本文中, $ \mathbb{D}=\{z \in \mathbb{C}:|z|<1 \} $ 为复平面 $ \mathbb{C} $ 中的单位开圆盘, $ {\rm d}A(z)=\frac{1}{\pi}{\rm d}x{\rm d}y $ 表示 $ \mathbb{D} $ 上标准化的 Lebesgue 面积测度, 即 $ A(\mathbb{D})=1 $. 记 $ L^{2} = L^{2}(\mathbb{D}, {\rm d}A) $ 为 $ \mathbb{D} $ 上关于 $ {\rm d}A $ 的 Lebesgue 平方可积函数全体, $ L^{\infty} = L^{\infty}(\mathbb{D}, {\rm d}A) $ 为 $ \mathbb{D} $ 上关于 $ {\rm d}A $ 的本性有界的可测函数空间. 定义 Bergman 空间 $ L_{a}^{2} = L_{a}^{2}(\mathbb{D}, {\rm d}A) $ 是 $ L^{2}(\mathbb{D}, {\rm d}A) $ 中的解析多项式所张成的闭子空间^[1], 即

其中 $ H(\mathbb{D}) $ 是 $ \mathbb{D} $ 上的解析函数. $ H^{\infty} $ 为单位开圆盘上的有界解析函数全体构成的空间, $ \overline{H^{\infty}} $ 为 $ H^{\infty} $ 中解析函数的共轭函数全体构成的空间.

设 $ P $ 为 $ L^{2} $ 到 $ L^{2}_{a} $ 的正交投影, 对 $ \varphi \in L^{\infty} $, 定义 $ L^{2}_{a} $ 上以 $ \varphi $ 为符号的 Toeplitz算子 $ T_{\varphi} $ 为

如果 $ \varphi\in H^{\infty} $, $ T_{\varphi} $ 则被称为 Bergman 空间 $ L_{a}^{2} $ 上的解析 Toeplitz 算子.

设 $ H $ 为复数域 $ \mathbb{C} $ 上的 Hilbert 空间, $ A $ 是 $ H $ 上的有界线性算子, 若对 $ \lambda \in \mathbb{C} $, 存在非零向量 $ x \in H $, 使得 $ Ax=\lambda x $, 则称 $ \lambda $ 是 $ A $ 的特征值, $ x $ 为 $ A $ 的对应 $ \lambda $ 的特征向量.

在 Bergman 空间中, 若对每个点 $ z\in \mathbb{D} $, 都存在函数 $ K_{z}\in L_{a}^{2} $ 使得

对任意 $ f\in L_{a}^{2} $ 都成立, 则称函数 $ K_{z} $ 为 $ L_{a}^{2} $ 的再生核, 这里的内积定义为

其中 $ f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\hat{f}_{n}z^{n}, g(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\hat{g}_{n}z^{n}\in L_{a}^{2} $.

任给 $ f\in L_{a}^{2} $, 注意到

于是赋值线性泛函 $ F_{z}(f)=f(z) $ 是有界的. 由 Riesz 表示定理^[1], 存在唯一的函数 (记作 $ K_{z} $) 使得

设 $ K_{z}(w)=\sum\limits_{m=0}^{\infty}a_{m}(z)w^{m} $, 取 $ f=w^{n}, $

由此可知

因此

这就给出了 Bergman 空间 $ L_{a}^{2} $ 的再生核的表达式, 也称为 Bergman 核. 注意到

从而得到正规化的再生核 $ k_{z} $ 为

对 $ L_{a}^{2} $ 上的有界线性算子 $ A $, 定义 $ A $ 的 Berezin 变换为

利用多复变函数的知识^[2] 可以证明, Berezin 变换是单射, 即

对于 $ L_{a}^{2} $ 的 Toeplitz 算子 $ T_{\varphi} $, 定义它的 Berezin 变换为

也称 $ \widetilde{\varphi}(z) $ 为函数 $ \varphi $ 的 Berezin 变换.

对任意的 $ \varphi \in \overline{H^{\infty}(\mathbb{D}}),T_{\varphi}K_{z}\in L_{a}^{2} $ 有

则

即

由此可知 $ \varphi(z) $ 是 $ T_{\varphi} $ 的特征值, $ K_{z} $ 是 $ T_{\varphi} $ 属于 $ \varphi(z) $ 的特征向量.

在 Bergman 空间 $ L_{a}^{2} $ 中, 1950 年 Wintner^[3] 证明了具有非常数有理符号的 Toeplitz 算子没有特征值, 1954 年 Wintner^[4] 证明了非常数的 Hermitian Toeplitz 算子没有特征值, 以及具有非常数有界的实值符号的 Toeplitz 算子的点谱为空集, 1964 年 Halmos 和 Brown^[5] 讨论了 Toeplitz 算子和 Laurent 算子的谱性质, 同年, Widom^[6] 刻画了具有实值函数符号的 Hermitian Toeplitz 算子的谱, 1982 年 Axler^[7] 刻画了具有解析符号的 Toepltz 算子的本质谱, 1996 年许凤^[8] 刻画了 Bergman 空间有界区域上余解析 Toplitz 算子的点谱, 以上研究给出了 Toeplitz 算子较全面的谱性质.

