本文研究了拟线性两点边值问题

正解的确切个数和分歧图, 其中 $\lambda>0$ 为参数, $L>0$ 为常数, $f\in C^{2}([0,\infty), \mathbb{R})$ 满足 $f(0)<0$, 并且对于 $0<u<L$, $f''(u)<0$. 众所周知, 问题 (1.1) 是 Minkowski 曲率方程 Dirichlet 问题

的一维情形, 这些问题在微分几何和狭义相对论中具有重要作用^[1,4,11,12].

近年来, 张学梅与冯美强^[13], Huang^[6,7], 高红亮和徐晶^[3] 等人在 $uf'(u)\leq f(u)$, $f''(u)$ 不改变符号的条件下对问题 (1.1) 正解的确切个数进行了深入的研究. 通过时间映像原理, 他们得到了许多不同于半线性问题的有趣结果. 比如说, 高红亮和徐晶^[3] 给出了一个较强的条件 $uf'(u)\geq f(u)+ \frac{1}{2} u^{2}f''(u)$ 去研究分歧曲线. 之后, Huang^[5,8,10] 分别研究了非线性项 $f(u)={\rm e}^{u}, f(u)=u^{p}-u^{q}, f(u)=-\varepsilon u^{3}+u^{2}+u+1$ 时, 问题 (1.1) 正解的确切个数及分歧曲线.

2019 年, Huang^[9] 研究了当非线性项满足条件 $f\in C[0,\infty)\cap C^{2}(0,\infty)$, 并且存在 $\beta>0$, 使得当 $z\neq\beta$, $(\beta-z)f(z)>0$ 时, 问题 (1.1) 正解的确切个数和分歧曲线. 得到结果, 当 $\frac{f(u)} {u}$ 是 Logistic 型时, 对所有的 $L>0$, 分歧曲线是单调增的; 当 $\frac{f(u)}{u}$ 是弱 Allee effect 型时, 对于足够大的 $L>0$, 分歧曲线是 $\subset$-型或者 $S$-型.

值得注意的是, 上述文献没有考虑当非线性项 $f$ 是凹的, 并且 $f(0)<0$ 时, 问题 (1.1) 正解的确切个数及分歧曲线. 因此本文研究问题 (1.1) 正解的确切个数及分歧曲线, 其中非线性项 $f$ 满足两种情形

(H1) $f\in C^{2}([0,\infty),\mathbb{R})$, $f(0)<0$, 对于 $0<u<L$, $f''(u)<0$, 存在 $p>0$ 使得当 $0<u<p$ 时, $f'(u)>0$ 和当 $p<u<L$ 时, $f'(u)<0$;

(H2) $f\in C^{2}([0,\infty),\mathbb{R})$, $f(0)<0$, 对于 $0<u<L$, $f'(u)>0$, $f''(u)<0$.

假设

(C1) 存在 $0<a<k\leq r<p<q$, 使得当 $0<u<r$ 时, $f(u)-uf'(u)<0$ 和当 $r<u<L$ 时, $f(u)-uf'(u)>0$, 其中 $f(a)=f(q)=0$, $k$ 是 $F(u)=\int_0^u f(t){\rm d}t$ 的第一个正零点;

(C2) 存在 $k<r<L$, 使得当 $0<u<r$ 时, $f(u)-uf'(u)<0$ 和当 $r<u<L$ 时, $f(u)-uf'(u)>0$, 其中 $k$ 是 $F(u)=\int_0^u f(t){\rm d}t$ 的第一个正零点.

得出结果

定理1.1 假设非线性项 $f$ 满足 (H1) 和 (C1), 则存在 $\lambda^{*}>\lambda_{*}>0$ 使得

(i) 当 $0<\lambda<\lambda_{*}$ 时, 问题 (1.1) 没有正解;

(ii) 当 $\lambda=\lambda_{*}$ 和 $\lambda>\lambda^{*}$ 时, 问题 (1.1) 恰有一个正解;

(iii) 当 $\lambda_{*}<\lambda\leq\lambda^{*}$ 时, 问题 (1.1) 恰有两个正解 (见图1(a)).

