本文中, $\mathbb{D}=\{z \in \mathbb{C}:|z|<1 \}$ 为复平面 $\mathbb{C}$ 中的单位开圆盘, ${\rm d}A(z)=\frac{1}{\pi}{\rm d}x{\rm d}y$ 表示 $\mathbb{D}$ 上标准化的 Lebesgue 面积测度, 即 $A(\mathbb{D})=1$. 记 $L^{2} = L^{2}(\mathbb{D}, {\rm d}A)$ 为 $\mathbb{D}$ 上关于 ${\rm d}A$ 的 Lebesgue 平方可积函数全体, $L^{\infty} = L^{\infty}(\mathbb{D}, {\rm d}A)$ 为 $\mathbb{D}$ 上关于 ${\rm d}A$ 的本性有界的可测函数空间. 定义 Bergman 空间 $L_{a}^{2} = L_{a}^{2}(\mathbb{D}, {\rm d}A)$ 是 $L^{2}(\mathbb{D}, {\rm d}A)$ 中的解析多项式所张成的闭子空间^[1], 即

其中 $H(\mathbb{D})$ 是 $\mathbb{D}$ 上的解析函数. $H^{\infty}$ 为单位开圆盘上的有界解析函数全体构成的空间, $\overline{H^{\infty}}$ 为 $H^{\infty}$ 中解析函数的共轭函数全体构成的空间.

设 $P$ 为 $L^{2}$ 到 $L^{2}_{a}$ 的正交投影, 对 $\varphi \in L^{\infty}$, 定义 $L^{2}_{a}$ 上以 $\varphi$ 为符号的 Toeplitz算子 $T_{\varphi}$ 为

如果 $\varphi\in H^{\infty}$, $T_{\varphi}$ 则被称为 Bergman 空间 $L_{a}^{2}$ 上的解析 Toeplitz 算子.

设 $H$ 为复数域 $\mathbb{C}$ 上的 Hilbert 空间, $A$ 是 $H$ 上的有界线性算子, 若对 $\lambda \in \mathbb{C}$, 存在非零向量 $x \in H$, 使得 $Ax=\lambda x$, 则称 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值, $x$ 为 $A$ 的对应 $\lambda$ 的特征向量.

在 Bergman 空间中, 若对每个点 $z\in \mathbb{D}$, 都存在函数 $K_{z}\in L_{a}^{2}$ 使得

对任意 $f\in L_{a}^{2}$ 都成立, 则称函数 $K_{z}$ 为 $L_{a}^{2}$ 的再生核, 这里的内积定义为

其中 $f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\hat{f}_{n}z^{n}, g(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\hat{g}_{n}z^{n}\in L_{a}^{2}$.

任给 $f\in L_{a}^{2}$, 注意到

于是赋值线性泛函 $F_{z}(f)=f(z)$ 是有界的. 由 Riesz 表示定理^[1], 存在唯一的函数 (记作 $K_{z}$) 使得

设 $K_{z}(w)=\sum\limits_{m=0}^{\infty}a_{m}(z)w^{m}$, 取 $f=w^{n},$

由此可知

因此

这就给出了 Bergman 空间 $L_{a}^{2}$ 的再生核的表达式, 也称为 Bergman 核. 注意到

从而得到正规化的再生核 $k_{z}$ 为

对 $L_{a}^{2}$ 上的有界线性算子 $A$, 定义 $A$ 的 Berezin 变换为

利用多复变函数的知识^[2] 可以证明, Berezin 变换是单射, 即

对于 $L_{a}^{2}$ 的 Toeplitz 算子 $T_{\varphi}$, 定义它的 Berezin 变换为

也称 $\widetilde{\varphi}(z)$ 为函数 $\varphi$ 的 Berezin 变换.

对任意的 $\varphi \in \overline{H^{\infty}(\mathbb{D}}),T_{\varphi}K_{z}\in L_{a}^{2}$ 有

则

即

由此可知 $\varphi(z)$ 是 $T_{\varphi}$ 的特征值, $K_{z}$ 是 $T_{\varphi}$ 属于 $\varphi(z)$ 的特征向量.

在 Bergman 空间 $L_{a}^{2}$ 中, 1950 年 Wintner^[3] 证明了具有非常数有理符号的 Toeplitz 算子没有特征值, 1954 年 Wintner^[4] 证明了非常数的 Hermitian Toeplitz 算子没有特征值, 以及具有非常数有界的实值符号的 Toeplitz 算子的点谱为空集, 1964 年 Halmos 和 Brown^[5] 讨论了 Toeplitz 算子和 Laurent 算子的谱性质, 同年, Widom^[6] 刻画了具有实值函数符号的 Hermitian Toeplitz 算子的谱, 1982 年 Axler^[7] 刻画了具有解析符号的 Toepltz 算子的本质谱, 1996 年许凤^[8] 刻画了 Bergman 空间有界区域上余解析 Toplitz 算子的点谱, 以上研究给出了 Toeplitz 算子较全面的谱性质.

