一类 2$\times$2 双曲偏微分系统的 PDP 边界控制

一类 2 $\times$ 2 双曲偏微分系统的 PDP 边界控制

庞玉婷^,¹, 赵东霞^,¹^,^*, 赵鑫^,², 高彩霞^,¹

¹中北大学数学学院太原 030051

²太原理工大学电气与动力工程学院太原 030024

The PDP Boundary Control for a Class of 2 $\times$ 2 Hyperbolic Partial Differential System

Pang Yuting^,¹, Zhao Dongxia^,¹^,^*, Zhao Xin^,², Gao Caixia^,¹

¹School of Mathematics, North University of China, Taiyuan 030051

²School of Electrical and Power Engineering, Taiyuan University of Technology, Taiyuan 030024

通讯作者: * 赵东霞，Email: zhaodongxia6@sina.com

收稿日期: 2022-03-18 修回日期: 2023-03-8

基金资助:

山西省基础研究计划资助项目(20210302123046)

Received: 2022-03-18 Revised: 2023-03-8

Fund supported:

Fundamental Research Program of Shanxi Province(20210302123046)

作者简介 About authors

庞玉婷，Email:2116786325@qq.com;

赵鑫，Email:1808642517@qq.com;

高彩霞，Email:1519546532@qq.com

摘要

该文研究了具有恒定坡度和底部摩擦的单段明渠系统的指数稳定性, 该系统由 $2\times2$ 双曲偏微分方程描述. 通过设计位置反馈和延迟位置反馈(简称PDP)边界控制器来解决系统的反馈镇定问题. 首先, 利用算子半群理论给出系统适定性的证明. 然后, 通过构造合适的Lyapunov函数分析闭环系统的指数稳定性, 并获得了反馈参数和时滞需要满足的充分条件. 此外, 还利用谱分析方法建立了系统算子特征根和特征向量的渐近表达式. 最后, 通过一个数值仿真示例来评估PDP控制器性能.

关键词： 双曲PDE系统; Lyapunov函数; PDP边界控制器; 指数稳定性

Abstract

This paper studies the exponential stability of a single open-channel system with constant slope and bottom friction, which is described by a $2\times2$ hyperbolic partial differential equation. The position feedback and delayed position feedback (PDP for short) boundary controller is designed to solve the problem of feedback stabilization. Firstly, the well-posedness of the system is proved by using operator semigroup theory. Then, the exponential stability of the closed-loop system is analyzed by constructing an appropriate Lyapunov function, and sufficient conditions for feedback parameters and time-delay are obtained. In addition, the asymptotic expressions of the eigenvalues and the eigenfunctions of the system operator are given by spectral analysis method. Finally, a numerical example is used to evaluate the performance of the PDP controller.

Keywords： Hyperbolic PDE system; Lyapunov function; PDP boundary controller; Exponential stability

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本文引用格式

庞玉婷, 赵东霞, 赵鑫, 高彩霞. 一类 2 $\times$ 2 双曲偏微分系统的 PDP 边界控制[J]. 数学物理学报, 2023, 43(5): 1471-1482

Pang Yuting, Zhao Dongxia, Zhao Xin, Gao Caixia. The PDP Boundary Control for a Class of 2 $\times$ 2 Hyperbolic Partial Differential System[J]. Acta Mathematica Scientia, 2023, 43(5): 1471-1482

1 引言

1871年, 法国科学家Saint-Venant建立了著名的非线性Saint-Venant偏微分方程, 该方程由反映质量守恒的连续方程和反映动量守恒的运动方程组成, 可以描述渠道和其他具有自由表面的浅水体中非恒定渐变水流的运动规律. 到目前为止, 已有大量关于该方程的研究成果, 被广泛应用于明渠灌溉^[1], 运河航运^[2], 管道运输^[3]和交通流系统^[4].

Saint-Venant方程属于一阶拟线性 $2\times2$ 双曲偏微分方程. 在过去的几十年里, 许多形式的 $2\times2$ 双曲型偏微分系统得到了广泛的研究, 并取得了一系列兼具理论意义和应用价值的成果. 文献^[5]致力于有界闭区间上一维双曲守恒律系统和平衡律系统的控制器设计和指数稳定性的证明. 在文献^[6]中, 针对一类具有变系数的一维 $2\times2$ 线性双曲型偏微分方程组, 基于反步法研究了边界稳定和状态估计问题. 在文献^[7]中, 利用频域法分析双曲守恒律系统在比例反馈下的稳定性问题, 并利用Nyquist定理给出了闭环系统稳定性的充要条件. 为了控制双曲守恒律系统达到指定状态, 文献^[8]提出一种基于Riemann不变量的边界控制方法. 文献^[9]则是利用Lyapunov函数研究了该系统在比例积分(PI)边界条件下的反馈镇定和扰动抑制问题.

对于双曲系统的边界控制问题, 关键是控制器设计和稳定性分析. 从已有文献来看, 稳定性分析方法通常有Lyapunov函数法, 频域法, Riemann不变量法, 反步法以及谱分析方法等^{[10,11,12,13,14]}. 在控制工程实践中, PI控制器能够改善系统的稳态性能, 受到广大学者的广泛关注. 在文献^[15]和^[16]中, 相继研究了星形网络结构和级联网络结构的双曲偏微分系统的PI边界控制器的设计. 此外, 控制器的更详细设计可参见文献^[17](第5章, 第7章). 在文献^[18,19]中, 对于一类双曲守恒律偏微分系统, 提出了一种前馈边界控制方法来抑制量测扰动. 当受控系统受到显著的输入扰动时, 这种控制技术可以在影响系统输出之前进行测量和补偿.

众所周知, 在实际应用中, 系统控制器和传感器之间的通信不可避免地会产生时间延迟, 这有时可以提高受控系统的性能^[20], 亦有可能导致控制性能下降, 甚至使原本稳定的系统变得不稳定^[21,22]. 在文献^[23,24]中，Suh和Bien首先设计了比例负延迟(PMD, Proportional Minus Delay)控制器, 并证明在传统控制器上增加时间延迟反而可以改善系统的性能. 然而, 文献^[23,24]中给出的结果是基于近似分析和数值模拟的. 之后, Atay^[25]将PMD控制器应用于单摆和倒立摆系统, 采用特征根分析方法给出了系统参数的稳定域, 并得出无论时滞取值如何, 合适选取反馈参数均可使系统达到渐近稳定. Hu^[26]使用延迟位置反馈或延迟速度反馈或两者结合来镇定线性无阻尼振荡器的周期振动. 随后, Liu和Hu^[27]提出了一种结合位置反馈和延迟位置反馈(PDP, Position feedback and Delayed Position feedback)的控制器, 以稳定一类多自由度线性无阻尼系统. 近年来, 时滞反馈亦被用于镇定PDE系统. 在文献^[28]中, 通过使用反步法和Lyapunov函数法, 研究了输入端具有任意长延迟的反应扩散偏微分方程的指数稳定性. 在文献^[29]中, 基于简化的Hayami扩散波模型, 建立了系统的PDP 反馈控制策略, 并利用Lyapunov函数法建立了闭环系统的指数稳定性. 然而, 据我们所知, 对于 $2\times2$ 双曲型PDE 系统, 目前还没有关于时滞反馈控制器的研究结果.

