2}R^B(u_2,T) | \mathrm{d} {u}_1\mathrm{d} {u}_2\mathrm{d} w_1\\ &= \int_{[T]^2} \psi(u_1,T) \psi(w_1,T) |\frac{\partial}{\partial w_1}R^B(u_1,w_1)| \mathrm{d} u_1\mathrm{d} w_1 \int_{[T]} \psi(u_2,T) \psi(T,T)\\ & \times|\frac{\partial}{\partial u_2}R^B(u_2,T)| \mathrm{d} u_2 \le C T^{2\gamma_1-1}, \end{align*}$

且

$\begin{align*} I_3&=\int_{[T]^2} \big(\int_{[T]^2} {\rm e}^{- (T-v_1)-|u_2-v_2|} (v_1v_2)^{H-1} \mathrm{d} v_1\mathrm{d} v_2\big)\\ & \times \big(\int_{[T]^2} {\rm e}^{-|w_1-v_1'| -(T-v_2')} (v_1'v_2')^{H-1} \mathrm{d} v_1'\mathrm{d} v_2'\big)\\ & \times |\frac{\partial}{\partial w_1}R^B(T,w_1)||\frac{\partial}{\partial u_2}R^B(u_2,T) | \mathrm{d} {u}_2\mathrm{d} w_1\\ &= \Big[ \int_{[T]} \psi(u_2,T) \psi(T,T)|\frac{\partial}{\partial u_2}R^B(u_2,T)| \mathrm{d} u_2\Big]^2 \le C T^{2(\gamma_1-1)}. \end{align*}$

将上述三个估计代入 (5.31) 式, 有

(5.32)$ \begin{matrix} \left\| \varphi \right\|^2_{\mathfrak{H}_1^{\otimes 2}}&\le C T^{2\gamma_1}. \end{matrix} $

再次, 若 $H\in (0,\frac12)$, 则有

(5.33)$ \begin{matrix} (\mu\times \mu)(|\varphi|)&\le C\times \int_{[T]^2} \Big( \int_{[T]^2} {\rm e}^{-|u_1-v_1|-|u_2-v_2|} (v_1v_2)^{H-1} \mathrm{d} v_1\mathrm{d} v_2\Big) (u_1 u_2)^{H-1} \mathrm{d} u_1 \mathrm{d} u_2 \nonumber\\ &=C\times \Big[\int_{[T]^2} {\rm e}^{-|u_1-v_1| }(u_1v_1)^{H-1} \mathrm{d} u_1 \mathrm{d} v_1\Big]^2 \notag\\ &\le C \times \Big[ \int_{0}^T (1\wedge v_1^{H-1}) \,v_1^{H-1} \mathrm{d} v_1\Big]^2\le C, \end{matrix} $

其中最后一个不等式由引理 5.1 得到. 显然有

$\begin{align*} (\varphi\otimes_{1'}\varphi)(u_2,w_2) &=\int_{[T]^2}\frac{ \partial }{\partial u_1 } \phi(u_1,u_2) \phi(w_1,w_2) \frac{\partial}{\partial w_1}R^B(u_1,w_1) \mathrm{d} {u}_1\mathrm{d} {w}_1, \\ (\mu\times \mu)( |\varphi\otimes_{1'}\varphi| )&\le C\times (J_1+J_2), \end{align*}$

其中

$\begin{align*} J_1&=\int_{[T]^4} \big(\int_{[T]^2} {\rm e}^{-|u_1-v_1|-|u_2-v_2|} (v_1v_2)^{H-1} \mathrm{d} v_1\mathrm{d} v_2\big) \\ & \big(\int_{[T]^2} {\rm e}^{-|w_1-v_1'| -|w_2-v_2'|} (v_1'v_2')^{H-1} \mathrm{d} v_1'\mathrm{d} v_2'\big)\\ & \times |\frac{\partial}{\partial w_1}R^B(u_1,w_1)| (u_2w_2)^{H-1} \mathrm{d} {u_1}\mathrm{d}{u_2}\mathrm{d} {w_1}\mathrm{d}{w_2}\\ &\le C\times \int_{[T]^2} \psi(u_1,T) \psi(w_1,T) |\frac{\partial}{\partial w_1}R^B(u_1,w_1)| \mathrm{d} u_1\mathrm{d} w_1 \le C T^{\gamma_1}, \end{align*}$

最后一个不等式由 (5.33) 式得到. 同理有

$\begin{align*} J_2&=\int_{[T]^3} \big(\int_{[T]^2} {\rm e}^{- (T-v_1)-|u_2-v_2|} (v_1v_2)^{H-1} \mathrm{d} v_1\mathrm{d} v_2\big) \\ & \times \big(\int_{[T]^2} {\rm e}^{-|w_1-v_1'| -|w_2-v_2'|} (v_1'v_2')^{H-1} \mathrm{d} v_1'\mathrm{d} v_2'\big) |\frac{\partial}{\partial w_1}R^B(T,w_1)| (u_2w_2)^{H-1} \mathrm{d} {u}_2\mathrm{d} {w_1}\mathrm{d}{w_2}\\ &\le C\times \psi(T,T)\times \int_0^T\psi(w_1,T) |\frac{\partial}{\partial w_1}R^B(T,w_1)| \mathrm{d} w_1 \le C T^{\gamma_1-1}. \end{align*}$

因此

(5.34)$ \begin{matrix} (\mu\times \mu)( |\varphi\otimes_{1'}\varphi| )&\le C\times T^{\gamma_1}. \end{matrix} $

最后, 将 (5.32)-(5.34) 式代入 (5.30) 式, 即得不等式 (5.29).

引理5.6 设 $\phi(\cdot, T)$ 由 (5.2) 式给出. 令

(5.35)$ \begin{equation} \gamma=\left\{ \begin{array}{ll} { {4H }}, & \quad \ H\in ( 0,\frac14],\\ {8H-1}, &\quad \ H\in (\frac14,\frac12). \end{array} \right. \end{equation} $

若 $H\in (0,\,\frac14)\cup(\frac14,\frac12)$, 则存在不依赖于 $T$ 的正常数 $C$, 使得当 $T\ge 1$ 时, 有不等式:

(5.36)$ \begin{matrix} \int_{T>v_1'>v_1,u,w>0} {\rm e}^{-|u-v_1|-|w-v_1'|} \phi(v_1,T) {\frac{\partial R^B(v_1',\,T)}{\partial v_1'}} |\frac{\partial R^B(u,\,w)}{\partial w} | \mathrm{d} {v}_1 \mathrm{d} {v}_1'\mathrm{d} w\mathrm{d} u &\le C {T^{\gamma-H} }, \end{matrix} $

(5.37)$ \begin{matrix} \int_{T>v_1'>v_1,u,w>0} {\rm e}^{-|u-v_1|-|w-v_1'|} \phi(v_1',T) {\frac{\partial R^B(v_1,\,T)}{\partial v_1}} |\frac{\partial R^B(u,\,w) }{\partial w}| \mathrm{d} {v}_1 \mathrm{d} {v}_1'\mathrm{d} w\mathrm{d} u &\le C {T^{\gamma-H} }, \end{matrix} $

(5.38)$ \begin{matrix} \int_{T>u>v_1,v_1',w>0} {\rm e}^{-|u-v_1|-|w-v_1'|} \phi(v_1,T) \frac{\partial R^B(v_1',T) }{\partial v_1'} |\frac{\partial }{\partial w}R^B(u,\,w)| \mathrm{d} {v}_1\mathrm{d} v_1' \mathrm{d} u\mathrm{d} w &\le C {T^{\gamma-H} }, \end{matrix} $

(5.39)$ \begin{matrix} \int_{T>u>v_1,v_1',w>0} {\rm e}^{-|u-v_1|-|w-v_1'|}\phi(v_1',T) \frac{\partial R^B(v_1,T) }{\partial v_1} |\frac{\partial }{\partial w}R^B(u,\,w)| \mathrm{d} {v}_1\mathrm{d} v_1' \mathrm{d} u\mathrm{d} w &\le C {T^{\gamma-H} }. \end{matrix} $

若 $H=\frac14$, 则上述四个不等式右端的上界都替换为 $T^{\gamma-H}\log T$.

证为简单起见, 这里仅给出 $H\in (0,\,\frac14)\cup(\frac14,\frac12)$ 时的证明梗概. 先证 (5.36) 式. 我们断言存在不依赖于 $T$ 的正常数 $C$, 使得 $\forall v_1\in (0,T),\,T\ge 1$, 有

(5.40)$ \begin{equation} \int_{T>v_1'>v_1,u,w>0} {\rm e}^{-|u-v_1|-|w-v_1'|} v_1'^{2H-1} |\frac{\partial R^B(u,\,w)}{\partial w} | \mathrm{d} {v}_1'\mathrm{d} w\mathrm{d} u\le C T^{2H}( {v_1}^{2H-1} \wedge 1 ), \end{equation} $

及

(5.41)$ \begin{equation} \int_{T>v_1'>v_1,u,w>0} {\rm e}^{-|u-v_1|-|w-v_1'|} (T-v_1')^{2H-1} |\frac{\partial R^B(u,\,w)}{\partial w} | \mathrm{d} {v}_1'\mathrm{d} w\mathrm{d} u\le C T^{2H}(T-v_1)^{2H-1}. \end{equation} $

实际上, 它们是通过 $v_1,u,w$ 的不同顺序, 将积分区域 $\{T>v_1'>v_1,u,w>0\}$ 划分为六个子区间, 再做适当的变量替换, 将引理 5.1 应用于这些重积分即可. 因该计算是平凡的, 故此省略.

