本文研究如下带部分调和势的非齐次 $L^{2}$ 临界 (质量临界) 非线性 Schrödinger 方程的 Cauchy 问题

其中 $N \geq 2$ 为空间维数, $\varphi=\varphi(t,x)$: $[0,T)\times\mathbf{R}^{N}\rightarrow \mathbf{C}$, $0<T\leq \infty$ 为解的最大存在时间, $\Delta$ 为定义在 $\mathbf{R}^{N}$ 上的拉普拉斯算子, $U(x)=\sum\limits_{j=1}^{k}\omega_j^{2}x_j^{2}$ ($1\leq k < N$) 表示各项相异的部分调和势, 且 $\omega_j\neq0$, $\omega_j \in \mathbf{R}$ ($1\leq j \leq k$), $\alpha=\frac{4}{N}$ 为 $L^2$-临界指数. 非线性项前的非齐次系数 $a(x)$ 为 $\mathbf{R}^{N}$ 上给定的实值 $C^{1}$ 函数, 稍后将对其作进一步假设. 含有部分调和势和非齐次非线性项的模型 (1.1)可以用于描述各种物理背景下的非线性波, 如激光束和等离子体波的传播.

我们知道, 具有限制势的非线性 Schrödinger 方程是物理学中的一类重要模型, 常用于描述玻色-爱因斯坦凝聚 (BEC) 现象^[2,6,25]. 在 BEC^[25] 的实验中, 由于限制势的存在, 可以观察到凝聚现象, 其宏观行为强烈地依赖于该外部限制势的形状, 其通常被选择为调和势, 即 $U(x)=\sum\limits_{j=1}^{N}\omega_j^{2}x_j^{2}$ 且 $\omega_j\neq0$ ($1\leq j \leq N$).

当非线性项是齐次情形 (即 $a(x)\equiv C$, $C$ 为常数), 据我们了解, 关于在部分空间方向上带限制的非线性 Schrödinger 方程的研究已取得部分进展, 参见文献 [1,3,10,12,21,23,34] 及其参考文献. 更准确地说, Antonelli、Carles 和 Silva^[1] 考虑了具有部分调和势的非线性 Schrödinger 方程在 $\mathbf{R}^{N}$ 中的散射行为. Bellazzini 等人^[3] 证明了带部分调和势的 $L^2$ 临界和 $L^2$ 超临界非线性 Schrödinger 方程驻波解的存在性和轨道稳定性, 以及基态解在 $\mathbf{R}^{3}$ 中的定性性质和对称性质等. 注意到, 在适当假设下, 分别由文献 [1,3] 给出的 Strichartz 型估计和平稳孤立波的存在性结果与文献 [5,8] 中带完整调和势的情况相同, 但文献 [1,3] 中运用的思想更具挑战性, 由于部分调和势的存在具有很大的差异. Ohta^[22] 研究了含一个方向限制的调和势的非线性 Schrödinger 方程驻波解的强不稳定性. 文献 [10,12] 的作者将 Bellazzini 等人^[3] 的结果推广至空间维数为 $N = 3$ 的带部分调和势的不同非线性 Schrödinger 耦合系统. 此外, 特别值得一提的是, Zhang^[35] 研究了解全局存在的门槛条件, 并运用尺度变换技巧证明了具有部分调和势的质量临界非线性 Schrödinger 方程在某些特殊初值下存在爆破解. 基于经典的非线性椭圆方程基态解的变分特征以及 Hmidi 和 Keraani^[11] 提出的精细的紧性结论, Pan 和 Zhang^[24] 在 2 维空间中对含部分调和势的质量临界非线性 Schrödinger 方程得到了解整体存在和爆破的阈值以及最小质量爆破解的动力学性质 ($L^2$-集中和极限 profile). 需要注意的是, 文献 [24,35] 中给出的解全局存在的门槛条件和爆破解的动力学性质都与经典的标量场方程

的正径向对称基态解密切相关. 该基态解与相应的非线性 Schrödinger 方程解的奇性的形成有关.

据我们所知, 目前还没有文献考虑含有部分调和势和非齐次系数的质量临界非线性 Schrödinger 方程的 Cauchy 问题 (1.1). 我们对问题 (1.1)解整体存在和爆破的门槛条件以及爆破解的动力学性质 (如质量集中和 $L^{2}$ 最小爆破解等) 抱有极大兴趣.

下面回顾一些已知的关于不带位势的非线性 Schrödinger 方程解的适定性和爆破结果

在方程 (1.3) 中, 当 $a(x)\equiv C$ ($C$ 为常数)时, 已有大量文献研究了方程 (1.3) 对应的 Cauchy 问题, 参见文献 [5,9,11,17,19,20,30,31,32]. 确切地说, Glassey^[9], Ogawa 和 Tsutsumi^[20] 分别证明了方程 (1.3) 的 Cauchy 问题在含有或不含有条件 $|x|\varphi_{0}\in L^2(\mathbf{R}^{N})$ 时爆破解的存在性. 文献 [31] 利用变分方法得到了 $L^{2}$ 临界非线性 Schrödinger 方程解全局存在和爆破的门槛条件. 在文献 [32] 中, Weinstein 考虑了最小质量爆破解的结构和奇性的形成. Merle^[16] 研究了爆破解的质量集中性质, 并构造了具有最小质量的爆破解. 文献 [19] 对文献 [32] 的结果进行了改进, 且 Merle 和 Raphaël 建立了爆破解的最优分解. 在文献 [11] 中, Hmidi 和 Keraani 利用 $H^1(\mathbf{R}^{N})$ 中有界序列的 profile 分解建立了精细的紧性结论, 并利用所得的精细的紧性结论在 $H^1(\mathbf{R}^{N})$ 中对聚焦质量临界非线性 Schrödinger 方程的爆破解的 $L^{2}$ 集中性质给出了更简单的证明. Hmidi 和 Keraani^[11] 建立的集中紧工具已被广泛应用于研究多种非线性 Schrödinger 方程爆破解的动力学性质, 参见文献 [4,7,24]. 有关方程 (1.3) 的 Cauchy 问题的综合研究, 我们推荐读者查阅文献 [5,30].