反过来, 2007年陈蓓^[9]讨论了由给定的 $k$ 个特征对构造一个实对称 Toeplitz 矩阵的一类特征值反问题, 2012 年李波^[10] 等人研究了通过谱数据构造 Hermitian Toeplitz 矩阵的特征值反问题, 那么对于 Bergman 空间上的 Toeplitz 算子, 什么条件下才能使得 Toeplitz 算子以 $K_{z}$ 为特征向量呢, 自然地我们想到如下的三个反问题

问题 1 设 $\varphi\in L^{\infty}$, 若存在 $z\in \mathbb{D}$ 使 $K_{z}$ 是 $T_{\varphi}$ 的特征向量, 那么是否必有 $\varphi\in \overline{H^{\infty}}$?

问题 2 设 $A$ 是 $L^{2}(\mathbb{D})$ 上的有界线性算子, 且对任意的 $z\in \mathbb{D}$, 有 $K_{z}$ 是 $A$ 的特征向量, 那么是否存在一个 $\varphi\in \overline{H^{\infty}}$, 使得 $A=T_{\varphi}$?

问题 3 设 $\varphi \in L^{\infty}(\mathbb{D})$, 若对每一个 $z\in \mathbb{D}$, $\varphi(z)$ 都是 $T_{\varphi}$ 的特征值, 那么是否必有 $\varphi\in \overline{H^{\infty}}$?

针对上述三个问题, 本文肯定地回答了第二个问题, 部分回答了第一个问题和第三个问题, 得到了以再生核 $K_{z}$ 为特征向量的有界线性算子的完全刻画, 以再生核 $K_{z}$ 为特征向量的 Toeplitz 算子的部分刻画以及以 $\varphi(z)(z \in \mathbb{D})$ 为特征值的 Toeplitz 算子的部分刻画.

首先, 我们研究了有界调和符号的 Toeplitz 算子的特征向量, 部分地回答了问题 1.

定理2.1 设 $\varphi$ 是有界调和函数, $T_{\varphi}$ 是 $L_{a}^2$ 上的 Toeplitz 算子. 若对某个 $z\in \mathbb{D}$, $K_{z}$ 是 $T_{\varphi}$ 的特征向量, 则有 $\varphi \in \overline{H^{\infty}}$.

证 设 $\lambda _{z}$ 是 $T_{\varphi}$ 关于 $K_{z}$ 的特征值, 则 $T_{\varphi}K_{z}=\lambda _{z}K_{z}$, 其中 $\lambda _{z}$ 是常数. 由于 $\varphi$ 是有界调和函数, 则令 $\varphi=\varphi_{-}+\varphi_{+}$, 其中 $\varphi_{+}=P\varphi, \varphi_{-}=(I-P)\varphi$, 从而

即

因此

$\varphi_{+}=\lambda _{z}-\varphi_{-}(z)$ 是一个常数, 并记为 $c$, 从而 $\varphi=c+\varphi_{-}$, 因此 $\varphi$ 是共轭解析的. 证毕.

在本节我们对问题 2 给出了肯定的回答, 所得结论如下.

定理2.2 设 $A$ 是 $L^{2}_{a}$ 上的有界线性算子, 且对任意的 $z\in \mathbb{D}$, 有 $K_{z}$ 是 $A$ 的特征向量, 则存在一个 $\varphi\in \overline{H^{\infty}}$, 使得 $A=T_{\varphi}$.

证 设对任意的 $z\in \mathbb{D}$, 存在数 $\lambda (z)$ 使得 $AK_{z}=\lambda (z)K_{z}$. 由

可得

再由 $A$ 的有界性可知 $\lambda (z)$ 有界.

对等式 $AK_{z}=\lambda (z)K_{z}$ 两端关于 $z$ 求偏导, 即

因此 $\frac{\partial \lambda (z)}{\partial z}=0$, 从而 $\lambda (z)$ 关于 $z$ 余解析. 由

即

又因为 Berezin 变换是单射的, 所以 $A=T_{\lambda }$. 证毕.

本节我们讨论了问题 3, 给出了部分解答.

定理3.1 设 $\varphi$ 是有界调和函数, 若对每一个 $z\in \mathbb{D}$, 存在一个非零向量 $x(z,w)\in L_{a}^{2},$ 其中$x(z,w)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}(z)w^{n}$, $a_{n}(z)$ 关于 $z$ 调和, 满足 $T_{\varphi}x(z,w)=\varphi(z)x(z,w)$, 则 $\varphi\in\overline{H^{\infty}}$.

