1 引言
本文考虑了如下分数阶抛物方程正定解的径向对称性与单调性
(1.1) $ \begin{equation} \frac{\partial u}{\partial t}(x,t)+(-\Delta)^{s}u(x,t)=f(t,|x|,u(x,t)),(x,t)\in B_{1}(0)\times \mathbb{R}, \end{equation} $
其中时间变量 $t\in(-\infty,\infty),$ 13 ,14 ].
对每一固定的 $t\in \mathbb{R},$
(1.2) $ \begin{matrix} (-\Delta)^{s}u(x,t)&=C_{n,s}P.V.\int_{\mathbb{R}^{n}}\frac{u(x,t)-u(y,t)}{|x-y|^{n+2s}}{\rm d}y\nonumber\\ &=C_{n,s}\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\int_{\mathbb{R}^{n}\backslash B_{\varepsilon}(x)}\frac{u(x,t)-u(y,t)}{|x-y|^{n+2s}}{\rm d}y, \end{matrix} $
其中 $0<s<1$
对 $u\in C^{1,1}_{\rm loc}\cap\mathcal{L}_{2s},$ $(-\Delta)^{s}u$
则该分数阶 Laplacian 称为非局部算子. 另外, 对每一固定的 $x,$ $s\rightarrow 1$ $(-\triangle)^{s}u(x,t)$ $-\triangle u(x,t).$
众所周知, 关于具有局部或非局部算子的椭圆方程的研究方法有很多, 比如移动平面法可参见文献 [1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,15 ], 移动球面法可参见文献 [6 ,17 ], 以及滑动方法(sliding methods)可参见文献 [7 ,18 ,21 ,22 ]. 之后, 具有局部算子的抛物方程有了一些结果, 比如文献 [16 ,19 ,20 ]. 然而, 截至目前, 关于非局部抛物算子的研究却寥寥无几[24 ] . 最近, 陈文雄等[2 ] 得出了无界区域上非局部问题正定解的单调性. 在文献 [9 ] 中, 陈文雄和武乐云取得了关于非局部算子的分数阶抛物方程的 Liouville 定理. 进一步, 文献 [23 ] 中, 他们又得到了分数阶抛物方程古典解(ancient solutions)的一些结果. 由于分数阶 Laplacian 整体解的主要困难来源于算子的非局部性, 而且许多传统的方法无法运用于非局部算子上, 因此, 本文将采用一些新的方法来克服算子的非局部性, 例如: 分数阶抛物形式的移动平面法, 狭窄区域原则以及反对称函数的极值原理等.
在非线性偏微分方程(PDE)和现代偏微分方程领域, 方程解的适定性[10 ] 、对称性、单调性和收敛率[12 ] 等是十分重要的性质. 本文的目的是得到分数阶抛物方程 (1.1) 整体解的对称性与单调性. 本文的主要定理如下
定理1.1 假设 $u(x,t)\in(C^{1,1}_{\rm loc}(B_{1}(0))\cap C(\overline{B_{1}(0)})\times C^{1}(\mathbb{R})$
(1.3) $ \begin{equation}\left\{\begin{array}{ll} \frac{\partial u}{\partial t}(x,t)+(-\Delta)^{s}u(x,t)=f(t,|x|,u(x,t)), & x\in B_{1}(0),-\infty<t<\infty, \\ u(x,t)>0,& x\in B_{1}(0),-\infty<t<\infty, \\ u(x,t)=0,& x\in B^{c}_{1}(0),-\infty<t<\infty, \end{array}\right. \end{equation} $
其中 $B^{c}_{1}(0)$ $\mathbb{R}^{n}$ $\alpha\in (0,1)$ $\frac{\alpha}{2s}\in (0,1).$ $f(t,|x|,u)\in L^{\infty}(\mathbb{R}\times \mathbb{R}^{+}\times \mathbb{R}^{+}),$ $f$ $t$ $C^{\frac{\alpha}{2s}}_{\rm loc}$ $u$ $|x|,$ $f(t,|x|,u)$
(1.4) $ \begin{matrix} f(t,|x|,0)=0, \frac{\partial f}{\partial u}(t,|x|,0)\leq 0,\ \ t\in(-\infty,\infty), \end{matrix} $
那么方程的解 $u(x,t)$ $|x|$
注1.1 本文的新颖之处在于采用分数阶抛物形式的移动平面法. 与文献 [8 ] 相比较, 本文的狭窄区域原则和极值原理是完全不同的. 另外, 函数 $f(t,|x|,u)$
2 关键准则
为了推出方程 (1.3) 解 $u(x,t)$ 9 ] 中证得. 为了方便, 我们将在下文重述这些定理, 证明将略去.