在方程 (1.3) 中, 当 $0<a(x)\neq C$ ($C$ 为常数), $a(x)$ 可能是有界的, 即将调和势 $U(x)=\sum\limits_{j=1}^{k}\omega_j^{2}x_j^{2}$ 从问题 (1.3) 中移除, Merle^[18] 充分利用非线性椭圆方程 (1.2) 的基态, 在有界非齐次系数 $a(x)$ 的一些假设条件下对 $L^2$ 临界非线性 Schrödinger 方程的 Cauchy 问题的 $L^2$ 最小爆破解的存在性与不存在性进行了详细研究. Shu 和 Zhang^[27] 通过势阱理论和变分方法推导了方程 (1.3) 在 $\alpha=\frac{4}{N}$ 时解爆破和全局存在的最佳条件. Liu^[16] 在初值为径向或非径向对称情形下利用势阱方法得到了能量临界方程 (1.3) (即 $\alpha=\frac{4}{N-2}$) 解的一些新的全局存在性和爆破阈值条件.

我们再回顾以下含完整调和势的非线性 Schrödinger 方程解的局部和全局存在性以及爆破的一些结果

当方程 (1.4) 中的 $f(x)\equiv C$ 且 $a(x)\equiv C$ ($C$ 为常数)时, Oh^[20] 和 Cazenave^[5] 得到了方程 (1.4) 的 Cauchy 问题在相应的加权能量空间中的局部和全局适定性. Zhang^[32] 证明了该方程对一些初值存在爆破解, 并利用变分方法研究了 $L^2$ 临界非线性 Schrödinger 方程驻波解的稳定性, 而且得到了最佳稳定阈值. Zhang^[33], Shu 和 Zhang^[27], Zhang 和 Ahmed^[35] 借助于势阱方法和变分法分别得到了含 $L^2$-临界和 $L^2$-超临界非线性项或含 $L^2$-超临界非线性项的 Schrödinger 方程解在有限时间爆破和全局存在的门槛. Li 和 Zhang^[14] 给出了质量临界非线性 Schrödinger 方程爆破解的爆破速率下界, 并研究了径向对称爆破解的质量集中性质. 对于具有临界指数 $\alpha=\frac{4}{N}$ 和非径向对称初值的非线性 Schrödinger 方程, Zhu, Zhang 和 Li^[36] 利用变分方法、尺度变换技巧和集中紧原理研究了具最小质量和小超临界质量的爆破解的极限 profile. Oh^[22] 讨论了带调和势的 $L^2$ 超临界非线性 Schrödinger 方程驻波解的强不稳定性.

在方程 (1.4) 中, 当 $f(x)\equiv C$ 且 $a(x)\neq C$ ($C$ 为常数)时, Liu 等人^[15] 利用与非线性椭圆方程

相关的尺度变换技术和变分方法, 得到了质量临界非线性 Schrödinger 方程的 Cauchy 问题解全局存在的最优条件, 其中 $a_{2}$ 是有界函数 $a(x)$ 的全局最大值. 对于 $f(x)\neq C$ 和 $a(x)\neq C$, Cao 和 Han^[4] 通过尺度变换技巧和变分方法给出了质量临界非齐次非线性 Schrödinger 方程解全局存在和爆破的门槛. 借助于相应的非线性椭圆方程基态解的变分特征和尺度变换技巧, 他们还考虑了最小质量爆破解的极限 profile、$L^2$ 集中和爆破速率. 在方程 (1.4) 中, 当 $f(x)\neq C$, $a(x)\neq C$, 且将 $\omega^2|x|^{2}\varphi$ 替换为 $\nabla f\cdot\nabla \varphi$ 时, 文献 [24] 将文献 [17] 的结果推广至 $\mathbf{R}^{2}$ 空间.

受上述文献的启发, 我们的目标之一是证明全局解和爆破解的存在性, 并确定 Cauchy 问题 (1.1)解全局存在和爆破的严格门槛是否存在. 另一个目标是得到问题 (1.1)的 $L^2$ 最小质量爆破解的动力学性质, 这些都是物理学上非常关心的问题.

实现这些目标的主要困难源于部分限制势 $U(x)=\sum\limits_{j=1}^{k}\omega_j^{2}x_j^{2}$ 和非齐次非线性项 $a(x)|\varphi|^{\frac{4}{N}}\varphi$ 的出现, 这导致相应的尺度不变性和伪共形变换不变性失效. 受文献 [4,24] (另见文献 [15]) 的启发, 我们利用不带任何位势的非线性椭圆方程 (1.5) 的基态解克服上述两种对称性的缺失带来的困难. 鉴于文献 [4,24,33,35], 并结合方程 (1.5) 基态的变分特征以及质量和能量守恒 (见 (2.2) 式), 得到了整体解的存在性, 并通过尺度变换技术证明了该方程对一些特殊初值存在爆破解. 随后, 利用文献 [11] 建立的精细紧性结论来研究爆破解的 $L^2$ 集中现象. 基于文献 [4,7,18,24] 的思想, 最后利用与上述基态解相关的变分结论来研究 $L^2$-最小爆破解的动力学性质, 包括最小质量爆破解的极限 profile、质量集中和爆破速率. 我们将 Zhang^[35] 的解的整体存在性和爆破结果推广到含非齐次非线性项的情形, 并将 Pan 和 Zhang^[24] 的部分结果改进到空间维数为 $N\geq2$ 且非线性项为非齐次的情形.