其次, 由不等式 (5.40)-(5.41) 知, 若 $H\in (0,\frac12)$, 则有

$\begin{align*} & \int_{T>v_1'>v_1,u,w>0} {\rm e}^{-|u-v_1|-|w-v_1'|} \phi(v_1,T)|\frac{\partial R^B(v_1',\,T)}{\partial v_1'}| |\frac{\partial R^B(u,\,w)}{\partial w} | \mathrm{d} {v}_1 \mathrm{d} {v}_1'\mathrm{d} w\mathrm{d} u \nonumber\\ =\ & H\int_{T>v_1'>v_1,u,w>0} {\rm e}^{-|u-v_1|-|w-v_1'|} \phi(v_1,T) v_1'^{2H-1} |\frac{\partial R^B(u,\,w)}{\partial w} | \mathrm{d} {v}_1 \mathrm{d} {v}_1'\mathrm{d} w\mathrm{d} u \nonumber\\ &+H \int_{T>v_1'>v_1,u,w>0} {\rm e}^{-|u-v_1|-|w-v_1'|} \phi(v_1,T) (T-v_1')^{2H-1} |\frac{\partial R^B(u,\,w)}{\partial w} | \mathrm{d} {v}_1 \mathrm{d} {v}_1'\mathrm{d} w\mathrm{d} u\nonumber\\ \le\ & C\times T^{2H} \int_0^T \phi(v_1,T) \Big[ ( {v_1}^{2H-1} \wedge 1) + (T-v_1)^{2H-1} \Big] \mathrm{d} v_1 \le C\times {T^{\gamma-H} }, \end{align*}$

其中上一行不等式由推论 5.3 和引理 5.3 得到. 故不等式 (5.36) 成立.

同理, 存在不依赖于 $T$ 的正常数 $C$, 使得 $\forall v_1'\in (0,T),\,T\ge 1$, 有两个不等式

$\begin{align*} {\rm e}^{-v_1'}\int_{(0, v_1')^3 } {\rm e}^{-|u-v_1|+ w } v_1^{2H-1} |\frac{\partial R^B(u,\,w)}{\partial w} | \mathrm{d} {v}_1\mathrm{d} w\mathrm{d} u \le C\times (v_1')^{(4H-1)_{+}}, \end{align*}$

其中 $a_{+}=\max\{a,0\}$; 及

$\begin{align*} {\rm e}^{-v_1'}\int_{(0, v_1')^3 } {\rm e}^{-|u-v_1|+ w } (T-v_1)^{2H-1} |\frac{\partial R^B(u,\,w)}{\partial w} | \mathrm{d} {v}_1\mathrm{d} w\mathrm{d} u\le C \times T^{2H}(T-v_1')^{2H-1}, \end{align*}$

这两个不等式结合引理 5.2 及引理 5.3, 即得不等式 (5.37).

类似地, 不等式 (5.38)-(5.39) 源于推论 5.3 和下面的两个估计: 存在与 $T$ 无关的正常数 $C$, 分别使得 $\forall v_1\in (0,T),\, T\ge 1$, 有不等式

$\begin{align*} & \int_{T>u>v_1,v_1',w>0} {\rm e}^{-|u-v_1|-|w-v_1'|} \frac{\partial R^B(v_1',T) }{\partial v_1'} |\frac{\partial }{\partial w}R^B(u,\,w)| \mathrm{d} v_1' \mathrm{d} u\mathrm{d} w {\le C},\end{align*}$

及使得 $\forall v_1'\in (0,T),\, T\ge 1$, 有不等式

$\begin{align*} & \int_{T>u>v_1,v_1',w>0} {\rm e}^{-|u-v_1|-|w-v_1'|} \frac{\partial R^B(v_1,T) }{\partial v_1} |\frac{\partial }{\partial w}R^B(u,\,w)| \mathrm{d} {v}_1 \mathrm{d} u\mathrm{d} w \\ &{\le C \times T^{2H} \times\Big[(T-v_1')^{2H-1}+ \big( (v_1')^{2H-1}\wedge 1\big) \Big].} \end{align*}$

证毕.

引理5.7 设 $\kappa (u_1,u_2) $ 和 $\gamma$ 分别由记号 5.3 和 (5.35) 式给出. 则存在与 $T$ 无关的正常数 $C$, 使得当 $T\ge 1$ 时有

(5.42)$ \begin{equation} (\mu\times \mu)(|\kappa\otimes_1'\kappa| )\le C \times \left\{ \begin{array}{ll} T^{\gamma}, & \quad \ H\neq \frac14,\\ T^{\gamma}\log T, & \quad \ H=\frac14. \end{array} \right. \end{equation} $

证为简单起见, 只证 $H\neq \frac14$ 的情况. 首先, 因

$\begin{align*} \kappa (u_1,u_2) &= - \int_{[T]^2} f_T(u_1,v_1) \frac{\partial}{\partial v_2}f_T(u_2,v_2) \frac{\partial }{\partial v_1}R^B(v_1,\,v_2) \mathrm{d} v_1\mathrm{d} v_2\\ &=\Big[\int_{[T]^2}{\rm e}^{-|u_1-v_1|-|u_2-v_2|}\mathrm{sgn}(v_2-u_2) \frac{\partial }{\partial v_1}R^B(v_1,\,v_2) \mathrm{d} v_1\mathrm{d} v_2\\ & + \int_{[T]}{\rm e}^{-|u_1-v_1|- (T-u_2)} \frac{\partial }{\partial v_1}R^B(v_1,\,T) \mathrm{d} v_1\Big] \mathbb{1}_{[T]^2}(u_1,u_2), \end{align*}$

故

$\begin{align*} \big(\kappa \otimes_1' \kappa \big)(u_2,w_2 )=-\int_{[T]^2}\,\frac{\partial }{\partial u_1}\kappa (u_1,u_2) \kappa (w_1,w_2)\frac{\partial }{\partial w_1}R^B(u_1,\,w_1) \mathrm{d} u_1 \mathrm{d} w_1. \end{align*}$

与不等式 (5.26) 类似, 有

(5.43)$ \begin{matrix} (\mu\times \mu)(|\kappa \otimes_1' \kappa| )\le C \times (K_1+K_2+K_3 +K_4+K_5+K_6), \end{matrix} $

其中

$\begin{align*} K_1&=\int_{[T]^8} {\rm e}^{-|u_1-v_1|-|u_2-v_2|}|\frac{\partial }{\partial v_1}R^B(v_1,\,v_2) | {\rm e}^{-|w_1-v_1'| -|w_2-v_2'|} |\frac{\partial }{\partial v_1'}R^B(v_1',\,v_2') | \\ & \times |\frac{\partial }{\partial w_1}R^B(u_1,\,w_1) | (u_2 w_2)^{H-1} \mathrm{d} u_1\mathrm{d} w_1 \mathrm{d} u_2\mathrm{d} w_2 \mathrm{d} v_1\mathrm{d} v_2 \mathrm{d} v_1'\mathrm{d} v_2'.\\ &=\int_{[T]^4} \phi(v_1,T)\phi(v_1',T) {\rm e}^{-|u-v_1|-|w-v_1'|} |\frac{\partial }{\partial w}R^B(u,\,w)| \mathrm{d} {v}_1\mathrm{d} v_1' \mathrm{d} u\mathrm{d} w, \end{align*}$

这里 $\phi(v_1,T)$ 由 (5.2) 式给出.

将 $K_1$ 除以 $T^{\gamma}$, 并把它的积分区域划分为四部分

(5.44)$ \begin{matrix} &\frac1{T^{\gamma}}\int_{[T]^4} \phi(v_1,T)\phi(v_1',T) {\rm e}^{-|u-v_1|-|w-v_1'|} |\frac{\partial }{\partial w}R^B(u,\,w)| \mathrm{d} {v}_1\mathrm{d} v_1' \mathrm{d} u\mathrm{d} w\notag\\ =\ &\frac1{T^{\gamma}}\big(\int_{T>v_1'>v_1,u,w>0}+\int_{T>v_1>v_1',u,w>0}+\int_{T>u>v_1,v_1',w>0}+\int_{T>w>v_1,u,v_1'>0}\big)\notag\\ &\times \phi(v_1,T)\phi(v_1',T) {\rm e}^{-|u-v_1|-|w-v_1'|} |\frac{\partial }{\partial w}R^B(u,\,w)| \mathrm{d} {v}_1\mathrm{d} v_1' \mathrm{d} u\mathrm{d} w\notag\\ :=\ & L_1+L_2+L_3+L_4. \end{matrix} $

由洛必达法则、引理 5.1、推论 5.1、引理 5.2 及推论 5.2 可知

(5.45)$ \begin{matrix} & \limsup_{T \to \infty} L_1 \\ &\le c\times \limsup_{T \to \infty} \Big[\frac1{T^{\gamma-3H}{\rm e}^T} \int_{[T]^3} \phi(v_1,T) {\rm e}^{-|u-v_1|+w} |\frac{\partial }{\partial w}R^B(u,\,w)| \mathrm{d} {v}_1\mathrm{d} w\mathrm{d} u\notag\\ & +\frac1{T^{\gamma-H} } \int_{T>v_1'>v_1,u,w>0} {\rm e}^{-|u-v_1|-|w-v_1'|} \phi(v_1,T)|\frac{\partial R^B(v_1',\,T)}{\partial v_1'}| |\frac{\partial }{\partial w}R^B(u,\,w)| \mathrm{d} {v}_1 \mathrm{d} {v}_1'\mathrm{d} w\mathrm{d} u \notag\\ & +\frac1{T^{\gamma-H} } \int_{T>v_1'>v_1,u,w>0} {\rm e}^{-|u-v_1|-|w-v_1'|} \phi(v_1',T) |\frac{\partial R^B(v_1,\,T)}{\partial v_1}| |\frac{\partial }{\partial w}R^B(u,\,w)| \mathrm{d} {v}_1 \mathrm{d} {v}_1'\mathrm{d} w\mathrm{d} u \Big]\notag\\ &:=L_{11}+L_{12}+L_{13}+L_{14}+L_{15}, \end{matrix} $

