本文考虑了如下分数阶抛物方程正定解的径向对称性与单调性

其中时间变量 $t\in(-\infty,\infty),$ 此时称方程 (1.1) 的解为整体解(entire solution). 关于其他方程的整体解, 参见文献 [13,14].

对每一固定的 $t\in \mathbb{R},$

其中 $0<s<1$ 以及 P.V. 表示 Cauchy 主值.

对 $u\in C^{1,1}_{\rm loc}\cap\mathcal{L}_{2s},$ 易知 $(-\Delta)^{s}u$ 是良定义的. 令

则该分数阶 Laplacian 称为非局部算子. 另外, 对每一固定的 $x,$ 当 $s\rightarrow 1$ 时, $(-\triangle)^{s}u(x,t)$ 趋于 $-\triangle u(x,t).$

众所周知, 关于具有局部或非局部算子的椭圆方程的研究方法有很多, 比如移动平面法可参见文献 [1,2,3,4,5,15], 移动球面法可参见文献 [6,17], 以及滑动方法(sliding methods)可参见文献 [7,18,21,22]. 之后, 具有局部算子的抛物方程有了一些结果, 比如文献 [16,19,20]. 然而, 截至目前, 关于非局部抛物算子的研究却寥寥无几^[24]. 最近, 陈文雄等^[2] 得出了无界区域上非局部问题正定解的单调性. 在文献 [9] 中, 陈文雄和武乐云取得了关于非局部算子的分数阶抛物方程的 Liouville 定理. 进一步, 文献 [23] 中, 他们又得到了分数阶抛物方程古典解(ancient solutions)的一些结果. 由于分数阶 Laplacian 整体解的主要困难来源于算子的非局部性, 而且许多传统的方法无法运用于非局部算子上, 因此, 本文将采用一些新的方法来克服算子的非局部性, 例如: 分数阶抛物形式的移动平面法, 狭窄区域原则以及反对称函数的极值原理等.

在非线性偏微分方程(PDE)和现代偏微分方程领域, 方程解的适定性^[10]、对称性、单调性和收敛率^[12] 等是十分重要的性质. 本文的目的是得到分数阶抛物方程 (1.1) 整体解的对称性与单调性. 本文的主要定理如下

定理1.1 假设 $u(x,t)\in(C^{1,1}_{\rm loc}(B_{1}(0))\cap C(\overline{B_{1}(0)})\times C^{1}(\mathbb{R})$ 是下列 Dirichlet 问题的一致有界解

其中 $B^{c}_{1}(0)$ 表示 $\mathbb{R}^{n}$ 空间中单位球的补集. 令 $\alpha\in (0,1)$ 使得 $\frac{\alpha}{2s}\in (0,1).$ 假设 $f(t,|x|,u)\in L^{\infty}(\mathbb{R}\times \mathbb{R}^{+}\times \mathbb{R}^{+}),$ 且 $f$ 关于 $t$ 是 $C^{\frac{\alpha}{2s}}_{\rm loc}$的, 关于 $u$ 是 Lipschitz 连续的以及关于$|x|,$$f(t,|x|,u)$ 是递减的. 进一步, 假设

那么方程的解 $u(x,t)$ 关于原点是径向对称的以及关于 $|x|$ 严格递减.

注1.1 本文的新颖之处在于采用分数阶抛物形式的移动平面法. 与文献 [8] 相比较, 本文的狭窄区域原则和极值原理是完全不同的. 另外, 函数 $f(t,|x|,u)$ 的假设也不同.

为了推出方程 (1.3) 解 $u(x,t)$ 的对称性与单调性, 我们需要借助分数阶抛物方程的移动平面法. 关键准则包括狭窄区域原则和反对称函数的极值原理, 这些定理已经在文献 [9] 中证得. 为了方便, 我们将在下文重述这些定理, 证明将略去.

对$x\in \mathbb{R}^{n}$, 其中 $x=(x_{1},x'),x'\in \mathbb{R}^{n-1}.$ 令

表示移动平面,

代表平面 $T_{\lambda}$ 左边的区域, 且

表示 $x$ 关于平面 $T_{\lambda}$ 的反射点.

由 $u(x,t)$ 是分数阶抛物方程 (1.3) 的解, 定义

显然, $\omega_{\lambda}(x,t)$ 关于平面 $T_{\lambda}$ 是反对称的, 即

定理2.1 (狭窄区域原则^[9]) 假设 $\Omega$ 表示 $\Sigma_{\lambda}$ 中有界或者无界的狭窄区域, 并且$\Omega\subset\{x | \lambda-2l<x_{1}<\lambda\}$, 其中 $l$ 小. 假设 $\omega(x,t)\in (C^{1,1}_{\rm loc}(\Omega)\cap \mathcal{L}_{2s})\times C^{1}(\mathbb{R})$ 在 $\overline{\Omega}$ 上关于 $t$ 一致有界以及关于 $x$ 下半连续, 且