本工作的其余部分结构如下: 在第 2 节中, 给出了一些符号和预备知识. 第 3 节致力于研究 Cauchy 问题 (1.1)解的整体存在性和爆破问题. 第 4 节讨论了爆破解的 $L^2$ 集中现象. 第 5 节着重考虑 $L^2$ 最小爆破解的动力学性质. 在最后一节中, 于附录给出了命题 3.1 的严格证明.

本文用 $\int\cdot \ {\rm d}x$ 来表示 $\int_{\mathbf{R}^{N}}\cdot \ {\rm d}x$, 用 $\|\phi\|_{p}=\|\phi\|_{L^{p}(\mathbf{R}^{N})}=(\int |\phi|^{p}{\rm d}x)^{\frac{1}{p}}$ 表示函数 $\phi$ 在 $L^p({\mathbf{R}^{N}})$$(1\leq p < \infty)$ 中的范数. 简记 $C$ 为各种正的常数, 这些常数可能因行而异.

对于 Cauchy 问题 (1.1), 定义能量空间 $\Sigma$ 如下

该空间事实上是一个 Hilbert 空间且有内积

相应的范数为

此外, 定义 $\Sigma$ 上的能量泛函为

在接下来的章节中, 对非齐次系数 $a(x)$ 作以下假设: 存在 $a_{2}\geq a_{1}> 0$, 使得

(H1) 任意 $x \in \mathbf{R}^{N}, a_{1}=\inf_{x \in\mathbf{R}^{N}} a(x)\leq a(x)\leq \sup_{x \in\mathbf{R}^{N}}a(x) = a_{2} < \infty$;

(H2) 任意 $x \in \mathbf{R}^{N}, \ x\cdot\nabla a(x)\leq0$;

(H3) 存在 $x_0 \in \mathbf{R}^{N}$ 使得 $a(x_0)=a_{2}.$

根据文献 [5,21], 对问题 (1.1)有如下局部适定性结果.

命题2.1 设 $\varphi_0 \in \Sigma$ 且 (H1) 成立, 则对 $0<T\leq\infty$, Cauchy 问题 (1.1)在 $C([0,T),\Sigma)$ 中存在唯一解 $\varphi(t,x)$. 这里 $T$ 为最大存在时间, 如果 $\ T <\infty$, 则 $\lim\limits_{t \nearrow T^{-}} \|\varphi(t)\|_{\Sigma}=\infty$ (爆破). 此外, 对任意 $t \in [0,T)$, 以下质量和能量守恒定律成立,

考虑非线性椭圆方程

引入一个重要的引理, 参见文献 [13,29,31]. 其中 Kwong^[13] 和 Strauss^[29] 分别建立了方程 (2.3) 基态解的存在性和唯一性, Weinstein^[30] 证明了相应的 Gagliardo-Nirenberg 不等式. 这里, 方程 (2.3) 的基态解 $Q(x)$ 指的是方程 (2.3) 的正值径向对称解 (即 $Q(x)=Q(|x|)$), 该解使如下泛函达到最小值

引理2.1^[13,29,31] 方程 (2.3) 存在唯一的正基态解 $Q(x)$, 该基态解满足 $Q(x)=Q(|x|)$, 且 $\frac{N}{N+2}(\int Q^2 {\rm d}x)^{\frac{2}{N}}$ 是如下泛函的最小化元

特别地, 对任意 $\phi \in H^{1}(\mathbf{R}^{N})$,

为了研究爆破现象, 引入 Weinstein^[31] 的结论, 其通常被称为不确定性原理.

引理2.2^[31] 设 $\phi \in \Sigma$, 则有

在第4节和第5节中, Hmidi 和 Keraani^[11] 建立的精细紧性引理在研究 Cauchy 问题 (1.1)爆破解的集中性质时将发挥重要作用.

引理2.3^[11] 设 $\{u_n\}_{n=1}^{\infty}$ 为 $H^{1}(\mathbf{R}^{N})$ 中的有界序列, 满足

则存在 $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}\subset \mathbf{R}^{N}$ 使得 $\{u_n\}_{n=1}^{\infty}$ 的一个子序列满足

且

其中 $Q(x)$ 为方程 (2.3) 的基态解.

本节讨论 Cauchy 问题 (1.1)全局解和爆破解的存在性.

首先, 考虑以下非线性椭圆方程

其中 $a_{2}$ 是由系数 $a(x)$ 所满足的假设中的全局极大值. 方程 (3.1) 基态的变分特征对于得到 $L^{2}$ 临界非线性 Schrödinger 方程的全局解和爆破解的门槛具有重要意义. 在接下来的章节中, 将利用此基态来刻画爆破解的动力学性质.

设 $Q_{a_{2}}(x)$ 为方程 (3.1) 的正基态解, 通过尺度变换可以得到 $Q_{a_{2}}(x)=a_{2}^{-\frac{N}{4}}Q(x)$, 其中 $Q(x)$ 是方程 (2.3) 正的径向对称解. 由 (2.3) 和 (3.1) 式, 可以得到如下尺度变换恒等式和 Pohozaev 恒等式

本文的主要结果之一是关于 Cauchy 问题 (1.1)的整体解的存在性.