其中

(5.46)$ \begin{matrix} L_{11}&= \lim\limits_{T\to \infty}\frac1{{\rm e}^T T^{\gamma-3H}} \int_{T>u>v_1,w>0}\phi(v_1,T) {\rm e}^{-|u-v_1|+w} |\frac{\partial }{\partial w}R^B(u,\,w)| \mathrm{d} {v}_1\mathrm{d} w\mathrm{d} u\notag\\ &\le H\times \lim\limits_{T \to \infty}\frac{1}{{\rm e}^{2T} T^{\gamma-3H}}{\int_{[T]^2}\phi(v_1,T){\rm e}^{v_1+w}(w^{2H-1}+(T-w)^{2H-1})\mathrm{d} v_1\mathrm{d} w}\notag\\ & +C \times\lim\limits_{T\to \infty}\frac1{{\rm e}^T T^{1+\gamma-4H}} \int_{T>u>v_1,w>0}{\rm e}^{-|u-v_1|+w} \frac{\partial R^B(v_1,T) }{\partial v_1} |\frac{\partial }{\partial w}R^B(u,\,w)| \mathrm{d} {v}_1\mathrm{d} w\mathrm{d} u\notag\\ &=0, \end{matrix} $

且

$\begin{align*} L_{12}&= \lim\limits_{T\to \infty}\frac1{{\rm e}^T T^{\gamma-3H}} \int_{T>v_1>u,w>0}\phi(v_1,T) {\rm e}^{-|u-v_1|+w} |\frac{\partial }{\partial w}R^B(u,\,w)| \mathrm{d} {v}_1\mathrm{d} w\mathrm{d} u \\ &\le C \times \lim\limits_{T \to \infty}\frac1{{\rm e}^{2T}T^{1+\gamma-6H}}{\int_{[T]^2}{\rm e}^{u+w}|\frac{\partial }{\partial w}R^B(u,\,w)| \mathrm{d} u\mathrm{d} w}\\ & +C \times \lim\limits_{T\to \infty}\frac1{{\rm e}^T T^{1+\gamma-4H}} \int_{T>v_1>u,w>0} {\rm e}^{-|u-v_1|+w} \frac{\partial R^B(v_1,T) }{\partial v_1} |\frac{\partial }{\partial w}R^B(u,\,w)| \mathrm{d} {v}_1\mathrm{d} w\mathrm{d} u \\ &=0, \end{align*}$

且

(5.47)$ \begin{matrix} L_{13}&=\limsup_{T\to \infty}\frac1{ {\rm e}^T T^{\gamma-3H}} \int_{T>w>v_1,u>0} \phi(v_1,T) {\rm e}^{-|u-v_1|+w} |\frac{\partial }{\partial w}R^B(u,\,w)| \mathrm{d} {v}_1\mathrm{d} w\mathrm{d} u\notag\\ &\le \limsup_{T \to \infty}\frac{H }{T^{\gamma-3H}} {\int_{[T]^2}\phi(v_1,T){\rm e}^{-|u-v_1|}(T-u)^{2H-1} \mathrm{d} u\mathrm{d} v_1} \notag\\ & + C \times \lim\limits_{T\to \infty}\frac1{{\rm e}^T T^{1+\gamma-4H}} \int_{T>w>v_1,u>0} {\rm e}^{-|u-v_1|+w} \frac{\partial R^B(v_1,T) }{\partial v_1} |\frac{\partial }{\partial w}R^B(u,\,w)| \mathrm{d} {v}_1\mathrm{d} w\mathrm{d} u\notag\\ &\le C\times\limsup_{T \to \infty} \frac{\int_{0}^{ T}\phi(v,T) (T-v)^{2H-1} \mathrm{d} r}{T^{\gamma-3H} }<\infty, \end{matrix} $

上面最后一个不等式由引理 5.3 得到. 由引理 5.6 知

$\begin{align*} L_{14}+L_{15}&=\limsup_{T \to \infty} \frac1{T^{\gamma-H} } \int_{T>v_1'>v_1,u,w>0} {\rm e}^{-|u-v_1|-|w-v_1'|} |\frac{\partial }{\partial w}R^B(u,\,w)| \\ & \times \Big[\phi(v_1,T) {\frac{\partial R^B(v_1',\,T)}{\partial v_1'}} + \phi(v_1',T) {\frac{\partial R^B(v_1,\,T)}{\partial v_1}} \Big] \mathrm{d} {v}_1 \mathrm{d} {v}_1'\mathrm{d} w\mathrm{d} u \notag\\ &<\infty. \end{align*}$

故

(5.48)$ \begin{equation} \limsup_{T \to \infty} L_1=L_{11}+L_{12}+L_{13}+L_{14}+L_{15}<\infty. \end{equation} $

同理有

(5.49)$ \begin{equation} \limsup_{T \to \infty} L_2<\infty. \end{equation} $

由洛必达法则、推论 5.2 和引理 5.2 可得

(5.50)$ \begin{matrix} &\limsup_{T \to \infty}L_{3}\notag \\ \le\ & \limsup_{T \to \infty} \frac1{\gamma T^{\gamma-1}} \int_0^T \phi(v_1,T) {\rm e}^{-(T-v_1)} \mathrm{d} {v}_1\int_{ [T]^2} \phi(v_1',T) {\rm e}^{ -|w-v_1'|} |\frac{\partial }{\partial w}R^B(T,\,w) | \mathrm{d} v_1' \mathrm{d} w\notag\\ &+ c\times \limsup_{T \to \infty} \frac1{\gamma T^{\gamma-H}}\Big[\int_{T>u>v_1,v_1',w>0} \big(\phi(v_1,T) \frac{\partial }{\partial v_1'} R^B(v_1',T) +\phi(v_1',T) \frac{\partial }{\partial v_1}R^B(v_1,T) \big)\notag\\ &\times {\rm e}^{-|u-v_1|-|w-v_1'|} |\frac{\partial }{\partial w}R^B(u,\,w)| \mathrm{d} {v}_1\mathrm{d} v_1' \mathrm{d} u\mathrm{d} w \Big]\notag\\ \le\ & \limsup_{T \to \infty}\frac{1}{T^{\gamma-3H}}{\int_{[T]^2}\phi(v_1',T) {\rm e}^{-|w-v_1'|} (T-w)^{2H-1} \mathrm{d} v_1' \mathrm{d} w}+C< \infty, \end{matrix} $

其中上一行由 (5.47) 式和不等式 (5.38)-(5.39) 得到. 同理, 有

(5.51)$ \begin{matrix} \limsup_{T \to \infty}L_4 <\infty. \end{matrix} $

将极限 (5.48)-(5.51) 代入 (5.44) 式得: 若 $H\in (0,\frac12)$, 则存在正常数 $C$ 使得不等式成立

$\begin{align*} \limsup_{T\to\infty} \frac{K_1}{T^{\gamma}} =\limsup_{T\to\infty} [L_1+L_2+L_3+L_4] \le C. \end{align*}$

这表明存在常数 $C>0$ 使得

$K_1\le C T^{\gamma}.$

其次, 若 $H\in (0, \frac12)$, 则有

$\begin{align*} K_2&=\int_{[T]^7} {\rm e}^{-|T-v_1| -|u_2-v_2|}|\frac{\partial }{\partial v_1}R^B(v_1,\,v_2) | {\rm e}^{-|w_1-v_1'| -|w_2-v_2'|} |\frac{\partial }{\partial v_1'}R^B(v_1',\,v_2')| \\ & \times |\frac{\partial }{\partial w_1}R^B(T,\,w_1) | (u_2 w_2)^{H-1} \mathrm{d} w_1 \mathrm{d} u_2\mathrm{d} w_2 \mathrm{d} v_1\mathrm{d} v_2 \mathrm{d} v_1'\mathrm{d} v_2' \\ &=\int_0^T \phi(v_1,T) {\rm e}^{-({T-v_1})} \mathrm{d} {v}_1 \int_{[T]^2} \phi(v_1',T) {\rm e}^{ -|w-v_1'|} |\frac{\partial }{\partial w}R^B(T,\,w) | \mathrm{d} v_1' \mathrm{d} w,\\ &\le C {T^{\gamma-1}}, \end{align*}$

这里最后一个不等式由 $L_3$ 的定义和它的极限 (5.50) 得到.

再次, 易知存在不依赖 $T$ 的正常数 $C$, 使得

$\begin{align*} \int_0^T |\frac{\partial }{\partial w_1}R^B(u_1,\,w_1) | \mathrm{d} u_1\le C \times T\times \frac{\partial }{\partial w_1}R^B( w_1,\,T). \end{align*}$

此式结合引理 5.1 和推论 5.1 可得: 若 $H\in (0, \frac12)$, 则有

$\begin{align*} K_3&=\int_{[T]^7} {\rm e}^{-|u_1-v_1|-|T-u_2| }| \frac{\partial }{\partial v_1}R^B(v_1,\,T) | {\rm e}^{-|w_1-v_1'| -|w_2-v_2'|} |\frac{\partial }{\partial v_1'}R^B(v_1',\,v_2') | \\ & \times |\frac{\partial }{\partial w_1}R^B(u_1,\,w_1) | (u_2 w_2)^{H-1} \mathrm{d} w_1\mathrm{d} u_1 \mathrm{d} u_2\mathrm{d} w_2 \mathrm{d} v_1 \mathrm{d} v_1'\mathrm{d} v_2'.\\ &\le C T^{H-1}\int_{[T] } \phi(v_1',T) \mathrm{d} v_1' \int_{[T]^3} {\rm e}^{ -|w_1-v_1'| -|u_1-v_1|} \\ & \times| \frac{\partial }{\partial v_1}R^B(v_1,\,T) ||\frac{\partial }{\partial w_1}R^B(u_1,\,w_1) | \mathrm{d} {v}_1 \mathrm{d} u_1\mathrm{d} w_1\\ &\le C T^{H-1}\int_0^T \phi(v_1',T) \mathrm{d} v_1' \int_{[T]^2} {\rm e}^{ -|w_1-v_1'| } |\frac{\partial }{\partial w_1}R^B(u_1,\,w_1) | \mathrm{d} u_1 \mathrm{d} w_1\\ &\le C T^{H}\int_0^T \phi(v_1',T) \mathrm{d} v_1' \int_{[T]} {\rm e}^{ -|w_1-v_1'| } \frac{\partial }{\partial w_1}R^B( w_1,\,T) \mathrm{d} w_1\\ &\le C T^{H}\int_0^T \phi(v_1',T) \mathrm{d} v_1' \le CT^{\gamma}, \end{align*}$

其中最后一个不等式由引理 5.2 得到.