定理1.2 假设非线性项 $f$ 满足 (H2) 和 (C2), 则存在 $\lambda^{*}>\lambda_{*}>0$ 使得

(i) 当 $0<\lambda<\lambda_{*}$ 时, 问题 (1.1) 没有正解;

(ii) 当 $\lambda=\lambda_{*}$ 和 $\lambda>\lambda^{*}$ 时, 问题 (1.1) 恰有一个正解;

(iii) 当 $\lambda_{*}<\lambda\leq\lambda^{*}$ 时, 问题 (1.1) 恰有两个正解 (见图1(b)).

为了证明定理 1.1-1.2, 首先来介绍时间映像方法, 详见文献 [2]. 定义了问题 (1.1) 的时间映像公式, 对任意的 $s>0$ 和 $\lambda>0$,

其中 $F(u)=\int_0^u f(t){\rm d}t$. 显然可知, 问题 (1.1) 的正解 $u$ 对应于

为了方便, 定义 $A=A(s,u)= s f(s)-uf(u), B=B(s,u)= F(s)-F(u), C=C(s,u)= s^{2} f'(s)-u^{2}f'(u)$, 则

注2.1 为了保证对任意的 $0<u<s$,

易得当 $f$ 满足 (H1) 和 (C1) 时, $k\leq s<q<L$; 当 $f$ 满足 (H2) 和 (C2) 时, $k\leq s<L$.

引理 2.1^[13] 假设非线性项 $f$ 满足 (H1), (C1) (或 (H2), (C2)), 则

引理 2.2^[13] 假设非线性项 $f$ 满足 (H1), (C1) (或 (H2), (C2)), 则对任意的 $s\in[k,q)$ (或 $s\in[k,L)$), $T_{\lambda}(s)$ 关于 $\lambda$ 严格递减.

引理 2.3^[13] 假设非线性项 $f$ 满足 (H1), (C1) (或 (H2), (C2)), 则对任意的 $s\in[k,q)$ (或 $s\in[k,L)$), $\lim\limits_{\lambda\to 0^{+}}T_{\lambda}(s)=\infty, \ \lim\limits_{\lambda\to \infty}T_{\lambda}(s)=s.$

引理 2.4 假设非线性项 $f$ 满足 (H1), (C1) (或 (H2), (C2)), 则 $T_{\lambda}(k)$ 存在, 并且对任意的 $\lambda>0$, $\lim\limits_{s\to k^{+}}T'_{\lambda}(s)=-\infty.$

证 因为对任意的 $0<u<k$, 有 $F(u)<0$ 和 $F(0)=F(k)=0$, 所以存在 $g(u)\in C[k]$, 使得 $F(u)=u(u-k)g(u)$. 容易看出

这表明对任意的 $0\leq u\leq k$, $g(u)>0$. 因此存在 $M>0$, 使得对任意的 $0\leq u\leq k$, $g(u)>M$.

对任意的 $0<t<1$, 可得

从 (2.1) 式进一步得

这表明对任意的 $\lambda>0$, $T_{\lambda}(k)$ 存在.

容易得出 $2B(s,u)-A(s,u)=\theta(s)-\theta(u)$, 其中 $\theta(u)=2F(u)-uf(u)$. 通过 (C1) 或 (C2), 进一步得出

$ \theta'(u)=f(u)-uf'(u)\begin{cases} <0, & \mbox{} u\in(0,r), \\ >0, & \mbox{} u\in(r,L), \end{cases}\\ $$\theta''(u)=-uf''(u)>0,$$\theta(0)=0,\ \theta(k)=-kf(k)<0,\ \theta(q)=2F(q)>0.$

$\theta(u)$ 图像见图2.

注意到存在 $d$, 使得 $\theta(d)=0$ 和对任意的 $0<t<1$, $\theta(k)-\theta(kt)<0$. 由公式 (2.1) 可知, 存在 $t^{*}\in(0,1)$, 使得 $B(k,kt)<-f(0)kt<1$ 和对任意的 $0<t<t^{*}<1$,

更进一步得到

和 $\int_0^1[\lambda B^{\frac{3}{2}}(k,kt)+3 B^{\frac{1}{2}}(k,kt)]{\rm d}t<\infty$.

因此,

证明完毕.

引理 2.5 假设非线性项 $f$ 满足 (H1), (C1) 和 $k<r$ (或 (H2), (C2)), 则对任意的 $s\in(k,r)$, $T''_{\lambda}(s)>0$.