定理3.1 设 $Q_{a_{2}}(x)$ 为方程 (3.1) 的正基态解, 并设 (H1) 成立. 如果 $\varphi_0 \in \Sigma$ 且满足

则 Cauchy 问题 (1.1)存在有界的全局解 $\varphi(t,x)\in C([0,\infty),\Sigma)$. 且对任意 $0\leq t<\infty$, 有

证 设 $\varphi(t,x)\in C([0,T),\Sigma)$ 是问题 (1.1)相应于初值 $\varphi_0 \in \Sigma$ 的解. 由于 $a(x)$ 满足 (H1), 且由 (2.1), (2.2) 和 (2.4) 式, 有

由 (3.3) 和 (3.5) 式, 易发现 $\int|\nabla\varphi(t)|^{2}{\rm d}x$ 和 $\int \sum\limits_{j=1}^{k}\omega_j^{2} x_j^{2}|\varphi(t)|^{2}{\rm d}x$ 对所有 $t \in [0,T)$ 是一致有界的, 其中 $T$ 是任意的且 $T<\infty$. 于是由命题 3.1 知 $\varphi(t,x)$ 关于时间 $t$ 全局存在. 此外, 由 (3.5) 式, 有

和

因此, (3.4) 式成立. 从而结论成立.

注3.1 (i) 在问题 (1.1)中, 当 $\omega_1=\omega_2=\cdot\cdot\cdot=\omega_k=1$ 且 $a(x)\equiv a>0$ (即 $a_{1}=a_{2}=a$) 时, Zhang^[34] 证明了解的整体存在性 (参见文献 [35,定理 3.2]). 本文将 Zhang[34] 的整体存在性结果推广到含非齐次非线性项的情形.

(ii) 在问题 (1.1)中, 当 $\omega_1=1$ 且 $a(x)\equiv 1$ (即 $a_{1}=a_{2}=1$) 时, Pan 和 Zhang^[23] 在 $N=2$ 维空间中证明了质量临界非线性 Schrödinger 方程全局解的存在性 (参见文献 [24,定理 3.6]). 在非线性项为非齐次情形, 我们将文献 [23] 的相应结果改进到空间维数 $N\geq2$ 的情形.

(iii) 定理 3.1 表明, 当将完整调和势 $U(x)=|x|^{2}$ 替换为部分调和势 $U(x)=\sum\limits_{j=1}^{k}\omega_j^{2}x_j^{2}$ 时, 也得到了与文献 [15,定理 3.1]的第一部分相类似的结论.

随后, 我们将注意力集中于研究 Cauchy 问题 (1.1)的爆破解的存在性及全局存在和爆破的门槛条件. 为了实现这一目标, 首先给出 virial 恒等式, 其在爆破解的分析中起着至关重要的作用.

命题3.1 设 $\varphi_0 \in H^{1}(\mathbf{R}^{N})$, $|x|\varphi_0 \in L^{2}(\mathbf{R}^{N})$ 且 $\varphi(t,x)\in C([0,T);\Sigma)$ 是 Cauchy 问题 (1.1)的解. 令 $J(t)=\int|x|^{2}|\varphi(t,x)|^{2}{\rm d}x$, 则有 $J^{\prime}(t)= 4{\rm Im}\int x\cdot\nabla\varphi \bar{\varphi} {\rm d}x, \nonumber$ 以及

证 根据文献 [5] (另见文献 [15]), 通过形式计算 (严格证明见附录), 可得

进而

其中

以及

由 (3.7)-(3.9) 式, 可知 (3.6) 式成立. 证毕.

结合命题 3.1 和引理 2.2, 我们有以下推论.

推论3.1 设 $\varphi_0\in H^{1}(\mathbf{R}^{N})$, $|x|\varphi_0 \in L^{2}(\mathbf{R}^{N})$, 并设 (H1) 和 (H2) 成立. 则问题 (1.1)的解 $\varphi(t,x)$ 在有限时刻爆破发生在以下情形之一:

(1) $E(\varphi_0)< 0$;

(2) $E(\varphi_0)=0$ 且 Im$\int x\nabla\varphi_0 \bar{\varphi_0}{\rm d}x<0$;

(3) $E(\varphi_0)>0$ 且 Im$\int x\nabla\varphi_0 \bar{\varphi_0}{\rm d}x+ 4(J(0)E(\varphi_0))^{\frac{1}{2}}\leq0$.

证 由于 $a(x)$ 满足 (H1) 和 (H2), 由命题 3.1, 可得 $J^{{\prime}{\prime}} (t)\leq 8E(\varphi_0).$ 从而

情形(1) 由 $J(0)=\int|x|^{2}|\varphi_0|^{2}{\rm d}x >0$ 和 $E(\varphi_0)< 0$, 可以推断一定存在时间 $0< T<+\infty$ 使得

于是由引理 2.2 (见 2.5 式) 知

这表明问题 (1.1)对应的解 $\varphi(t,x)$ 在有限时刻爆破.

情形(2) 结合 $E(\varphi_0)=0$ 和 (3.10) 式易得 $0\leq J(t)\leq J(0)+ J^{{\prime}}(0)t.$ 又由 Im$\int x\nabla\varphi_0 \bar{\varphi_0}{\rm d}x<0$ 可知 $J^{{\prime}}(0)<0$. 结合 $J^{{\prime}}(0)<0$ 和 $J(0) >0$, 不难发现存在 $0< T <+\infty$ 使得 (3.11) 式成立. 这表明问题 (1.1)的解 $\varphi(t,x)$ 在有限时刻爆破.

情形(3) 通过简单的分析, 显然也存在 $T>0$, 使 (3.11) 式成立. 从而有相同的结论. 证毕.

根据推论 3.1, 可以建立 Cauchy 问题 (1.1)相应于特殊初值的爆破解的存在性, 该结论与方程 (3.1) 的基态解 $Q_{a_{2}}(x)$ 密切相关.