和

若 $c(x,t)$ 上有界, 那么当 $l$ 充分小时, 有

另外, 有强极值原理成立: 或者 $\omega(x,t)>0$ 或者 $\omega(x,t)\equiv 0,$$(x,t)\in \Omega\times \mathbb{R}.$

定理2.2 (反对称函数的极值原理^[9]) 假设 $\Omega$ 表示 $\Sigma_{\lambda}$ 中有界或者无界区域, 且 $\Omega$ 的宽度沿着 $x_{1}$ 方向有界. 若 $\omega(x,t)\in (C^{1,1}_{\rm loc}(\Omega)\cap \mathcal{L}_{2s})\times C^{1}(\mathbb{R})$ 在 $\overline{\Omega}$ 上关于 $t$ 一致有界以及关于 $x$ 下半连续, 且对任意 $0<\gamma<2s$, 当 $|x|\rightarrow+\infty$ 时, $\omega(x,t)\leq o(1)|x|^{\gamma}$ 和

若

那么 $\omega(x,t)\geq 0,$$(x,t)\in\Sigma_{\lambda}\times \mathbb{R}.$ 进一步, 有强极值原理成立: 或者 $\omega(x,t)>0$ 或者 $\omega(x,t)\equiv 0,$$(x,t)\in \Omega\times \mathbb{R}.$

引理2.1 (反对称函数的 Hopf's 引理^[9]) 假设 $\omega_{\lambda}(x,t)\in (C^{1,1}_{\rm loc}(\Omega)\cap \mathcal{L}_{2s})\times C^{1}(\mathbb{R})$ 有界且

其中 $c_{\lambda}(x,t)$ 下有界. 若存在一点 $x\in\Sigma_{\lambda}$ 使得

那么

注2.1 由于定理 1.1 有条件 $u=0$ 在 $B_{1}^{c}(0)$ 上, 因此条件 $u \in \mathcal{L}_{2s}$ 出现在定理 2.1 和 2.2 中显然成立. 另外, 在定理 1.1 中我们移除了条件 $u(x,t)\leq o(1)|x|^{\gamma}$ 当 $|x|\rightarrow\infty$, 其原因在于本文不必考虑当 $|x|\rightarrow \infty$ 时的情况, 而在文献 [9] 中条件 $u(x,t)\leq o(1)|x|^{\gamma}$ 当 $|x|\rightarrow \infty$ 主要用于处理方程的解在无穷远处的渐近行为.

本文采用移动平面法来证明定理 1.1. 具体证明过程如下.

证 令 $\Omega_{\lambda}=\{x\in B_{1}(0) | x_{1}<\lambda\}.$ 由 $\omega_{\lambda}(x,t)=u_{\lambda}(x,t)-u(x,t),$ 则

由于 $f(t,|x|,u)$ 关于 $|x|$ 递减, 有

其中 $c_{\lambda}(x,t)=\frac{f(t,|x|,u_{\lambda}(x,t))-f(t,|x|,u(x,t))}{u_{\lambda}(x,t)-u(x,t)}.$ 因此方程 (3.1) 可转化为

接下来的证明过程主要分为三个步骤展开.

(S1) 对 $\lambda>-1$ 且充分近 $-1$ 时, 我们将证明

事实上, 由狭窄区域定理 2.1 可证得 (3.3) 式. 具体如下: 由函数 $f$ 的 Lipschitz 连续性得出 $c_{\lambda}(x,t)$ 有界; 然后, 由 $\omega_{\lambda}(x,t)\geq0$ 在$(\Sigma_{\lambda}\setminus\Omega_{\lambda})\times \mathbb{R}$ 且 $\Omega_{\lambda}$ 是狭窄区域即证 (3.3) 成立.

(S2) 定义 $\lambda_{0}=\sup\{\lambda\leq0 | \omega_{\mu}(x,t)\geq0,(x,t)\in\Sigma_{\mu}\times \mathbb{R},\mu\leq\lambda\}.$ 这一步的主要目的是证明

若$\lambda_{0}\neq 0,$ 那么由 $\lambda_{0}$ 的定义可知 $\lambda_{0}<0$ 且存在一序列 $\lambda_{k}\geq \lambda_{0}$ 使得

且 $\mathbb{Z}_{k}:=\{(x,t)\in\Sigma_{\lambda_{k}}\times \mathbb{R} | \omega_{\lambda_{k}}(x,t)<0\}$ 非空. 令

接着我们将考虑以下两种情况

(i) $\mathbb{S}_{k}\rightarrow 0$ 不成立. 假设 $\mathbb{S}_{k}\rightarrow 0$ 成立, 由 (3.2) 式, 得出

其中

令 $\xi_{k}:=\sup_{(x,t)\in\mathbb{Z}_{k}}c_{\lambda_{k}}(x,t),$ 根据条件 $\frac{\partial f}{\partial u}(t,|x|,0)\leq 0,$ 于是有 $\limsup_{k\rightarrow+\infty}\xi_{k}\leq 0.$ 进一步根据反对称函数的极值原理可推导出 $\omega_{\lambda_{k}}(x,t)\geq0$ 在 $\mathbb{Z}_{k}.$ 这与 $\mathbb{Z}_{k}$ 的定义矛盾. 因此 $\mathbb{S}_{k}\rightarrow0$ 不成立.