本文致力于设计PDP边界控制器来镇定双曲型PDE系统, 该系统描述的是具有底部坡度和底部摩擦的渠道水流动力学. 本文的贡献是在输入端设计PDP 控制器, 并利用算子半群理论证明了系统的适定性. 然后通过构造合适的Lyapunov函数, 建立反馈参数和时滞值所满足的充分条件, 以保证闭环系统的指数稳定性. 本文的结构如下: 在第2节中, 利用一阶运输方程初值问题的解来描述PDP控制器中的时滞项, 得到了PDE-PDE耦合闭环系统, 并将其改写为抽象发展方程的形式. 第3节利用算子半群理论证明了系统的适定性. 在第4节中, 结合Lyapunov函数方法给出控制参数和时滞值的充分条件, 证明了闭环系统在 $L^2$ 范数下的指数稳定性. 此外, 在第5节中, 采用谱分析方法给出了系统特征值和特征向量的渐近表达式. 最后, 在第6节中采用数值仿真来评估PDP控制器性能.

2 模型建立和PDP控制器设计

本文所进行的研究是基于文献^[30]中的一个经典模型, 该模型描述了一个具有矩形横截面和恒定底部坡度的棱柱形渠道池, 如图1所示. 具体地, 该双曲系统的动力学方程如下:

$\begin{equation} \partial_t\left( \begin{array}{c} H \\ V \\ \end{array} \right) +\partial_x\left( \begin{array}{c} HV \\ \frac{V^2}{2}+gH \\ \end{array} \right) +\left( \begin{array}{c} 0 \\ g[S_f(H,V)-S_b] \\ \end{array} \right)=0, \end{equation}$

(2.1)

其中, $H(t,x)$ 和 $V(t,x)$ 分别表示 $t$ 时刻 $x$ 位置处的水面高度和水流速度, $t>0,\;x\in (0,L)$ , $L$ 是渠道长度, $g$ 为重力加速度, $S_b$ 为底部坡度, $S_f=C_f\frac{V^2}{H}$ 表示底部摩擦, 且 $C_f$ 为常数, 代表摩擦系数.

图1

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图1 具有底部坡度的单渠道系统侧视图

假设系统(2.1)的稳态为 $(H^*,V^*)$ 且满足 $S_f(H^*,V^*)=S_b.$ 在平衡状态附近将系统(2.1)作线性化处理

$\begin{equation} \begin{cases} \partial_t h+V^*\partial_x h+H^*\partial_x v=0,\\ \partial_t v+g\partial_x h+V^*\partial_x v-\Big[\frac{g}{H^*}S_b\Big]h+\Big[\frac{2g}{V^*}S_b\Big]v=0, \end{cases} \end{equation}$

(2.2)

其中 $h(t,x)=H(t,x)-H^*,\;v(t,x)=V(t,x)-V^*.$ 作Riemann坐标变换

$\begin{equation} \begin{cases} \xi_1(t,x)\doteq v(t,x)+h(t,x)\sqrt{\frac{g}{H^*}},\\ \xi_2(t,x)\doteq v(t,x)-h(t,x)\sqrt{\frac{g}{H^*}}, \end{cases} \end{equation}$

(2.3)

可得线性化Saint-Venant方程(2.2)的特征形式(详见文献^[5]第一章或文献^[30]):

(2.4)

其中

$\begin{equation} \begin{aligned} \lambda_1=\sqrt{gH^*}+V^*,\quad &\lambda_2=\sqrt{gH^*}-V^*,\\ \gamma=gS_b(\frac{1}{V^*}-\frac{1}{2\sqrt{gH^*}}),\quad &\delta=gS_b(\frac{1}{V^*}+\frac{1}{2\sqrt{gH^*}}). \end{aligned} \end{equation}$

(2.5)

本文仅考虑亚临界流动状态的情形, 即 $gH^*-(V^*)^2>0$ . 因此, $\lambda_1>\lambda_2>0$ 且 $0<\gamma<\delta.$

不妨设系统(2.4)的初始条件为

$\begin{equation} (\xi_1(0,x)\doteq\xi_1^0(x),\;\xi_2(0,x)\doteq\xi_2^0(x))\in L^2((0,L);\mathbb{R}^2), \end{equation}$

(2.6)

边界条件及控制器 $U(t)$ 的设置为

$\begin{equation} \xi_1(t,0)=R_1\xi_2(t,0)+U(t),\;\xi_2(t,L)=R_2\xi_1(t,L), \end{equation}$

(2.7)

其中, 参数 $R_1,\;R_2$ 为实常数. 在控制器的设计中, 充分考虑到传输过程中不可避免地存在时间延迟, 即

$\begin{matrix} U(t)&=K_p(H(t,0)-H^*)+K_d(H(t-\tau,0)-H^*)=K_ph(t,0)+K_dh(t-\tau,0) \\ &=\frac{K_p}{2}\sqrt{\frac{H^*}{g}}(\xi_1(t,0)-\xi_2(t,0))+\frac{K_d}{2}\sqrt{\frac{H^*}{g}} (\xi_1(t-\tau,0)-\xi_2(t-\tau,0)), \end{matrix}$

(2.8)

利用位置反馈和时滞位置反馈的线性组合设计控制器以保证闭环系统(2.4)-(2.8)的指数稳定性, 其中, 反馈参数 $K_p,\;K_d\in R,$ 时滞 $\tau>0.$

考虑到一阶运输方程初值问题

$\begin{equation} \begin{cases} \partial_t u(t,x)+\frac{L}{\tau}\partial_x u(t,x)=0,\\ u(0,x)=\xi_1(-\tau\frac{x}{L},0) \end{cases} \end{equation}$