定理3.2 设 $Q_{a_{2}}(x)$ 为方程 (3.1) 的正基态解, 并设 (H1) 和 (H2) 成立. 则对任意 $\varepsilon >0$, 存在 $\varphi_{0}\in H^{1}(\mathbf{R}^{N})$ 且 $|x|\varphi_{0}\in L^{2}(\mathbf{R}^{N})$ 使得

且 Cauchy 问题 (1.1)的解 $\varphi(t,x)$ 在有限时刻爆破.

证 该证明基于尺度变换技巧 (参见文献 [34,23]). 令 $\varphi_{0}(x)=c\lambda^\frac{N}{2}Q_{a_{2}}(\lambda x)$, 其中 $c\in\mathbf{C}$, $\lambda >0$ 将稍后确定. 则有

以及

由 (H1), (2.1), (3.2), (3.13)-(3.16) 式, 可得

取

那么有 $\varphi_0 =c\lambda^\frac{N}{2}Q_{a_{2}}(\lambda x)\in \Sigma$ 和 $|x|\varphi_{0}\in L^{2}(\mathbf{R}^{N})$. 事实上, 由 $Q_{a_{2}}(x)=a_{2}^{-\frac{N}{4}}Q(x)\in H^{1}(\mathbf{R}^{N})$, 并结合基态解 $Q(x)$ 的指数衰减性^[5]

易得 $|x|Q_{a_{2}}\in L^{2}(\mathbf{R}^{N})$, 从而有 $\varphi_0 =c\lambda^\frac{N}{2}Q_{a_{2}}(\lambda x)\in H^{1}(\mathbf{R}^{N})$ 且 $|x|\varphi_{0}\in L^{2}(\mathbf{R}^{N})$. 因此, 有 $\varphi_0 \in \Sigma$. 此外, 结合 (3.13) 和 (3.18) 式, 则有

又由 (3.17) 和 (3.18) 式知 $E(\varphi_0)< 0.$ 由于 (H1) 和 (H2) 成立, 结合这一事实和上述不等式, 并根据推论 3.1 可推知问题 (1.1)的解 $\varphi(t,x)$ 在有限时刻爆破. 证毕.

注3.2 (i) 在问题 (1.1)中, 当 $\omega_1=\omega_2=\cdot\cdot\cdot=\omega_k=1$ 且 $a(x)\equiv a>0$ (即 $a_{1}=a_{2}=a$) 时, Zhang^[34] 证明了爆破解的存在性 (参见文献 [35,定理 3.1]). 本文将 Zhang[34] 的爆破结果推广到具有非齐次非线性项的质量临界非线性 Schrödinger 方程.

(ii) 在问题 (1.1)中, 当 $\omega_1=1$ 且 $a(x)\equiv 1$ (即 $a_{1}=a_{2}=1$) 时, Pan 和 Zhang^[23] 证明了对 $\mathbf{R}^{2}$ 空间中的某些初值, 质量临界齐次非线性 Schrödinger 方程存在爆破解 (参见文献 [24,定理 3.5]). 对于带有非齐次非线性项的情形, 我们将文献 [23] 的爆破结果推广到空间维数 $N\geq2$ 的情形.

(iii) 文献 [15,定理 3.1] 第二部分也证明了在考虑完整调和势 $U(x)=|x|^{2}$ 时存在爆破解. 在部分调和势 $U(x)=\sum\limits_{j=1}^{k}\omega_j^{2}x_j^{2}$ 存在的情况下, 注意到参数 $\lambda>0$ 不是任意的 (见 (3.18) 式), 故我们的结果与文献 [15] 的相应结果略有不同.

注3.3 由定理 3.1 中的 (3.3) 式和定理 3.2 中的 (3.12) 式, 我们证明了除 $a(x)\equiv a>0$ 以外, Cauchy 问题 (1.1)的解的爆破和全局存在性并不存在严格的门槛, 这与文献^[34,23] 中的情况有所不同.

本节中, 我们利用引理 2.3 中的紧性工具, 借鉴文献 [4,7,11,18,24,25] 中的一些思想, 研究 Cauchy 问题 (1.1)的爆破解的 $L^{2}$ 集中行为.

定理4.1 假设 $a(x)$ 满足 (H1)-(H2). 设 $\varphi(t,x)$ 为问题 (1.1)在有限时刻 $T$ 爆破的解, $\rho(t)$ 为 $[0,T)$ 上的实值非负函数, 满足当 $t \rightarrow T$ 时, $\rho(t)\|\nabla\varphi\|_{2}\rightarrow\infty$. 则

(i) 对任意 $t<T$, 存在函数 $x(t)\in \mathbf{R}^{N}$, 使得

其中 $Q_{a_{2}}(x)$ 是方程 (3.1) 的基态解.

(ii) 当 $n \rightarrow\infty$ 时, 不存在序列 $\{t_n\}_{n=1}^{\infty}$, 使得 $t_n \rightarrow T$ 且 $\varphi(t_n)$ 强收敛于 $L^2(\mathbf{R}^{N})$.

证 (i) 令

设 $\{t_n\}_{n=1}^{\infty}$ 为任意时间序列, 满足当 $n \rightarrow \infty$ 时, $t_n \rightarrow T$. 令 $\lambda_n =\lambda(t_n)$ 及 $u_n(x) =u(t_n,x)$. 由 (2.2) 和 (4.2) 式可知序列 $u_n$ 满足

对 $f \in H^1(\mathbf{R}^{N})$, 定义如下泛函

则由 (H1), (4.3), (2.2) 和 (4.2) 式, 当 $n \rightarrow \infty$ 时, $\lambda_n \rightarrow 0$, 可得

因此

现在, 令 $M =\|\nabla Q_{a_2}\|_{2}$ 且 $m^{2+\frac{4}{N}}=\frac{N+2}{Na_{2}}\|\nabla Q_{a_2}\|_{2}^{2}$. 则由引理 2.3 知, 存在 $V(x)\in H^{1}(\mathbf{R}^{N})$ 和 $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}\subset \mathbf{R}^{N}$ 使得