对$x\in \mathbb{R}^{n}$ $x=(x_{1},x'),x'\in \mathbb{R}^{n-1}.$
代表平面 $T_{\lambda}$
表示 $x$ $T_{\lambda}$
由 $u(x,t)$
显然, $\omega_{\lambda}(x,t)$ $T_{\lambda}$
定理2.1 (狭窄区域原则[9 ] ) 假设 $\Omega$ $\Sigma_{\lambda}$ $\Omega\subset\{x | \lambda-2l<x_{1}<\lambda\}$ $l$ $\omega(x,t)\in (C^{1,1}_{\rm loc}(\Omega)\cap \mathcal{L}_{2s})\times C^{1}(\mathbb{R})$ $\overline{\Omega}$ $t$ $x$
(2.1) $ \begin{equation}\left\{\begin{array}{ll} \frac{\partial \omega}{\partial t}(x,t)+(-\Delta)^{s}\omega(x,t)\geq c(x,t)\omega(x,t), &(x,t)\in \Omega\times \mathbb{R}, \\ \omega(x,t)\geq 0,& (x,t)\in (\Sigma_{\lambda}\setminus\Omega)\times \mathbb{R}, \\ \omega(x^{\lambda},t)=-\omega(x,t),& (x,t)\in \Sigma_{\lambda}\times \mathbb{R}. \end{array}\right. \end{equation} $
若 $c(x,t)$ $l$
(2.2) $ \begin{equation} \omega(x,t)\geq 0,(x,t)\in \Sigma_{\lambda}\times \mathbb{R}. \end{equation} $
另外, 有强极值原理成立: 或者 $\omega(x,t)>0$ $\omega(x,t)\equiv 0,$ $(x,t)\in \Omega\times \mathbb{R}.$
定理2.2 (反对称函数的极值原理[9 ] ) 假设 $\Omega$ $\Sigma_{\lambda}$ $\Omega$ $x_{1}$ $\omega(x,t)\in (C^{1,1}_{\rm loc}(\Omega)\cap \mathcal{L}_{2s})\times C^{1}(\mathbb{R})$ $\overline{\Omega}$ $t$ $x$ $0<\gamma<2s$ $|x|\rightarrow+\infty$ $\omega(x,t)\leq o(1)|x|^{\gamma}$
(2.3) $ \begin{equation}\left\{\begin{array}{ll} \frac{\partial \omega}{\partial t}(x,t)+(-\Delta)^{s}\omega(x,t)\geq c(x,t)\omega(x,t), &(x,t)\in \Omega\times \mathbb{R},\ \ \\ \omega(x,t)\geq 0,& (x,t)\in (\Sigma_{\lambda}\setminus\Omega)\times\mathbb{R},\ \ \\ \omega(x^{\lambda},t)=-\omega(x,t),& (x,t)\in \Sigma_{\lambda}\times \mathbb{R}. \end{array}\right. \end{equation} $
(2.4) $ \begin{equation} c(x,t)\leq 0 \text{或者} c(x,t)>0 \ \text{且取较小值,} \ (x,t)\in\Omega\times \mathbb{R}, \end{equation} $
那么 $\omega(x,t)\geq 0,$ $(x,t)\in\Sigma_{\lambda}\times \mathbb{R}.$ $\omega(x,t)>0$ $\omega(x,t)\equiv 0,$ $(x,t)\in \Omega\times \mathbb{R}.$
引理2.1 (反对称函数的 Hopf's 引理[9 ] ) 假设 $\omega_{\lambda}(x,t)\in (C^{1,1}_{\rm loc}(\Omega)\cap \mathcal{L}_{2s})\times C^{1}(\mathbb{R})$
(2.5) $ \begin{equation}\left\{\begin{array}{ll} \frac{\partial \omega_{\lambda}}{\partial t}(x,t)+(-\Delta)^{s}\omega_{\lambda}(x,t)\geq c_{\lambda}(x,t)\omega_{\lambda}(x,t),&(x,t)\in \Sigma_{\lambda}\times \mathbb{R}, \\ \omega_{\lambda}(x,t)\geq 0,& (x,t)\in \Sigma_{\lambda}\times \mathbb{R}, \\ \omega_{\lambda}(x^{\lambda},t)=-\omega_{\lambda}(x,t),& (x,t)\in \Sigma_{\lambda}\times \mathbb{R}. \end{array}\right. \end{equation} $
其中 $c_{\lambda}(x,t)$ $x\in\Sigma_{\lambda}$
注2.1 由于定理 1.1 有条件 $u=0$ $B_{1}^{c}(0)$ $u \in \mathcal{L}_{2s}$ $u(x,t)\leq o(1)|x|^{\gamma}$ $|x|\rightarrow\infty$ $|x|\rightarrow \infty$ 9 ] 中条件 $u(x,t)\leq o(1)|x|^{\gamma}$ $|x|\rightarrow \infty$
3 主要定理的证明
本文采用移动平面法来证明定理 1.1. 具体证明过程如下.
证 令 $\Omega_{\lambda}=\{x\in B_{1}(0) | x_{1}<\lambda\}.$ $\omega_{\lambda}(x,t)=u_{\lambda}(x,t)-u(x,t),$
(3.1) $ \begin{equation}\left\{\begin{array}{ll} \frac{\partial \omega_{\lambda}}{\partial t}(x,t)+(-\Delta)^{s}\omega_{\lambda}(x,t)= f(t,|x^{\lambda}|,u_{\lambda})-f(t,|x|,u),& (x,t)\in \Omega_{\lambda}\times \mathbb{R},\ \ \\ \omega_{\lambda}(x,t)\geq0,& (x,t)\in (\Sigma_{\lambda}\setminus\Omega_{\lambda})\times \mathbb{R},\ \ \\ \omega_{\lambda}(x^{\lambda},t)=-\omega(x,t),& (x,t)\in \Sigma_{\lambda}\times \mathbb{R}. \end{array}\right. \end{equation} $
由于 $f(t,|x|,u)$ $|x|$
其中 $c_{\lambda}(x,t)=\frac{f(t,|x|,u_{\lambda}(x,t))-f(t,|x|,u(x,t))}{u_{\lambda}(x,t)-u(x,t)}.$