(2.9)

的解可以表示为

$\begin{equation} u(t,x)=\xi_1(t-\tau\frac{x}{L},0). \end{equation}$

(2.10)

同理, 令

$\begin{equation} v(t,x)=\xi_2(t-\tau\frac{x}{L},0), \end{equation}$

(2.11)

则闭环系统(2.4)-(2.8)可写为如下PDE-PDE耦合系统的形式

$\begin{equation} \begin{cases} {\partial_{t}}\xi_1(t,x)+\lambda_1{\partial_{x}}\xi_1(t,x)+\gamma\xi_1(t,x)+\delta\xi_2(t,x)=0,\\ {\partial_{t}}\xi_2(t,x)-\lambda_2{\partial_{x}}\xi_2(t,x)+\gamma\xi_1(t,x)+\delta\xi_2(t,x)=0,\\ \partial_t u(t,x)+\frac{L}{\tau}\partial_x u(t,x)=0,\; \partial_t v(t,x)+\frac{L}{\tau}\partial_x v(t,x)=0,\\ \xi_1(t,0)=k_0\xi_2(t,0)+k_1(u(t,L)-v(t,L)),\\ \xi_2(t,L)=k_2\xi_1(t,L),\; u(t,0)=\xi_1(t,0),\; v(t,0)=\xi_2(t,0), \end{cases} \end{equation}$

(2.12)

其中

$\begin{equation} k_0=\frac{2R_1\sqrt{g}-K_p\sqrt{H^*}}{2\sqrt{g}-K_p\sqrt{H^*}},\;k_1=\frac{K_d\sqrt{H^*}}{2\sqrt{g}-K_p\sqrt{H^*}},\;k_2=R_2. \end{equation}$

(2.13)

在Hilbert状态空间

$\mathcal{H}=L^2(0,L)\times L^2(0,L)\times L^2(0,L)\times L^2(0,L)$

中, 定义内积

$\begin{equation} \langle X_1,X_2\rangle=\int_0^L\big[f_1(x)\overline{f_2(x)}+g_1(x)\overline{g_2(x)}\big]{\rm d}x+\tau\int_0^L\big[h_1(x)\overline{h_2(x)}+q_1(x)\overline{q_2(x)}\big]{\rm d}x, \end{equation}$

(2.14)

其中 $X_i=(f_i,g_i,h_i,q_i)\in \mathcal{H}\ (i=1,2).$ 定义线性算子 $\mathcal{A}:\;D(\mathcal{A})\subseteq \mathcal{H}\rightarrow \mathcal{H}$

$\begin{equation} \mathcal{A} X= \left( \begin{array}{cccc} -\lambda_1\frac{\partial}{\partial{x}}-\gamma & -\delta & 0 & 0 \\ -\gamma & \lambda_2\frac{\partial}{\partial{x}}-\delta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{L}{\tau}\frac{\partial}{\partial{x}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -\frac{L}{\tau}\frac{\partial}{\partial{x}} \end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} f \\ g \\ h \\ q \end{array} \right), \end{equation}$

(2.15)

$\begin{matrix} D(\mathcal{A})= \Big\{ (f, g, h, q)\in(H^1(0,L))^4 \mid f(0)=k_0g(0)+k_1(h(L)-q(L)),\nonumber\\ g(L)=k_2f(L), h(0)=f(0), q(0)=g(0) \Big\}. \end{matrix}$

(2.16)

那么, 在Hilbert状态空间 $\mathcal{H}$ 上, 系统(2.12)可改写为如下抽象发展方程的形式

$\begin{equation} \begin{cases} \dot{X}(t)=\mathcal{A}X(t),\; t>0,\\ X(0)=X_0, \end{cases} \end{equation}$

(2.17)

其中 $X(t)=(\xi_1(\cdot,t),\xi_2(\cdot,t),u(\cdot,t),v(\cdot,t))$ .

3 系统(2.17)的适定性

为了后续计算方便, 不失一般性, 在本节令 $L=1$ .

定理3.1 设算子 $\mathcal{A}$ 由(2.15)和(2.16)式给出. 如果参数满足 $k_0\neq k_1,\;k_1\neq1,\;k_2\lambda_2+\lambda_1\neq0,$ 那么 $\mathcal{A}^{-1}$ 存在并且是紧的. 从而 $\mathcal{A}$ 的谱集 $\sigma(\mathcal{A})$ 仅由有穷代数重数的孤立特征值组成.

证对于 $\forall \;X_1=(f_1,g_1,h_1,q_1)\in \mathcal{H},$ 求解 $\mathcal{A}X=X_1,$ 其中 $X=(f,g,h,q)\in D(\mathcal{A}),$ 可得

$\begin{equation} \mathcal{A} \left( \begin{array}{cccc} f \\ g \\ h \\ q \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cccc} -\lambda_1f'-\gamma f-\delta g \\ \lambda_2g'-\gamma f-\delta g -\frac{1}{\tau}h' \\ -\frac{1}{\tau}q' \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} f_1 \\ g_1 \\ h_1 \\ q_1 \\ \end{array} \right), \end{equation}$

(3.1)

即

$\begin{equation} \begin{cases} \lambda_1f'+\gamma f+\delta g+f_1=0,\; \lambda_2g'-\gamma f-\delta g-g_1=0,\; -\frac{1}{\tau}h'=h_1, \; -\frac{1}{\tau}q'=q_1, \\ f(0)=k_0g(0)+k_1(h(1)-q(1)),\; g(1)=k_2f(1),\; h(0)=f(0),\; q(0)=g(0). \end{cases} \end{equation}$

(3.2)

由(3.2)式的前两个方程可得

$\begin{equation} \lambda_1f(x)+\lambda_2g(x)-\lambda_1f(0)-\lambda_2g(0)=\displaystyle\int_0^x\big(g_1(s)-f_1(s)\big){\rm d}s. \end{equation}$

(3.3)

进而

$\begin{matrix} g(x)=\,&-\frac{\lambda_1}{\lambda_2}f(x)+\frac{\lambda_1(k_0-k_1)+\lambda_2(1-k_1)}{\lambda_2(1-k_1)}g(0) \\ &-\frac{\lambda_1k_1\tau}{\lambda_2(1-k_1)}\displaystyle\int_0^1\big(h_1(s)-q_1(s)\big){\rm d}s +\frac{1}{\lambda_2}\displaystyle\int_0^x\big(g_1(s)-f_1(s)\big){\rm d}s. \end{matrix}$