反过来, 2007年陈蓓^[9]讨论了由给定的 $ k $ 个特征对构造一个实对称 Toeplitz 矩阵的一类特征值反问题, 2012 年李波^[10] 等人研究了通过谱数据构造 Hermitian Toeplitz 矩阵的特征值反问题, 那么对于 Bergman 空间上的 Toeplitz 算子, 什么条件下才能使得 Toeplitz 算子以 $ K_{z} $ 为特征向量呢, 自然地我们想到如下的三个反问题

问题 1 设 $ \varphi\in L^{\infty} $, 若存在 $ z\in \mathbb{D} $ 使 $ K_{z} $ 是 $ T_{\varphi} $ 的特征向量, 那么是否必有 $ \varphi\in \overline{H^{\infty}} $?

问题 2 设 $ A $ 是 $ L^{2}(\mathbb{D}) $ 上的有界线性算子, 且对任意的 $ z\in \mathbb{D} $, 有 $ K_{z} $ 是 $ A $ 的特征向量, 那么是否存在一个 $ \varphi\in \overline{H^{\infty}} $, 使得 $ A=T_{\varphi} $?

问题 3 设 $ \varphi \in L^{\infty}(\mathbb{D}) $, 若对每一个 $ z\in \mathbb{D} $, $ \varphi(z) $ 都是 $ T_{\varphi} $ 的特征值, 那么是否必有 $ \varphi\in \overline{H^{\infty}} $?

针对上述三个问题, 本文肯定地回答了第二个问题, 部分回答了第一个问题和第三个问题, 得到了以再生核 $ K_{z} $ 为特征向量的有界线性算子的完全刻画, 以再生核 $ K_{z} $ 为特征向量的 Toeplitz 算子的部分刻画以及以 $ \varphi(z)(z \in \mathbb{D}) $ 为特征值的 Toeplitz 算子的部分刻画.

首先, 我们研究了有界调和符号的 Toeplitz 算子的特征向量, 部分地回答了问题 1.

定理2.1 设 $ \varphi $ 是有界调和函数, $ T_{\varphi} $ 是 $ L_{a}^2 $ 上的 Toeplitz 算子. 若对某个 $ z\in \mathbb{D} $, $ K_{z} $ 是 $ T_{\varphi} $ 的特征向量, 则有 $ \varphi \in \overline{H^{\infty}} $.

证 设 $ \lambda _{z} $ 是 $ T_{\varphi} $ 关于 $ K_{z} $ 的特征值, 则 $ T_{\varphi}K_{z}=\lambda _{z}K_{z} $, 其中 $ \lambda _{z} $ 是常数. 由于 $ \varphi $ 是有界调和函数, 则令 $ \varphi=\varphi_{-}+\varphi_{+} $, 其中 $ \varphi_{+}=P\varphi, \varphi_{-}=(I-P)\varphi $, 从而

即

因此

$ \varphi_{+}=\lambda _{z}-\varphi_{-}(z) $ 是一个常数, 并记为 $ c $, 从而 $ \varphi=c+\varphi_{-} $, 因此 $ \varphi $ 是共轭解析的. 证毕.

在本节我们对问题 2 给出了肯定的回答, 所得结论如下.

定理2.2 设 $ A $ 是 $ L^{2}_{a} $ 上的有界线性算子, 且对任意的 $ z\in \mathbb{D} $, 有 $ K_{z} $ 是 $ A $ 的特征向量, 则存在一个 $ \varphi\in \overline{H^{\infty}} $, 使得 $ A=T_{\varphi} $.

证 设对任意的 $ z\in \mathbb{D} $, 存在数 $ \lambda (z) $ 使得 $ AK_{z}=\lambda (z)K_{z} $. 由

可得

再由 $ A $ 的有界性可知 $ \lambda (z) $ 有界.

对等式 $ AK_{z}=\lambda (z)K_{z} $ 两端关于 $ z $ 求偏导, 即

因此 $ \frac{\partial \lambda (z)}{\partial z}=0 $, 从而 $ \lambda (z) $ 关于 $ z $ 余解析. 由

即

又因为 Berezin 变换是单射的, 所以 $ A=T_{\lambda } $. 证毕.

本节我们讨论了问题 3, 给出了部分解答.

定理3.1 设 $ \varphi $ 是有界调和函数, 若对每一个 $ z\in \mathbb{D} $, 存在一个非零向量 $ x(z,w)\in L_{a}^{2}, $ 其中$ x(z,w)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}(z)w^{n} $, $ a_{n}(z) $ 关于 $ z $ 调和, 满足 $ T_{\varphi}x(z,w)=\varphi(z)x(z,w) $, 则 $ \varphi\in\overline{H^{\infty}} $.