其中

由 (4.5) 式有

则由上述结论和 $L^{2}$ 范数的弱下半连续性, 对任意 $r > 0$, 有

注意到

从而存在 $n_{0}>0$ 使得对任意 $n>n_{0}$, 有 $r\lambda_n<\rho(t_n)$. 由 $r\lambda_n<\rho(t_n)$ 和 (4.7) 式可推得

这意味着

由序列 $\{t_n\}_{n=1}^{\infty}$ 的任意性和 (4.6) 式, 有

对每一个固定的 $t\in[0,T)$, 不难发现函数 $f(y):=\int_{|x-y|\leq \rho(t)}|\varphi(t,x)|^{2}{\rm d}x$ 对 $y\in \mathbf{R}^{N}$ 连续, 且 $\lim\limits_{|y|\rightarrow \infty}f(y)=0$. 因此, 对每一个固定的 $t\in[0,T)$, 存在函数 $x(t)\in\mathbf{R}^{N}$, 使得

由 (4.8) 和 (4.9) 式, 可推知结论 (4.1) 式成立.

(ii) 反证法证明. 假设存在序列 $\{t_n\}_{n=1}^{\infty}\subset[0,T)$ 满足当 $n \rightarrow \infty$ 时, $t_n \rightarrow T$ 且 $\varphi(t_n,x)$ 在 $L^2(\mathbf{R}^{N})$ 中强收敛. 由 Gagliardo-Nirenberg 不等式 (见 (2.4) 式), 对任意 $n>m>1$, 有

注意到

则由 (4.10) 和 (4.11) 式, 对固定的 $m>1$, 有

由于当 $n \rightarrow \infty$ 时, $\varphi(t_n,x)$ 在 $L^2(\mathbf{R}^{N})$ 中强收敛, 故对充分大的 $m_0$, 当 $n>m_0$ 时, 有

则对 $n>m_0$, 由 (4.12) 式有

其中 $C_{1}(m_0)$ 与 $n$ 无关. 显然上述不等式与 $\varphi(t,x)$ 在有限时刻 $T$ 爆破相矛盾. 从而, 定理 4.1 的第二个结论成立. 证毕.

注4.1 (i) 定理 4.1 描述了问题 (1.1)的爆破解的 $L^2$ 集中现象. 若取 $\rho(t)=\frac{A}{\|\nabla\varphi(t)\|^{1-\epsilon}_{2}}$, $A >0$ 且 $0<\epsilon<1$, 满足定理 4.1 的假设, 则定理 4.1 也给出了爆破解的$L^2$-集中速率.

(ii) 定理 4.1 中的 (4.1) 式表明 Cauchy 问题 (1.1)的爆破解一定有一个 $L^2$ 下界, 即 $\|\varphi_{0}\|_{2}\geq\|Q_{a_{2}}\|_{2}$, 反之, 也证明了定理 3.1 成立.

(iii) 在问题 (1.1)中, 当 $\omega_1=1$ 且 $a(x)\equiv 1$ (即 $a_{1}=a_{2}=1$) 时, Pan 和 Zhang^[23] 证明了$N=2$ 维空间中质量临界齐次非线性 Schrödinger 方程爆破解的集中现象 (参见文献 [24,定理 4.2]). 我们的结论将这一结果推广到空间维数为 $N\geq2$ 的非齐次非线性 Schrödinger 方程情形.

由文献 [17] (或文献^[4,24]), 可以由定理 4.1 得到以下推论.

推论4.1 设 $a(x)$ 满足 (H1) 和 (H2). 且设 Cauchy 问题 (1.1)在有限时刻 $T$ 爆破的解为 $\varphi(t,x)$. 则对所有 $r > 0$, 对 $t<T$ 存在 $x(t)\in \mathbf{R}^{N}$, 有

此外, 对所有 $r > 0$, 对 $t<T$ 存在 $x(t)\in \mathbf{R}^{N}$, 有

其中 $Q_{a_{2}}(x)$ 是方程 (3.1) 的基态解, $B(x(t),r)=\{x\in\mathbf{R}^{N}||x-x(t)|\leq r\}$, $\|Q_{a(x(t))}\|_{2}= \frac {\|Q\|_{2}}{[a(x(t))]^{\frac{N}{4}}}$.

在本节中, 利用定理 4.1 和推论 4.1 来研究 Cauchy 问题 (1.1)的 $L^2$ 最小爆破解的动力学性质, 即具有最小质量 $\|\varphi_{0}\|_{2}=\|Q_{a_{2}}\|_{2}$ 的爆破解的极限 profile、质量集中和爆破速率. 本节采用的思想主要源于文献^{[4,7,18,24,25]}.

定理5.1 (极限 profile) 设 $a(x)$ 满足 (H1)-(H2), 且假设 $\|\varphi_{0}\|_{2}=\|Q_{a_{2}}\|_{2}$. 设 $\varphi(t,x)$ 为问题 (1.1)在有限时刻 $T$ 爆破的解, 则存在两个函数 $\theta(t)\in[0,2\pi)$ 和 $x(t)\in \mathbf{R}^{N}$ 使得

其中 $Q_{a_{2}}(x)$ 为方程 (3.1) 的基态解, $\lambda(t)=\frac{\|\nabla Q_{a_2}\|_{2}} {\|\nabla \varphi(t)\|_{2}}$.