(3.4)

再将(3.4)式代入(3.2)式的第一个方程可得

$\begin{matrix} f'(x)=\,&(\frac{\delta}{\lambda_2}-\frac{\gamma}{\lambda_1})f(x)-\frac{\lambda_1(k_0-k_1) \delta+\lambda_2(1-k_1)\delta}{\lambda_1\lambda_2(1-k_1)}g(0)-\frac{f_1(x)}{\lambda_1} \\ &+\frac{\delta k_1\tau}{\lambda_2(1-k_1)}\displaystyle\int_0^1\big(h_1(s)-q_1(s)\big){\rm d}s -\frac{\delta}{\lambda_1\lambda_2}\displaystyle\int_0^x\big(g_1(s)-f_1(s)\big){\rm d}s. \end{matrix}$

(3.5)

因此, 由一阶线性常微分方程的通解公式得

$\begin{matrix} f(x)=\ &c{\rm e}^{c_1x}-\displaystyle\int_0^x{\rm e}^{c_1(x-\nu)}\Big[\frac{\lambda_1(k_0-k_1)\delta+\lambda_2(1-k_1) \delta}{\lambda_1\lambda_2(1-k_1)}g(0) \\ &-\frac{\delta k_1\tau}{\lambda_2(1-k_1)}\displaystyle\int_0^1\big(h_1(s)-q_1(s)\big){\rm d}s+\frac{\delta}{\lambda_1\lambda_2}\displaystyle\int_0^\nu\big(g_1(s)-f_1(s)\big){\rm d}s+\frac{f_1(\nu)}{\lambda_1}\Big]{\rm d}\nu, \end{matrix}$

(3.6)

其中 $c=f(0)$ , $c_1=\frac{\delta}{\lambda_2}-\frac{\gamma}{\lambda_1}\neq 0$ . 结合(3.2)式的第六个方程和(3.4)式得

$\begin{matrix} k_2f(1)=\,&-\frac{\lambda_1}{\lambda_2}f(1)+\Big[\frac{\lambda_1(k_0-k_1)}{\lambda_2 (1-k_1)}+1\Big]g(0) -\frac{\lambda_1 k_1\tau}{\lambda_2(1-k_1)}\displaystyle\int_0^1\big(h_1(s)-q_1(s)\big){\rm d}s \\ &+\frac{1}{\lambda_2}\displaystyle\int_0^1\big(g_1(s)-f_1(s)\big){\rm d}s. \end{matrix}$

(3.7)

另外, 由(3.6)式可得

$\begin{matrix} f(1)&=&f(0){\rm e}^{c_1}-\displaystyle\int_0^1{\rm e}^{c_1(1-\nu)}\Big[\frac{\lambda_1(k_0-k_1)\delta+ \lambda_2(1-k_1)\delta}{\lambda_1\lambda_2(1-k_1)}g(0) \\ &&-\frac{\delta k_1\tau}{\lambda_2(1-k_1)}\displaystyle\int_0^1\big(h_1(s)-q_1(s)\big){\rm d}s +\frac{\delta}{\lambda_1\lambda_2}\displaystyle\int_0^\nu\big(g_1(s)-f_1(s)\big){\rm d}s+\frac{1}{\lambda_1}f_1(\nu)\Big]{\rm d}\nu.\qquad \end{matrix}$

(3.8)

故结合(3.7)和(3.8)式, 有

$\begin{matrix} &&\Big[{\rm e}^{c_1}+\frac{\delta(1-{\rm e}^{c_1})}{c_1} \frac{\lambda_1(k_0-k_1)+\lambda_2(1-k_1)}{\lambda_1\lambda_2(k_0-k_1)} -\frac{\lambda_1(k_0-k_1)+\lambda_2(1-k_1)}{(k_2\lambda_2+\lambda_1)(k_0-k_1)}\Big]f(0) \\ &=&\frac{\tau k_1}{1-k_1}\Big[\frac{\delta({\rm e}^{c_1}-1)}{c_1\lambda_2}\big(\frac{\lambda_1(k_0-k_1)+\lambda_2(1-k_1)}{(k_0-k_1)\lambda_1}-1\big) +\frac{\lambda_1(k_0-k_1)+\lambda_2(1-k_1)}{(k_0-k_1)(k_2\lambda_2+\lambda_1)} \\ &&-\frac{\lambda_1}{k_2\lambda_2+\lambda_1}\Big]\displaystyle\int_0^1\big(h_1(s)-q_1(s)\big){\rm d}s-\frac{\delta}{\lambda_1 \lambda_2 c_1}\displaystyle\int_0^1(1-{\rm e}^{c_1(1-s)})\big(g_1(s)-f_1(s)\big){\rm d}s \\ &&+\frac{1}{k_2\lambda_2+\lambda_1}\displaystyle\int_0^1\big(g_1(s)-f_1(s)\big){\rm d}s+\frac{1}{\lambda_1}\displaystyle\int_0^1{\rm e}^{c_1(1-\nu)}f_1(\nu){\rm d}\nu. \end{matrix}$

(3.9)

不妨记

$\begin{matrix} M_1&=&\frac{\tau k_1}{1-k_1}\Big[\frac{\delta({\rm e}^{c_1}-1)}{c_1\lambda_2}\big(\frac{\lambda_1(k_0-k_1)+\lambda_2(1-k_1)}{(k_0-k_1)\lambda_1}-1\big) +\frac{\lambda_1(k_0-k_1)+\lambda_2(1-k_1)}{(k_0-k_1)(k_2\lambda_2+\lambda_1)} \\ &&-\frac{\lambda_1}{k_2\lambda_2+\lambda_1}\Big]\int_0^1\big(h_1(s)-q_1(s)\big){\rm d}s-\frac{\delta}{\lambda_1 \lambda_2 c_1}\int_0^1(1-{\rm e}^{c_1(1-s)})\big(g_1(s)-f_1(s)\big){\rm d}s \\ &&+\frac{1}{k_2\lambda_2+\lambda_1}\int_0^1\big(g_1(s)-f_1(s)\big){\rm d}s+\frac{1}{\lambda_1}\int_0^1{\rm e}^{c_1(1-\nu)}f_1(\nu){\rm d}\nu,\\ M_2&=&{\rm e}^{c_1}+\frac{\delta(1-{\rm e}^{c_1})}{c_1} \frac{\lambda_1(k_0-k_1)+\lambda_2(1-k_1)}{\lambda_1\lambda_2(k_0-k_1)} -\frac{\lambda_1(k_0-k_1)+\lambda_2(1-k_1)}{(k_2\lambda_2+\lambda_1)(k_0-k_1)}, \end{matrix}$