再次, 由引理 5.1 和推论 5.1 得: 若 $H\in (0, \frac12)$, 则有

$\begin{align*} K_4&=\int_{[T]^6} {\rm e}^{- ({T-v_1})-|T-u_2| }| \frac{\partial }{\partial v_1}R^B(v_1,\,T) | {\rm e}^{-|w_1-v_1'| -|w_2-v_2'|} |\frac{\partial }{\partial v_1'}R^B(v_1',\,v_2') | \\ & \times |\frac{\partial }{\partial w_1}R^B(T,\,w_1) | (u_2 w_2)^{H-1} \mathrm{d} w_1 \mathrm{d} u_2\mathrm{d} w_2 \mathrm{d} v_1 \mathrm{d} v_1'\mathrm{d} v_2'.\\ &\le CT^{H-1}\int_{[T]^3} \phi(v_1',T) {\rm e}^{-(T-v_1)-|w_1-v_1'| } { \frac{\partial }{\partial v_1}R^B(v_1,\,T) } {\frac{\partial }{\partial w_1}R^B(T,\,w_1) } \mathrm{d} {v}_1\mathrm{d} v_1' \mathrm{d} w_1\\ & \le CT^{H-1} \int_{[T]} \phi(v_1',T) \mathrm{d} v_1' \le C T^{\gamma}, \end{align*}$

其中最后一个不等式由引理 5.2 得到.

最后, 由引理 5.1 和推论 5.1 得: 若 $H\in (0, \frac12)$, 则有

$\begin{align*} K_5&=\int_{[T]^6} {\rm e}^{- |u_1-v_1|-|T-u_2| }| \frac{\partial }{\partial v_1}R^B(v_1,\,T) | {\rm e}^{-|w_1-v_1'| -(T-w_2 )} |\frac{\partial }{\partial v_1'}R^B(v_1',\,T) | \\ & \times |\frac{\partial }{\partial w_1}R^B(u_1,\,w_1) | (u_2 w_2)^{H-1} \mathrm{d} u_1 \mathrm{d} w_1 \mathrm{d} u_2\mathrm{d} w_2 \mathrm{d} v_1 \mathrm{d} v_1'\\ &\le CT^{2(H-1)}\int_{[T]^2} |\frac{\partial }{\partial w_1}R^B(u_1,\,w_1) | \mathrm{d} u_1 \mathrm{d} w_1\\ &\le C T^{\gamma}, \end{align*}$

且

$\begin{align*} K_6&=\int_{[T]^5} {\rm e}^{- ({T-v_1})-(T-u_2)}| \frac{\partial }{\partial v_1}R^B(v_1,\,T) | {\rm e}^{-|w_1-v_1'| -(T-w_2 )} |\frac{\partial }{\partial v_1'}R^B(v_1',\,T) | \\ & \times |\frac{\partial }{\partial w_1}R^B(T,\,w_1) | (u_2 w_2)^{H-1} \mathrm{d} w_1 \mathrm{d} u_2\mathrm{d} w_2 \mathrm{d} v_1 \mathrm{d} v_1'\\ &\le C T^{2(H-1)}\int_{[T]} |\frac{\partial }{\partial w_1}R^B(T,\,w_1) | \mathrm{d} w_1\\ &\le C T^{\gamma}. \end{align*}$

将以上分别得到的 $K_i,\,i=1,\cdots, 6$ 的上界代入 (5.43) 式, 即得 (5.42) 式.

引理5.8 设 $\phi_1(u,v) $ 由 (3.12) 式给出. 则存在不依赖 $T$ 的正常数 $C$, 使得 $\forall s,t\ge 0$, 有

(5.52)$ \begin{matrix} \left\| \phi_1 \right\|_{\mathfrak{H}_1^{\otimes 2}}^2\le C \big( |t-s| ^{4H}+ |t-s| ^{4H+1}+ |t-s| ^{4H+2}\big), \end{matrix} $

(5.53)$ \begin{matrix} (\mu\times \mu)( |\phi_1\otimes_{1'} \phi_1|) \le C \big( |t-s| ^{4H}+ |t-s| ^{4H+1}\big). \end{matrix} $

证不失一般性, 不妨假设 $\theta=1$. 令 $\vec{u}=(u_1,u_2)$, $\vec{v}=(v_1,v_2)$. 首先, 由 (5.25) 式, 有

(5.54)$ \begin{matrix} \left\| \phi_1 \right\|_{\mathfrak{H}_1^{\otimes 2}}^2&= \int_{[T]^4}\frac{\partial^2 }{\partial u_1 \partial v_2}\big[{\rm e}^{- |u_1-v_1|}{\rm e}^{- |u_2-v_2|}\mathbb{1}_{[s,t]^4}(u_1,u_2,v_1,v_2) \big] \\ & \times \frac{\partial}{\partial u_2} R^B(u_1,u_2) \frac{\partial }{\partial v_1}R^B(v_1,v_2)\mathrm{d} \vec{u}\mathrm{d} \vec{v} \nonumber\\ &=\int_{[T]^4}{\rm e}^{- |u_1-v_1|}{\rm e}^{- |u_2-v_2|} \mathbb{1}_{[s,t]^2}( u_2,\,v_1 ) \frac{\partial }{\partial u_2}R^B(u_1,u_2) \frac{\partial }{\partial v_1}R^B(v_1,v_2)\nonumber \\ & \times \Big[\mathbb{1}_{[s,t]^2}( u_1,\,v_2 ) \mathrm{sgn}(u_1-v_1)\mathrm{sgn}(v_2-u_2)-\mathbb{1}_{[s,t] }( u_1)\mathrm{sgn}(u_1-v_1)(\delta_s(v_2)-\delta_t(v_2))\nonumber \\ & -\mathbb{1}_{[s,t] }( v_2 )\mathrm{sgn}(v_2-u_2)(\delta_s(u_1)-\delta_t(u_1))+(\delta_s(v_2)-\delta_t(v_2))(\delta_s(u_1)-\delta_t(u_1))\Big]\mathrm{d} \vec{u} \mathrm{d} \vec{v}\nonumber \\ &:=I_1 +I_2 +I_3 +I_4. \end{matrix} $

显然

(5.55)$ \begin{matrix} |I_1|&\le \int_{[s,t]^4}|\frac{\partial}{\partial u_2} R^B(u_1,u_2)|| \frac{\partial}{\partial v_1} R^B(v_1,v_2)| \mathrm{d} \vec{u} \mathrm{d} \vec{v}=\Big(\int_{[s,t]^2}|\frac{\partial R^B(u_1,u_2)}{\partial u_2}| \mathrm{d} u_1 \mathrm{d} u_2 \Big)^2, \end{matrix} $

且

$\begin{align*} \int_{s\le u_1\le u_2\le t}|\frac{\partial R^B(u_1,u_2)}{\partial u_2}| \mathrm{d} u_1 \mathrm{d} u_2&\le H\int_{s\le u_1\le u_2\le t} (u_2-u_1)^{2H-1} \mathrm{d} u_1 \mathrm{d} u_2\\ & =\frac{1}{2(2H+1)}(t-s)^{2H+1}. \end{align*}$

易知 $\forall x \in [0,1]$ 和 $\beta\in (0,1)$, 有不等式 $1-x^\beta \leq (1-x)^\beta$ 成立. 因此若 $H\in (0,\frac12)$, 则有

(5.56)$ \begin{matrix} \int_{s\le u_2\le u_1\le t}|\frac{\partial R^B(u_1,u_2)}{\partial u_2}| \mathrm{d} u_1 \mathrm{d} u_2&= H\int_{s\le u_2\le u_1\le t} \big((u_1-u_2)^{2H-1}+u_2^{2H-1} \big)\mathrm{d} u_1 \mathrm{d} u_2\nonumber\\ &\le \frac{ 1}{ 2H+1} (t-s)^{2H+1}. \end{matrix} $

将上述两个不等式代入 (5.55) 式得

$|I_1|\le C |t-s| ^{4H+2}.$

同理可得

$ |I_2| +|I_3|+ |I_4| \le C \big( |t-s| ^{4H}+ |t-s| ^{4H+1}\big).$

因此不等式 (5.52) 得证.

其次, 类似于不等式 (5.26), 有

(5.57)$ \begin{matrix} (\mu\times \mu)( |\phi_1\otimes_{1'} \phi_1|) &\le H\times (\mu\times \mu)(J_{11}+J_{12}+J_2+J_{3}), \end{matrix} $

其中

$\begin{align*} J_{11}&={\int_{s\le v_1\le v_2 \le t} {\rm e}^{-|u_1-v_1|-|u_2-v_2|} \big((v_2-v_1)^{2H-1}+v_1^{2H-1} \big) \mathrm{d} v_1\mathrm{d} v_2}\mathbb{1}_{[s,t]^2 }(u_1, u_2 )\\ J_{12}&= {\int_{s\le v_2\le v_1\le t} {\rm e}^{-|u_1-v_1|-|u_2-v_2|} \big((v_1-v_2)^{2H-1}-v_1^{2H-1} \big) \mathrm{d} v_1\mathrm{d} v_2}\mathbb{1}_{[s,t]^2 }(u_1, u_2 )\\ J_2&={\rm e}^{-(t-u_2)} \int_s^t {\rm e}^{-|u_1-v_1|}\big((t-v_1)^{2H-1}+v_1^{2H-1} \big) \mathrm{d} v_1\mathbb{1}_{[s,t]^2 }(u_1, u_2 )\\ J_3&={\rm e}^{-(u_2-s)} \int_s^t {\rm e}^{-|u_1-v_1|}\big((v_1-s)^{2H-1}-v_1^{2H-1} \big) \mathrm{d} v_1\mathbb{1}_{[s,t]^2 }(u_1, u_2 ). \end{align*}$

易知

$\begin{align*} &\quad (\mu\times \mu)(J_{11})\\ &={\int_{s\le v_1\le v_2 \le t} \big(\int_{[s,t]^2}{\rm e}^{-|u_1-v_1|-|u_2-v_2|} (u_1u_2)^{H-1} \mathrm{d} u_1\mathrm{d} u_2\big) \big((v_2-v_1)^{2H-1}+v_1^{2H-1} \big) \mathrm{d} v_1\mathrm{d} v_2}\\ &\le \frac{1}{H^2} (t-s)^{2H}{\int_{s\le v_1\le v_2 \le t} \big((v_2-v_1)^{2H-1}+v_1^{2H-1} \big) \mathrm{d} v_1\mathrm{d} v_2} \le \frac{ 1}{ H^3(2H+1)} (t-s)^{4H+1}, \end{align*}$

这里上一个不等式由 (5.56) 式得到. 同理可得

$\begin{align*} &(\mu\times \mu)(J_{12})\le \frac{1}{2H^3(2H+1)}(t-s)^{4H+1},\\ &(\mu\times \mu)(J_2+J_{3})\le \frac{2}{H^3} (t-s)^{4H}. \end{align*}$

将以上三个不等式代入 (5.57) 式即得不等式 (5.53).