(3.2) $ \begin{equation}\left\{\begin{array}{ll} \frac{\partial \omega_{\lambda}}{\partial t}(x,t)+(-\Delta)^{s}\omega_{\lambda}(x,t)\geq c_{\lambda}(x,t)\omega_{\lambda}(x,t),& (x,t)\in \Omega_{\lambda}\times \mathbb{R}, \\ \omega_{\lambda}(x,t)\geq0,& (x,t)\in (\Sigma_{\lambda}\setminus\Omega_{\lambda})\times \mathbb{R}, \\ \omega_{\lambda}(x^{\lambda},t)=-\omega(x,t),& (x,t)\in \Sigma_{\lambda}\times\mathbb{R}. \end{array}\right. \end{equation} $
(S1) 对 $\lambda>-1$ $-1$
(3.3) $ \begin{equation} \omega_{\lambda}(x,t)\geq0,\ \ (x,t)\in\Sigma_{\lambda}\times \mathbb{R}. \end{equation} $
事实上, 由狭窄区域定理 2.1 可证得 (3.3) 式. 具体如下: 由函数 $f$ $c_{\lambda}(x,t)$ $\omega_{\lambda}(x,t)\geq0$ $(\Sigma_{\lambda}\setminus\Omega_{\lambda})\times \mathbb{R}$ $\Omega_{\lambda}$
(S2) 定义 $\lambda_{0}=\sup\{\lambda\leq0 | \omega_{\mu}(x,t)\geq0,(x,t)\in\Sigma_{\mu}\times \mathbb{R},\mu\leq\lambda\}.$
若$\lambda_{0}\neq 0,$ $\lambda_{0}$ $\lambda_{0}<0$ $\lambda_{k}\geq \lambda_{0}$
(3.4) $ \begin{equation} \lambda_{k}\rightarrow\lambda_{0}, \end{equation} $
且 $\mathbb{Z}_{k}:=\{(x,t)\in\Sigma_{\lambda_{k}}\times \mathbb{R} | \omega_{\lambda_{k}}(x,t)<0\}$
(i) $\mathbb{S}_{k}\rightarrow 0$ $\mathbb{S}_{k}\rightarrow 0$
(3.5) $ \begin{equation}\left\{\begin{array}{ll} \frac{\partial \omega_{\lambda_{k}}}{\partial t}(x,t)+(-\Delta)^{s}\omega_{\lambda_{k}}(x,t)\geq c_{\lambda_{k}}(x,t)\omega_{\lambda_{k}}(x,t),&(x,t)\in \Omega_{\lambda_{k}}\times \mathbb{R}, \\ \omega_{\lambda_{k}}(x,t)\geq0,& (x,t)\in (\Sigma_{\lambda_{k}}\setminus\Omega_{\lambda_{k}})\times \mathbb{R}, \\ \omega_{\lambda_{k}}(x^{\lambda_{k}},t)=-\omega_{\lambda_{k}}(x,t),& (x,t)\in \Sigma_{\lambda_{k}}\times \mathbb{R}. \end{array}\right. \end{equation} $
令 $ \xi_{k}:=\sup_{(x,t)\in\mathbb{Z}_{k}}c_{\lambda_{k}}(x,t),$ $\frac{\partial f}{\partial u}(t,|x|,0)\leq 0,$ $ \limsup_{k\rightarrow+\infty}\xi_{k}\leq 0.$ $\omega_{\lambda_{k}}(x,t)\geq0$ $\mathbb{Z}_{k}.$ $\mathbb{Z}_{k}$ $\mathbb{S}_{k}\rightarrow0$
(ii) 若 $\mathbb{S}_{k}\nrightarrow 0,$ $\varepsilon_{0}>0,$ $\mathbb{S}_{k}$ $\mathbb{S}_{k}\geq\varepsilon_{0}.$ $x^{k}_{1}$ $y^{k}_{1}\in(-1,\lambda_{k}),$ $z^{k}\in \mathbb{R}^{n-1},$ $t^{k}\in \mathbb{R}$
(3.6) $ \begin{equation} \omega_{\lambda_{k}}(x^{k}_{1},z^{k},t^{k})<0\text{和}u(y^{k}_{1},z^{k},t^{k})>\varepsilon_{0}. \end{equation} $
(3.7) $ \begin{equation} x^{k}_{1}\rightarrow x_{0},\ \ y^{k}_{1}\rightarrow y_{0},\ \ \text{其中}\ \ x_{0},y_{0}\in[-1,\lambda_{0}]. \end{equation} $
令 $\omega^{k}_{\lambda_{k}}(x,t)=u^{k}_{\lambda_{k}}(x,t)-u^{k}(x,t),$ $u^{k}(x,t)=u(x_{1},x'+z^{k},t+t^{k}),$ $x=(x_{1},x')\in \mathbb{R}^{n},$ $t\in \mathbb{R}.$
(3.8) $ \begin{equation} \omega^{k}_{\lambda_{k}}(x^{k}_{1},0,0)<0\text{和}u^{k}(y^{k}_{1},0,0)\geq\varepsilon_{0}. \end{equation} $
由于 $u^{k}(x,t)$ 11 ] 中关于分数阶抛物方程解的正则性估计, 我们选取子列 (仍标记为 $u^{k}$ ) 并令 $k\rightarrow\infty,$ $u^{k}(x,t)\rightarrow\tilde{u}(x,t),\ \ \ (-\Delta)^{s}u^{k}(x,t)\rightarrow(-\Delta)^{s}\tilde{u}(x,t),$
(3.9) $ \begin{equation} \omega^{k}_{\lambda_{k}}(x,t)\rightarrow\tilde{\omega}_{\lambda_{0}}(x,t):=\tilde{u}_{\lambda_{0}}(x,t)-\tilde{u}(x,t)\geq0,\ \ (x,t)\in\Sigma_{\lambda_{0}}\times \mathbb{R}, \end{equation} $
(3.10) $ \begin{equation} \tilde{\omega}_{\lambda_{0}}(x_{0},0,0)\leq 0. \end{equation} $
(3.11) $ \begin{equation}\left\{\begin{array}{ll} \frac{\partial \tilde{u}}{\partial t}(x,t)+(-\Delta)^{s}\tilde{u}(x,t)=f(t,|x|,\tilde{u}(x,t)), &x\in B_{1}(0),-\infty<t<\infty,\\ \tilde{u}(x,t)\geq0,& x\in B_{1}(0),-\infty<t<\infty, \\ \tilde{u}(x,t)=0,& x\in B^{c}_{1}(0),-\infty<t<\infty, \end{array}\right. \end{equation} $
(3.12) $ \begin{equation} \tilde{u}(y_{0},0,0)\geq\varepsilon_{0}>0. \end{equation} $