(3.10)

于是当 $M_2\neq 0$ 时可解得 $f(0)=\frac{M_1}{M_2}$ . 进而, 结合(3.2)式的第三个方程和(3.6)式可确定 $f(x)$ , 再由(3.4)式可得 $g(x)$ , 具体如下

$\begin{equation} \begin{cases} f(x)=\frac{M_1}{M_2}{\rm e}^{c_1x} -\displaystyle\int_0^x{\rm e}^{c_1(x-\nu)}\Big[\frac{\lambda_1 (k_0-k_1)+\lambda_2(1-k_1)}{\lambda_1\lambda_2(k_0-k_1)}\frac{\delta M_1}{M_2}\\ \qquad\qquad +\frac{\delta k_1\tau}{\lambda_1(k_0-k_1)}\displaystyle\int_0^1\big(h_1(s)-q_1(s)\big){\rm d}s +\frac{1}{\lambda_1}f_1(\nu)\Big]{\rm d}\nu\\ \qquad\qquad -\frac{\delta}{\lambda_1\lambda_2c_1}\displaystyle\int_0^x ({\rm e}^{c_1(x-\nu)}-1)(g_1(\nu)-f_1(\nu)){\rm d}\nu,\\ g(x)=-\frac{\lambda_1}{\lambda_2}f(x)+\frac{\lambda_1(k_0-k_1)+\lambda_2(1-k_1)}{\lambda_2(k_0-k_1)}\frac{M_1}{M_2} +\frac{1}{\lambda_2}\displaystyle\int_0^x\big(g_1(s)-f_1(s)\big){\rm d}s\\ \qquad\qquad +\frac{k_1\tau}{k_0-k_1}\displaystyle\int_0^x\big(h_1(s)-q_1(s)\big){\rm d}s,\\ h(x)=\frac{M_1}{M_2}-\tau\displaystyle\int_0^xh_1(s){\rm d}s,\\ q(x)=\frac{(1-k_1)M_1}{(k_0-k_1)M_2}+\frac{k_1\tau}{k_0-k_1}\displaystyle\int_0^x\big(h_1(s)-q_1(s)\big){\rm d}s-\tau\displaystyle\int_0^xq_1(s){\rm d}s. \end{cases} \end{equation}$

(3.11)

因此, 由Sobolve嵌入定理可知, $\mathcal{A}^{-1}$ 存在并且在 $\mathcal{H}$ 上是紧的. 从而, $\sigma(\mathcal{A})$ 仅由有穷代数重数的孤立特征值构成. 证毕.

4 系统(2.12)的指数稳定性

本节致力于构建一个合适的Lyapunov函数来分析系统(2.12)的指数稳定性.

定义4.1 如果存在正常数 $\vartheta$ 和 $C,$ 使得柯西问题(2.12)的解对任意初始条件 $(\xi_1^0(x),\xi_2^0(x))\in L^2((0,L);\mathbb{R}^2)$ 都满足

$\begin{equation*} \|\xi_1(t,\cdot),\xi_2(t,\cdot)\|_{L^2((0,L);\mathbb{R}^2)}\leq C{\rm e}^{-\vartheta t}\|\xi_1^0,\xi_2^0\|_{L^2((0,L);\mathbb{R}^2)}, \end{equation*}$

则闭环系统(2.12)在 $L^2$ 范数意义下是指数稳定的.

定理4.1 假定参数 $k_i\neq0\ (i=0,1,2)$ . 如果存在正常数 $p_i\ (i=1,2,3,4)$ 和充分小的 $\mu>0$ 使得系统参数以及调控参数 $k_i$ 和时滞 $\tau$ 满足不等式

$\begin{equation} \begin{cases} \lambda_2p_2k_2^2{\rm e}^{\mu L}\leq\lambda_1p_1{\rm e}^{-\mu L},\; (\frac{1}{\tau}p_3L+\lambda_1p_1)(k_0^2+2\left|k_0k_1\right|)+\frac{1}{\tau}p_4L\leq\lambda_2p_2,\\ (\frac{1}{\tau}p_3L+\lambda_1p_1)(2k_1^2+\left|k_0k_1\right|)\leq\frac{1}{\tau}L{\rm e}^{-\mu L}\min\{p_3,p_4\},\; \delta p_1=\gamma p_2, \end{cases} \end{equation}$

(4.1)

则闭环系统(2.12)是指数稳定的.

证构造Lyapunov候选函数

$\begin{equation} V(t)=\displaystyle\int_0^L(\xi_1^2p_1{\rm e}^{-\mu x}+\xi_2^2p_2{\rm e}^{\mu x}){\rm d}x+\displaystyle\int_0^L{\rm e}^{-\mu x}(p_3u^2+p_4v^2){\rm d}x, \end{equation}$

(4.2)

其中, $p_1,\;p_2,\;p_3,\;p_4,\;\mu$ 均为正常数. 沿系统(2.12)对该Lyapunov函数求导得

$\begin{equation} \dot{V}(t)=\dot{V_1}(t)+\dot{V_2}(t), \end{equation}$

(4.3)

且

$\begin{equation} \dot{V_1}(t)=-\big[\lambda_1p_1\xi_1^2{\rm e}^{-\mu x}-\lambda_2p_2\xi_2^2{\rm e}^{\mu x}+\frac{1}{\tau}p_3 Lu^2{\rm e}^{-\mu x} +\frac{1}{\tau}p_4 Lv^2{\rm e}^{-\mu x}\big]_0^L,\\ \end{equation}$

(4.4)

$\begin{equation} \dot{V_2}(t)=-\displaystyle\int_0^L M^T \Lambda M{\rm d}x, \end{equation}$

(4.5)

其中

$\begin{equation*} M= \left( \begin{array}{c} \xi_1 \\ \xi_2\\ u\\ v \end{array} \right),\; \Lambda= \left( \begin{array}{cccc} (\lambda_1\mu+2\gamma)p_1{\rm e}^{-\mu x} & \delta p_1{\rm e}^{-\mu x}+\gamma p_2{\rm e}^{\mu x} &0 & 0\\ \delta p_1{\rm e}^{-\mu x}+\gamma p_2{\rm e}^{\mu x} & (\lambda_2\mu+2\delta)p_2{\rm e}^{\mu x} & 0 & 0\\ 0 & 0 & \frac{1}{\tau}p_3\mu L {\rm e}^{-\mu x} &0\\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{\tau}p_4\mu L{\rm e}^{-\mu x} \end{array} \right). \end{equation*}$