证 根据定理 4.1, 已证明 $\|V\|_{2}\geq\|Q_{a_2}\|_{2}$ (见 (4.6) 式). 由假设 $\|\varphi_{0}\|_{2}=\|Q_{a_{2}}\|_{2}$ 和 (2.2) 式, 可得

也就是说

结合 (4.5) 和 (5.2) 式, 当 $n\rightarrow\infty$ 时, 有

由 Gagliardo-Nirenberg 不等式 (见 (2.4) 式) 知

最后一个不等式运用了 $u_n(x+x_{n})$ 在 $H^1(\mathbf{R}^{N})$ 中的有界性. 从而, 由 (5.3) 和 (5.4) 式可推断, 当 $n\rightarrow\infty$ 时,

现在, 需要证明当 $n\rightarrow\infty$ 时,

事实上, 由 (4.3) 和 (4.4) 式, 不难发现

又由 (4.5), (5.7), (5.5), (2.4) 和 (5.2) 式, 有如下估计

即

由上述结果和 (4.5) 式, 可得 (5.6) 式和

到目前为止, profile $V$ 的性质可以概括为

运用与文献 [11] 类似的论证 (同样可见文献 [4,24]), 由基态的变分特征可知存在 $\theta\in[0,2\pi)$ 和 $x_{0}\in\mathbf{R}^{N}$, 使得

且当 $n\rightarrow\infty$ 时,

由于 $\{t_n\}_{n=1}^{\infty}$ 为趋于时间 $T$ 的任意序列, 根据文献 [13,31] (或见文献 [11]) 可知存在两个函数 $\theta(t)\in[0,2\pi)$ 和 $x(t)\in \mathbf{R}^{N}$, 使得当 $t \rightarrow T$ 时,

其中, $\lambda(t)=\frac{\|\nabla Q_{a_2}\|_{2}}{\|\nabla \varphi(t)\|_{2}}\rightarrow0 \ (t \rightarrow T)$. 即 (5.1) 式成立.

定理5.2 设 $a(x)$ 满足 (H1)-(H3), 且假设 $\|\varphi_{0}\|_{2}=\|Q_{a_{2}}\|_{2}$. 令 $W=\{x\in\mathbf{R}^{N}|a(x)=a_{2}\}$, 并设 $\varphi(t,x)$ 为问题 (1.1)在有限时刻 $T$ 爆破的解, 则

(i) ($L^2$-集中点的位置) 存在 $x_{0}\in W$ 使得

其中 $Q_{a_{2}}(x)$ 为方程 (3.1) 的基态解. 此外, 当 $t \rightarrow T$ 时, 有

(ii) (爆破速率) 存在正常数 $C>0$ 使得

证 采用 Cao 和 Han^[4] 的思路来证明该结论 (另见文献 [25]).

(i) 由质量守恒 (2.2) 式和 $\|\varphi_{0}\|_{2}=\|Q_{a_{2}}\|_{2}$, 我们得到

另一方面, 根据定理 4.1 和推论 4.1 (见 (4.13) 式), 对任意 $r>0$, 有

结合 (5.11) 和 (5.12) 式, 易得

也就是说在分布意义下, 当 $t\rightarrow T$ 时,

接下来, 将证明存在 $x_{0}\in W$ 使得当 $t \rightarrow T$ 时, 在分布的意义下有

即

事实上, 对定义在 $\mathbf{R}^{N}$ 上的任意实数 $\mu$ 和任意实值函数 $\alpha(x)$, 运用不等式 (2.4), 有如下估计

最后一个等式应用了 (3.2) 式. 因而, 对任意 $\mu\in\mathbf{R}$, 结合上述估计和 (2.2) 式, 得到

由此可知

在 (5.15) 式中选取 $\alpha_{j}(x)=x_{j}$, $j=1,2,\cdot\cdot\cdot,N$, 由 (1.1)和 (2.2) 式可推知

现在, 任取两个序列 $\{t_n\}_{n=1}^{\infty}$, $\{t_m\}_{m=1}^{\infty}\subset[0,T)$, 使得$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}t_n=\lim\limits_{m\rightarrow\infty}t_m=T$. 那么, 对所有 $j=1,2,\cdot\cdot\cdot,N$, 由 (5.16) 式可知

即对任意 $j=1,2,\cdot\cdot\cdot,N$,

换句话说,

令 $x_{0}=\frac{\lim\limits_{t\rightarrow T}\int|\varphi(t,x)|^{2}x{\rm d}x}{\|Q_{a_2}\|_{2}^{2}}$, 则有 $x_{0}\in \mathbf{R}^{N}$ 以及

另一方面, 由命题 3.1 知

则对任意 $t\in[0,T)$, 存在常数 $c_0>0$, 使得

由此可得

由 (5.13) 式有

因而由 (5.19) 式知

进而, 结合 (5.18) 和 (5.20) 式可推得

其中 $C=4c_0$. 因此, 对任意 $r_0 >0$, 有

于是, 对任意 $\varepsilon>0$, 存在充分大的 $r_0=r_0(\varepsilon)>0$, 使得

从而, 由 (5.21) 和 (5.13) 式知, 对任意 $\varepsilon>0$,

结合 (5.17) 和 (5.22) 式易得

此外, 对任意 $\omega(x)\in C_{0}^{\infty}(\mathbf{R}^{N})$, 有

从而

因此, 存在 $x_{0}\in \mathbf{R}^{N}$ (见 (5.17) 式), 使得当 $t \rightarrow T$ 时, 在分布意义下有

现在, 需证明 $x_{0}\in W=\{x\in\mathbf{R}^{N}|a(x)=a_{2}\}$, 即 $x_{0}$ 是 $a(x)$ 的全局最大值点. 事实上, 由于 $a(x)\in C^{1}$, 由 (4.14) 和 (5.23) 式可得

即 $a(x_{0})=a_{2}$. 从而有

由上式和 (5.24) 式知 (5.8) 式 (或 (5.14) 式) 成立.