引理5.9 设 $\phi_2(u,v)$ 由 (3.13) 式给出. 则存在不依赖 $T$ 的正常数 $C$, 使得 $\forall s,t\ge 0$, 有

(5.58)$ \begin{matrix} \left\| \phi_2 \right\|_{\mathfrak{H}_1^{\otimes 2}}^2&\le C \big( |t-s| ^{2H}+ |t-s| ^{2H+1} \big), \end{matrix} $

(5.59)$ \begin{matrix} (\mu\times \mu)( |\phi_2\otimes_{1'} \phi_2|) &\le C \big( |t-s| ^{H}+ |t-s| ^{2H}+ |t-s| ^{2H+1}\big). \end{matrix} $

证因它与引理 5.8 的证明类似, 故这里只给出证明梗概. 不失一般性, 不妨设 $\theta=1$. 令 $\vec{u}=(u_1,u_2)$, $\vec{v}=(v_1,v_2)$. 首先, 由 Minkowski 不等式得

$\begin{align*} \frac{1}{4}\left\| \phi_2 \right\|_{\mathfrak{H}_1^{\otimes 2}}^2&\le \left\| {\rm e}^{- |u-v|}\mathbb{1}_{\{0\le u\le s,\, s\le v\le t\}} \right\|_{\mathfrak{H}_1^{\otimes 2}}^2\\ &=\int_{[T]^4}\frac{\partial^2 }{\partial u_1 \partial v_2}\big[{\rm e}^{- |u_1-v_1|}{\rm e}^{- |u_2-v_2|}\mathbb{1}_{[s]^2}(u_1,u_2)\mathbb{1}_{[s,t]^2}(v_1,v_2) \big] \\ & \times\frac{\partial R^B(u_1,u_2)}{\partial u_2} \frac{\partial R^B(v_1,v_2)}{\partial v_1}\mathrm{d} \vec{u}\mathrm{d} \vec{v} \nonumber\\ &=\int_{[T]^4}{\rm e}^{- |u_1-v_1|}{\rm e}^{- |u_2-v_2|} \mathbb{1}_{[s]}(u_2) \mathbb{1}_{[s,t]}( v_1 ) \frac{\partial R^B(u_1,u_2)}{\partial u_2} \frac{\partial R^B(v_1,v_2)}{\partial v_1}\nonumber \\ & \times \Big[\mathbb{1}_{[s]}(u_1) \mathbb{1}_{[s,t]}( v_2 ) \mathrm{sgn}(u_1-v_1)\mathrm{sgn}(v_2-u_2) \\ & -\mathbb{1}_{[s] }( u_1)\mathrm{sgn}(u_1-v_1)(\delta_s(v_2)-\delta_t(v_2))\nonumber \\ & -\mathbb{1}_{[s,t] }( v_2 )\mathrm{sgn}(v_2-u_2)(\delta_0(u_1)-\delta_s(u_1)) \\ & +(\delta_s(v_2)-\delta_t(v_2))(\delta_0(u_1)-\delta_s(u_1))\Big]\mathrm{d} \vec{u} \mathrm{d} \vec{v}\nonumber \\ &:=I_1 +I_2 +I_3 +I_4. \end{align*}$

由推论 5.1 知: 存在不依赖 $T$ 的正常数 $C$, 使得

$\begin{align*} |I_1|&\le \int_{[s]^2}{\rm e}^{-(s-u_1)-(s-u_2)}|\frac{\partial R^B(u_1,u_2)}{\partial u_2}| \mathrm{d} \vec{u} \times \int_{[s,t]^2}{\rm e}^{-(v_1-s)-(v_2-s)}|\frac{\partial R^B(v_1,v_2)}{\partial v_1}| \mathrm{d} \vec{v} \\ &\le C\times \int_{[s,t]^2} | \frac{\partial R^B(v_1,v_2)}{\partial v_1}| \mathrm{d} \vec{v}\le C |t-s| ^{2H+1}. \end{align*}$

同理, 存在不依赖 $T$ 的正常数 $C$, 使得

$\begin{align*} |I_2| +|I_3|+ |I_4| \le C \big( |t-s| ^{2H}+ |t-s| ^{2H+1}\big). \end{align*}$

合并以上三个不等式估计, 即得不等式 (5.58).

其次, 由张量空间 $\mathfrak{H}_1^{\otimes 2}$ 中函数 $\phi_2$ 的一次压缩定义, 有

(5.60)$ \begin{matrix} (\mu\times \mu)( |\phi_2\otimes_{1'} \phi_2|) &\le H\times (\mu\times \mu)(J_{11}+J_{12}+J_{21}+J_{22} ), \end{matrix} $

其中

$\begin{align*} J_{11}&={\int_{s\le v_1\le v_2\le t} {\rm e}^{- (v_1 -u_1)-(v_2-u_2 ) } \big(v_1^{2H-1}+(v_2-v_1)^{2H-1}\big) \mathrm{d} v_1\mathrm{d} v_2}\mathbb{1}_{[s]^2 }(u_1, u_2 )\\ & +{\int_{s\le v_2\le v_1\le t} {\rm e}^{- (v_1 -u_1)-(v_2-u_2 ) } (v_1-v_2)^{2H-1} \mathrm{d} v_1\mathrm{d} v_2}\mathbb{1}_{[s]^2 }(u_1, u_2 )\\ & +\int_s^t \Big[ {\rm e}^{- (v_1 -u_1)-(t-u_2 ) } \big(v_1^{2H-1}+(t-v_1)^{2H-1}\big) \\ & +{\rm e}^{- (v_1 -u_1)-(s-u_2 ) } ( v_1-s)^{2H-1} \Big] \mathrm{d} v_1\mathbb{1}_{[s]^2 }(u_1, u_2 )\\ J_{12}&=\int_{s} ^t \mathrm{d} v_1\int_0^s \mathrm{d} v_2\, {\rm e}^{- (v_1 -u_1)-(u_2-v_2 ) } (v_1-v_2)^{2H-1}\mathbb{1}_{[s] }(u_1)\mathbb{1}_{[s,t] }(u_2 )\\ & +\int_{s} ^t {\rm e}^{- (v_1 -u_1)-(u_2-s ) } (v_1-s)^{2H-1}\mathrm{d} v_1 \mathbb{1}_{[s] }(u_1)\mathbb{1}_{[s,t] }(u_2 ) \\ J_{21}&= \int_0^s \mathrm{d} v_1\int_{s} ^t \mathrm{d} v_2\, {\rm e}^{ v_1 -u_1+ u_2-v_2 }\big( v_1^{2H-1}+ (v_2-v_1)^{2H-1} \big)\mathbb{1}_{[s,t] }(u_1) \mathbb{1}_{[s] } (u_2 )\\ & +2 \int_0^{s} {\rm e}^{ v_1 -u_1 +u_2-s } \big( v_1^{2H-1}+ (s-v_1)^{2H-1} \big)\mathrm{d} v_1 \mathbb{1}_{[s,t] }(u_1) \mathbb{1}_{[s] } (u_2 ) \\ J_{22} &={\int_{0\le v_1\le v_2\le s} {\rm e}^{- (u_1 -v_1)-(u_2-v_2 ) } \big(v_1^{2H-1}+(v_2-v_1)^{2H-1}\big) \mathrm{d} v_1\mathrm{d} v_2}\mathbb{1}_{[s,\,t]^2 }(u_1, u_2 )\\ & +{\int_{0\le v_2\le v_1\le s} {\rm e}^{- (u_1 -v_1)-(u_2-v_2 ) } (v_1-v_2)^{2H-1} \mathrm{d} v_1\mathrm{d} v_2}\mathbb{1}_{[s,\,t]^2 }(u_1, u_2 )\\ & +\int_0^s {\rm e}^{- (u_1 -v_1)-(u_2 -s) } \big(v_1^{2H-1}+(s-v_1)^{2H-1}\big) \mathrm{d} v_1\mathbb{1}_{[s,\,t]^2 }(u_1, u_2 ). \end{align*}$

由引理 5.1 和推论 5.1 得: 存在不依赖 $T$ 的正常数 $C$, 使得

$\begin{align*} (\mu\times \mu)(J_{11})&\le C\big((t-s)^{2H+1} +(t-s)^{2H}\big),\quad (\mu\times \mu)(J_{12}) \le C(t-s)^{2H},\\ (\mu\times \mu) (J_{21})&\le C(t-s)^{H},\quad (\mu\times \mu)(J_{22})\le C (t-s)^{2H}. \end{align*}$

将上述估计代入不等式 (5.60) 即得不等式 (5.59).