将(2.12)式中的边界条件代入 $\dot{V_1}(t)$ 中得

$\begin{matrix} \dot{V_1}(t) &=&(-\lambda_1p_1{\rm e}^{-\mu L}+\lambda_2p_2{\rm e}^{\mu L} k_2^2)\xi_1^2(t,L)+\big[(\lambda_1p_1+\frac{1}{\tau}p_3L)k_0^2-\lambda_2p_2+\frac{1}{\tau}p_4L\big]\xi_2^2(t,0) \\ &&+2(\lambda_1p_1+\frac{1}{\tau}p_3L)k_0k_1\xi_2(t,0)(u(t,L)-v(t,L))+(\lambda_1p_1+\frac{1}{\tau}p_3L)k_1^2(u(t,L) \\ &&-v(t,L))^2-\frac{1}{\tau}p_3Lu^2(t,L){\rm e}^{-\mu L}-\frac{1}{\tau}p_4Lv^2(t,L){\rm e}^{-\mu L} \\ &\leq&(-\lambda_1p_1{\rm e}^{-\mu L}+\lambda_2p_2{\rm e}^{\mu L} k_2^2)\xi_1^2(t,L) \\ &&+\big[(\lambda_1p_1+\frac{1}{\tau}p_3L)k_0^2-\lambda_2p_2+\frac{1}{\tau}Lp_4+2(\lambda_1p_1+\frac{1}{\tau}p_3L)\left|k_0k_1\right|\big]\xi_2^2(t,0) \\ &&+\big[(\lambda_1p_1+\frac{1}{\tau}p_3L)\left|k_0k_1\right|+2(\lambda_1p_1+\frac{1}{\tau}p_3L)k_1^2-\frac{1}{\tau}p_3L{\rm e}^{-\mu L}\big]u^2(t,L) \\ &&+\big[(\lambda_1p_1+\frac{1}{\tau}p_3L)\left|k_0k_1\right|+2(\lambda_1p_1+\frac{1}{\tau}p_3L)k_1^2-\frac{1}{\tau}p_4L{\rm e}^{-\mu L}\big]v^2(t,L). \end{matrix}$

(4.6)

显然, 当参数满足条件

$\begin{equation} \begin{cases} \lambda_2p_2k_2^2{\rm e}^{\mu L}\leq\lambda_1p_1{\rm e}^{-\mu L}, (\frac{1}{\tau}p_3L+\lambda_1p_1)(k_0^2+2\left|k_0k_1\right|)+\frac{1}{\tau}p_4L\leq\lambda_2p_2,\\ (\frac{1}{\tau}p_3L+\lambda_1p_1)(2k_1^2+\left|k_0k_1\right|)\leq \frac{1}{\tau}L{\rm e}^{-\mu L}\min\{p_3,p_4\} \end{cases} \end{equation}$

(4.7)

时, 必有 $\dot{V_1}(t)\leq0.$

为使 $\dot{V_2}(t)<0$ , 当且仅当

$\begin{equation} \left( \begin{array}{cc} (\lambda_1\mu+2\gamma)p_1{\rm e}^{-\mu x}\quad & \delta p_1{\rm e}^{-\mu x}+\gamma p_2{\rm e}^{\mu x} \\ \delta p_1{\rm e}^{-\mu x}+\gamma p_2{\rm e}^{\mu x}\quad & (\lambda_2\mu+2\delta)p_2{\rm e}^{\mu x} \end{array} \right)>0, \end{equation}$

(4.8)

即各阶顺序主子式均大于0

$\begin{equation} \begin{array}{ll} {\rm (a)}\quad (\lambda_1\mu+2\gamma)p_1{\rm e}^{-\mu x}>0,\\ {\rm (b)}\quad p_1p_2(\lambda_1\mu+2\gamma)(\lambda_2{\mu}+2\delta)-(\delta p_1{\rm e}^{-\mu x}+\gamma p_2{\rm e}^{\mu x})^2>0. \end{array} \end{equation}$

(4.9)

显然条件(4.9)(a)成立. 对于条件(4.9)(b), 若选择参数 $p_1,\;p_2$ 使得 $\delta p_1=\gamma p_2$ , 则函数 $(\delta p_1{\rm e}^{-\mu x}+\gamma p_2{\rm e}^{\mu x})^2$ 在 $x=L$ 处取得最大值, 于是,

$\begin{equation*} p_1p_2(\lambda_1\mu+2\gamma)(\lambda_2\mu+2\delta)-(\delta p_1{\rm e}^{-\mu x}+\gamma p_2{\rm e}^{\mu x})^2 \\ > p_1p_2(\lambda_1\mu+2\gamma)(\lambda_2\mu+2\delta)-(\delta p_1{\rm e}^{-\mu L}+\gamma p_2{\rm e}^{\mu L})^2\\ \\ p_1p_2\big[\mu^2\lambda_1\lambda_2+2\mu(\lambda_1\delta+\lambda_2\gamma)\big]-\delta^2 p_1^2({\rm e}^{-\mu L}-{\rm e}^{\mu L})^2. \end{equation*}$

考虑到

${\rm e}^{-\mu L}=1-\mu L+\frac{\mu^2L^2}{2}-\frac{\mu^3L^3}{3!}+\cdots,$

${\rm e}^{\mu L}=1+\mu L+\frac{\mu^2L^2}{2}+\frac{\mu^3L^3}{3!}+\cdots,$

因此当 $\mu>0$ 充分小时, $({\rm e}^{-\mu L}-{\rm e}^{\mu L})^2$ 是关于 $\mu^2$ 的同阶无穷小, 从而必有

$p_1p_2\big[\mu^2\lambda_1\lambda_2+2\mu(\lambda_1\delta+\lambda_2\gamma)\big]-\delta^2 p_1^2({\rm e}^{-\mu L}-{\rm e}^{\mu L})^2>0.$

于是(4.9)(b)成立.

综上可得, 必存在正常数 $\nu$ 使得 $\dot{V}(t)\leq-\nu V(t).$ 故结论成立.