(3.13) $ \begin{equation} \tilde{u}(x,t)>0,\ \ (x,t)\in B_{1}(0)\times \mathbb{R}. \end{equation} $
事实上, 若 (3.13) 式不成立, 那么存在一点 $(\bar{x},\bar{t})\in B_{1}(0)\times \mathbb{R}$
这与 $f(\bar{t},\tilde{u}(\bar{x},\bar{t}))=f(\bar{t},0)=0$
另外, 由 (3.5) 和 (3.9)式, $\tilde{\omega}_{\lambda_{0}}(x,t)$
(3.14) $ \begin{equation}\left\{\begin{array}{ll} \frac{\partial \tilde{\omega}_{\lambda_{0}}}{\partial t}(x,t)+(-\Delta)^{s}\tilde{\omega}_{\lambda_{0}}(x,t)=f(t,|x^{\lambda_{0}}|,\tilde{u}_{\lambda_{0}}(x,t)) -f(t,|x|,\tilde{u}(x,t)),& (x,t)\in \Sigma_{\lambda_{0}}\times \mathbb{R}, \\ \tilde{\omega}_{\lambda_{0}}(x,t)\geq0,& (x,t)\in \Sigma_{\lambda_{0}}\times\mathbb{R}, \\ \tilde{\omega}_{\lambda_{0}}(0,x',t)>0,&(x',t)\in \mathbb{R}^{n-1}\times \mathbb{R}. \end{array}\right. \end{equation} $
(3.15) $ \begin{equation} \tilde{\omega}_{\lambda_{0}}(x,t)>0,\ \ (x,t)\in\Sigma_{\lambda_{0}}\times \mathbb{R}. \end{equation} $
否则, 若 (3.15) 式不成立, 那么存在一点 $(\hat{x},\hat{t})\in\Sigma_{\lambda_{0}}\times \mathbb{R}$
通过 (3.10) 和 (3.15) 式, 由于 $x_{0}\in[-1,\lambda_{0}],$ $\tilde{\omega}_{\lambda_{0}}(x_{0},0,0)=0$ $x_{0}=\lambda_{0}.$
(3.16) $ \begin{equation} \lim_{k\rightarrow\infty}x^{k}_{1}=x_{0}=\lambda_{0}. \end{equation} $
然后, 由于 $\tilde{u}\equiv0,$ $(x,t)\in(B_{1}(0))^{c}\times \mathbb{R},$ $x\in B_{1}(0)$ $\tilde{\omega}_{\lambda_{0}}(x,t)>0$ $t\in R,$ $\tilde{\omega}_{\lambda_{0}}(x,t)$
(3.17) $ \begin{equation}\left\{\begin{array}{ll} \frac{\partial \tilde{\omega}_{\lambda_{0}}}{\partial t}(x,t)+(-\Delta)^{s}\tilde{\omega}_{\lambda_{0}}(x,t)\geq\tilde{c}_{\lambda_{0}}(x,t)\tilde{\omega}_{\lambda_{0}}(x,t), &(x,t)\in \Sigma_{\lambda_{0}}\times \mathbb{R},\\ \tilde{\omega}_{\lambda_{0}}(x,t)\geq 0,& (x,t)\in \Sigma_{\lambda_{0}}\times\mathbb{R}, \\ \tilde{\omega}_{\lambda_{0}}(x^{\lambda_{0}},t)=-\tilde{\omega}_{\lambda_{0}}(x,t),& (x,t)\in \Sigma_{\lambda_{0}}\times\mathbb{R}. \end{array}\right. \end{equation} $
依据反对称函数的 Hopf's 引理 2.1, 因此
即在 $\lambda_{0}$ $\frac{\partial\tilde{u}}{\partial x_{1}}(x,0,0)$ $\frac{\partial u^{k}}{\partial x_{1}}(x_{1},0,0)$ $\delta>0,$ $k$
这与 (3.8) 式中 $\omega_{\lambda_{k}}(x^{k}_{1},z^{k},t^{k})<0$
结合情况 {(i)} 和 {(ii)}, 我们得出 $\lambda_{0}=0.$
进而可得: $\forall t\in R,$ $u(x,t)$
(S3) 结合 (S1) 和 (S2) 得出, $\forall -1<\lambda<0,$
(3.18) $ \begin{equation} \omega_{\lambda}(x,t)>0,\ \ (x,t)\in\Omega_{\lambda}\times \mathbb{R}. \end{equation} $
事实上, 假如存在一点 $(x_{0},t_{0})\in\Omega_{\lambda}\times \mathbb{R}$
矛盾. 因此 (3.18) 式成立. 进一步, 依据 Hopf's 引理 2.1, 得
从而 $u$ $|x|$
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... 众所周知, 关于具有局部或非局部算子的椭圆方程的研究方法有很多, 比如移动平面法可参见文献 [1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,15 ], 移动球面法可参见文献 [6 ,17 ], 以及滑动方法(sliding methods)可参见文献 [7 ,18 ,21 ,22 ]. 之后, 具有局部算子的抛物方程有了一些结果, 比如文献 [16 ,19 ,20 ]. 然而, 截至目前, 关于非局部抛物算子的研究却寥寥无几[24 ] . 最近, 陈文雄等[2 ] 得出了无界区域上非局部问题正定解的单调性. 在文献 [9 ] 中, 陈文雄和武乐云取得了关于非局部算子的分数阶抛物方程的 Liouville 定理. 进一步, 文献 [23 ] 中, 他们又得到了分数阶抛物方程古典解(ancient solutions)的一些结果. 由于分数阶 Laplacian 整体解的主要困难来源于算子的非局部性, 而且许多传统的方法无法运用于非局部算子上, 因此, 本文将采用一些新的方法来克服算子的非局部性, 例如: 分数阶抛物形式的移动平面法, 狭窄区域原则以及反对称函数的极值原理等. ...
Monotonicity of positive solutions for nonlocal problems in unbounded domains
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... [2 ] 得出了无界区域上非局部问题正定解的单调性. 在文献 [9 ] 中, 陈文雄和武乐云取得了关于非局部算子的分数阶抛物方程的 Liouville 定理. 进一步, 文献 [23 ] 中, 他们又得到了分数阶抛物方程古典解(ancient solutions)的一些结果. 由于分数阶 Laplacian 整体解的主要困难来源于算子的非局部性, 而且许多传统的方法无法运用于非局部算子上, 因此, 本文将采用一些新的方法来克服算子的非局部性, 例如: 分数阶抛物形式的移动平面法, 狭窄区域原则以及反对称函数的极值原理等. ...