证 已知 $a(z)$ 为调和函数, 令 $a(z)=a_{n+}(z)+a_{n-}(z)$, 其中 $a_{n+}(z)$ 是 $a(z)$ 的解析部分, $a_{n-}(z)$ 是$a(z)$ 的共轭解析部分. 设

根据

对等式 (3.1)、(3.2) 作用拉普拉斯算子 $\Delta=\frac{\partial^{2}}{\partial z\partial \bar{z}}$ 可得

由 $T_{\varphi}x(z,w)=\varphi(z)x(z,w)$, 得

由此可知

易知 $\varphi$ 为常数时, 等式 $T_{\varphi}x(z,w)=\varphi(z)x(z,w)$ 显然成立. 现考虑 $\varphi$ 为非常数时的情况. 由于具有非常数解析符号的Toeplitz算子没有特征值^[11], 因此 $\varphi_{-}'(z)\neq0$, 下面只需证 $\varphi_{+}'(z)=0$. 假设在 $\varphi_{+}'(z)\neq0$ 的情况下, 有无穷多个 $a_{n^{-}}'(z)\neq0$, 则对这无穷多项 $a_{n^{-}}'(z)$, 有

即

由等式 (3.4) 可知, 等式左边关于 $z$ 解析, 右边关于 $z$ 共轭解析, 故上述式子必等于一个常数, 记作 $c$, 即 $c=\frac{a_{n^{+}}'(z)}{\varphi_{+}'(z)}=-\frac{a_{n^{-}}'(z)}{\varphi_{-}'(z)}$, 则显然 $c\neq0$.

从而

即

则

其中 $b_{n}=b_{n1}+b_{n2}$.

由 $x(z,w)\in L_{a}^{2}$ 可知 $\|x(z,w)\|^{2}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{|a_{n}(z)|^{2}}{n+1}<\infty$, 所以对任意的 $z\in \mathbb{D}$, 数列 $\{c(\varphi_{+}(z)-\varphi_{-}(z))+b_{n}\}$ 有界, 从而 $\{b_{n}\}$ 有界. 故 $\{b_{n}\}$ 存在子列 $\{b_{n_{k}}\}$ 使得 $\lim\limits_{k\to \infty}b_{n_{k}}=b$. 由于 $\lim\limits_{n\to \infty}a_{n}(z)=0$, 因此

即 $c\varphi_{+}(z)=c\varphi_{-}(z)-b$, 由此 $\varphi(z)$ 为常数, 与 $\varphi_{+}'(z)\neq0$ 矛盾.

假设在 $\varphi_{+}'(z)\neq0$ 的情况下, 仅有有限多项 $a_{n}(z)$ 使得 $a_{n^{-}}'(z)\neq0$. 不失一般性, 不妨设 $a_{i^{-}}'(z)\neq0\ (i=0,1,\cdots,n$ ), 则 $a_{i^{-}}'(z)=0 \ (i=n+1,n+2,\cdots)$, 由于$\varphi_{-}'(z)\neq0$, $\Delta(\varphi(z)a_{n}(z))=0$, 所以 $a_{i^{+}}'(z)=0\ (i=n+1,n+2,\cdots)$, 由此可令 $x(z,w)=x_{1}(w)+x_{2}(z,w)$, 其中 $x_{1}(w)=\sum\limits_{i=n+1}^{\infty}a_{i}w^{i}, x_{2}(z,w)=\sum\limits_{i=0}^{n}a_{i}(z)w^{i}$. 那么

根据等式 (3.3) 可知, 对有限多项 $a_{i}(z)$ 有

对 $T_{\varphi}x(z,w)=\varphi(z)x(z,w)$ 两边关于 $z$ 求偏导

从而

即

等式 (3.6) 两边关于 $z$ 求偏导, 得

即

由方程组 (3.5) 可知

故

由于等式 (3.3) 对所有 $n$ 成立, 则 $a_{n^{-}}'(z)=0$, 故对所有 $n$, 均有 $a_{n^{-}}(z)=a_{n}$, 其中 $a_{n}$ 为常数. 于是对所有的 $n$, 都有 $a_{n}(z)$ 为常数, 从而 $x(z,w)=\sum\limits_{i=0}^{\infty}a_{n}w^{n}.$ 再由 $T_{\varphi}x=\varphi(z)x$, $\frac{\partial}{\partial z}(\varphi(z)x)=\varphi_{+}'(z)x=0$, 从而得到 $\varphi_{+}'(z)=0$ 与假设 $\varphi_{+}'(z)\neq0$ 矛盾. 故 $\varphi_{+}'(z)=0$, 即 $\varphi_{+}(z)=a\ \mbox{为常数}$, 则 $\varphi(z)=a+\varphi_{-}(z)$, 因此 $\varphi\in \overline{H^{\infty}}$, 证毕.