注4.1 若选择如下Lyapunov候选函数

$\begin{equation} V(t)=\displaystyle\int_0^L(\xi_1^2p_1{\rm e}^{-\mu x}+\xi_2^2p_2{\rm e}^{\mu x}){\rm d}x+\frac{p_5\tau}{L}\displaystyle\int_0^L{\rm e}^{-\mu x}(u^2+v^2){\rm d}x, \end{equation}$

(4.10)

即(4.2)式中 $p_3=p_4$ 的情形, 则参数的稳定性条件(4.1)便转化为

$\begin{equation} k_2^2\leq \frac{\lambda_1\gamma}{\lambda_2\delta}{\rm e}^{-2\mu L},\; p_5+\lambda_1p_1\leq \min\big\{\frac{p_5{\rm e}^{-\mu L}}{2k_1^2+\left|k_0k_1\right|}, \frac{\delta\lambda_2p_1-p_5\gamma}{\gamma(k_0^2+2\left|k_0k_1\right|)}\big\}. \end{equation}$

(4.11)

5 系统算子的谱分析

在这一节, 旨在分析系统算子 $\mathcal{A}$ 的谱分布. 考虑特征值问题

$\begin{equation*} \mathcal{A} X=\mu X,\;\;X=(f,g,h,q)\in D(\mathcal{A}), \end{equation*}$

即 $f,g,h,q$ 满足

$\begin{equation} \begin{cases} -\lambda_1f'-\gamma f-\delta g=\mu f,\;\lambda_2g'-\gamma f-\delta g=\mu g,\;-\frac{1}{\tau}h'=\mu h,\;-\frac{1}{\tau}q'=\mu q, \\ f(0)=k_0g(0)+k_1(h(1)-q(1)),\;g(1)=k_2f(1),\;h(0)=f(0),\;q(0)=g(0). \end{cases} \end{equation}$

(5.1)

类似于文献[定理3]的证明, 易得如下结论成立.

定理5.1 设 $\mathcal{A}$ 由(2.15)和(2.16)式给出. 则 $\sigma(\mathcal{A})=\sigma_p(\mathcal{A})=\{\mu_n,n\in Z^+\}$ , 且 $\mu_n$ 的渐近表达式为

$\begin{equation} \mu_n= \begin{cases} -\frac{B}{A}+\frac{\ln\sqrt{k_0k_2}}{A}+\frac{n\pi {\rm i}}{A}+\mathcal{O}(n^{-1}), &\;\;n\rightarrow\infty, \hbox{若}\;\; k_0k_2>0;\\ -\frac{B}{A}+\frac{\ln\sqrt{-k_0k_2}}{A}+\frac{(n+\frac{1}{2})\pi {\rm i}}{A}+\mathcal{O}(n^{-1}),&\;\;n\rightarrow\infty, \hbox{若}\;\; k_0k_2<0, \end{cases} \end{equation}$

(5.2)

其中

$\begin{equation} \begin{aligned} A=\frac{\lambda_1+\lambda_2}{2\lambda_1\lambda_2},\;\;\;\;B=\frac{\lambda_1\delta+\lambda_2\gamma}{2\lambda_1\lambda_2}. \end{aligned} \end{equation}$

(5.3)

此外, 对应的特征函数 $X_n=(f_n,g_n,h_n,q_n)$ 的渐近表达式为

$\begin{equation} \begin{aligned} \begin{cases} f_n(x)=P(x)(k_0k_2)^{-\frac{x}{2}}{\rm e}^{-\frac{2\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2}\cdot n\pi {\rm i}x}+\mathcal{O}(n^{-1}),\\ g_n(x)=\frac{1}{k_0}P(x)(k_0k_2)^{\frac{x}{2}}{\rm e}^{\frac{2\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}\cdot n\pi {\rm i}x}+\mathcal{O}(n^{-1}),\\ h_n(x)=\mathcal{O}(n^{-1}),\;\; q_n(x)=\mathcal{O}(n^{-1}), \end{cases} \end{aligned} \end{equation}$

(5.4)

其中

$\begin{equation} P(x)=\exp\Big\{-\frac{(\lambda_2-\lambda_1)\ln\sqrt{k_0k_2}+\gamma-\delta}{\lambda_1+\lambda_2}x\Big\}. \end{equation}$

(5.5)

注5.1 特征值的渐近表达式(5.2)表明, 特征值的实部趋于某一常数, 虚轴不是特征值的渐近线. 此外, 基于特征函数的渐近表达式(5.4), 可知Riesz基性质和谱确定性增长条件成立, 进而结合系统的耗散性也可建立系统(2.17)的指数稳定性, 可参考文献^[31].

6 数值模拟

在这一节, 对于由 Saint-Venant 方程 (2.1) 描述的具有底部坡度和摩擦的单渠道系统进行数值仿真, 参数如下: 渠道长度 $L=1000$ m, 宽度 $W=80$ m, 底部坡度 $S_b=0.0002$ , 摩擦系数 $C_f=0.001$ s $^2/{\rm m},$ 稳态流率 $Q^*=400\;{\rm m}^3/{\rm s}.$ 根据

$\begin{equation*} S_b H^*=C_f V^{*2},\;Q^*=WH^*V^*, \end{equation*}$

计算得稳态水深和流速分别是 $H^*=5$ m, $V^*=1\;{\rm m}/{\rm sec}.$ 取系统参数为

$\begin{equation*} \begin{aligned} \lambda_1=8\;{\rm m}/{\rm s},\;\lambda_2=6\;{\rm m}/{\rm s},\;\gamma=0.0018\;{\rm s}^{-1},\;\delta=0.0021\;{\rm s}^{-1}. \end{aligned} \end{equation*}$

取 $\tau=2$ , Lyapunov 函数中的参数值分别为

$\begin{equation*} p_1=0.18,\;p_2=0.21,\;p_3=0.02,\;p_4=0.001,\;\mu=0.001, \end{equation*}$

满足 $\delta p_1=\gamma p_2.$ 根据定理 4.1 中的条件 (4.1) 可知, 如果反馈参数满足条件

$\begin{equation*} |k_2|\leq0.395, k_0^2+2|k_0k_1|\leq0.07, 2k_1^2+|k_0k_1|\leq0.016, \end{equation*}$

则闭环系统 (2.12) 的稳定性可以保证. 图2 和图3 展示了调控参数 $k_0=0.1,\;k_1=0.05,\;k_2=0.3,$ 初始条件为 $\xi_1(0,x)=\cos(0.002\pi x)-\frac{1}{2},\;\xi_2(0,x)=\sin(0.002\pi x)+\frac{1}{2}$ 时系统 (2.12) 的稳定性. 图4 则展示了 (2.8) 中 PDP 控制器 $U(t)$ 的稳定性, 其中 $K_p=-0.155,\;K_d=0.147$ .