引理5.10 记 $a_{+}=\max\{a,0\}$. 设 $f_T,\, h_T$ 分别由 (3.1)-(3.2) 式给出. 则存在不依赖 $T$ 的正常数 $C$, 使得当 $T\ge 1$ 时有不等式:

(5.61)$ \begin{matrix} | < f_T,\, h_T>_{\mathfrak{H}^{\otimes 2}}| \le C \times \left\{ \begin{array}{ll} T^{(4H-1)_{+}}, & \quad \ H\in (0,\frac14)\cup(\frac14,\frac12), \log T, &\quad \ H= \frac14. \end{array} \right. \end{matrix} $

证不失一般性, 设 $\theta=1$. 类似于引理 5.8 和引理 5.9 的证明, 有

$\begin{align*} |{ f_T,\, h_T}_{\mathfrak{H}_1^{\otimes 2}}|\le I_1+I_2+I_3+I_4, \end{align*}$

其中

$\begin{align*} I_1&=\int_{[T]^4} {\rm e}^{-|u_1-v_1|-(T-u_2)-(T-v_2)} |\frac{\partial }{\partial u_2}R^B(u_1,\,u_2) | |\frac{\partial }{\partial v_1}R^B(v_1,\,v_2) | \mathrm{d} {u}_1\mathrm{d} u_2\mathrm{d} {v_1}\mathrm{d} v_2,\\ I_2&=\int_{[T]^3} {\rm e}^{- (T-v_1)-(T-u_2)-(T-v_2)} |\frac{\partial }{\partial u_2}R^B(T,\,u_2) | |\frac{\partial }{\partial v_1}R^B(v_1,\,v_2) | \mathrm{d} {u}_2\mathrm{d} {v_1}\mathrm{d} v_2,\\ I_3&=\int_{[T]^3} {\rm e}^{- |u_1-v_1|-(T-u_2) } |\frac{\partial }{\partial u_2}R^B(u_1,\,u_2) | |\frac{\partial }{\partial v_1}R^B(v_1,\,T) | \mathrm{d} {u_1}\mathrm{d} u_2\mathrm{d} {v}_1,\\ I_4&=\int_{[T]^2} {\rm e}^{- (T-v_1)-(T-u_2) } |\frac{\partial }{\partial u_2}R^B(T,\,u_2) | |\frac{\partial }{\partial v_1}R^B(v_1,\,T) | \mathrm{d} {u_2}\mathrm{d} {v_1}. \end{align*}$

由推论 5.1、引理 5.1 和引理 5.2 知: 若 $H\neq \frac14$, 则存在不依赖 $T$ 的正常数 $C$, 使得当 $T\ge 1$ 时有

$\begin{align*} I_1&\le \int_{[T]^2} {\rm e}^{-|u_1-v_1| } \frac{\partial }{\partial u_1}R^B(u_1, T) {\frac{\partial }{\partial v_1}R^B(v_1,T) }\mathrm{d} u_1\mathrm{d} v_1 \le C T^{(4H-1)_{+}},\\ I_2&\le \int_{[T]^2} {\rm e}^{v_1- T +v_2 -T } |\frac{\partial }{\partial v_1}R^B(v_1,\,v_2) | \mathrm{d} { v_1}\mathrm{d} { v_2} \le C \int_0^T {\rm e}^{ v_2 -T} {\frac{\partial }{\partial v_2}R^B(T,\,v_2) } \mathrm{d} v_2\le C,\\ I_3&\le \int_{[T]^2} {\rm e}^{-|u_1-v_1| } \frac{\partial }{\partial u_1}R^B(u_1, T) {\frac{\partial }{\partial v_1}R^B(v_1,T) }\mathrm{d} u_1\mathrm{d} v_1 \le C T^{(4H-1)_{+}},\\ I_4&\le C \bigg(\int_0^T {\rm e}^{ v_1 -T} |\frac{\partial }{\partial v_1}R^B(T,\,v_1) | \mathrm{d} v_1\bigg)^2\le C, \end{align*}$

及

$\begin{align*} (\mu\times \mu) (|f_T|)&=\int_{[T]^2}{\rm e}^{-|u-v|}(uv)^{H-1}\mathrm{d} u\mathrm{d} v\le C\int_0^T v^{H-1} (1\wedge v^{H-1})\mathrm{d} v\le C,\\ (\mu\times \mu) (|h_T|)&=\bigg( \int_0^T {\rm e}^{v-T} v^{H-1}\mathrm{d} v \bigg)^2\le C\\ (\mu\times \mu) (|f_T\otimes_{1'}h_T|)&\le \bigg(\int_0^T {\rm e}^{v_2-T}v_2^{H-1}\mathrm{d} v_2\bigg)^2 \int_0^T {\rm e}^{u_2-T} \frac{\partial }{\partial u_2}R^B(u_2, T)\mathrm{d} u_2\\ & +\int_0^T\phi(u_2,T){\rm e}^{u_2-T}\mathrm{d} u_2 \int_0^T {\rm e}^{v_2-T}v_2^{H-1}\mathrm{d} v_2 \le C T^{4H-2}. \end{align*}$

其中函数 $\phi(\cdot, T)$ 由 (5.2) 式给出.

比较数值 $0,\, (4H-1)_{+}$, 和 $4H-2$ 知, $(4H-1)_{+}$ 最大. 故

$\begin{align*} | < f_T,\, h_T>_{\mathfrak{H}_1^{\otimes 2}}| + (C_{H}' )^2(\mu \times \mu)(|f_T|) (\mu \times \mu)(|h_T|) + 2C_{H}'(\mu \times \mu)(|f_T\otimes_{1'}h_T|)\le CT^{(4H-1)_{+}}, \end{align*}$

该式结合绝对值不等式及不等式 (2.9) 即得 (5.61) 式. $H=\frac14$ 的情况同理可证.

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We consider a least square-type method to estimate the drift parameters for the mean-reverting Ornstein–Uhlenbeck process of the second kind [Formula: see text] defined as [Formula: see text], with unknown parameters [Formula: see text] and [Formula: see text], where [Formula: see text] with [Formula: see text], and [Formula: see text] is a Gaussian process. In order to establish the consistency and the asymptotic distribution of least square-type estimators of [Formula: see text] and [Formula: see text] based on the continuous-time observations [Formula: see text] as [Formula: see text], we impose some technical conditions on the process [Formula: see text], which are satisfied, for instance, if [Formula: see text] is a fractional Brownian motion with Hurst parameter [Formula: see text], [Formula: see text] is a subfractional Brownian motion with Hurst parameter [Formula: see text] or [Formula: see text] is a bifractional Brownian motion with Hurst parameters [Formula: see text]. Our method is based on pathwise properties of [Formula: see text] and [Formula: see text] proved in the sequel.

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Parameter estimation for the Rosenblatt Ornstein-Uhlenbeck process with periodic mean

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[本文引用: 1]

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Berry-Esseen bound for the parameter estimation of fractional Ornstein-Uhlenbeck processes with $H\in (0,\frac12)$

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Parameter estimation for an Ornstein-Uhlenbeck process driven by a general gaussian noise

2021

... 文献 [1]研究了由以下随机微分方程定义的一维分数 Ornstein-Uhlenbeck 过程 (O-U 过程) 的未知参数

$\theta$

的估计问题 ...

... 其中关于

$G$

的积分是 Skorohod 意义 (或散度型积分) 的. 文献 [1] 中得到了当

$H\ge \frac12$

时这两类统计量的强相合性、渐近正态性和 Berry-Esséen 类上界. ...

... 可得分数布朗运动驱动的 O-U 过程两个估计量的强相合性. 另外, 文献 [4,13] 利用协方差函数

$\mathbb{E} [\xi_t\xi_0]$

的渐近展开, 得到驱动噪声为分数布朗运动时,

$\tilde{\theta}_{T}$

的 Berry-Esséen 界. 但是对本文的情况,

$\xi_t$

不再是平稳高斯过程, 故上述 Pickands 定理及文献 [4,13] 的方法不再适用. 我们转而通过多重 Wiener-Itó 积分的超收缩性、Kolmogorov 连续性定理和 Garsia-Rodemich-Rumsey 不等式绕过这个难点, 得到了当

$t\to\infty$

时, 随机积分 (见命题 3.2 和 3.4) 几乎必然收敛到零. 该方法可以替代文献 [1,15,28,29,30,31] 中 Pickands 定理起到的作用. 在不同于本文的假设下, 文献 [32] 利用矩母函数得到了类似的结果. 对于多重 Wiener-Itó 随机积分而言, 超收缩性可以推出指数可积性, 所以这两种方法是类似的, 参见文献 [33]. 对于 Garsia-Rodemich-Rumsey 不等式, 参见文献 [33,34]. ...

...

$H> \frac12$

的情况在文献 [1] 中已研究, 故本文仅处理

$H \in(0,\, \frac12)$

的情况. 先定义一些证明中用到的函数 ...

... 证证明类似于文献 [1,28]. 这里只证

$\lim\limits_{T\to \infty}\frac{F_T}{T}=0$

. 当

$H \in (0,\frac{1}{2})$

时, 由切比雪夫不等式、多重 Wiener-Itô 随机积分的超收缩性和命题 3.1 知:

$\forall\epsilon > 0$

, ...

... 证我们沿着文献 [1,命题 5.3] 的证明方法. 首先, 由四阶矩类型的 Berry-Esséen 界 (例如文献 [35,推论 5.2.10]) 得 ...

... 即可. 而这由文献 [1,(5.8) 式], 及以下三个估计可以得到. ...

... 由引理 5.10, 命题 4.1 及文献 [1,(5.9) 式] 知: 若

$H\neq \frac14$

, 则有 ...

... 矩估计

$\,\tilde{\theta}_T$

的 Berry-Esséen 类上界 (1.13) 可由文献 [13,定理3.2] 方法得到. 详见文献 [1] 定理 1.3 的证明. 我们仅指出 (1.13) 式可由命题 4.2 和以下估计得到 ...

... 估计 (4.9) 式由文献 [1] 的引理 5.4、注 (3.2) 和高斯分布的基本不等式 ...