下面证明 (5.9) 式成立. 即证明

设 $h(x)\in C^{1}(\mathbf{R}^{N})$ 是一非负径向对称函数, 满足

对 $M>0$, 定义 $h_{M}(x)=M^{2}h(\frac{x}{M})$, 则存在 $C>0$, 使得

由问题 (1.1)和 Hölder 不等式推得

则有

对任意 $t\in [0,T)$, 通过对上式两边从 $0$ 到 $t$ 积分, 可得

根据文献 [17], 运用与文献 [4] 类似的方法, 有

此外, 根据 $h_{M}(x)$ 的定义, 得到

由 (5.26)-(5.28) 式可推断

进而, 由 (5.24) 式, 有

因此, (5.25) 式成立.

(ii) 接下来, 将证明 (5.10) 式成立. 在 (5.15) 式中取 $\alpha(x)=|x-x_{0}|^{2}$, 可得

从而

因此, 对任意 $t\in [0,T)$, 从 $t$ 到 $T$ 对 (5.8) 式两边积分得

由不确定性原理和 Hölder 不等式可知

即对 $\forall \ t\in [0,T)$,

因此, (5.10) 式成立. 定理证毕.

注5.1 在问题 (1.1)中, 当 $\omega_1=1$ 且 $a(x)\equiv 1$ (即 $a_{1}=a_{2}=1$) 时, Pan 和 Zhang^[23] 在 $N=2$ 维空间中建立了相应 Cauchy 问题爆破解的 $L^2$-集中性质 (参见文献 [24,定理 4.4]). 定理 5.2 的第一部分表明问题 (1.1)的爆破解的所有质量都集中在有界非齐次系数 $a(x)$ 的全局最大值点 $x_{0}$ 处, 并将 Pan 和 Zhang[23] 的结果改进到空间维数为 $N\geq2$ 的非齐次质量临界非线性 Schrödinger 方程情形.

本节, 借鉴文献 [5,命题 6.5.1] 的思想, 通过正则化方法给出命题 3.1 的严格证明.

证 设 $I=[0,T)$, 其中 $T$ 为命题 2.1 中的最大存在时间. 对于给定 $\varepsilon>0$, 定义 $\theta_{\varepsilon}(x)={\rm e}^{-\varepsilon|x|^{2}}$ 和正则泛函

运用文献 [5,引理 6.5.2] 类似的证明, 有

因此,

应用 $\theta_{\varepsilon}$ 和 $\theta_{\varepsilon}(1-2\varepsilon|x|^{2})$ 关于 $x$ 和 $\varepsilon$ 的有界性, 并利用 Fatou 引理和文献 [5,引理 6.5.2] 的证明思路, 由 (6.1) 式不难知道 $|x|\varphi(t,x)\in C(I,L^{2}(\mathbf{R}^{N}))$, $J(t)\in C^{1}(I,\mathbf{R})$ 以及

此外还需要证明 $J(t)\in C^{2}(I,\mathbf{R})$ 和 (3.6) 式. 将其分成两步完成.

步骤 1 设 $\varphi_{0}\in H^{2}(\mathbf{R}^{N})$. 由类似文献 [5,定理 4.8.1] 的 $H^{2}$-正则性知 $\varphi(t,x)\in C(I, H^{2}(\mathbf{R}^{N}))$$\bigcap C^{1}(I,L^{2}(\mathbf{R}^{N}))$. 定义

那么 $P_{\varepsilon}(t)\in C^{1}(I,\mathbf{R})$. 此外, 应用 Green 公式, 有

对 $\varphi_{0}\in H^{2}(\mathbf{R}^{N})$, 由问题 (1.1)和 Green 公式可得

以及

将 (6.4), (6.5) 和 (6.6) 式代入 (6.3) 式, 计算可得

此处余项为

注意到 $\theta_{\varepsilon}$, $\nabla\theta_{\varepsilon}$ 和 $x\cdot\nabla\theta_{\varepsilon}$ 都关于 $x$ 和 $\varepsilon$ 有界. 从而, 由 $\theta_{\varepsilon}$ 的定义可明显看出, 当 $\varepsilon \rightarrow 0$ 时,

此外, 对任意 $t\in I$, 有 $\varphi(t)\in H^{2}(\mathbf{R}^{N})$ 和 $|x|\varphi(t)\in L^{2}(\mathbf{R}^{N})$. 由 (6.7) 式和 Lebesgue 控制收敛定理可知

由于对任意 $t\in I$,

结合 (6.2), (6.8) 和 (2.2) 式可知, $J(t)\in C^{2}(I,\mathbf{R})$ 且 (3.6) 式成立.

步骤 2 设 $\{\varphi_{n0}\}_{n=1}^{\infty}\subset H^{2}(\mathbf{R}^{N})$ 是一序列, 使得当 $n\rightarrow\infty$ 时, $\varphi_{n0}\rightarrow\varphi_{0}$ 在 $H^{1}(\mathbf{R}^{N})$ 中强收敛且 $|x|\varphi_{n0}\rightarrow |x|\varphi_{0}$ 在 $L^{2}(\mathbf{R}^{N})$ 中强收敛. 并设 Cauchy 问题 (1.1)以 $\varphi_{n0}$ 为初值的最大时间解为 $\varphi_{n}(t)$. 令 $\Psi(t)$ 表示 (3.6) 式的右侧, 并设 $\Psi_{n}(t)$ 表示对应于解 $\varphi_{n}(t)$ 的 (3.6) 式的右侧. 则由步骤1 可知

由连续依赖性 (参见文献 [5,定理 9.2.6]), 在 (6.9) 式中令 $n\rightarrow\infty$, 则有

即得到 (3.6) 式. 证毕.