(ii) 若 $\mathbb{S}_{k}\nrightarrow 0,$ 则存在一 $\varepsilon_{0}>0,$ 仍取 $\mathbb{S}_{k}$ 为其子序列, 有 $\mathbb{S}_{k}\geq\varepsilon_{0}.$ 进一步存在子列 $x^{k}_{1}$, $y^{k}_{1}\in(-1,\lambda_{k}),$$z^{k}\in \mathbb{R}^{n-1},$$t^{k}\in \mathbb{R}$ 使得

假设

令 $\omega^{k}_{\lambda_{k}}(x,t)=u^{k}_{\lambda_{k}}(x,t)-u^{k}(x,t),$ 且定义 $u^{k}(x,t)=u(x_{1},x'+z^{k},t+t^{k}),$ 其中 $x=(x_{1},x')\in \mathbb{R}^{n},$$t\in \mathbb{R}.$ 那么,

由于 $u^{k}(x,t)$ 一致有界, 根据文献 [11] 中关于分数阶抛物方程解的正则性估计, 我们选取子列 (仍标记为 $u^{k}$)并令 $k\rightarrow\infty,$ 则 $u^{k}(x,t)\rightarrow\tilde{u}(x,t),\ \ \ (-\Delta)^{s}u^{k}(x,t)\rightarrow(-\Delta)^{s}\tilde{u}(x,t),$

和

另外, $\tilde{u}(x,t)$ 满足

通过 (3.7) 和 (3.8) 式可推导出

由 (3.11) 和 (3.12) 式有

事实上, 若 (3.13) 式不成立, 那么存在一点 $(\bar{x},\bar{t})\in B_{1}(0)\times \mathbb{R}$ 使得

从而

这与 $f(\bar{t},\tilde{u}(\bar{x},\bar{t}))=f(\bar{t},0)=0$ 矛盾. 因此 (3.13) 式成立.

另外, 由 (3.5) 和 (3.9)式, $\tilde{\omega}_{\lambda_{0}}(x,t)$ 满足

进一步,有

否则, 若 (3.15) 式不成立, 那么存在一点 $(\hat{x},\hat{t})\in\Sigma_{\lambda_{0}}\times \mathbb{R}$ 使得

进而

因此,

矛盾, 从而 (3.15) 式成立.

通过 (3.10) 和 (3.15) 式, 由于 $x_{0}\in[-1,\lambda_{0}],$ 我们得出 $\tilde{\omega}_{\lambda_{0}}(x_{0},0,0)=0$ 且 $x_{0}=\lambda_{0}.$ 这表明

然后, 由于 $\tilde{u}\equiv0,$$(x,t)\in(B_{1}(0))^{c}\times \mathbb{R},$ 我们通过 (3.13) 式可得: 存在一点 $x\in B_{1}(0)$ 使得 $\tilde{\omega}_{\lambda_{0}}(x,t)>0$ 其中 $t\in R,$ 以及 $\tilde{\omega}_{\lambda_{0}}(x,t)$ 满足

其中

依据反对称函数的 Hopf's 引理 2.1, 因此

进而得出

即在 $\lambda_{0}$ 的邻域, $\frac{\partial\tilde{u}}{\partial x_{1}}(x,0,0)$ 下有界. $\frac{\partial u^{k}}{\partial x_{1}}(x_{1},0,0)$ 也有类似的性质, 即存在一正常数 $\delta>0,$ 当 $k$ 充分大时, 有

这与 (3.8) 式中 $\omega_{\lambda_{k}}(x^{k}_{1},z^{k},t^{k})<0$ 矛盾. 因此, 情况 (ii) 不成立.

结合情况 {(i)} 和 {(ii)}, 我们得出 $\lambda_{0}=0.$ 因此

进而可得: $\forall t\in R,$$u(x,t)$ 关于原点对称.

(S3) 结合 (S1) 和 (S2) 得出, $\forall -1<\lambda<0,$ 有

事实上, 假如存在一点 $(x_{0},t_{0})\in\Omega_{\lambda}\times \mathbb{R}$ 使得

那么

这与

矛盾. 因此 (3.18) 式成立. 进一步, 依据 Hopf's 引理 2.1, 得

因此,

因为 $x_{1}$-方向是任意的, 我们可推出

因此,

$u=u(|x|,t)$ 满足

从而 $u$ 沿着 $|x|$ 方向是递减的. 证毕.