图2

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图2 系统 (2.12) 中状态 $\xi_1(t,x)$ 的收敛性

图3

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图3 系统 (2.12) 中状态 $\xi_2(t,x)$ 的收敛性

图4

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图4 (2.8) 式控制器 $U(t)$ 的收敛性

7 结论

本文研究了由Saint-Venant方程描述的具有非零底部坡度和底部摩擦的单渠道系统的PDP边界控制器设计. 首先通过线性化手段和Riemann坐标变换将系统重构, 得到一类 $2\times2$ 双曲型偏微分方程, 进而将其改写为抽象发展方程的形式. 然后, 利用算子半群理论证明了在一定条件下闭环系统解的适定性. 接着, 构造了严格Lyapunov函数求得系统反馈参数和时滞参数的一个充分条件, 保证了在亚临界流动条件下闭环系统的指数稳定性, 无需对底部摩擦以及坡度大小做额外的假设. 更进一步, 利用谱分析方法, 给出了系统特征值和特征函数的渐近表达式. 下一步的研究工作是将单渠道系统扩展为具有 $n$ 段级联渠道, 星形网络渠道或树形网络的情形, 并考虑控制器中的时滞因素对系统稳定性的影响.

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双曲型偏微分系统得到了广泛的研究, 并取得了一系列兼具理论意义和应用价值的成果. 文献^[5]致力于有界闭区间上一维双曲守恒律系统和平衡律系统的控制器设计和指数稳定性的证明. 在文献^[6]中, 针对一类具有变系数的一维

$2\times2$

线性双曲型偏微分方程组, 基于反步法研究了边界稳定和状态估计问题. 在文献^[7]中, 利用频域法分析双曲守恒律系统在比例反馈下的稳定性问题, 并利用Nyquist定理给出了闭环系统稳定性的充要条件. 为了控制双曲守恒律系统达到指定状态, 文献^[8]提出一种基于Riemann不变量的边界控制方法. 文献^[9]则是利用Lyapunov函数研究了该系统在比例积分(PI)边界条件下的反馈镇定和扰动抑制问题. ...

... 可得线性化Saint-Venant方程(2.2)的特征形式(详见文献^[5]第一章或文献^[30]): ...

Backstepping boundary stabilization and state estimation of a

$2\times2$ linear hyperbolic system

2011

... Saint-Venant方程属于一阶拟线性

$2\times2$

双曲偏微分方程. 在过去的几十年里, 许多形式的

$2\times2$

Boundary control of hyperbolic conservation laws using a frequency domain approach

2009

... Saint-Venant方程属于一阶拟线性

$2\times2$

双曲偏微分方程. 在过去的几十年里, 许多形式的

$2\times2$

2005

... Saint-Venant方程属于一阶拟线性

$2\times2$

双曲偏微分方程. 在过去的几十年里, 许多形式的

$2\times2$

Exponential stability of PI control for Saint-Venant equations with a friction term

2019

... Saint-Venant方程属于一阶拟线性

$2\times2$

双曲偏微分方程. 在过去的几十年里, 许多形式的

$2\times2$

A strict Lyapunov function for boundary control of hyperbolic systems of conservation laws

2007

... 对于双曲系统的边界控制问题, 关键是控制器设计和稳定性分析. 从已有文献来看, 稳定性分析方法通常有Lyapunov函数法, 频域法, Riemann不变量法, 反步法以及谱分析方法等^{[10,11,12,13,14]}. 在控制工程实践中, PI控制器能够改善系统的稳态性能, 受到广大学者的广泛关注. 在文献^[15]和^[16]中, 相继研究了星形网络结构和级联网络结构的双曲偏微分系统的PI边界控制器的设计. 此外, 控制器的更详细设计可参见文献^[17](第5章, 第7章). 在文献^[18,19]中, 对于一类双曲守恒律偏微分系统, 提出了一种前馈边界控制方法来抑制量测扰动. 当受控系统受到显著的输入扰动时, 这种控制技术可以在影响系统输出之前进行测量和补偿. ...

1983

A quadratic Lyapunov function for Saint-Venant equations with arbitrary friction and space-varying slope

2019

Feedback stabilization for a scalar conservation law with PID boundary control

2015

Boundary feedback stabilization and Riesz basis property of a 1-d first order hyperbolic linear system with

$L^\infty$ -coefficients

2009

Boundary PI controllers for a star-shaped network of

$2\times2$ systems governed by hyperbolic partial differential equations

2017

Output regulation for a cascaded network of

$2\times2$ hyperbolic systems with PI controller

2018

PID Controllers: Theory, Design, and Tunning

1995

Robust feedforward boundary control of hyperbolic conservation laws

2017

Feedforward boundary control of

$2\times2$ nonlinear hyperbolic systems with application to Saint-Venant equations

2021

Analog study of dead-beat posicast control

2003

... 众所周知, 在实际应用中, 系统控制器和传感器之间的通信不可避免地会产生时间延迟, 这有时可以提高受控系统的性能^[20], 亦有可能导致控制性能下降, 甚至使原本稳定的系统变得不稳定^[21,22]. 在文献^[23,24]中，Suh和Bien首先设计了比例负延迟(PMD, Proportional Minus Delay)控制器, 并证明在传统控制器上增加时间延迟反而可以改善系统的性能. 然而, 文献^[23,24]中给出的结果是基于近似分析和数值模拟的. 之后, Atay^[25]将PMD控制器应用于单摆和倒立摆系统, 采用特征根分析方法给出了系统参数的稳定域, 并得出无论时滞取值如何, 合适选取反馈参数均可使系统达到渐近稳定. Hu^[26]使用延迟位置反馈或延迟速度反馈或两者结合来镇定线性无阻尼振荡器的周期振动. 随后, Liu和Hu^[27]提出了一种结合位置反馈和延迟位置反馈(PDP, Position feedback and Delayed Position feedback)的控制器, 以稳定一类多自由度线性无阻尼系统. 近年来, 时滞反馈亦被用于镇定PDE系统. 在文献^[28]中, 通过使用反步法和Lyapunov函数法, 研究了输入端具有任意长延迟的反应扩散偏微分方程的指数稳定性. 在文献^[29]中, 基于简化的Hayami扩散波模型, 建立了系统的PDP 反馈控制策略, 并利用Lyapunov函数法建立了闭环系统的指数稳定性. 然而, 据我们所知, 对于

$2\times2$