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A direct method of moving planes for the fractional Laplacian
1
2017
... 众所周知, 关于具有局部或非局部算子的椭圆方程的研究方法有很多, 比如移动平面法可参见文献 [1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,15 ], 移动球面法可参见文献 [6 ,17 ], 以及滑动方法(sliding methods)可参见文献 [7 ,18 ,21 ,22 ]. 之后, 具有局部算子的抛物方程有了一些结果, 比如文献 [16 ,19 ,20 ]. 然而, 截至目前, 关于非局部抛物算子的研究却寥寥无几[24 ] . 最近, 陈文雄等[2 ] 得出了无界区域上非局部问题正定解的单调性. 在文献 [9 ] 中, 陈文雄和武乐云取得了关于非局部算子的分数阶抛物方程的 Liouville 定理. 进一步, 文献 [23 ] 中, 他们又得到了分数阶抛物方程古典解(ancient solutions)的一些结果. 由于分数阶 Laplacian 整体解的主要困难来源于算子的非局部性, 而且许多传统的方法无法运用于非局部算子上, 因此, 本文将采用一些新的方法来克服算子的非局部性, 例如: 分数阶抛物形式的移动平面法, 狭窄区域原则以及反对称函数的极值原理等. ...
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2020
... 众所周知, 关于具有局部或非局部算子的椭圆方程的研究方法有很多, 比如移动平面法可参见文献 [1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,15 ], 移动球面法可参见文献 [6 ,17 ], 以及滑动方法(sliding methods)可参见文献 [7 ,18 ,21 ,22 ]. 之后, 具有局部算子的抛物方程有了一些结果, 比如文献 [16 ,19 ,20 ]. 然而, 截至目前, 关于非局部抛物算子的研究却寥寥无几[24 ] . 最近, 陈文雄等[2 ] 得出了无界区域上非局部问题正定解的单调性. 在文献 [9 ] 中, 陈文雄和武乐云取得了关于非局部算子的分数阶抛物方程的 Liouville 定理. 进一步, 文献 [23 ] 中, 他们又得到了分数阶抛物方程古典解(ancient solutions)的一些结果. 由于分数阶 Laplacian 整体解的主要困难来源于算子的非局部性, 而且许多传统的方法无法运用于非局部算子上, 因此, 本文将采用一些新的方法来克服算子的非局部性, 例如: 分数阶抛物形式的移动平面法, 狭窄区域原则以及反对称函数的极值原理等. ...
A direct method of moving spheres on fractional order equations
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2017
... 众所周知, 关于具有局部或非局部算子的椭圆方程的研究方法有很多, 比如移动平面法可参见文献 [1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,15 ], 移动球面法可参见文献 [6 ,17 ], 以及滑动方法(sliding methods)可参见文献 [7 ,18 ,21 ,22 ]. 之后, 具有局部算子的抛物方程有了一些结果, 比如文献 [16 ,19 ,20 ]. 然而, 截至目前, 关于非局部抛物算子的研究却寥寥无几[24 ] . 最近, 陈文雄等[2 ] 得出了无界区域上非局部问题正定解的单调性. 在文献 [9 ] 中, 陈文雄和武乐云取得了关于非局部算子的分数阶抛物方程的 Liouville 定理. 进一步, 文献 [23 ] 中, 他们又得到了分数阶抛物方程古典解(ancient solutions)的一些结果. 由于分数阶 Laplacian 整体解的主要困难来源于算子的非局部性, 而且许多传统的方法无法运用于非局部算子上, 因此, 本文将采用一些新的方法来克服算子的非局部性, 例如: 分数阶抛物形式的移动平面法, 狭窄区域原则以及反对称函数的极值原理等. ...
A maximum principle on unbounded domains and a Liouville theorem for fractional $p$ -harmonic functions
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... 众所周知, 关于具有局部或非局部算子的椭圆方程的研究方法有很多, 比如移动平面法可参见文献 [1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,15 ], 移动球面法可参见文献 [6 ,17 ], 以及滑动方法(sliding methods)可参见文献 [7 ,18 ,21 ,22 ]. 之后, 具有局部算子的抛物方程有了一些结果, 比如文献 [16 ,19 ,20 ]. 然而, 截至目前, 关于非局部抛物算子的研究却寥寥无几[24 ] . 最近, 陈文雄等[2 ] 得出了无界区域上非局部问题正定解的单调性. 在文献 [9 ] 中, 陈文雄和武乐云取得了关于非局部算子的分数阶抛物方程的 Liouville 定理. 进一步, 文献 [23 ] 中, 他们又得到了分数阶抛物方程古典解(ancient solutions)的一些结果. 由于分数阶 Laplacian 整体解的主要困难来源于算子的非局部性, 而且许多传统的方法无法运用于非局部算子上, 因此, 本文将采用一些新的方法来克服算子的非局部性, 例如: 分数阶抛物形式的移动平面法, 狭窄区域原则以及反对称函数的极值原理等. ...
Asymptotic method of moving planes for fractional parabolic equations
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2021
... 注1.1 本文的新颖之处在于采用分数阶抛物形式的移动平面法. 与文献 [8 ] 相比较, 本文的狭窄区域原则和极值原理是完全不同的. 另外, 函数 $f(t,|x|,u)$
Liouville theorems for fractional parabolic equations
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2021
... 众所周知, 关于具有局部或非局部算子的椭圆方程的研究方法有很多, 比如移动平面法可参见文献 [1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,15 ], 移动球面法可参见文献 [6 ,17 ], 以及滑动方法(sliding methods)可参见文献 [7 ,18 ,21 ,22 ]. 之后, 具有局部算子的抛物方程有了一些结果, 比如文献 [16 ,19 ,20 ]. 然而, 截至目前, 关于非局部抛物算子的研究却寥寥无几[24 ] . 最近, 陈文雄等[2 ] 得出了无界区域上非局部问题正定解的单调性. 在文献 [9 ] 中, 陈文雄和武乐云取得了关于非局部算子的分数阶抛物方程的 Liouville 定理. 进一步, 文献 [23 ] 中, 他们又得到了分数阶抛物方程古典解(ancient solutions)的一些结果. 由于分数阶 Laplacian 整体解的主要困难来源于算子的非局部性, 而且许多传统的方法无法运用于非局部算子上, 因此, 本文将采用一些新的方法来克服算子的非局部性, 例如: 分数阶抛物形式的移动平面法, 狭窄区域原则以及反对称函数的极值原理等. ...