证 易知 $1+\lambda B>\frac{1}{2}(2+\lambda B)$, 则

令 $g_{1}(u)=uf(u)-2F(u)$, 则对任意的 $u\in(0,s)$, $A-2B=g_{1}(s)-g_{1}(u)$. 由 (C1) 或 (C2), 可得对任意的 $u\in(0,r)$, $g'_{1}(u)=uf'(u)-f(u)>0$, 这表明

再令 $g_{2}(u)=4uf(u)-6F(u)-u^{2}f'(u)$, 则对任意的 $u\in(0,s)$, $4A-6B-C=g_{2}(s)-g_{2}(u)$. 由 (H1), (C1) (或 (H2), (C2)), 可得对任意的 $u\in(0,s)$, $g'_{2}(u)=2uf'(u)-2f(u)-u^{2}f''(u)>0$. 因此, $T''_{\lambda}(s)>0$. 证明完毕.

引理 2.6 假设非线性项 $f$ 满足 (H1), (C1) (或 (H2), (C2)), 则对任意的 $s\in(r,d)$,

证 令 $\phi(u)=u\theta'(u)-\theta(u)$, 可得对任意的 $u>0$, $\phi'(u)=u\theta''(u)=-u^{2}f''(u)>0$, $\phi(0)=0$ 和 $\phi(s)-\phi(u)=2A-2B-C$.

通过计算,

因为 $1+\lambda B>\frac{1}{2}(2+\lambda B)$, 所以

因此,

由于对任意的 $u\in(0,s)$, $\phi'(u)>0$. 易得对任意的 $s\in(r,d)$, $T''_{\lambda}(s)+\frac{2}{s}T'_{\lambda}(s)>0.$

应用同样的证明, 可得对任意的 $s\in(r,L)$, $T''_{\lambda}(s)+\frac{2}{s}T'_{\lambda}(s)>0$. 证明完毕.

引理 2.7 假设非线性项 $f$ 满足 (H1) 和 (C1), 则对任意的 $s\in(d,q)$, $T'_{\lambda}(s)>0.$

证 因为对任意的 $s\in(d,q)$, 有 $2B(s,u)-A(s,u)=\theta(s)-\theta(u)>0$. 易得

证明完毕.

引理 2.8 假设非线性项 $f$ 满足 (H1) 和 (C1), 则对任意的 $\lambda>0$, $\lim\limits_{s\to q^{-}}T'_{\lambda}(s)=\infty.$

证 由 $f(a)=f(q)=0$, 可知存在 $g_{3}(u)\in C[0,q)$, 使得 $f(u)=(u-a)(q-u)g_{3}(u).$

容易看出

这表明对任意的 $0\leq u\leq q$, $g_{3}(u)>0$. 并且存在 $M_{1}>0$, 使得对任意的 $0\leq u\leq q$, $0<g_{3}(u)<M_{1}$.

对任意的 $0<t<1$, 可得

因此, 存在 $t_{*}\in(0,1)$, 使得对任意的 $t_{*}<t<1$, $B(q,qt)<1$.

所以, 进一步得

证明完毕.

下面证明定理 1.1.

证 根据时间映像的定义, 研究对任意固定的 $\lambda>0$, 问题 (1.1) 正解的确切个数等价于研究 $T_{\lambda}(s)$ 在区间 $[k,q)$ 上的形状.

通过引理 2.3, 可知 $\lim\limits_{\lambda\to0^{+}}T_{\lambda}(s)=\infty$, $\lim\limits_{\lambda \to \infty}T_{\lambda}(s)=s$. 通过计算, 对任意给定的 $s_{0}>0$,

这表明存在 $s_0\in[k,q)$, 使得 $\lim\limits_{\lambda\to +\infty}T_{\lambda}(s_0)<L$.

因此, 结合引理 2.2 和引理 2.3-2.8, 得到了对任意的 $\lambda\geq\lambda_{*}$, $T_{\lambda}(s)$ 的图像, 见图3(a).

由图可知, 存在 $\lambda^{*}>\lambda_{*}>0$, 使得当 $\lambda\in(0,\lambda_{*})$ 时, 问题 (1.1) 无解; 当 $\lambda\in\{\lambda_{*}\}\cup(\lambda^{*},\infty)$ 时, 问题 (1.1) 恰有一个解; 当 $\lambda\in(\lambda_ {*},\lambda^{*}]$ 时, 问题 (1.1) 恰有两个正解.