证 已知 $ a(z) $ 为调和函数, 令 $ a(z)=a_{n+}(z)+a_{n-}(z) $, 其中 $ a_{n+}(z) $ 是 $ a(z) $ 的解析部分, $ a_{n-}(z) $ 是$ a(z) $ 的共轭解析部分. 设

根据

对等式 (3.1)、(3.2) 作用拉普拉斯算子 $ \Delta=\frac{\partial^{2}}{\partial z\partial \bar{z}} $ 可得

由 $ T_{\varphi}x(z,w)=\varphi(z)x(z,w) $, 得

由此可知

易知 $ \varphi $ 为常数时, 等式 $ T_{\varphi}x(z,w)=\varphi(z)x(z,w) $ 显然成立. 现考虑 $ \varphi $ 为非常数时的情况. 由于具有非常数解析符号的Toeplitz算子没有特征值^[11], 因此 $ \varphi_{-}'(z)\neq0 $, 下面只需证 $ \varphi_{+}'(z)=0 $. 假设在 $ \varphi_{+}'(z)\neq0 $ 的情况下, 有无穷多个 $ a_{n^{-}}'(z)\neq0 $, 则对这无穷多项 $ a_{n^{-}}'(z) $, 有

即

由等式 (3.4) 可知, 等式左边关于 $ z $ 解析, 右边关于 $ z $ 共轭解析, 故上述式子必等于一个常数, 记作 $ c $, 即 $ c=\frac{a_{n^{+}}'(z)}{\varphi_{+}'(z)}=-\frac{a_{n^{-}}'(z)}{\varphi_{-}'(z)} $, 则显然 $ c\neq0 $.

从而

即

则

其中 $ b_{n}=b_{n1}+b_{n2} $.

由 $ x(z,w)\in L_{a}^{2} $ 可知 $ \|x(z,w)\|^{2}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{|a_{n}(z)|^{2}}{n+1}<\infty $, 所以对任意的 $ z\in \mathbb{D} $, 数列 $ \{c(\varphi_{+}(z)-\varphi_{-}(z))+b_{n}\} $ 有界, 从而 $ \{b_{n}\} $ 有界. 故 $ \{b_{n}\} $ 存在子列 $ \{b_{n_{k}}\} $ 使得 $ \lim\limits_{k\to \infty}b_{n_{k}}=b $. 由于 $ \lim\limits_{n\to \infty}a_{n}(z)=0 $, 因此

即 $ c\varphi_{+}(z)=c\varphi_{-}(z)-b $, 由此 $ \varphi(z) $ 为常数, 与 $ \varphi_{+}'(z)\neq0 $ 矛盾.

假设在 $ \varphi_{+}'(z)\neq0 $ 的情况下, 仅有有限多项 $ a_{n}(z) $ 使得 $ a_{n^{-}}'(z)\neq0 $. 不失一般性, 不妨设 $ a_{i^{-}}'(z)\neq0\ (i=0,1,\cdots,n $ ), 则 $ a_{i^{-}}'(z)=0 \ (i=n+1,n+2,\cdots) $, 由于$ \varphi_{-}'(z)\neq0 $, $ \Delta(\varphi(z)a_{n}(z))=0 $, 所以 $ a_{i^{+}}'(z)=0\ (i=n+1,n+2,\cdots) $, 由此可令 $ x(z,w)=x_{1}(w)+x_{2}(z,w) $, 其中 $ x_{1}(w)=\sum\limits_{i=n+1}^{\infty}a_{i}w^{i}, x_{2}(z,w)=\sum\limits_{i=0}^{n}a_{i}(z)w^{i} $. 那么

根据等式 (3.3) 可知, 对有限多项 $ a_{i}(z) $ 有

对 $ T_{\varphi}x(z,w)=\varphi(z)x(z,w) $ 两边关于 $ z $ 求偏导

从而

即

等式 (3.6) 两边关于 $ z $ 求偏导, 得

即

由方程组 (3.5) 可知

故

由于等式 (3.3) 对所有 $ n $ 成立, 则 $ a_{n^{-}}'(z)=0 $, 故对所有 $ n $, 均有 $ a_{n^{-}}(z)=a_{n} $, 其中 $ a_{n} $ 为常数. 于是对所有的 $ n $, 都有 $ a_{n}(z) $ 为常数, 从而 $ x(z,w)=\sum\limits_{i=0}^{\infty}a_{n}w^{n}. $ 再由 $ T_{\varphi}x=\varphi(z)x $, $ \frac{\partial}{\partial z}(\varphi(z)x)=\varphi_{+}'(z)x=0 $, 从而得到 $ \varphi_{+}'(z)=0 $ 与假设 $ \varphi_{+}'(z)\neq0 $ 矛盾. 故 $ \varphi_{+}'(z)=0 $, 即 $ \varphi_{+}(z)=a\ \mbox{为常数} $, 则 $ \varphi(z)=a+\varphi_{-}(z) $, 因此 $ \varphi\in \overline{H^{\infty}} $, 证毕.