... 为了推出方程 (1.3) 解 $u(x,t)$ 9 ] 中证得. 为了方便, 我们将在下文重述这些定理, 证明将略去. ...
... 定理2.1 (狭窄区域原则[9 ] ) 假设 $\Omega$ $\Sigma_{\lambda}$ $\Omega\subset\{x | \lambda-2l<x_{1}<\lambda\}$ $l$ $\omega(x,t)\in (C^{1,1}_{\rm loc}(\Omega)\cap \mathcal{L}_{2s})\times C^{1}(\mathbb{R})$ $\overline{\Omega}$ $t$ $x$
... 定理2.2 (反对称函数的极值原理[9 ] ) 假设 $\Omega$ $\Sigma_{\lambda}$ $\Omega$ $x_{1}$ $\omega(x,t)\in (C^{1,1}_{\rm loc}(\Omega)\cap \mathcal{L}_{2s})\times C^{1}(\mathbb{R})$ $\overline{\Omega}$ $t$ $x$ $0<\gamma<2s$ $|x|\rightarrow+\infty$ $\omega(x,t)\leq o(1)|x|^{\gamma}$
... 引理2.1 (反对称函数的 Hopf's 引理[9 ] ) 假设 $\omega_{\lambda}(x,t)\in (C^{1,1}_{\rm loc}(\Omega)\cap \mathcal{L}_{2s})\times C^{1}(\mathbb{R})$
... 注2.1 由于定理 1.1 有条件 $u=0$ $B_{1}^{c}(0)$ $u \in \mathcal{L}_{2s}$ $u(x,t)\leq o(1)|x|^{\gamma}$ $|x|\rightarrow\infty$ $|x|\rightarrow \infty$ 9 ] 中条件 $u(x,t)\leq o(1)|x|^{\gamma}$ $|x|\rightarrow \infty$
The steady incompressible jet flows issuing from a finitely long nozzle
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2021
... 在非线性偏微分方程(PDE)和现代偏微分方程领域, 方程解的适定性[10 ] 、对称性、单调性和收敛率[12 ] 等是十分重要的性质. 本文的目的是得到分数阶抛物方程 (1.1) 整体解的对称性与单调性. 本文的主要定理如下 ...
Regularity theory for general stable operators: Parabolic equations
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2017
... 由于 $u^{k}(x,t)$ 11 ] 中关于分数阶抛物方程解的正则性估计, 我们选取子列 (仍标记为 $u^{k}$ ) 并令 $k\rightarrow\infty,$ $u^{k}(x,t)\rightarrow\tilde{u}(x,t),\ \ \ (-\Delta)^{s}u^{k}(x,t)\rightarrow(-\Delta)^{s}\tilde{u}(x,t),$
Convergence rates to nonlinear diffusive waves for solutions to nonlinear hyperbolic system
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2019
... 在非线性偏微分方程(PDE)和现代偏微分方程领域, 方程解的适定性[10 ] 、对称性、单调性和收敛率[12 ] 等是十分重要的性质. 本文的目的是得到分数阶抛物方程 (1.1) 整体解的对称性与单调性. 本文的主要定理如下 ...
Entire solutions of the KPP equation
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1999
... 其中时间变量 $t\in(-\infty,\infty),$ 13 ,14 ]. ...
Travelling fronts and entire solutions of the Fisher-KPP equation in $R^{N}$
1
2001
... 其中时间变量 $t\in(-\infty,\infty),$ 13 ,14 ]. ...
Monotonicity and symmetry of solutions of fully nonlinear elliptic equations on bounded domains
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1991
... 众所周知, 关于具有局部或非局部算子的椭圆方程的研究方法有很多, 比如移动平面法可参见文献 [1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,15 ], 移动球面法可参见文献 [6 ,17 ], 以及滑动方法(sliding methods)可参见文献 [7 ,18 ,21 ,22 ]. 之后, 具有局部算子的抛物方程有了一些结果, 比如文献 [16 ,19 ,20 ]. 然而, 截至目前, 关于非局部抛物算子的研究却寥寥无几[24 ] . 最近, 陈文雄等[2 ] 得出了无界区域上非局部问题正定解的单调性. 在文献 [9 ] 中, 陈文雄和武乐云取得了关于非局部算子的分数阶抛物方程的 Liouville 定理. 进一步, 文献 [23 ] 中, 他们又得到了分数阶抛物方程古典解(ancient solutions)的一些结果. 由于分数阶 Laplacian 整体解的主要困难来源于算子的非局部性, 而且许多传统的方法无法运用于非局部算子上, 因此, 本文将采用一些新的方法来克服算子的非局部性, 例如: 分数阶抛物形式的移动平面法, 狭窄区域原则以及反对称函数的极值原理等. ...