证明完毕.

下面证明定理 1.2.

证 根据时间映像的定义, 研究对任意固定的 $\lambda>0$, 问题 (1.1) 正解的确切个数等价于研究 $T_{\lambda}(s)$ 在区间 $[k,L)$ 上的形状.

通过引理 2.3, 可知 $\lim\limits_{\lambda \to0^{+}}T_{\lambda}(s)=\infty$, $\lim\limits_{\lambda \to \infty}T_{\lambda}(s)=s$. 通过计算, 对任意给定的 $s_{0}>0$,

这表明存在 $s_0\in[k,L)$, 使得 $\lim\limits_{\lambda\to +\infty}T_{\lambda}(s_0)<L$.

因此, 结合引理 2.2 和引理 2.3-2.6, 得到了对任意的 $\lambda\geq\lambda_{*}$, $T_{\lambda}(s)$ 的图像, 见图3(b).

由图可知, 存在 $\lambda^{*}>\lambda_{*}>0$, 使得当 $\lambda\in(0,\lambda_{*})$ 时, 问题 (1.1) 无解; 当 $\lambda\in\{\lambda_{*}\}\cup(\lambda^{*},\infty)$ 时, 问题 (1.1) 恰有一个解; 当 $\lambda\in(\lambda_ {*},\lambda^{*}]$ 时, 问题 (1.1) 恰有两个正解. 证明完毕.

例 3.1 $f(u)=-u^{2}+4u-1$.

通过计算, $f(0)=-1$, $f'(u)=-2u+4$, $f''(u)=-2<0$, $f(u)-uf'(u)=u^{2}-1$ 和 $F(u)=u(-\frac{1}{3}u^{2}+2u-1)$, 存在 $a=2-\sqrt{3}$, $k=3-\sqrt{6}$, $r=1$ 和 $p=2$, 使得 $f$ 满足 (H1) 和 (C1). 因此, 通过定理 1.1 可知, 存在 $\lambda^ {*}>\lambda_{*}>0$, 使得当 $\lambda\in(0,\lambda_{*})$ 时, 该问题无解; 当 $\lambda\in\{\lambda_{*}\}\cup(\lambda^{*},\infty)$ 时, 该问题恰有一个解; 当 $\lambda\in(\lambda_ {*},\lambda^{*}]$ 时, 该问题恰有两个正解.

例 3.2 $f(u)=-u^{2}+8u-9$.

通过计算, $f(0)=-9$, $f'(u)=-2u+8$, $f''(u)=-2<0$, $f(u)-uf'(u)=u^{2}-9$ 和 $F(u)=u(-\frac{1}{3}u^{2}+4u-9)$, 存在 $a=4-\sqrt{7}$, $k=r=3$ 和 $p=4$, 使得 $f$ 满足 (H1) 和 (C1). 因此, 通过定理 1.1 可知, 存在 $\lambda^{*}>\lambda_{*}>0$, 使得当 $\lambda\in(0,\lambda_{*})$ 时, 该问题无解; 当 $\lambda\in\{\lambda_{*}\}\cup(\lambda^{*},\infty)$ 时, 该问题恰有一个解; 当 $\lambda\in(\lambda_ {*},\lambda^{*}]$ 时, 该问题恰有两个正解.

例 3.3 $f(u)=\sqrt{u}-1$.

通过计算, $f(0)=-1$, $f'(u)=\frac{1}{2\sqrt{u}}$, $f''(u)=-\frac{1}{4u^{\frac{3}{2}}}<0$, $f(u)-uf'(u)=\frac{\sqrt{u}}{2}-1$ 和 $F(u)=u(\frac{2}{3}\sqrt{u}-1)$, 存在 $k=\frac{9}{4}$ 和 $r=4$, 使得 $f$ 满足 (H2) 和 (C2). 因此, 通过定理 1.2 可知, 存在 $\lambda^{*}>\lambda_{*}>0$, 使得当 $\lambda\in(0,\lambda_{*})$ 时, 该问题无解; 当 $\lambda\in\{\lambda_{*}\}\cup(\lambda^{*},\infty)$ 时, 该问题恰有一个解; 当 $\lambda\in(\lambda_ {*},\lambda^{*}]$ 时, 该问题恰有两个正解.