Stochastic calculus with respect to Gaussian processes

2001

... 这里先简单评论一下 LSE

$\hat{\theta}_T$

. 因为

$X_t$

是高斯过程, 见 (1.4) 式, 故自然的问题是积分

$\int_0^T X_t\mathrm{d}X_t$

的意义. 尽管过去二十年内, 关于高斯过程的随机积分已经得到了很多研究, 见文献 [2,3], 而本文并不讨论该主题. 我们只提及: 因 Skorohod 积分不是线性的, 故若把积分

$\int_0^T X_t\mathrm{d}X_t$

理解为 Skorohod 积分则等式 (1.5) 不成立. 因此 (1.5) 式中由左表达式和右表达式定义的 LSE 是不同的. 而由 ...

On Stratonovich and Skorohod stochastic calculus for Gaussian processes

2013

... 这里先简单评论一下 LSE

$\hat{\theta}_T$

. 因为

$X_t$

是高斯过程, 见 (1.4) 式, 故自然的问题是积分

$\int_0^T X_t\mathrm{d}X_t$

理解为 Skorohod 积分则等式 (1.5) 不成立. 因此 (1.5) 式中由左表达式和右表达式定义的 LSE 是不同的. 而由 ...

... 注2.1 与文献 [3] 不同, 本文不需要考虑定义在

$\mathcal{D}_T$

上的线性算子

$\mathbf{A}$

, 其中

$\mathcal{D}_T$

是

$(0,T )$

中具有紧支持的

$C^{\infty}$

函数的空间. 此外, 本文中的假设不同于文献 [3] 中的假设. ...

... 函数的空间. 此外, 本文中的假设不同于文献 [3] 中的假设. ...

Berry-Esseen bounds of second moment estimators for Gaussian processes observed at high frequency

2022

... 与 LSE

$\hat{\theta}_T$

相比较, 矩估计

$\tilde{\theta}_T$

是

$\theta$

真正的估计量, 且可以被离散化. 本文不研究基于离散观测的估计问题, 后者参见文献 [4] 及其中的文献. ...

... 可得分数布朗运动驱动的 O-U 过程两个估计量的强相合性. 另外, 文献 [4,13] 利用协方差函数

$\mathbb{E} [\xi_t\xi_0]$

的渐近展开, 得到驱动噪声为分数布朗运动时,

$\tilde{\theta}_{T}$

的 Berry-Esséen 界. 但是对本文的情况,

$\xi_t$

$t\to\infty$

... 不再是平稳高斯过程, 故上述 Pickands 定理及文献 [4,13] 的方法不再适用. 我们转而通过多重 Wiener-Itó 积分的超收缩性、Kolmogorov 连续性定理和 Garsia-Rodemich-Rumsey 不等式绕过这个难点, 得到了当

$t\to\infty$

2004

... 过去几十年中, 当高斯过程是布朗运动时, 人们对参数

$\theta$

的统计推断问题做了大量研究 (见文献 [5,6] 和其中的参考文献). 当高斯过程是分数布朗运动时, 文献 [7,8] 得到了极大似然估计 (MLE) 的相合性, 文献 [9,10] 证明了中心极限定理, 文献 [11,12] 研究了 LSE 和矩估计的渐近行为. 文献 [13] 得到了一般平稳增量高斯过程的矩估计. 文献 [14] 研究了次分数布朗运动情况下的 MLE. 最近, 文献 [15] 研究了混合次分数布朗运动情况的 LSE. 我们还提及一些非遍历情况 (

$\theta<0$

) 下的工作. 当高斯过程是布朗运动时, 文献 [16,17] 得到了 MLE, 及其极限分布: 柯西分布. 文献 [18,19,20,21] 及其中的参考文献给出了分数布朗运动和其他高斯过程情况下的 LSE. 而文献 [22,23] 及其参考文献中涉及了非高斯 Hermite 过程驱动的 Ornstein-Uhlenbeck 过程. ...

2001

... 过去几十年中, 当高斯过程是布朗运动时, 人们对参数

$\theta$

$\theta<0$

Statistical analysis of the fractional Ornstein-Uhlenbeck type process

2002

... 过去几十年中, 当高斯过程是布朗运动时, 人们对参数

$\theta$

$\theta<0$

Statistical aspects of the fractional stochastic calculus

2007

... 过去几十年中, 当高斯过程是布朗运动时, 人们对参数

$\theta$

$\theta<0$

Sharp large deviations for the fractional Ornstein-Uhlenbeck process

2011

... 过去几十年中, 当高斯过程是布朗运动时, 人们对参数

$\theta$

$\theta<0$

Asymptotic properties of MLE for partially observed fractional diffusion system

2010

... 过去几十年中, 当高斯过程是布朗运动时, 人们对参数

$\theta$

$\theta<0$

Parameter estimation for fractional Ornstein-Uhlenbeck processes

2010

... 过去几十年中, 当高斯过程是布朗运动时, 人们对参数

$\theta$

$\theta<0$

... 这里

$0<c<\infty$

$0<\alpha\le 2$

, 则对于任何

$\gamma>0$

, 当

$t\to \infty$

时,

$\frac{\xi_t}{t^{\gamma}}$

几乎必然收敛于零. 应用该定理于平稳高斯过程^[11,12] ...

Parameter estimation for fractional Ornstein-Uhlenbeck processes of general Hurst parameter

2019

... 过去几十年中, 当高斯过程是布朗运动时, 人们对参数

$\theta$

$\theta<0$

... 当

$\theta>0$

时, 即遍历的情况下, 对上述 LSE (1.5) 式和矩估计 (1.6) 式, 据我们所知, 除文献 [12,24] 外, 大部分研究局限于 Hurst 参数

$H\in (\frac12, 1)$

. 这主要源于分数高斯过程联系的希尔伯特空间的内积的表示公式在

$H\in (\frac12, 1)$

和

$H\in (0, \frac12)$

时差异显著. 比如, 一个显著的事实是当

$H\in (0,\,\frac12)$

时, 范数的单调性可能不成立, 详见第 2 节或文献 [25]. ...

... 这里

$0<c<\infty$

$0<\alpha\le 2$

, 则对于任何

$\gamma>0$

, 当

$t\to \infty$

时,

$\frac{\xi_t}{t^{\gamma}}$

几乎必然收敛于零. 应用该定理于平稳高斯过程^[11,12] ...

... 其次, 由文献 [12,24] 知 ...

... 其中最后一个不等式由文献 [12] 中的不等式 (3.17)、引理 5.4 和引理 5.7 得到. 由分部积分公式得 ...

Parameter estimation for the Langevin equation with stationary-increment Gaussian noise

2018

... 过去几十年中, 当高斯过程是布朗运动时, 人们对参数

$\theta$

$\theta<0$

... 可得分数布朗运动驱动的 O-U 过程两个估计量的强相合性. 另外, 文献 [4,13] 利用协方差函数

$\mathbb{E} [\xi_t\xi_0]$

的渐近展开, 得到驱动噪声为分数布朗运动时,

$\tilde{\theta}_{T}$

的 Berry-Esséen 界. 但是对本文的情况,

$\xi_t$

$t\to\infty$

... ,13] 的方法不再适用. 我们转而通过多重 Wiener-Itó 积分的超收缩性、Kolmogorov 连续性定理和 Garsia-Rodemich-Rumsey 不等式绕过这个难点, 得到了当

$t\to\infty$

... 注1.2 对于矩估计

$\tilde{\theta}_T$

, 若驱动噪声

$G_t$

是分数布朗运动

$B_t^H,\,H\in (0,\,\frac12)$

时, 则 (1.13) 式中的 Berry-Esséen 类上界可以改进为

$\frac{1}{\sqrt{T}}$

, 参见文献 [13,命题4.1]. 因此, 可以合理地猜测, 当

$H\in (\frac14,\frac12)$

时,

$\frac{1}{\sqrt{T}}$

为这两个估计量的 Berry-Esséen 类上界更好的界. 这需要找到比命题 4.1 及文献 [24,引理 3.11] 更好的估计式. ...

... 矩估计

$\,\tilde{\theta}_T$

的 Berry-Esséen 类上界 (1.13) 可由文献 [13,定理3.2] 方法得到. 详见文献 [1] 定理 1.3 的证明. 我们仅指出 (1.13) 式可由命题 4.2 和以下估计得到 ...

Parametric estimation for SDEs with additive sub-fractional Brownian motion

2011

... 过去几十年中, 当高斯过程是布朗运动时, 人们对参数

$\theta$

$\theta<0$

Mixed sub-fractional Brownian motion and drift estimation of related Ornstein-Uhlenbeck process

2022

... 过去几十年中, 当高斯过程是布朗运动时, 人们对参数

$\theta$

$\theta<0$

... 可得分数布朗运动驱动的 O-U 过程两个估计量的强相合性. 另外, 文献 [4,13] 利用协方差函数

$\mathbb{E} [\xi_t\xi_0]$

的渐近展开, 得到驱动噪声为分数布朗运动时,

$\tilde{\theta}_{T}$

的 Berry-Esséen 界. 但是对本文的情况,

$\xi_t$

$t\to\infty$

1983

... 过去几十年中, 当高斯过程是布朗运动时, 人们对参数

$\theta$

$\theta<0$

Parameter estimation for some non-recurrent solutions of SDE

2003

... 过去几十年中, 当高斯过程是布朗运动时, 人们对参数

$\theta$

$\theta<0$

Parameter estimation for fractional Ornstein-Uhlenbeck processes: non-ergodic case

2011

... 过去几十年中, 当高斯过程是布朗运动时, 人们对参数

$\theta$

$\theta<0$

Least squares estimator for non-ergodic Ornstein-Uhlenbeck processes driven by Gaussian processes

2016

... 过去几十年中, 当高斯过程是布朗运动时, 人们对参数

$\theta$

$\theta<0$

Parametric estimation for sub-fractional Ornstein-Uhlenbeck process

2013

... 过去几十年中, 当高斯过程是布朗运动时, 人们对参数

$\theta$

$\theta<0$

Parameter estimation for Gaussian mean-reverting Ornstein-Uhlenbeck processes of the second kind: non-ergodic case

2020

... 过去几十年中, 当高斯过程是布朗运动时, 人们对参数

$\theta$

$\theta<0$

Parameter estimation for the Rosenblatt Ornstein-Uhlenbeck process with periodic mean

2020

... 过去几十年中, 当高斯过程是布朗运动时, 人们对参数

$\theta$

$\theta<0$

The least squares estimator for an Ornstein-Uhlenbeck process driven by a Hermite process with a periodic mean

2021

... 过去几十年中, 当高斯过程是布朗运动时, 人们对参数

$\theta$

$\theta<0$

Berry-Esseen bound for the parameter estimation of fractional Ornstein-Uhlenbeck processes with $H\in (0,\frac12)$

2021

... 当

$\theta>0$

时, 即遍历的情况下, 对上述 LSE (1.5) 式和矩估计 (1.6) 式, 据我们所知, 除文献 [12,24] 外, 大部分研究局限于 Hurst 参数

$H\in (\frac12, 1)$

. 这主要源于分数高斯过程联系的希尔伯特空间的内积的表示公式在

$H\in (\frac12, 1)$

和

$H\in (0, \frac12)$

时差异显著. 比如, 一个显著的事实是当

$H\in (0,\,\frac12)$

时, 范数的单调性可能不成立, 详见第 2 节或文献 [25]. ...