1
1989
... 众所周知, 关于具有局部或非局部算子的椭圆方程的研究方法有很多, 比如移动平面法可参见文献 [1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,15 ], 移动球面法可参见文献 [6 ,17 ], 以及滑动方法(sliding methods)可参见文献 [7 ,18 ,21 ,22 ]. 之后, 具有局部算子的抛物方程有了一些结果, 比如文献 [16 ,19 ,20 ]. 然而, 截至目前, 关于非局部抛物算子的研究却寥寥无几[24 ] . 最近, 陈文雄等[2 ] 得出了无界区域上非局部问题正定解的单调性. 在文献 [9 ] 中, 陈文雄和武乐云取得了关于非局部算子的分数阶抛物方程的 Liouville 定理. 进一步, 文献 [23 ] 中, 他们又得到了分数阶抛物方程古典解(ancient solutions)的一些结果. 由于分数阶 Laplacian 整体解的主要困难来源于算子的非局部性, 而且许多传统的方法无法运用于非局部算子上, 因此, 本文将采用一些新的方法来克服算子的非局部性, 例如: 分数阶抛物形式的移动平面法, 狭窄区域原则以及反对称函数的极值原理等. ...
Uniqueness theorems through the method of moving spheres
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1995
... 众所周知, 关于具有局部或非局部算子的椭圆方程的研究方法有很多, 比如移动平面法可参见文献 [1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,15 ], 移动球面法可参见文献 [6 ,17 ], 以及滑动方法(sliding methods)可参见文献 [7 ,18 ,21 ,22 ]. 之后, 具有局部算子的抛物方程有了一些结果, 比如文献 [16 ,19 ,20 ]. 然而, 截至目前, 关于非局部抛物算子的研究却寥寥无几[24 ] . 最近, 陈文雄等[2 ] 得出了无界区域上非局部问题正定解的单调性. 在文献 [9 ] 中, 陈文雄和武乐云取得了关于非局部算子的分数阶抛物方程的 Liouville 定理. 进一步, 文献 [23 ] 中, 他们又得到了分数阶抛物方程古典解(ancient solutions)的一些结果. 由于分数阶 Laplacian 整体解的主要困难来源于算子的非局部性, 而且许多传统的方法无法运用于非局部算子上, 因此, 本文将采用一些新的方法来克服算子的非局部性, 例如: 分数阶抛物形式的移动平面法, 狭窄区域原则以及反对称函数的极值原理等. ...
Maximum principles and monotonicity of solutions for fractional $p$ -equations in unbounded domains
1
... 众所周知, 关于具有局部或非局部算子的椭圆方程的研究方法有很多, 比如移动平面法可参见文献 [1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,15 ], 移动球面法可参见文献 [6 ,17 ], 以及滑动方法(sliding methods)可参见文献 [7 ,18 ,21 ,22 ]. 之后, 具有局部算子的抛物方程有了一些结果, 比如文献 [16 ,19 ,20 ]. 然而, 截至目前, 关于非局部抛物算子的研究却寥寥无几[24 ] . 最近, 陈文雄等[2 ] 得出了无界区域上非局部问题正定解的单调性. 在文献 [9 ] 中, 陈文雄和武乐云取得了关于非局部算子的分数阶抛物方程的 Liouville 定理. 进一步, 文献 [23 ] 中, 他们又得到了分数阶抛物方程古典解(ancient solutions)的一些结果. 由于分数阶 Laplacian 整体解的主要困难来源于算子的非局部性, 而且许多传统的方法无法运用于非局部算子上, 因此, 本文将采用一些新的方法来克服算子的非局部性, 例如: 分数阶抛物形式的移动平面法, 狭窄区域原则以及反对称函数的极值原理等. ...
Estimates of solutions and asymptotic symmetry for parabolic equations on unbounded domains
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2007
... 众所周知, 关于具有局部或非局部算子的椭圆方程的研究方法有很多, 比如移动平面法可参见文献 [1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,15 ], 移动球面法可参见文献 [6 ,17 ], 以及滑动方法(sliding methods)可参见文献 [7 ,18 ,21 ,22 ]. 之后, 具有局部算子的抛物方程有了一些结果, 比如文献 [16 ,19 ,20 ]. 然而, 截至目前, 关于非局部抛物算子的研究却寥寥无几[24 ] . 最近, 陈文雄等[2 ] 得出了无界区域上非局部问题正定解的单调性. 在文献 [9 ] 中, 陈文雄和武乐云取得了关于非局部算子的分数阶抛物方程的 Liouville 定理. 进一步, 文献 [23 ] 中, 他们又得到了分数阶抛物方程古典解(ancient solutions)的一些结果. 由于分数阶 Laplacian 整体解的主要困难来源于算子的非局部性, 而且许多传统的方法无法运用于非局部算子上, 因此, 本文将采用一些新的方法来克服算子的非局部性, 例如: 分数阶抛物形式的移动平面法, 狭窄区域原则以及反对称函数的极值原理等. ...
Symmetry properties of positive solutions of parabolic equations on $R^{N},$ I: Asymptotic symmetry for the Cauchy problem
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2005
... 众所周知, 关于具有局部或非局部算子的椭圆方程的研究方法有很多, 比如移动平面法可参见文献 [1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,15 ], 移动球面法可参见文献 [6 ,17 ], 以及滑动方法(sliding methods)可参见文献 [7 ,18 ,21 ,22 ]. 之后, 具有局部算子的抛物方程有了一些结果, 比如文献 [16 ,19 ,20 ]. 然而, 截至目前, 关于非局部抛物算子的研究却寥寥无几[24 ] . 最近, 陈文雄等[2 ] 得出了无界区域上非局部问题正定解的单调性. 在文献 [9 ] 中, 陈文雄和武乐云取得了关于非局部算子的分数阶抛物方程的 Liouville 定理. 进一步, 文献 [23 ] 中, 他们又得到了分数阶抛物方程古典解(ancient solutions)的一些结果. 由于分数阶 Laplacian 整体解的主要困难来源于算子的非局部性, 而且许多传统的方法无法运用于非局部算子上, 因此, 本文将采用一些新的方法来克服算子的非局部性, 例如: 分数阶抛物形式的移动平面法, 狭窄区域原则以及反对称函数的极值原理等. ...