... 注1.2 对于矩估计

$\tilde{\theta}_T$

, 若驱动噪声

$G_t$

是分数布朗运动

$B_t^H,\,H\in (0,\,\frac12)$

时, 则 (1.13) 式中的 Berry-Esséen 类上界可以改进为

$\frac{1}{\sqrt{T}}$

, 参见文献 [13,命题4.1]. 因此, 可以合理地猜测, 当

$H\in (\frac14,\frac12)$

时,

$\frac{1}{\sqrt{T}}$

为这两个估计量的 Berry-Esséen 类上界更好的界. 这需要找到比命题 4.1 及文献 [24,引理 3.11] 更好的估计式. ...

... 推论2.1 设

$g=h\cdot \mathbb{1}_{[a,b]}(\cdot)$

, 其中

$h$

为连续可微函数,

$0\le a<b\le T$

;

$\delta_a(\cdot)$

为以

$a$

为中心的狄拉克单点测度, 参见文献 [24], 则有 ...

... 注3.1 由上述命题和文献 [24,引理 3.11] 得: 若

$H\in (0,\frac12)$

, 则极限 ...

... 其次, 由文献 [12,24] 知 ...

... 注3.2 文献 [24,引理 3.2] 给出极限 ...

On the Wiener integral with respect to the fractional Brownian motion on an interval

2007

... 当

$\theta>0$

时, 即遍历的情况下, 对上述 LSE (1.5) 式和矩估计 (1.6) 式, 据我们所知, 除文献 [12,24] 外, 大部分研究局限于 Hurst 参数

$H\in (\frac12, 1)$

. 这主要源于分数高斯过程联系的希尔伯特空间的内积的表示公式在

$H\in (\frac12, 1)$

和

$H\in (0, \frac12)$

时差异显著. 比如, 一个显著的事实是当

$H\in (0,\,\frac12)$

时, 范数的单调性可能不成立, 详见第 2 节或文献 [25]. ...

... 记

$\mathcal{V}_{[T]}$

为区间

$[T]$

上有界变差函数的集合. 则

$\mathcal{V}_{[T]}$

在

$\mathfrak{H}$

中稠, 见文献 [25]. 当限制在集合

$\mathcal{V}_{[T]}$

上时, 由文献 [25,定理 2.3] 有 ...

... 上时, 由文献 [25,定理 2.3] 有 ...

Berry-Esseen bounds and almost sure CLT for the quadratic variation of a class of Gaussian process

2023

... 本文的起点是建立一类分数高斯过程联系的不等式 (2.8) 和 (2.9). 该不等式建立了这类分数高斯过程与分数布朗运动各自的希尔伯特空间内积的定量关系. 为此, 先将假设 1.1 改进为文献 [26] 中的假设. ...

... 引理2.1 (分部积分公式^[26]) 令

$[a,b] $

是长度为正的紧区间,

$\mathcal{V}_{[a,b]}$

为

$[a,b]$

上的有界变差函数集合. 若函数

$\phi:[a,b]\to \mathbb{R}$

在

$[a,b]$

上连续, 在

$(a,b)$

上可微且

$\phi' $

绝对可积, 则对任意的

$f\in \mathcal{V}_{[a,b]}$

, 有 ...

Asymptotic properties of the maximum in a stationary Gaussian process

1969

... Pickands的著名定理指出^[27]: 若单位方差的平稳高斯过程

$\xi_t$

的协方差函数

$\mathrm{Cov}(\xi_0,\,\xi_t)$

满足: 当

$t\to 0$

时, 有渐近展开 ...

Parameter estimation of complex fractional Ornstein-Uhlenbeck processes with fractional noise

2017

... 可得分数布朗运动驱动的 O-U 过程两个估计量的强相合性. 另外, 文献 [4,13] 利用协方差函数

$\mathbb{E} [\xi_t\xi_0]$

的渐近展开, 得到驱动噪声为分数布朗运动时,

$\tilde{\theta}_{T}$

的 Berry-Esséen 界. 但是对本文的情况,

$\xi_t$

$t\to\infty$

... 不等式 (3.15) 由 Garsia-Rodemich-Rumsey 不等式得到 (见文献 [28,命题 3.4]). 为读者的方便, 将其重述如下: 不等式 (3.14) 推出存在与

$T$

无关的正常数

$C$

使得对任意的

$ |t-s| \le 1$

, 有 ...

... 证证明类似于文献 [1,28]. 这里只证

$\lim\limits_{T\to \infty}\frac{F_T}{T}=0$

. 当

$H \in (0,\frac{1}{2})$

时, 由切比雪夫不等式、多重 Wiener-Itô 随机积分的超收缩性和命题 3.1 知:

$\forall\epsilon > 0$

, ...

Least-squares estimation for the Vasicek model driven by the complex fractional Brownian motion

2022

... 可得分数布朗运动驱动的 O-U 过程两个估计量的强相合性. 另外, 文献 [4,13] 利用协方差函数

$\mathbb{E} [\xi_t\xi_0]$

的渐近展开, 得到驱动噪声为分数布朗运动时,

$\tilde{\theta}_{T}$

的 Berry-Esséen 界. 但是对本文的情况,

$\xi_t$

$t\to\infty$

Parameter estimation for Vasicek model driven by a general Gaussian noise

2023

... 可得分数布朗运动驱动的 O-U 过程两个估计量的强相合性. 另外, 文献 [4,13] 利用协方差函数

$\mathbb{E} [\xi_t\xi_0]$

的渐近展开, 得到驱动噪声为分数布朗运动时,

$\tilde{\theta}_{T}$

的 Berry-Esséen 界. 但是对本文的情况,

$\xi_t$

$t\to\infty$

Estimating drift parameters in a non-ergodic Gaussian Vasicek-type model

2021

... 可得分数布朗运动驱动的 O-U 过程两个估计量的强相合性. 另外, 文献 [4,13] 利用协方差函数

$\mathbb{E} [\xi_t\xi_0]$

的渐近展开, 得到驱动噪声为分数布朗运动时,

$\tilde{\theta}_{T}$

的 Berry-Esséen 界. 但是对本文的情况,

$\xi_t$

$t\to\infty$

On drift parameter estimation in models with fractional Brownian motion

2015

... 可得分数布朗运动驱动的 O-U 过程两个估计量的强相合性. 另外, 文献 [4,13] 利用协方差函数

$\mathbb{E} [\xi_t\xi_0]$

的渐近展开, 得到驱动噪声为分数布朗运动时,

$\tilde{\theta}_{T}$

的 Berry-Esséen 界. 但是对本文的情况,

$\xi_t$

$t\to\infty$

Analysis on Gaussian Spaces

2017

... 可得分数布朗运动驱动的 O-U 过程两个估计量的强相合性. 另外, 文献 [4,13] 利用协方差函数

$\mathbb{E} [\xi_t\xi_0]$

的渐近展开, 得到驱动噪声为分数布朗运动时,

$\tilde{\theta}_{T}$

的 Berry-Esséen 界. 但是对本文的情况,

$\xi_t$

$t\to\infty$

... ]. 对于 Garsia-Rodemich-Rumsey 不等式, 参见文献 [33,34]. ...

... 由 Garsia-Rodemich-Rumsey 不等式^[33,34]得: 当

$p>\frac{4}{H}$

时, 对所有的

$s,t\in [n,n+1]$

, 有 ...

Multidimensional Diffusion Processes

1979

... 可得分数布朗运动驱动的 O-U 过程两个估计量的强相合性. 另外, 文献 [4,13] 利用协方差函数

$\mathbb{E} [\xi_t\xi_0]$

的渐近展开, 得到驱动噪声为分数布朗运动时,

$\tilde{\theta}_{T}$

的 Berry-Esséen 界. 但是对本文的情况,

$\xi_t$

$t\to\infty$

... 由 Garsia-Rodemich-Rumsey 不等式^[33,34]得: 当

$p>\frac{4}{H}$

时, 对所有的

$s,t\in [n,n+1]$

, 有 ...

2012

... 其中

$g\tilde\otimes_r h$

是

$g\otimes_r h$

的对称化, 参见文献 [35]. ...

... 四阶矩定理刻画了 Wiener-Itô 多重随机积分序列的中心极限定理^[35,36] ...

... 注4.1 由文献 [35,推论 5.2.10], 不等式 (4.7) 中的距离可以改进为全变差距离. ...

... 证我们沿着文献 [1,命题 5.3] 的证明方法. 首先, 由四阶矩类型的 Berry-Esséen 界 (例如文献 [35,推论 5.2.10]) 得 ...

Central limit theorems for sequences of multiple stochastic integrals

2005

... 四阶矩定理刻画了 Wiener-Itô 多重随机积分序列的中心极限定理^[35,36] ...

Multiple Wiener-It? integrals:an introductory survey

1994

Optimal Berry-Esséen bound for statistical estimations and its application to SPDE

2017

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