具 De Giorgi 型非线性分数阶方程解的单调性
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2022
... 众所周知, 关于具有局部或非局部算子的椭圆方程的研究方法有很多, 比如移动平面法可参见文献 [1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,15 ], 移动球面法可参见文献 [6 ,17 ], 以及滑动方法(sliding methods)可参见文献 [7 ,18 ,21 ,22 ]. 之后, 具有局部算子的抛物方程有了一些结果, 比如文献 [16 ,19 ,20 ]. 然而, 截至目前, 关于非局部抛物算子的研究却寥寥无几[24 ] . 最近, 陈文雄等[2 ] 得出了无界区域上非局部问题正定解的单调性. 在文献 [9 ] 中, 陈文雄和武乐云取得了关于非局部算子的分数阶抛物方程的 Liouville 定理. 进一步, 文献 [23 ] 中, 他们又得到了分数阶抛物方程古典解(ancient solutions)的一些结果. 由于分数阶 Laplacian 整体解的主要困难来源于算子的非局部性, 而且许多传统的方法无法运用于非局部算子上, 因此, 本文将采用一些新的方法来克服算子的非局部性, 例如: 分数阶抛物形式的移动平面法, 狭窄区域原则以及反对称函数的极值原理等. ...
具 De Giorgi 型非线性分数阶方程解的单调性
1
2022
... 众所周知, 关于具有局部或非局部算子的椭圆方程的研究方法有很多, 比如移动平面法可参见文献 [1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,15 ], 移动球面法可参见文献 [6 ,17 ], 以及滑动方法(sliding methods)可参见文献 [7 ,18 ,21 ,22 ]. 之后, 具有局部算子的抛物方程有了一些结果, 比如文献 [16 ,19 ,20 ]. 然而, 截至目前, 关于非局部抛物算子的研究却寥寥无几[24 ] . 最近, 陈文雄等[2 ] 得出了无界区域上非局部问题正定解的单调性. 在文献 [9 ] 中, 陈文雄和武乐云取得了关于非局部算子的分数阶抛物方程的 Liouville 定理. 进一步, 文献 [23 ] 中, 他们又得到了分数阶抛物方程古典解(ancient solutions)的一些结果. 由于分数阶 Laplacian 整体解的主要困难来源于算子的非局部性, 而且许多传统的方法无法运用于非局部算子上, 因此, 本文将采用一些新的方法来克服算子的非局部性, 例如: 分数阶抛物形式的移动平面法, 狭窄区域原则以及反对称函数的极值原理等. ...
The sliding methods for the fractional $p$ -Laplacian
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2020
... 众所周知, 关于具有局部或非局部算子的椭圆方程的研究方法有很多, 比如移动平面法可参见文献 [1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,15 ], 移动球面法可参见文献 [6 ,17 ], 以及滑动方法(sliding methods)可参见文献 [7 ,18 ,21 ,22 ]. 之后, 具有局部算子的抛物方程有了一些结果, 比如文献 [16 ,19 ,20 ]. 然而, 截至目前, 关于非局部抛物算子的研究却寥寥无几[24 ] . 最近, 陈文雄等[2 ] 得出了无界区域上非局部问题正定解的单调性. 在文献 [9 ] 中, 陈文雄和武乐云取得了关于非局部算子的分数阶抛物方程的 Liouville 定理. 进一步, 文献 [23 ] 中, 他们又得到了分数阶抛物方程古典解(ancient solutions)的一些结果. 由于分数阶 Laplacian 整体解的主要困难来源于算子的非局部性, 而且许多传统的方法无法运用于非局部算子上, 因此, 本文将采用一些新的方法来克服算子的非局部性, 例如: 分数阶抛物形式的移动平面法, 狭窄区域原则以及反对称函数的极值原理等. ...
Ancient solutions to nonlocal parabolic equations
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2022
... 众所周知, 关于具有局部或非局部算子的椭圆方程的研究方法有很多, 比如移动平面法可参见文献 [1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,15 ], 移动球面法可参见文献 [6 ,17 ], 以及滑动方法(sliding methods)可参见文献 [7 ,18 ,21 ,22 ]. 之后, 具有局部算子的抛物方程有了一些结果, 比如文献 [16 ,19 ,20 ]. 然而, 截至目前, 关于非局部抛物算子的研究却寥寥无几[24 ] . 最近, 陈文雄等[2 ] 得出了无界区域上非局部问题正定解的单调性. 在文献 [9 ] 中, 陈文雄和武乐云取得了关于非局部算子的分数阶抛物方程的 Liouville 定理. 进一步, 文献 [23 ] 中, 他们又得到了分数阶抛物方程古典解(ancient solutions)的一些结果. 由于分数阶 Laplacian 整体解的主要困难来源于算子的非局部性, 而且许多传统的方法无法运用于非局部算子上, 因此, 本文将采用一些新的方法来克服算子的非局部性, 例如: 分数阶抛物形式的移动平面法, 狭窄区域原则以及反对称函数的极值原理等. ...
Symmetry and nonexistence of solutions for a fully nonlinear nonlocal system
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2019
... 众所周知, 关于具有局部或非局部算子的椭圆方程的研究方法有很多, 比如移动平面法可参见文献 [1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,15 ], 移动球面法可参见文献 [6 ,17 ], 以及滑动方法(sliding methods)可参见文献 [7 ,18 ,21 ,22 ]. 之后, 具有局部算子的抛物方程有了一些结果, 比如文献 [16 ,19 ,20 ]. 然而, 截至目前, 关于非局部抛物算子的研究却寥寥无几[24 ] . 最近, 陈文雄等[2 ] 得出了无界区域上非局部问题正定解的单调性. 在文献 [9 ] 中, 陈文雄和武乐云取得了关于非局部算子的分数阶抛物方程的 Liouville 定理. 进一步, 文献 [23 ] 中, 他们又得到了分数阶抛物方程古典解(ancient solutions)的一些结果. 由于分数阶 Laplacian 整体解的主要困难来源于算子的非局部性, 而且许多传统的方法无法运用于非局部算子上, 因此, 本文将采用一些新的方法来克服算子的非局部性, 例如: 分数阶抛物形式的移动平面法, 狭窄区域原则以及反对称函数的极值原理等. ...
